Séries numériques

Analyse : Chapitre 4
Séries numériques
I
Généralités sur les séries
1
Définitions
Définition 1
P
Soit u une suite réelle. On appelle série de terme général un , et on note
un , la suite (Sn )n∈N
définie par
n
X
Sn =
uk
k=0
Sn s’appelle la somme partielle d’indice n.
Définition 2
P
On dit que la série
un converge si la suite (Sn )n∈N est convergente. La limite de cette suite est
alors appelée somme de la série et on la note
+∞
X
un
n=0
Si la série ne converge pas, on dit qu’elle diverge.
Déterminer la nature d’une série signifie qu’il faut déterminer si la série est convergente ou divergente.
DéfinitionP3
Si la série
un converge on appelle reste d’indice n le réel :
Rn =
+∞
X
k=0
2
uk −
n
X
uk =
k=0
+∞
X
uk
k=n+1
Propriétés
Propriété
1
P
Soit
un une série convergente. Alors la suite (un )n∈N converge vers 0
Application :
Cette propriété est très utile pour prouver qu’une série diverge. En effet, si le terme général de la série
ne converge pas vers 0, on peut tout de suite affirmer que la série ne peut pas converger.
Attention la réciproque de cette propriété n’est pas vraie. Ce n’est pas parce que le terme général
P1
.
tend vers 0 que la série converge : → Contre-exemple la série
n
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Séries numériques
Propriété
P 2 P
Soient
un et
vn deux séries.P
P
- Pour tout réel λ 6= 0, les séries
λun et
un sont de même nature et si les séries convergent, on a :
+∞
X
λun = λ
n=0
- Si les deux séries
P
un et
P
+∞
X
un
n=0
vn sont convergentes alors la série
+∞
X
(un + vn ) =
n=0
+∞
X
un +
n=0
+∞
X
P
(un + vn ) est convergente et :
vn
n=0
Attention la réciproque de la deuxième propriété est fausse donc assurez-vous bien de la convergence
+∞
+∞
+∞
X
X
X
vn .
un +
(un + vn ) =
de toutes les séries avant d’écrire
3
n=0
n=0
n=0
Lien entre suite et série
Soit (un )n∈N une suite réelle.
Propriété 3
Soit (un )n∈N une suite réelle. La suite u est convergente ssi la série de terme général un+1 − un converge
et, en cas de convergence, on a :
+∞
X
(un+1 − un ) = lim (un ) − u0
n→+∞
n=0
Démonstration :
La somme partielle d’indice n de la série de terme général un+1 − un est une somme
télescopique et on a :
Sn =
n
X
(uk+1 − uk ) = un+1 − u0
(1)
k=0
On voit sur cette relation l’équivalence entre la convergence de la suite (un )n∈N et de la
suite (Sn )n∈N et en passant à la limite on a l’égalité annoncée dans la propriété.
2
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Séries numériques
II
Séries de références
1
Série géométrique et ses dérivées
Propriété 4
P n
Soit q ∈ R. La série
q s’appelle la série géométrique de raison q. Cette série est convergente ssi
|q| < 1 et on a alors :
+∞
X
1
qn =
1−q
n=0
Démonstration :
n
X
1 − q n+1
. Or, comme |q| < 1, on a q n+1 → 0 donc
1−q
k=0
1
et donc la série est convergente et sa somme
les sommes partielles convergent vers
1−q
1
vaut
.
1−q
Supposons |q| < 1. On sait que
qn =
2
Propriété P
5
• La série
nq n−1 s’appelle la série dérivée première de la série géométrique de raison q.
Cette série converge si et seulement si |q| < 1 et on a
+∞
X
nq n−1 =
n=0
1
(1 − q)2
• La série
n(n − 1)q n−2 s’appelle la série dérivée seconde de la série géométrique de raison
q. Cette série converge si et seulement si |q| < 1 et on a
P
+∞
X
n(n − 1)q n−2 =
n=0
2
2
(1 − q)3
Séries de Riemann
Théorème 1
Soit α un réel. La série
P 1
converge ssi α > 1. Ces séries sont appelées les séries de Riemann.
nα
Ce résultat sera démontré dans un chapitre sur les intégrales.
3
Série exponentielle
Théorème 2
Pour tout réel x, la série
P xn
converge et on a :
n!
+∞ n
X
x
n=0
n!
= ex
Cette série est appelée série exponentielle.
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4
Série harmonique
Propriété 6
P1
est appelée série harmonique. La série harmonique est une série divergente.
La série
n
Démonstration :
On note Sn la somme partielle d’indice n de cette série et on considère la fonction f définie
sur ]0; +∞[ par f (x) = ln(x).
1
1
On a f ′ (x) = et donc pour tout x ∈ [k; k + 1], 0 < f ′ (x) < . Ainsi, d’après l’inégalité
x
k
des accroissements finis, pour tout k entier naturel non nul :
ln(k + 1) − ln(k) 6
1
k
. On somme alors ces inégalités et on obtient, pour tout entier naturel n non nul :
n
X
(ln(k + 1) − ln(k)) 6
k=1
Or on a
n
X
n
X
1
k=1
k
= Sn
(ln(k + 1) − ln(k)) = ln(n + 1), donc Sn > ln(n + 1) et donc Sn → +∞.
k=1
La série harmonique est donc une série divergente.
2
Cette série est un très bon outil pour trouver des contre-exemples.
III
Séries à terme positifs - critères de convergence
Dans toute cette partie
1
P
un désigne une série à termes positifs, c’est-à-dire que pour tout n, un > 0.
Un premier critère
Propriété 7
La suite des sommes partielles est une suite croissante.
Démonstration :
On a Sn − Sn−1 = un > 0 donc la suite (Sn )n∈N est bien croissante
2
Théorème 3
Une série à termes positifs est convergente ssi ses sommes partielles sont majorées. Si la série diverge
alors elle diverge vers +∞.
2
Utilisation des relations d’ordre et de comparaison
Théorème
P 4 P
Soient
vn deux
P un et
Pséries telles qu’à partir d’un certain rang, 0 6 un 6 vn . Alors :
- Si P vn converge alorsP un converge.
- Si
un diverge alors
vn diverge.
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Théorème
P 5 P
Soient
vn deux
P un et
Pséries à termes positifs telles que un = o(vn ).
- Si P vn converge alorsP un converge.
- Si
un diverge alors
vn diverge.
Théorème
P 6 P
P
P
Soient
un et
vn deux séries à termes positifs telles que un ∼ vn . Alors les séries
un et
vn sont
de même nature.
Application :
Pour utiliser ces critères, il faut vérifier que la suite est bien à termes positifs et l’idée est ensuite
de se ramener par équivalent, négligeabilité ou inégalité à des séries de références, le plus souvent série
géométrique ou de Riemann.
Exemple 1:
1
1
Déterminer la nature de la série de terme général un =
exp
−1
n
n
On remarque tout d’abord que pour tout n, un > 0, on va donc chercher à utiliser un critère de
comparaison.
1
1
1
x
−1 ∼
= 0 on a exp
. On peut donc en déduire
On sait que e − 1 ∼ x, et comme lim
n→+∞ n
x→0
n→+∞ n
n
1
que un ∼ 2 .
n X
1
est une série de Riemann convergente car 2 > 1.
La série
n2
P
Grâce aux critères de comparaison on peut donc dire que la série
un converge.
3 Convergence absolue
P
un n’est plus forcément une série à termes positifs.
Définition
4
P
Soit
uP
n une série. On dit que la série converge absolument ou est absolument convergente si
la série
|un | est convergente.
Propriété
8
P
P
Soit
un une série. Si la série
un est absolument convergente alors elle est aussi convergente
Attention, encore une fois la réciproque de cette propriété est fausse.
Exemple 2:
(−1)n−1
est convergente.
Dans l’exercice 8 du chapitre 3, on a montré que la série de terme général un =
n
X
1
On remarque ici que |un | = donc la série
un est convergente mais pas absolument convergente.
n
Remarque P
:
P
Si une série
un est telle que le signe de un n’est pas constant alors P
on s’intéresse à
|un | qui est
une série à termes positifs. Si cette série converge alors
un converge mais si la série
P on peut dire que
des valeurs absolues diverge on ne peut rien dire sur
un .
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