tableau de signes

Seconde-méthodes
Fiche méthode tableaux de signes
Table des matières
1 Signe de ax+b
1.1 méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 signe d’un produit
2.1 méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3 signe d’un quotient
3.1 méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
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Seconde-méthodes
1
Fiche méthode tableaux de signes
Signe de ax+b
1.1
méthode
Exemple avec −3x + 2
Cas général :
• Rechercher la valeur qui annule −3x + 2 :
• Rechercher la valeur qui annule ax + b :
2
−2
−b
mais on peut résoudre −3x + 2 = 0 ⇐⇒ x = −3 = 3
Cette valeur est
a
2
l’équation ax + b = 0 pour la trouver.
−3x + 2 s’annule pour x =
3
• Tableau de signes (a = −3 coefficient de x) :
• Compléter le tableau de signes en utilisant :
2
−b
x
−∞
+∞
x
−∞
+∞
3
a
−3x + 2
+
0
−
ax + b
signe de
0
signe de
signe de
signe de
−a
a
−a = 3
a = −3
2
On peut aussi faire un test avec une valeur de x On peut aussi choisir x = 3 par exemple (3 > ).
3
−b
On a alors −3x + 2 = −3 × 3 + 2 = −7 de signe négatif
supérieure à
a
(−).
2
On sait alors que pour x > , on doit placer un signe
3
−
1.2
exemples
Exemple 1 : coefficient de x positif
Etudier le signe de 3x − 6 selon les valeurs de x (x ∈ R)
• Valeur de x annulant 3x − 6 :
3x − 6 = 0 ⇐⇒ 3x = 6 ⇐⇒ x = 2
3x − 6 s’annule pour x = 2
• Tableau de signes (ici a = 3 et b = −6) :
x
−∞
2
+∞
3x − 6
−
0
+
signe de
signe de
−a = −3
a=3
Exemple 2 : coefficient de x négatif
Etudier le signe de −5x − 8 selon les valeurs de x (x ∈ R)
• Valeur de x annulant −5x − 8 :
8
−8
−5x − 8 = 0 ⇐⇒ −5x = 8 ⇐⇒ x =
=
−5
5
−8
−5x − 8 s’annule pour x =
5
• Tableau de signes (ici a = −5 et b = −8) :
−8
x
−∞
+∞
5
−5x − 8
+
0
−
signe de
signe de
−a = 5
a = −5
2
2.1
signe d’un produit
méthode
• Rechercher les valeurs de x annulant chacun des facteurs
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Seconde-méthodes
Fiche méthode tableaux de signes
• Dresser un tableau de signes avec les deux facteurs puis multiplier :
Le produit de deux nombres de même signe est positif (+).
Le produit de deux nombres de signes différents est négatif (−).
2.2
exemple
Exemple 3 : : signe du produit de deux facteurs
Etudier le signe de (−3x + 4)(5x + 15)
• Valeurs de x annulant chacun des facteurs :
−4
4
−3x + 4 = 0 ⇐⇒ x =
=
−3
3
4
−3x + 4 s’annule pour x = .
3
−15
= −3
5x + 15 = 0 ⇐⇒ x =
5
5x + 15 s’annule pour x = −3.
• Tableau de signes :
x
−∞
4
3
−3
−3x + 4
+
5x + 15
−
0
+
(−3x + 4)(5x + 15)
−
0
+
+
0
+∞
−
+
0
−
Conclusion :
4
(−3x + 4)(5x + 15) est de signe positif, soit (−3x + 4)(5x + 15) ≥ 0 pour x ∈] − ∞; ] ∪ [−3; +∞[
3
et
4
(−3x + 4)(5x + 15) est de signe négatif, soit (−3x + 4)(5x + 15) ≤ 0 pour x ∈ [ ; −3]
3
3
signe d’un quotient
3.1
méthode
• Rechercher les valeurs de x annulant chacun des facteurs et donner l’ensemble de définition.
• Dresser un tableau de signes avec les deux facteurs puis diviser :
Le quotient de deux nombres de même signe est positif (+).
Le quotient de deux nombres de signes différents est négatif (−).
3.2
exemple
Exemple 4 : : signe d’un quotient
2x − 1
Etudier le signe de
3x + 9
• Valeurs de x annulant chacun des facteurs :
1
2x − 1 = 0 ⇐⇒ x =
2
1
2x − 1 s’annule pour x = .
2
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Seconde-méthodes
Fiche méthode tableaux de signes
−9
= −3
3x + 9 = 0 ⇐⇒ x =
3
3x + 9 s’annule pour x = −3.
donc Df = R − {−3}
• Tableau de signes (sur R − {−3}) :
x
−∞
1
2
−3
2x − 1
−
3x + 9
−
(2x − 1)(3x + 9)
+
−
0
0
+
−
+
+
0
Attention à ne pas oublier la double barre pour la valeur interdite.
Conclusion :
2x − 1
2x − 1
1
est de signe positif, soit
≥ 0 pour x ∈] − ∞; −3[∪[ ; +∞[
3x + 9
3x + 9
2
et
2x − 1
2x − 1
1
est de signe négatif, soit
≤ 0 pour x ∈] − 3; ]
3x + 9
3x + 9
2
4/4
+∞
+