Etats de mer

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Etats de mer

Etats de mer :
hydrodynamique et applications
directio
n
(azimu de vol
th)
Mesures de vagues et courant par le radar
à synthèse d'ouverture du satellite ENVISAT
(9 mars2003)
Cherbourg
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0
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3
Hs (m)
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-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
Vitesse du centroide Doppler (m/s)
par Fabrice Ardhuin,
Service Hydrographique et Océanographique de la Marine, Brest, France
et Philippe Bonneton,
CNRS, UMR EPOC, Bordeaux, France
22 septembre 2009
2
Table des matières
1 Introduction
1.1 Contexte géophysique . . . . . .
1.2 Mouvement des vagues : quelques
1.2.1 Analyse vague par vague .
1.2.2 Analyse spectrale . . . . .
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2 Propriétés de la houle linéaire
2.1 Description mathématique des vagues . . . . . . . . . . . . .
2.2 Equations Eulériennes pour le mouvement associé aux vagues
2.3 Petites vagues au-dessus d’un fond plat : la théorie d’Airy . .
2.3.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Interprétation physique . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Propriétés cinématiques : influence du paramètre kD .
2.3.4 Et dans l’air ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Dispersion et énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Energie et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.7 Dérive de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.8 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.9 Pour aller plus loin : extensions de la théorie d’Airy .
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3 Vagues aléatoires : théorie et méthodes de mesures
3.1 Le spectre des vagues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Nombre d’onde ou fréquence ? . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Quelques spectres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Rudiments d’analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Spectre et transformée de Fourier discrète . . . . . . .
3.2.2 Estimation pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Utilisation du spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Relations entre le spectre et l’analyse vague par vague
3.3.3 Paramètres spectraux et intégraux : Hs , Tp ... . . . .
3.4 Observation de vagues aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 La perche à houle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 La bouée houlographe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Le capteur ”P-U-V” . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Réseaux de capteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 L’altimètre satellite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.6 Spectres par radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.7 Synthèse d’ouverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.8 Radar en incidence rasante . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.9 Radar à onde de surface . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Les limitation de la description des vagues par un spectre . .
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4 Vagues observées : paramètres principaux et
4.1 Croissance avec le fetch . . . . . . . . . . . .
4.2 Développement complet et âge des vagues . .
4.2.1 Limitation par le fetch . . . . . . . . .
4.2.2 Limitation par le temps . . . . . . . .
4.2.3 Double limitation . . . . . . . . . . . .
4.3 Houle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Spectres en fréquence . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Les pionniers . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 L’ère moderne . . . . . . . . . . . . .
4.5 Spectres directionnels . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Spectres des houles . . . . . . . . . . .
4.6 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Paramètres déterminants . . . . . . .
4.6.2 Forme spectrale . . . . . . . . . . . . .
TABLE DES MATIÈRES
spectres
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5 Génération et atténuation des vagues par le vent
5.1 Pression dans l’air et croissance des vagues . . . .
5.1.1 Pression sinusoı̈dale résonante . . . . . . . .
5.1.2 Pression sinusoı̈dale non-résonante . . . . .
5.1.3 Pression aléatoire de spectre continu . . . .
5.1.4 Pression induite par les vagues . . . . . . .
5.2 Observations et paramétrages de la génération . .
5.3 Effet de la modulation de la tension de vent . . . .
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6 Evolution faiblement non-linéaire des vagues
6.1 Théorie des interactions vague-vague . . . . . . .
6.2 Effet des propriétés conservatives . . . . . . . . .
6.3 Autres propriétés des interactions vagues-vagues
6.4 Calcul pratique des interactions vague-vague . . .
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7 ”Dissipation” d’énergie
7.1 Effet de la viscosité dans l’eau . . . . . . . . . . . . .
7.2 Effets de la turbulence dans l’eau . . . . . . . . . . .
7.3 Déferlement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Critères de déferlement . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Types de déferlements . . . . . . . . . . . . .
7.4 Paramétrage de la dissipation par déferlement . . . .
7.4.1 Approche énergétique globale . . . . . . . . .
7.4.2 Statistiques du déferlement par petits fonds .
7.4.3 Statistiques du déferlement par grands fonds
7.4.4 Approche spectrale . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Bilan spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Evolution des vagues du large vers la côte
8.1 Levage (‘shoaling’) . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Réfraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Réflection partielle par la topographie
8.3.2 Frottement sur le fond . . . . . . . . .
8.3.3 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Modèles non-linéaires de propagation . . . . .
8.4.1 Equations de Boussinesq et KdV . . .
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9 Interactions vagues - courants
9.1 Effets du courant sur les vagues : propagation . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Courant uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Variation horizontale du courant et levage . . . . . . . . . . . .
9.1.3 Variation horizontale du courant et réfraction . . . . . . . . . .
9.1.4 Vagues sur un courant variant verticalement . . . . . . . . . . .
9.2 Effets des vagues sur la circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Equations pour le mouvement moyen intégré sur la verticale . .
9.2.2 Tensions de radiations pour des vagues linéaires . . . . . . . . .
9.2.3 Energie totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Effet des courants sur les vagues : énergie et action . . . . . . . . . . .
9.4 Séparation de la quantité de mouvement du courant et des vagues . .
9.4.1 Equations intégrées sur la verticale : vagues . . . . . . . . . . .
9.4.2 Equations intégrées sur la verticale : mouvement moyen . . . .
9.4.3 Conséquences pour la réfraction et le levage par la topographie
9.5 Mouvements Lagrangiens et Eulériens . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Flux de masse et de quantité de mouvement . . . . . . . . . . .
9.5.2 Moyenne Lagrangienne généralisée . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Couche limite de fond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.1 Raccordement avec la couche limite permanente . . . . . . . .
9.7 La couche mélangée océanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.1 Mélange et dérive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.2 Circulations de Langmuir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.3 Etat de la mer et flux océan-atmosphère . . . . . . . . . . . . .
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10 Déferlement en zone littorale
10.1 Déferlement bathymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Description expérimentale des vagues en zone de surf . . . . . . . .
10.2.1 Présentation schématique des différents domaines de la zone
10.2.2 Rouleau de déferlement (roller) . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 Hauteur des vagues contrôlée par la profondeur d’eau . . .
10.2.4 Profils de la surface des vagues . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.5 Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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de surf
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11 Vagues et circulation littorale
11.1 Forçage de la circulation par les vagues . . .
11.2 Décôte et surcôte . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Equations pour l’écoulement moyen
11.2.2 Application aux variations du niveau
11.2.3 Courant littoral et instabilités . . . .
11.2.4 Dérive de fond . . . . . . . . . . . .
11.2.5 Ondes longues . . . . . . . . . . . .
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135
12 Modélisation numérique spectrale des états de mer
12.1 Forçages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Champs de vents : analyses, prévisions, ré-analyses
12.1.2 vents côtiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.3 vents observés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Aspects numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Choix de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2 Discrétisation spectrale . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.3 Discrétisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.4 Schémas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Paramétrages physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Paramétrage de Sin . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.2 Paramétrage de Snl . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.3 Paramétrage de Sds . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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moyen
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vi
12.4.1 Grande échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.4.2 Zone côtière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.4.3 Paramètres ”exotiques” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
13 Effets de la nonlinéarité des états de mer
13.1 Analyse dimensionnelle et importance des non-linéarités . .
13.2 Houle régulière d’amplitude finie . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Théorie de Stokes pour les faibles non-linéarités . . .
13.2.2 Méthodes de calcul des houles régulières d’amplitude
13.2.3 Cinématique des houles d’amplitude finie . . . . . .
13.2.4 Propriétés intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.5 Correctifs aux vagues d’Airy . . . . . . . . . . . . .
13.3 Théorie nonlinéaire pour la houle aléatoire . . . . . . . . . .
13.3.1 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.2 Harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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finie
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14 Houles et bruit sismique
159
14.1 Génération de bruit sismique par une houle partiellement stationnaires . . . . . . . . . . . 159
15 Compléments sur la génération des vagues par le vent
15.1 Théorie de Phillips : de la tubulence du vent à l’énergie des vagues
15.2 Couplage vent-vagues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.1 Equation de Orr-Sommerfeld ou de Rayleigh . . . . . . . .
15.2.2 Interprétation de Lighthill : Force de vortex . . . . . . . . .
15.3 Effet d’abri sans décollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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16 Interactions vagues - courants en trois dimensions
16.1 Equations en trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.1 Equations glm2-RANS pour ∂b
u/∂z = 0 . . . . . . . . . .
16.1.2 Transformation de coordonnée implicite associée au GLM
16.1.3 Comparaison avec les équations 2D . . . . . . . . . . . . .
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A Tables utiles
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Préambule
Le présent ouvrage est destiné à un public de formation scientifique, typiquement de second cycle
universitaire ou école d’ingénieur. Il a pour but de présenter l’état des connaissances actuelles sur la dynamique des états de mer et de ses applications pratiques en géophysique (vitesses d’agitation, bruit microsismique, télédétection, circulation littorale...). Toutefois, il s’agit d’abord d’un cours d’océanographie,
pas d’un manuel d’ingénierie côtière ou offshore.
La première série de chapitres (1 à 10) est un cours introductif sur les états de mer. De nombreux
développements et compléments sont ensuite proposés pour les plus curieux. Le document est d’abord
conçu pour faciliter sa lecture sous forme électronique, in incluant, autant que possible des liens hypertexte
internes, et aussi vers des documents cités ici et disponible gratuitement sur l’internet. Ce document est
conçu comme un cours, et sert de support pédagogique pour des cours donnés à l’Université de Bretagne
Occidentale et à l’ENSIETA.
Parce que ce document colle au mieux à l’actualité de la recherche, il est en évolution permanente.
Cette évolution conduit malheureusement à la présence d’erreurs. Merci de me les signaler. Nous remercions déjà Nicolas Rascle, Jean-François Filipot, Nadine Paugam et Clément Gandon pour de nombreuses
corrections.
1
2
Chapitre 1
Introduction
1.1
Contexte géophysique
Depuis les rides à la surface d’une flaque d’eau jusqu’aux déferlantes sur la plage nous avons tous vu
des vagues. Elles sont familières et parfois menaçantes voire meurtrières pour les navigateurs, pêcheurs
anonymes ou professionnels de la course au large (e. g. Pierson, 1972; Greenslade, 2001). Les vagues
peuvent exercer des forces importantes : allez donc rester debout dans l’eau, sur une plage, devant une
vague de deux mètres qui déferle. Et deux mètres c’est encore bien peu, la plus haute vague générée
par le vent qui ait été mesurée en mer mesurait 32.3 m (Liu et al., 2008). Connaı̂tre et prévoir les
caractéristiques des vagues est donc un besoin important pour les activités marines, que ce soit pour
préparer une sortie en mer, dimensionner un ouvrage tel qu’une digue ou une plate-forme pétrolière,
dessiner un navire. Les vagues, par leurs effets sur les flux entre l’océan et l’atmosphère, ont aussi des
effets directs ou indirects sur les circulations de l’océan et de l’atmosphère, et donc le climat. Les vagues
sont aussi la source principale du bruit de fond sismique qui agite la croûte terrestre, et un des moteurs
essentiels de la dynamique sédimentaire marine. Comme tous les phénomènes ondulatoires, les vagues
peuvent se définir par leur
– génération,
– propagation
– et dissipation.
Le but du présent ouvrage est de décrire et faire compendre ces trois aspects de façon qualitative et
quantitative. C’est cette compréhension quantitative qui permet une prévision précise des statistiques
locales associée aux vagues, ce que l’on appelera l’état de la mer, ainsi que des flux d’énergie et de
quantité de mouvement entre l’atmosphère, l’océan et la terre solide.
On appellera ici ”vagues” les ondes dont la génération est directement ou indirectement associée au
vent. Ces oscillations sont irrégulières, avec un temps entre deux crêtes, la période T , qui est typiquement
inférieure à 30 secondes, on verra pourquoi. On s’intéressera aussi aux ondes longues, de période 10 secondes à 10 minutes, qui sont liées aux modulations de l’amplitude des vagues. Pour tous ces mouvements
la distance moyenne entre deux crêtes, la longueur d’onde moyenne L, augmente avec la période. Pour
les vagues, cette longueur d’onde varie de quelques centimètres à près d’un kilomètre.
La propagation de ces vagues est intimement liée aux force de rappel qui entretient le mouvement.
La gravité, qui ”travaille contre les variations de hauteur de la surface”, est la force dominante pour les
ondes les plus longues. Une autre force vient la relayer dès que la courbure de la surface est importante : la
tension de surface (ou force capillaire) qui vient des propriétés thermodynamiques (y compris chimiques)
de l’interface entre les deux fluides que sont l’eau et l’air, son effet principal est de ”travailler contre la
courbure de la surface”. Cette force explique, entre autres, que les gouttes d’eau sont rondes car c’est
la forme géométrique dont la courbure est minimale pour un volume donné. Cette tension de surface
n’est importante que pour les vagues très courtes qui sont appelées ondes capillaires, avec des longueurs
d’ondes de quelques centimètres ou moins (dans le cas d’une interface air-eau à température et pression
standards).
Que ce soit la gravité ou la tension de surface, le travail de ces forces produit un mouvement, avec
une énergie cinétique associée. Les oscillations de l’interface air-eau sont ainsi maintenues par un échange
entre énergie cinétique et énergie potentielle (gravitationnelle et/ou capillaire), jusqu’à ce que ces énergies
soient dissipées, on verra comment. Les vagues sont donc, pour le scientifique, des ondes de gravité, des
ondes de gravité-capillarité, ou bien encore des ondes capillaires pour les plus courtes.
3
4
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
21
pression (m)
20.5
20
19.5
19
18.5
0
100
200
300
400
500
temps (s)
600
700
800
900
1000
Fig. 1.1 – Exemple de mesure de pression convertie en hauteur d’eau, par 20 m de fond environ dans
l’anse de Berthaume, le 31 janvier 2004.
On voit la superposition d’une houle irrégulière, de hauteur significative Hs = 2, 85 m et de la marée
qui descend doucement, d’environ 20 cm sur les 20 minutes de cet enregistrement (en rouge : tendance
linéaire du signal de pression).
Dans la famille des ondes de gravité, à l’autre extrême des grandes échelles, les oscillations lentes de
la surface font intervenir la force de Coriolis qui est liée à la rotation de la terre sur elle même (Ondes
de Kelvin et Poincaré). Ces ondes très longues sont engendrées par le mouvement des astres (comme la
marée) ou les variations des vents à grande échelle, par un mécanisme très différent de la génération des
vagues. Entre les vagues et ces oscillations très lentes, on trouve, heureusement rarement, des ondes de
gravité importantes, dont les longueurs d’ondes sont de plusieurs dizaines de kilomètres au large : les razde-marée ou tsunamis. Ils sont provoqués par une perturbation initiale (glissement de terrain sous-marin,
tremblement de terre, chute de météorite) qui créent une dépression et une sur-élévation de la surface
océanique, généralement faible, mais homogène sur une grande distance. Cette dépression rayonne un
train d’onde de l’ordre de cinq vagues successives, de plusieurs dizaines de minutes de période, et qui
s’amplifie en arrivant sur la côte : si vous voyez la mer se retirer rapidement, ne la suivez pas car une
grosse vague va suivre.
En pratique l’océan est agité par tous ces phénomènes. Heureusement, il est souvent facile de les
discerner et de les étudier séparément. La séparation entre les les vagues et les ondes de Kelvin excitées
par les mouvements relatif de la terre, de la lune et du soleil - la marée - est bien justifiée par la grande
différence des échelles de temps et d’espace. Cette différence est illustrée par la figure 1.1. On note tout
de même que les ondes de Kelvin qui constituent l’essentiel des marées ont des propriétés très proches
des ondes de gravité pures, et les Tsunamis - une fois générés - ont exactement les mêmes propriétés que
les vagues que nous allons étudier ici.
Par contre, la séparation avec les ondes capillaires est assez artificielle et vise essentiellement à simplifier les calculs ci-dessous. Si pour beaucoup de phénomènes associés aux vagues la tension de surface peut
être négligée, elle reste tout de même très importante pour la dissipation de l’énergie des vagues et la
rugosité de la surface à l’échelle de quelques centimètres, et donc la télédétection par radars micro-ondes
(bandes L à W), très utilisée pour la mesure du niveau de la mer (altimétrie), de la vitesse du vent
(diffusiométrie ou radiométrie), et de la salinité de surface (radiométrie).
La propagation des vagues est bien connue grâce aux travaux de Stokes, Airy, Rayleigh et Boussinesq
au XIXeme siècle. Après des premiers travaux pour établir une méthode de prévision des houles au Maroc
dans les années 1920 (Gain, 1918; Montagne, 1922), Sverdrup et Munk (1947) en Californie, et leurs homologues du Groupe W de l’amirauté britannique, dont Barber et Ursell (Ursell, 1999), ont véritablement
fondé la science moderne des vagues en s’attaquant de front à l’ensemble des phénomènes qui interviennent dans l’évolution des vagues. Ces travaux étaient motivés par la préparation des débarquements
alliés d’abord - comme c’est curieux - au Maroc aussi, en 1942, puis en Normandie et dans le Pacifique.
Les premiers modèles numériques modernes ont été développés - entre autres - par un Franco-Marocain,
1.2. MOUVEMENT DES VAGUES : QUELQUES OBSERVATIONS
5
Gelci (Gelci et al., 1957).
Aujourd’hui on prévoit assez bien les caractéristiques principales de l’état de la mer, et ses conséquences
(forces sur une structure, mouvements d’un navire, portée d’un radar, ...), mais le détail des phénomènes
de génération et dissipation des vagues restent en partie mystérieux.
On assiste actuellement à un regain d’intérêt pour les interactions entres vagues, courants, turbulence,
sédiments et atmosphère, depuis l’échelle globale jusqu’à l’échelle de la plage. Il faut souhaiter que
cette réconciliation entre les différentes sous-spécialités de la géophysique sera durable car on ne peut
comprendre l’environnement marin que dans sa complexité. A ce titre, la ”redécouverte” de résultats des
années 1970 sur le transport de masse induit par les vagues (par exemple l’importance du transport de
Stokes, voir McWilliams et Restrepo, 1999), illustre combien est nuisible la spécialisation à outrance des
domaines scientifiques et des institutions, mais elle enseigne aussi que les frontières entre les différentes
spécialités sont riches en avancées importantes. Nous espérons que, après le rapide tour d’horizon des
connaissances actuelles, il ne manquera plus au lecteur de ces lignes qu’un peu de courage pour continuer
cette exploration dans la lignée des Stokes, Boussinesq, Munk, Longuet-Higgins, Hasselmann, Zakharov,
Phillips et bien d’autres savants moins connus mais sans lesquels on ne serait jamais arrivé au niveau
de connaissance actuel. Toutefois, ce qui suit pourra parfois paraı̂tre mystérieux si l’on a pas déjà dans
sa boı̂te à outils des éléments de calcul différentiel, de mécanique des fluides et une petite pratique de
l’analyse dimensionnelle, cette dernière étant le veritable ”couteau suisse” du bon physicien.
Suivant le sujet d’intérêt, on pourra consulter les ouvrages suivants (en anglais) pour de précieux
compléments,
– Kinsman (1965) sur les principes généraux, et l’observation. Bien que un peu daté, cet ouvrage est
très bien écrit et facile d’accès
– Phillips (1977) sur l’ensemble des processus importants pour la couche de surface de l’océan (vagues,
ondes internes, turbulence ...)
– Mei (1989) sur les problèmes de propagation des vagues, transport de masse et interactions avec
structures, plutôt dans un contexte très côtier ou portuaire
– Dean et Dalrymple (1991) pour un cours très pédagogique plutôt axé vers l’ingénierie marine
– Komen et al. (1994), sur la prévision numérique des vagues, essentiellement au large
– Komar (1998), sur la dynamique littorale et le transport sédimentaire : un excellent ouvrage pour
ceux qui n’ont pas pas de connaissances approfondies en physique.
– Young (1999), essentiellement sur des développements récents concernant la prévision des vagues
– Janssen (2004), pour tout ce qui touche à la génération des vagues par le vent et leur évolution
non-linéaire, avec quelques éléments intéressants sur la prévision du vent et des vagues.
– le Coastal Engineering Manual (U. S. Army Corps of Engineers, 2002), qui remplace le fameux
Shore Protection Manual. Edité par le U.S. Army Corps of Engineers, l’organisme des Etats-Unis
en charge de la protection des côtes et des constructions de ports et canaux, cet ouvrage combine
un exposé des principes généraux ainsi que des formules empiriques pour le génie côtier. Par ailleurs
le CEM est disponible gratuitement sur Internet.
On trouve par ailleurs de nombreux supports pédagogiques sur internet, avec en particulier des applets
illustrant le mouvement des ondes. Une liste indicative de sites intéressants sera fournie avec les exercices,
pour chaque chapitre.
Nous allons maintenant demander à la marée et aux courants de suspendre leurs mouvements pour
nous laisser étudier les vagues séparément. On verra ensuite (chapitres 9 et 11) comment les vagues
interagissent avec les autres mouvements de l’océan.
1.2
Mouvement des vagues : quelques observations
Les vagues dans l’océan sont des mouvements dont l’irrégularité a longtemps freiné l’étude. La figure
1.1 en donne un bon exemple. Alors que jusqu’en 1945 on formulait les observations en terme de vague
la plus haute, la variabilité des vagues n’a été introduite dans les méthodes de mesure et de prévision
qu’après la seconde guerre mondiale. On distingue deux approches.
1.2.1
Analyse vague par vague
La première est une analyse dite ”vague par vague” qui s’intéresse aux statistiques de vagues individuelles, définies, car il faut bien une définition, par l’intervalle de temps entre deux instants successifs
où, au point de mesure, la surface traverse le niveau moyen en descendant (”zero down-crossing”). Le
fait de choisir la descente est assez arbitraire, mais vient du fait que la partie la plus dangereuse d’une
6
6
Déplacement vertical (m)
z (m)
4
2
0
-2
-4
300
350
400
450
temps (s)
500
550
Fig. 1.2 – Principe de l’analyse vague par vague : exemple de déplacement mesuré par une bouée
houlographe, qui suit le mouvement de la surface, au large de Crozon en mai 2004.
0.2
dp(Hv)
0.15
H =H
s
0.1
=6m
1/3
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
H (m)
v
Fig. 1.3 – Distribution de Rayleigh : dp × dH(Hv ) est la probabilité de trouver une vague de hauteur
comprise entre Hv et Hv + dH. En rouge : le 1/3 des vagues les plus hautes dont la moyenne H1/3 est la
hauteur significative aussi notée Hs . Par la suite on définira plutôt Hs à partir de l’énergie des vagues,
avec des valeurs très proches.
7
vague est la face avant, plus pentue lors du déferlement et donc on souhaite ainsi avoir une face avant
”complète”. Pour chacune de ces vagues on peut définir une période T , une hauteur H, etc. On trouve
alors des lois statistiques pour les distributions des hauteurs, comme la probabilité p(H) qu’une vague
ait une hauteur entre H et H + dH. En particulier, pour un état de mer statistiquement stationnaire, la
surface peut être décrite par une superposition d’un grand nombre de composantes sinusoı̈dales quasiment indépendantes, et on peut, en première approximation, appliquer le théorème des grands nombres,
familier aux statisticiens. Nous y reviendrons. Ainsi, les élévations successives de la surface (qui sont alternativement positives et négatives) suivent une distribution (presque) Gaussienne, et les hauteurs (qui
sont toujours positives) suivent (presque) une loi de Rayleigh (figure 15.8), avec la densité de probabilité
2
2
2H
exp−H /Hrms .
(1.1)
2
Hrms
R∞
Cette densité de probabilité est normalisée de telle sorte que 0 dP dH = 1. La loi de Rayleigh est
généralement une bonne approximation pour l’essentiel de la distribution. Quand on s’intéresse aux
valeurs extrêmes on utilisera plutôt une distribution de Tayfun (1980), qui est plus réaliste car elle prend
en compte l’essentiel des aspects non-linéaires (qui induisent des corrélations entre les composantes de
l’état de la mer, et donc une déviation par rapport à une distribution Gaussienne des élévations).
Une propriété de la distribution de Rayleigh est fort utile pour les calculs de génie côtier : la probabilité
b est donnée par,
que la hauteur dépasse un seuil H
b rms 2
b = e− H/H
.
(1.2)
P (H > H)
dP (H) =
b correspondant à une fraction de vagues données. Ainsi,
Cela permet de calculer aussi le seuil de hauteur H
1/2
b
la hauteur H1/3 au-dessus de laquelle se trouvent le 1/3 des vagues les plus hautes est (ln(3)) Hrms soit
environ 1.05×Hrms . Par contre il faut intégrer (1.2) pour trouver la grandeur la plus couramment usitée,
la moyenne du 1/3 des vagues les plus hautes H1/3 , souvent aussi noté Hs pour hauteur significative, car
elle correspond à l’impression visuelle donnée par la mer, seul moyen de mesure jusqu’aux années 1940.
La moyenne de la fraction 1/x des vagues les plus hautes, toujours pour une distribution de Rayleigh est
h
i i
h
√
1/2
1/2
(− ln(1/x)) + π × erfc (ln(x))
/2 Hrms
(1.3)
avec erfc la fonction d’erreur complémentaire. Soit, pour x = 1/3, H1/3 = 1.4157 × Hrms .
En effet, on résume souvent la distribution p(H) à 1 ou 2 nombres : la hauteur moyenne H1/3 du
tiers des vagues les plus hautes, on donne aussi souvent la plus grande des hauteurs, Hmax qui dépend
de la longueur de l’enregistrement (plus on observe longtemps plus Hmax a des chances d’être grand). Si
Hmax dépasse 2.1H1/3 , on parle de vague scélérate, car c’est une hauteur assez peu fréquente : 1 vague
sur 5700 d’après la théorie linéaire. En pratique, ces vagues de grande hauteur sont observées un peu
plus souvent, car les vagues ne sont pas exactement linéaires (Tayfun, 1980).
Le génie côtier et le génie océanique s’intéressent a des vagues très rares dont la force peut détruire
une installation pétrolière, une digue, un bateau. La taille de ces vagues extrêmes détermine l’architecture
et la résistance des matériaux à choisir lors de la construction... et donc le prix de la chose. En somme,
au moins en haute mer, on sait que si on attend assez longtemps il y arrivera bien une vague assez grande
pour détruire n’importe quel ouvrage. Tout est alors question de temps et de probabilités. On s’intéresse
ainsi à la vague centenaire, vague dont la hauteur est telle que son temps moyen de retour est cent ans.
Aux Pays-Bas, menacés de submersion, la loi impose à certaines digues qui protègent le pays de résister
à la vague qui ne reviendrait en moyenne que tous les 10000 ans ! Avec de telles exigences, on comprend
mieux pourquoi les néerlandais sont très présents dans la recherche contemporaine sur les vagues et le
génie côtier.
Pour ces évènements extrêmes (vague annuelle, décénale ... ou décamillénaire) la loi de Rayleigh ne
suffit plus car l’état de la mer n’est pas statistiquement homogène à ces échelles de temps et la hauteur
des vagues dépend des statistiques d’évènements météorologiques extrêmes (tempêtes, ouragans ...).
1.2.2
Analyse spectrale
L’autre moyen de représenter la nature aléatoire des vagues est l’analyse spectrale. Son succès doit
beaucoup à la diffusion de l’informatique dans les années 1960 et à l’élégant algorithme de transformée
de Fourier rapide (FFT en anglais). L’enregistrement de hauteur d’eau est décomposé en une superposition d’ondes sinusoidales dont les propriétés sont très bien connues. Le spectre des vagues est alors la
8
1
0.5
0
-0.5
-1
vitesse u (m/s)
vitesse v (m/s)
pression relative p/(ρg) - z (en mètres d'eau)
-1.5
0
50
100
150
200
250
temps (s)
300
350
400
450
500
Fig. 1.4 – pression et vitesse au fond, correspondant à la figure 1.1.
12
Spectre d élévation à partir de la pression
Spectre d élévation à partir de la vitesse
10
2
E(f) (m /Hz)
8
6
4
2
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
f (Hz)
0.14
0.16
0.18
0.2
Fig. 1.5 – Spectre des vagues correspondant à la figure 1.1. Le décrochage brutal pour f > 0.18 Hz vient
du fait que l’instrument, posé sur le fond, ne peut mesurer correctement les vagues de haute fréquence
car leur signal est fortement atténué avec la profondeur. Ainsi, les pressions et vitesses au fond pour
f < 0.18 ont été converties en élévation de surface, alors que pour f > 0.18 il s’agit de pression au fond.
9
E(,) at VECTOR_1" (48º39.00‘N
Hs: 2.85m
fp:0.090 Hz
Mean dir. at fp: 225 deg
Spread at fp: 25 deg
0.20
0
f (Hz)
0.15 0.10
10
0.05
1º49.20‘ ) W
01/31/2004 14:00 UTC
0.00
20
30
E(f,θ) (m2 / Hz / rad)
40
50
Fig. 1.6 – Spectre directionnel des vagues correspondant à la figure 1.4, et estimé par la méthode de
l’entropie maximale (Lygre et Krogstad 1986). Sur ce diagramme, la direction des zones grisées figure la
direction d’où vient la houle, tandis que la distance au centre représente la fréquence f = 1/T . Le niveau
de gris donne la densité d’énergie dans cette partie du spectre : on parle de densité spectrale.
répartition de l’énergie sur un ensemble de fréquences et directions. L’aspect directionnel nécessite des
mesures complémentaires aux mesures de pression : par exemple la vitesse (figure 1.4).
Alors que les vagues sont irrégulières, le spectre est relativement régulier, il varie assez lentement,
en quelques heures. Cette régularité, qui contraste avec le mouvement apparemment irrégulier de la
surface, permet une modélisation numérique prédictive. En ne conservant que l’énergie des vagues et
leur répartition spectrale pour obtenir une mesure condensée du champ de vagues, on a forcément perdu
de l’information : on ne peut pas reconstituer la surface exacte à partir du spectre, en particulier parce
qu’on ne garde pas les phases. Pour des phases aléatoires, ce n’est pas très grave, on peut reconstituer
une surface qui ressemble beaucoup à la vraie surface, au sens où elle est statistiquement identique. En
réalité les phases ne sont pas tout à fait aléatoires, et les vagues sont légèrement asymétriques, plus
pentues d’un côté que de l’autre, et avec des crêtes plus pointues que les creux (e.g. Agnon et al., 2005).
Pour la plupart des applications ces effets peuvent être négligés.
Il est donc important d’avoir à l’esprit ces deux approches. L’analyse vague par vague devient indispensable quand on aborde des phénomènes, tel que le déferlement, liés à des seuils de vitesses ou de
courbure de la surface (voir chapitres 5.7.3 et 10). Dans ce qui suit on utilisera surtout l’analyse spectrale
qui est bien adaptée à la prévision des vagues et à l’étude des réflexions d’ondes électromagnétiques par
la surface. Il est donc important de connaı̂tre les propriétés des ondes sinusoı̈dales qui sont à la base de
l’analyse spectrale.
10
Chapitre 2
Propriétés de la houle linéaire
2.1
Description mathématique des vagues
Après avoir parlé d’échelle de temps, nous abordons les échelles d’espace et nous allons voir que deux
quantités importantes, la longueur d’onde L et la période T sont intimement reliées, et leur relation est
très généralement proche de celle que nous allons établir pour des petites vagues. ”Petit” est toujours
relatif, et il s’agit ici de vagues pour lesquelles le produit ka est faible, avec a l’amplitude et k = 2π/L le
nombre d’onde, ainsi que le rapport a/D de l’amplitude et de la hauteur d’eau locale D = H + ζ, avec
H la profondeur et ζ la hauteur moyenne de la surface libre.
Ces petits paramètres sont importants et on les retrouvera souvent. On appelle cambrure le paramètre
ka (ce qui est un peu plus expressif que ”slope” en anglais). On peut aussi combiner ces deux nombres
adimensionnels pour en trouver un autre, la profondeur adimensionnelle kD.
Même au dessus de fortes pentes, les vagues se propagent à peu près comme si le fond était localement
plat, pour l’instant D sera donc constant. Le modèle théorique que nous allons détailler a été donné en par
Airy au XIXeme siècle. Il offre l’avantage d’être linéaire : on peut donc superposer différentes solutions
pour décrire l’état réel de la mer, mais surtout il explique l’essentiel du mouvement des vagues, en
particulier au large en l’absence de vent, sans être non plus trop loin de la réalité en zone de déferlement.
Avant de se lancer dans les calculs, nous ferons deux dernières remarques. La première est sur le
fait que les solutions approchées n’existent que sur le papier : en fait toutes les vagues régulières sont
instables, à des degrés divers, avec une instabilité d’autant plus rapide que leur amplitude est forte, cet
aspect est évoqué plus en détails au chapitre 6. Les vagues régulières offrent tout de même une bonne
approximation des vagues réelles, tant qu’on s’intéresse à des temps d’évolution assez courts.
La seconde remarque porte sur le choix du cadre Eulérien : la théorie Lagrangienne linéaire est
beaucoup plus précise que la théorie Eulérienne du fait du simple équilibre - en eau profonde - entre
le gradient de pression et l’accélération subie par une particule fluide. Ainsi von Gerstner (1809) a
déterminé une solution qui satisfait exactement la condition p = 0 à la surface, mais avec un rotationnel
non nul, qu’il suffit de compenser par l’ajout d’un courant cisaillé. Le calcul et l’utilisation de l’approche
Lagrangienne sont toutefois plus complexes, mais il est intéressant que constanter que dans le cadre
Eulérien la conservation de la masse est linéaire et la conservation de la quantité de mouvement est
non-linéaire, tandis que dans le cadre Lagrangien c’est l’inverse.
2.2
Equations Eulériennes pour le mouvement associé aux vagues
Notre point de départ est la combinaison des équations de conservation de la quantité de mouvement
et de la masse appliquées à l’océan, cette dernière étant réduite à une divergence nulle de la vitesse car
on considère que la densité de l’eau est constante et que les écoulements sont incompressibles (on néglige
les ondes sonores). La position est donnée par le vecteur horizontal à deux composantes x = (x, y) et la
position verticale z, et les vitesses sont leurs dérivées temporelles u = (u, v) et w. En considérant l’eau
de mer comme un fluide parfait, on peut appliquer les équations de Navier-Stokes :
∂u
1
∂2u
∂u
+ u·∇u + w
= − ∇p + ν ∇2 u + 2 ,
(2.1)
∂t
∂z
ρw
∂z
∂w
∂w
1 ∂p
∂2w
+ u·∇w + w
= −g −
+ ν ∇2 w +
,
(2.2)
∂t
∂z
ρw ∂z
∂z 2
11
12
CHAPITRE 2. PROPRIÉTÉS DE LA HOULE LINÉAIRE
∂w
= 0,
(2.3)
∂z
où ρw est la masse volumique de l’eau et ∇ est l’opérateur gradient horizontal. On a donc quatre équations
scalaires (2.1 a deux composantes) pour les quatre inconnues que sont u, v, w et p. Le problème est donc
bien posé en rajoutant les conditions aux limites de continuité des vitesses et des contraintes (pression
et tension de cisaillement), et des conditions initiales. Au fond, pour commencer, nous imposerons un
glissement libre
w = −u·∇h sur z = −H (x)
(2.4)
∇·u +
qui dans le cas présent où h est constant se simplifie en w = 0 à z = −h. Pour simplifier, on suppose que
pour tout x il n’existe qu’une seule valeur z = ζ où se trouve l’interface entre l’air et l’eau (ce qui exclu
un déferlement plongeant). La surface libre est une surface matérielle : toute particule qui s’y trouve y
reste. Cela peut s’exprimer par la nullité de la dérivée Lagrangienne de z − ζ,
d
∂ζ
(z − ζ) = w − u·∇ζ −
= 0 sur
dt
∂t
z = ζ.
(2.5)
On voit bien que le déplacement vertical de la surface ∂ζ/∂t est la combinaison de la vitesse verticale w
et de l’advection horizontale de la surface u·∇ζ.
A cette condition cinématique s’ajoute les conditions dynamiques, qui, en négligeant la tension en
surface (due au vent) et la tension de la surface, se réduisent à la continuité de la pression que nous
supposons, pour commencer, égale à une pression atmosphérique connue pa uniforme,
p = pa
sur
z = ζ.
(2.6)
Après toutes ces hypothèses simplificatrices, nous allons enfin supposer que ρw est constant, ce qui
est le cas dans l’océan à quelques millièmes près, et surtout que le mouvement est irrotationnel, de
telle sorte que la vitesse dérive d’un potentiel φ, tel que u = ∇φ et w = ∂φ/∂z. Dans cette notation
et celles qui suivront, les opérateurs différentiels classiques (vecteur gradient ∇, Laplacien ∆ ...) sont
restreints au plan horizontal afin de simplifier les notations. Cette hypothèse de mouvement irrotationnel
permet de simplifier les équations du mouvement. Elle a été confirmée par toutes les observations de
vagues naturelles qui sont effectivement quasi-irrotationnelles, sauf après un déferlement, et dans les
couches limite au fond et près de la surface libre. Ailleurs une très faible composante rotationnelle vient
de la rotation de la Terre et de la présence de courants rotationnels. Il faut noter que cette condition
n’est nécessaire qu’à un instant donné : un mouvement initialement irrotationnel reste irrotationnel. On
suppose enfin, pour commencer, que les termes visqueux des équations de Navier-Stokes sont négligeables :
tout mouvement significatif lié aux vagues fait intervenir des vitesses U et des échelles de longeur L
importantes, si bien que le nombre de Reynolds U L/ν est généralement très grand (de l’ordre de 104 ou
plus).
Toutes ces hypothèses ne sont pas exactement vérifiées et les vagues sont en fait un peu rotationnelles,
la viscosité a quelques effets, et la pression atmosphérique n’est pas uniforme. Un traitement rigoureux
est possible en comparant ces effets, au mouvement principal que nous allons calculer. On peut alors
corriger la solution pour représenter la complexité de tous les phénomènes. On verra cela plus loin.
En remplançant la vitesse par le gradient de φ dans (2.1)–(2.2) on obtient
!
%
"
2 #
∂φ
p
∂φ 1
2
|∇φ| +
+
+ gz = 0,
(2.7)
+
∇
∂t
2
∂z
ρw
et
∂
∂z
"
∂φ 1
+
∂t
2
!
2
|∇φ| +
∂φ
∂z
2 #
%
p
+ gz = 0.
+
ρw
(2.8)
Ces deux équations établissent que la fonction entre crochets est indépendante de la position et n’est une
fonction que du temps C(t). On obtient donc l’équation de Bernoulli, qui, appliquée à z = ζ, donne
"
2 %
1
∂φ
∂φ
p
2
= − |∇φ| +
− gζ + C(t),
(2.9)
−
∂t
2
∂z
ρw
Cela s’écrit aussi
∂φ
1 2
+ ρw C(t).
p = −ρw gz + ρw |u| + w2 − ρw
2
∂t
(2.10)
2.3. PETITES VAGUES AU-DESSUS D’UN FOND PLAT : LA THÉORIE D’AIRY
13
L’équation de Bernoulli exprime donc que la pression est la somme de la pression hydrostatique, de la
surpression cinématique ainsi que d’un terme, peut être moins familier, dû aux mouvements instantionnaires, en particulier les vagues. Par la suite on prendra C(t) = 0, mais en présence d’ondes partiellement
stationnaires on peut montrer (voir chapitre 14) que cette constante est non-nulle et d’ordre 2 en cambrure des vagues, ce qui explique les fluctuations de pression par très grands fonds, qui est une des sources
principales du bruit de fond sismique (Miche, 1944a; Longuet-Higgins, 1950).
La condition de continuité des vitesses en surface s’écrit
w=
∂ζ
∂ζ
∂φ
= u·∇ζ +
= ∇φ·∇ζ +
∂z
∂t
∂t
sur
z = ζ,
(2.11)
Par ailleurs l’équation de conservation de la masse
∇·u +
∂w
=0
∂z
(2.12)
est équivalente à l’équation de Laplace pour φ :
∇·u +
∂w
∂2φ
= ∇2 φ + 2 = 0,
∂z
∂z
pour
− h ≤ z ≤ ζ,
(2.13)
et l’équation de continuité de vitesse vertical sur un fond plat s’écrit
w=
∂φ
=0
∂z
sur
z = −h.
(2.14)
En prenant ∂(2.9 pour z=ζ)/∂t +g×(2.11) pour éliminer une partie des termes en ζ on obtient un
début d’équation d’onde1
∂
∂φ
∂ζ ∂ 2 φ
∂ζ ∂
∂φ ∂φ
∂2φ
+
g
=
g∇φ
·
∇ζ
−
−
+
∇φ
·
∇φ
+
+ C ′ (t), pour z = ζ. (2.15)
∂t2
∂z
∂t ∂z∂t
∂t
∂t ∂z
∂z ∂z
Les équations (2.14)–(2.15) fournissent deux conditions aux limites au fond et en surface pour
l’équation de Laplace, ce qui permet de trouver des solutions. L’ensemble (2.13)–(2.15) est parfois appelé
équation d’Euler. On remarque qu’il est rendu non-linéaire par le membre de droite de la condition en
surface. Par ailleurs l’équation (2.15) est valable sur la surface ζ, dont on ne connait pas la position.
2.3
Petites vagues au-dessus d’un fond plat : la théorie d’Airy
Jusqu’ici les seules hypothèses faites sont que l’écoulement est incompressible (hypothèse H1) et
non-visqueux (H2), le mouvement est irrotationnel (hypothèse H3), que le fond est plat (H4) et que le
potentiel des vitesses varie spatialement comme une sinusoide (H5).
Nous allons négliger les termes de droite dans (2.15), ce qui revient à linéariser l’équation. En
définissant la cambrure ε1 = ka, et l’amplitude relative à la profondeur ε2 = a/D, il est montré
au chapitre 6 que ces termes sont effectivement négligeables si ε1 ≪ 1 et ε2 ≪ 1.
Dans ces conditions, on peut aussi ramener (2.15) à z = 0 plutôt que z = ζ par un développement de
Taylor. Au premier ordre en ε = max{ε1 , ε2 }, on a donc
∂2φ
∂φ
+g
=0
∂t2
∂z
2.3.1
sur
z = 0.
(2.16)
Solution
Puisque l’équation d’onde est désormais linéaire, il est naturel de la résoudre par tranformation de
Fourier. On cherche donc une solution de la forme
φ = R φe (z, t) eik·x ,
(2.17)
où R(a) représente la partie réelle de a. En remplaçant dans l’équation de Laplace, cela donne l’équation
de Helmholz :
∂ 2 φe
(2.18)
−k 2 φe + 2 = 0.
∂z
1 Attention,
quand on calcule ∂(2.9)/∂t sur z = ζ, il ne faut pas oublier que ζ est une fonction du temps.
14
Toute solution est de la forme
e t) = A(t) cosh (kz) + B(t) sinh (kz)
φ(z,
(2.19)
La condition à la limite au fond impose
cosh (kz + kh)
φe (z, t) = Φ (t)
.
cosh (kD)
(2.20)
En y remplaçant φ par (2.20) on a clairement une équation d’onde :
∂2Φ
+ gk tanh (kD) Φ = 0,
∂t2
qui a pour solution
Φ (t) = R Φk eiσt ,
(2.21)
(2.22)
avec la relation de dispersion, donnée par de Laplace (1776),
σ 2 = gk tanh (kD) .
(2.23)
En définissant la phase de l’élévation de surface
Θ = k·x − σt + Θ0 ,
(2.24)
avec Θ0 une constante entre 0 et 2π, et l’amplitude
σ
a = i Φk ,
g
(2.25)
l’élévation, les vitesses horizontales et verticales et la pression de la solution d’Airy (1841)2 , sont données
par les relations de polarisation suivantes,
ζ = a cos Θ,
(2.26)
k cosh (kz + kh)
cos Θ,
u=a σ
k
sinh (kD)
(2.27)
w = aσ
sinh (kz + kh)
sin Θ,
sinh (kD)
p = pH + ρw ga
cosh (kz + kh)
cos Θ,
cosh (kD)
(2.28)
(2.29)
avec la pression hydrostatique moyenne pH = −ρw g(z − ζ) + pa où pa est la pression atmosphérique. Par
ailleurs on a aussi,
a cosh (kz + k)
φ= σ
sin Θ.
(2.30)
k
sinh (kD)
On obtient aussi les déplacements des particules d’eau, en intégrant la vitesse dans le temps, en
première approximation (au premier ordre en ε), on a le déplacement horizontal
et vertical
k cosh (kz + kh)
sin Θ,
ξeh = −a
k sinh (kD)
sinh (kz + kh)
cos Θ,
ξe3 = a
sinh (kD)
(2.31)
(2.32)
Comme nous l’avons vu, il s’agit d’une solution approchée. Stokes (1847) a étendu la solution d’Airy
pour prendre en compte les termes non-linéaires de l’équation (2.15), ce qui améliore l’accord de la
théorie avec les observations de vagues. Dans l’océan profond, l’ensemble des observations montrent que
les vagues sont quasi-irrotationnelles et sont bien décrites par les théories de Airy et Stokes (voir par
exemple Thornton et Kraphol, 1974). Il a aussi été montré que le développement en série en puissance de
ε1 converge (Levi-Civita, 1925), et de nombreuses méthodes ont été développées pour un calcul numérique
des différents ordres d’approximation (voir §13.2).
2 Bien que Laplace, Cauchy et Poisson aient donné tous les éléments de cette théorie plusieurs décennies avant Airy, il
apparaı̂t que ce dernier a été le premier à résoudre le problème d’une onde monochromatique se propageant. Poisson a en
particulier traité tout un ensemble de problèmes bien plus complexes, dont les ondes stationnaires et les ondes à symétrie
circulaire. A ce sujet on pourra lire l’excellent article de Craik (2004).
0
1
x (m)
3
2
5
6
t=0
0
z (m)
4
15
-1
-2
-3
0
5
10
15
20
25
p-pa (kPa)
Fig. 2.1 – Champ de pression et de vitesses dans l’eau pour une vague de période 2 s et par 3 m de fond.
2.3.2
Interprétation physique
Le mouvement est entretenu par la gravité qui induit un champ de pression qui accélère l’écoulement.
Or cette accélération modifie aussi la pression, le mouvement n’est pas hydrostatique. En surface, la
pression est proche de la pression hydrostatique correspondant au niveau d’eau local (figure 2.1). Si l’eau
est assez profonde, alors l’accélération verticale finit par annuler les fluctuations de pression induites par
la variation du niveau d’eau, si bien que pour une profondeur bien plus grande que la longueur d’onde,
les vagues n’ont plus aucun effet. C’est la caractéristique d’une onde de surface.
On peut comprendre plus facilement l’écoulement en examinant la pression p à laquelle on soustrait
une pression hydrostatique de référence pH = pa − ρw g(z − ζ). On voit ainsi apparaı̂tre une propriété
remarquable, qui n’est vrai que pour les grandes profondeurs : les iso-lignes d’anomalie de pression p−pH
sont aussi les lignes de courant. En effet, pour des vagues en deux dimensions, la fonction de courant ψ
est telle que u = ∂ψ/∂z, soit
a sinh (kz + kD)
ψ= σ
cos Θ,
(2.33)
k
sinh (kD)
ce qui, dans la limite ou kD → ∞ donne bien, à un facteur ρw gk près, la fluctuation de pression. Dans
cette limite, qui correspond à l’eau profonde par rapport à la longueur d’onde, on a donc un équilibre
cyclostrophique : le gradient de pression est perpendiculaire à la vitesse et opposé à la force centrifuge
subie par chaque particule d’eau, qui tourne en rond. Cette propriété n’est plus vraie pour des valeurs
finies de kD.
Du fait de la propagation de la vague, les particules passent un peu plus de temps sur la crête, où la
vitesse est un peu plus forte, que dans le creux, où la vitesse est un peu plus faible, ce qui donne une
dérive nette dans le sens de propagation.
2.3.3
Propriétés cinématiques : influence du paramètre kD
Le mouvement des vagues présente une vitesse maximale en surface qui s’atténue vers le fond avec
une distance typique Z, qui, en eau profonde est 1/k = L/2π, de telle sorte que les vagues n’ont plus
aucune influence significative à des profondeurs supérieures a L/2, la moitié de la longueur d’onde.
Par ailleurs, pour une amplitude a fixée, la vitesse horizontale en surface augmente, en z = ζ ≃ zeta,
très rapidement, en 1/ tanh(kD) quand kD diminue. Mathématiquement cela vien du fait que pour passer
de w = 0 au fond à w ∝ σa en surface, quand on fait la somme d’un A exp(kz) avec un B exp(−kz), avec
un kD très petit, il faut bien mettre des très fortes valeurs de A et B, ce qui donne le 1/ sinh(kD) dans
les expressions de u et w. Physiquement, la divergence de vitesse verticale, de w = 0 au fond à w ∝ σa en
16
t=0
t=4 s
t=0
0
0
-1
-2
-3
0
1
2
3
x (m)
4
5
-0.5
6
t=0.25 s
0
-1
-1
z (m)
z (m)
-2
-3
t=0.50 s
0
-1.5
-1
-2
-2
-3
t=0.75 s
0
-1
-2.5
-2
-3
-1
-0.5
0
0.5
p - pa - ρgz (kPa)
1
0
0.2
0.4
-3
x (m)
Fig. 2.2 – A gauche, en couleurs : anomalie de pression p − pH et vitesses dans l’eau à différents instants,
pour une vague de période 2 s, par 3 m de fond, se propageant de la gauche vers la droite. A droite :
déplacement de particules d’eau sous l’effet du passage de la vague.
17
Fig. 2.3 – Principales fonctions hyperboliques.
surface, donne, intégrée sur la verticale, un dζ/dt, qui doit être comblée par une divergence du transport
horizontal, de l’ordre de Du. Ainsi u est d’autant plus forte que la profondeur D diminue.
Ondes d’Airy en eau profonde
Les termes en kD se simplifient quand la profondeur est assez importante (disons kD > π, ce qui
correspond à une atténuation de 96% car exp(π) ≃ 0.04). Ainsi la relation de dispersion devient
les vitesses et pression s’écrivent
σ 2 = gk,
(2.34)
σ
u = ak ekz cos Θ
k
(2.35)
w = aσekz sin Θ.
(2.36)
H
p = p + ρw gae
kz
cos Θ.
(2.37)
et les déplacements (2.31)-(2.32) deviennent
k
ξeh = −a ekz sin Θ,
k
ξe3 = aekz cos Θ,
(2.38)
(2.39)
qui est l’équation paramétrique d’un cercle de diamètre 2aekz . En première approximation, les particules
suivent donc des trajectoires circulaires dont le diamètre diminue avec la profondeur. On l’aura compris,
tout cela découle des propriétés des fonctions hyperboliques cosh, sinh et tanh, dont il vaut mieux se
remémorer les propriétés (figure 2.3).
Ondes d’Airy en profondeur intermédiare
Pour des profondeurs moins importantes la vitesse au fond n’est plus nulle et dans ce cas les trajectoires sont des ellipses, dont le grand axe est horizontal et de mesure 2acosh (kz + kh)/sinh (kD). Le
petit axe de l’ellipse, vertical et de mesure 2asinh (kz + kh)/sinh (kD), décroı̂t de 2a en surface à 0 au
fond.
18
0.12
(b)
z (m)
1
0.1
0.5
0.08
0
0.06
-0.5
0.04
-1
0.02
-1.5
-0.1 -0.05
0
0.05 0.1
0
1
2
3
Norme de la vitesse (m/s)
1.5
(a)
0
x (m)
u (m/s)
Fig. 2.4 – (a) Profil de vitesse de part et d’autre de la crête d’une vague d’Airy (x = 0), et (b) champ
de vitesse (la ligne blanche est la position de la surface libre). Ces illustrations correspondent à une
houle d’amplitude 3 cm, 1.5 s de période par 3 m de profondeur, soit une longueur d’onde de 3.5 m, et
kD = 3.4.
Ondes d’Airy en eau peu profonde
Pour de très faibles profondeurs ou bien pour des vagues très longues (kD ≪ 1), la relation de
dispersion devient
σ 2 = gDk 2 ,
(2.40)
les vitesses et pression s’écrivent
σ
cos Θ
k sinh(kD)
(2.41)
(kz + kh)
sin (k·x − σt) .
(kD)
(2.42)
u = ak
w = aσ
p = pH + ρw ga cos Θ = pH ,
(2.43)
la pression est donc hydrostatique dans le cas peu profond. C’est en particulier le cas des ondes de marée.
Pour les tsunamis c’est preque vrai aussi.
Les déplacements (2.31)-(2.32) deviennent
ξeh = −a
2.3.4
Et dans l’air ?
k
sin Θ,
k sinh(kD)
(kz + kh)
cos Θ,
ξe3 = a
(kD)
(2.44)
(2.45)
Nous avons calculé le mouvement et la pression dans l’eau. Or on peut faire les mêmes hypothèses
dans l’air, incompressibilité et irrotationalité, qui conduisent à l’équation de Laplace (2.13). La solution
s’obtient de la même façon. La seule différence est que la condition au fond est remplacée par une
condition u → 0 pour z → ∞. Le mouvement de l’air au-dessus des vagues est donc semblable à celui
au-dessous, dans la limite de la profondeur infinie (kD ≫ 1). La pression d’air induite par les vagues
décroı̂t donc exponentiellement vers le haut. Enfin, la dérive de Stokes existe aussi dans l’air, dans la
direction de propagation des vagues.
Ces résultats ont été confirmés par Elliot (1972) qui a tout de même trouvé une atténuation plus
rapide, au cause du cisaillement du vent moyen, négligé ici. En prenant en compte le cisaillement, au
19
700
D = 10 m
D = 20 m
D = 50 m
D > 300 m
Longueur d onde L (m)
600
500
400
300
200
100
0
0
5
10
Période T (s)
15
20
Fig. 2.5 – Longueur d’onde en fonction de la période, pour des vagues linéaires, en absence de courant
lieu de l’équation de Laplace on verra au chapitre 5 que l’on obtient l’équation d’Orr-Sommerfeld. Par
ailleurs la discontinuité des vitesses à la surface (figure 2.4.a) est absente en présence de viscosité, et le
profil réel contient une couche limite. Ce fort cisaillement est important pour l’atténuation de la houle à
l’échelle des bassins océaniques.
2.3.5
Dispersion et énergie
La vitesse à laquelle la crête des vagues progresse est appelée vitesse de phase et est donnée par le
rapport C = σ/k de la pulsation et du nombre d’onde, qui est égal au rapport L/T de la longueur d’onde
sur la période. D’après la relation de dispersion (2.23),
i1/2
σ hg
tanh (kD)
.
(2.46)
C= =
k
k
Les vagues sont dispersives : leur vitesse de phase est une fonction de leur longueur d’onde, et les vagues
les plus longues se propagent plus vite que les vagues les plus courtes. Ainsi, si une perturbation initiale
est la somme de plusieurs ondes d’Airy de différentes longueurs d’ondes, les plus longues seront les
premières à atteindre un observateur lointain. Ce n’est plus le cas dans la limite des faibles profondeurs
1/2
et grandes longueurs d’onde (kD << 1) pour lesquelles C tend vers (gD)
indépendamment de k. Sur
la figure 2.5, cela se traduit par une pente constante (par exemple pour D = 10 m et T > 5 s).
L’énergie des vagues est constamment échangée entre énergie potentielle Ep et énergie cinétique Ec .
Intégrée sur la verticale et moyennée sur une période (cette moyenne est notée h·i), on a
*Z
+
ζ(x,t)
1 2
Ep =
ρw gzdz = ρw g
ζ
2
0
1
ρw ga2 cos2 (k·x − σt)
=
2
1
=
ρw ga2
(2.47)
4
Ec
=
*Z
ζ(x,t)
−h
1 2
ρw |u| + w2
2
+
20
≈
2 " Z ζ
1
agk
cosh2 (kz + kh) dz cos2 (k·x − σt)
ρw
2
σ cosh (kD)
−h
%
Z ζ
2
2
+
sinh (kz + kh) dz sin (k·x − σt)
−h
≈
≈
≈
1
ρw
4
agk
σ cosh (kD)
2 Z
ζ
cosh (2kz + 2kh) dz
−h
2
agk
sinh 2kD
1
ρw
4
σ cosh (kD)
2k
1
2
ρw ga ,
4
E t = Ec + Ep =
(2.48)
1
ρw ga2 = ρw gE,
2
(2.49)
avec E = a2 /2, la variance de l’élévation de la surface. En première approximation, nous donc trouvé
que les énergies cinétiques et potentielles, Ec et Ep , sont égales en moyenne sur une période.
La propagation des vagues est associée à un flux d’énergie. En effet, les vitesses et pressions (2.27)
et (2.29) sont en phase, si bien qu’une colonne d’eau effectue un travail W sur sa voisine située dans la
direction de propagation,
+
*Z
ζ
W
pudz
=
−h
Z
ζ cosh2 (kz + kh)
agk 2
dz
cos (k·x − σt)
σ
cosh2 kD
−h
Z ζ
1
gk
= E
[cosh (2kz + 2kh) + 1] dz
2
2
σ cosh kD −h
sinh 2kD D
gk
+
= E
4k
2
σ cosh2 kD
= Cg E
= ρw ga
avec
Cg =
σ
k
kD
1
+
2 sinh 2kD
=C
kD
1
+
2 sinh 2kD
.
(2.50)
(2.51)
W est un flux d’énergie et Cg est la vitesse de groupe qui est donc la vitesse moyenne de cette énergie.
Le flux d’énergie total induit par les vagues comprend, outre le travail des contraintes, le flux advectif
u ρw gz + 0.5 u2 + w2 . En absence de courant moyen cette partie est négligeable. Le nom de vitesse
de groupe vient du fait que Cg = ∂σ/∂k est la vitesse de propagation d’un groupe de vagues contenant
des fréquences différentes mais proches. En effet, la superposition de deux ondes monochromatiques de
même amplitude et direction donne une élévation de surface
1
1
1
1
k + ∆k x − σ + ∆σ t ,
(2.52)
ζ = a cos
k − ∆k x − σ − ∆σ t + cos
2
2
2
2
qui s’écrit aussi
ζ = a cos (∆kx − ∆σt) cos (kx − σt) .
(2.53)
Le premier facteur donne l’enveloppe du groupe, de longueur d’onde 2π/∆k et période 2π/∆σ, qui se
propage à la vitesse c′ = ∆σ/∆k, qui dans la limite∆k → 0 est Cg = ∂σ/∂k. Une exemple est montré
en figure 2.7
On remarque, pour kD → ∞, l’équation (2.51) donne, Cg = σ/(2k) = C/2. Ainsi en eau profonde
les groupes vont à une vitesse qui est la moitié de la vitesse de phase. Par contre, en eau peu profonde
(kD ≪ 1), Cg = C : comme toutes les vagues vont à la même vitesse (elle ne sont plus dispersives), les
groupes vont à la même vitesse que les vagues. On verra plus loin que cela n’est vrai que pour les vagues
linéaires, car la vitesse de phase dépend aussi de l’amplitude des vagues.
21
12
11
Vitesse de groupe (m/s)
10
9
8
7
6
5
4
T=12 s
T=9 s
T=6 s
3
2
0
20
40
60
profondeur (m )
80
100
Fig. 2.6 – Vitesse de groupe pour des vagues linéaires
elevation (m)
2
0
-2
0
50
100
150
200
temps (s)
250
300
350
400
50
100
150
200
250
300
350
400
2
0
-2
0
Fig. 2.7 – Groupes issus de la superpositions de deux ondes monochromatiques. En haut : pour ∆σ/σ =
0.2, en bas pour ∆σ/σ = 0.1. Plus les fréquences sont proches (le spectre est étroit) et plus les groupes
contiennent de vagues.
22
2.3.6
Energie et puissance
Le flux d’énergie donné par l’équation (2.50) est la puissance rayonnée par unité de longueur. Pour
des vagues régulières de hauteur 2 m par 15 m de fond, et de période 12 s, on trouve W ≈ 50 kW m−1 .
Ainsi, pour de telles vagues arrivant vers une plage, sur chaque mètre le long de la plage 50 kW sont
dissipés en chaleur, soit 5 MW pour 100 mètres, ce qui correspond à la puissance crête de deux éoliennes
de 150 m de haut. Ce chiffre, pour des vagues relativement modestes, illustre leur forte puissance. Cette
puissance est malheureusement difficilement utilisable, par exemple pour produire de l’électricité, mais
de nouvelles techniques semblent prometteuses.
2.3.7
Dérive de Stokes
Les déplacements de particules fluides sont dominés par les oscillations périodiques ξeh et ξe3 . Cependant, pour de nombreuses applications cette première approximation n’est pas suffisante. Afin de l’améliorer
il faut examiner les termes qui ont été négligés. Rigoureusement, la position (x(t), z(t)) d’une particule
fluide est la somme des vitesses à ses positions successives (voir par exemple Phillips 1977, p. 43),
Z t
(x(t), z(t)) = (x(0), z(0)) +
(u (x(t′ ), z(t′ ), t′ ) , w (x(t′ ), z(t′ ), t′ )) dt′ .
(2.54)
0
Au premier ordre en cambrure, la vitesse est simplement la vitesse à la position initiale, c’est-àdire (u (x(t′ ), z(t′ ), t′ ) , w (x(t′ ), z(t′ ), t′ )) = (u (x(0), z(0), t′ ) , w (x(0), z(0), t′ )). En intégrant, on trouve
(x(t), z(t)) = (x(0), z(0)) + (ξh , ξ3 ) données par (2.31)–(2.32). Au second ordre, parce que la particule
est légèrement déplacée, sa vitesse doit être corrigée. On utilise le développement limité suivant,
u (x(t′ ), z(t′ ), t′ )
= u (x(0), z(0), t′ )
+u2 (x(0), z(0), t′ )
+ξh (t)·∇u (ξh (0), ξ3 (0), t′ ) + ξ3 (t)
∂
u (ξh (0), ξ3 (0), t′ ) + O(ε3 ),
∂z
(2.55)
où u2 est le gradient de φ2 , terme d’ordre 2 dans la solution de (2.15), ce qui peut s’avérer assez compliqué
à calculer. On utilisera la propriété que la moyenne temporelle de u2 est nulle pour négliger ce terme, et
on s’intéresse aux deux derniers termes.
On remarque d’abord que ξh (t) est en quadrature avec u. Or ∇u est aussi en quadrature avec u. Le
produit de ces deux termes qui sont en phase a donc une moyenne non-nulle. De même, ξ3 est en phase
avec ∂u/∂z. Il se trouve que ces deux produits sont égaux, chacun contribuant la moitié de la dérive de
Stokes,
Z T
cosh(2kz + 2kh)
1
u (x(t′ ), z(t′ ), t′ ) dt′ = σka2
Us ≡
(1 + O(ǫ)),
(2.56)
TL 0
2 sinh2 (kD)
avec TL la période Lagrangienne (le temps écoulé pour la particule qui part sous une crête revienne sous
une crête), qui tend vers
Us = σka2 exp(2kz),
(2.57)
en eau profonde (kD ≫ 1). Cette vitesse Us est donc une vitesse résiduelle de dérive d’une particule,
dans le sens de propagation des vagues. C’est une vitesse Lagrangienne moyenne. Le déplacement d’une
particule d’eau n’est donc pas tout à fait périodique (figure 2.2). Cette vitesse est fortement atténuée sur
la verticale car elle décroı̂t deux fois plus vite que la vitesse orbitale. Cette propriété est illustrée par la
figure 2.2.
Il est remarquable que l’on a pu calculer une quantité d’ordre 2 à partir de la solution d’ordre 1. En
d’autres termes la dérive de Stokes est une propriété quadratique, mais pas une propriété non-linéaire :
même les ondes rigoureusement linéaires induisent une dérive de Stokes.
Cette vitesse de dérive donne un transport de masse qui, intégré sur la verticale, est la pseudo-quantité
de mouvement des vagues,
Z 0
a2
Et
cosh(kD)
ρw σa2 = ρw g
=
(2.58)
Mw = ρw
Us dz =
2 sinh(kD)
2C
C
−h
avec Et l’énergie des vagues par unité de surface, comme nous allons le voir. Cette dernière égalité
est très générale pour la plupart des mouvements ondulatoires, semblable à l’expression de la quantité
de mouvement d’un photon p = E/c. Cette égalité, calculée à partir de la solution d’Airy, n’est plus
surface libre
0
0
-5
-5
-10
-15
vitesses
-10
de l'eau
(moyenne
Eulérienne) -15
-20
0
40
x (m)
80
23
moyenne
Lagrangienne
-20
0
0.5
vitesse (m/s)
0
0.5
Fig. 2.8 – Transports de masse Eulériens et Lagrangiens pour des vagues linéaires d’amplitude 3 m et
longueur d’onde 100 m par 30 m de fond.
vraie lorsqu’on prend en compte les corrections liées à la non-linéarité des vagues. Par contre, l’égalité
Mw = 2Ec /C reste vraie pour toute vague périodique irrotationnelle (Longuet-Higgins, 1984, voir
chapitre 13.2).
Enfin, ce transport de masse peut aussi se calculer à partir de la vitesse Eulérienne en intégrant du
fond jusqu’à la surface,
+ Z
*Z
a
ζ
w
hρui dz
(2.59)
M = ρw
udz =
−h
−a
Il y a ainsi deux points de vue sur la dérive de Stokes. Cette dernière équation donne le point de vue
Eulérien, avec une dérive concentrée uniquement entre les creux et les crêtes des vagues. Et le point de
vue Lagrangien pour lequel la dérive est distribuée sur l’ensemble de la colonne d’eau (figure 2.8). Suivant
les applications on choisira l’un ou l’autre.
2.3.8
Ce qu’il faut retenir
Les quelques formules du paragraphe 1.2.1 concernant les distributions de hauteur de vagues aléatoires
peuvent être très utiles.
Pour les ondes régulières, nous avons obtenu les principales propriétés des ondes élémentaires que
sont les ondes d’Airy, résumées dans le tableau (2.1). Du fait de la linéarité des équations utilisées,
toute superposition d’ondes d’Airy est solution des équations. Les vitesses et pressions sont donc la
combinaison linéaire des vitesses et pressions des ondes d’Airy, proportionnelles aux amplitudes a de
chacune des composantes. On verra au chapitre suivant qu’il en est généralement de même des propriétés
de second ordre comme l’énergie et la dérive de Stokes, proportionnelles à la variance d’élévation de
surface E = a2 /2 de chacune des composantes. Ces propriétés découlent d’une série d’hypothèses, listée
dans le tableau 2.2 et que nous allons discuter dans les chapitres suivants. Cela nous permettra d’étendre
la théorie d’Airy et ainsi de déterminer à partir du forçage toutes les caractéristiques des vagues. En effet,
nous avons déterminé ici les modes propres des équations du mouvement linéarisées : ce sont des ondes
libres. Toutefois le forçage est nécessaire pour que ces ondes existent, et la dissipation permet d’obtenir
un équilibre.
2.3.9
Pour aller plus loin : extensions de la théorie d’Airy
Que se passe-t-il si l’on renonce à certaines de ces hypothèses H1–H10 ? Dans quelles conditions faut-il
le faire ?
– H1. Sur ce plan on est tranquille, sauf à considérer des écoulements assez peu naturels. On gardera
toujours l’hypothèse H1.
– H2. Dans les couches limites en surface et surtout au fond, il faudra introduire la viscosité moléculaire
ou une viscosité turbulente. Toutefois ces couches limites ont une épaisseur de l’ordre de δ =
24
Profondeur :
relation de dispersion
vitesse de phase
vitesse de groupe
Propriétés linéaires (z < ζ)
vitesse horizontale
vitesse verticale
Propriétés de second ordre :
Energie
Dérive de Stokes
cas général
σ 2 = gk tanh(kD)
1/2
C = σk =[g tanh(kD)/k]
Cg = C 0.5 +
kD
sinh(2kD)
u = a kk σ cosh(kz+kh)
sinh(kD) cos Θ
kD ≫ 1
σ 2 = gk
1/2
C = (g/k)
= g/σ
kD ≪ 1
σ 2 = gDk 2
C = (gD)1/2
Cg = C/2
Cg = C
u=
akσ kz
k e
kz
cos Θ
w = aσ sinh(kz+kh)
sinh(kD) sin Θ
w = aσe
E = a2 /2
Us = σkE cosh(2kz+2kh)
sinh2 (kD)
E = a2 /2
Us = 2σkEe2kz
sin Θ
akσ
k2 D cos Θ
z+h
h aσ sin Θ
u=
w=
E = a2 /2
Us = σkE/(kD)2
Tab. 2.1 – Principaux résultats de la théorie d’Airy et limites en eau profonde et peu profonde. On
rappelle que Θ = k·x − σt + Θ0 est la phase de l’onde.
Hypothèse
H1. incompressible
H2. non-visqueux
H3. irrotationnel
H4. fond plat
H5. onde sinusoidale
H6. pa constant à z = ζ
H7. pas de tension de surface
H8. ε1 = ka ≪ 1
H9. ε2 = a/D ≪ 1
H10. pas de courant moyen
H11. densité constante
H12. pas de force de Coriolis
raison
u ≪ Cson
Nombre de Reynolds élevé
mouvement transmis par pression (H2)
pentes des fonds marins souvent faibles
fonction de base pour Fourier
ρa ≪ ρw
γ ≪ g/k 2 pour L ≫ 0.1 m (eau propre)
ε1 < 0.44 pour des vagues régulières
facilité du calcul
souvent U ≪ C
ρ′ /ρw < 0.03 (eau seule)
f3 ≪ σ
conséquence
∇·u + ∂w/∂z = 0
pas de contraintes visqueuses
u = ∇φ, w = ∂φ/∂z
w = 0 sur z = −H
φ ∝ cosh(kz + kH)
Attention pour kD < 1 !
Tab. 2.2 – Hypothèses faites pour arriver à la théorie d’Airy. Cson désigne la vitesse du son dans l’eau,
de l’ordre de 1500 m s−1 (en l’absence de bulles d’air), et U la vitesse du courant moyen. Enfin ρ′ désigne
les fluctuations de densité de l’eau par rapport à la valeur moyenne ρw , et γ est la tension superficielle,
telle que γρw (R1 + R2 ) est la surpression sous la surface lorsque ses rayons de courbure sont R1 et R2 ,
comptés positifs pour une surface convexe côté air.
25
(ν/σ)1/2 soit moins d’un millimètre pour la viscosité cinématique de l’eau ν = 4 × 10−6 m2 s−1 ,
et une période de vague T > 1 s (valeur réaliste pour la couche de surface côté eau Banner et
Peirson, 1998), et de l’ordre de quelques centimètres pour une viscosité turbulente réaliste dans la
couche limite de fond. Cette viscosité, aussi faible soit-elle, a des effets importants aux voisinages
des couches limites.
– H3. Dès que l’écoulement est visqueux, une faible vorticité diffuse lentement dans l’ensemble de
la colonne d’eau et dans l’air à partir des couches limites au fond et en surface (Longuet-Higgins,
1953; Weber et Førland, 1990). Par ailleurs, l’écoulement est rotationnel du fait de la rotation de
la Terre (voir H12).
– H4. La condition à la limite au fond devient −∇φ·∇h = ∂φ/∂z (cas non-visqueux), et elle ne peut
être satisfaite exactement qu’en présence d’au moins deux trains d’onde, une onde incidente et
une onde réfléchie. Pour une pente faible la réflexion est généralement faible, et le mouvement des
vagues est correctement donné par une approximation ”WKBJ” : en remplaçant la phase Θ par une
fonction S(x, t) avec k = ∇S et σ = −∂S/∂t (voir chapitre 8). Dans ce contexte ”faible” signifie
que les effets de réfraction ou diffraction ne conduisent pas à une variation relative importante
de l’amplitude à l’échelle de la longueur d’onde. Une approximation plus précise de la relation de
dispersion pour des vagues sur une pente régulière a été donnée par Ehrenmark (2005), sous la
forme σ 2 = gk tanh(khα/ tan α), avec α l’angle entre le fond et l’horizontale. Mais la correction
reste faible, environ 4% pour α = 10◦ . Pour des pentes fortes, la réflexion peut être importante et
par ailleurs la séparation des variables x et z n’est plus possible. Le potentiel des vitesses peut être
obtenu avec des modèles numériques relativement complexes (e.g. Athanassoulis et Belibassakis,
1999; Belibassakis et al., 2001).
– H5. Justement, pour des pentes faibles l’onde n’est sinusoı̈dale que localement, et pour des pentes
fortes l’onde peut aussi être fortement amortie à l’échelle de la longueur d’onde (Magne et al.,
2007).
– H6. Une variation de la pression à l’échelle de la longueur d’onde peut conduire à une croissance ou
une atténuation des vagues, suivant la phase relative de la pression atmosphérique et de l’élévation
de la surface. Cet aspect sera détaillé au chapitre 5.
′ 2
2
– H7. Du fait de la tension de surface, la pression sous la surface est augmentée de
−γ ∂ ζ/∂x +
∂ 2 ζ/∂y 2 ), ce qui modifie la relation de dispersion pour donner σ 2 = gk + γk 3 tanh(kh). Cette
modification est négligeable pour les vagues de longeur d’onde supérieure à quelques décimètres.
– H8. Les effets des non-linéarités liées à ε1 6= 0 sont très variés et seront abordés aux chapitres (2)
et (5). En particulier un train de vagues monochromatiques peut être instable, avec l’apparition
de vagues de grande amplitude (vagues scélérates), et des interactions entre trains de vagues avec
échange d’énérgie et de quantité de mouvement.
– H9. Les effets des non-linéarités liées à ε2 6= 0 sont importants dès que kD < 1 même si la
hauteur des vagues est relativement faible. C’est en particulier le cas près des côtes, où ils se
combinent aux effets liés à ε1 6= 0. Les trains d’ondes peuvent changer de forme avec une variation
de la période, l’apparition d’harmoniques, etc ... (voir chapitre 8). D’autres trains d’ondes sont au
contraire stables, on parle de quasi-solitons.
– H10. Les lois de la physique étant invariantes par changement de référentiel Galiléen, la présence
d’un courant uniforme U ne fait qu’introduire un décalage de fréquence (effet Fizeau-Doppler) et
tous les résultats établis dans ce chapitre restent valables en remplaçant Θ par ΘD = Θ + k·U. On
peut alors définir une pulsation absolue,
1/2
ω = σ + k·U = k·U + [gk tanh (kD)]
.
(2.60)
Pour un courant U(z) variable sur la verticale seulement, et dans la limite ε1 ≪ 1 et ε2 ≪ 1, cette
relation de dispersion se généralise sous la forme,
ω ≡ σ + k·UA
avec la vitesse d’advection donnée par Kirby et Chen (1989),
Z ζ
2k cosh [2k(z + h)]
dz.
U(z)
UA = k·
sinh(2kD)
−h
(2.61)
(2.62)
26
Enfin, pour des variations de U sur l’horizontale aussi, on trouve le même type de phénomènes
que pour des variations de profondeur, avec, en plus, un échange d’énergie entre les vagues et le
courant. Ces aspects sont abordés en détail au chapitre 9.
– H11. En présence d’une stratification liée à la structure thermohaline de l’océan, les ondes étudiées
ici ne sont que le mode externe d’une famille d’ondes comprenant aussi des modes internes. Du
fait de la faible non-linéarité des équations du mouvement, ces différents modes sont couplés et on
observe des échanges d’énergie entre vagues et ondes internes (Thorpe, 1966). Cette thématique,
relativement peu explorée n’est pas traitée dans le présent ouvrage, mais elle devrait y être abordée
dans des versions ultérieures. Le lecteur curieux pourra se référer à Osborne et Burch (1980);
Kudryavtsev (1994). Par ailleurs la stratification peut aussi venir de la concentration en air près
de la surface (bulles) ou en sédiments près du fond (sédiments en suspension ou interface eau /
vase) avec des effets importants sur la couche limite de fond et/ou l’atténuation des vagues (e.g.
Winterwerp et al., 2003; Styles et Glenn, 2000).
– H12. Quand on prend en compte la rotation de la Terre, une petite composante transversale de
la vitesse apparaı̂t (et dans ce cas le mouvement induit par les vagues est rotationnel). Cette
composante est de l’ordre de f3 /σ par rapport à la composante longitudinale, et en phase avec la
vitesse verticale, la rotation de la terre a un effet important sur le courant de dérive induit par les
vagues (Hasselmann, 1970; Xu et Bowen, 1994; Ardhuin et al., 2004b). Pour les vagues générées
par le vent, f3 /σ est généralement de l’ordre de 10−4 et l’effet sur la cinématique des vagues est
imperceptible, de même que la modification de la relation de dispersion ou de la trajectoire de
propagation des groupes de vagues sur la surface océanique (Backus, 1962). Cela reste vrai pour
les tsunamis dont les périodes sont de quelques minutes à plusieurs dizaines de minutes. La théorie
d’Airy est donc tout à fait applicable aux tsunamis (dans la limite où les effets non-linéaires sont
faibles). Par contre pour des périodes proches ou plus longues que la période d’inertie, comme les
ondes de marée ou les modes de bassins (pour des bassins de quelques milliers de kilomètres), la
prise en compte de la rotation de la terre est indispensable. On a alors des ondes d’inertie-gravité.
Chapitre 3
Vagues aléatoires : théorie et
méthodes de mesures
3.1
Le spectre des vagues
Bien souvent, le détail du mouvement des vagues en tout point n’est pas intéressant en soi, et on
souhaite en pratique connaı̂tre l’évolution de certaines propriétés des vagues sur des distances bien
supérieures à la longueur d’onde. On préfère donc une approche statistique.
Comme les vagues d’Airy sont les solutions des équations d’Euler linéarisées, toute superposition de
ces vagues est aussi solution des mêmes équations. La forme simple que nous avons utilisée en (2.17)
avait une variation horizontale et temporelle donnée par exp[iS] avec la phase,
S = [k·x − (k·UA + sσ) t] .
(3.1)
exp[iS] ajouté à son complexe conjugué (noté c. c.), est simplement 2 cos [k·x − (k·UA + sσ) t]. On
utilisera les exponentielles complexes plutôt que les sinus et cosinus afin de ne pas avoir à se soucier des
signes des dérivées.
Plusieurs effets (variation de profondeur et courants) peuvent déformer le train d’onde. On en profite
donc pour généraliser un peu la forme des vagues d’Airy. On utilise la fonction de phase généralisée
(appelée eikonal) Sks associée au train d’onde de nombre d’onde k et se propageant dans la direction du
vecteur sk, avec s égal à 1 ou -1. Tout ce que l’on demande à Sks , c’est de ressembler, localement à la
fonction [k·x − (k·UA + sσ) t], c’est à dire
∇Sks = k
(3.2)
∂ s
S
= −k·UA − sσ = ω.
(3.3)
∂t k
Grâce à la linéarité des équations, on peut donc représenter un état de mer quelconque par la
décomposition de la surface suivante, chaque composante étant à peu près une solution d’Airy,
X
s
Zks eiSk (x,t) + O ε2 ,
(3.4)
ζ (x, t) =
k,s
ce qui donne, localement,
ζ (x, t) =
X
k,s
Zks ei[k·x−(k·uA +sσt)] + O ε2 ,
(3.5)
avec σk donné à partir de k = |k| par la relation de dispersion pour les vagues linéaires (2.23).
L’unicité de cette décomposition n’est pas tout a fait évidente, elle fait appel à la théorie des spectres
évolutifs (Priestley 1981) dans le cas ou les amplitudes Zks sont des fonctions variant lentement avec x
et t 1 . Dans le cas plus simple ou les Zks sont constantes, il s’agit d’une simple transformée de Fourier.
Enfin, la somme utilisée ici peut représenter une intégrale et dans la limite ou ∆k tend vers 0, Zks devient
dZ, la transformée de Fourier-Stieltjes de l’élévation de la surface,
Z
dZei[k·x−(k·uA +sσt)] .
(3.6)
ζ(x, t) =
k,σ
1 lentement
: variations faibles à l’échelle de la longueur d’onde et de la période
27
28
CHAPITRE 3. VAGUES ALÉATOIRES : THÉORIE ET MÉTHODES DE MESURES
Puisque l’élévation ζ est une grandeur réelle on a la relation suivante,
−s
Zks = Z−k
,
(3.7)
avec Zks le complexe conjugué de Zks .
Avec nos notations, pour s = 1 les vagues se propagent dans la direction de k, et pour s = −1, dans la
direction de −k. Les composantes (k, s) et (−k, −s) correspondent donc aux mêmes vagues, ce qui aurait
été plus clair si l’on avait utilisé une décomposition en cosinus plutôt qu’en exponentielles complexes :
ces deux ‘composantes’ sont les deux morceaux d’un même cosinus.
Nous verrons plus tard qu’une meilleure approximation peut être donnée pour prendre en compte les
effets non-linéaires. Dans la plupart des cas, les phénomènes négligés pour aboutir à la solution d’Airy,
tels que le vent, le déferlement des vagues, les courants, la friction au fond, ne modifient les vagues que
e. On peut alors se
sur de grandes distances, si bien que l’amplitude Zks varie sur une grande échelle x
contenter de décrire l’état de la mer par les amplitudes locales Zks , qui, en pratique, sont mesurées en un
ou quelques points. Les phases sont souvent peu importantes, et on représente l’état de la mer comme une
réalisation d’un processus aléatoire tel que les phases ϕsk de chaque composante, arguments des nombres
complexes Zks , sont aléatoirement distribuées sur [0, 2π] suivant une loi uniforme. En supposant que ce
processus est ergodique on peut remplacer la moyenne sur plusieurs réalisations hypothétiques par une
moyenne sur plusieurs enregistrements consécutifs, que nous noterons h·i, chaque enregistrement étant
nettement plus long que la période des vagues. On observe généralement que les phases relatives des
s2
Zks , c’est à dire ϕs1
k1 − ϕk2 , varient de manière aléatoire d’un enregistrement à l’autre. Ainsi l’espérance
mathématique des corrélations des amplitudes est nulle pour des vagues exactement linéaires2 ,
E
D
s′
2
= δk,k′ δs,s′ |Zks | .
(3.8)
Zks Z k′
Nous laisserons donc les phases de côté pour nous intéresser aux amplitudes, plus particulièrement
à leur carré. En effet, le théorème de Parseval donne la variance de l’élévation de la surface comme la
somme des modules carrés des amplitudes de Fourier. Donc l’espérance de l’énergie potentielle est la
somme des espérances des énergies potentielles de chaque composante
1
2
Ep =
ρgζ
2
*
+
X X
1
s 1 s2
ρg
=
Zk1 Zk2 exp [i((k1 + k2 )·x − (s1 σk1 + s2 σk2 )t)] + O(ε3 )
2
k1 ,s1 k2 ,s2
1 X D s 2E
ρg
|Zk | .
(3.9)
=
2
k,s
−s
On regroupe d’abord les ‘composantes’ (k, s) et (−k, −s) qui ont des modules égaux car ζ est réel et Z−k
=
iϕ i(kx−σt)
−iϕ i(−kx+σt)
s
Zk , ce sont les deux morceaux d’un même cosinus cos(kx − σt + ϕ) = e e
+e e
/2.
L’énergie totale, somme des énergies potentielles et cinétiques qui sont égales d’après (2.49), s’écrit
X D 2 E
Z + .
Ew = 2ρw g
(3.10)
k
k
2
Les Zk+ constituent le spectre dans l’espace des nombres d’onde. Ce type de spectre peut se mesurer
avec un réseau de capteurs (perches à houle, capteurs de pression, voir Donelan et coll. 1985), ou, plus
facilement, un instrument imageur : stéréo-photogrammétrie (Chase et coll. 1957), différents types de
radars à vagues (Schuler 1978, Jackson et coll. 1985) ou un radar synthèse d’ouverture, éventuellement
en mode interférométrique (Elachi et coll. 1977, Marom et coll. 1990). Avec un instrument fixe ou se
déplaçant lentement par rapport à la vitesse de phase des vagues, on mesure plutôt des séries temporelles,
et donc des spectres en fréquence évalués à des fréquences régulièrement espacées de ∆f . On peut ré-écrire
l’énergie sous la forme
X 1 D 2 E
Z + ∆f ∆θ,
Ew = 2ρw g
(3.11)
k
∆f ∆θ
f
2 Cette absence de corrélations n’est vraie que en moyenne spatiale sur une échelle supérieure à la moitié de la longueur
d’onde. ponctuellement des corrélations existent entre les composantes Zks et Zk−s sous la forme d’ondes partiellement
stationnaires. La présence de cette modulation à petite échelle peut être importante : variations de pression même par
grands fonds responsable de la génération de microséismes (Longuet-Higgins 1950), transport sédimentaire ...
29
3.1. LE SPECTRE DES VAGUES
où ∆θ
D est2 Ela différence entre deux directions consécutives θ du vecteur d’onde k. On admettra que
2ρg Zk+ /(∆f ∆θ) a une limite quand ∆f et ∆θ tendent vers 0, notée E (f, θ). Il s’agit de la densité
spectro-angulaire, définie pour f > 0 seulement. On a donc
E=
Z
Ew
=
ρw g
qui s’écrit aussi souvent
E=
Z
∞
0
∞
0
Z
Z
2π
E (f, θ) dθdf,
(3.12)
0
2π
S (f, θ) dθE (f ) df
(3.13)
0
avec la fonction de répartition angulaire
Z
2π
S (f, θ) dθ = 1.
(3.14)
0
3.1.1
Nombre d’onde ou fréquence ?
Suivant la méthode de mesure ou le modèle numérique, certaines coordonnées spectrales peuvent être
les plus pratiques à manipuler. Voici les correspondances, en supposant que les vagues suivent la relation
de dispersion linéaire (2.23),
E (f, θ) dθdf = E (k, θ) dθdk,
(3.15)
qui donne
2π
∂k
E (k, θ) =
E (k, θ) .
∂f
Cg
(3.16)
2π
2πk
E (k, θ) =
E (kx , ky ) = k cos θE (f, ky ) .
Cg
Cg
(3.17)
E (f, θ) =
De la même façon, on trouve,
E (f, θ) =
Il convient d’utiliser avec prudence ces relations pour la partie haute fréquence du spectre, en effet les
grandes vagues introduisent un décalage aléatoire en fréquence pour les vagues les plus courtes et la
relation de dispersion linéaire n’est généralement plus pertinente à des fréquences dépassant trois fois le
pic de la mer du vent.
Enfin, certains modèles, et on verra pourquoi au chapitre 9, utilisent plutôt le spectre de l’action
définie par,
1
1
(3.18)
A (k, θ) = E (k, θ) = E (kx , ky ) .
σ
C
Par exemple, le modèle numérique WAVEWATCH III (Tolman 1991) calcule l’évolution de A (k, θ),
discrétisé avec N fréquences et M directions, par une variable ASPEC(I,J), avec 1 ≤ I ≤ N et 1 ≤ J ≤ M .
Cependant, les sorties du modèles sont des spectres E (f, θ) (en mètres carrés par Hertz et par radian).
3.1.2
Quelques spectres
Le spectre étant la variable primitive des modèles de prévisions de l’état de la mer, il est au coeur de
la plupart de ce qui suit. Il convient donc de se familiariser avec ce qu’il représente. Ainsi la figure 3.1.2
illustre la correspondance entre la forme de la surface et le spectre.
Le lecteur pourra s’exercer à prendre un spectre issu d’un modèle numérique et recomposer une
surface dans l’espace physique,
ζ(x, y, t) =
N1 q
N1 X
X
2E (kx , ky ) ∆kx ∆ky cos [mk1 x + nk1 y − σ(k)t + ψ(kx , ky )] .
m
(3.19)
n
où k1 est la résolution spectrale, et N1 k1 correspond au nombre
√ d’onde des vagues les plus courtes dans
la direction x. La norme du vecteur d’onde est donc k = m2 + n2 k1 et la pulsation correspondante
σ(k) est donnée par la relation de dispersion. Rigoureusement il faut faire tendre k1 vers 0 et N1 vers
l’infini pour reproduire une surface complète. En pratique on pourra déjà essayer avec la discrétisation
spectrale d’un modèle numérique (de l’ordre de 30 fréquences et 24 directions).
30
L
Espace physique
y
y
y
x
x
Va g u e s ré g uliè res
ky
x
Gro u p e d e va g u e s
Va g u e s à crê te s c o u rte s
ky
kx
ky
kx
kx
Espace spectral k= √(kx2 + ky2) = 2π / L
Fig. 3.1 – Correspondance entre espace physique et espace spectral. Spectres schématiques de surface
monochromatique (à gauche) et modulée en nombre d’onde ou en direction. Dans ces deux derniers cas
la surface est la some de trois composantes.
p
La normalisation des amplitudes 2E (kx , ky ) ∆kx ∆ky à partir des densités spectrales des énergies
E (kx , ky ) est bien conforme au fait que la variance totale de l’élévation, telle qu’elle est écrite, est la
somme des carrés des amplitudes divisée par deux, soit l’intégrale du spectre sur tout le domaine spectral.
On utilisera généralement un tirage au sort aléatoire pour les phases ψ(kx , ky ), avec une distribution
uniforme entre 0 et 2π . Une telle surface aura souvent une apparence plus lisse que l’état de mer réel.
Par ailleurs elle est parfaitement symmétrique entre le haut et le bas, ce qui n’est pas le cas des vagues
réelles. Ces défauts viennent de l’approximation des phases aléatoires qui néglige les effets non-linéaires
de couplage de phase entre différentes composantes. Ainsi les films d’animation et l’industrie des effets
spéciaux utilisent des corrections non-linéaires pour améliorer le rendu visuel. Ce type de correction
non-linéaire est évoqué au §13.3.2.
3.2
3.2.1
Rudiments d’analyse spectrale
Spectre et transformée de Fourier discrète
Le plus souvent, on a seulement une série temporelle en un point fixe : un capteur de pression a une
profondeur connue, un laser infra-rouge ou un radar, monté sur une plate-forme pétrolière ou une digue,
qui mesure l’élévation de la surface. En laboratoire ou l’environnement est plus clément et les élévations
sont plus faibles et connues, on utilise traditionnellement des sondes à capacitance. On a donc un signal
ζ(t) ou p(t) échantilloné à une certaine fréquence fs , typiquement 1 < fs < 4 Hz en mer, et fs ∼ 10 Hz
ou plus en laboratoire. Il est en effet essentiel que la fréquence d’échantillonage soit au moins d’environ
4 fois la fréquence des vagues que l’ont veut mesurer : pour représenter un cosinus, 4 points par période
c’est déjà assez grossier.
Supposons qu’on ait ainsi une série de mesures d’élévation ζ(n) avec 1 ≤ n ≤ N . La durée de
l’enregistrement est (N − 1)/fs . On peut alors utiliser son logiciel favori et calculer une transformée de
Fourier discrète,
N
1 X
dZ(m) =
ζ(n)e−2iπ(m−1)(n−1)/N .
(3.20)
N n=1
31
3.3. UTILISATION DU SPECTRE
On remarque que, avec cette définition, dZ(m) = dZ(N + 2 − m) si bien que le spectre est symétrique
par rapport à m = N/2 qui correspond à la fréquence de Nyquist fs /2.
Pour les variables aléatoires stationnaires de carré intégrable on sait que dZ(m)dZ(m)/df tend vers
E(f ) à la fréquence f = (m − 1)fs /N , quand fs tend vers zéro, avec (N − 1)/fs et f fixés (quand on
augmente la fréquence d’échantillonage jusqu’à l’infini). df = fs /(N − 1) est la résolution spectrale, c’est
la plus petite fréquence mesurable. Cela ce comprend assez bien car cela correspond à une période 1/df
qui est la durée totale de l’enregistrement.
Le spectre E(f ) est donc estimé de manière approchée par
E(f ) = lim
∆f →0
X
f <(m−1)fs /N <f +∆f
dZ(m)dZ(m)
.
∆f
(3.21)
De la même manière le co-spectre de deux variables a et b de transformées dA et dB est approché par
Cab ((m − 1)fs /N ) =
dA(m)dB(m)
= P + iQ,
df
(3.22)
avec P et Q les co-spectres en phase et en quadrature.
Il est aussi intéressant de noter que le produit des tranformées de Fourier de deux fonctions est la
transformée de Fourier de la convolution de ces deux fonctions. Quand ces deux fonctions sont identiques,
on montre que le spectre est la transformée de Fourier de la fonction d’auto-covariance.
3.2.2
Estimation pratique
La transformée de Fourier discrète pour un signal tel que ζ(1) 6= ζ(N ) correspond à une transformée
d’une fonction périodique de période N mais qui aurait un saut à chaque période. Or ce saut va donner
une contribution importante sur tout le spectre et contaminer le ”vrai” spectre : c’est le leakage. Ce
problème est réduit en appliquant une fenêtre qui réduit à zéro les valeurs au début et à la fin de
l’enregistrement (la perte de variance associée est compensée par une correction du spectre final : on
applique une correction de fenêtre). Par ailleurs, pour éviter de perdre l’information dans la région mise
à zéro, on effectue généralement une moyenne des spectres obtenus sur des segments contigus, avec un
recouvrement.
Enfin si l’échantillonnage est trop grossier le signal peut contenir des variations à haute fréquence qui
sont repliées sur le spectre obtenus (aliased en anglais, d’où le nom de repliement ou aliasing pour ce
phénomène). Il est donc souhaitable de filtrer la partie haute fréquence du signal avant de l’échantillonner.
Plusieurs questions se posent alors sur la précision de l’estimation, et il faut alors avoir recours aux
statistiques. En effet, le spectre E(f ) est très incertain. Pour une longueur d’enregistrement fixée, on ne
peut pas connaitre précisément la valeur du spectre. Toute amélioration exige une perte de résolution
fréquentielle. On peut soit lisser le spectre, soit calculer plusieurs spectres en coupant l’enregistrement en
plusieurs morceaux, mais la perte de résolution est identique. La durée des enregistrement doit donc être
assez longue pour être représentative de l’état de la mer. La hauteur moyenne des vagues est déterminée
à environ 10% près si l’enregistrement contient 100 vagues. Pour une période de 10 s, cela oblige à un
enregistrement de l’ordre de 20 minutes, ce qui est utilisé sur les bouées météorologiques. Une plus grande
précision peut être obtenue en allongeant la durée de mesure. On perd alors en résolution temporelle.
Avec une mesure en un seul point, quel que soit la fréquence d’échantillonage, le produit des incertitudes temporelles ∆t = N/fs et ∆f = fs /N est constant et imcompressible. C’est en quelque sorte le
principe d’incertitude de l’analyse spectrale. En pratique on peut améliorer l’estimation en mesurant en
plusieurs points voisins... si le spectre est effectivement unforme dans l’espace.
3.3
Utilisation du spectre
On a donc un spectre. C’est très bien, mais que peut-on en faire ? Tout d’abord il peut être assez
encombrant de décrire l’état de la mer par une fonction de deux variables. Même quand elle est discrétisée
dans un modèle numérique, on a facilement 24 direction et 25 fréquences, soit 600 paramètres, c’est beaucoup trop. Nous allons donc voir comment on condense cette information, après avoir illustré quelques
applications via les fonctions de transfert.
32
3.3.1
Fonctions de transfert
En fonction de l’information souhaitée, on peut tranformer le spectre de la variance de l’élévation
de surface. En particulier, si on veut calculer la variance de la vitesse près du fond, on peut utiliser les
relations de polarisation (2.26)–(2.32). En supposant que θ est l’angle entre l’axe des x et la direction
vers où se propagent les vagues, on a ainsi le spectre de la composante x de la vitesse au fond, au second
ordre en pente des vagues,
σ 2 cos2 θ
E (f, θ)
(3.23)
EU x (f, θ) =
sinh2 (kD)
et le module moyen de la vitesse (en moyenne quadratique) près du fond vaut,
Ub,rms =
Z
0
∞
Z
0
2π
σ2
E (f, θ) dθdf
sinh2 (kD)
1/2
(3.24)
On peut ainsi calculer, des spectres de déplacement, de vitesse, de pente. Pour une particule se
déplaçant en surface, on a en particulier les spectres des déplacements dans les trois directions, toujours
au second ordre, mais cette fois intégré sur les directions, à partir de (2.32),
Z 2π
1
Ex (f ) =
E (f, θ) cos2 θdθ
(3.25)
tanh2 (kD) 0
Z 2π
1
E (f, θ) sin2 θdθ
(3.26)
Ey (f ) =
tanh2 (kD) 0
(3.27)
On peut aussi calculer les covariances de deux variables, par exemple, des déplacements horizontaux
et du déplacement vertical, et qui sont purement imaginaires pour des vagues linéaires car ces grandeurs
sont en quadrature de phase,
Z 2π
i
Cxz (f ) =
E (f, θ) cos θdθ,
(3.28)
tanh(kD) 0
Z 2π
i
E (f, θ) sin θdθ.
(3.29)
Cyz (f ) =
tanh(kD) 0
Ces correlations sont intéressantes car elles sont reliées aux directions moyennes et à l’étalement angulaire
du spectre directionnel.
3.3.2
Relations entre le spectre et l’analyse vague par vague
Le spectre E(f ) représente la répartition de l’énergie en fonction des échelles de temps que sont les
fréquences. Cependant, on peut aussi mesurer les périodes successives entre deux passages de la surface
par le niveau moyen avec une analyse vague par vague et obtenir une distribution des périodes. En faisant
l’approximation que l’élévation de la surface possède une amplitude constante a avec une modulation
aléatoire en fréquence, on peut appliquer le théorème de Woodward (1952) qui donne le spectre à partir
de la distribution des fréquences Pf (f − fc ) avec fc la fréquence centrale (la ”porteuse” dans le langage
des télécommunications),
a2
E(f ) = Pf (f − fc ).
(3.30)
2
Jusque là, il parait difficile de décrire la surface océanique comme un signal d’amplitude constante
avec une simple modulation en fréquence. Ce théorème a été étendu par Blachman et McAlpine (1969)
qui ont aussi introduit une modulation de l’amplitude. Une extension pratique a été donnée récemment
par Elfouhaily et coll. (2003). Le spectre est alors donnée à partir de la distribution conjointe des hauteurs
et périodes, écrite sous la forme P (a, f ) avec a = H/2 et f = 1/T . Elfouhaily et coll. (2003) ont montré
que le spectre dans la région du pic était bien approché par le spectre nu, obtenu dans la limite de
modulations infiniment lentes,
Z
1
Enu (f ) =
a2 P (a, f )da.
(3.31)
2
Pour les mesures de mer du vent analysées, le spectre obtenu classiquement par transformée de
Fourier E(f ) est bien supérieur au spectre nu de Elfouhaily pour les hautes fréquence f > 1.5fp . Cette
33
3.3. UTILISATION DU SPECTRE
Fig. 3.2 – Définition des paramètres M ,m, T1 et T2 utilisés pour estimer l’amplitude a = (M − m)/2, la
période T = T1 + T2 , et les asymétries verticales α = (M + m)/2 et horizontales aπ(T1 − T2 )/(T1 + T2 )/2
c
(tiré de Elfouhaily et coll. 2003, Elsevier).
Attention m < 0, car m est défini comme l’élévation du creux
le plus bas entre les deux zéros-montants qui définissent la vague. Mais pourquoi les zéros montants ?...
cherchez l’erreur sur cette figure : un signal temporel est en pratique le symétrique d’un signal spatial...
sous estimation des hautes fréquence est attribuée à l’absence de modulation rapide, à l’échelle de la
période, dans la description du signal. En prenant en compte de telles modulations, on peut obtenir un
spectre habillé, défini à partir des probabilités conjointes des fréquences et des asymétries α et β (voir
figure 3.2),
Z
Z
1
α2 P (α, f /2)da + β 2 P (β, f /2)da ≃ E(f )
(3.32)
Ehabille (f ) = Enu (f ) +
2
3.3.3
Paramètres spectraux et intégraux : Hs , Tp ...
Puisque le spectre est une décomposition de la variance de l’élévation de surface, le paramètre le plus
important est certainement cette variance, E, souvent abusivement appelée énergie3 .
Puisque E est la variance, E 1/2 est une échelle
de longueur. En revenant aux vagues sinusoı̈dales,
√
la variance est a2 /2 avec a l’amplitude. donc 2E 1/2 est une amplitude équivalente pour des vagues
aléatoires. C’est en fait l’amplitude en moyenne quadratique. De même la hauteur d’une
√vague sinusoı̈dale
est 2a. La hauteur (quadratique) moyenne d’une vague irrégulière est donc Hrms = 2 2E 1/2 .
En pratique l’échelle de hauteur la plus utilisée pour des vagues aléatoires est la hauteur significative
Hs , qui correspond à l’impression visuelle donnée par la mer. Cette impression n’étant pas très précise
scientifiquement, il faut définir une hauteur. A partir de la distribution p(H) on peut définir H1/3 (voir
chapitre 1). A partir du spectre on définit,
Hs ≃ Hm0 ≡ 4E 1/2 = 4
Z
∞
0
Z
2π
S (f, θ) dθE (f ) df
0
1/2
.
(3.33)
C’est cette définition qui sera utilisée par la suite. L’indice ”m0” signifie qu’il s’agit du moment d’ordre
zéro du spectre. On définit par ailleurs le moment d’ordre p de la manière suivante,
mp =
Z
0
∞
Z
2π
f p E (f, θ) df dθ.
(3.34)
0
3 On le rapelle, la densité d’énergie des vagues qui est un nombre de Joules par mètre carré d’océan est en fait ρ gE
w
avec ρw la densité de l’eau, et g la gravité
34
15
Bouée 51001 (Hawaii)
11/01/2007 18:00 UTC
E(f,θ) (m2/Hz/rad)
Hs = 3.1 m
0.0
Tp= 17.8 s
Tm0,2 = 8.0 s
Tm0,-1 = 11.6 s
E(f) (m2/Hz)
10
U10 = 9.5 m/s
5.
10.
15
0.20
0.10
3
0.0
f (Hz)
f0-1 = 0.087 Hz
25
2
1
0.30
20
1: Houle primaire
Hs1 = 1.7 m
Tp1 = 17.8 s
dp = 310°
2: Houle secondaire
5
Hs2 = 2 m
f02 = 0.125 Hz Tp2 = 11 s
dp = 55°
3: Mer du vent
Hsws = 1.6 m
Tpws = 7.5 s
dp = 90°
fp = 0.056 Hz
0
0.1
0.2
0.3
0.4
f (Hz)
Fig. 3.3 – Exemple typique de spectre océanique en zone tropicale, mesuré par la bouée 51001, 350 km
au nord-ouest de l’ı̂le de Kauai, le 11 janvier 2007. Les différentes périodes pic et périodes moyennes
sont indiquées ainsi que les paramètres d’une décomposition du spectre en systèmes de houle primaire,
secondaire et mer du vent. Cette analyse est généralement impossible sans mesure directionnelle. En
particulier la mer du vent n’apparaı̂t que comme une ”épaule” à droite de la houle secondaire, alors
qu’elle est dans une direction bien différente. On notera aussi que la hauteur significative Hs n’est pas la
somme des hauteurs Hs1 , Hs2 et Hsws des 3 systèmes : c’est l’énergie qui s’additionne, pas les hauteurs.
Souvent l’information directionnelle n’est pas indispensable, ou bien elle n’est pas mesurée, et on n’a que
le spectre en fréquence,
Z
2π
E (f, θ) dθ.
E(f ) =
(3.35)
0
Cette distribution de l’énergie en fonction de la fréquence permet de trouver des échelles de temps
caractéristiques des vagues aléatoires. En particulier, le spectre E(f ) a souvent un maximum très marqué
E(fp ) = Emax . fp est la fréquence du pic, correspondant à la période du pic Tp = 1/fp . On peut aussi
définir des périodes à partir du moment d’ordre p, ainsi,
"Z
%1/p
Z
fmax
2π
f p E (f, θ) df dθ
Tm0,p =
0
.
(3.36)
0
Les périodes moyennes les plus usités sont Tm0,1 , Tm0,2 , Tm0,−2 , elles donnent plus ou moins de poids à
la partie haute fréquence ou au pic. Si on s’intéresse à un effet proportionnel à f 2 (c’est généralement
le cas des forces exercées par les vagues sur une structure), il sera logique d’utiliser la Tm0,2 , dans le
cas où toutes les vagues vont dans la même direction, ce qui n’est pas le cas en général (figure 3.3). Par
ailleurs, la période Tm0,2 est très proche de la période moyenne Tz obtenue à partir d’une analyse vague
par vague. Attention toutefois : la définition de Tm0,2 dépend du choix de fmax . Il convient de noter
que toutes ces périodes moyennes ne correspondent à aucune réalité physique. Tout comme le ”français
moyen”, il arrive souvent que la vague moyenne n’existe pas.
Enfin, en définissant,
Z 2π
Z 2π
a1 (f ) =
E (f, θ) cos θdθ/
E (f, θ) dθ,
(3.37)
0
b1 (f )
=
Z
0
2π
E (f, θ) sin θdθ/
Z
0
2π
0
E (f, θ) dθ,
(3.38)
35
3.4. OBSERVATION DE VAGUES ALÉATOIRES
(3.39)
la direction moyenne des vagues de fréquence f est (en radians),
θm (f ) = arctan (b1 (f )/a1 (f ))
(3.40)
et l’étalement directionnel, qui, tel que défini par Kuik et coll. (1988) est l’écart-type de la largeur
spectrale dans la limite d’un spectre étroit (en radians)
h
1/2 i1/2
.
)
σθ (f ) = 2 1 − (a21 (f ) + b21 (f )
(3.41)
Pour un spectre √
isotrope avec une répartition uniforme de l’énergie sur toutes les directions, σθ est
maximal et vaut 2 radians soit 81◦ . On pourra en particulier caractériser les propriétés directionnelles
des vagues par la direction moyenne et l’étalement du pic spectral θm (fp ) et σθ (fp ). θm (fp ) est souvent
appellée direction principale, alors que la direction moyenne sera plutôt une moyenne sur l’ensemble du
spectre,
Z
Z
∞
θM = arctan
∞
b1 (f )E(f )df /
0
a1 (f )E(f )df
.
(3.42)
0
Pour ces directions, il convient de faire attention aux conventions choisies. Il est usuel de compter les
direction à partir du nord (direction 0) en progressant dans le sens anti-trigonométrique (dans le sens
des aiguilles d’une montre : 90 est, 180 sud, 270 ouest). Cela oblige donc a convertir les directions quand
on fait les calculs de a1 et b1 dans un repère direct. Par contre, suivant les auteurs, la convention de sens
est soit météorologique (direction d’où viennent les vagues et le vent, choix qui est fait dans le présent
ouvrage), soit océanographique (direction vers où portent les vagues et le courant). Il convient donc de
faire très attention.
D’après leurs définitions, on peut calculer a1 et b1 à partir du spectre de l’élévation E(f ) et des
co-spectres élévation - déplacement horizontal, Exz et Eyz donnés par (3.28) et (3.29). Nous allons
maintenant voir comment on mesure et calcule ces grandeurs.
3.4
3.4.1
Observation de vagues aléatoires
La perche à houle
Il s’agit de l’instrument de référence, qui mesure directement la position de la surface libre à la
verticale d’un point fixe. La mesure se fait soit à partir de la résistance ou de la capacité dans le circuit
constitué par un (ou deux) fils conducteurs formant une boucle fermée par la surface de la mer. Si cette
mesure est la plus courante en laboratoire (on parle de sondes à houle), elle est plus délicate en mer
car il faut un support fixe (plateforme, ancrage ... ) et les forces exercées par les vagues sur les perches
sont importantes. Il faut aussi prévoir une perche de grande longueur pour mesurer des vagues de grande
hauteur. Ces perches peuvent aussi être montées sur une bouée qui filtre les vagues les plus longues par
son mouvement (Graber et coll. 2000). Les perches sont le plus souvent associées en réseau (voir cidessous) de plusieurs perches sur une même plateforme, afin de permettre une estimation de la direction
des vagues (Cavaleri et coll. 1981). De manière équivalente des systèmes radars ou lidar sont maintenant
utilisés pour réaliser ces mesures par une mesure de temps d’aller-retour d’une onde électromagnétique
ou sonore, entre l’émetteur et la surface de la mer.
3.4.2
La bouée houlographe
Les accélérations verticales (pilonnement) subies par une bouée flottant en surface donnent, après une
double intégration, un signal d’élévation de la surface ζ(x, y, t). Suivant le type d’instrument et la présence
éventuelle d’un courant, la position horizontale (x, y) n’est pas fixe mais suit, à peu près, le mouvement
orbital des vagues. Cette propriété peut être assez gênante pour les puristes de la forme des vagues
car une partie de la non-linéarité de la surface est absente du signal mesuré (le mouvement Lagrangien
linéaire contient une partie de la non-linéarité Eulérienne). En plus de cette mesure de pilonnement, qui a
longtemps été la plus répandue, la direction des vagues peut être déterminée en faisant aussi une mesure
des accélérations horizontales, qui donne, par intégration, les déplacements horizontaux x et y (figure
3.4.2). L’utilisation du positionnement précis par satellite (GPS et bientôt Galiléo) permet désormais
36
x (m)
y (m)
z (m)
6
4
2
0
-2
-4
300
350
400
450
temps (s)
500
550
Fig. 3.4 – L’instrument et la mesure
Bouée Datawell Waverider de 0,9 m de diamètre, équipée d’une (grande) antenne radio HF et d’une
(petite) antenne satellite Orbcomm pour la transmission des données. A droite, exemple de déplacements
mesuré par cette bouée au large de Crozon en mai 2004 (même série que la figure 1.2). Il va sans dire
que les creux de 10 m n’ont pas été mesurés au moment de la mise à l’eau.
une mesure directe de la position, ce qui peut avoir certains avantages, en particulier pour les vagues de
très basse fréquence. Plusieurs modèles sont commercialisés par Oceanor et Datawell sur ce principe.
Les bouées de plus grande dimension utilisent plutôt une mesure des deux composantes ∂ζ/∂x et
∂ζ/∂y, de la pente locale de la surface : tangage et roulis, comme les premiers prototypes de LonguetHiggins et coll. (1963), Cartwright et Smith (1964). C’est le cas des bouées de 3 m de diamètre utilisées
par le National Data Buoy Center (NDBC) des Etats-Unis. Les deux méthodes, accélération et tangageroulis permettent, grâce aux covariances des 3 signaux, de déterminer les 4 premiers coefficients de Fourier
de la distribution angulaire, qui sont aussi appelés moments angulaires,
– a1 et b1 , définis par (3.37)–(3.38) et calculés à partir des cospectres Exz et Eyz (equations 3.28–3.29)
– a2 et b2 définis comme a1 et b1 en remplaçant cos θ et sin θ par cos 2θ et sin 2θ, respectivement.
Une mesure plus complète du spectre directionnel a été mise au point, mais elle a rencontré peu de
succès : la bouée en trèfle, qui consiste en 3 bouées tangage-roulis reliées entre elles. Ce curieux assemblage
permet de mesurer la courbure de la surface et les coefficients de Fourier jusqu’à a8 et b8 . Pour une bouée
classique, on est réduit à estimer la fonction S(f, θ) à partir des quatre nombres indépendants que
sont a1 , b1 , a2 et b2 . On sort alors du domaine de la mesure pour entrer dans celui de la théorie des
estimateurs. Parmi ces nombreuses méthodes statistiques on peut utiliser avec assez grande confiance
la Méthode de l’Entropie Maximale (MEM, Lygre et Krogstad 1986) qui a l’avantage de conserver les
moments angulaires a1 , b1 , a2 , b2 ... quand on manque d’information on maximise l’entropie ! Lorsque
les mesures sont un peu bruitées, La méthode de Lygre et Krogstad a cependant tendance à donner une
forme bi-modale (avec deux maxima) qui n’est pas toujours réaliste (Benoit et coll. 1997).
D’autres techniques d’analyse sont apparues récemment pour essayer d’augmenter la résolution directionnelle de ce type de mesures. Par exemple Donelan, Drennan et Magnusson (1996) ont proposé
une méthode intéressante basée sur une décomposition en ondelettes. Malheureusement, leur méthode
suppose que le champ de vagues dans une gamme de fréquence donnée est à tout instant dominé par des
vagues venant d’une seule direction, ce qui ne peut être prouvé. Ce type d’analyse donne une résolution
angulaire étonnante mais son interprétation est délicate. De telles méthodes d’analyse non-stationnaire
sont le sujet de recherches actives, en particulier pour étudier les événements transitoires et non-linéaires
comme les vagues scélérates (freak waves).
3.4.3
Le capteur ”P-U-V”
Comme son nom l’indique, il mesure la pression p et les deux composantes de la vitesse u, v. C’est en
fait l’assemblage de deux instruments qui sont un courantomètre (acoustique ou électromagnétique car
un temps de réponse rapide est nécéssaire), et d’un capteur de pression, souvent piezo-électrique. Tout
l’intérêt de cet instrument est qu’il est fait pour être posé sur le fond : c’est le mouillage le plus simple
que l’on puisse imaginer ... si on ne se préoccupe pas des pêcheurs de coquille et autres usagers de la
37
Hs: 1.64m
fp:0.0659 Hz
θp: 83.27 deg
σθ,p: 14.87 deg
5
(a)
(b)
4
3
E ( f ) (m2 s)
0.20 0.15 0.10 0.05 0.00
f (Hz or s-1)
2
1
0
0
19
38
57
76
Densité d'énergie E (f,θ) /f (m2 s2)
95
0.05 fp
2fp 0.15
Fréquence (Hz)
0.10
0.2 0
Fig. 3.5 – Spectre de vagues
(a) Exemple de spectre de vagues frequence-direction, divisé par la fréquence, calculé à partir de mesures
de pression par 8 m de fond à Duck, NC, 19 October 19, 1994, 7 :00–10 :00 Eastern Standard Time
(UTC-5h). (b) Spectre en fréquence correspondant, pour lequel le pic secondaire correspondant à la
première harmonique du pic principal f = 2fp est probablement du à des effets non-linéaires, qui sont
particulièrement importants en eau peu profonde.
mer. Par ailleurs il n’est pas facile de récupérer les données en temps réel (câblage, modems acoustiques
avec bouée de surface, bouée de transmission faisant du yoyo ...).
On a vu au chapitre 1 que la pression et la vitesse décroissent exponentiellement depuis la surface
jusqu’au fond, avec une échelle qui est la longueur d’onde 2π/k. Le ”P-U-V” est donc parfait si on veut
mesurer l’agitation sur le fond. Pour mesurer la hauteur des vagues on peut utiliser la théorie qui nous
donne pour chaque composante spectrale les fonctions de transfert entre pression, vitesse, élévation etc.
(par exemple l’équation 3.23). Dans ce cas, plus la mesure est faite près de la surface et plus elle sera
précise (instrument sur une plateforme fixe ou flottante).
3.4.4
Réseaux de capteurs
De la même manière que la bouée trèfle a été conçue pour mesurer plus de covariances entre les
mesures de plusieurs capteurs, on peut très bien utiliser plusieurs perches à houle. Ce type de mesure a
permis d’obtenir les premiers spectres précis (Donelan, Hamilton et Hui 1985), et est en particulier utilisé
pour les études sur les interactions océan-atmosphère, pour lesquelles, comme nous le verrons, le spectre
des vagues courtes est déterminant (Graber et coll. 2000, Pettersson et coll. 2003). Il est primordial
de coordonner les mesures pour que le réseau soit cohérent (des techniques similaires sont utilisées en
SONAR et RADAR pour déterminer la provenance d’échos).
Ces techniques ont été largement appliquées à des réseaux de capteurs de pression, avec de nombreuses
méthodes statistiques d’estimation du spectre (voir Davis et Regier, 1977 ; Long et Hasselmann, 1979 ;
Pawka, 1983 ; Herbers et Guza, 1990). Un exemple de spectre est donné sur la figure 3.5, déterminé à
partir d’un réseau cohérent de capteurs de pression par 8 m de fond, sur le site de l’U. S. Army Corps
Field Research Facility à Duck, Caroline du Nord. Pour des réseaux de grande taille, le positionnement
des instruments sous l’eau doit être très précis. On utilise typiquement un positionnement acoustique.
De telles estimations sont d’autant plus précises que le nombre de capteurs dans le réseau cohérent est
important. Les réseaux de capteurs sont donc les instruments de référence, mais il sont extrêmement cher
et difficile à mettre en œuvre. Toutefois, des comparaisons on montré que pour les paramètres calculés
à partir des moments a1 , b1 , a2 et b2 , la bouée directionnelle Datawell Waverider, par exemple, donne
d’excellents résultats (O’Reilly et coll., 1996). Ce n’est que lorsqu’on a besoin de plus de détails sur
la forme du spectre (séparation claire entre ondes incidentes et réfléchies, présence de plusieurs trains
de houle ...) que les réseaux deviennent utile. Une variante récente et très pratique est l’utilisation de
profileurs de courant (ADCP) en visée horizontale (ce qui permet la meilleure résolution angulaire, mais
demande un support vertical) ou verticale. La combinaison des vitesses mesurées dans les différents
faisceaux acoustiques permet, en principe, une mesure intéressante du spectre directionnel.
Puissance reçue
38
Numero de porte
Fig. 3.6 – Altimètre et forme d’onde
Forme d’onde moyenne pour l’altimètre TOPEX en bande Ku, et pour une hauteur Hs = 7 m. Les points
E4, L4, E6 et L6 sont les valeurs de la puissance utilisées pour calculer, dans ce cas, la hauteur des vagues
en moyenne quadratique (tiré de Quartly 2000 (copyright American Meteorological Society). Les ”bins”
sont les portes, correspondant ici à une distance d’aller-retour de 47 cm. La montéé en puissance du
signal entre les niveaux E4 et L4 s’étale sur une dizaine de portes, soit une distance de 4.7 m, proche de
la hauteur Hrms ≃ Hs /1.4. Les échos dans les portes au delà de 45 viennent de la surface de la mer qui
n’est pas juste au dessous du satellite mais sur le côté et quand même éclairée par le faisceau radar.
3.4.5
L’altimètre satellite
Hs est déterminé de manière indirecte à partir de la forme des échos des altimètres radar (voir par
exemple Quartly., 2000), rétro-diffusés par la surface de l’océan. Les impulsion envoyées par l’antenne
radar sont réfléchies par une zone de l’océan qui s’étend, si bien que la puissance de l’écho reçu par
l’altimètre augmente avec le temps au fur et a mesure que la zone éclairée occupe une plus grande surface.
Sur l’instrument TOPEX, l’écho reçu est découpé en 128 portes de durée 3,125 ns (nanosecondes), soit
une distance aller-retour parcourue de 47 cm par l’onde électromagnétique, ce signal est compressé en
64 portes pour réduire le volume des données transmises. Ainsi la résolution de l’altimètre n’est que de
47 cm. Or la précision mesurée est bien meilleure dès que la hauteur des vagues est suffisante car les
échos s’étalent alors dans le temps. La figure 3.6 montre la forme d’onde moyenne mesurée par TOPEX
pour une hauteur Hs = 7 m. La mesure altimétrique est, en 2007, la seule mesure des vagues qui soit
disponible de manière globale et utilisée pour la prévision opérationnelle des vagues (par assimilation de
données). La hauteur significative est déterminée par la pente de la courbe de puissance dans sa partie
montante. Elle intervient aussi dans une correction importante (le biais électromagnétique, ‘E-M bias’
en anglais) sur l’élévation de la surface moyenne mesurée par ces altimètres. Malheureusement, avec un
altimètre, on ne peut mesurer que Hs , une pseudo-période et une pente moyenne de la surface. La mesure
du spectre doit utiliser d’autres techniques radar.
3.4.6
Spectres par radar
Depuis l’invention du radar il est apparu que la mer était une source importantes d’échos, dans touts
les domaines radar (du décamétrique au micro-ondes), en particulier grâce aux propriétés diélectriques de
l’eau de mer. Un radar actif mesure ainsi une puissance électromagnétique reçue par son antenne. Cette
puissance (en Watts) est normalisée par la distance antenne-cible, la taille de l’antenne, la puissance
émise. C’est la section efficace radar normalisée, notée σ0 . σ0 dépend de la géométrie de la surface et
de la mesure (angle d’incidence, direction de visée) ainsi que des caractéristiques électromagnétiques
(polarisation, longueur d’onde radar). En particulier, σ0 dépend fortement de la longueur d’onde radar
et de l’angle d’incidence des ondes radar par rapport à la surface. Un radar qui regarde verticalement
vers le bas (au nadir) verra de fortes valeurs de σ0 si la mer est lisse. En présence de vagues, on peut
considérer que l’écho de la surface est la somme incohérente des échos de facettes, et, pour une distribution
Gaussienne des pentes de la surface on trouve que σ0 est proportionnel à la moyenne des pentes au carré
39
H= 500 km, Rotation= 6 tour/min, incidences 6, 8, 10°
100
80
60
Zone
1
40
satellite
20
0
-200
-100
0
-20
100
Zone
2
200
300
400
500
600
-40
-60
-80
-100
Fig. 3.7 – Schéma de principe de la mesure de spectres directionnels par le radar SWIM qui sera embarqué
sur CFOSAT. 3 faisceaux tourant autour la verticale mesurent des spectres en une dimension E(k, θ0 ))
dans toutes les directions θ0 , figurées par les flèches. La combinaison de tous ces spectres permet de
produire un spectre directionnel complet (Schéma de Hauser 2007).
(mean square slope ou mss, en anglais).
Pour des angles d’incidence entre 20 et 50 degré (le radar regarde sur le côté) c’est le mécanisme
de résonance de Bragg qui semble expliquer l’essentiel des échos. Dans ce cas l’intensité de l’écho est
proportionnelle au carré de l’amplitude des éléments de rugosité (en mer : vagues, fronts déferlants ...)
dont la longueur d’onde est proche de la moitié de la longueur d’onde radar (projetée sur la surface avec
l’angle d’incidence local). Actuellement les mesures les plus utilisées sont dans le domaine des longueurs
d’ondes centimétriques, en particulier avec les radars à synthèse d’ouverture (RSO ou SAR en anglais)
sur les satellites ERS 1/2, ENVISAT et RADARSAT. Le lancement d’ERS-1 a d’ailleurs été l’occasion
de nombreuses études sur la mesure du spectre des vagues afin d’utiliser ces données pour la prévision
des vagues. Les mécanismes de réflexion radar sont tellement complexes que c’est seulement aujourd’hui
que l’interprétation de ces données est enfin d’assez bonne qualité pour être utile à la prévision (Aouf et
al. 2006).
Les longueurs d’ondes utilisées par ERS et ENVISAT étant de 5,3 cm (fréquence 5,3 GHz, bande
C), le radar est sensible a des rugosités d’échelles de l’ordre de λB = 5 cm, dans le domaine des vagues
de gravité-capillarité. Or l’amplitude de ces vagues et l’angle d’incidence local sont modulés par les
plus grandes vagues sous l’éffet d’interactions hydrodynamiques et par l’ajout de la pente des vagues
longues (longues par rapport à λB ). Traditionellement cet effet est décrit par une fonction de transfert
de modulation M , qui est un nombre complexe, reliant les variations de σ0 à l’amplitude et la phase d’une
vague longue d’amplitude complexe A : σ0 = Re(σ0 (1 + M A)). Pour de faibles modulations on applique
alors ce principe à un spectre, et on trouve que le spectre R(kx , ky ) de l’image radar (la trasformée
de
Fourier de σ0 ) est reliée au spectre d’élévation de la surface E(kx , ky ) = R(kx , ky )/ M 2 (kx , ky ). C’est
le principe du radar à ouverture réelle, comme les instruments aéroporté RAWS développé par la NASA
(Jackson et coll. 1985) et STORM mis au point en colloboration entre le CNRS et le CNES (Hauser
et coll. 1992) et dont une nouvelle version, SWIM, devrait voler sur le China-France Ocean Satellite
(CFOSAT, figure 3.7 ).
3.4.7
Synthèse d’ouverture
On sait bien séparer les échos dans la direction de visée en utilisant le temps d’aller-retour (delay
en anglais) des ondes, c’est le principe de l’altimètre. Par contre dans l’autre direction (azimuth), tous
les échos arrivent en même temps. Une solution est offerte par la technique de la synthèse d’ouverture.
Il s’agit d’utiliser la variation du décalage Doppler des échos en fonction de leur position en azimuth :
un écho qui vient de devant possède une fréquence plus élevée qu’un écho qui vient de l’arrière. C’est
très bien si les cibles (la surface océanique) ne bougent pas, on peut alors obtenir une bonne résolution
(de l’ordre de 10 m pour ENVISAT), à la fois sur la direction de visée (range) et sur la direction de
vol du satellite (azimuth). Et on obtient donc une carte ‘delay-Doppler’ ou les échos forment une image
car il sont positionnés suivant leur temps d’aller-retour et leur décalage Doppler. Malheureusement ces
positions ne sont pas de vraies positions géographiques si la surface bouge... ainsi un train sur une image
40
80
Jersey
40
y (km)
60
20
St Malo
Mont St Michel
0
1
2
3
4
5
Hs (m)
Fig. 3.8 – En haut : extrait d’une image SAR acquise le 9 mars 2003, baie de Cancale. Le niveaude gris est
une fonction de la section efficace radar, qui est modulée par les vagues, en particulier autour de la pointe
du Grouin. En bas, carte des hauteurs de vagues et direction moyennes calculées à partir des spectres de
vagues extrait de l’image (Les points marqués AWA et SA1 sont des points de mouillage d’instruments
in-situ utilisés pour la validation de la mesure des spectres par le SAR, voir Collard, Ardhuin et Chapron
2005).
3.5. LES LIMITATION DE LA DESCRIPTION DES VAGUES PAR UN SPECTRE
41
SAR apparaı̂tra à côté de ses rails. Pour les vagues, on a un effet de ‘velocity bunching’ : les échos sur
l’image sont déplacés de leur position réelle en fonction de leur vitesse sur l’axe de visée du satellite. Ce
mécanisme est souvent la principale cause de la modulation de σ0 par les vagues (figure 3.8). Tant que
le déplacement des pixels est inférieur à la longueur d’onde il peut aussi être décrit par une fonction de
transfert de modulation (Mvb ). En pratique Mvb est proportionnel à la vitesse orbitale dans la direction de
visée. A partir d’une certaine valeur de Mvb , on ne voit plus les vagues sur l’image. Ainsi les composantes
spectrales de faible longueur d’onde qui se déplacent dans la direction azimuthale sont invisibles. Cette
coupure azimuthale (azimuth cut-off) est la cause principale de la limitation de l’utilisation du SAR
(Kerbaol, Chapron et Vachon 1998). Ainsi, dès que le vent est un peut fort, des vagues courtes avec
une vitesse orbitale relativement élevée empêchent de voir la partie du spectre qui se propage dans la
direction azimuthale, sauf pour les houles les plus longues. Dans certains cas exceptionnels de vent faible,
on peut mesurer des vagues courtes dans la direction azimuthale qui sont visible grâce aux modulation
de l’angle d’incidence par la pente de la surface (figure 3.8, autour de SA1).
Enfin, toute image de la surface est forcément ambigüe quant à la direction de propagation des
vagues. Afin de lever cette ambiguı̈té on peut utiliser le temps d’intégration du radar : l’image n’est pas
tout à fait un instantané. En utilisant plusieurs séquences consécutives de l’enregistrement (on parle de
”vues”) , on est capable de recréer plusieurs images de la surface, vue à quelques dixièmes de seconde
d’intervalle. Ces différentes vues sont aussi utilisées pour améliorer la qualité du spectre qui est alors
calculé par corrélations entre vues, ce qui permet de réduire considérablement le bruit (Engen et Johnsen
1995, Chapron, Johnsen et Garello 2001).
3.4.8
Radar en incidence rasante
L’existence du fouillis de mer (sea clutter) sur les images des radars de navigation est la limitation
principale à la détection des navires. Depuis plusieurs années ce fouillis de mer a été mis à profit pour en
tirer une mesure des vagues. On utilise alors un radar de navigation classique, en bande X (λ ≃ 3 cm)
sur un navire ou une station à terre. L’angle d’incidence est alors rasant et, en plus de la modulation
des vagues de Bragg, on voit aussi apparaı̂tre l’ombre portée par les vagues. Malgré les forts effets
non-linéaires liés aux ombres, les techniques de calcul du spectre utilisent une fonction de transfert de
modulation (figure 3.9). Par ailleurs, afin de réduire le bruit et d’estimer la direction de propagation
des vagues l’analyse utilise une séquence de plusieurs images. On peut ainsi calculer le spectre en trois
dimensions (fréquence et nombres d’ondes), et en utilisant la relation de dispersion pour les vagues
linéaires, filtrer tout ce qui s’en écarte. Ce type de système donne généralement une bonne distribution
spectrale de l’énergie mais sa faiblesse est la détermination du gain, le facteur de proportionnalité entre le
spectre de l’image radar et le spectre de l’élévation de la surface. Une mesure complémentaire (altimètre,
tangage / roulis d’un bateau) peut fournir ce gain de manière indépendante.
3.4.9
Radar à onde de surface
Un cas extrême d’incidence rasante se produit quand les ondes radars se propagent le long de la
surface. Ce type de propagation est possible dans le domaine HF-VHF (de 2 à 50 MHz). L’avantage de
cette onde de surface est qu’elle permet d’observer au delà de l’horizon. Il semble que la réflexion de l’onde
radar soit bien décrite par une théorie de Bragg (Barrick, 1972), si bien que le spectre Doppler observé
peut être interprété comme la superposition de réflexions simples (dites de premier ordre) et multiples.
L’extraction de spectres d’état de mer est possible à partir du second ordre qui est une convolution
du spectre (voir par exemple Wyatt 2000). Ces échos de second order sont plus faibles que les échos
du premier ordre aux fréquences de Bragg (figure 3.10). Les échos principaux sont eux utilisés pour la
mesure des courants. Il s’agit plus exactement d’une mesure de la vitesse de phase des ondes de Bragg
qui peut être interprétée comme un courant de dérive en surface (voir Ardhuin et al., 2009b).
3.5
Les limitation de la description des vagues par un spectre
Le spectre décrit l’ensemble des propriétés statistiques des vagues si les composantes sont effectivement
indépendantes. Or ce n’est pas tout à fait vrai car les vagues sont faiblement non-linéaires. Il existe deux
grandes catégories de relations entre composantes : la présence d’harmoniques et les modulations. Le
premier effet vient du fait qu’un seul train de vagues non-linéaire correspond à plusieurs composantes
spectrales dont le nombre d’onde et la fréquence sont des multiples de ceux de la porteuse. Rigoureusement
il faudrait avoir le spectre tridimensionnel E(k, f ) pour discerner ces harmoniques, qui ne vérifient pas
42
Antenne radar
(9 pieds)
Image radar C
Position du bateau
lors des mesures
Spectre correspondant
à l'image C
Image radar B
Image radar A
Fig. 3.9 – Exemples d’images radar acquises avec un système WaMoS, commercialisé par Oceanwaves
GmbH, sur le bâtiment hydrographique Laplace. Les mesures ont été faites en mars 2003 avec une forte
houle d’ouest (Hs = 6 m, Tp = 16 s). Le spectre montré ici est obtenu à l’abri d’Ouessant. On remarque
que la houle forme deux trains qui contournent les ı̂les par le sud et par le nord.
3.5. LES LIMITATION DE LA DESCRIPTION DES VAGUES PAR UN SPECTRE
43
Fig. 3.10 – Exemple de spectre rétro-diffusé reçu par un radar HF.
Mesures réalisées à partir du radar de Porspoder, dans le Finistère (France). La fréquence du radar est
12.4 MHz, donc une longueur d’onde Le = 2π/ke = 24 m. L’écho principal est lié au phénomène de Bragg,
qui sélectionne donc les vagues de longueur d’onde Le /2 = 12 m qui se propagent vers le radar (f > 0) ou
dans la direction opposée (f < 0), c’est la réflexion de premier ordre, ou des combinaisons de réflections
multiples sur des vagues de vecteurs d’onde k1 et k2 , tels que 2ke = k1 + k2 , qu’on appelle réflexion
de second
√ ordre. Pour le premier ordre, la fréquence des vagues linéaire de nombre d’onde k = 2ke est
fB = ± g2ke = ±0.36 Hz en eau profonde. Le décalage df des deux principaux pics du spectre par
rapport à cette valeur théorique montre que la vitesse de phase 2πf /k est différente de la valeur pour
de vagues linéaires sans courant. La source principale de décalage est le courant dans la direction de
visée du radar Ur = 2πdf /(2ke ). Les pics secondaires remplis d’hermines sont les pics de “second ordre”
causés soit par la réflexion des ondes radar sur les harmoniques croisées de deux ondes libres, soit par la
réflexion multiple
√ des ondes radar à la surface, soit une combinaison des deux. Dans certains cas on voit
aussi un pic à 2fB qui correspond à l’écho des
√ premières harmoniques des vagues de vecteur d’onde
k = ±ke , dont la fréquence en eau profonde, 2 gke est différente de celle des vagues de Bragg .
44
la relation de dispersion de la partie linéaire. L’estimation du spectre 3D demande des moyens de mesure
spécifiques. Le lien entre le spectre 3D et la ”partie linéaire” du spectre, est le sujet de recherches actuelles.
La technique de calcul du spectre nu et habillé de Elfouhaily et al. (2003) est une approche : le spectre
nu étant le spectre de la partie linéaire et son habillage correspondant à la partie non-linéaire.
La modulation est un peu plus compliquée. Typiquement des vagues courtes en présence de vagues
beaucoup plus longues voient le milieu modifié. La gravité apparente pour les vagues courtes est la
gravité plus l’accélération verticale liée au mouvement des vagues longues. De même, la vitesse orbitale
des vagues longues agit comme un courant variable pour les vagues courtes et la profondeur est elle aussi
modulée. Ces effets sont probablement la cause du déferlement préférentiel des vagues courtes sur les
crêtes des vagues longues. Le spectre des vagues courtes est alors modulé par celui des vagues longues.
En pratique, dans la mer du vent, de tels effets sont assez faibles pour des vagues de fréquence inférieure
à trois fois la fréquence du pic spectral (Banner et coll. 1989). Ce facteur 3 sur la fréquence, correspond
à un facteur 9 sur les longueurs d’onde (en eau profonde).
Chapitre 4
Vagues observées : paramètres
principaux et spectres
Une simple observation de l’océan permet de se rendre compte assez facilement que plus le vent souffle
fort, plus la hauteur H et la longueur d’onde L des vagues sont importantes. On observe aussi assez vite
que L et H varient avec la taille du plan d’eau considéré : un grand lac peut avoir des vagues plus grandes
qu’une mare, et dans l’océan on peut observer des vagues jusqu’à environ 40 m de haut et de longueurs
d’onde supérieure à 600 m. On voit enfin que la hauteur des vagues augmente au fur et à mesure que
l’on s’éloigne du rivage dans le sens du vent.
4.1
Croissance avec le fetch
Ces observations élémentaires ont été systématiquement rassemblées par Sverdrup et Munk, dès 1941,
afin d’élaborer une méthode de prévision pour les forces alliées (leur travaux, d’abord secrets, n’ont été
publiés qu’en 1947). Ils ont ainsi organisé des observations aussi disparates que celles faites dans des
étangs et au milieu de l’océan en utilisant l’analyse dimensionnelle avec les variables élémentaires que
sont H, T , U10 (la vitesse du vent à 10 m au dessus de l’eau), le fetch X, la durée du coup de vent t et la
gravité g. Le fetch est la longueur de l’aire génératrice sur lequel les vagues ont été activement générées.
En pratique, X n’est pas facile à définir précisément. Le choix de U10 comme variable représentant la
force du vent est relativement arbitraire. De nombreuses études ont longuement débattu du fait que la
vitesse de frottement dans l’air u⋆a = (τa /ρa )1/2 était probablement plus pertinente, mais l’étalement
des observations est tout aussi important avec cette variable et comme U10 est plus souvent mesuré que
u⋆a , il est plus facile à utiliser.
En considérant des cas de vent uniforme, constant, et soufflant perpendiculairement à la côte, Sverdrup
4
et Munk ont trouvé que l’on peut exprimer E ⋆ = H 2 g 2 /U10
, qui est un nombre sans dimensions, en
fonction de
2
X ⋆ = Xg/U10
(4.1)
et
t⋆ = tg/U10 .
(4.2)
Et de même pour 1/fp⋆ = T g/U10 . Pour des vagues aléatoires, on utilise maintenant
4
E ⋆ = Eg 2 /U10
(4.3)
fp⋆ = fp U10 /g
(4.4)
et
avec E et fp la variance de l’élévation de la surface et la fréquence au pic spectral, respectivement.
La figure (4.1) montre les valeurs observées pour t⋆ > 105 (la durée peut alors être considérée comme
infinie) lors de la campagne SHOWEX de 1999, au large de la Caroline du Nord, en comparaison avec
les observations moyennes de campagnes précédentes.
Malgré l’apparente simplicité de la situation considérée, des écarts importants subsistent entre les
différents jeux de données, en partie à cause des incertitudes sur les variations du vent qui n’est jamais
rigoureusement stationnaire ou uniforme, ni vraiment perpendiculaire à la côte... qui elle même n’est
45
46
CHAPITRE 4. VAGUES OBSERVÉES : PARAMÈTRES PRINCIPAUX ET SPECTRES
y
Vent
Terre
Energie de la mer du vent E*
x (fetch)
10
10
-3
Total windsea (observed)
High frequency windsea
KC1992 unstable
KC1992 stable
JONSWAP
Kahma 1981
Fully developped:
Alves et al. 2003
-4
10
3
10
4
Fetch X*
0.5
Fréquence du pic fp *
0.4
0.3
0.2
0.1
Fig. 4.1 – Croissance des vagues avec le fetch, mesures de la campagne SHOWEX. La direction du vent
légèrement oblique (20◦ par rapport à la direction perpendiculaire à la côte) produit un double pic de la
mer du vent pour les fetchs courts. Près de la côte, on peut ainsi séparer une partie haute fréquence (en
rouge) qui est dans la direction du vent de l’ensemble de la mer du vent (en noir).
47
4.2. DÉVELOPPEMENT COMPLET ET ÂGE DES VAGUES
jamais rectiligne et infinie. Un travail minutieux de comparaison (Kahma et Calkoen 1992, Young 1998)
indique qu’une partie des différences entre les observations serait liée à la différence de température entre
l’air et l’eau. La cause physique n’est pas encore élucidée, mais comme on le verra au chapitre suivant
la croissance des vagues dépend de la variation verticale du vent, qui est influencée par la stabilité. Par
ailleurs, une plus forte variabilité du vent (rafales) est associée aux conditions instables (Tair < Tmer ),
ce qui peut fortement augmenter l’énergie des vagues pour les mers assez développées (X ⋆ > 104 , voir
Abdalla et Cavaleri 2002). On peut enfin imaginer que la génération d’ondes internes, dans l’eau, puisse
absorber une partie de l’énergie des vagues en cas de stratification stable (l’océan étant aussi probablement
stratifié), mais aucune étude quantitative n’a été faite sur le sujet : ce n’est pas le travail qui manque.
4.2
Développement complet et âge des vagues
Pour les grandes valeurs du fetch, l’énergie et la fréquence semblent tendre vers une limite asymptotique. Malheureusement les fetchs infinis n’existent pas en pratique et il y a très peu d’observations avec
un vent uniforme et stationnaire pour X ⋆ > 104 . Ainsi, Pierson et Moskowitz (1964) ont dû sélectionner
avec beaucoup de soin 55 observations de navires météorologiques pour obtenir les valeurs asymptotiques
E ⋆ = 0.00402 et fp⋆ = 0.123. Une ré-analyse récente de ces observations (Alves et coll. 2003) confirme
que les fetchs pouvaient effectivement être considérés comme infinis.
L’état de développement des vagues est plus souvent décrit par l’âge des vagues Cp /U10 avec la vitesse
de phase au pic, Cp = 2πfp /kp . Ce paramètre permet, pour un état de mer donné de séparer la mer du
vent qui est activement générée par le vent (vagues jeunes) de la houle sur laquelle le vent n’a presque
pas d’effet (vagues âgées). Donelan et coll. (1992) ont montré que la croissance des vagues s’arrêtait pour
Cp /U10 = 1.2, ce qui confirme les analyses de Pierson et Moskowitz (1964). On remarque que pour une
mer pleinement développée les vagues correspondant au pic spectral se propagent légèrement plus vite
que la vitesse du vent.
4.2.1
Limitation par le fetch
L’étendue de la zone où le vent est supérieur à une certaine valeur de U10 est en pratique finie. La
dimension restreinte de cette “zone de génération” peut limiter l’état de la mer. On peut alors essayer
de formuler une loi de croissance des vagues par fetch limité sous la forme suivante, donnée par Elfouhaily
et coll. (1997), avec X0⋆ = 2.2 × 104 ,
U10 /Cp
Hs
!
=
0.84 tanh
=
U2
0.26 10
g
!
X⋆
X0⋆
tanh
0.4 #−0.75
X⋆
X0⋆
,
0.4 #1.25
.
Au vu des incertitudes et du peu de mesures pour X0⋆ ≃ X ⋆ , on peut aussi utiliser,
U10 /Cp
Hs
−0.3
X⋆
= 0.84 min
,1
,
X0⋆
0.5
X⋆
U2
,
1
.
= 0.26 10 min
g
X0⋆
(4.5)
(4.6)
La transition abrupte entre croissance et développement complet qu est donnée par l’utilisation du
minimum au lieu de la fonction tanh est en outre compatible avec les observations de Walsh et al. (1989).
On rappelle que, en eau profonde,
gTp
Cp =
(4.7)
2π
4.2.2
Limitation par le temps
Si le vent est établi depuis peu de telle sorte que t⋆ < 105 , l’état de développement des vagues peut
être approximativement trouvé en recalculant l’inverse de l’âge U10 /Cp et Hs en remplaçant X ⋆ par
X ′ = (t⋆ /70)1.3 ,
(4.8)
48
et en prenant la valeur la plus faible (plus forte) des deux valeurs trouvée pour Hs (pour U10 /Cp ), respectivement (voir CERC 1977). Pour une évaluation plus précise et une validation avec des observations, le
lecteur pourra consulter Hwang et Wang (2004).
4.2.3
Double limitation
En pratique il est courant que l’état de mer soit limité à la fois par le temps et par le fetch. Pour une
première approximation on prendra donc la valeur minimale des deux formules (limitation par le temps
et limitation par le fetch).
4.3
Houle
En plus de la mer de vent qui est liée au vent local, l’état de la mer présente souvent, d’autant plus
que l’on s’intéresse aux grands bassins océaniques et a fortiori sur les côtes ouest de ceux-ci, une houle
importante. Nous utiliserons ici l’usage anglo-saxon du mot swell qui fait référence aux vagues assez
longues qui ne peuvent pas être générées par le vent local. Les houles sont longues car les vagues courtes
sont assez rapidement dissipées pendant leur propagation. La houle est donc une mer du vent qui s’est
propagée en dehors de la zone de génération, parce que le vent a changé dans le temps ou dans l’espace.
L’étude de la houle a connu son premier essor lors de l’occupation du Maroc par l’armée Française,
dès 1906. En effet, l’absence de port abrité sur la côte Atlantique du Maroc et les fortes houles d’hiver
pouvaient bloquer les opérations de débarquement de troupes et de matériel pendant de nombreux jours.
Ainsi une forte houle à rendu le port de Casablanca inutilisable pendant de long mois. Les premières
méthodes de prévisions furent développées par la Marine Nationale puis au Service Hydrographique de
la Marine (Gain, 1918), avec des améliorations continues ensuite au service de prévision des houles du
Maroc, à Casablanca (Montagne, 1922).
Il est très commun dans le Pacifique ou l’Océan Indien d’observer plusieurs houles venant de différentes
tempêtes (figure 3.3), qui ont pu avoir lieu à 10000 km du point d’observation et plus d’une semaine
auparavant (Darbyshire, 1958; Munk et al., 1963). Du fait des grandes distances parcourues par la houle
il faut donc prendre en compte la sphéricité de la Terre. Il est relativement facile de retrouver la théorie
d’Airy sur la sphère pour montrer que la houle qui se propage en suivant une droite sur un océan plan, se
propage le long d’une géodésique (ligne la plus courte passant par deux points) dans le cas général. Sur
la sphère les géodésiques sont tous les grands cercles : cercles sur des plans passant par le centre de la
Terre, dont les méridiens. Ainsi, la méthode de prévision élaborée par le lieutenant de vaisseau Montagne
(1922) utilisait des observations faites aux Açores qui voient arriver la houle (dans certains cas) quelques
jours avant les côtes marocaines.
La hauteur et la période de la houle dépendent essentiellement de la hauteur et période des vagues
dans la tempête, et de la distance de propagation en dehors de la tempête. Parce que les états de mer
dans les tempêtes contiennent une assez grande variété de périodes, jusqu’à 1.2 Tp environ, et parce
que la vitesse de groupe dépend fortement de la période, Cg = gT /(4π) en eau profonde, la houle est
caractérisée par une forte dispersion : on observe d’abord l’arrivée des vagues de grande période suivies
par les vagues plus courtes. Dans la limite où le point d’observation est très loin de la tempête source, qui
peut alors être considérée comme ponctuelle dans le temps et dans l’espace, l’évolution de la la période
pic dans le temps est donnée par
4πRα
Tps (t) =
,
(4.9)
g(t − t0 )
où α est la distance sphérique1 entre la tempête et le point d’observation, R est le rayon de la Terre, et
t0 est la date de génération. Cette relation est très bien vérifiée, comme illustré en figure 4.2.
La hauteur de la houle décroı̂t au cours de la propagation. L’effet principal est la dispersion depuis
la source, à la fois dans la direction de propagation et dans la direction transverse (extension latérale du
front de houle), comme le montre la figure 4.3, issue d’une modélisation numérique et cohérente avec les
observations (Delpey et al., 2010). En absence de dissipation et à une distance de plus de 4000 km de la
source, la décroissance de la hauteur de la houle en suivant le maximum d’énergie dans le temps et dans
l’espace est donnée par
r
α0 sin α0
Hs s(α) = Hs s(α0 )
.
(4.10)
α sin α
1 La
distance sphérique est l’angle au centre de la Terre entre deux points.
49
4.4. SPECTRES EN FRÉQUENCE
direction de provenance (degrés)
Jours (juillet 2004)
Fig. 4.2 – Exemple d’énergie et direction moyenne mesurées pendant un mois à la bouée de Xmas Island
(Kiritimati, Kiribati) au milieu du Pacifique : les contours espacés régulièrement de 0.1 à 1.4 indiquent
le logarithme de la densité spectrale E(f ), et les couleurs donnent la direction moyenne pour chaque
fréquence. La ligne oblique pointillée du 16 juillet à 0.05 Hz au 21 juillet à 0.105 Hz correspond à la
variation théorique de la fréquence pic de la houle pour une source ponctuelle située à 6100 km du point
de mesure. L’intersection de cette ligne avec l’axe f = 0 donne la date de génération de la houle : le 9
juillet, qui correspond bien à une forte tempête au sud de la Nouvelle-Zélande (tiré de Collard et al.,
2009).
En pratique la hauteur est limitée par la présence d’ı̂les ou de continents, sur les rivages desquels la houle
déferle, mais aussi par une dissipation en eau profonde qui est probablement causée par le frottement
à l’interface air-mer (Ardhuin et al., 2009a). Cette dissipation dépend fortement de la période et de la
cambrure de la houle. Pour des houles de 15 s très cambrées la moitié de l’énergie est perdue en 3000 km,
alors que pour la même période et une cambrure faible, cette distance de demie-vie peut être supérieure
à 15000 km.
4.4
4.4.1
Spectres en fréquence
Les pionniers
Les premières mesures de spectres furent réalisées en 1944 par le Group W de l’Amirauté Britannique,
après le débarquement en Normandie (Barber et coll. 1946, voir Ursell 1999 pour un récit historique).
Ces observations et celles qui suivirent firent ressortir que, pour les fréquences au-delà du pic, le spectre
a généralement toujours la même forme. Phillips (1958) introduisit la notion de zone d’équilibre pour
décrire la forme du spectre pour f > fp , et proposa que seule la gravité déterminait la forme du spectre,
ce qui par analyse dimensionelle le conduisit à proposer la forme suivante
−4
E(f ) = αP (2π)
g 2 f −5 ,
(4.11)
avec αP ≈ 0.008 la constante de Phillips. L’energie adimensionnelle des vagues est constante dans le
modèle de Phillips (1958) : la surface est donc fractale et les petites vagues ont statistiquement la
même forme que les grandes vagues. C’est ce type de concept qui conduisit Pierson et Moskowitz (1964)
à proposer la forme suivante pour synthétiser leurs observations de mers pleinement développées, sur
l’ensemble de la gamme de fréquence,
"
−4 %
5 f
−4 −5
2
,
(4.12)
E(f ) = EP M (f ) = αP g (2π) f exp −
4 fp
50
13
11
0.00
23
23
160
170
180
-170
00
0.
2.0 5
0
1.2.2
1.5
25 0
1.0
0
21
19
10.00
0.7
.550
2053.00
5.05
2.0
5
57
1.7 0.
17
11513
15
21
130140 150
1911
23
13
11
13
75
4.
02705
0320..0
3.
115
113
421
.52
3
.7
.5
1
402
5.0
.5
.2
.0
04
1
30
50050
.5
.7
.2
0.
00
0.25
17
15
-160
-150
-140
-130
-120
-110
-100 -90 -80-70
130140 150
160
170
180
-170
-160
-150
-140
-130
-120
-110
-100 -90 -80-70
-120
-110
-100 -90 -80-70
1.50
75
10.
.205
22.
0.
1070.5
2.05
0
-150
-140
-130
-120
-110
-100 -90 -80-70
130140 150
160
170
180
-170
-160
.75
00
1.0.
050
0.75
.25
2.002
-150
-140
-130
13
11
0.75
-160
00.2.
050
-170
11251
17139
180
21
170
160
15
130140 150
13
11
11
1.50
0.
00
1.75
05
2.50.7
0.0000
1. 11
17
13
.500
10.0
1115
3
17
17
0.2
5
219
1
23
157
139
11
1351
117
0.00
-130
-120
-110
-100 -90 -80-70
130140 150
160
170
180
-170
-160
-150
-130
-120
-110
-100 -90 -80-70
0.75
0.00
19
0.75
0.50
11
-140
0.5
0.00
0
-140
0.5
0
-150
0.
25
-160
1115
-170
180
11
170
1113
13
25
0.
160
13
130140 150
28/02/2004 00:00 UTC
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
pHs ( -998653952)
3.5
4.0
4.5
5.0
17
0.0
21
115
17
15
13
11
19
19
1351
117
3
111
0.
0.25
00
0.00
Fig. 4.3 – Houle rayonnée par une tempête.
(a,b,c) périodes de pic de la houle Tps et (d,e,f) hauteurs significatives de houle Hss calculées par un
modèle numérique réaliste pour la tempête du 24 février 2004 centrée en (160◦ E, 42◦ N). Les champs
corresponded aux 27/02 (haut) 1/03 (milieu) et 6/03 (bas) à 00h UTC, soit 3, 6 et 9 jours après la
tempête (tiré de Delpey et al., 2010).
51
4.4. SPECTRES EN FRÉQUENCE
122
87
0
E(f) (m2/ Hz)
E(f) (m2/Hz)
10
60
39
25
6
-1
4
10
-2
10
f (Hz)
0.1
0.2
f (Hz)
0.3
0.4
0.5
Fig. 4.4 – Evolution du spectre avec le fetch.
A gauche, spectres mesurés le 15 septembre 1968 à 11h pendant JONSWAP. Les chiffres indiquent le
fetch en kilomètres. A droite, spectres mesurés le 3 novembre 1999 de 13h à 17h pendant SHOWEX,
l’échelle est logarithmique. Dans le cas de SHOWEX, le vent était d’environ 10 m/s, à 20 degrés de la
perpendiculaire à la côte. Le pic autour de f = 0.1 Hz est une houle arrivant de l’Atlantique, face au
vent. Pour l’instrument correspondant au fetch le plus court, les deux pics de la mer du vent, 0.45 et
0.25 Hz, correspondent respectivement à des vagues se propageant dans la direction du vent, et le long
de la côte. Cette dernière composante existe grâce a l’angle de 20◦ entre le vent et la perpendiculaire à
la côte.
Il est apparu ultérieurement que pour les fetch limités la forme du spectre pouvait être assez différente,
en particulier le pic est plus étroit par fetch court. Par ailleurs, les valeurs de E(f ) pour f fixé peuvent
être plus élevées que les valeurs observées pour une mer pleinement développée : il s’agit du phénomène
de sur-croissance du pic, observée par Barnett et Sutherland (1968, on parle d’‘overshoot’ en anglais.)
et particulièrement mis en évidence par l’expérience de 1968-1969 du Joint North Sea Wave Project
(JONSWAP, voir Hasselmann et coll. 1973, figure 4.4). Un terme d’amplification du pic fut donc rajouté,
exp
E(f ) = EP M (f )γ
−(f −fp )2
2σ 2
f2
A/B p
.
(4.13)
On pourrait penser que l’imagination était un peu débordante à cette époque pour parvenir à une forme
aussi compliquée, mais, en regardant de près, chaque paramètre joue un rôle assez clair. γ ≃ 3.3 est le
facteur d’amplification du pic, tandis que σA/B , qui prend pour valeur σA ≃ 0.07 si f < fp et σB ≃ 0.09
sinon, donne la largeur relative autour de fp qui est affectée par l’amplification du pic. En utilisant (4.13)
et (4.5) on peut alors calculer Cp puis fp = g/(Cp 2π) en fonction du vent et du fetch. On obtient alors
un spectre moyen correspondant aux observations des campagnes JONSWAP.
4.4.2
L’ère moderne
L’histoire ne s’arrête pas là. En effet, de nombreuses observations, à commencer par celles de Toba
(1973), montrent que pour les fréquences entre fp et 3fp , la décroissance du spectre E(f ) est plutôt de
la forme f −4 . Toba explique cette forme par le fait que la constante de Phillips n’est pas tout à fait
constante et que le niveau de saturation du spectre à haute fréquence dépend aussi de la vitesse du
vent, variable qui n’avait pas été prise en compte par Phillips (1958). Par ailleurs, des considérations
théoriques sur les effets non-linéaires donnent aussi une forme en f −4 . La décroissance du spectre en
f −4 au voisinage du pic spectral a été particulièrement bien vérifié par les observations de Donelan,
Hamilton et Hui (DHH 1985), faites sur une plateforme de recherche dans le lac Erie avec un réseau de
perches à houles permettant, pour la première fois, de mesurer directement le spectre en nombre d’onde
et direction. De plus, la forme spectrale proposée par DHH a le mérite de réconcilier l’amplification du
pic du spectre JONSWAP avec les spectres développés de Pierson et Moskowitz (1965). L’équation (4.5)
52
JONSWAP 1973
DHH 1985
Elfouhaily et coll. 1997
KMC 1999
10
0
2
E(f) en m /Hz
1.5
1
10
0.5
10
0
-2
-4
JONSWAP 1973
DHH 1985
Elfouhaily et coll. 1997
KMC 1999
-6
0.1
0.2
0.3
0.4
f en Hz
0.5
0.6
10 - 2
10
10
-1
10
0
10
1
f en Hz
Fig. 4.5 – Quelques formes spectrales pour U10 = 10 m s−1 et X = 50 km. A gauche : en coordonnées
linéaires, et à droite, mêmes spectres en coordonnées logarithmiques. La pente des courbes sur le diagramme logarithmique de droite donne l’exposant n de la relation E(f ) ∝ f −n . On remarque ainsi la
transition de n = 4 pour f < 2fp vers n > 5 au delà. A noter que le spectre DHH a été artificiellement
prolongé en dehors de sa gamme de validité, pour f > 3fp afin de mieux visualiser sa pente en f −4 .
adaptée de Elfouhaily et coll. (1997) pour donner l’âge des vagues permet de plus d’obtenir les bonnes
asymptotes pour l’énergie et la période.
Comme cette discussion porte sur la forme du spectre au delà du pic, dans un domaine fréquentiel où
l’énergie est moindre, on pourrait considérer que ce n’est pas très important. Or cette partie du spectre
est celle qui reçoit le plus d’énergie du vent, et elle influence fortement la partie très haute fréquence qui
est capitale pour l’interprétation de la télédétection. En particulier, les mesures de réflexion de lumière
du soleil faites par Cox et Munk (1954) donnent une très bonne estimation de la moyenne du carré des
pentes de la surface (mean square slope ou mss),
mss =
Z
k 2 E(kx , ky )dkx dky ≃
Z
(2πf )4
E(f )df,
g2
(4.14)
l’approximation de la second égalité venant de l’hypothèse de vagues linéaires. Pour que cette mss soit
finie il est clair que E(f ) doit décroı̂tre plus vite que f −5 à haute fréquence. Elfouhaily et coll. (1997)
et Kudryavtsev, Makin et Chapron (KMC 1999) ont ainsi inposé une forte décroissance spectrale pour
k > 10kp , fondée sur des observations, et ajouté, pour ces hautes fréquences, un paramétrage du spectre
des vagues de gravité-capillarité. Quelques formes spectrales sont comparées en figure 4.5 dans le domaine
des ondes de gravité.
4.5
Spectres directionnels
La forme des spectres en fréquence est encore le sujet de discussions (voir par exemple Lemaire et
Sobieski 1999, Caudal 2002) en particulier dans sa partie haute fréquence qui est très importante pour la
réflexion d’ondes radar ou l’émissivité micro-ondes et infrarouge, avec des applications très importantes
en télédétection. Pour la forme directionnelle des vagues les incertitudes sont bien plus grandes, même
au niveau du pic spectral, en particulier à cause du faible nombre d’observations directionnelles de bonne
qualité.
Le spectre fréquence-direction E(f, θ) se décompose de manière usuelle en
E(f, θ) = E(f )S(f, θ)
(4.15)
avec la fonction de répartition angulaire normalisée par
Z
0
2π
S(f, θ)dθ = 1.
(4.16)
53
4.5. SPECTRES DIRECTIONNELS
D(f,θ)
θ
Dir
ecti
on d
f/fp
u ve
nt
Fig. 4.6 – Spectre moyen observé à Currituck sound par les services du U.S. Army Corps of Engineers,
pour U10 > 7 m s−1 . Les spectres on été normalisés pour mettre le pic au même niveau (Figure tirée de
Long et Resio 2007).
Les premières paramétrisations de S(f, θ) (Longuet-Higgins, Cartwright et Smith, 1963) utilisaient
une forme du type
S(f, θ) = cos2s ((θ − θm )/2)
(4.17)
qui est symétrique par rapport à la direction moyenne θm et d’autant plus étroite que s est grand. Les
observations montrent que l’étalement directionnel, qui est mieux défini par le paramètre σθ (défini au
chapitre 3), est minimum au pic spectral et augmente vers les basses et hautes fréquences. La direction
moyenne, même pour la mer du vent, peut être sensiblement différente de la direction du vent, en
particulier dans des de fetch limité avec un vent qui n’est pas perpendiculaire à la côte (figure 4.8).
A partir d’une analogie avec des groupes de vagues non-linéaires, Donelan, Hamilton et Hui (1985)
ont proposé une forme du type,
1
(4.18)
S(f, θ) ∝
cosh2 [β (θ − θm )]
avec β = 2.44(f /0.95fp )1.3 pour 0.56 < f /fp < 0.95 et β = 2.44(f /0.95fp )−1.3 pour 0.95 < f /fp < 1.6.
Au delà de 1.6fp leurs observations ne permettait pas de déterminer D(f, θ). Grâce a des mesures
2
complémentaires, Banner (1990) a proposé β = 10−0.4+0.8393 exp[−0.567 ln(f /fp ) ] pour f /fp > 1.6. Or
les observations de Young, Verhagen et Banner (1995) puis Ewans (1998) ont clairement établi que la
répartition directionnelle pour f > fp avait généralement deux pics de part et d’autre de la direction du
vent (figure 4.6). On parle de distribution bi-modale. A haute fréquence (f > 3fp ) ces pics sont à environ
40◦ de part et d’autre de la direction du vent. Malheureusement cette nature bi-modale du spectre n’a
pas encore été prise en compte dans les nombreuses études qui sont évoquées ci-dessous.
Même en ajustant les paramètres s et β, les formes en cos2s et 1/ cosh2 sont assez différentes. On
peut s’en rendre compte en calculant l’étalement directionnel σθ et le moment directionnel a1 ou encore
54
1
ou ∆
1
60
coefficients a
étalement directionnel
σ
θ
80
40
20
0
0
1
2
3
paramètre β
4
0.8
0.4
0.2
1
2
3
paramètre β
4
5
1
ou ∆
1
60
coefficients a
étalement directionnel
σ
θ
80
D
0.6
0
0
5
a1
40
20
0
0
5
10
paramètre s
15
20
0.8
a1
∆
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
paramètre s
15
20
Fig. 4.7 – Paramètres d’étalement directionnel.
En haut pour la forme en 1/ cosh2 de DHH, et en bas pour la forme en cos2s .
le paramètre ∆ (Elfouhaily et coll. 1997) défini par
∆(f ) =
S(f, 0) − S(f, π/2)
,
S(f, 0) + S(f, π/2)
(4.19)
et représentés sur la figure 4.7.
Pour des applications de télédétection la forme 1/ cosh2 est la plus utilisée car elle contient des vagues
qui se propagent contre le vent, ce qui est cohérent avec les observations radar, en particulier radar HF.
Dans le cas général le spectre de la mer du vent est le plus étroit au pic. La houle peut aussi avoir un
spectre encore plus étroit (figure 4.8), avec des valeurs de σθ parfois inférieures à 10˚.
4.5.1
Spectres des houles
Le spectre de la houle est essentiellement un spectre de mer du vent qui s’est dispersé : il est donc
beaucoup plus étroit que le spectre de la mer du vent et peut être paramétré par une Gaussienne. La
largeur en fréquence du spectre de houle est à peu près proportionnelle à l’étendue de la tempête source
∆α et inversement proportionnelle à la distance à la source α Collard et al. (2009). En direction, c’est
un peu la même chose, à la différence près que la sphéricité de la terre entraine un élargissement au delà
d’un quart de tour de terre. La largeur du spectre en direction est ainsi proportionnelle à ∆α / sin(α),
avec α la distance sphérique. On remarque donc que la décroissance de la hauteur des vagues donnée par
(4.10) correspond donc à un rétrecissement du spectre. En effet, en absence de dissipation d’énergie, et par
grands fonds sans courants, les densités spectrales E(f, θ) sont conservées au cours de la propagation... et
donc E(λ0 , φ0 , t0 , f, θ0 ) = E(λ′ , φ′ , t′ , f, θ′ ), pourvu que le point de coordonnées (λ, φ, t) soit effectivement
sur la trajectoire (le grand cercle) du paquet d’onde de direction θ0 à (λ0 , φ0 , t0 ). On note que l’angle θ,
repéré par rapport au nord, varie au cours de la propagation, sauf pour des vagues se propageant le long
de l’équateur.
55
10
0
2
E(f) (m /Hz)
4.5. SPECTRES DIRECTIONNELS
10
m
θ (f) (deg)
10
-1
-2
0.2
0.3
frequency f (Hz)
0.4 WR(FRF)
0.1
0.2
0.4
180
150
120
90
60
30
0
-30
-60
-90
80
0.3
X1
Bravo
X2
X3
X4
X5
X6
0.5
60
40
θ
σ (f) (deg)
0.1
20
0
Fig. 4.8 – Exemple de paramètres spectraux observés
Croissance par fetch limité lors de SHOWEX, le 3 Novembre 2003, en présence d’une houle opposée. Le
vent vient du 270˚ (-90˚) et la cote est face au 70˚ ou -110˚. On remarque particulièrement la séparation
des différents systèmes de vagues par un maximum local de σθ .
56
4.6
4.6.1
Synthèse
Paramètres déterminants
On a vu que les paramètres essentiels gouvernant la forme du spectre autour du pic de la mer du vent
sont
– la vitesse du vent U10
– le fetch X
– la durée t depuis laquelle le vent est établi.
D’autres paramètres secondaires sont aussi importants et peuvent même dominer le résultat
– la profondeur D
– la géométrie de l’aire génératrice (fetch area geometry)
– la stabilité air-mer Ta − Tmer et son corollaire qui est l’intensité des rafales (gustiness).
– les courants.
– la pluie
Si l’influence des paramètres principaux est assez bien comprise, les paramètres ‘secondaires’ empêchent
de donner une forme simple du spectre et on aura en général recours à la modélisation numérique. Pour
ce faire, nous allons disséquer, dans les trois chapitres suivants les processus qui contribuent à la modification de l’état de la mer. Par la suite, on parlera peu de la partie haute fréquence du spectre (au delà de
0.5 Hz) qui est si importante pour la télédétection. Les mêmes concepts peuvent s’y appliquer, avec des
effets supplémentaires liés à la tension de surface, sensibles à la présence de films chimiques en surface,
qu’ils soient d’origine naturelle ou humaine.
De manière générale, on peut espérer obtenir un spectre de bonne qualité pour la houle et la mer
du vent par modélisation numérique, à partir des résultats théoriques et expérimentaux présentés dans
les chapitres suivants. La partie haute fréquence du spectre doit pouvoir se déduire de cette partie basse
fréquence en fonction des paramètres locaux que sont la tension de vent, la température et la présence
de films en surface. C’est l’approche envisagée actuellement à Ifremer pour l’extraction du signal lié
à la salinité dans les futures mesures de température de brillance (missions SMOS et Aquarius). Une
telle approche est aussi susceptible de fournir une bonne estimation du biais électromagnétique pour les
altimètres, actuellement corrigé de manière statistique, et du biais de pente pour la mesure du courant par
radar à synthèse d’ouverture (Chapron, Collard et Ardhuin 2005). Ce travail demandera probablement un
long de travail de validation des modèles numériques un effort de recherche sur les mécanismes d’évolution
des vagues, qui, nous allons le voir tout de suite, sont loin d’être complètement élucidés.
4.6.2
Forme spectrale
Les spectres observés en mer sont très variables, en particulier près des côtes ou la limitation par
le fetch conduit à une variation de la direction moyenne en fonction de la fréquence. Par ailleurs, dans
l’océan, des systèmes de houle, générés par des tempêtes lointaines, sont souvent surimposés à la mer du
vent, générée localement (e.g. figure 3.3). Pour la mer du vent, le spectre présente un pic bien marqué
à la fréquence fp où l’étalement directionnel est minimum, suivi par une décroissance en f −4 jusqu’à
2 à 3 fois fp , au delà duquel le spectre décroı̂t plus rapidement. Pour l’aspect directionnel, il convient
de remarquer qu’un faible niveau d’énergie est toujours observé dans toutes les directions, même dans
la direction opposée au vent, et que dans des conditions stationnaires pour des fetches assez courts,
le spectre présent une bimodalité assez marquée avec deux maxima symmétriques à des directions qui
s’éloignent de la direction du vent quand on parcourt le spectre du pic fp vers les hautes fréquences.
Cette forme spectrale est le résultat des procéssus de forçage des vagues qui peuvent être décrits par
une équation d’évolution du spectre, comme nous allons le voir.
Chapitre 5
Génération et atténuation des
vagues par le vent
Il est clair depuis longtemps que les vagues tirent leur énergie E du vent et la perdent, en grande
partie, en la donnant à la turbulence océanique, essentiellement par déferlement. On a vu aussi que la
quantité de mouvement transportée par les vagues E/C est proportionnelle à cette énergie. La génération
des vagues par le vent est ainsi associée à un flux quantité de mouvement horizontale entre l’atmosphère
et les vagues, cela représente généralement 70% ou plus de la tension de vent. Cette part de la tension de
vent est communiqué a la circulation (les courants moyens) par la dissipation des vagues. On verra aussi
que la dynamique intrinsèque du champ de vagues, liée à sa faible non-linéarité, est le troisième élément
important de l’évolution des vagues au large.
Pour qu’il y ait un transfert d’énergie de l’atmosphère vers les vagues il faut que le travail des
contraintes à la surface soit différent de zéro. Nous allons voir que cela fait intervenir soit des variations
de pression à la surface qui sont en phase avec la pente des vagues, soit des variations de tension de
cisaillement en phase avec la vitesse orbitale (et donc l’élévation) soit les deux (figure 5.1). Afin de
quantifier ce travail il faut alors identifier les mécanismes qui créent ces variation de pression et/ou de
tension de cisaillement. Historiquement, les premières hypothèses sur les mécanismes de formation des
vagues ont fait appel à des instabilités : l’écoulement du vent au dessus d’une surface d’eau complètement
plane est un cas d’écoulement cisaillé en milieu stratifié, donc sujet à une instabilité de Kelvin-Helmoltz
lorsque le cisaillement est assez important. Cette instabilité peut se développer pour des vitesses U du
vent supérieures à 6,5 m s−1 (Jeffreys 1925), mais en pratique on observe déjà des rides à la surface pour
U > 1, 1 m s−1 (Kahma et Donelan 1988). L’instabilité de Kelvin-Helmholz est inefficace pour expliquer
les observations du taux de croissance des vagues.
On abordera ici les trois grandes catégories de théories qui ont été proposées pour expliquer la
génération des vagues. Il existe bien d’autres points de vue sur ce mélange complexe d’ondes et de
τ2
(u2, w2)
(u3, w3)
air
p1
p3
n1
(u1, w1)
n3
eau
(u4, w4)
τ4
Fig. 5.1 – Flux à l’interface air-mer pour quatre phases d’une vague : 1 face arrière, 2 crête, 3 face
avant, 4 creux. Le flux d’énergie de l’atmosphère vers l’océan est le travail des tensions des contraintes
[pn + τ ] ·(u, w), avec n lanormale entrante. Ainsi, si la pression est plus forte sur la face arrière (comme
∂ζ ∂ζ ici) p1 w1 ∂x
> p3 w3 ∂x
et le flux induit par la pression est positif vers la mer. De même si la tension
1
3
de cisaillement τ est opposée à la vitesse (comme ici), le flux τ u induit par les contraintes de cisaillement
est négatif, et donc positif vers l’atmosphère. De même le flux de quantité de mouvement est la moyenne
des contraintes exercées à la surface. Ainsi, à cause de la pente, le flux de la composante horizontale de
∂ζ
la q.d.m. est la moyenne de p ∂x
plus la moyenne de τx .
57
58
CHAPITRE 5. GÉNÉRATION ET ATTÉNUATION DES VAGUES PAR LE VENT
p+
p-
Sheltering with separation (Jeffreys 1925)
U
pp+
p+
Air turbulence and resonance (Phillips 1957)
Streamlines in moving frame:
critical layer (Miles 1957, 1962)
Fig. 5.2 – Génération des vagues par le vent.
La croissance des vagues par le vent pour U ≫ C et U < C est actuellement assez bien expliquée par la
théorie de Jeffreys (1925) revue par Belcher et Hunt (1993). Pour 1 < U/C < 3 il semble que la théorie
de Miles sur le niveau critique soit en bon accord avec les observations, en particulier de Hristov et coll.
(2003). La théorie de Phillips (1957) sur la croissance par résonance avec la turbulence atmosphérique
pourrait expliquer la croissance initiale des vagues, mais elle ne peut expliquer la phase principale de
croissance des vagues.
turbulence.
5.1
Pression dans l’air et croissance des vagues
Les mesures de pression faites près de la surface montrent que pour les vagues moins rapides que le
vent les fluctuations de pression sont plus importantes que celles des tensions de cisaillement.
En ajoutant la pression atmosphérique pa , variable, dans l’équation de Bernoulli linéarisée pour z = ζ
on a
p
1
∂φ
= − − gζ − pa , sur z = 0,
(5.1)
∂t
ρ
ρ
En prenant la transformée de Fourier spatiale, une forme générique des fluctuations de pression est
i
h
(5.2)
pa (t) = R idPa ei(k·x) ,
avec dPa (t) une fonction réelle et idPa (t) l’amplitude complexe. En posant Θ = (k·x) on a pa (t) =
−dPa (t) sin Θ.
Puisque l’équation
de Laplace et la condition à la limite au fond sont inchangées, φ est encore de la
forme, φ = R dΦeiΘ cosh(kz + kh)/ cosh(KD). On peut ainsi remplacer φ via la condition cinématique
en surface, pour obtenir une équation d’évolution pour l’amplitude dZ définie ζ = R dZeiΘ . Il s’agit
de l’équation d’un oscillateur forcé (Phillips 1957, eq. 2.11),
∂ 2 dZ
iσ 2 dPa
2
+
σ
dZ
=
−
,
∂t2
ρw g
(5.3)
avec σ 2 = gk tanh(kD).
Il s’agit donc de déterminer la forme des fluctuations de pression dPa (t) et de calculer la réponse de
l’océan à ce forçage. On peut tout d’abord prendre une forme générique des fluctuations de pression,
h
i
′
pa (t) = R idPa eiΘ ,
(5.4)
5.1. PRESSION DANS L’AIR ET CROISSANCE DES VAGUES
k1 = (kx,ky)
U10
k2 = (kx,-ky)
59
kx=kax
ky=kay
σ = σa
résonnance:
|k1|=|k2|=σ2/[g tanh(kD)]
Fig. 5.3 – Génération de vagues obliques
Dans tous les cas, les vagues répondent aux nombres d’ondes k et fréquences σ imposés par le forçage
atmosphérique. Il n’y a résonnance que si le couple (k, σ) est relié par la relation de dispersion (le forçage
correspond à un mode propre). Le vent génère donc des vagues dans toutes les directions car le spectre
de pression contient de l’énergie pour tous les nombres d’ondes, mais les fréquences sont en général telles
que σa /kax < U10 : dans la direction du vent, les perturbations de pression ne se propagent pas plus vite
que le vent.
avec Θ′ = (k·x − σ ′ t).
5.1.1
Pression sinusoı̈dale résonante
Dans le cas σ ′ = sσ, avec s = ±1, la solution générale de (5.3) est la somme d’une solution particulière
et de la solution générale sans second membre, soit
dZ(t) = −
dPa
sσt cos Θ′ + A sin Θ1 + B sin Θ2 + C cos Θ1 + D cos Θ2 .
2ρw g
(5.5)
avec σ 2 = gk tanh(KD), Θ1 = (k·x − σt), Θ1 = (k·x + σt). A, B, C et D sont des constantes que l’on
peut déterminer en se donnant les conditions initiales.
En prenant ζ = 0 et ∂ζ/∂t = 0 pour t = 0, on trouve C = D = 0, et, pour s= 1, A = −dPa / (2ρw g),
B = 0, tandis que pour s = −1, A = 0 et B = dPa / (2ρw g).
On remarque que l’amplitude des vagues croı̂t linéairement, et que le terme croissant de l’élévation
de la pression est en quadrature de phase avec la pression. La densité spectrale d’énergie est E(k) =
2
2
|dZ| /dk, et on peut relier sa variation à celle de la densité spectrale de pression Π(k) = |dPa | /(dk).
Ainsi, le flux d’énergie entre l’air et l’eau est, en négligeant le terme venant de A ou B,
ρw g
∂E(k)
σ 2 tΠ(k)
=
,
∂t
2ρw g
(5.6)
qui s’exprime en Watts pour les unités du système international, de telle sorte que l’intégrale sur l’ensemble des nombres d’ondes est bien un flux en Watts par mètre carré. Ce flux est logiquement égal au
travail des forces de pression sur la surface, produit de la vitesse normale à la surface (normale rentrante)
par la pression. Pour des pentes faibles la normale est quasiment verticale, et seule la vitesse verticale
w(ζ) = ∂ζ/∂t travaille,
∂dZ
∂E(k)
dPa .
(5.7)
=−
ρw g
∂t
∂t
Ainsi le décalage de phase entre la pression et l’élévation permet justement à l’atmosphère d’appuyer vers
le bas là où la surface descend, et à aspirer la ou la surface monte, ce qui donne un flux net d’énergie. De la
même manière la quantité de mouvement des vagues kρw gE(k)/σ augmente elle aussi, avec un flux égal
à la force moyenne exercée sur la surface. Cette force est la force de pression projetée sur l’horizontale,
donc le produite entre la pression et la pente de la surface R(ikdZ),
ρw gk ∂E(k)
= k idZdPa .
σ
∂t
(5.8)
60
40
30
L=8 m
L=16 m
L=24 m
ρ g ζ(x=0,t)/B
20
10
0
-10
-20
-30
-40
0
5
10
15
20
25
temps (s)
30
35
40
Fig. 5.4 – Croissance des vagues sous l’effet d’un vent turbulent
Elévation normalisée de la surface, pour un vent U = 5 m s−1 , et trois longueurs d’onde différentes pour
les perturbations turbulentes (L = 2π/k) en profondeur infinie. En suivant l’hypothèse de Phillips, la
pulsation de la pression est σ ′ = kU . Dans ce cas la longueur d’onde résonante est L = 16, 03 m, telle
que σ = σ ′ soit k = g/U 2 .
5.1.2
Pression sinusoı̈dale non-résonante
De la même manière, dans le cas σ ′2 6= σ 2 , la solution générale de (5.3) est de la forme
ζ(t) = −
σ2
Pa
sin Θ′ + A sin Θ1 + B sin Θ2 + C cos Θ1 + D cos Θ2 .
ρw g σ 2 − σ ′2
(5.9)
En prenant ζ = 0 et ∂ζ/∂t = 0 pour t = 0, on trouve C = D = 0, A = (dPa σ)/ [ρw g(σ − σ ′ )],
B = (dPa σ)/ [ρw g(σ + σ ′ )], ce qui donne,
dPa σ
1
sin Θ − sin Θ′
ζ(t) =
+ (sin Θ1 − sin Θ2 ) .
(5.10)
σ
ρw g σ + σ ′
σ − σ′
2
On remarque que l’amplitude peut être forte pour σ proche de σ ′ (figure 5.4). En posant ∆ = σ − σ ′ ,
Θ = Θ′ −t∆, et on peut faire le développement limité suivant, sin Θ = sin Θ′ (1+O(t∆)2 )−sin(t∆) cos Θ′ ,
valable pour t∆ ≪ 1. Ainsi pour t∆ ≪ 1, on a
1
sin t∆
dPa σ
′
2
cos Θ + O(t σ∆) + (sin Θ1 − sin Θ2 ) .
(5.11)
σt
ζ(t) =
ρw g σ + σ ′
t∆
2
Cette solution correspond à une croissance linéaire de l’amplitude qui se prolonge tant que t∆ ≪ 1
(le premier terme est dominant). La bande de fréquence σ − ∆0 < σ ′ < σ + ∆0 pour laquelle la croissance
reste importante se réduit, avec ∆0 ∝ 1/t.
5.1.3
Pression aléatoire de spectre continu
Dans le cas général, la pression dPa peut prendre n’importe quelle forme,
Z
′′
dPa = dPba (σ ′′ )eiσ t dσ ′′
(5.12)
les cas précédemment étudiés correspondant à dPba = δ(σ ′′ − σ ′ ) avec δ la distribution de Dirac. Il nous
faut donc intégrer sur σ ′′ en remplaçant σ ′ par σ ′′ dans les résultats précédents. Les modes résonants
5.2. OBSERVATIONS ET PARAMÉTRAGES DE LA GÉNÉRATION
61
σ ′′ = ±σ représentent un ensemble de mesure nulle dans l’espace des σ ′′ , leur contribution peut donc être
négligée dans le cas où le spectre est continu. On se retrouve donc avec une intégrale du type suivant, où
l’égalité est valable pour toute fonction A qui est analytique,
Z
∞
A(σ ′ )
sin2 [(σ − σ ′ ) t] + O (σ − σ ′ )
2
(σ − σ ′ )
0
dσ ′ = 2πtA(σ),
2
avec dans notre cas A(σ ′ ) = σ 4 dPba /[dσ ′ (ρw g(σ + σ ′ ))2 ], ce qui donne in fine,
E(k) = σ 2 t
π Π(k, σk )
,
2 (ρw g)2
(5.13)
(5.14)
p
avec Π(k, σk ) le spectre tridimensionnel de la pression atmosphérique à la surface, où σ = gk tanh(kD).
Ainsi, parmi l’infinité des modes d’oscillations forcés par la pression atmophérique, les seuls capable
d’extraire une quantité singificative d’énergie du vent sont les modes propres que sont les ondes libres
déterminées au chapitre 1.
5.1.4
Pression induite par les vagues
Un autre cas intéressant en pratique
modifient la pression à la surface. Dans
est le cas ou les vagues
ce cas, on peut écrire, pa (t) = ρw gR (α + iβ) dZ(t)ei(k·x) , avec α qui représente la partie en phase et β
qui représente la partie en quadrature. On négligera ici α par souci de simplicité (ce terme ne contribue
pas à la croissance des vagues), cette situation correspond donc à
dP a = ρw gβdZ,
(5.15)
∂ 2 dZ
+ σ 2 (1 + iβ) Z = 0.
∂t2
(5.16)
et on peut alors écrire (5.3) sous la forme,
Pour β ≪ 1, la solution peut s’écrire, au premier ordre en β,
ζ
= a(t) cos θ1 ,
ga(t)
a
φ =
FCC sin θ1 + βg FCC cos θ1 ,
σ
2σ
p = −ρw gz + ρw ga(t)FCC cos ψ − gβaFCC sin θ1 ,
da(t)
βσa(t)
=
,
dt
2
a2 (t)
d a2 (t)
= βσ
dt 2
2
(5.17)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
(5.21)
avec FCC = cosh(kz + kH)/ cosh(kD), et Θ1 = k·x − σt. En absence d’autres phénomènes, ce type de
pression aboutit donc à une croissance (ou atténuation) exponentielle de l’énergie des vagues, en fonction
du signe de β. On peut, (en exercice), calculer le flux Eulérien de quantité de mouvement huwi, et le
comparer au profil vertical de dérive de Stokes.
5.2
Observations et paramétrages de la génération
Au delà de la forme théorique du taux de croissance des vagues sous l’effet du vent, l’ordre de grandeur
de ce taux est très important pour l’équilibre du spectre. Les modèles de prévision des vagues utilisent
des formules du type
Sin (f, θ) = σβE (f, θ)
(5.22)
où le taux de croissance β dépend de la direction du vent (θ⋆ − θ) par rapport à la direction θ des vagues.
En général β est largement inspirés des formes théoriques mais avec des ajustements empiriques pour
reproduire les observations, très difficiles à réaliser in-situ, ou les simulations numériques du couplage
vent-vagues.
62
Paramétrages fondés sur des observations
Une des premières formes de β directement tirée d’observations a été celle tirée des observations de
Snyder et al. (1981) dans la baie d’Abaco, aux Bahamas, afin de réconcilier les observations précédentes
de Dobson et Snyder. Elle prend la forme
i
ρa h u ⋆
(5.23)
28 cos (θ⋆ − θ) − 1 .
β = max 0, 0.25
ρw
c
1/2
où ρa et ρw sont les masses volumiques de l’eau et de l’air, et u⋆ = hu′ w′ i
est la vitesse de frottement.
C’est la forme de la génération dans le “Cycle 3” du modèle WAM (WAMDI Group, 1988). Ces mesures
ont été confirmées par d’autres mesures en mer du Nord (Hasselmann et Bösenberg, 1991). Malheureusement elles ne couvrent que des vents et des hauteurs de vagues assez faibles, et surtout, ne sont valables
que pour les vagues autour du pic spectral.
Par ailleurs on dispose plus souvent de mesures du vent à une altitude fixe, par exemple 10 mètres,
que de U⋆ . En supposant que le flux turbulent de quantité de mouvement hu′ w′ i est constant sur la
verticale et que la viscosité turbulente νT est de la forme l2 ∂U/∂z avec la longueur de mélange l = κz
(κ = 0.41 est la constante de von Kármán), le profil de vitesse est logarithmique
U (z) =
U⋆
ln (z/z0 ) ,
κ
(5.24)
s’annulant à z0 , et on utilise une relation du type de celle proposée par Charnock (1955), qui paramétrise
la rugosité des vagues de gravité-capillarité directement forcées par le vent
z0 ≃ αU⋆2 /g,
(5.25)
avec α = 0.0114. De nombreuses améliorations ont été proposées (Komen et al., 1994), en particulier la
prise en compte de la stabilité de la couche limite atmosphérique et la théorie ”quasi-linéaire” de Janssen
(1991) qui introduit une modification du profil de vent induit par le transfert de quantité de mouvement
vers les vagues, ce qui a pour effet une modification du paramètre de Charnock α en fonction de l’état de
la mer. Ces résultats ont des effets contestés dans les modèles opérationnels de prévision des vagues, mais
ils sont importants pour les flux de quantité de mouvement à la surface, pour les modèles de circulation
générale météorologiques ou océaniques.
Pour la partie haute fréquence du spectre (typiquement f > 3fp ) on ne dispose pas de mesures
directes du travail exercé par les forces de pression. Des observations de la croissance des vagues (Plant,
1982) ainsi que des simulations numériques de l’écoulement de l’air au dessus de la surface laissent penser
que Sin est proportionel à u2⋆ cos2 (θ⋆ − θ). Par ailleurs, au fur et à mesure qu’on s’approche de la surface,
une part de plus en plus importante du flux de quantité de mouvement (la tension de vent) est constituée
par le flux induit par les vagues. Une des conséquences de cette répartition entre flux turbulent et flux
induit par les vagues est que, pour les vagues les plus courtes, la tension de cisaillement qu’elles subissent
est plus faible que pour les vagues plus longues (Hara et Belcher, 2002).
Ainsi, il est probable que, en présence de vagues longues, les taux de croissance des vagues courtes
soient significativement plus faibles, ce qui expliquerait la répartition angulaire de l’énergie à haute
fréquence, et la rapide variation de direction des vagues avec la fréquence par fetch oblique. Ces questions
sont l’objet de recherches actuelles.
5.3
Effet de la modulation de la tension de vent
Il a été reconnu depuis Longuet-Higgins (1969) qu’une tension de vent variable pouvait engendrer
un transfert d’énergie vers les vagues. La théorie la plus simple à ce sujet est la théorie visqueuse en
absence de vent moyen, élaborée par Dore (1978), reprise par Weber et Førland (1990). Le raccord de
vitesse entre l’air et l’eau donne lieu à un très fort cisaillement dans une couche limite du côté supérieur
1/2
de l’interface air-eau, dont l’épaisseur est δa = (2νa /ω)
avec νa ≃ 1.4 × 10−5 m2 s−1 , soit δa ∼ 1 cm.
La solution de ce raccord donne le taux de dissipation suivant,
ρa
∂
1/2
E (f, θ) = Sout (f, θ) = −αν /Cg = −2 k (2σνa ) E (f, θ) .
∂t
ρw
(5.26)
Ce terme est significatif pour les plus grandes périodes. La notation Sout (f, θ), par opposition à Sin (f, θ),
est là pour rappeler que le flux de quantité de mouvement associé à ce phénomène est vers l’atmosphère.
63
2πβ
β [(u /C) 2 ρ a /ρ w ] -1
*
5.3. EFFET DE LA MODULATION DE LA TENSION DE VENT
(b)
(a)
u* / C
C/u *
Fig. 5.5 – Taux de croissance des vagues se propageant dans la direction du vent, observations et théorie.
a. trait plein : théorie de Miles étendue par Janssen, pointillé : observations de Snyder et al. (1981)
représentées par l’équation 5.23, symboles : observations compilées par Plant (1982) (tiré de Janssen et
coll. 1994). (b) Taux de croissance des vagues pour kz0 = 10−4 (triangles pleins) comparé aux modèle
de numérique de Mastenbroek (1996) (cercles reliés) et aux données collectées par Plant (1982, autres
symboles) (tiré de Belcher 1999).
En réalité l’écoulement est probablement turbulent pour des nombres de Reynolds élevés. Par analogie
avec la couche limite au dessus d’un fond fixe on définit le nombre de Reynolds par Re= 4uorb aorb /νa ,
avec uorb et aorb les valeurs significative des vitesses et déplacements orbitaux en surface. Le facteur 4
vient du fait que les vitesses et les déplacements relatifs de l’air et de l’eau sont 2 fois supérieurs à ceux
sur un fond fixe puisque l’air et l’eau se déplacent en sens opposés. Pour un fond lisse Jensen et coll.
(1989) ont montré que l’écoulement était laminaire pour Re< 105 et turbulent au-delà. Dans le cas de
la houle, il semble que la couche limite puisse être laminaire pour les faibles houles (Hs < 1.5 m) et les
vents faibles (U10 < 6 m s−1 ), ce qui est cohérent avec les observations d’atténuation de la houle (figure
5.6.d).
Dans les autres cas, convient donc d’étendre la théorie de Dore au cas d’une couche limite turbulente.
On peut paramétrer la dissipation sons la forme
Sout (f, θ) = βout E (f, θ) = −
ρa 16fe σ 2 uorb /g E (f, θ) ,
ρw
(5.27)
où fe est un facteur de dissipation qu’il faut déterminer. Les expériences pour des couches limites sur fond
fixe donnent un facteur de frottement fw ≃ fe de l’ordre de 0.002 à 0.008. L’observation l’atténuation de
la houle sur des milliers de kilomètres (figure 5.6) donne des valeurs de β proportionnelles à l’amplitude
des vagues, comme l’équation (5.27), correspondant à des valeurs de fe de l’ordre de 0.003 à 0.007. Bien
qu’il soit probable que le vent joue un rôle significatif pour U10 > 6m s−1 car le cisaillement moyen
devient comparable au cisaillement oscillant, les observations sont en bon accord avec la théorie sans
vent sur une surface lisse. Il s’agit là de sujets de recherche très ouverts.
64
20
10
(a)
0
360
30
320
Peak wavelenght L (m)
40
hauteur de la houle Hss (m)
400
Tempête du 2007/02/12 18:00 UTC
50
150
120
90
+3
-8
= 37.4 -6 ×10 m
-1
30
(c)
20
2
α/ αv
Coefficient de dissiparion α (m-1 )
(b)
-7
4
3
2
2
3 4
6 8 10
Distance à la source (x1000 km)
Longitude (W)
x 10
4
3
1
10
180
6
1
10
0
0
-1
(d)
-2
0
0.005
0.01
0.015
13
14
0.02
Pente à 4000 km de la source: Hss/L
15
-10
0
16
2
4
17
6
8
10
Res à 4000 km
12 x 10 5
18
Période de la houle (s)
Fig. 5.6 – Atténuation de la houle déduite d’observations par radar. (a) Exemple de houle de 15 s de
période suivie pendant 12 jours sur une distance de 12000 km depuis une tempête du Nord-Ouest Pacifique
(gros point rouge) jusqu’aux côtes péruviennes. Les points colorés sont les différentes observations de cette
houle fait par le SAR d’ENVISAT, le long de la trajectoire théorique (grand cercle en pointillés bleus).
(b) décroissance de la hauteur de la houle pour la tempête de février 2007 en fonction de la distance. En
bleu et noir : atténuation théorique sans dissipation (dispersion et effet géométrique), en rouge dissipation
non-linéaire, en bleu dissipation linéaire di type de l’équation (5.26) avec un coefficient α constant égal à
28 fois la valeur visqueuse αν . (c) Coefficients de dissipation pour 29 évenements de houle, et (d) valeurs
normalisées par la dissipation visqueuse (tiré de Ardhuin et coll. 2008b). Le nombre de Reynolds de la
houle est défini avec les vitesses et déplacements orbitaux de la houle seule.
Chapitre 6
Evolution faiblement non-linéaire
des vagues
Le fait que les vagues ne soient pas exactement linéaires est la source de nombreux effets (présence
d’harmoniques, phénomènes de récurrence, instabilités ...) qui sont évoqués au chapitre 13. Ici nous nous
intéresserons à l’évolution irréversible du spectre des vagues qui résulte de l’échange d’énergie, quantité
de mouvement et action entre les différentes composantes spectrales.
Ces effets non-linéaires, déjà suspectés au début des années soixante, ont été déterminés quantitativement pour un spectre de vagues aléatoires par Klaus Hasselmann (1962) et Vladimir Zakharov (1968). Il
est frappant que ces deux théories soient apparues indépendamment dans des formalismes différents (la
mécanique ‘classique’ pour les premières publications de Hasselmann et la mécanique Lagrangienne pour
Zakharov), ont été conçues au même moment (malgré une publication décalée), et par ces specialistes
des particules et de la physique des plasmas ou de la relativité générale qui ont fait intrusion dans le
monde des océanographes à la faveur du grand bouillonnement d’idées des années 1950 et 1960. Toutefois les relations entre ces deux théories, dont certains résultats sont équivalents, est encore en cours de
clarification (Elfouhaily et coll., 2000) et leur confirmation, vient à peine de commencer, et ce seulement
en profondeur infinie (Tanaka 2001, Korotkevich et coll. 2007).
6.1
Théorie des interactions vague-vague
Dans la résolution des équations d’Euler, on peut prendre en compte les termes non-linéaires négligés
par Airy, et écrire la solution comme un développement limité en puissance de la cambrure ε (voir équation
13.3). Phillips (1960) a montré qu’il existe des résonances k4 = k1 + k2 − k3 et σ (k4 ) = σ1 + σ2 − σ3 .
Dans ce cas, la présence d’un triplet résonnant de trains d’ondes monochromatiques produit un quatrième
train d’onde dont l’amplitude croı̂t dans le temps et qui est une onde ”libre”, satisfaisant à la relation
de dispersion linéaire. Ce phénomène a été vérifié par McGoldrick et coll. (1966) dans un bassin à houle,
dans le cas particulier k1 = k2 . En pratique, pour un spectre continu de vagues, toutes les composantes
ont une amplitude non-nulle qui varie lentement dans le temps et dans l’espace. Cette résonance est alors
une interaction entre quatre trains d’ondes, et le taux de croissance de l’énergie pour chaque train d’onde
est donnée par Hasselmann (1962) sous la forme
∂E (k)
∂t
= Snl (k)
Z
2
=
|T (k1 , k2 , k3 , k)| δ (k1 + k2 − k3 − k4 ) δ (σ1 + σ2 − σ3 − σ4 )
(6.1)
× [E (k1 ) E (k2 ) (E (k3 ) + E (k4 )) − E (k3 ) E (k4 ) (E (k1 ) + E (k2 ))] dk1 dk2 dk3 ,
où T est une fonction assez compliquée donné par Herterich et Hasselmann (1980).
Le calcul de Snl suppose que l’élévation de la surface est Gaussienne, qui permet de négliger les
corrélations entre 4 trains de vagues de nombres d’ondes différents qui interviennent dans le calcul de
l’énergie d’ordre 6 dont est issu l’expression de Snl (Hasselmann, 1962). Cette hypothèse est bien vérifiée
en pratique car les corrélations que créent les interactions de 4 vagues apparaissent bien moins vite que
le temps d’évolution du spectre, de l’ordre de ε4 T , dû à ces interactions.
65
66
CHAPITRE 6. EVOLUTION FAIBLEMENT NON-LINÉAIRE DES VAGUES
6.2
Effet des propriétés conservatives
Le terme de source Snl est tel que l’énergie totale
Z
E = E (k) dk
est conservée, ainsi que la quantité de mouvement
Z
M = kE (k) /σdk,
et l’action
A=
Z
E (k) /σ.dk
(6.2)
(6.3)
(6.4)
Comme on le re-verra plus loin, cette dernière conservation est intrinsèquement liée à l’invariance du
problème lorsque les phases des différentes composantes sont modifiées.
La conservation des deux quantités scalaires que sont A et E dans un système non-linéaire donne
lieu à une turbulence d’onde avec une cascade d’énergie vers les petites et les grandes échelles (Zakharov
et Zaslavskii, 1982). En effet, considérons le terme non-linéaire intégré sur les directions Snl (k). Si on
imagine que les échanges de E(k) et A(k) correspondent à un transfert des petites vers les grandes
échelles, on aurait une distribution de dE(k)/dt = Snl (k) avec deux lobes, un négatif avec Snl (k) ≤ 0
entre 0 et k1 et l’autre positif avec Snl (k) ≥ 0 entre k1 et kmax . La conservation de l’énergie implique par
ailleurs que l’intégrale de Snl (k) sur le premier lobe compense exactement l’intégrale sur le second.
Or, la conservation de l’action donne le même résultat, ce qui est impossible l’action donne beaucoup
plus de poids aux basses fréquences. Il ne peut donc y avoir deux lobes, et il en faut donc au moins trois.
En réalité on obtient une double cascade d’énergie, plutôt vers les hautes fréquences, et d’action, plutôt
vers les basses fréquences.
Ce phénomène explique en partie l’allongement de la période des vagues avec le fetch.
Par ailleurs, la conservation de la quantité de mouvement implique aussi que l’energie qui est transférée
vers les hautes fréquences ne peut pas être transférée dans la même direction que le pic car sinon la quantité de mouvement augmenterait, le transfert se fait donc dans des directions obliques ou opposées. Cette
propriété est aussi reliée aux conditions de résonnance qui sont dictées par la relation de dispersion. Ainsi
√
Longuet-Higgins (1976) a montré que l’angle vers lequel l’énergie fuit le pic spectral est arctan(1/ 2)
soit 35◦ (figure 6.1). Ainsi un spectre étroit a tendance à donner partie haute fréquence avec deux pics
séparés de 70◦ , en bon accord avec la séparation de 60 à 80◦ observée par Hwang et al. (2000) et Long
et Resio (2007), et illustrée par la figure 4.6.
En absence de forçage et avec une dissipation seulement à petite échelle, le spectre des vagues a
tendance a évoluer vers une solution de type Kolmogorov auto-similaire. En l’absence de forçage et de
dissipation, la conservation du flux d’énergie vers les petites échelles donne un spectre en fréquence
proportionnel à f −4 . Par ailleurs, la conservation du vecteur quantité de mouvement Mw fait que le flux
d’énergie vers les hautes fréquence ne peut pas être dans la direction moyenne : en effet, pour chaque
composante Mb = E/C, et tout transfert vers les hautes fréquence doit donc se faire dans des directions
obliques θ pour que les intégrales de E et E cos θ/C soient conservés. En pratique, il y a aussi un forçage
et une dissipation aux grandes échelles, ce qui écarte les spectres réels de la solution de type Kolmogorov.
6.3
Autres propriétés des interactions vagues-vagues
Outre le mouvement d’ensemble de flux d’énergie vers les hautes et basses fréquences, les interactions
non-linéaires sont aussi carctérisées par un effet local très marqué. Ainsi, en introduisant une perturbation
dans un spectre quasiment à l’équilibre, les interactions vont rapidement gommer cette perturbation. Les
interactions ont donc tendance à lissser le spectre, et ce lissage est d’autant plus rapide que les vagues
correspondantes sont cambrées. D’un point de vue théorique cette évolution est proportionnelle à la
cambrure à la puissance 6. Pour la mer du vent cela peut ce faire en moins de 100 périodes (figure 6.2).
Pour la houle, qui est beaucoup moins cambrée, il est probable que l’évolution non-linéaire contribue à
un élargissement significatif du spectre directionnel, mais il n’y a apparemment pas d’effet notable sur
le spectre en fréquence (T. Herbers, communication personnelle).
6.3. AUTRES PROPRIÉTÉS DES INTERACTIONS VAGUES-VAGUES
67
Fig. 6.1 – Interactions non-linéaires et bimodalité directionnelle.
L’interaction des composantes de vecteurs d’onde κ1 , κ2 , κ3 et κ4 , avec κ3 et κ4 proche du pic spectral,
ne peut être significative que si les nombres d’ondes ont une
√ disposition comme indiquée avec κ1 proche
de l’hyperbole dont l’asymptote fait une angle de arctan(1/ 2) avec l’axe des x. Tiré de Longuet-Higgins
(1976) .
Fig. 6.2 – Effet stabilisateur des interactions non-linéaires.
Un spectre présentant intialement un “trou” évolue rapidement vers un spectre plus lisse, sous l’effet des
interactions non-linéaires. En haut à gauche, spectre de départ, et à droite, après 3 minutes, soit, dans
ce cas, moins de 100 périodes. Tiré de Young et van Vledder (1993) .
68
CHAPITRE 6. EVOLUTION FAIBLEMENT NON-LINÉAIRE DES VAGUES
Fig. 6.3 – Configuration des interactions dans le DIA.
Pour chaque composante du spectre k les interactions ne sont calculées qu’avec le quadruplet déterminé
2
2
par k1 = k2 = k,
√k3 = (1 + λ) k et σ1 + σ2 = γσ, ce qui impose k4 = (1 − λ) k. Dans le DIA standard,
λ = 0.25 et γ = 2 ont été choisi. Pour d’autres valeurs de λ le nombre d’onde k3 se déplace sur les autres
courbes, car il est contraint par la relation de résonance, tandis que k4 est donné par k4 = k1 + k2 − k3 .
L’angle fait par la courbe en forme de 8 avec l’axes des x, pour k3 proche de k1 est le même angle de 35◦
que dans la figure précédente. Figure tirée de van Vledder (2006).
6.4
Calcul pratique des interactions vague-vague
Le calcul du terme Snl est malheureusement trop coûteux, d’un facteur 10 à 100 à l’heure actuelle
suivant les applications, car il s’agit d’une intégrale sur au moins 3 dimensions qui doit se calculer pour
chaque composante spectrale en chaque point de l’espace. Le calcul exact ne se fait donc que pour des
recherches sur les propriétés de la turbulence faible ou pour comprendre en détail l’évolution de l’état de
la mer. La plupart des modèles de prévision ont adopté, faute de mieux, un approximation discrète des
interactions (”DIA”, Hasselmann et coll. 1985). Cette approximation utilise les propriétés de conservation
(énergie, action, quantité de mouvement) des quadruplet d’ondes en interaction résonante, et de nombres
d’ondes k1 , k2 , k3 , et k4 vérifiant les relations de résonance. Au lieu de garder toutes les interactions
possible, le DIA ne retient qu’une configuration géométrique pour chaque composante du spectre (figure
6.3), et il n’est valable qu’en eau profonde. Le DIA conserve donc les propriétés intégrales des vagues mais
la forme du Snl qui en résulte est quantitativement très différente de la forme théorique. Le DIA a été
ajusté pour que le transfert d’énergie vers les basses fréquences soit à peu près correct lors de la croissance
des vagues. Ce choix occasionne cependant des dégâts collatéraux importants sur la distribution angulaire
du Snl (trop large) et son rôle dans la zone d’équilibre 1.5 < fp < f < 4fp .
Plusieurs méthodes de complexité intermédiare ont été développées et certaines sont déjà utilisées
pour la prévision des états de mer.
Enfin, Janssen et Onorato (2007) ont montré que l’application usuelle du DIA pour des profondeurs
intermédiares, via un coefficient qui augmente quand kD diminue, est probablement erroné. En effet,
ils montrent que les interactions avec des composantes spectrales proches s’annulent pour kD = 1.63
et s’inversent pour des valeurs plus faible de kD : la cascade inverse vers les basses fréquences devrait
changer de signe. Il reste encore à vérifier ces prédictions théoriques.
Chapitre 7
”Dissipation” d’énergie
De nombreux mécanismes contribuent à la dissipation de l’énergie des vagues, ou plutôt au transfert
d’énergie mécanique vers d’autres formes de mouvement, en particulier la turbulence. En effet la seule
dissipation en chaleur est due à la viscosité.
7.1
Effet de la viscosité dans l’eau
Nous l’avions négligée jusque là, il est temps de savoir pourquoi. La conversion d’énergie mécanique
en chaleur par unité de surface océanique est donnée par le travail des contraintes visqueuses sur les
vitesses orbitales soit, d’après tout bon cours de mécanique des milieux continus,
2 %
Z +∞ " 2 2 ∂u
∂v
∂w
∂E
2µ
= −
+
+
∂t
∂x
∂y
∂z
−∞
"
2 2 2 %
∂v ∂w
∂u ∂v
∂u ∂w
+
+
+
+
+
dz
(7.1)
+µ
∂z
∂z
∂z
∂y
∂y
∂x
On remarque que cette expression ne fait intervenir que des carrés de différents termes. Grâce au théorème
de Parseval on peut donc disséquer cette dissipation en un terme pour chaque composante du spectre.
Avec un peu de calcul on arrive à la formule donnée par Lamb (1932), valable pour des vagues de gravité
au second ordre en pente des vagues, et quelle que soit la profondeur,
∂
E (f, θ) = −4νw k 2 E (f, θ)
∂t
(7.2)
avec νw la viscosité cinématique de l’eau (environ 3 × 10−6 m2 s−1 à 20˚C, et beaucoup plus pour des
eaux très froides). En pratique cette dissipation est très faible pour les ondes de gravité. Par contre elle
domine pour les ondes capillaires (longueurs d’ondes inférieures à 2 cm), et peut donc avoir un effet
significatif, via les interactions non-linéaires, sur les ondes mixtes de gravité-capillarité. Dans ces cas il
faut aussi, en général, prendre en compte la tension de surface.
7.2
Effets de la turbulence dans l’eau
La turbulence, des plus petites aux plus grandes échelles peut avoir divers effets sur les vagues (Phillips
1961). En particulier les tourbillons et les variations de courant à petite échelle peuvent partiellement
réflechir les vagues (Rayevskiy 1983), tandis que les variations à des échelles plus grandes que la longueur
d’onde entraı̂nent une réfraction des vagues (chapitre 9). Dans tous les cas le transfert d’énergie entre
les vagues et la turbulence peut se calculer en considérant l’équation d’évolution de l’énergie cinétique
turbulente (ECT, ou TKE en anglais, voir par exemple Phillips 1977). Le taux local de production d’ECT
par le mouvement des vagues est,
X
∂ui
,
(7.3)
u′i u′j
Pws = ρ
∂xj
i,j
qui s’exprime en Watts par mètre cube dans le système international. ui est la composante i de la vitesse
induite par les vagues, et u′i u′j est le tenseur des flux turbulents ou tenseur de Reynolds. En supposant
69
70
CHAPITRE 7. ”DISSIPATION” D’ÉNERGIE
que ces flux turbulents sont constants par rapport à la phase des vagues, ce qui peut être une première
approximation, Ardhuin et Jenkins (2006) ont montré que Pws se simplifie. En supposant de plus que le
flux ρ(u′ w′ , v ′ w′ ) est uniforme et égal (dans l’eau) à la tension de vent τa = ρa u2⋆ , on a
Pws = τa ·
∂Us
,
∂z
(7.4)
avec Us la dérive de Stokes. On peut aussi exprimer cette production comme un terme de source pour
l’énergie des vagues,
ρa
cosh(2kD)
∂
E (f, θ) = Sturb = − u2⋆ σk cos (θ⋆ − θ)
E (f, θ)
∂t
ρw
sinh2 (kD)
qui devient
Sturb = −2
ρa 2
u σk cos (θ⋆ − θ) E (f, θ)
ρw ⋆
(7.5)
(7.6)
en eau profonde. Teixeira et Belcher (2002) étaient déjà arrivés à la même expression en faisant l’hypothèse
d’une distortion rapide de la turbulence par le mouvement des vagues. Cette hypothèse est très proche
de notre hypothèse de non-corrélation de la turbulence avec la phase des vagues. En pratique cette
expression donne probablement un ordre de grandeur raisonnable pour l’interaction des vagues avec la
turbulence dans la couche de mélange océanique. Elle donne une expression pour la source d’énergie
des principaux mouvements turbulents que sont, dans ce cas, les circulations de Langmuir (chapitre 9)
dont le mouvement est effectivement assez lent pour considérer qu’il s’agit d’une distortion rapide par les
vagues. Par ailleurs cette expression indique que les vagues gagnent de l’énergie lorsqu’elles se propagent
contre le vent. Il reste à voir si dans ce cas l’hypothèse de non-corrélation est toujours valable. Ce terme
est généralement négligeable pour les houles longues, par rapport au frottement à la surface (même s’il
est visqueux). Par contre ce terme peut représenter environ 10% de la dissipation de la mer du vent et
c’est aussi la source d’énergie probable des circulations de Langmuir, dont le rôle est dominant dans le
mélange près de la surface.
7.3
7.3.1
Déferlement
Critères de déferlement
Le déferlement est le puits d’énergie le plus important pour la houle et la mer du vent. Pour des
vagues régulières, le déferlement résulte d’une instabilité qui se développe à partir de la crête des vagues
dès que la vitesse des particules dépasse la vitesse de phase de l’onde1 . On trouve alors que la cambrure
maximale d’une vague régulière est à peu près H/L = 0.14 tanh(kD) (Miche 1944) : au passage, le
facteur tanh(kD) est justement le rapport entre l’amplitude de l’élévation et celle des vitesses orbitales
en surface, en tout cas dans le cadre de la théorie linéaire. Il est probable qu’un critère similaire sur la
vitesse s’applique aux vagues irrégulières, en effet, une crête qui se déplace plus vite que la vitesse de
phase conduit, si cet excès de vitesse dure assez longtemps, à l’écroulement de la crête sur la face avant.
Les observations en laboratoire, faites par Melville et Rapp (1988) et Stansell et MacFarlane (2002)
montrent que des vagues déferlantes non stationnaires ont effectivement des vitesses qui s’approchent de
la vitesse de phase.
Par ailleurs, de nombreux auteurs ont cherché un critère de déferlement sur l’accélération verticale
des particules, mais ce paramètre n’est pas un bon indicateur du déferlement (e.g. Holthuijsen et Herbers
1986).
7.3.2
Types de déferlements
La forme des déferlements est très différente suivant les échelles des vagues concernées. Pour les
petites longueurs d’ondes (0.1 < L < 1 m, soit σ/(2π) > 1.25 Hz) le déferlement est en général trop
faible pour entraı̂ner la formation de bulles d’air dans l’eau, car toute augmentation de la surface air-eau
demande une énérgie égale à la tension de surface T que multiplie l’excès de surface. On a alors des microdéferlements (Banner et Phillips 1974) qui sont caractérisés par une forte courbure de la surface et la
génération d’ondes capillaires sur la face avant de la vague. Ces ondes capillaires sont fortement dissipées
1 Ce critère n’a aucun sens pour une onde stationnaire, qui ne se propage pas, et pour laquelle la stabilité est définie par
l’accélération verticale des particules à la crête.
71
7.4. PARAMÉTRAGE DE LA DISSIPATION PAR DÉFERLEMENT
(a)
WIND
50 cm
(b)
(c)
Fig. 7.1 – Caractéristiques des déferlements à plusieurs échelles.
(a) Schéma d’un micro-déferlement vu de côté, la couche limite n’est pas à l’échelle (tiré de Siddiqui et
c
Loewen 2007, Cambridge
University Press), (b) déferlement d’une onde courte avec entrainement d’air
(tiré de Koga 1982), (c) évolution d’une vague au cours d’un déferlement plongeant, avec un profil toutes
c
les 0.04 s (tiré de Bonmarin 1989, Cambridge
University Press).
par la viscosité et absorbent une partie importante de l’énergie des vagues courtes. Les observations
montrent que ces déferlements sont très fréquents, sauf par vent faible, passant de 11% à 80% pour
des vents de 4.5 et 7.4m s−1 dans les expériences de Siddiqui et Loewen (2007). Ces micro-déferlements
jouent un rôle important dans les flux de gaz et de chaleur à la surface car ils perturbent la couche limite
visqueuse (figure 7.1.a).
Pour des ondes plus longues, le déferlement est généralement associé à la formation de bulles, qui
produisent un bruit caractéristique. Ce ‘bruit ambiant’ est d’ailleurs un facteur important dans les
performances des sonars (e.g. Lu et coll. 1990, Ma et coll. 2005). On distingue alors plusieurs types de
déferlement. Lorsqu’il est quasi-stationnaire avec une forme constante de la vague et du nuage de bulles
on a un déferlement déversant (spilling). Pour des déferlements plus intenses on observe la formation
d’un tube d’air sous la crête, on parle alors de déferlement plongeant (figure 7.1.c). Cet injection de bulles
peut consommer près de la moitié de l’énergie perdue par les vagues (Lamarre et Melville 1991). Enfin,
il convient de souligner que les vagues plus longues peuvent contribuer au déferlement des vagues plus
courtes, soit par leur propre déferlement, soit par les modulations hydrodynamiques et aérodynamiques
qu’elles induisent.
7.4
7.4.1
Paramétrage de la dissipation par déferlement
Approche énergétique globale
Au abords de la côte et sur les récifs, le problème peut être grandement simplifié en s’intéressant à
l’énergie totale au lieu du spectre. Dans la mesure ou les vagues ne sont pas dispersives et ont souvent
la même direction, on peut considérer que l’energie est rayonnée dans une direction avec la vitesse de
groupe correspondant au pic.
Parce que les mesures de vitesse orbitale à la crête sont très rares, (Battjes et Janssen, 1978) on
redéfini le seuil en vitesse orbitale sous forme de seuil en hauteur de vague, afin de s’appuyer sur la
72
Fig. 7.2 – Analogie entre un ressaut hydraulique (en haut) une vague déferlante par petits fonds (au
milieu) et une vague déferlante par grand fond (en bas).
distribution de Rayleigh correspondant assez bien aux observations
p (H) =
2H −(H/Hrms )2
e
2
Hrms
(7.7)
Ils ont alors utilisé une relation empirique assez bien vérifiée : la hauteur maximale des vagues par petits
fonds est proportionnelle à profondeur avec un seuil γD, où γ est de l’ordre de 0.3 à 0.8. En prenant γ
constant, ce seuil correspond à la limite quand kD tend vers zéro du seuil Hmax /L = 0.14 tanh(kD) de
Miche, soit Hmax = 0.14 ∗ 2πD. Les travaux récents de Ruessink et coll. (2003) montrent d’ailleurs que γ
est une fonction de kD. Le taux de dissipation des vagues est alors obtenu en modifiant la distribution
p en disant que toutes les vagues qui aurait eu une hauteur supérieure à γD sont limitées à γD et donc
la probabilité de déferlement pB est donnée par la fraction des vagues qui ont cette hauteur.
Ensuite le taux de dissipation par unité de longueur de crête ǫ est donné par analogie avec un ressaut
hydraulique (figure 7.2).
Dans un ressaut hydraulique classique, l’écoulement et permanent et le fond est plat, avec des hauteurs
d’eau D1 et D2 de part et d’autre du ressaut. Dans le référentiel en translation avec le ressaut l’écoulement
moyen est permanent et les vitesses U1 et U2 sont uniformes sur la verticale avec un débit liquide à travers
le ressaut donné par Q = U1 D1 = U2 D2 . En faisant un bilan des flux dans un volume de contrôle autour
du ressaut et en supposant que, assez loin du ressaut, l’écoulement est hydrostatique, la conservation de
la quantité de mouvement donne
D1 U12 + 0.5gD12 = D2 U22 + 0.5gD22 .
On peut déjà éliminer U1 et U2 pour obtenir
s
U1 =
U2 =
s
(7.8)
gD2 (D1 + D2 )
2D1
(7.9)
gD1 (D1 + D2 )
2D2
(7.10)
On calcule alors ǫ1 , la perte d’énergie mécanique par unité de temps et par unité de longueur du
ressaut, qui, conditions stationnaires oblige, est égale au flux entrant dans le volume de controle compris
73
entre les sections verticales en 1 et 2. CeR flux se décompose en flux advectif d’energie cinétique ρw U 3 D/2,
flux advectif d’énergie potentielle ρw g zdz = ρw gD2 /2 et le travail
des contraintes
sur les bords du
R
R
volume de controle, qui se réduisent ici aux forces de pression, soit pU dz = ρg(D−z)dzU = ρw gD2 /2.
Il suffit donc de remplacer les vitesses par (7.9) et (7.10) pour obtenir,
3
ǫ1 (D1 , D2 , Q) =
1
(D2 − D1 )
ρw Q
U12 − U22 + ρw gQ (D2 − D1 ) = ρw g
Q.
2
4
D1 D2
(7.11)
L’analogie entre les vagues et le ressaut consiste à remplacer D2 − D1 par la hauteur de la vague H,
égaler la profondeur D1 et D2 de part et d’autre du ressaut avec profondeur moyenne D, H. Il reste à
paramétrer le débit Q à travers le ressaut. La formulation la plus simple est celle de Hwang et Divoky
(1970) pour un ressaut hydraulique périodique, qui balaye un volume Q = DC en une période. Par
ailleurs la dissipation ǫ1 par unité de longueur se répartit en moyenne sur une longuer d’onde L. La
dissipation par unité de surface est donc,
3
ǫ(H, D, T ) =
1
1 (BH)
ǫ(H, D, T ) = ρg
L
4
DT
(7.12)
où B un facteur d’ajustement voisin de 1 : nous avons quitté la géophysique pour aller dans le génie
côtier, il faut bien des facteurs de calibration empirique pour arriver à un résultat précis !
Puisque la hauteur H joue un rôle déterminant dans la dissipation d’énergie, il convient désormais de
déterminer la hauteur et la période des vagues qui déferlent. On constate en pratique que ces hauteurs
ont une certaine distribution pB (H, T ), différente de la distribution des hauteurs de toutes les vagues
p(H, T ). On peut définir de façon générale un facteur de pondération W pour passer des probabilités de
hauteur à la distribution de hauteurs déferlantes,
pB (H, T ) = p(H, T )W (H, T ).
(7.13)
La dissipation d’énergie par unité de temps et par unité de surface est donc une moyenne sur toutes
les hauteurs de vague, et elle doit être aussi égale à la somme des composantes spectrales,
Z
Z
(7.14)
ǫtot = ǫ(H, D, T )W (H, T )p (H, T ) dH = ρg Sdis (k) dk.
k
En eau profonde, ni la vitesse ni le gradient horizontal de pression ne sont homogènes sur la verticale.
Le flux d’énergie est donc clairement différent de celui utilisé ici. Ainsi la profondeur D qui intervient
dans ǫ doit être remplacée par une échelle de longueur e
h pertinente. Chawla et Kirby (2002) ont proposé
de prendre e
h = tanh(kD)/k qui tend vers D quand kD tend vers zéro. On a alors
s
gk
1
3
ρgk (BH)
(7.15)
ǫ(H, D, T ) =
8π
tanh(kD)
Le choix de e
h est assez discutable et devrait pouvoir se justifier à partir du bilan d’énergie 7.11. Cet
aspect est actuellement à l’étude.
7.4.2
Statistiques du déferlement par petits fonds
Pour finir de déterminer la dissipation d’énergie il faut donc spécifier les fonction W (H, T ) et p (H, T ).
Par petits fonds on considère souvent l’ensemble des périodes et on réduit le problème à la détermination
de W (H) et p (H). Pour ce dernier on utilise en général pR , la distribution de Rayleigh (figure 15.8). Et
pour W il existent deux grandes écoles. La première, suit Battjes et Janssen (1978) qui ont simplifié le
problème en distant que les vagues déferlantes avaient à peu près toutes la même hauteur déterminée
par la profondeur, c’est à dire H = γD avec un paramètre γ connu, et la probabilité d’occurence de ces
vagues est QB = pR (h > γD) : on a donc une singularité dans p(H) et dans W (H).
Cette approximation peut conduite à avoir des valeurs de QB plus grandes que 1, ce qui est génant
pour une probabilité Janssen et Battjes (2006). L’autre approche consiste à se baser sur des observations,
et d’en déduire un paramétrage de W : après avoir passé des jours à compter les vagues passant devant
un repère mobile dans la zone de déferlement, Thornton et Guza (1983) ont donc propisé la fonction
empirique W (H)
4
Hrms
W (H) =
(7.16)
γD
74
avec là encore un facteur γ qui joue le même rôle que dans le modèle de Battjes et Janssen. L’intérêt de
cette forme analytique est que l’intégrale dans (7.19) se calcule analytiquement pour donner,
ǫtot =
B3
3 1/2
7
π ρg 4 5 fp Hrms
.
16
γ D
(7.17)
où fp est la fréquence du pic spectral des vagues.
7.4.3
Statistiques du déferlement par grands fonds
De nombreuses applications, dont l’acoustique sous-marine, la télédétection, l’étude des flux air-mer,
demande une connaissance statistique des caractéristiques du déferlement. Cette caractérisation a été
longtemps limitée à une couverture d’écume, dans laquelle plusieurs types d’écume (active, fossile ...)
étaient distingués (e.g. Monahan et Woolf 1989). Cette couverture d’écume varie fortement avec la vitesse
du vent, passant de valeurs très faibles pour U10 < 7 m s−1 , pour atteindre 1 % à U10 ≃ 10 m s−1 et
6 % à U10 ≃ 20 m s−1 , et bien plus dans des vents plus forts. De fait, cette variabilité est à la base de
l’échelle Beaufort pour déterminer la force du vent à partir de l’aspect visuel de la mer. Or le déferlement
peut aussi se produire en l’absence de vent, du fait de la convergence des vagues liée à la topographie
ou aux courants (voir chapitres suivants). Ainsi on distingue souvent le déferlement se produisant dans
la ‘zone de déferlement’, devant les plages, car presque toutes les vagues y déferlent du fait de la rapide
convergence du flux d’énergie associée au levage. Par ailleurs la couverture seule est insuffisante pour
caractériser le déferlement.
Phillips (1985), a donc proposé un description ‘spectrale’ du déferlement en introduisant la fonction
Λ, qui est la densité de longueur de crête déferlante par unité de surface dans l’espace des vitesses c
des fronts déferlants. Ainsi, la longueur Λ(c)dcx dcy est la longueur totale des fronts déferlants qui ont
un vecteur vitesse égal à c = (cx , cy ) à dcx et dcy près. Il convient de préciser que c est généralement
légèrement inférieur à la vitesse de phase C des vagues qui supportent ces fronts. L’intérêt d’une telle
décomposition est que nombre de propriétés des déferlements sont fonction de la vitesse c. En particulier
Duncan (1981, 1983) a montré que la dissipation d’énergie et la perte de quantité de mouvement de
vagues stationnaires en laboratoire est proportionnelle à c5 et c4 fois la longueur du front déferlant. Par
ailleurs,
la fraction de la surface océanique balayée par les déferlements par unité de temps est simplement
R
cΛdcx dcy . On peut aussi supposer les déferlements auto-similaires pour calculer l’épaisseur de l’écume
(Reul et Chapron 2003).
L’étude du déferlement s’oriente donc vers la mesure et la prévision de la fonction Λ. Ce type d’observation n’est pas aisé et demande un suivi vidéo à haute résolution dans les domaines optique ou
infrarouge (figure 7.3). En parallèle, les observations plus classiques de séries temporelles d’élévation de
la surface peuvent être associées à une identification visuelle ou acoustique du déferlement (Hothuijsen
et Herbers 1986, Banner et coll. 2000, Babanin et coll. 2001, Manasseh et coll. 2006). Ces études ont
abouti à la conclusion que le déferlement des vagues dominantes ne se produit que lorsque l’énergie de
ces vagues dépasse un certain seuil. Ce seuil est une valeur constante lorsqu’on utilise l’énergie adimensionnelle, c’est-à-dire la cambrure, avec un certain facteur d’ajustement suivant la bande de fréquence
sur la laquelle est intégrée le spectre. Ainsi, on peut relier la probabilité de déferlement des vagues à la
grandeur adimensionnelle B(k), définie par
B (k, θ) =
Z
θ+∆θ
θ−∆θ
Z
k+∆k
k−∆k
cosp (θ − θ′ )k 2 E(k, θ′ )dkdθ′ .
(7.18)
La définition exacte de B dépend des valeurs de ∆θ et ∆k et de p. Ainsi l’étude théorique de Phillips
(1984) proposait de prendre ∆θ = ∆k = 0, et p = 0, ce qui n’a pas de sens car dans ce cas B pourrait
être très fort pour des vagues de très faible cambrure (e.g. infini pour des vagues monochromatiques).
Les observations de Banner et coll. (2000) ont été analysées avec ∆θ = π, p = 0 et ∆k ≃ 0.6k. Il est
difficile d’étudier les variations de la probabilité de déferlement pour des valeurs plus faibles de ∆θ du
fait de l’incertitude statistique (Filipot et coll., travail en cours). Physiquement, cette probabilité de
déferlement est associée à la présence de vagues assez cambrées, qui ne peuvent exister que si des trains
d’ondes de nombres d’ondes voisin peuvent se superposer linéairement au sein de groupes. Ensuite ces
vagues cambrées peuvent évoluer vers le déferlement de manière non-linéaire (Song et Banner 2002).
Par ailleurs, le fait que B soit adimensionnel suggère que le déferlement ne dépend que de la forme
géométrique des vagues, d’autres facteurs (vent, courant ... ) n’ayant probablement qu’une importance
75
(c)
(b)
(a)
(d)
160 m
(e)
Fig. 7.3 – Fronts déferlants
(a) Détection de fronts déferlants (en noir) par imagerie infrarouge pour des micro-déferlements (tiré
de Jessup et Phadnis 2005) , (b), (c), et (d) couverture d’écume pour des vents de 7, 10 et 14 m s−1
(Melville et Matusov 2002), et (e) schéma définissant la fonction Λ de Phillips (tiré de Reul et Chapron
2003).
76
(c)
(b)
(d)
Fig. 7.4 – Déferlement et saturation
Probabilité bT en fonction du degré de saturation du spectre. Le paramètre ε est défini par ε2 ≃ 4B (k)
avec ∆θ = π et ∆k ≃ 0.6k. La valeur seuil à partir de laquelle le déferlement apparaı̂t, ε = 0.055
correspond donc à B (k) ≃ 1 × 10−3 .
secondaire. D’abord démontré pour des vagues dominantes, ce seuil sur B a aussi été mis en évidence
pour des vagues plus courtes (Banner et coll. 2002).
On remarquera, que si B est constant, alors (pour des vagues linéaires) le spectre décroı̂t comme f −5 .
Par ailleurs, si le spectre adimensionnel représenté par B est constant il n’y a pas d’échelle privilégiée
et la surface de la mer est fractale : les petites vagues ressemblent aux grandes. Nous avions vu que
les interactions non-linéaires tendent à imposer un spectre en f −4 . C’est donc en pratique impossible
car à une certaine fréquence l’asymptote f −4 croise celle en f −5 représentant les vagues de cambrure
maximale.
7.4.4
Approche spectrale
Si l’on veut maintenant décomposer la dissipation totale ǫtot sur le spectre on peut soit utiliser une
approche empirique en redistribuant la dissipation sur toutes les composantes de façon proportionnelle
à l’énergie ou à l’énergie que multiplie un facteur de forme spectrale (par exemple f 2 pour dissiper plus
les hautes fréquences). Ce type d’approche est généralement utilisé par petits fonds car du fait de la
non-dispersivité des vagues, la distinction des différentes composantes a peu de sens.
Mais de façon plus générale, on veut pouvoir découpler le déferlement des différentes composantes
qui ont des longueurs d’ondes ou directions très différentes. Ce type d’approche permet d’exploiter les
observations de probabilités de déferlement par Banner et al. (2000), de manière rationnelle.
Une première étape est de déterminer la probabilité de déferlement par ”échelle” : ces échelles sont
des voisinages spectraux au sein desquels la séparation des nombres d’onde n’a pas de sens physique car
on peut considérer une vagues comme la somme de composantes dont les nombres d’ondes sont proches.
Ainsi on relie les probabilités de déferlement à B qui, en choisissant p = 2 est une variance de vitesse
orbitale adimensionnelle.
Il faut ensuite déconvoluer cette probabilité de déferlement en la distribuant sur les composantes
spectrales. Le taux de dissipation spectral associé au déferlement spontané des vagues est ainsi
Z
h(k′ − k)p (B(k′ )) q (B ′ (k′ )) dk′ E (k) .
(7.19)
Sdis (k) =
k
′
où l’intégrale sur k exprime la déconvolution des échelles vers les composantes spectrales avec filtre h,
77
et où p est la probabilité de déferlement par échelle et q est le taux de dissipation par longueur de crête.
La formalisation complète de cette démarche est en cours (Filipot et coll. 2008).
Actuellement des approches semi-empiriques (van der Westhuysen et coll. 2007, Ardhuin et al. 2008c)
ont abouti a des termes de dissipation par déferlement spontané du type,
2
B (f, θ)
Sds (f, θ) = σCds max
− 1, 0
F (f, θ) + Sds,c (f, θ).
Br
avec
B (f, θ) = 2π
Z
(7.20)
θ+π
θ−πθ
k 3 cos2 (θ − θ′ ) F (f, θ′ )/Cg dθ′ ,
(7.21)
et un seuil Br = 0.0009 cohérent avec le seuil mesuré par Banner et coll. (2000). Le second terme, Sds,c
représente la dissipation induite par le déferlement de vagues de plus grande longueur d’onde qui ”lissent”
la surface et entraı̂ne une dissipation des vagues les plus courtes. En première approximation on peut
exprimer ce terme à partir de la fonction Λ, en estimant qu’une vague de période au moins M fois plus
grande que la vague courte considérée induit une dissipation totale de l’énergie de la vague courte. Il
suffit donc de calculer le nombre de vagues longues qui dépassent la vague courte par unité de temps,
c’est l’intégrale de |C − C′ | Λ(C)dC,
Sds,c (f, θ) =
Z
f /M
|C − C′ | Λ(f ′ , θ′ )df ′ dθ′ F (f, θ),
0
(7.22)
où on a considéré que la vitesse de phase C′ correspondant aux vagues de fréquence f ′ et de direction θ′ .
La plupart des codes de calcul de l’état de mer utilise encore actuellement des formulations empiriques
ajustées pour que les modèles reproduisent les observations de croissance des vagues sous l’effet du vent,
et le développement complet de l’état de la mer. De ce fait, ces paramétrages ne sont pas faits pour
fonctionner en eau peu profonde ou en présence de forts gradients de courant, et il est d’usage de
leur ajouter un terme de déferlement ‘bathymétrique’ afin de dissiper correctement l’énergie des vagues
s’approchant des plages.
Les travaux en cours au SHOM visent justement à aboutir à un paramétrage physique de PB (H, T )
pour éviter la distinction assez difficile et arbitraire entre le ‘déferlement bathymétrique’ et le ‘moutonnement’. Ainsi, Filipot et al. (2009) ont ajusté un paramétrage commun de la fonction W (H, T ) aux
observations de Thornton et Guza (1983) et à celles de Banner et al. (2000). On définit d’abord des
hauteurs de vagues dans un voisinage spectral autour de la fréquence fc = 1/T ,
H(fc ) =
Z
fmax
U (fc , f )E(f ′ )df ′ ,
(7.23)
0
avec U une fenêtre spectrale centrée sur fc et de largeur proportionnelle à fc . Une largeur de 0.7 à 1.3 fc
est cohérente avec l’analyse de Banner et al. (2000) et permet de trouver, pour les vagues dominantes,
des hauteurs proche de celles données par une analyse vague par vague classique. Filipot et al. (2009)
ont montré que l’on pouvait exprimer une fonction W à partir de vitesses orbitales adimensionnelles,
β=
sous la forme
WF AB (H) = a
k(fc )H(fc )
tanh(k(fc )D
2 p β
β
1 − exp −
,
βe
βe
(7.24)
(7.25)
donnait de bon résultats avec a = 1.5 et p = 4, comme indiqué en figures 7.5 et 7.6. La constante βe joue
le rôle de γ dans le modèle de Thornton et Guza (1983), et elle est ici définie comme une fraction de
βmax , valeur de β correspondant aux vagues d’amplitude maximale pour une période T fixée. On obtient
alors une répartition en fréquence de la dissipation Sds (f ) en utilisant le taux de dissipation (7.15), et
en redistribuant la dissipation des vagues de fréquence centrée en fc sur l’intervalle de fréquence qui
contribue à H(fc ).
La répartion en direction pourrait être faite de la même façon en définissant un H(fc , θc ) au lieu de
H(fc ). Malheureusement il n’y a pas encore assez de mesures directionnelles du déferlement pour valider
et calibrer cette approche.
78
Fig. 7.5 – Paramétrage des probabilités de déferlement
Illustration de la capacité du paramétrage de W donné par (7.25) à reproduire les observations de
déferlement réalisées dans le lac George en Australie, pour des profondeurs intermédiaires, avec kp D
de l’ordre de 1 (tiré de Filipot et al. (2009)). Chaque figure correspond à une bande de fréquence. Les
barres indiquent les observations de p(H) en clair et pB (H) en foncé, et les courbes sont les paramétrages
données par pR (Rayleigh, pointillés bleus) et W (H)PR (H) pour (a = 1.5, p = 4) (trait mixte rose) et
(a = 1, p = 2) (trait plein rouge) .
Fig. 7.6 – Paramétrage des probabilités de déferlement
Illustration de la capacité du paramétrage de W donné par (7.25) à reproduire les observations de
déferlement pour les vagues dominantes par grands fonds.
79
x 10-3
1
EE(f)
S
S in
0.5
Sin
nl
0
SSnlds
-0.5
S
tot
Sds
U10=15 m/s, t=3h
-1
S
tot
-1.5
S (m2) ou E x 10 -5 (m2/Hz)
S (m2) ou E x 10 -3 (m2/Hz)
7.5. BILAN SPECTRAL
0
x 10
0.1
-4
6
0.2
0.3
0.4
f (Hz)
0.5
0.6
0.7
0.8
U10=15 m/s, t=48h
4
2
0
-2
-4
Fig. 7.7 – Equilibre des termes de source
Termes de source pour un vent de 15 m/s avec un spectre initial nul. (a). au bout de 3 heures, (b) au
bout de 2 jours.
7.5
Bilan spectral
AU vu des incertitudes sur la génération et la dissipation des vagues, les paramètres empiriques de
ces deux fonctions sont ajustés pour que l’équation d’évolution du spectre
dE (k)
= Sin (k) + Snl (k) + Sdis (k)
dt
(7.26)
reproduise à peu près les observations de croissance des vagues sous l’action du vent (Kahma et Calkoen,
1992). L’équation (7.26) est plus souvent écrite sous forme Eulérienne
∂E
+ ∇x · (Cg E) + ∇k · (Ck E) = Sin (k) + Snl (k) + Sdis (k)
∂t
(7.27)
où ∇x et ∇k sont les opérateurs de divergence dans l’espace physique et dans l’espace des nombres
d’ondes et Cg et Ck sont les vitesses de propagation correspondantes. Cg est le vecteur vitesse de
groupe, qui pointe dans la direction de k, tandis que Ck représente le lent changement de direction du
vecteur k qui, au large et en l’absence de courant, n’est dû qu’à la courbure de la Terre : on peut montrer
que les vagues se propagent le long de grands cercles autour de la terre, et donc leur direction, exprimée
par rapport au Nord, change le long de cette trajectoire.
Dans l’ensemble, Sin génère un spectre avec un pic tel que la vitesse de phase soit de l’ordre de
la vitesse du vent (c’est pour cela que les vents forts produisent des longues vagues dont la vitesse de
phase est plus élevée). Cette énergie est redistribuée par les interactions non-linéaires vers les grandes
longueurs d’ondes, ce qui augmente la période du pic et l’énergie totale (car les longues vagues sont très
peu dissipées), et vers les petites longueurs d’ondes où l’énergie est fortement dissipée par la viscosité et
le déferlement.
L’équilibre du spectre fréquence-direction lors de la croissance des vagues est illustré par la figure
7.7. Tous les modèles numériques opérationnels de prévisions globales des vagues sont basés sur une
80
discrétisation de (7.27), une intégration dans le temps par différences finies, et un grossier paramétrage
de Snl (le DIA). Les deux paramétrages les plus utilisés à grande échelle sont ceux du modèle WAM-Cycle
4 (Janssen et coll. 1994, ci-dessous appelé ”JHHK”), et le paramétrage de Tolman et Chalikov (1996,
ci-dessous ”TC”). Ces paramétrages sont implémentés dans des codes numériques tels que ECWAM au
Centre Européen de Prévision à Moyen Terme (CETPMMT, ECMWF en anglais, voir Janssen et coll.
(2005) ou WAVEWATCH III (Tolman 2002). Il est à noter que les paramétrages physiques sont assez
largement interchangeables entre les codes numériques. Ainsi les trois résultats de modèles représentés en
figure 7.8 sont en fait obtenu avec le code WAVEWATCH III pour les deux premiers et le code CREST
pour le troisième. Les différents modèles donnent des hauteurs de vagues comparables pour le cas classique
d’un vent perpendiculaire à une côte rectiligne, et plus généralement les résultat des modèles sont assez
proches. Cependant, ils arrivent à ce résultat par des équilibres très différents, et peuvent aussi être très
différents sur d’autres paramètres, en particulier l’étalement directionnel. En particulier, le terme Sin de
TC est assez large au niveau du pic, comme le terme WAM-Cycle 3, tiré des observations de Snyder et
coll. (1981) et plus étroit à haute fréquence comme le terme de Janssen (1991). Actuellement les meilleurs
résultats pour l’ensemble des paramètres caractérisant l’état de la mer sont obtenus avec le paramétrage
de Ardhuin et coll. (2008b), décrit au chapitre 12. Des biais subsistent, en particulier par fetch court, et
ils feront l’objet de travaux dans les années à venir.
81
7.5. BILAN SPECTRAL
Hs: 0.76m
fp:0.28 Hz
Mean dir. at fp: 319°
Spread at fp: 20.5°
U10: 10.67 m/ s
0.60
0.40
0.20
0.00
Hs: 0.93m
fp:0.25 Hz
Mean dir. at fp: 305°
Spread at fp: 22.5°
U10: 10.67 m/ s
0.60
0.40
0.20
0.00
Hs: 1.15 m
fp:0.23 Hz
Mean dir. at fp:307°
Spread at fp:21.5°
0.60
0.40
JHHK
TC
0.00
0.25
0.50
0.20
0.00
WAMDI+WRT
0.75
1.00
E(f,θ) (m2/Hz/Rad)
0.60
0.40
0.20
0.00
0.60
2•10 -4
0.60
0.40
0.20
0.00
0.40
0.20
1•10 -4
0.40
0.20
0.00
2 Sds
0.00
0.60
0.40
0.20
1•10 -4
0
0.60
0.40
0.20
0.00
0.60
0.40
0.20
Snl
0.60
0.40
0.20
0.00
Sds
0.00
2•10 -4
S(f,θ) (m2/Rad)
2 Snl
0.60
Sin
Sin
2 Sin
0.00
Snl
0.60
0.40
0.20
0.00
Sds
Fig. 7.8 – Trois modèles, trois équilibres
Termes de source pour un vent de 10 m/s à et un fetch de 40 km. A gauche, modèle de Tolman et
Chalikov (1996), au centre, modèle WAM-Cycle 4, et à droite modèle WAM cycle 3 avec un calcul exact
des interactions non linéaires au lieu du paramétrage DIA. On notera que les termes pour le modèle de
Tolman et Chalikov (1996) ont été multipliés par un facteur 2 afin d’être sur la même échelle. Tiré de
Ardhuin et al. (2007).
82
Chapitre 8
Evolution des vagues du large vers la
côte
Au chapitre précédent, nous avons supposé que le champ de vagues était uniforme horizontalement et
la profondeur infinie. Or d’importantes variations des vagues sont justement provoquées par les variations
de la profondeur.
8.1
Levage (‘shoaling’)
Les rayons, perpendiculaires aux crêtes des vagues, sont des lignes de courant pour l’énergie. Si on
considère deux rayons du même train d’onde monochromatique, parallèles dans une région où C est
uniforme (par exemple en eau profonde, kH >> 1, et en absence de courant) et espacés de ∆l, le flux
d’énergie entre les deux rayons Cg E∆l est conservé le long de ce ‘tube’. Toutes ces propriétés peuvent
être démontrées à partir de l’équation de Laplace et des conditions à la limite en surface et au fond, en
faisant l’hypothèse que les amplitudes et les vitesses de phase varient lentement.
En absence de courant et pour une plage dont la topographie est uniforme le long de l’axe des y, des
vagues se propageant dans la direction de l’axe des x ont donc des rayons rectilignes, et ∆l ne change pas
le long du tube défini par deux de ses rayons. Par conséquent, la densité spatiale d’énergie E s’ajuste aux
changements de la vitesse Cg (voir figure 2.51) pour que le flux Cg E reste constant. En particulier près
1/2
de la côte Cg = (gD)
et la densité d’énergie augmente comme H −1/2 . Or E est proportionnel au carré
1/2
de la hauteur moyenne ou significative des vagues Hs = 4 (E/ρg)
et Hrms = 2−1/2 Hs . La hauteur des
−1/4
vagues augmente donc comme D
. Evidemment, cette hauteur ne devient pas infinie pour D = 0, car,
auparavant, les vagues déferlent. Cette modification de la hauteur des vagues par changement de la vitesse
de groupe est appelée levage (‘shoaling’ en anglais, de ‘shoal’ qui veut dire ‘haut fond’). Pour le cas d’un
haut fond, les rayons convergent et ∆l diminue, ce qui augmente d’autant plus la hauteur des vagues. Si
les rayons se croisent, on obtient une ‘caustique’ et la hauteur devient infinie. En pratique, l’amplification
des vagues est finie car les rayons ont des positions différentes pour des fréquences différentes et donc
les caustiques des différentes composantes du spectre ne sont pas localisées au même endroit. Pour des
vagues monochromatiques cependant, la hauteur des vagues est, in fine, limitée par le déferlement ou
bien la diffraction. Ce genre d’amplification locale est important en pratique, d’autant plus que le spectre
des vagues est étroit.
8.2
Réfraction
Nous avons vu au chapitre 2 que la vitesse des vagues était une fonction de la fréquence, de la
profondeur. En présence d’un courant horizontal U(x), uniforme sur la verticale, on observe aussi un
décalage Doppler. La pulsation des vagues, dans un référentiel fixe devient alors ω = σ + k·U, et la
vitesse de phase est
i1/2 1
ω hg
tanh (kD)
+ k·U
(8.1)
C= =
k
k
k
Les variations de la vitesse de phase C induisent alors le phénomène de réfraction, découvert par Snel et
Descartes en optique.
83
84
CHAPITRE 8. EVOLUTION DES VAGUES DU LARGE VERS LA CÔTE
C1
C2
C3
θi1
θi2
θr1
θi3
θr2
Fig. 8.1 – directions de propagation pour des vagues incidentes et réfléchies, de part et d’autre de deux
discontinuités de la vitesse de phase C.
Pour une topographie naturelle, la réfraction est régulière et l’intensité des ondes réfléchies est
généralement faible.
En absence de courant, cet effet est perceptible dès que la profondeur est inférieure à la moitié de
la longeur d’onde environ (kD < π). Soit deux zones de profondeurs uniformes D1 et D2 pour x < 0 et
x > 0, alors la loi de Snel (aussi attribuée à Descartes1 ) s’applique, exprimant la conservation du nombre
d’onde ky à la frontière,
sin θ2
sin θ1
=
(8.2)
C1
C2
où θ1 et θ2 sont les angles entre la direction de propagation et l’axe des x. Ce résultat s’applique à une
plage dont la topographie est uniforme suivant y, dans ce cas sin θ/C est conservé par la réfraction (figure
8.1).
Tous les résultats de l’optique géométrique s’appliquent, en remplaçant la vitesse de la lumière par
C, en particulier le principe de Fermat : l’intégrale de C le long d’une trajectoire est minimale au sens
des variations. Ainsi une bosse sur le fond est comme une lentille convergente, tandis qu’un creux sera
divergent. C’est ainsi que les vagues convergent sur les caps, augmentant en hauteur. Les vagues qui se
propagent contre une veine de courant localisée (la vitesse est nulle en dehors de la veine de courant)
sont donc déviées vers son milieu, en plus d’être raccourcies en longueur d’onde par effet Doppler : les
vagues sont plus hautes et plus pentues, donc plus dangereuses, comme c’est le cas dans le courant des
Aiguilles.
On peut obtenir une équation différentielle pour les trajectoires suivies par les vagues à partir de ce
même principe. Ces trajectoires sont aussi appelées rayons ou caractéristiques. Soit (x, y, θ) la position
et direction des vagues en un point du rayon, et s l’abscisse curviligne le long du rayon, en absence de
courant,
dx
ds
dy
ds
dθ
ds
=
cos (θ) ,
(8.3)
=
sin (θ) ,
1 dC dh
dh
· sin (θ) −
· cos (θ) .
C dh dx
dy
(8.4)
=
(8.5)
En absence de courant le déplacement d’un paquet d’onde est donné par sa vitesse ds/dt = Cg , dans la
direction θ.
En présence de courant ds/dt = |Cg + U| et la direction de propagation des vagues est différente
de la direction perpendiculaire aux crêtes. Ces ”rayons” ont été longtemps calculés à la main (Munk et
Traylor 1947) puis de manière informatique (Dobson 1967).
1 Le mathématicien hollandais Willebrord Snel a découvert la loi de la réfraction en 1621, mais elle ne fut publiée qu’en
1703 dans l’ouvrage Dioptrica, de Christiaan Huygens, où Snel est nommé en latin (Snellius) ce qui conduit à la très
fréquente erreur des anglo-saxons qui orthographient son nom ‘Snell’. Le philosophe français René Descartes donne la loi
de Snel dans son traité La dioptrique, un appendice de son célèbre Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et
chercher la vérité dans les sciences, publié à Leiden en 1637, et apparemment inspiré des travaux de Snel bien que Descartes
répéta les expériences de Snel en 1626 ou 1627. (Source : the MacTutor history of mathematics archive, University of St
Andrews, Scotland, http ://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/∼history)
8.2. RÉFRACTION
Fig. 8.2 – Plan de houle pour le port de Long Beach, Californie
Tiré de Lacombe (1950). On notera les unités : 1 brasse U.S. (fathom) vaut 1.83 m.
85
86
Fig. 8.3 – Plan de houle sur le Gouf de Cap Breton
Tiré de Lacombe (1950).
87
8.2. RÉFRACTION
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
53.00‘
6
10
35
34
100
50
36
33
32
37
5
200
y (km)
Latitude (32ºN)
52.50‘
52.00‘
4
51.50‘
3
10
(a)
51.00‘
Longitude (117ºW)
16.40‘ 16.20‘ 16.00‘ 15.80‘ 15.60‘ 15.40‘ 15.20‘
7
8 x (km) 9
10
7.0
10
53.50‘
53.00‘
6.0
35
52.50‘
52.00‘
34
5.5
33 36
32
37
5.0
(b)
y (km)
Latitude (32ºN
)
6.5
4.5
Fig. 8.4 – Exemples de deux méthodes de tracés de rayons.
a. Calcul réalisé ”à l’ancienne” pour une houle d’ouest de période 15 s, aux abords de La Jolla, Californie.
L’emplacement de quelques unes des bouées houlographes déployées pendant la campagne NCEX est
figuré par les numéros 32 à 37 et les isobathes 10, 50, 100 et 200 m sont indiquées en pointillés. Tiré
de Magne et coll. (2007). b. Calcul de rétro-tranjectoires à partir du point 34, pour la même période
T = 15 s, et des directions d’arrivée régulièrement espacées à 1◦ d’intervalle. Seul les rayons qui atteignent
le large, et qui sont donc susceptibles d’amener de l’énergie au point 34, ont été représentés (cela n’est
vrai que dans l’approximation de l’optique géométrique et en négligeant la réflexion des vagues à la côte).
Des marques régulières le long des rayons sont tracées à des distances correspondant à 60 secondes de
temps propagation à la vitesse de groupe.
88
0
1
21
x (km)
3
0
4
5
6
5
10
3
y (km)
4
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
Elevation de la surface libre (m)
3
Fig. 8.5 – Exemple de propagation d’une houle monochromatique de période 16 s et d’amplitude 1 m
au large.
Calcul réalisé avec le modèle elliptique aux différences finies de type Berkhoff étendu de Athanassoulis
et Belibassakis (1999).
Il est très instructif de regarder les plans de houle, diagrammes figurant l’espacement des rayons à
partir de directions parallèles au large (voir exemple en figure 8.2). Du fait de la conservation du flux
d’énergie entre deux rayons, un espacement l plus resséré qu’au large (l0 ) comme devant la jetée de Long
Beach pour la houle de 20 s venant du sud, correspond à une
paugmentation de la hauteur des vagues.
l0 /l, qu’il faut aussi multiplier par l’effet
Cette augmentation
due
à
la
seule
réfraction
est
d’un
facteur
p
du levage Cg0 /Cg . C’est cette augmentation d’un facteur 7 qui explique la destruction de la jetée de
Long Beach, reconstruite depuis, en avril 1930, par une houle inhabituelle venant du sud (Lacombe,
1950). En effet, seule les houles très longues sont sensibles à la topographie par 200 m de fond. On peut
ainsi comparer avec le cacul fait pour Cap Breton, sur la côte Aquitaine, avec une houle de 12 s de
période (figure 8.3).
On préfère depuis les années 1990 un calcul de ”rétro-trajectoires” à partir d’un point fixe (voir
exemple en figure 8.4.b), plus adapté à la propagation des états de mer aléatoires, décrits par leur
spectre au large. Cette dernière méthode évite aussi les points singuliers provoqués par des caustiques,
qui ne posent problème que lorsque l’on considère un train de vagues monochromatique.
8.3
Diffraction
Nous avons considéré jusqu’ici que l’amplitude des vagues et les propriétés du milieu où elles se
propagent variaient lentement par rapport à la période et à la longueur d’onde (approximation WKB).
Il est déjà apparu que pour les caustiques dues à la réfraction d’une onde monochromatique ce n’est pas
le cas, et ce n’est pas le cas non plus au voisinage d’obstacles tels que des digues, ou des brise-lames.
Pour des vagues de faible amplitude et en négligeant les effets du vent et de la friction au fond, on peut
utiliser les équations linéarisées. Sur un fond plat et en présence de tels obstacles on cherche φ sous la
89
8.3. DIFFRACTION
forme
φ = φ̂(x)
cosh (k0 z + k0 D) −iωt
e
cosh (k0 D)
+
c. c.,
(8.6)
où ω 2 = gk0 tanh (k0 D). φ vérifie la condition cinématique au fond et en surface. L’équation de Laplace
se réduit alors à l’équation de Helmoltz
∇2 φ̂ + k 2 φ̂ = 0.
(8.7)
Cette équation est elliptique et sa solution nécessite d’imposer des conditions sur tout un contour
e = εx,
fermé. Si on prend pour φ̂ un train d’onde qui varie lentement dans l’espace sur une échelle x
φ̂ = Φ̂ (e
x) eiS(x) , le nombre d’onde local est k = ∇S, et varie lui aussi lentement dans l’espace. On a
alors
∇2 φ̂ = ∇· ∇Φ̂eiS
(8.8)
h
i
= ∇· ε∇Φ̂ + ikΦ̂ eiS
(8.9)
h
i
= ε2 ∇2 Φ̂ + 2iεk·∇Φ̂ + iε∇·k − k 2 Φ̂ eiS
(8.10)
(8.11)
A l’ordre 0 en ε on néglige complètement les variations de l’amplitude Φ̂ pour ne garder que celles de
la phase S (x), et et on obtient |k| = k0 et des trains d’onde qui se propagent tout droit. A l’ordre 1 on
néglige les dérivées spatiales de Φ̂. A l’ordre 1, on peut montrer (Mei, 1989, chapitre 3, voir aussi Ardhuin
et Herbers, 2002) que si la pente du fond est aussi d’ordre ε, d’autres termes que φ̂ sont nécessaires pour
satisfaire la condition cinématique au fond, et on obtient l’équation de conservation de l’action
E
∂ E
Cg = 0.
+ ∇·
(8.12)
∂t σ
σ
La diffraction résulte des termes d’ordre 2, qui ont tendance à faire tourner les vagues vers les régions
où l’amplitude est plus faible.
Berkhoff (1972) a eu l’idée de supposer que, pour une pente douce du fond, φ est aussi de la forme
donnée ci-dessus et vérifie les relations de polarisation et dispersion des vagues linéaires. Moyennant
quelques calculs on obtient (voir par exemple Mei, 1989, chapitre 3) l’équation dite de la pente douce
(ou équation de Berkhoff)
Cg
(8.13)
∇· (CCg ∇ζ) + ω 2 ζ = 0.
C
Il s’agit d’un extension de l’équation de Helmoltz à une faible pente du fond. Cette équation est très largement utilisée en génie côtier pour déterminer l’agitation des ports, en utilisant des modèles numériques
aux éléments finis. Un exemple de résultat de ce type de modèle est montré en figure 8.5.
Radder (1979) a proposé une approximation ‘parabolique’ à cette équation elliptique, en négligeant
les gradients de ζ dans le sens de propagation, ce qui conserve tout de même les effets de diffraction.
Un modèle de ce type (dit réfraction-diffraction) est utilisé pour des prévisions de houle sur les côtes
Californiennes (http ://cdip.ucsd.edu), à partir de prévisions au large. En effet, le plateau continental y
est assez étroit pour négliger la génération locale des vagues.
Toutefois, contrairement aux abords d’ouvrages d’art, la diffraction y est généralement négligeable
(O’Reilly et Guza 1991, Peak 2004). Ainsi, lors de la campagne Near Canyon EXperiment (NCEX) au
large de La Jolla, Californie, qui a duré plus de trois mois, on n’a trouvé qu’un seul cas de houle mesurée
avec une fréquence assez basse pour qu’un modèle prenant en compte la phase, par exemple un modèle
de résolution de l’équation de Berkhoff, donne des résultats légèrement meilleurs que le tracé de rayons,
et ce en quelques endroits seulement. Particulièrement là où la variation du champ de vagues est très
forte à l’échelle de la longueur d’onde, par exemple au-dessus du canyon de Scripps, avec une variation
d’un facteur 5 de la hauteur des vagues sur une distance inférieure à la longueur d’onde (figure 8.6).
On peut ainsi souvent se contenter d’un calcul de réfraction seul (figure 12.9). Ce type d’approche
permet de prendre en compte les détails de la bathymétrie et de la forme du spectre directionnel, ce qui
est très important pour une côte découpée.
8.3.1
Réflection partielle par la topographie
La réfraction découle d’une approximation de type WKBJ, pour lesquelles la profondeur D − h ne
peut pas beaucoup varier à l’échelle de la longueur d’onde des vagues. Ce n’est parfois pas le cas et les
90
!"
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Fig. 8.6 – Observations et modélisation des vagues pendant NCEX.
Les hauteurs significatives (Hs ) pour la bande de fréquence 0.04-0.08 Hz sont calculées a partir des
spectres observés en moyenne de 13h30 à 16h30 UTC le 30 Novembre 2003. Les positions des bouées
de mesure sont indiquées sur la figure 8.4. Les modèles utilisés sont : un modèle de tracé de rayons à
rebours (”refraction”, O’Reilly et Guza 1991), trois modèles elliptiques et une approximation parabolique
de l’équation de Berkhoff (”Ref-dif” Kirby 1986). Les trois modèles elliptiques utilisent le même code
numérique et résolvent les équations de Berkhoff (”Mild Slope Equation” ou MSE, 1972), leur version
modifiée par Massel (MMSE, 1993) ainsi que leur extension par 3 modes évanescents et un mode local
couplés (NTUA5, Athanassoulis et Belibassakis 1999). La différence qui apparaı̂t entre le modèle de
réfraction et les modèles elliptiques aux bouées 32, 36 et 37 est liée à la transmission d’ondes par effet
”tunnel” à travers le canyon, malgré sa grande profondeur (voir aussi Thomson et coll. 2005). Cet effet
tunnel ne peut pas être représenté dans l’approximation de l’optique géométrique sur laquelle repose le
tracé de rayon du modèle de réfraction. Figure tirée de Magne et coll. (2007).
variations de plus petite échelle h ont certainement un effet sur les vagues. Une manière de représenter
cet effet dans l’équation d’évolution spectrale consiste à décomposer les variations topographie h, à petite
échelle, en sinusoı̈des de vecteur d’onde l,
h (x) =
X
Bl (e
x) eil·x ,
(8.14)
l
et de calculer l’interaction du spectre de vagues avec chaque sinusoı̈de. Formellement, on obtient un
forçage des vagues par la topographie de la même manière qu’au chapitre 2 on avait un forçage des
vagues par la turbulence du vent (Hasselmann, 1966). Au premier ordre, en pente de fond (ε = lh), on
obtient une résonance entre deux vagues de nombres d’ondes k et k′ , tels que k = k ′ , qui échangent de
l’énergie grâce à la présence d’ondulation du fond qui ont pour vecteur d’onde l = k − k′ . Le résultat
est un transfert d’énergie dans d’autres directions (figure 8.7). L’effet local de cette diffusion de Bragg
est une modification du spectre directionnel des vagues. Si la topographie du fond est dominée par les
grandes échelles (l << k), le résultat est une augmentation de l’étalement directionnel des vagues, ce qui
correspond à un raccourcissement de la longueur moyenne des crêtes, donnant un aspect plus confus au
champ de vagues.
Pour une topographie dont la variance est importante à l = 2k, les vagues sont rétro-diffusées
(Heathershaw, 1982), et la hauteur des vagues diminue fortement dans la direction initiale de propagation. Un tel effet, mais de faible amplitude, a été observé en présence de barres multiples au voisinage
d’une plage (Elgar et coll. 2003). La théorie pour des vagues aléatoires a été formulée par Ardhuin et
Herbers 2002) donne un terme de diffusion par la topographie Sbscat qui a été validé par d’autres théories
pour de faibles amplitudes du fond h/D ≪ 1 par Magne et coll. (2007), avec une extension à la présence
d’un courant moyen. Ces théories de diffusion prévoient un élargissement directionnel important pour
des spectres étroits sur le plateau de Caroline du Nord, en accord avec les observations, et dans le sud
de la mer du Nord (WISE 2007), ce qui reste à vérifier. Ces deux régions sont caractérisées, entre autres,
par des étendues importantes de faible profondeur et des fonds sableux. Dans ce type d’environnements
les ‘sandwaves’ sont générées par les courants de marée, conduisant à un spectre caractéristique du fond
(Hino 1968).
8.3. DIFFRACTION
91
Fig. 8.7 – Exemple d’évolution spectrale causée par la réflection par 20 m de fond.
(a) Schéma du domaine de calcul, (b) spectre incident imposé au point F, (c) et (d) terme d’évolution
du spectre sans et avec courant,(e) spectre au point O à 40 km à l’intérieur du domaine, après 5 heures
de propagation. La fréquence est ici la fréquence relative σ/(2π).
92
8.3.2
Frottement sur le fond
Tous les processus décrits jusqu’ici dans ce chapitre conservent l’énergie des vagues et sont assez bien
connus car ils sont décrits par des équations simples dans des milieux homogènes. L’effet de la friction
au fond est beaucoup plus complexe car il dépend de la nature du fond (sable, vase, roche, présence
d’algues) qui est généralement très variable. Par ailleurs, cet effet dépend de la topographie du fond à
petite échelle, qui, si le fond est mobile, est elle-même modelée par les vagues. Enfin, les écoulements
sont turbulents, ce qu’il faut paramétrer.
La couche limite au fond permet le raccord entre la vitesse oscillante associée aux vagues, déterminée
par la théorie linéaire au chapitre 1, et une vitesse nulle sur le fond. Il s’agit d’une couche très fine dont
l’épaisseur est de l’ordre de δ = u⋆ /ω soit 10 cm ou moins, beaucoup plus fine que la couche limite du
courant moyen (de l’ordre de δc = u⋆ /f avec f le paramètre de Coriolis).
Nous considérons ici le cas d’une houle linéaire et monochromatique. La vitesse en dehors de la couche
limite est donnée par la théorie d’Airy,
u+ (x, t) =
σa
cos(kx − σt + Θ0 ),
sinh(kD)
(8.15)
Parce que les oscillations se propagent à la vitesse de phase C, l’advection horizontale de toute quantité
X par la vitesse u est u∂X/∂x, qui peut être négligé par rapport à l’évolution locale ∂X/∂t car le premier
terme est u/C plus petit que le second, et u/C est typiquement inférieur à 0.2 (sauf éventuellement lors
du déferlement). On définit alors u
e(x, z, t) = hu(x, z, t)i − u+ (x, t), avec les crochets qui dénotent une
moyenne sur de Reynolds. La conservation de la q.d.m. horizontale est
1 ∂p ∂u+
∂e
u
=−
−
+G
∂t
ρw ∂x
∂t
(8.16)
où G représente la divergence des flux verticaux que q.d.m. causés par la viscosité ou les flux turbulents,
G=ν
.
∂2u
e ∂ hu′ w′ i
+
.
∂z 2
∂z
(8.17)
Parce que l’épaisseur δ de la couche limite est petite par rapport à la longueur d’onde, le gradient
de pression dans la couche limite est égal au gradient de pression à l’extérieur, qui lui correspond à un
équilibre avec l’accélération hors de la couche limite,
−
1 ∂p
σ2 a
=
sin(kx − σt) = ∂u+ /∂t.
ρw ∂x
sinh(kD)
(8.18)
C’est une autre manière d’écrire l’équation de Bernoulli’s equation (voir par exemple Mei, 1989).
En remplaçant (8.18) dans (8.16) il vient
∂e
u
= G,
∂t
(8.19)
avec la condition de raccord
Solution visqueuse
u
e → u+ (x, t)
pour z ≫ δ.
(8.20)
Parce qu’elle permet une solution analytique simple, l’étude de la couche limite visqueuse est intéressante
pour mettre en évidence des phénomènes importants. Dans ce cas, G = ν∂ 2 u
e/∂z 2 et on vérifie que la
solution est
σa
e−z+ cos (kx − σt − z+ )
(8.21)
u
e(x, z, t) =
sinh(kD)
p
p
avec z+ = (z + h)/ 2ν/σ = (z + h)/δ, en définissant l’épaisseur de la couche limite δ ≡ 2ν/σ (on
verra en fait que l’epaisseur de la couche limite est plutôt voisine de 2δ).
La solution complète est donc u = u+ + u
e. On remarque que la vitesse u dans la couche limite est
en avance de phase par rapport à l’écoulement au-dessus u+ du fait de la correction de phase −z+ dans
u
e(x, z, t) : plus z+ est grand et plus l’avance de phase de u
e est importante, mais bien sûr la part de u
e
diminue exponentiellement pour tendre vers 0.
93
8.3. DIFFRACTION
Physiquement cette avance de phase s’explique par les équilibre différents des force : entre le gradient
de pression et l’inertie à l’extérieur de la couche limite, entre le gradient de pression et le frottement dans
la couche limite. Or le frottement, du type −ru est en phase avec le gradient de pression ∂p/∂x alors
que l’inertie ρw ∂u/∂t est en retard.
On peut maintenant calculer la dissipation d’énergie des vagues par unité de surface du fond, donnée
par le travail des contraintes visqueuses. En divisant par l’énergie des vagues on a le taux de dissipation
relatif,
hρw νu∂u/∂zi
βν =
(8.22)
ρw ga2 /2
L’équation (8.21) donne
e−z+
σa
∂e
u
p
=−
[cos (kx − σt − z+ ) − sin (kx − σt − z+ )]
∂z
sinh(kD) 2ν/σ
(8.23)
dont seul le premier terme donne une correlation avec u, et donc
βν = −
σ3 δ
.
2g sinh2 (kD)
(8.24)
On a donc un terme puits de dissipation de la forme,
Sbfric (k) = −
σ3 δ
E(k).
2g sinh2 (kD)
(8.25)
Associée à cette perte d’energie mécanique, convertie en chaleur, il y a aussi la perte de quantité de
mouvement βν E/C pour le champ de vagues. Que devient cette quantité de mouvement ?
Ruissellement
Cette question de la quantité de mouvement nous amène à étudier la réponse du courant moyen. Pour
cela il convient aussi d’utiliser la solution pour la vitesse verticale associée à u
e, donnée par la conservation
de la masse, ∂ w/∂z
e
= −∂e
u/∂x,
w
e=−
2kδσa −z+
e
[cos (kx − σt − z+ ) + sin (kx − σt − z+ )] .
sinh(kD)
(8.26)
Le déphasage entre la vitesse dans la couche limite et au dessus a des conséquences assez inattendue.
En effet, l’équation pour le courant moyen U est
∂uw
∂2U
=ν 2.
∂z
∂z
Après quelques calculs, il vient (Phillips, 1977),
σ 2 a2 kδ
2 −z+
(u + u
e) (w + w)
e =
e
sin(z+ ) − 1 + 2e−z+ cos z+ − e−2z+ .
4 sinh(kD) δ
(8.27)
(8.28)
Quand z+ tend vers l’infini (z + D ≫ δ), on a un flux de q.d.m. qui tend vers l’asymptote
ρw u
ew
e∞ = −
ρw σ 2 a2 kδ
.
4 sinh(kD)
(8.29)
Or c’est exactement la quantité de mouvement associé à la dissipation des vagues. La voici ! La quantité de
mouvement perdue par les vagues accélère le courant moyen (Longuet-Higgins, 2005). Le flux est négatif,
vers le bas, car cette quantité de mouvement est perdue dans le fond de la mer où elle va accélérer la
rotation de la terre. En effet,
En intégrant (8.27) on trouve,
U (z) =
σa2 k
3 − 2 (z+ + 2) e−z+ cos z+ − 2 (z+ + 2) e−z+ sin z+ + e−2z+ .
4 sinh(kD)
(8.30)
94
z + = (z+h)/δ
σ / 4 sinh Fig. 8.8 – Ruissellement au fond causé par une houle monochromatique.
Profils des vitesses Eulériennespet Lagrangiennes moyennes dans la couche limite de fond pour une
viscosité constante ν, avec δ = 2ν/σ.
On peut par ailleurs refaire le calcul de la dérive de Stokes avec u
e et w
e pour trouver la vitesse du
L
transport de masse U = U + Us (Longuet-Higgins, 1953),
L
U =
i
h
σa2 k
5 − 8e−z+ /δ cos z+ + 3e−2z+ .
4 sinh(kD)
(8.31)
On remarque que la vitesse au sommet de la couche limite est indépendante de la valeur de la viscosité
ν car c’est la même viscosité qui intervient dans la dissipation des vagues et dans le frottement pour
le courant. Par ailleurs, la vitesse de transport de masse atteint 2.5 fois la dérive de Stokes calculée
au chapitre 2. L’effet du frottement au fond est donc considérable, avec un impact important pour la
dynamique sédimentaire. Les profils de vitesses sont montrés en figure 8.8. On y voit que la modification
du profil de vitesse est en fait importante entre le fond et environ −h + 2.5δ, où la vitesse atteint un
maximum. L’epaisseur effective de la couche limite est donc plutôt de 2.5δ. On remarque aussi que le
profil de vitesse est linéaire près du fond. On peut donc retrouver la tension au fond ρw ν∂U/∂z,
ρw ν
∂U
σ 2 a2 kδ
=
= βν E/C.
∂z
4 sinh2 (kD)
(8.32)
On a donc une perte de quantité de mouvement par le champ de vagues qui accélère le courant moyen.
En conditions stationnaire cette accélération du courant moyen est équilibrée par le frottement au fond,
ce qui donne un courant de ruissellement, orienté dans le sens de propagation des vagues, et d’intensité
donnée par 8.30. Le transport de masse induit par les vagues est ainsi multiplié par 2.5 au sommet de
la couche limite. Ce phénomène de ruissellement, a été observé pour la première fois par Caligny (1878),
c’est un processus important pour le transport des sédiments par charriage sur le fond, en particulier en
zone de déferlement.
Comme nous le verrons ensuite, du fait de la perte de quantité de mouvement dans le fond, seul
le terme de pression dans les tensions de radiation contribue alors à une variation du niveau moyen
(Longuet-Higgins, 2005; Ardhuin, 2006).
Les choses sont un peu plus complexes en présence de vagues partiellement stationnaires, et le ruissellement sur le fond est dirigé vers les noeuds. Ce phénomène est probablement responsable de la formation
de barres sableuses multiples dans certaines conditions (Heathershaw, 1982).
95
8.3. DIFFRACTION
p+
p-
Fig. 8.9 – Ecoulement près d’une paroi solide : illustration de l’importance du décollement sur la traı̂née.
Des décollements peuvent se produire à toutes les échelles. Ainsi la tension subie par un grain de sable
est généralement plus faible que la tension totale sur le fond qui englobe aussi la traı̂née sur les rides et
les éléments de plus grande échelle.
Couche limite turbulente
En pratique l’écoulement est souvent turbulent. En présence de vagues et de courants la sous-couche
limite due aux vagues impose la rugosité pour la couche limite du courant. On supposera ici que le courant
moyen est nul. Le frottement peut être visqueux (très près de la surface) ou turbulent. En général le fond
est assez rugueux pour que le frottement soit largement déterminé par les décollements de l’écoulement
sur le fond et la traı̂née induite par les éléments de rugosités. Ces éléments peuvent être tout ce qui fait
partie de la topographie, du grain de sable aux rides (figure 8.9). Mais, comme le mouvement des vagues
oscille avec une amplitude typique ab,rms , seule la topographie d’échelle horizontale inférieure à ab,rms
est importante.
La turbulence près du fond se manifeste sous la forme de tourbillons dont la taille caractéristiques au
niveau z = −D + δ est κδ. Le ”temps de retournement d’un tourbillon” est de l’ordre de κδ/u⋆ . On peut
définir une viscosité turbulente Kz par u2⋆ = u′ w′ = Kz ∂u/∂z. Pour un flux turbulent u2⋆ constant, le
paramétrage de Prandtl Kz = κ(z +D)u⋆ donne un profil logarithmique, ∂u/∂z = u⋆ /(κz). En cherchant
le niveau δ tel que ce temps soit de l’ordrep
de la période des vagues 1/f on trouve que l’épaisseur de la
couche limite est d’environ δ = u⋆ /(κf ) ≈ Kz /f /κ.
On peut aussi exprimer u⋆ avec un coefficient de frottement fw , u2⋆ = 0.5fw u2∞ , avec u∞ la vitesse
orbitale des vagues au-dessus de la couche limite. Experimentalement on trouve que fw est variable,
toujours inférieur à 0.3. Pour une rugosité fixe il semble que fw soit une fonction de l’echelle physique
de la rugosité ks (comparée à l’amplitude du mouvement orbital A) et du nombre de Reynolds Re. En
particulier fw décroı̂t quand A/ks augmente, si bien que la couche limite des vagues ne dépasse pas la
dizaine de centimètres d’épaisseur.
Dans la couche limite on peut donc, en première approximation, supposer le mouvement uniforme
horizontalement (la couche limite est beaucoup plus mince que la longueur d’onde des vagues), et écrire
l’équation du mouvement sous la forme,
∂u
1 ∂p ∂u′ w′
=−
+
∂t
ρw ∂x
∂z
(8.33)
En posant u − u∞ =b
ueiωt , un paramétrage de type Prandtl (u′ w′ = Kz ∂u/∂z) avec Kz = κ(z + D)u⋆
aboutit à une équation différentielle du type suivant (Kajiura 1968, Grant et Madsen 1979),
∂
u
⋆ ∂b
z
+ ib
u = 0,
(8.34)
∂z ⋆
∂z ⋆
avec z ⋆ = ω(z + D)/(κu⋆ ). L’avantage de ce paramétrage est l’existence d’une solution analytique. En
imposant la condition de raccord, u − u∞ tend vers zéro quand z ⋆ tend vers l’infini, on trouve
%
"
√
√
ker(2 z ⋆ ) + ikei(2 z ⋆ )
√
p
u∞ ,
(8.35)
u= 1−
ker(2 z0⋆ ) + ikei(2 z ⋆ )
avec z0⋆ la rugosité hydrodynamique adimensionnelle, z0⋆ = ωz0 /(κu⋆ ). La valeur de z0 pour un fond
sableux parfaitement lisse et un sable bien trié est égale, d’après Nikuradse (1933), à D50 /30 avec D50
la taille médiane des grains.
Les fonctions de Kelvin ker et kei ressemblent à des logarithmes dans la limite z ⋆ → 0 et oscillent en
fonction de z ⋆ pour z ⋆ → ∞. En général on trouve que l’oscillation dans la couche limite est de plus forte
amplitude et en avance de phase par rapport à l’écoulement potentiel au-dessus (figure 8.10). On peut
ainsi calculer la tension près du fond, donnée au chapitre précédent (8.42) en utilisant la limite z ⋆ → 0.
96
Fig. 8.10 – Comparaison entre les profils de vitesse dans la couche limite observés par Jensen et coll.(1989)
pour des nombres de Reynolds élevés et les modèles proposés par Wiberg (1995). Dans ce cas, la période
des vagues est de 10 s, et l’amplitude des oscillations de vitesse est de 1 m s−1 . Le trait plein est le
⋆
résultat du modèle avec Kz = κu⋆ (z + D)e−z constant, et les pointillés représente une extension avec un
Kz variable dans le temps. A gauche : phase d’accélération, à droite : phase de décélération (illustration
tirée de Wiberg 1995).
Ce modèle de viscosité linéaire a été étendu à des profils plus réalistes (Kz diminue au-delà de la
couche limite), ce qui change très peu les résultats, et variables dans le temps (voir Trowbridge et Madsen
1984, Wiberg 1995, Davies et Villaret 1999, Marin 2004). Le profil de vitesse est assez peu sensible à ces
modifications (figure 8.10). Par contre on trouve une modification sensible de la tension de cisaillement
sur le fond τ , qui est importante pour la remise en suspension de sédiment, avec une asymétrie assez
marquée entre la phase d’accélération de l’écoulement et la phase de décélération.
Par ailleurs, la dissipation des vagues liée au frottement sur le fond est donnée par le travail de la
tension de cisaillement sur le mouvement orbital τ u
On retrouve aussi le ruissellement Pour des profils de Kz réalistes et sur un fond ridé, il semble que la
valeur maximale du courant de dérive près du fond soit effectivement de l’ordre de 2.5 fois Us (z = −H)
(Marin, 2004).
Rugosité du fond
Sur un fond rocheux la forme du fond ne change pas, ce qui simplifie les choses. Par contre, la vase
peut être liquéfiée par le mouvement oscillatoire imposé par les vagues, qui y donne alors des ondes
internes. On sait en tout cas que la dissipation sur un fond vaseux peut être assez forte pour dissiper
complètement les vagues en quelques kilomètres de propagation.
Sur des fonds sableux, la formation de rides par le mouvement des vagues détermine l’intensité de la
dissipation d’énergie (Zhukovets, 1963 ; Nielsen, 1992) en modifiant la rugosité équivalente de Nikuradse
(1933) kN , définie comme la taille des grains de sable qui donnent la même valeur du paramètre de
rugosité z0 = 30kN dans le cas d’un écoulement unidirectionnel. On peut supposer que les profils de
vitesses ne dépendent de la nature du fond que par cette rugosité. Il convient de préciser que la couche
limite sous les vagues est oscillante et donc kN peut varier même si le fond ne bouge pas car kN dépend
de la fréquence des vagues et de l’amplitude du mouvement orbital au-dessus de la couche limite.
En négligeant le courant moyen, la couche limite du fond peut être classée en trois régimes, en fonction
du rapport entre les forces de friction et de flottabilité exercées sur un grain de sable, représentées par
′
le nombre de Shields maximum ψmax (souvent noté θmax
)
ψmax =
fw′ u2max
,
(s − 1)gD
(8.36)
où fw′ est un facteur de friction visqueuse, s est la densité relative du sable (par rapport à l’eau, s = 2, 65
pour le quartz qui constitue l’essentiel du sable en général), D est le diamètre des grains de sable que
l’on suppose uniforme pour commencer (Shields, 1936).
97
8.3. DIFFRACTION
(a)
(b)
(c)
Fig. 8.11 – Les trois régimes de la couche limite sur fond sableux
(a) rugosité fossile ou d’origine biologique. (b) formation de rides. (c) sheet flow. Sur chaque schéma la
longeur d’onde L des vagues et la profondeur sont largement réduite par rapport à la réalité L ≈ 100 m,
contre 1 m environ pour la longueur d’onde des rides. Les flêches horizontales indiquent le profil de vitesse
sous les crêtes (la vitesse s’inverse sous les creux des vagues). Les petites flèches dans (b) représentent
les tourbillons dans le sillage des rides.
Pour de faibles valeurs de ψmax , la friction est insuffisante pour faire bouger les grains de sable et
le fond ne bouge pas. La rugosité est donc ‘fossile’, elle dépend de l’activité biologique et des vagues
passées. La dissipation de l’énergie des vagues est généralement faible dans ce cas. On peut représenter
cette dissipation par un facteur fe qui est en quelque sorte un coefficient de traı̂née moyen qui relie le
cube de la vitesse moyenne au-dessus de la couche limite à la dissipation d’énergie.
Quand la vitesse associée aux vagues augmente, fe croı̂t rapidement dès que les grains de sable sont
mis en mouvement. Des rides régulières se forment spontanément, en quelques périodes de vagues si la
vitesse est suffisante. Le seuil de mise en mouvement du sable est donné par ψc , qui varie entre 0,03 et
0,1 pour du quartz, suivant la taille D des grains (voir par exemple Soulsby, 1997). Ces rides augmentent
la dissipation d’énergie par la traı̂née due à la différence de pression de part et d’autre d’une crête qui est
le résultat du décollement de l’écoulement et de la formation de tourbillons de sillage. Des expériences de
Madsen, Mathisen et Rosengaus (1990) avec des vagues aléatoires montrent que fe est maximum pour
ψrms ≃ 1, 2ψc , avec ψrms calculé à partir de la vitesse moyenne (moyenne quadratique) avec une formule
identique à (8.36). Par exemple sur des sables fins (D = 0, 15 mm), ce maximum est atteint par 25 m de
fond pour des houles de période Tp =12 s et de hauteur significative Hs = 1, 5 m. Si la vitesse au-dessus
de la couche limite augmente encore, fe décroı̂t peu à peu et les rides sont progressivement aplanies par
l’écoulement.
Pour de très grandes valeurs de ψmax , de l’ordre de 10ψc (Li et Amos, 1999), une couche de sédiments
(‘sheet flow’) est fluidifiée et mise en mouvement avec la colonne d’eau : les rides sont complètement
effacées. Dans ce cas la rugosité et la dissipation d’énergie dans la couche limite sont relativement plus
faibles. Le mouvement des grains de sable dans la couche de sédiment en mouvement est largement
influencé par les collisions entre grains. Dans ce régime, fe augmente légèrement avec ψ. Ces trois régimes,
rugosité fossile, rides en formation , et ‘sheet flow’ sont illustrés par la figure 8.11.
Par analyse dimensionnelle et modélisation numérique, Andersen (1999) a montré que les rides s’autoorganisent pour obtenir des longueurs d’onde de l’ordre de λ = 0.63d avec d le diamètre des trajectoires
des particules d’eau, au-dessus de la couche limite, et une pente de l’ordre de 15%. C’est ce qui est aussi
observé pour des profondeurs de plus de 10 m pour des vagues aléatoires, en prenant comme valeur de
d la valeur significative 21/2 drms (Traykovski et coll., 1999 ; Ardhuin et coll. 2002). Par contre, plus près
de la côte, il semble que les rides aient souvent des longueurs d’ondes bien plus courtes (Dingler, 1974).
La représentation de l’effet des rides de sable dans les modèles de vagues (voir Graber et Madsen, 1988 ;
Tolman, 1994) fait appel à un prédicteur de rugosité qui détermine kN à partir du spectre des vagues,
de la profondeur, et de la nature des sédiments, et un modèle de couche limite qui permet de calculer
la dissipation correspondante. La plupart des modèles de couche limite représentent la turbulence par
un profil vertical de viscosité turbulente (Kajiura, 1968 ; Grant et Madsen, 1979 ; Weber, 1991a, 1991b ;
voir Wiberg, 1995, pour une discussion des différents modèles). Le fait que l’on puisse utiliser une seule
valeur de la rugosité kN pour l’ensemble du spectre a été validé par Mathisen et Madsen (1999). En
pratique, le terme de dissipation Sfric de l’équation d’évolution du spectre est linéarisé par rapport au
spectre d’énergie (ou d’action) des vagues en supposant que le spectre des vagues est étroit et en utilisant
un modèle de couche limite pour les vagues monochromatiques ‘équivalentes’.
Avec le modèle de couche limite de Grant et Madsen (1982), on obtient une formulation quasi-linéaire
Sfric (f, θ)
= λ (f ) × E (f, θ)
(8.37)
98
0.25
Dissipation factor fe
0.2
0.15
0.1
0.05
0 1
10
10
0
10
1
10
2
10
3
Normalised Shields number ψ/ψc
Fig. 8.12 – Exemple de facteurs de dissipation fe en fonction du nombre de Shields ψrms
La ligne continue est la paramétrisation de Tolman (1994) pour du sable fin (D50 = 0, 15 mm), et une
période des vagues de T = 14 s. Les tirets correspondent aux valeurs de fe données par la paramétrisation
dite de ‘JONSWAP’, qui ne prend pas en compte la formation de rides.
2
λ (f )
= −fe ub,rms
(2πf )
2g sinh2 (kH)
(8.38)
Le diamètre des grains de sable est représenté par sa valeur médiane en masse D50 pour lequel est calculé
la valeur critique ψc du nombre de Shields, à partir de laquelle le sable est mis en mouvement. Les vagues
sont représentées par les moyennes quadratiques, au dessus de la couche limite, de la vitesse orbitale ,
ub,rms , et du déplacement horizontal ab,rms :
Z
8π 2 f 2
2
E (k) dk,
(8.39)
ub,rms =
2
k sinh (kh)
Z
2
a2b,rms =
E (k) dk.
(8.40)
2
k sinh (kh)
Le modèle de couche limite donne le facteur de frottement visqueux fw′ , le nombre de Shields ψrms =
fw′ u2b,rms / [g (s − 1) D50 ], et le facteur de friction totale (due à la viscosité et à la traı̂née) fw , qui est le
rapport de la tension de cisaillement τ et de u2b,rms :
z0
l
=
fw′ or fw
=
s
D ou kN
2
,
fw′ ou fw 30κ ab,rms
(8.41)
κ2
p
p
i
2 ker2 2 z0 /l + kei2 2 z0 /l
h
.
(8.42)
où z0 /l est une rugosité adimensionnelle, κ est la constante de Von Karman (κ = 0, 4), ker et kei sont
les fonctions de Kelvin d’ordre 0 et 1.
Pour ψrms /ψc < 1, 2, kN est imposé (constant ou variant faiblement avec ab,rms ), et pour ψrms /ψc >
1, 2 kN est déterminé par la somme d’une rugosité des rides kr et d’une rugosité du ‘sheet flow’ ks , qui
sont données empiriquement par Madsen et coll. (1990) et Wilson (1989) :
kr
= ab,rms × 1.5
ψrms
ψc
−2.5
,
(8.43)
99
8.4. MODÈLES NON-LINÉAIRES DE PROPAGATION
ks
=
0.57
u2.8
b,rms
a−0.4
b,rms
1.4
[g (s − 1)]
2
(2π)
.
(8.44)
Actuellement quasiment tous modèles de vagues utilisent une paramétrisation empirique dite de
‘JONSWAP’, qui suppose que la dissipation est proportionnelle au spectre de variance de vitesse au
fond, sans prendre en compte la nature du fond,
2
2πf
Sfric,JONSWAP (f, θ) = −Γ
E (f, θ) .
(8.45)
g sinh (kh)
Une valeur moyenne Γ = 0,038 m2 s−3 a été déduite de la campagne JONSWAP en mer du Nord (Hasselmann et coll., 1973), malgré une variabilité observée de Γ (de 0,0019 à 0,160 m2 s−3 ). Ce type de
paramétrisation donne de bons résultats en moyenne, mais on peut avoir quelques surprises (figure 8.13).
8.3.3
Résumé
En eau peu profonde (H < 0, 5L), les vagues sont influencées par la présence du fond, en plus des
interactions avec l’air et des interactions entre vagues. Si on laisse de côté le déferlement qui a lieu au
voisinage de la plage, l’effet du fond dépend de la taille relative des vagues et de la topographie sousmarine. Tous ces effets sont supposés indépendants les uns des autres, et indépendants des processus
d’interaction des vagues entre elles ou avec l’atmosphère (voir Komen et coll., 1994, pour une vague
justification de cette pratique). On arrive donc à une équation d’évolution spectrale qui prend en compte
l’ensemble des phénomènes sous la forme d’une collection de termes de source. Sous forme Lagrangienne,
on a pour le spectre d’action A = E/ω :
d
A (k, x, t) = [Sin + Snl + Sdis + Sfric + Sbscat + · · ·] (k, x, t)
dt
8.4
8.4.1
(8.46)
Modèles non-linéaires de propagation
Equations de Boussinesq et KdV
On vient de voir que la description des vagues comme une somme de train d’ondes linéaires de
phases aléatoires permet de prendre en compte beaucoup de phénomènes physiques dans une équation
d’évolution spectrale qui est relativement simple à intégrer et fournit une description des vagues depuis
leur génération jusqu’à leur dissipation. Cette description est intéressante tant que les vagues sont effectivement faiblement non-linéaires. Le cas échéant, et en particuler au voisinage de la zone de déferlement
des vagues, il peut être plus judicieux d’adopter dès le départ une description non-linéaire.
Sans revenir à la forme non-linéaire des équation d’Euler (voire de Navier-Stokes), et en gardant
l’hypothèse d’un écoulement irrotationnel, on peut intégrer les équations non-linéaires pour le potentiel
des vitesses par des méthodes aux éléments frontières, ce qui marche jusqu’au déferlement des vagues,
mais reste très couteux numériquement. Les équations de Boussinesq (1872) offrent une alternative
intéressante, en considérant la non-linéarité ε = ka et la dispersion kH comme deux petits paramètres,
2
et en supposant que a/H et (kH) sont du même ordre, on obtient la forme des équations de Boussinesq
donnée par Peregrine (1967). Ces équations sont de plus en plus utilisées grâce à l’augmentation de
la puissance de calcul, soit dans le domaine temporel, soit dans le domaine spectral où on intègre une
équation d’évolution pour le spectre et le bispectre (voir Herbers et Burton, 1997). Dans tous les cas, il
s’agit de modèles bidimensionnels, car la structure verticale de la fonction de courant est prescrite par
l’ordre du développement en kH.
Dans le cas où les vagues sont unidirectionnelles, on obtient l’équation KdV (Korteweg et de Vries,
1895, voir Miles, 1981, pour un historique) qui est aussi due à Boussinesq (1872) :
h2
3
1/2
ζζx + ζxxx = 0,
(8.47)
ζt + (gh)
ζx +
2h
6
où les indices représentent des dérivées partielles par rapport à x ou t. Cette équation est un modèle
relativement simple pour des systèmes faiblement dispersifs et faiblement non-linéaires. Comme pour les
équations de Boussinesq, les solutions ondulatoires de l’équation KdV peuvent exhiber des oscillations
récurrentes des amplitudes (récurrence de Fermi, Pasta et Ulam, 1955), qui d’un point de vue linéaire,
sont dues aux interactions quasiment résonnantes des triplets de vagues en eau peu profonde (kh << 1).
100
Fig. 8.13 – Rides de sable et dissipation des vagues
En haut : trois exemples de champ de rides vues par sonar à balayage latéral(chaque carré fait 30 m
de côté). Et en dessous, résultats de modèles sur le plateau continental de Caroline du Nord montrant
l’erreur relative sur la hauteur significative Hs en fonction d’un nombre de Shields normalisé représentatif
de la zone. Chaque point correspont à une heure de mesures à la plateforme de Chesapeake Lighthouse
par 18 m de profondeur. Seules les périodes dominées par la houle lors de la campagne SHOWEX 1999
sont montrées. A gauche : modèle sans dissipation, Hs peut être prévu 4 fois plus grand que la hauteur
mesurée, au centre paramétrisation ”JONSWAP standard”, et à droite, paramétrisations prenant en
compte la formation de rides.
101
8.4. MODÈLES NON-LINÉAIRES DE PROPAGATION
Elevation z (m)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
50
100
150
200
x (m)
Fig. 8.14 – Soliton solution de l’équation KdV pour H = 10 m
L’équation KdV est aussi intéressante car elle peut être résolue de manière exacte par la transformée
de diffusion inverse. On peut ainsi décomposer les conditions initiales à t = 0 en un ensemble de vagues
cnoı̈dales solutions de l’équation KdV. Ces vagues évoluent et leur amplitude est donnée pour tout t > 0
par une matrice d’interaction qui est constante (voir par exemple Osborne et coll., 1996). Parmi ces
vagues cnoı̈dales, on trouve des solitons de forme
" %
1/2
3a
−2
ζ = a cosh
(x − Ct)
(8.48)
h3
1/2
a
avec a << H. Toutefois, l’équation KdV est
dont la vitesse de propagation est c = (gH)
1 + 2H
bien moins utilisée que les équations de Boussinesq, en particulier parce que les vagues sont supposées
unidirectionnelles. Il existe de nombreuses autres équations non-linéaires qui représentent certaines propriétés des vagues (équation de Shrödinger non-linéaire, équation de Dysthe, de Zakharov, de KadomtsevPetviashvili ...) qui sont utilisées pour certaines applications où la non-linéarité est jugée importante,
comme les vagues scélérates, par exemple (Onorato et al. 2002, Osborne et al. 2003).
102
Chapitre 9
Interactions vagues - courants
9.1
9.1.1
Effets du courant sur les vagues : propagation
Courant uniforme
Au dessus d’un fond plat et sans frottement au fond, les vagues en présence d’un courant Eulérien
uniforme U sont les mêmes, dans le référentiel se déplaçant avec que courant, que celles sans courant
dans un référentiel attaché au fond. L’effet du courant est donc seulement d’induire un décalage Doppler
de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe.
C′
C′g
ω
= C+U
= Cg + U
= σ + k·U
(9.1)
(9.2)
(9.3)
avec C′ et C′g les vitesses de phase et de groupe dans le référentiel attaché au fond. ω est la pulsation
dans ce même référentiel, elle est appelée pulsation absolue, tandis que σ, la pulsation dans le référentiel
attaché au courant est appelée pulsation relative. On remarque que, la définition générale de la vitesse
de groupe est toujours valable, C′g = ∇ω.
9.1.2
Variation horizontale du courant et levage
Dans le cas où le courant est dans la direction de propagation x, ou dans la direction opposée, et qu’il
est uniforme sur la verticale dans l’autre direction, les variations de U (x) vont imposer un ajustement
local de la cinématique des vagues à cette vitesse. Pour des variations lentes à l’échelle de la longueur
d’onde, on utilise l’approximation habituelle de Wentzel, Kramers, Brillouin et Jeffreys (WKBJ) et la
conservation du nombre de crêtes (pour des vagues linéaires le nombre de crêtes est constant lors de la
propagation d’ondes monochromatiques), pour trouver que σ doit s’ajuster pour que ω soit constant.
Donc si le courant s’accélère dans le sens de propagation, alors k doit diminuer car k·U est positif et si
k augmente, or σ est une fonction croissante de k. Donc la longueur d’onde augmente. Réciproquement
si les vagues sont opposées au courant qui s’accélère en sens contraire, k·U est négatif et donc σ et
k doivent augmenter pour maintenir ω constant... jusqu’à ce que k·U devienne égal à σ ! Dans ce cas
la propagation n’est plus possible : il y a ”blocage”. C’est l’équivalent des caustiques rencontrées par
réfraction. En pratique, pour des vagues aléatoires le blocage se produit avant, dès que la vitesse de
groupe atteint la vitesse du courant.
9.1.3
Variation horizontale du courant et réfraction
Comme les variation de profondeur, les variations de courant modifient la vitesse de phase et induisent
une réfraction. Dans ce cas il convient de faire attention au fait que la direction de propagation peut être
différente de la direction perpendiculaire aux crêtes.
Landau et Lifshitz (1960) ont donné un résultat simple sur la courbure des rayons acoustiques dans
un milieu de vitesse variable. Ce résultat a été ”redécouvert” pour les vagues par Dysthe (2001). Dans
la limite ou u
b ≪ C, le rayon de courbure des rayons est
Cg
1
=
bh
∂θ/∂s
∇×u
103
(9.4)
104
CHAPITRE 9. INTERACTIONS VAGUES - COURANTS
b h la vorticité de l’écoulement horizontal.
avec ∇ × u
9.1.4
Vagues sur un courant variant verticalement
Lorsque le courant varie verticalement, le décalage Doppler subi par la pulsation des vagues ω peut
être calculé en faisant appel à l’équation de Rayleigh (15.8). Biesel (1950) a donné des solutions de cette
équation pour kD ≪ 1 et un courant variant linéairement de u
b−D au fond à u
b0 en surface. La vitesse de
phase est alors,
"
%1/2
2
U0 − U−D
C=
(9.5)
+ gD
2
Pour un profil plus général et une profondeur quelconque, Kirby et Chen (1989) ont donné une solution
approchée dans la limite où les variations de U sont faibles devant σ/k,
C=
9.2
σ
+2
k
Z
0
k·b
u
−D
cosh(2kz + 2kD)
dz
sinh(2kD)
(9.6)
Effets des vagues sur la circulation
Afin de simplifier le problème, nous suivont d’abord l’approche de Phillips (1977), avec un écoulement
b , que l’on supposera d’abord uniforme sur la verticale, et de
u donné par la superposition d’un courant u
perturbations u′ de moyenne nulle.
9.2.1
Equations pour le mouvement moyen intégré sur la verticale
La mise en évidence systématique de ces effets est due a Longuet-Higgins et Stewart (1964) dont
la démonstration est reproduite ici. Ils introduisent un ‘tenseur des contraintes radiatives’ qui, de la
même manière que les tenseurs de Reynolds, représentent un flux de quantité de mouvement dû à la
moyenne des vitesses et pression des vagues sur plusieurs périodes des vagues. L’élégance de cette théorie
vient du fait qu’elle permet d’obtenir des résultats qui néssiteraient de longs calculs par la méthode des
perturbations que nous avons utilisée auparavant, car ces effets sont dus aux non-linéarités des vagues,
qui ici sont représentées implicitement par des équations de conservation.
La quantité de mouvement étant un vecteur on peut considérer ses trois composantes, qui chacune
sont advectée dans trois directions. On définit ainsi S rad le flux de quantité de mouvement associé aux
vagues, moyenné sur plusieurs périodes et intégré sur la verticale S rad est donc un tenseur. C’est sa
divergence qui fournit une accéleration aux particules fluides, comme on peut le concevoir en considérent
un cube élémentaire.
L’équation de conservation de la quantité de mouvement horizontale s’écrit1 , pour la direction α, avec
sommation implicite sur les indices répétés (ici sur β),
∂
∂
∂ 2 uα
∂
(ρw uα ) +
(ρw uα uβ + pδαβ ) +
(ρw uα w) + εαβi fi uβ = ρw ν
,
∂t
∂xβ
∂z
∂z 2
(9.7)
où le terme εαji fi uj est la composante α du produit vectoriel du paramètre de Coriolis avec le vecteur
vitesse. Dans ce qui suit on ne gardera que la composante verticale f3 du paramètre de Coriolis.
L’intégration sur la verticale, en utilisant les conditions de continuité de la vitesse verticale au fond
et en surface, w(ζ) = ∂ζ/∂t + u·∇ζ, donne
∂
∂t
Z
ζ
Z
ζ
Z
ζ
∂h
∂uα
∂uα
∂ζ
−p(−d)
+ρw ν
|z=ζ −ρw ν
|z=−h
∂x
∂x
∂z
∂z
α
α
−h
−h
−h
(9.8)
Nous allons maintenant prendre la moyenne sur la phase des vagues2 .
ρw uα dz+
∂
∂xβ
ρw uα uβ +δαβ pdzεαβ3 f3
ρw uβ dz = pa
1 Le fait de prendre en compte la viscosité et la pression de l’air p permet de faire apparaitre directement les tensions
a
en surface et au fond, ce qui n’était pas fait par (Phillips, 1977, page 62).
2 Phillips (1977) prend lui une moyenne horizontale, mais du coup les équations obtenues ne sont valables qu’aux échelles
supérieures à la longueur d’onde des vagues. Le fait de prendre une moyenne horizontale permet de supprimer les termes
associés aux ondes partiellement stationnaires. Les résultats présentés ici ne sont donc exacts localement qu’en absence
de vagues se propageant en direction opposée, sinon il faut considérer les modulations introduite par ces ondes (voir par
exemple Ardhuin et al., 2008c)
105
9.2. EFFETS DES VAGUES SUR LA CIRCULATION
La seconde intégrale de 9.8, donne en moyenne, en utilisant u = u
b + u′ 3 ,
Z
ζ
ρw uα uβ dz
= ρw
Z
ζ
−h
−h
u
bα u
bβ dz + ρw u
bα
= Mα − ρw u
bα u
bβ D +
= ρw u
bα u
bβ D +
Z
u
bα Mβw
ζ
Z
0
ζ
u′β dz
+ ρw u
bβ
Z
0
ζ
u′α dz
+
Z
ζ
ρw u′α u′β + δα,β pdz
−h
ρw u′α u′β + δα,β pdz
(9.9)
Z
(9.10)
−h
+
u
bβ Mαw
+
ζ
ρw u′α u′β + δα,β pdz,
−h
Rζ
avec Mαw = 0 u′α dz la composante α du transport de masse induit par les vagues4 .
On utilise alors l’équation de conservation de la q.d.m. verticale pour montrer que,
Z ζ
Z ζ
Z ζ
∂
p(z) = pa + g
ρw dz +
ρw wdz +
ρw uβ wdz − ρw (z)w2 (z).
∂xβ z
z
z
(9.11)
Le second terme est la pression hydrostatique, et le troisième s’annule seulement si la moyenne spatiale est
indépendante du temps (ce qui n’est pas vrai en présence d’ondes stationnaires), le quatrième s’annule
si le mouvement est périodique, et le dernier terme est la pression dynamique moyenne. Sous toutes
ces hypothèses, la pression au fond est donc hydrostatique, mais on peut se permettre de garder des
fluctuations de pression qui donnent le second terme5 ,
p(−h) = ρw gD + p′
(9.12)
Du coup la valeur moyenne du terme de droite de (9.8) est
∂
∂h
= τa,α − τb,α +
τa,α − τb,α + ρw gD
∂xα
∂xα
1
ρw gD2
2
− ρw gD
∂h
,
∂xα
(9.13)
avec τa,α et τb,α les composantes dans la direction α des tensions moyennes en surface et au fond. La
correlation p′ ∂h/∂xα a été logiquement absorbée dans τb,α : il s’agit de la traı̂née de forme sur le fond,
l’autre partie de τb,α était la traı̂née de peau, donnée par le terme visqueux.
En définissant Mα la composante α du transport de masse horizontal moyen6 , on peut écrire,
∂Mα
∂
+
∂t
∂xβ
Mα Mβ
rad
+ Sαβ
ρw D
+ εαβ3 f3 Mβ = −ρw gD
∂ζ
+ τa,α − τb,α .
∂xα
(9.14)
en définissant les tensions de radiation par
rad
Sαβ
=
Z
ζ
−h
1
bα u
bβ D.
ρw u′α u′β + δαβ pdz − ρw gD2 δαβ − ρw u
2
(9.15)
Avec les mêmes méthodes on aboutit aussi à l’équation de conservation de la masse,
∂D
∂Mβ
+ ρw
= 0.
∂xβ
∂t
(9.16)
Les équation (9.14) et (9.16) sont l’équation de base de l’hydrodynamique littorale, sous sa forme la
plus simple, et elles permettent d’expliquer un grand nombre de phénomènes : variations du niveau moyen,
courant littoral, ondes longues ... qui seront abordés au chapitre 11. Les hypothèse faites par Phillips
(1977) sont assez restrictives et le chapitre 16 présente une extension assez complète - et malheureusement
assez complexe - en trois dimensions.
Il convient de souligner les aspects suivants
3 C’est ici que l’on utilise le fait que b
u ne dépend pas de z, car sinon on a un terme supplémentaire venant du profil
vertical de courant et qui est équivalent à un terme de mélange horizontal (Svendsen et Putrevu, 1994).
4 La décomposition 9.10 et cette définition du tranport de Stokes nécessitent, formellement, une extension analytique du
champ u′ dans l’air. Physiquement c’est faux car la vitesse - et la densité - dans l’air sont tout à fait différentes. Toutefois
la décomposition peut être évitée, en évitant ainsi cette pirouette mathématique.
5 Ce terme est particulièrement important en cas de réflexion des vagues par la topographie du fond (Ardhuin, 2006;
Ardhuin et al., 2008c)
6 Attention aux notations : ce que nous notons M est noté M
eα par Phillips (1977).
α
106
– Le transport de masse Mα peut être écrit en terme de vitesse, Mα = ρw DUα . Dans ce cas Uα est la
vitesse moyenne du transport de masse, qui comprend la dérive de Stokes, qui est fortement cisaillée
sur la verticale y compris en zone de déferlement (Ardhuin et al., 2008c) et le ‘courant’ qui lui aussi
présente un cisaillement important. Cette vitesse ne correspond donc pas à une vitesse mesurable,
ni à une vitesse d’advection pour des traceurs qui ne sont pas distribuée de façon homogène sur la
verticale (comme les sédiments en suspension). C’est la limitation fondamentale de cette approche
intégrée sur la verticale. Dans certains cas - comme le cas irrotationnel présenté en figure 9.2 - u
bα
est la vitesse Eulérienne moyenne, mais ce n’est pas toujours vrai du fait du cisaillement vertical.
– Les équations ne sont rigoureusement valable que pour l’écoulement à des échelles plus grande que
la longueur d’onde. En fait, elles peuvent être applicable à des dynamiques de plus petite échelle comme les courants de baı̈ne - s’il n’y a pas d’ondes partiellement stationnaires.
Nous allons maintenant calculer explicitement le tenseur S rad qui contient tous les effets des vagues
sur la circulation moyenne.
9.2.2
Tensions de radiations pour des vagues linéaires
Pour des vagues monochromatiques se propageant dans la direction de l’axe des x, le flux par unité
de surface à travers une surface élémentaire perpendiculaire à (Ox) est la somme de la quantité de
mouvement advectée ρu2 et de la force exercée par le fluide sur cette surface, donc la pression p. En
prenant la moyenne de son intégrale sur la verticale et en soustrayant le flux en absence de vagues (u = 0
p0 = −ρgz) on a le flux dû aux vagues :
rad
Sxx
=
Z
ζ
−h
p + ρu2 dz −
Z
ζ
−h
ρw u
b2 p0 dz
(9.17)
La pression en présence de vagues est obtenue en intégrant l’équation d’Euleur pour le mouvement vertical
(v = 0 car les vagues se propagent dans la direction (Ox) :
Z ζ
∂p
∂ρw ∂ρuw ∂ρw2
+
+
+
+ ρg dz = 0
(9.18)
∂t
∂x
∂z
∂z
z
Le premier terme donne
Z
ζ
z
le second donne
Z
ζ
z
et le troisième donne
∂
∂ρw
dz =
∂t
∂t
∂ρuv
∂
dz =
∂x
∂x
Z
z
ζ
Z
z
Z
ζ
z
ρwdz − ρw (ζ)
∂ζ
∂t
(9.19)
ζ
ρuwdz − ρu (ζ) w (ζ)
∂ζ
∂x
(9.20)
∂ρw2
dz = ρw2 (ζ) − ρw2 (z)
∂z
(9.21)
et en supposant p (ζ) = 0, le quatrième nous donne la pression à la profondeur z, ce que l’on cherche,
Z ζ
∂p
dz = −p (z) .
(9.22)
z ∂z
En rassemblant tous les termes et en utilisant la condition cinématique en surface, on obtient la pression
Z ζ
Z ζ
∂
∂
p = ρg (ζ − z) +
ρwdz +
ρuwdz − ρw2
(9.23)
∂t z
∂x z
qui, en moyennant sur plusieurs périodes, donne, pour des vagues linéaires (uw = 0)
p = ρg ζ − z − ρw2 .
(9.24)
rad
rad
On calcule alors Sxx
en le découpant en morceaux, et en généralisant à Sαβ
on a
rad
Sαβ
=
Z
ζ
−h
ρuα uβ dz + δαβ
!Z
0
−h
p − p0 dz +
Z
0
ζ
pdz
#
.
(9.25)
107
9.2. EFFETS DES VAGUES SUR LA CIRCULATION
rad
rad
Les termes de pression n’interviennent que pour Sxx
et Syy
car la pression est une contrainte normale.
rad
rad
Puisqu’on a choisi v = 0 en prenant des vagues se propageant suivant (Ox), il est clair que Sxy
= Syx
=
0.
rad
On remplace maintenant dans l’expression de Sαβ
avec les vitesses et pressions issues de la théorie
Rζ
linéaire le premier morceau −H ρui uj dz n’intervient que dans Sxx et on l’a quasiment déjà calculé au
chapitre 1, car le flux d’énergie est la même intégrale avec pu au lieu de u2 or u = p/Cρ avec C = ω/k la
vitesse de phase. Donc le premier morceau est égal à ECg /C. Pour le dernier morceau on peut remplacer
p au voisinage de ζ par ρgζ et ce morceau nous donne ρgζ 2 /2, l’énergie potentielle, soit E/2. Enfin on
utilise notre expression de p pour le deuxieme morceau,
Z
0
−h
p − p0 dz = ρghζ − ρg
a2 k
sinh (2kh)
Z
0
sinh2 (kz + kh) dz
(9.26)
−h
et en utilisant la relation sinh2 x = (cosh 2x − 1) /2 on a
Z
0
sinh2 (kz + kh) dz =
−h
1
(sinh (2kh) − 2kh)
4k
et donc notre second morceau se transforme en
Z 0
kh
ρw g
E 2
−1 .
p − p0 dz = ρw ghζ +
2
sinh (2kh)
−h
(9.27)
(9.28)
Enfin le troisième morceau donne,
Z
0
ζ
pdz = ρw g
ζ2
E
= ρw g .
2
2
(9.29)
rad
car ils correspondent à
Par convention les terme qui font intervenir ζ sont en général sortis de Sαβ
des pression hydrostatiques dues à un changement du niveau moyen à cause des vagues, et sont rajoutés
dans les équations du mouvement comme une pression additionnelle. On a donc
2kD
1
Cg
rad
(9.30)
+
Sxx = ρw gE
C
2 sinh (2kD)
E
2kD
rad
Syy
= ρw g
(9.31)
2 sinh (2kD)
Cg
E
−1
(9.32)
2
= ρw g
2
C
Cette expression n’est valable que dans le repère tel que les vagues se propagent dans la direction de
(Ox). Pour une direction de propagation quelconque faisant un angle θ avec l’axe (Ox), il faut modifier la
rad
partie non-isotrope de Sαβ
qui fait intervenir l’advection de la quantité de mouvement. u devient u cos θ
rad
rad
et v devient v sin θ. Du coup Sxy
et Syx
ne sont plus nuls :
rad
Sxx
rad
Syy
rad
rad
Sxy
= Syx
Cg
E
Cg
2
2
cos θ + ρw g
−1
= ρw gE
C
2
C
E
Cg
Cg
sin2 θ +
−1
2
= ρw g E
C
2
C
Cg
= ρw gE
sin θ cos θ
C
(9.33)
(9.34)
(9.35)
Pour des vagues périodiques non-linéaires on trouve que S rad est très bien approché par la théorie
linéaire, avec un erreur typiquement inférieure à 5% pour kD < 0.3.
9.2.3
Energie totale
L’équation de conservation pour l’énergie peut s’obtenir à partir du bilan d’énergie mécanique sur un
volume de contrôle cubique élémentaire. La dissipation visqueuse de l’énergie ǫ compense la convergence
108
du flux d’énergie et le travail des contraintes pδij + τij , avec i et j des indices muets qui prennent pour
valeur x, y et z,
i
∂ ui ui
∂ h ui uj
+ gz +
+ gz + δij p + τij = ǫ.
ρw
(9.36)
ui ρw
∂t
2
∂xj
2
On reprend alors la démonstration de (Phillips, 1977, page 63), en définissant l’énergie mécanique
totale
Ea =
Z
ζ
ρw
−h
1
1 M α Mα
1
1
2
ui ui + gz dz =
+u
bα Mαw + ρw g(ζ − h2 ) − ρw u
bα u
bα + ρw gE + E ′ , (9.37)
2
2 ρw D
2
2
où ρw gE est l’énergie des vagues7 et E ′ l’énergie de la turbulence.
La ré-écriture de (9.36) fait intervenir l’intégrale et on obtient, en utilisant la définition (9.15) de
S rad ,
∂Ea
∂t
∂
rad
Uα Ea + Fα + ρUα gh2 + u
bβ Sαβ
∂xα
Z
∂ζ
ζ
+ ǫdz,
= −[wp + τi3 ui ]−h + (uα p + τiα ui )
∂xα
+
(9.38)
avec le flux intrinsèque d’énergie donné par
Fα +
Z
ζ
−h
9.3
uα
1
′2
ρw ui + ρw g(z − h) + p + τi α dz.
2
(9.39)
Effet des courants sur les vagues : énergie et action
On peut alors soustraire [Uα × (9.14)+(gh−Uα2 /2)×(9.16) ] de (9.38) pour obtenir l’équation d’évolution
de l’énergie des vagues8 ,
ρw g
∂E
∂
uβ
rad ∂b
+
[E + (b
uα + Cgα )] + Sαβ
= φaw − φoc − φbf ,
∂t
∂xα
∂xα
(9.40)
′ u′ |
où φaw = − wp + τi3
i z=ζ est le flux d’énergie du vent vers les vagues, par unité de surface, φoc est
la part de −ǫ associée au déferlement et à la dissipation des vagues dans la colonne d’eau, et φbf est
l’énergie perdue par frottement au fond, dont il a été question au chapitre 8..
On constate donc que les vagues perdent ou gagne de l’énergie lorsqu’elles se propagent dans des
rad
courant variables avec un gain algébrique Sαβ
∂b
uβ /∂xα , même en absence de phénomènes dissipatifs.
En définissant l’action A = ρw gE/σ (Bretherton et Garrett, 1968; Andrews et McIntyre, 1978b), on
peut alors ré-écrire (9.40)
ρw g
∂
φaw − φoc − φbf
∂A
+
[A + (b
uα + Cgα )] =
.
∂t
∂xα
σ
(9.41)
Sous sa forme spectrale, on obtient l’équation d’évolution des densités spectrales d’action N (ω, θ, φ, λ, t)
où φ et λ sont la longitude et la latitude, respectivement (Komen et al., 1994) :
∂
∂ ∂
∂ ∂ S
φ̇N +
λ̇N +
θ̇N = ,
N+
(σ̇N ) +
∂t
∂φ
∂λ
∂σ
∂θ
σ
(9.42)
où S est la somme des termes source d’énergie qui représentent les interactions avec l’air et le fond
et les interactions entre les vagues et θ est l’angle entre le Nord géographique et la direction locale de
7 Par souci de cohérence avec les autres chapitres, on rappelle que, pour des vagues linéaires, E est la variance de
l’élévation de la surface.
8 Le fait que le courant soit représenté par b
u vient du fait que b
u a été supposé uniforme sur la verticale. Dans un cas
plus général il faut probablement remplacer b
u par uA tel que défini par (2.62). Cela n’a pas encore été démontré mais
c’est cohérent avec les équations de Andrews et McIntyre (1978b), à la différence que l’action dans le cas général, et en
particulier pour un courant cisaillé sur la verticale, n’est probablement pas exactement égale à gE/σ.
9.4. SÉPARATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT DU COURANT ET DES VAGUES 109
propagation, et les différentes vitesses sont données par Tolman (1990),
φ̇ =
λ̇
θ̇
ω̇
=
(Cg cos θ + u
by ) R−1
(9.43)
−1
(Cg sin θ + u
bx ) (R cos φ)
∂ω
cos θ ∂ω
−1
= Cg sin θ tan φR−1 + sin θ
−
(kR)
∂φ cos φ ∂λ
∂b
uα
∂σ ∂D
+ kα
,
= −
∂D ∂t
∂t
(9.44)
(9.45)
(9.46)
où u et v sont les courants moyens zonaux et méridiens.
On remarque qu’en absence de phénomènes dissipatifs (S = 0) l’action est conservée. Ce résultat est
général en physique : l’action A est un invariant adiabatique. Pour un pendule dont la longueur varie
doucement c’est ainsi A = E/σ qui est conservée et non pas E. En fait l’action totale, intégrale de
A(σ, θ), est conservée pour tout phénomène qui ne dépend pas des phases des vagues : c’est le théorème
de Noether. C’est bien le cas des interactions de 4 vagues (chapitre 6, ce n’est par contre pas le cas des
interactions de 3 vagues (dans le cas d’ondes de gravité). Dans le cadre des équivalences ondes-particules
A est en fait le nombre de particules.
L’application de la conservation de l’action permet, en particulier de calculer l’évolution de l’énergie
pour des vagues se propageant dans un courant variant horizontalement. Ainsi, pour un milieu invariant
dans le temps ω̇ = 0 et donc σ + k·U est constant. Si on considère le cas de vagues par grand fond se
propageant dans la même direction x qu’un courant variable u
b(x), alors σ et k sont aussi fonction de x.
On peut en déduire l’évolution de A et donc de E. Pour un courant qui s’accélère contre les vagues, la
hauteur des vagues aura tendance à augmenter du fait de la conservation du flux d’action (Cg − U )E/σ
qui est conservé en condition stationnaire. Cette augmentation de E vient de trois facteurs :
– U augmente contre les
√ vagues
– Cg diminue car σ = gk diminue aussi pour garder σ − kU constant
– σ qui est au dénominateur diminue.
En eau profonde Cg = C/2 = g/(2σ), la conservation du flux d’action est donc équivalent à la
conservation de E(U − C/2)C. Or C − U est aussi constant et on peut aisément calculer C et E.
Dans la réalité le courant présente aussi souvent une variation transversale dans la direction y, on
aura alors un effet supplémentaire lié à la focalisation par réfraction des vagues dans le courant.
Dans certaines zones comme le courant des Aiguilles on obtient ainsi des vagues monstrueuses qui
sont levées par le courant adverse.
Si le courant est vraiment très fort la cambrure limite des vagues les fait déferler ou encore, la vitesse
de groupe des vagues est localement dépassée et l’énergie ne peut se transmettre de l’autre côté de la
zone de fort courant : on a un blocage de la houle par le courant. Ce dernier effet dépend évidemment
de la période des vagues : les vagues longues peuvent être capable de passer alors que les vagues courtes
sont piégées.
9.4
Séparation de la quantité de mouvement du courant et des
vagues
Un des défauts des équations (9.14) et (9.16) est que la quantité de mouvement totale Mα est la
combinaison des vagues et de la circulation qui ont des comportements extrêmement différents et pour
lesquels il est aberrant d’avoir des paramétrages communs. De plus, les vagues sont généralement connues
comme un forçage. Hasselmann (1971) a été le premier a souligner ce problème, suivi par Garrett (1976),
dont nous reprenons le raisonnement.
9.4.1
Equations intégrées sur la verticale : vagues
La quantité de mouvement des vagues (parfois appelée ”pseudo-quantité de mouvement”), est, pour
une vague monochromatique, Mw = kE/σ = kA. Il faut noter qu’il s’agit là de la quantité de mouvement
du oscillations rapides, qui est généralement compensée par un mouvement lent, comme dans le cas d’un
paquet d’onde isolé. C’est en ce sens que la quantité de mouvement (totale, nulle pour un paquet d’onde
isolé) se distingue de la pseudo-quantité de mouvement. On dispose d’une équation d’évolution pour A,
il nous faut donc une équation d’évolution pour k afin d’arriver à une équation pour Mw .
110
De part leurs définitions, (3.2)–(3.3), k et ω = σ + k·U, sont reliés par,
∂k
+ ∇ (σ + k·U) = 0.
∂t
En utilisant la relation de dispersion on trouve,
∂D
∂kα
∂b
uAβ
kσ
∂kα
+ (b
uAβ + Cgβ )
= −kβ
−
,
∂t
∂xβ
∂xα
sinh 2kD ∂xα
(9.47)
(9.48)
où u
bAβ est la composante β du courant qui advecte l’action des vagues. Si le courant est verticalement
uniforme et en négligeant les interactions vagues-vagues, il s’agit du courant Eulérien, u
bAβ = u
bβ , sinon
on pourra consulter Kirby et Chen (1989) ou Weber et Barrick (1977).
On peut donc formuler une équation pour la quantité de mouvement des vagues. En prenant UAβ = uβ ,
on obtient,
Z
Stot
∂
∂uβ
∂D
∂Mαw
w
+
[(uβ + Cgβ )Mα ] = ρw g kα
dk − Mβw
− ρw S J
.
(9.49)
∂t
∂xβ
σ
∂xα
∂xα
avec
Z
Z C E (k)
kD
1
dk = g
E (k) dk.
(9.50)
Cg −
SJ =
D k
2
C
k sinh 2kD
Cette équation exprime la conservation de la pseudo-quantité de mouvement (PQDM) des vagues advectées à la vitesse u+Cg avec une modification par les processus qui contribuent à l’évolution de l’action
des vagues (les termes de source) et une force, −ρw S J ∂D/∂xα , liée aux variations de profondeur. Cette
force est indispensable pour compenser les variations de flux de quantité de mouvement. Elle peut, a
priori, venir d’une force de pression non-hydrostatique sur le fond, auquel cas il y aurait un flux de
quantité de mouvement à travers le fond, qui modifie la PDQM des vagues, ou bien d’une interaction
avec la colonne d’eau avec conservation de la QDM totale du fluide.
9.4.2
Equations intégrées sur la verticale : mouvement moyen
En soustrayant (9.49) de (9.14) et en utilisant Mα = Mαm + Mαw , avec Mαm = ρw uα D, valable pour
un courant uα uniforme sur la verticale, on obtient, comme donné par Smith (2006),
#
!Z
ζ
∂
∂ζ
∂Mαm
∂
uβ uα dz + uα [ρw D] + εαβ3 f3 Mβm + [ρw gD − pw
+
0]
∂t
∂xβ
∂t
∂x
α
−h
= −εαβ3 (f3 + Ω3 ) Mβw − ρw
∂
∂D
DS J + ταa − ταw − ταb − ταdis + ρw S J
,
∂xα
∂xα
(9.51)
où Ω3 est la composante verticale de la vorticité de l’écoulement moyen, DS J vient de la différence entre
les tensions de radiation et le flux de PQDM induit par les vagues et, à l’ordre ε21 , la pression Eulérienne
moyenne est l’opposée de la variance de vitesse verticale, soit en surface,
Z
σ 2 E (k) dk.
(9.52)
pw
=
−
0
k
Enfin, ταa − ταw est le flux direct de quantité de mouvement entre l’atmosphère et la circulation
océanique, avec
Z
kα S in (k)
dk,
(9.53)
ταw = ρw g
σ
k
et
Z
kα S dis (k)
dis
dk,
(9.54)
τ α = ρw g
σ
k
est le flux de quantité de mouvement lié à la dissipation des vagues par déferlement et interaction avec
la turbulence océanique (mais pas par frottement sur le fond, voir Longuet-Higgins 2005).
On peut enfin regrouper les termes en S J de (9.51) en suivant Smith (1990),
#
!Z
ζ
∂Mαm
∂
∂ζ
∂
+
uβ uα dz + uα [ρw D] + εαβ3 f3 Mβm + [ρw gD − pw
0]
∂t
∂xβ
∂t
∂x
α
−h
= −εαβ3 (f3 + Ω3 ) Mβw − ρw D
∂S J
+ ταa − ταw − ταb − ταdis ,
∂xα
(9.55)
9.4. SÉPARATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT DU COURANT ET DES VAGUES 111
Hydrostatic pressure gradient
Mean
sea
level
Wave-induced pressure
mean flow momentum flux
set
down
Wave momentum flux:
Cg E / C
H
Bottom, z = Fig. 9.1 – Equilibre des forces pour des vagues au-dessus d’une marche lissée.
En absence de réflexion et de dissipation des vagues, la force correspondant à la divergence du flux de
quantité de mouvement induit par les vagues se combine avec la pression moyenne. Cette combinaison
est généralement équilibrée par un gradient de pression hydrostatique associé au gradient de la surface
libre. L’accélération de la circulation moyenne (petites flèches en pointillés) n’apporte, en général, qu’une
faible correction à cet équilibre. En absence de réflexion, il n’y a pas de force exercée par le fond, outre
la pression hydrostatique.
9.4.3
Conséquences pour la réfraction et le levage par la topographie
Les deux termes en S J dans (9.51) représentent la pression moyenne induite par les vagues, qui
agit logiquement sur la circulation moyenne, et une force supplémentaire ρw S J ∂D/∂xα qui compense
la force −ρw S J ∂D/∂xα qui agit sur la PQDM dans (9.49). Il apparaı̂t donc que ce deuxième terme
est une interaction entre la circulation moyenne et l’état de mer, il n’y a donc pas d’interaction avec le
fond. Ainsi, en absence de frottement sur le fond et sans réflexion des vagues, la force moyenne exercée
par le fond sur la colonne d’eau n’est que la pression hydrostatique. Il n’y a pas de force moyenne sur
l’écoulement susceptible de modifier la quantité de mouvement des vagues ou de l’écoulement moyen et
la réfraction et le levage ne sont pas la conséquence d’une force exercée par le fond, mais seulement le
résultat d’une modification du guide d’onde, sans échange d’énergie ou de quantité de mouvement avec
l’extérieur (Longuet-Higgins 1967, 1977, Ardhuin 2006).
On peut alors reconsidérer le problème de vagues unidirectionnelles se propageant au-dessus d’une
marche d’escalier lissée avec un changement de profondeur de h1 à h2 (Whitham 1962, section 2). Nous
sommes d’accord avec Whitham sur la conservation du flux de masse E1 /C1 + ρw (h1 + ζ 1 )U1 = E2 /C2 +
ρw (h2 +ζ 2 )U2 , mais par contre, pour la quantité de mouvement notre conclusion est différente de la sienne.
La différence de flux de PQDM Cg2 /C2 E2 −Cg1 /C1 E1 ne correspond pas à la force exercée sur la marche,
comme suggéré par Whitham, mais à une force exercée sur l’écoulement moyen, à laquelle s’ajoute le
gradient de la pression induite par les vagues S J pour donner les tensions de radiation classiques. Dans
le cas d’une dissipation négligeable, l’ensemble des deux termes est compensé par une variation de la
surface libre : la décôte (figure 9.1). Cette conclusion est vérifiée expérimentalement par les mesures de
la dépression du niveau moyen faites par Saville (1961, voir aussi l’analyse faite par Longuet-Higgins and
Stewart 1963, et Phillips 1977) et Bowen et coll. (1968).
En outre il doit aussi y a avoir une divergence de la circulation moyenne pour compenser la divergence
de la dérive de Stokes. Toutefois, la divergence correspondante de quantité de mouvement moyen (flèches
courtes en pointillés sur la figure 9.1) est généralement beaucoup plus faible que les tensions de radiation
à cause du rapport des flux de quantité de mouvement et de masse des vagues, qui est égal à la vitesse
de groupe Cg , qui est en générale plus grande que le rapport correspondant pour la circulation moyenne,
égal au courant en moyenne verticale. Dans des cas ou la réflexion des vagues est importante, la force
de diffusion Tbscat doit aussi être prise en compte car elle est exercée par le fond, et annule la partie
correspondante de la divergence du flux de quantité de mouvement.
112
On doit donc clairement séparer trois forces horizontales induites par les vagues,
– la force de pression induite par les vagues, qui est typiquement équilibrée par la décôte dans les cas
conservatifs. Après intégration sur la vertical elle est égale à −ρw ∂S J /∂xα .
– la force de vortex qui est due au cisaillement de courant et à l’advection croisée de quantité de
mouvement des vagues par le courant et du courant par les vagues
– la force exercée sur la circulation moyenne correspondant à la divergence de la pseudo-quantité de
mouvement (PQDM), corrigée des effets de réflexion des vagues par la topographie, et de la perte
de PQDM par frottement sur le fond.
En effet, la fraction de la PQDM perdue par frottement sur le fond n’est que temporairement communiquée à la circulation, en contribuant au courant de ruissellement (Russel and Osorio 1958), avant de
finir dans le fond via un cisaillement moyen (Longuet-Higgins 2005).
9.5
Mouvements Lagrangiens et Eulériens
Nous avons vu au chapitre 1 que le mouvement orbital des vagues induit une dérive dans le sens
de propagation, la dérive de Stokes Us . Cette dérive est intimement liée aux oscillations verticales et
horizontales induites par le mouvement orbital. On peut ainsi séparer le mouvement de dérive d’une
b qu’on appellera simplement ”courant”. La
particuler en une dérive de Stokes et un courant Eulérien u
dérive de Stokes peut être assez importante. Au large, elle peut dépasser 1.6% de la vitesse du vent
en surface, en particulier pour les vents forts (Ardhuin et al. 2008b). Près de la côte la dérive est
amplifiée quand la profondeur diminue et peut atteindre 0.5 m/s dans la zone de déferlement. Pour des
vagues de cambrure maximale, Longuet-Higgins (1979) a calculé, en négligeant la viscosité, que la dérive
pouvait atteindre 27% de la vitesse de phase. Enfin, le déferlement des vagues peut induire des vitesses
importantes, en surface, dans le front déferlant (Melville et Rapp, 1988). Ces deux effets seront négligés
dans ce qui suit.
9.5.1
Flux de masse et de quantité de mouvement
On peut définir le flux de masse (aussi appelé transport) moyen Mw = Mxw , Myw associé aux vagues
c
par la différence entre le transport total M et le transport du courant Eulérien moyen, M,
cα =
Mαw = Mα − M
Z
ζ
−h
ρw (b
uα + u
eα ) dz −
Z b
ζ
ρb
uα dz.
(9.56)
−h
Avec cette définition, le transport induit par les vagues est égal, en absence de courant, au transport
total. En utilisant les vitesses issues de la théorie linéaire, on trouve, au second ordre en pente des vagues,
Mαw
=
Z
ζ
ρuα dz,
(9.57)
0
= E
Cg kα
,
C k
(9.58)
On remarque que le flux de masse associé à la propagation des vagues est 1/C fois le flux d’énergie.
Si l’on considère que ce flux est la somme des flux entre des niveaux fixes z et z + dz, des vagues
monochromatiques ont un flux de profil parabolique, concentré dans la région −a < z < a avec a
l’amplitude de ces vagues. Pour des vagues aléatoires le flux sera compris entre le creux le plus bas et la
crête la plus haute. C’est le point de vue Eulérien sur la dérive de Stokes.
9.5.2
Moyenne Lagrangienne généralisée
Toutefois cette description ne correspond pas à la dérive de particules en suspension qui suivent la
dérive de Stokes telle que définie au chapitre 1 avec le point de vue Lagrangien. La vitesse de dérive
b + Us . Intégrées sur la verticale les
d’une particule dans le cas général est la vitesse Lagrangienne U = u
deux expressions du transport Mw sont indentiques.
En trois dimensions les points de vue Eulériens et Lagrangiens sont tout à fait différents et pour
certaines applications (comme le transport de matière en suspension ou l’étude de propriétés près de
la surface) il peut être avantageux d’adopter un point de vue Lagrangien. De part les changements de
coordonnées qu’elle impose, cette idée peut faire frémir les habitués de la mécanique des fluides. Les
113
9.5. MOUVEMENTS LAGRANGIENS ET EULÉRIENS
0
-150
-100
-50
x (m)
0
50
100
150
200
-1
z (m)
-2
-3
-4
-5
(a) (p-p)/ρ g (m)
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0
-1
z (m)
-2
-3
-4
-5
0
(b) -1000 x û (m/s)
0
1
2
3
4
5
x 10
6
3
-1
z (m)
-2
-3
-4
-5
(c) 1000 x P (m/s)
Fig. 9.2 – Ecoulements Eulériens et Lagrangiens moyens pour des vagues au-dessus d’une marche lissée.
(a) Perturbation de pression (p − p)/(ρw g) à t = 0 telle que calculée avec le modèle NTUA-nl2 (Belibassakis and Athanassoulis 2002), qui résoud l’équation de Laplace à l’ordre 2 en pente des vagues, pour
des vagues d’amplitude a = 0.12 m. (b) Courant Eulérien moyen −b
u, et (c) composante horizontale de
la pseudo-quantité de mouvement P1 , qui est ici égale à la dérive de Stokes. Les flèches indiquent le sens
de l’écoulement.
114
x+ξ : real position
u(x+ξ): actual fluid velocity
v(x)
x
Lagrangian
mean positon
Eulerian phase-averaged
mean surface
Fig. 9.3 – Schéma de principe de la moyenne Lagrangienne généralisée
vagues permettent toutefois une simplification de taille : les déplacements sont quasi-périodiques. On
peut alors définir des changements de coordonnées relativement simples qui aboutissent à des équations
tout à fait maniables. En particulier, Andrews et McIntyre (1978a) ont défini une moyenne Lagrangienne
généralisée.
Pour tout champ scalaire φ, on définit le champ φξ à la position moyenne x, par
φξ (x, t) = φ (x + ξ(x, t), t)
(9.59)
On peut définir la moyenne Lagrangienne généralisée si la fonction Ξ telle que Ξ(x) = x + ξ(x, t) est
bijective. Dans ce cas il existe un champ de vitesse unique v(x, t) tel que quand le point x se déplace à
la vitesse v, alors le point matériel x + ξ se déplace à la vitesse du fluide uξ (figure 9.3), ce qui s’écrit
mathématiquement,
∂
+ v·∇ Ξ = uξ
(9.60)
∂t
Pour tout opérateur de moyenne Eulérienne, on note φ (x, t) la moyenne de φ (x, t) (ce peut être
une moyenne sur des phases, des réalisations, une moyenne temporelle ou spatiale). Alors on obtient la
définition de la moyenne Lagragienne généralisée (GLM) en imposant
ξ (x, t)
v (x, t)
= 0
= v (x, t) .
(9.61)
(9.62)
La vitesse en moyenne GLM est uL = v, et on peut ainsi définir les moyennes de n’importe quelle
variable. Ainsi la moyenne GLM est différente de la moyenne Eulérienne. La différence entre ces deux
moyennes est la correction de Stokes (Andrews et McIntyre 1978). La correction de Stokes de la vitesse
est, par définition, la vitesse de Stokes
Us = uL − u.
(9.63)
uL s’interprète simplement comme la vitesse de dérive moyenne des particules d’eau. De manière plus
générale, pour un champ continuement différentiable φ, la correction de Stokes est donnée par (Andrews
et McIntyre 1978a, équation 2.27)
L
φ = φ + ξj
∂φ
∂2φ
1
+ ξj ξk
+ O(ε31 )
∂xj
2
∂ξj ∂ξk
(9.64)
On peut, par exemple, appliquer cette relation pour calculer les gradients moyens de vitesse en
présence de vagues (Ardhuin et Jenkins 2006). Pour des vagues monochromatiques, au-dessus d’un fond
en pente faible, on rappelle les champs de pression et de vitesse donnés par la théorie d’Airy (1841)
pe = ρw ga [FCC cos(kx1 − ωt)O(ε1 ) + O(ε2 )]
k1
FCS cos(kx1 − ωt) + O(ε1 ) + O(ε2 )
u
e1 = aσ
k
k2
u
e2 = aσ
FCS cos(kx1 − ωt) + O(ε1 ) + O(ε2 )
k
u
e3 = aσ [FSS sin(kx1 − ωt) + O(ε1 ) + O(ε2 )]
(9.65)
(9.66)
(9.67)
(9.68)
115
9.6. COUCHE LIMITE DE FOND
avec k = (k12 + k22 )1/2 et ω le nombre d’onde et la pulsation, k = (k1 , k2 ) le vecteur d’onde, et σ défini par
σ 2 = gk tanh(kD), où g est l’accélération de la gravité et D la profondeur d’eau moyenne. Les notation
FCS = cosh(kz + kD)/ sinh(kD) et FSS = sinh(kz + kD)/ sinh(kD) ont été utilisées.
En intégrant dans le temps on trouve le déplacement des particules fluides,
k1
FCS sin(kx1 − ωt) + O(ε1 ) + O(ε2 ) ,
(9.69)
ξ1 = −a
k
k2
ξ2 = a
FCS sin(kx1 − ωt) + O(ε1 ) + O(ε2 ) ,
(9.70)
k
ξ3 = a [FSS cos(kx1 − ωt) + O(ε1 ) + O(ε2 )] .
(9.71)
Pour simplifier les notations, on choisit la direction 1 dans le sens de propagation des vagues. Les
corrections de Stokes (9.64) des cisaillements sont alors,
∂e
u
∂z
∂w
e
∂x
L
= ξ1
L
= ξ3
∂2u
e
∂2u
e
a2
+ ξ3 2 = k 2 σFCS FSS
∂x∂z
∂z
2
∂2w
e
∂2w
e
a2
+ ξ1 2 = k 2 σFCS FSS .
∂x∂z
∂x
2
(9.72)
(9.73)
Ces expressions se généralisent aux vagues aléatoires car les termes de second ordre sont le résultat de
corrélations entre termes de premier ordre (voir par exemple Kenyon 1969 pour une discussion similaire).
Ainsi, les deux cisaillements moyens sont chacun égaux à la moitié du gradient vertical de la dérive de
Stokes Us ,
L
∂e
u
∂w
e
=
∂z
∂x
L
=
1 ∂Us
,
2 ∂z
(9.74)
avec u = u1 , w = u3 , x = x1 and z = x3 .
Le changement de coordonnée implicitement associé à la moyenne GLM par la fonction Ξ conserve
le volume au premier ordre en ε1 , les moyennes obtenues sont donc, en première approximation, des
moyennes sur un volume (Jenkins et Ardhuin 2004). On retrouve que la vorticité du mouvement est
L
L
nulle (∂ w/∂x
e
− ∂e
u/∂z = 0), ce qui est normal puisque (9.66)–(9.71) ont été déterminées pour un
mouvement irrotationnel. Par contre, la vitesse résiduelle Us est bel et bien rotationnelle9 . La moyenne
non-nulle de ∂w/∂x pourrait, par erreur, être interprétée comme conduisant à une valeur infinie de w
quand x tend vers l’infini, ce qui n’est pas le cas. Cette moyenne correspond plutôt au fait qu’il y a plus
d’eau sous les crêtes que sous les creux des vagues, les crêtes contribuent donc plus à la moyenne (figure
9.4). Ces propriétés permettent de calculer la production ou destruction d’énergie cinétique turbulente
(ECT) par le cisaillement des vagues. En supposant que la turbulence n’est pas corrélée avec la phase
des vagues et en utilisant les hypothèse usuelles d’uniformité horizontale de la couche limite océanique,
cette production d’ECT se fait au taux,
! L
#
L
L
L ∂Us
∂e
u
∂w
e
′
′
Pws = ρw u1 u3
,
(9.75)
+
= ρw u′1 u′3
∂z
∂x
∂z
comme si la dérive de Stokes était un courant verticalement cisaillé.
9.6
9.6.1
Couche limite de fond
Raccordement avec la couche limite permanente
L’équipe du professeur Madsen au MIT a particulièrement étudié les interactions entre la couche
limite sous les vagues et la couche limite permanente liée au courant. Ils ont en particulier montré qu’on
pouvait décrire la rugosité pour des vagues aléatoires par un seul paramètre (voir aussi Zou 2004).
Dans la couche limite de fond on distingue la couche limite des vagues z + H < δcw , où les deux
tensions τw = ρw u2⋆w et τc = ρw u2⋆c s’additionnent pour donner τwc = ρw u2⋆wc , le flux net de quantité de
mouvement vers le fond, et la couche limite du courant seul, z + H > δcw ou τ = ρw u′ w′ = τc seulement.
9 Ceci montre la non-commutation de l’opérateur GLM avec l’opérateur rotationnel. L’opérateur GLM commute cependant avec la dérivée Lagrangienne, c’est d’ailleurs l’intérêt principal du GLM (voir Andrews et McIntyre 1978a).
116
z
Wave breaking
y
Wave velocities
Mean sea surface
a surface
l se
a
A c tu
Langmuir
circulations
x
Reynolds
stress τ
thermocline
Fig. 9.4 – Vitesse induite par les vagues (flèches fines) et processus de mélange dans l’océan superficiel. Les flux d’énergie cinétique turbulente entre l’atmosphère et l’océan sont largement supportés par
le déferlement d’ondes courtes (e.g. Donelan 1998) et sont en partie transmis par les circulations de
Langmuir qui sont un ensemble de tourbillons d’échelles multiples alignés dans la direction du vent et
brassant l’ensemble de la couche de mélange. Dans la limite des petites pentes pour les grandes vagues,
ces processus ne sont pas modifiés en moyenne et le cisaillement moyen induit par les grandes vagues
est donné par (9.74). La production d’énergie cinétique turbulente par interaction des vagues et de la
turbulence est donc le flux turbulent vertical de quantité de mouvement horizontale (flèches épaisses)
multiplié par la moyenne en volume du cisaillement induit par les vagues. Cette moyenne en volume
donne plus de poids aux crêtes par rapport aux creux.
En suivant le raisonnement de Grant et Madsen (1979), le courant Eulérien vérifie,
κ |u⋆c | z
∂b
u
= u2⋆c
∂z
pour
(z + H) > δc w,
(9.76)
ce qui exprime que le courant Eulérien est mélangé par des tourbillons dont l’échelle est donnée par la
longueur de mélange de Prantl. Mais, près du fond, Grant et Madsen remarquent que la turbulence est
engendrée par les vagues et leur séparation du mouvement en vagues + courant donne, pour le courant,
κ |u⋆c | z
∂b
u
= u2⋆cw
∂z
pour
(z + H) < δc w.
(9.77)
Cette dernière équation dit que le courant est mélangé par la toute la turbulence présente près du fond,
due à la fois aux vagues et au courant.
On peut résoudre séparément chaque équation pour trouver que,
et,
u
b=
u⋆c
z 2
ln
u
κ
z0c ⋆c
pour
(z + H) > δc w,
z 2
u⋆c u⋆c
ln
u
pour (z + H) < δc w.
κ u⋆cw z1 c ⋆c
Par continuité de u
b on trouve
ǫ
1−ǫ
z0c = z0wc
δwc
u
b=
(9.78)
(9.79)
(9.80)
avec z0wc la rugosité pour les vagues, et ǫ = u⋆c /u⋆m où u⋆m est la valeur maximale de la vitesse de
frottement combinée définie par,
u2⋆m = u2⋆wm + u2⋆c
(9.81)
avec u⋆wm = max(u⋆w ) pour des vagues monochromatiques. Pour des vagues aléatoires, il est probable
qu’on puisse utiliser la valeur r.m.s.
Cette équation pour z0c n’est pas tout a fait exacte car dans (9.77) il manque la source de quantité de
mouvement qui vient de la dissipation des vagues et qui contribue au ruissellement. Mathisen et Madsen
(1996) ont donc ”bricolé” une rigosité équivalente
z0a = z0c exp [κb
u(δwc /u⋆c )] .
(9.82)
117
9.7. LA COUCHE MÉLANGÉE OCÉANIQUE
Cet ajustement permet de retrouver une vitesse moyenne u
b à la profondeur −H + δwc . Cela peut faire
passer le z0 utile pour le courant de 1 à 3 cm dans le cas des expériences en laboratoire de Mathisen
et Madsen (1996) ... très bien mais, comment calculer u
b ? C’est tout l’enjeu de certains travaux récents
(dont Davies et Villaret 1999, Marin 2004).
Il n’y a pas encore de réponse à cette question, qui est pourtant fondamentale pour déterminer le
frottement sur le fond (et donc les courants de marée au fond de la Baie du Mont St Michel par exemple).
On peut toutefois imaginer que les équations générales du type de (16.17) seront utiles.
9.7
9.7.1
La couche mélangée océanique
Mélange et dérive
Nous allons justement voir l’application de (16.17) à un autre problème très important : la dérive à
la surface de l’océan. Nous considérons désormais un champ de vagues uniforme. On recherche alors une
solution uniforme sur l’horizontale, ce qui supprime les gradients horizontaux dans (16.17) et la vitesse
verticale, pour donner
∂
∂b
u
∂b
u
= −f ez × (b
u + Us ) +
Kz
− Twc − Tturb
(9.83)
∂t
∂z
∂z
Tout le problème se reporte alors sur le paramétrage du coefficient de mélange vertical Kz et les
b est calculé en résolvant (9.83) avec une
profils verticaux de Twc et Tturb . Le courant Eulérien moyen u
clôture turbulente adéquate permettant de déterminer Kz . On utilisera le schéma dit de Mellor-Yamada
de niveau 2.5 (Mellor et Yamada 1982),
Kz = qSM l,
(9.84)
avec l’ECT q 2 = u′i u′i , SM = 0.39 une constante et l une longueur de mélange qui sera prescrite comme
suit,
l
=
max {−κDς, κz0− }
l
=
max {κD(1 + ς), κz0a‘′ }
1
<ς<0
2
δ
1
pour
−1 +
<ς<−
D
2
pour
−
(9.85)
La longueur de rugosité z0− fait que Kz est non-nul en surface, ce qui correspond à toutes les observations
océaniques (e.g. Kitaigorodskii 1994, Thorpe et al. 2003) qui suggèrent par ailleurs une valeur de z0
importante, de l’ordre de Hs , la hauteur significative des vagues (e.g. Mellor et Blumberg 2004), soit
quelques mètres en général. Cependant, certaines paramétrisations continuent à utiliser Kz = 0 en
surface (e.g. Large et al. 1994). On utilise aussi les condition suivantes pour q,
lqSq
∂q 2
ρ0
= α 0a u3⋆ à ς = 0,
∂z
ρw
2
∂q
= 0 à ς = −1,
lqSq
∂z
(9.86)
(9.87)
avec Sq = 0.2, et lqSq le coefficient d’échange turbulent pour q 2 , et α un coefficient qui varie avec l’état
de la mer (Terray et al. 2000, Mellor et Blumberg 2004) mais qui ici est pris constant, α = 100, ce qui
est un ordre de grandeur assez général.
Enfin, on considère ici un état de mer pleinement développé et on simplifie la paramétrisation en
supposant que Twc et Tturb sont concentrés à la surface si bien qu’ils n’apparaissent plus dans (9.83)
mais s’ajoutent dans la condition de continuité des contraintes qui s’écrit, en négligeant la dissipation
des vagues par la viscosité,
τa − ταwc − ταturb = ταin + ρw Kz
∂b
uα
∂ς
à ς = −
δs
,
D
(9.88)
et donc, classiquement,
τa = ρw u⋆ u⋆ = ρw Kz
∂b
uα
∂ς
à
ς = 0,
(9.89)
118
(Eulérien)
(Eulérien)
'
!
!
"
#"
%
$%&%&
Fig. 9.5 – Profils stationnaires de vitesse pour un vent de 10 m/s (vent à 10 m)
(a) Profil issu du modèle Eulérien ”classique” et (b) profils issus du modèle plus réaliste présenté ici. On
remarque que l’erreur sur la vitesse de dérive due à la faible valeur de z0 dans le modèle classique est
compensée par l’absence de la prise en compte de la dérive de Stokes. La vitesse q est la racine carrée de
l’Energie Cinétique Turbulente (ECT), seul le flux réaliste d’ECT (utilisé à droite) permet d’obtenir un
profil réaliste de q. Afin de faciliter l’interprétation la profondeur de rugosité, z = z0 , est aussi indiquée
(figure réalisée par Nicolas Rascle).
où u⋆ est la vitesse de frottement du vent. Cette simplification, qui transforme Twc et Tturb en ταwc et
ταturb , ne change pas beaucoup les résultats pourvu que le mélange en surface soit fort, ce qui se caractérise
par z0− plus grand que l’échelle de décroissance verticale de Twc et Tturb .
Or, classiquement, on a longtemps utilisé de très faibles valeurs du mélange en surface et donc ici de
z0− (figure 2a), ce qui permettait d’obtenir des vitesses importantes en surface pourvu que la résolution du
modèle numérique soit très fine près de la surface. Ces vitesses étaient compatibles avec les observations
de dérive en surface, de l’ordre de 3% de la vitesse du vent (Huang 1979), mais Agrawal et al. (1992) se
sont rendu compte que la dissipation d’energie cinétique en surface était sous-estimé d’au moins un ordre
de grandeur, le mélange était donc beaucoup plus intense que ce que l’on pensait jusque là. Récemment,
Mellor et Blumberg (2004) ont montré qu’un mélange réaliste en surface (avec z0 = 0.8Hs ) permet de
mieux représenter les variations de la température de surface à la station Papa dans le Golfe d’Alaska,
dont les mesures servent de référence pour ce type de problème. Ce faisant, Mellor et Blumberg (2004)
ont considérablement réduit la vitesse en surface (avec un profil proche de la vitesse Eulérienne en figure
2b).
Il existe peu de mesures de profils de vitesse Eulériens ou Lagrangiens près de la surface. Les observations de Santala et Terray (1992) indiquent que le courant Eulérien induit par le vent ne dépasse pas
0.5% de la vitesse du vent en surface en moyenne (figure 9.6).
En utilisant des observations de spectres directionnels faits par bouées, Ardhuin et al. (2009b) ont
montré que la dérive de Stokes en surface Uss pouvait en général être déduite, avec une très bonne
approximation, de la vitesse du vent et de la hauteur des vagues, avec une expression de la forme
(l’erreur moyenne est de l’ordre de 2 cm/s),
"
1.3 %
0.5
−4
U10 min {U10 , 14.5} + 0.025 (Hs − 0.4) ,
(9.90)
Uss (fc ) ≃ 5.0 × 10
1.25 − 0.25
fc
où fc est la fréquence de coupure jusqu’à laquelle les vagues sont prises en compte dans la dérive de
Stokes. En utilisant une modélisation des vagues qui reproduit cette variation de Uss , on peut alors
exploiter des mesures de courant de dérive faites par radar HF, pour montrer que le courant Eulérien est
effectivement de l’ordre de 0.4 à 0.8% de la vitesse du vent, avec des modulations importantes associées
aux oscillations d’inertie et, dans l’hémisphère nord, une direction moyenne 60 degrés à droite de la
direction du vent (Ardhuin et coll. 2008b).
Le modèle proposé ici rajoute la dérive de Stokes à la vitesse Eulérienne, permet donc de satisfaire
à peu près à l’ensemble des observations de vitesse de dérive et de mélange (Rascle et al., 2006). En
particulier il permet d’obtenir à la fois un cisaillement assez fort (essentiellement lié à la dérive de
Stokes) et un fort mélange (causé par le déferlement). Il reste a expliquer une différence entre la dérive
en surface du modèle et les dérive constatées qui sont supérieures de 0.5 à 1.5% de la vitesse du vent. Un
119
9.7. LA COUCHE MÉLANGÉE OCÉANIQUE
0.5
-z/H
s
1
SASS
VMCM
10
0
2
4
6
U/u w
8
*
Fig. 9.6 – Vitesses quasi-Eulériennes près de la surface
Les mesures de vitesses par deux types de courantomètres (SASS et VMCM) ont été corrigées du mouvement des vagues. u⋆w = (ρa /ρw )1/2 u⋆ est la vitesse de friction dans l’eau (données de Santala et Terray,
figure tirée de Terray et coll. 2000). La différence de vitesse entre la surface et la thermocline est d’environ
0.5% de la vitesse du vent U10 .
des phénomènes en cause est la corrélation entre convergence et vitesse de dérive liée aux circulations de
Langmuir.
9.7.2
Circulations de Langmuir
Ce défaut du modèle n’est pas très étonnant quand on réalise que l’océan superficiel n’est pas homogène. De nombreuses observations, à commencer par celles de Langmuir (1938) on fait état d’un
alignement préférentiel de débris et d’écume à la surface, dans le sens du vent (figure 9.7). Il est apparu que ces lignes sont liées à des structures tourbillonaires alignées avec le vent et dont la présence
est liée à une interaction entre les vagues et le vent. Enfin dans les années 1990, plusieurs campagnes
océanographiques (SWAPP, MBLEX ...) ont indiqué que ces structures étaient responsable de l’essentiel
du brassage dans la couche de mélange, y compris par faible profondeur (Marmorino et coll. 2005). Bien
que certains détails de ces circulations ne sont pas encore expliqués, le mécanisme essentiel à leur formation est une instabilité combinant le cisaillement vertical du courant moyen et l’influence des vagues par
la force de vortex.
9.7.3
Etat de la mer et flux océan-atmosphère
Si l’effet du flux d’énergie cinétique en surface est encore inconnu à l’échelle océanique (modification
possible des upwellings et autres flux, voir Janssen et al. 2004), on connait assez bien les principaux effets
de l’état de la mer sur la circulation océanique (Janssen 2004). En particulier, il est bien établi que la
tension de vent dépend fortement de l’âge des vagues : pour une vitesse de vent donnée la tension sera
typiquement plus forte en mer du Nord qu’au milieu de l’Atlantique où la mer est plus développée.
120
v' asymmetric?
d
5 to 15
Win
es
av
W
Co
nv
er
g
en
ce
Drift path of
Physalia
Co
nv
erg
en
ce
u ~ (10 to 15)u*
v' ~ ??
w' ~ 5u*
Plankton
Ekman
Spiral
bubbles
Thermocline
(Form or kinematics of bottom part still not well known)
Fig. 9.7 – Circulations de Langmuir (dessin de J. A. Smith)
Fig. 9.8 – Effet de l’état de la mer sur la tension de vent
2
A gauche : mesures du coefficient de traı̂née C10N , souvent noté Cd , (τ = ρa C10N U10N
), lors de la
campagne FETCH en Méditerranée, et à droite, variation de la longueur de rugosité z0 , normalisée par
σ = Hs /2 pour plusieurs campagnes de mesures. Figures tirées de Drennan et al. (2003).
Chapitre 10
Déferlement en zone littorale
10.1
Déferlement bathymétrique
Nous avons vu que très près des côtes, la hauteur des vagues Hs augmente à cause de la diminution de
la profondeur et donc de la vitesse de groupe Cg , en particulier pour une incidence normale θ = 0. Pour
une incidence oblique, la réfraction tend à réduire cet effet car le flux d’énergie vers la plage Cg Hs2 cos θ/16
est constant et cos θ augmente (pour une bathymétrie uniforme le long de la côte, sin θ/C est conservé,
c’est une conséquence de la loi de Snel-Descartes). Par ailleurs la longueur d’onde des vagues diminue
en même temps que la profondeur d’eau. Les vagues sont donc de plus en plus cambrées et la vitesse
des particules d’eau augmente. La vitesse des particules d’eau sur les crêtes peut dépasser la vitesse de
phase des vagues, ce qui provoque aussi le déferlement. Pour une houle monochromatique, Miche (1944b)
a montré que cela se traduit par une hauteur maximale Hmax donnée par Hmax /L ≃ 0, 14 tanh(kD),
avec L la longueur d’onde et D la profondeur. Dans la limite kD ← 0, la limite de Miche donne,
Hmax /D ≃ 0, 28π = 0, 87. Pour des valeurs non-nulles de kD le rapport Hmax /D est plus petit.
En pratique on mesure que le déferlement de vagues irrégulière se produit lorsque la hauteur H
dépasse γD avec γ entre 0,4 et 1 suivant les conditions. En particulier la valeur de kD, comme proposé
par Miche, modifie la hauteur maximale observée, et la pente du fond joue aussi en certain rôle. La
hauteur maximale des vagues augmente avec la pente du fond. Pour des pentes très élevées, les vagues
peuvent être réfléchies sans déferler (Carrier et Greenspan, 1958). En représentant l’amplification locale
des vagues par rapport à leur amplitude au large, cela donne un critère du type ε0 = 1 pour le déferlement
1/2
avec ε0 = (2π) ω 2 a0 / g tan5/2 β où a0 est l’amplitude des vagues en eau profonde (pour kD >> 1)
et tan β est la pente du fond. En eau profonde ω 2 = gk et donc εw est le rapport entre la pentes des
vagues au large ka0 et une fonction de la pente du fond tan β. On peut aussi ignorer l’amplification des
vagues depuis le large pour obtenir le nombre d’Irribaren (aussi appelé paramètre de déferlement, ‘surf
parameter’),
tan β
tan β
ξ0 =
(10.1)
=
1/2
1/2
2πH0
(H0 /L0 )
gT 2
qui permet de classifier le déferlement en quatre types : glissant ou déversant (‘spilling’ pour ξ0 < 0.5),
plongeant (‘plunging’ pour 0.5 < ξ0 < 3.3), frontal (‘surging’ pour ξ0 > 3.3). Pour le déferlement
déversant (figure 10.1a) de l’écume apparaı̂t à la crête de la vague et glisse le long de la face avant de la
vague. Il peut se produire dans certains cas la projection d’un petit jet. Pour le déferlement plongeant
(figure 10.1b) le front d’onde se ”retourne” ce qui conduit à la formation d’un jet intense tombant à la
base de l’onde. L’impact du jet sur la surface créé un jet secondaire (”splash-up”). Le déferlement frontal
(figure 10.1c) correspond à un déferlement sur la plage elle-même et se produit sur des pentes raides.
10.2
Description expérimentale des vagues en zone de surf
10.2.1
Présentation schématique des différents domaines de la zone de surf
Sur les plages en pente douce, telles que les plages sableuses, on observe généralement du déferlement
déversant ou plongeant. On peut alors distinguer plusieurs zones caractéristiques lors de la propagation
des vagues (cf figures 10.2 et 10.3). Au point de déferlement la zone de surf commence par une zone de
121
122
CHAPITRE 10. DÉFERLEMENT EN ZONE LITTORALE
Fig. 10.1 – Exemples de déferlement déversant (a), plongeant (b), et frontal (c). Tiré du Coastal Engineering Manual - Part II (2002).
10.2. DESCRIPTION EXPÉRIMENTALE DES VAGUES EN ZONE DE SURF
123
Fig. 10.2 – Propagation des vagues en zone de surf.
Fig. 10.3 – Représentation schématique de la propagation des vagues sur une plage en pente douce.
transition, qui est caractérisée par une dynamique fortement instationnaire et diphasique (phénomène
de ”splash-up”). Cette zone est significative pour du déferlement plongeant (largeur de 5 à 10 fois la
profondeur d’eau au point de déferlement) mais peut être négligeable pour du déferlement déversant.
Les vagues se ré-organisent ensuite dans la zone de surf interne sous la forme d’une succession quasipériodique de fronts d’onde (bore en anglais) ayant une dynamique se rapprochant de celle des ressauts
hydrauliques propagatifs. Pour terminer, la zone de swash est la partie de la plage qui va être couverte
puis découverte lorsque les fronts d’onde rencontrent la plage et génèrent des jets de rive.
10.2.2
Rouleau de déferlement (roller)
La caractérisation expérimentale des vagues en zone de surf est difficile du fait de la présence de
bulles et de mouvements turbulents très intenses. Cependant, le développement récent des méthodes de
visualisation PIV (Particle Image Velocimetry) a permis de mieux comprendre la dynamique dans le
déferlement. Les figures 10.4 et 10.6 montrent des résultats de PIV obtenus par Kimmoun et Branger
(2007). Sur la figure 10.4 on peut voir l’évolution des vagues en zone de surf pour un déferlement de type
déversant. On observe en 10.4b et 10.4c la mise en place d’un rouleau de déferlement (ou roller) sur la face
avant de l’onde, et la formation d’un bore (10.4c,d) ayant une dynamique voisine de celle d’un ressaut
hydraulique propagatif. La figure 10.6 montre que la structure tourbillonnaire dans le roller apparait
d’abord sur la face avant du front d’onde. On constate qu’elle est localisée à la base de la face avant de
la vague déferlante et non pas concentrée au niveau de la crête de la vague. La structure tourbillonnaire
est ensuite advectée par le bore et reste présente durant toute la propagation de l’onde.
L’eau qui se déverse sur la face avant des vagues est piégée, ainsi que des bulles d’air, dans le roller et
est transportée globalement à la célérité de la vague. Les particules fluides à la surface du roller ont une
vitesse supérieure à cette célérité. La figure 10.5a illustre de façon schématique le profil de vitesse sous
124
Fig. 10.4 – Visualisations des vagues en zone de surf (Kimmoun et Branger (2007)).
Fig. 10.5 – Représentation schématique du champ de vitesse sous les vagues dans la zone de surf, tiré
de Svendsen (2006). a, référentiel fixe ; b, référentiel se déplaçant avec les vagues.
125
les vagues. Cette vitesse varie peu verticalement jusqu’au niveau correspondant aux creux des vagues,
en revanche elle augmente ensuite avec z, tout particulièrement dans le roller. La figure 10.5b montre
les lignes de courant dans le référentiel se déplaçant à la célérité de l’onde. Le roller est une zone de
recirculation séparée du reste de l’écoulement par une ligne de courant.
10.2.3
Hauteur des vagues contrôlée par la profondeur d’eau
L’étude du déferlement par petits fonds a montré (Miche, 1944b) que la hauteur des vagues était
contrôlée par la profondeur d’eau moyenne : H ≃ γD, avec γ un paramètre faiblement variable. La figure
10.7a illustre l’évolution de H et 10.7b celle de γ dans la zone de surf (mesures réalisées par Stive (1984)),
pour deux forçages de houle monochromatique différents. Après le déferlement, γ décroit légèrement puis
atteint un palier dans la zone de surf interne avec une valeur constante d’environ 0.5, puis augmente
à l’approche du rivage et devient supérieure à 1.0 dans la zone de swash. Thornton et Guza (1982) et
Raubenheimer et al. (1996) ont confirmé cette tendance pour des vagues aléatoires en milieu naturel et
montré que γ dépendait de la pente de la plage β et très faiblement de la cambrure des vagues au large.
Raubenheimer et al. (1996) ont montré qu’il existait une très bonne corrélation entre γ et β/(k h̄), où k
est le nombre d’onde local. Cette quasi-proportionnalité entre H et h̄ est une hypothèse de base pour
de très nombreux modèles de vague en zone de surf.
10.2.4
Profils de la surface des vagues
La forme des vagues en zone de déferlement est très différente d’une forme sinusoı̈dale, même si au
large la peut être proche d’une sinusoı̈de. Les processus non-linéaires vont en particulier induire une forte
asymétrie verticale. La figure 10.8 montre l’évolution du profil de vague en zone de surf, pour une houle
monochromatique se propageant sur une plage de pente faible (déferlement déversant). On observe une
forte variabilité de la forme des vagues lorsque la profondeur d’eau diminue. Juste avant le déferlement
(figure 10.8a), les vagues sont caractérisées par une forte asymétrie horizontale, en accord avec la théorie
pour des vagues périodiques d’amplitude finie (chapitre 6) qui laisse place progressivement à une très
forte asymétrie verticale. Cette dernière est bien décrite par la théorie des équations de Saint Venant avec
choc. On constate aussi que la cambrure des vagues H/λ diminue. Ceci s’explique par le fait que H est
approximativement proportionnelle à h̄ et λ = (g h̄)1/2 T , d’ou H/λ est proportionnel à h̄1/2 . On constate
aussi qu’à l’arrière du front d’onde, la vague a une forme progressivement de plus en plus droite. La
vague tend vers une forme en ”dents de scie” (cf. figure 10.8f) qui est une caractéristique importante des
vagues en zone de surf interne. Cette caractéristique est observée aussi bien pour des vagues régulières
en laboratoire que des vagues irrégulières en milieu naturel.
10.2.5
Turbulence
Dans la zone de surf la source principale de turbulence est liée au processus de déferlement à l’interface
air-eau et non pas à la couche limite de fond. La figure schématique 10.5a montre que la turbulence est
générée dans la zone de roller (voir aussi les figures 10.4b,c) puis est transportée et diffusée dans le reste de
l’écoulement. Nadaoka et coll. (1989) ont analysé la dynamique de la vorticité pour ce type d’écoulement
turbulent et montré qu’elle était essentiellement 3D et contrôlée par des mécanismes d’étirement tourbillonnaire. Ting et Kirby (1995, 1996) ont montré que le comportement de la turbulence était différent
suivant que le déferlement était de type déversant ou plongeant. L’énergie cinétique turbulente produite dans le roller est transportée vers la plage pour du déferlement plongeant et vers le large pour du
déferlement déversant. Ceci pourrait s’expliquer par le fait que la turbulence est davantage concentrée
dans le roller pour du déferlement plongeant.
La figure 10.9 illustre la complexité des écoulements turbulents en zone de surf. En effet, si on distingue
bien d’une part à haute fréquence la présence d’un spectre turbulent 3D de type Kolmogorov en f −5/3 ,
et d’autre part un pic d’énergie à la fréquence fp (ainsi qu’un harmonique 2fp ) lié aux mouvements
orbitaux, il n’y a pas de séparation d’échelle nette entre les mouvements orbitaux et la turbulence. Il
est donc difficile en milieu naturel de caractériser précisément la turbulence. On peut toutefois utiliser
la cohérence spatiale des vagues (Trowbridge et Elgar, 2003), ou bien la cohérence entre l’élévation de la
surface et les vitesses (Thornton, 1979). En laboratoire, pour des houles périodiques, on peut identifier la
composante turbulente en utilisant des moyennes de phase. Cette caractérisation de la turbulence pour
des déferlements déversant et plongeant a été réalisée dans de nombreuses expériences de laboratoire,
à partir de mesures par anémométrie film chaud (cf. Stive (1980), Svendsen (1987)), doppler-laser (cf.
126
p
Fig. 10.6 – Moyenne de phase de la vorticité adimensionnée par g/d pour des vagues en zone de surf,
mesurées par méthode PIV (Kimmoun et Branger (2007)). Les longs pointillés figurent, de haut en bas,
la position des crêtes, le niveau moyen et la position des creux.
127
Fig. 10.7 – Evolution de la hauteur des vagues en zone de surf pour des houles monochromatiques se
propageant sur une plage plane de pente β = 1/40. Comparaison entre le modèle analytique de Bonneton
(2003) et les expériences de Stive (1984). • • • •, H0 = 0.178 m, d0 = 0.2125 m, f = 1/1.79 s−1 ; ⋄ ⋄ ⋄
⋄, H0 = 0.226 m, d0 = 0.2625 m, f = 1/3 s−1
Nadaoka et coll. (1989) ou Ting et Kirby (1995, 1996)) et plus récemment par PIV (cf. Govender et
coll. (2002) et Kimmoun et Branger (2007)). Les travaux de Svendsen (1987), Ting et Kirby (1996)
ont montré que l’intensité turbulente hvx′2 i1/2 varie peu suivant la verticale et qu’elle est proportionnelle
à (g h̄)1/2 : hvx′2 i1/2 = α(g h̄)1/2 , avec α ∼ 5. 10−2 . George et al. (1994) ont observé un comportement
similaire en milieu naturel, excepté qu’ils trouvent un coefficient plus petit qu’en laboratoire : α ∼ 10−2 .
La dissipation d’énergie par la turbulence entraı̂ne la décroissance de la hauteur du front d’onde
au cours de sa propagation. Comme dans le même temps généralement la profondeur d’eau diminue,
le nombre de Froude, associé au front d’onde, évolue peu et la turbulence dans le roller se maintient.
Dans le cas contraire, par exemple sur un platier corallien de profondeur constante, le nombre de Froude
diminue et le front devient oscillant et le déferlement et la turbulence associée cessent progressivement
(cf. figure 10.10).
128
Fig. 10.8 – Evolution temporelle de l’élévation des vagues en zone de surf pour une houle monochromatique (T = 2.2 s and H0 = 0.115 m) se propageant sur une plage plane de pente β = 1/35 (Cox, 1995). a,
x − xb = −2.4 m ; b, x − xb = 0 m ; c, x = 1.2 m ; d, x − xb = 2.4 m ; e, x − xb = 3.6 m ; f, x − xb = 4.8 m,
avec xb la position du point de déferlement.
129
Fig. 10.9 – Spectre de la vitesse cross-shore mesurée en zone de surf.
Fig. 10.10 – Zone de surf sur un récif corallien ; arrêt du déferlement et de la turbulence associée lors de
la propagation sur un platier de profondeur constante.
130
Chapitre 11
Vagues et circulation littorale
11.1
Forçage de la circulation par les vagues
Partis du grand large nous avons donc vu comment les vagues sont générées, se propagent, et finissent
par se dissiper sur la plage, parfois 10000 kilomètres plus loin (Snodgrass et coll., 1966). On a pu voir
que les vagues influaient assez peu avec les courants au large, malgré une modification de la turbulence
en surface, et de la friction au fond, ce qui a permis aux océanographe des grands fonds de les ignorer
sans trop de problèmes, en tout cas jusqu’à aujourd’hui, sauf pour l’altimétrie et toutes les formes de
télédétection. Par contre sur la plage les vagues sont générallement le forçage hydrodynamique le plus
important. En particulier les vagues transportent une quantité de mouvement qui, lorsqu’elle est dissipée
force des courants intenses et des variations du niveau moyen. Dans ce chapitre un utilise l’approche
traditionnelle de Longuet-Higgins (1970) et Phillips (1977). La théorie générale vient d’être reformulée
par plusieurs auteurs (McWilliams et coll. 2004, Newberger et coll. 2005), et devrait modifier légèrement
la compréhension de la circulation littorale. Enfin, les effets de variabilité le long de la plage (Peregrine
1999, Bühler et Jacobson 2001) devraient permettre une meilleure compréhension de la dynamique du
courant littoral.
11.2
Décôte et surcôte
11.2.1
Equations pour l’écoulement moyen
Nous avons vu au chapitre 9 que, par rapport à une situation sans vagues, la présence de l’agitation
induit un terme supplémentaire dans les équations intégrées de conservation de la quantité de mouvement
(9.14) et (9.16) : la divergence de S rad , tenseur des contraintes de radiation. En définissant la profondeur
uD +M,
moyenne D = ζ +h et le flux de masse total (dû aux vagues et au courant moyen) comme M = ρb
b + Mw / (ρD).
la vitesse moyenne du transport de masse est U = M/ (ρD) = u
Ici nous allons négliger la force de Coriolis, et nous placer d’abord en situation stationnaire pour
ré-écrire (9.14) sous la forme
∂
rad
Ux Mx + Sxx
+
∂x
∂
rad
Uy Mx + Sxy
+
∂x
∂
rad
Ux My + Syx
∂y
∂
rad
Uy My + Syy
∂y
∂ζ
+ τa,x + τb,x
∂x
∂ζ
+ τy,s + τy,f
= −ρgD
∂y
= −ρgD
(11.1)
(11.2)
où (τa,x , τy,s ) et (τb,x , τy,f ) sont les tensions en surface et au fond respectivement. La divergence du flux
de quantité de mouvement est donc équilibrée par la pression hydrostatique, le vent et la friction au fond.
11.2.2
Application aux variations du niveau moyen
Soit une plage et un champ de vagues uniforme dans la direction (Oy), toutes les dérivées par rapport
à y deviennent nulles. En particulier, la conservation de la masse devient
∂Mx
= 0,
∂x
131
(11.3)
profondeur (m)
132
CHAPITRE 11. VAGUES ET CIRCULATION LITTORALE
0
10
20
0
100
200
300
400
500
0
100
200
300
400
500
0
100
200
300
400
500
0
100
200
300
400
500
0
100
200
300
400
500
2
s
H (m)
3
1
Direction (deg)
0
20
10
0
Energie dissipée (%)
V (m/s)
2
1
0
100
50
0
Distance à la côte (m)
Fig. 11.1 – Transformation des vagues par déferlement
Résultats du modèle de Thornton et Guza (1986) pour la hauteur des vagues d’une houle de période
T = 12 s, et le courant littoral sur une plage schématique (pente moyenne 4%), en prenant en compte la
réfraction. La côte est à droite et le large à gauche. Le courant de dérive littoral est aussi indiqué : voir
ci-dessous pour une explication.
133
11.2. DÉCÔTE ET SURCÔTE
donc Mx est constant. Pour une plage imperméable, Mx = 0. Au passage, on note que le courant moyen
doit équilibrer le flux de masse dû aux vagues qui est concentré près de la surface. Le courant doit donc
s’inverser en profondeur : c’est le courant de retour (‘undertow’ en anglais).
La conservation de la quantité de mouvement dans la direction x donne
∂ rad
ζ
S
= −ρgD∂
+ τa,x + τb,x
∂x xx
∂x
(11.4)
Prenons des vagues d’incidence normale θ = 0 et supposons que τa,x = τb,x = 0, alors on obtient la pente
moyenne de la surface
1 ∂ Cg E
sinh 2kD
∂ζ
=−
2−
(11.5)
∂x
ρgD ∂x
C
sinh 2kD + 2kD
Sans résoudre cette équation différentielle, on remarque que lorsque les vagues ne déferlent pas, Cg E
rad
est conservé et C diminue vers la plage donc Sxx
augmente vers la plage si la profondeur D diminue
régulièrement et ∂ζ/∂x est négatif : le niveau moyen s’abaisse vers la plage (‘set-down’).
En supposant ζ << h, on peut remplacer D par h et on trouve (en exercice... un truc : comme la
fréquence est conservée, en différenciant ω 2 = gk tanh kD on a une relation entre ∂k/∂x et ∂D/∂x) :
ζ=−
a2 k
2 sinh (2kD)
(11.6)
où a est l’amplitude locale des vagues. On peut montrer que cette relation est indépendante de la direction
des vagues au large, en appliquant la loi de Snel.
Juste au point de déferlement, de profondeur hd , on peut supposer que kD << 1 et Hv = 2a = γhd
et donc
γ
(11.7)
ζ = − Hv .
16
En reprenant les valeurs de la figure 11.1 pour une houle de période T = 12s, et d’indidence θ = 20◦ , la
hauteur maximale avant déferlement était 2, 3 m, ce qui donne, avec γ = 0, 4 une décote de 6 cm.
Dans la zone de déferlement, le flux d’énergie n’est plus conservé et la hauteur des vagues est limitée
par la profondeur, en gros 2a = Hv = γD et donc
E = ρgγ 2 D2 /8.
(11.8)
1/2
On peut aussi faire l’approximation de l’eau peu profonde kD << 1 et donc Cg = (gD)
rad
=
Sxx
2
3
ρgγ 2 h + ζ
16
ce qui donne
(11.9)
qui équilibre le gradient de pression hydrostatique
qui se simplifie en
avec
et s’intègre en
∂
∂ζ
3 2
h+ζ =− h+ζ
γ 2 h+ζ
16
∂x
∂x
∂ζ
∂h
= −B
∂x
∂x
−1
1
B = 1+ 2
3γ /8
ζ = −Bh + A0 .
(11.10)
(11.11)
(11.12)
(11.13)
La constante A0 est donnée par la condition au point de déferlement, de profondeur hd , et
ζ = −B (hd − h) + ζ d .
(11.14)
(hd − h) étant positif dans la zone de déferlement, on a une surélévation du niveau moyen, une surcôte
de vague (wave set-up), qui est maximale à la côte. En réutilisant les valeurs numériques ci-dessus (houle
incidente de hauteur 2 m), on a pour h = 0, à la côte, ζ = 26 cm.
Cette surcôte s’ajoute à la marée, aux surcôtes de tempêtes et à l’effet de baromètre inverse, et peut
être très importante pour l’érosion côtière, ou les inondations, comme à Venise où les grosses vagues
134
correspondent aux vents du Sud et tous ces effets s’additionnent. Son effet au large est par contre très
faible car le gradient de pression lié à la pente de la surface exerce une force considérable quand il est
intégré sur de grandes profondeurs (Ardhuin et coll. 2004). De plus, dans un océan stratifié il semble que
ce soit plutôt le mode barocline qui soit excité par certains effets des vagues.
Près de la plage les vagues ne sont jamais tout à fait uniformes le long de la plage, et des différences de
hauteurs de vagues suivant (Oy) créent un gradient de surcôte le long de la plage, et donc une circulation
le long de la plage qui explique le transport de sable derrière les ouvrages de protection (formation de
tombolos...). Mais ce n’est pas la seule source de circulation le long de la plage.
11.2.3
Courant littoral et instabilités
Nous avons, pour le moment seulement, utilisé l’équation (11.1) pour la composante x de la quantité
de mouvement. Lorsque les vagues sont uniformes dans la direction (Oy) mais ont un angle d’incidence
θ, l’équation (11.15) pour la composante y donne
rad
∂Sxy
= τy,s + τy,f
∂x
(11.15)
et
Cg
sin θ cos θ.
(11.16)
C
Or sin θ/C est conservé par la loi de Snel, et le d’énergie flux vers la plage = ECg / cos θ est conservé... en
dehors de la zone de déferlement seulement. Il ne se passe donc rien de plus à cause des vagues hors de la
rad
zone de déferlement (on a déjàmis en évidence la décôte) car Sxy
y est constant. Par contre, dans la zone
rad
de déferlement, Sxy diminue si sin θ > 0 et augmente si sin θ < 0 vers la plage et donc la divergence de
S rad induit une force qui pousse l’eau le long de la plage. Puisque nous sommes dans un cas stationnaire
et en négligeant la tension de vent τy,s , seule la tension au fond peut maintenir l’équilibre, et comme elle
est en général dans le sens opposé au courant moyen V , le courant moyen est vers les y > 0 si sin θ > 0.
En prenant une loi de friction quadratique instantanée
rad
Sxy
=E
T (t) = −Cf |(U + u)| (U + u)
(11.17)
on montre facilement (Longuet-Higgins, 1970) que pour |V | << |u| et de faibles valeurs de θ, la tension
devient
(11.18)
τy,f = −ρCf |u| (V + v)
où V est le courant moyen suivant (Oy) et (u, v) est la vitesse orbitale des vagues au fond.
u
=
|u| =
τy,f = −ρCf
gD
cos (kx − ωt)
2C
gD
πC
gD
V
πC
(11.19)
(11.20)
(11.21)
et donc V, le courant moyen le long de la plage est donné par
V =−
πC ∂ (ECg cos θ) sin θ0
.
ρCf gD
∂x
C0
(11.22)
Ce courant, la dérive littorale, peut être très intense, de l’ordre de 1 m s−1 , et son orientation moyenne
dépend du climat de vagues, déterminant le transport de sable le long de la plage.
L’équation (11.22) est le modèle de Thornton et Guza (1986), qui utilise la dissipation d’énergie des
vagues ∂ECg cos θ/∂x prévue par le modèle de transformation des vagues de Thornton et Guza (1983),
décrit au début de ce chapitre. En revenant à nos vagues H = 2 m, T = 12 s et θ0 = 20◦ , on trouve une
valeur maximale du courant de 2 m s−1 (voir figure 11.1). Ce modèle comporte assez de paramètres ‘libres’,
en particulier Cf (on peut ‘bidouiller’) pour permettre de reproduire les observations. Les premières
vérifications furent faites lors de l’expérience NSTS (Nearshore Sediment Transport Study) en 1980, sur
les plages de Torrey Pines (au Nord de San Diego) et Leadbetter (Santa Barbara). L’hypothèse |V | << |u|
faite par Longuet-Higgins (1970) pour la forme paramétrée de la tension est assez dérisoire car pour une
couche limite oscillante (chapitre 3), la tension n’est plus tout à fait quadratique, cela n’a pas empêché
135
11.2. DÉCÔTE ET SURCÔTE
déferlement
groupe de vagues
z=0
Onde longue liée
vitesse de propagation = vitesse des groupes
niveau moyen,
z=z
NB: L'échelle verticale est fortement exagérée
Fig. 11.2 – Ondes longues liées aux groupes de vagues
Thornton et Guza (1986) d’étudier en détail l’effet de la non-linéarité de τy en fonction de V quand
V ∼ |u|. On peut améliorer le modèle en ajoutant une diffusion horizontale de quantité de mouvement
qui réduira un peu les gradients de V . Beaucoup de travail a aussi été fait récemment sur le mécanisme
exact du transfert de quantité de mouvement entre les vagues et le courant. Il a en particulier été mis en
évidence que le ”rouleau” (le paquet d’écume transporté par une vague qui déferle) pouvait jouer le rôle
d’un ”tampon à quantité de mouvement” et retarder le transfert entre les vagues et le courant.
11.2.4
Dérive de fond
On vient de voir que, dans ce chapitre, la description de la couche limite au fond était assez sommaire,
or pour des applications au transport sédimentaire, la représentation des vitesses au voisinage du fond
est très importante. Les oscillations des vagues au dessus de la couche limite et la non-linéarité des
contraintes peuvent forcer un courant au dessus de la couche limite (Longuet-Higgins, 1953) dans le sens
de propagation des vagues (voir aussi Mei, 1989, chapitre 9).
11.2.5
Ondes longues
Afin de compléter la description de la circulation littorale et notre bestiaire des processus hydrodynamiques, il convient de souligner que les conditions de vagues et de courants ne sont pas homogènes
dans le temps (présence de groupes de vagues) et dans l’espace. La présence des groupes de vagues induit
des oscillations du niveau moyen en vertu de (11.6) : au large, en absence de déferlement, là où les vagues
sont hautes, le niveau moyen est plus bas, et il est plus élevé là où les vagues sont plus petites (figure
11.2). On a donc une vague de très grande longueur d’onde (la longueur d’onde du groupe de vague) qui
se propage avec les vagues incidentes, à la vitesse des groupes (Longuet-Higgins et Stewart, 1962). Cette
onde longue est une onde liée, ce n’est pas une onde libre qui suit la relation de dispersion.
Ces ondes longues forcées par les vagues furent mises en évidence pour la première fois par Munk
(1949) et appelées ‘surf beat’ par leur effet de modulation sur le déferlement. Ces ondes longues sont
aussi appelées ondes infragravitaires de part leur très basse fréquence (‘infragravity waves’). Elles sont
fortement amplifiées sur la plage, en particulier au niveau du jet de rive (‘swash’), et peuvent y dominer
la variance de l’élévation de la surface. Leur effet est important dans la zone de déferlement à cause de
leur relation de phase avec les groupes de vagues incidents : les creux de ces ondes longues induisent une
vitesse vers le large qui coincident avec les grosses vagues qui remettent en suspension les sédiments. Ces
ondes sont fortement réfléchies par la plage alors que les groupes de vagues incidents avec lesquels elles se
propageaient y sont dissipé. Après réflexion ces ondes se propagent alors sous la forme d’onde libres, avec
leur propre vitesse de phase, donnée par la relation de dispersion linéaire. Elles sont en grande partie
piégée par la réfraction et se propagent donc en partie comme des ondes de coin le long de la côte.
Enfin, car il faut bien s’arrêter quelque part, le courant de dérive littoral forcé par les contraintes de
radiation est lui-même instable à cause de son fort cisaillement, et ses méandres génèrent des oscillations
(Oltman-Shay et coll., 1989) de très grande période (‘far infragravity waves’). Le courant de dérive est
136
aussi fortement couplé à la bathymétrie et est la source des courants de baı̈ne (‘rip currents’), dirigés
vers le large.
Chapitre 12
Modélisation numérique spectrale
des états de mer
La modélisation numérique des états de mer est aujourd’hui largement répandue pour des applications
très variées : sécurité de la navigation, dimensionnement d’ouvrages côtiers, de navires, étude de la
stabilité des plages, loisirs nautiques. Or, bien souvent, les logiciels de calcul sont utilisés sans une
véritable connaissance de leur limitations, de leurs qualités et de leur défauts.
Ce chapitre traite des modèles spectraux à phase moyennée, développées dans la lignée des premiers
modèles spectraux océaniques de Gelci et al. (1957). Ce type de modèle est susceptible de prendre bien
des formes, et est généralement indiqué pour la simulation statistique des états de mer de l’échelle globale
à l’échelle de la zone de déferlement, avec toutefois une limitation majeure : il convient d’éviter ce type
de méthode dans des environnements portuaires où la réflexion et la diffraction introduise une forte
variabilité des agitations associées aux phases des vagues. Or justement, les modèles spectraux dont il
sera question ici ne prévoient pas les phases.
Le problème de l’ingénieur est généralement d’obtenir la meilleure qualité du résultat, avec des moyens
(temps calcul, investissement personnel) les plus réduits possible. Ces deux contraintes sont souvent
contradictoires, et pousse donc à faire des compromis. Quels sont donc les facteurs de qualité et de coût
des différentes méthodes ?
Pour la qualité :
– il faut avoir à l’esprit tout d’abord que, les vagues étant générées par le vent, et se propageant dans
un milieu caractérisé par une bathymétrie, des courants et des obstacles (trait de côte, couverture
de glace ...), la qualité de ces paramètres de forçage est déterminante.
– Ensuite, il a beaucoup été question aux chapitres précédents de processus physique et de ”terme de
source” dans le bilan spectral d’énergie et d’action. Le réalisme et la robustesse de ces paramétrage
est donc aussi très importante. Beaucoup d’erreurs des modèles sont dues à de mauvais paramétrage.
Et, si aucun n’est parfait, certains sont clairement meilleurs. Il faut bien réaliser que des paramétrages
empiriques ne peuvent être valables que dans la gamme de paramètres où ils ont été calibrés et
validés. A l’heure actuelle, aucun paramétrage de la dissipation des vagues n’est calibré pour fonctionner correctement en présence de forts courants.
– Enfin, alors que l’on pourrait croire résoudre le bilan spectral de façon exacte, il ne faut pas se
leurrer : les méthodes numériques choisies peuvent avoir un effet très important sur la solution. Il
faut donc être conscient de leurs limitations. Ainsi il ne peut y avoir de méthode implicite d’ordre
élevé qui soit positive et monotone. Ainsi l’utilisation de schémas implicite, comme dans le code
SWAN, permet des pas de temps très grands, et donc un temps de calcul réduit, mais elle a un
prix : la diffusion numérique.
La qualité d’ensemble du résultat dépend donc des choix, explicites ou implicites, dans ces trois
domaines : forçage, paramétrages, méthodes numériques, ces dernières peuvent aussi inclure les méthodes
d’assimilation. Dans tous ces domaines, les choix les plus complexes ne sont pas forcément les meilleurs, et
le choix optimal dépend beaucoup de la configuration à traiter (simulation à grande échelle, propagation
côtière avec ou sans courants ...).
Toutefois, on n’a souvent pas trop de choix : tel code est imposé parce qu’il fait partie d’une chaı̂ne de
modélisation ou bien parce qu’il est plus facile à mettre en oeuvre, ou bien parce qu’il donne un résultat
plus rapidement. Cela n’est pas forcément très grave. Par contre il convient d’avoir conscience de ce que
cela implique en terme de qualité du résultat.
137
138
CHAPITRE 12. MODÉLISATION NUMÉRIQUE SPECTRALE DES ÉTATS DE MER
1992-1993
1993-1994
1994-1995
1995-1996
1996-1997
1997-1998
1998-1999
1999-2000
2000-2001
2001-2002
2002-2003
2003-2004
2004-2005
2005-2006
6
Mean RMSE (m/s)
5
4
3
2
1
0
24
48
72
96
120
144
168
192
216
240
Forecast range (hrs) (forecasts from 12 UTC)
Fig. 12.1 – Moyenne des erreurs en moyenne quadratique (root mean square error) sur la vitesse du
vent par rapport aux mesures de bouées en mer, en fonction de l’échéance de prévision. 0 correspond à
c
l’analyse, qui comprend généralement les mesures des bouées. Tiré de Janssen (2008, Elsevier).
Par ailleurs, les paramétrages sont généralement ajustés aux forçages et aux schémas numériques.
Changer le forçage, par exemple utiliser les vents fournis par le Centre Européen (CEPMMT ou ECMWF
en anglais)au lieu de ceux du service météorologique des Etats-Unis (le National Center for Environmental
Prediction - NCEP - , qui dépend de la National Ocean and Atmosphere Administration - NOAA) peut
avoir des effets assez inattendus. En effet les vents du NCEP sont en moyenne 0.5 m/s plus forts que
ceux du CEPMMT, et les statistiques des vents extrêmes sont elles aussi très différentes.
Enfin, les modèles ne sont généralement bons que pour les paramètres sur lesquels ils ont été validés
et dans les intervales de valeurs où ils ont été validés. Ainsi prévoir que la hauteur significative centenaire
au large de la Bretagne est de 18 m sur la base d’un modèle qui n’a été validé que jusqu’à 14 m est une
réelle extrapolation. Les phénomènes extrêmes sont très mal compris et les paramétrages et les forçages
dans ces cas peuvent très bien se révéler insuffisants. Toutes ces questions sont l’objet de ce chapitre.
12.1
Forçages
12.1.1
Champs de vents : analyses, prévisions, ré-analyses
Là où le scientifique ira généralement chercher ce qu’il y a de mieux, l’ingénieur doit souvent faire
avec ce qu’il a. Pour le vent, les meilleures analyses et prévisions à l’échelle globale sont actuellement
fournies par le CEPMMT, disponible depuis début 2008 à une résolution de 0.25 degré par pas de 3h.
Il peut tout de même être prudent de vérifier la qualité d’autres sources, par exemple en consultant
les statistiques compilées dans le cadre de la vérification des modèles par le JCOMM, disponible sur le
site internet http ://www.jcomm-services.org/Wave-Forecast-Verification-Project.html, voir par exemple Bidlot
(2008).
En effet, sur certaines régions les analyses et prévisions d’autres centres météorologiques peuvent s’avérer
meilleures, comme c’est le cas pour le U.K. Met Office et le NCEP en océan Indien, et pour Météo-France dans
certaines régions de la mer du Nord (figure 12.2).
Ces analyses et prévisions ont fait d’énormes progrès lors des 15 dernières années (figure 12.1 Janssen, 2008),
du fait de l’accroissement de la puissance de calcul, qui permet une plus haute résolution (qui est passée de
près de 150 km à 25 km environ), des paramétrages atmosphériques plus complexes, des systèmes d’assimilation
plus sophistiqués (4D-VAR) et des observations beaucoup plus perfectionnées et en beacoup plus grand nombre
(profileurs radar et lidar sur les satellites ...).
Du coup, les séries temporelles issues des modèles atmosphériques opérationnels ne sont pas homogènes,
et le rejeu d’évènements passés fait plus souvent appel à des ré-analyses : les modèles actuels sont utilisés
pour reproduire le passé... la seule source d’inhomogénéité est alors le champ d’observations, assimilé lors de
la ré-analyse. La question de l’homogénéité temporelle de la qualité du forçage est déterminante pour étudier
139
12.2. ASPECTS NUMÉRIQUES
(a)
(b)
(b)Ensemble des 56 bouées
Echéance de prévision (jours)
(c)
(d)
(c) bouées de l'Atlantique Nord-Est
(d) bouées de l'Océan Indien
Fig. 12.2 – Moyenne des erreurs en moyenne quadratique sur la vitesse du vent U10 par rapport aux
mesures de bouées en mer, en fonction de l’échéance de prévision, pour la période juin-août 2008. La
carte indique les position des bouées ou la comparaison est faite. Les différentes courbes correspondes
à différents centre de prévision : ECMWF, U.K. Met Office, FNMOC (Marine des Etats-Unis), Service
Météo Canadien, NOAA/NCEP, Météo-France, Deutscher Wetterdienst (DWD), Australian Meteorological Bureau, SHOM (qui utilise les analyses et prévisions du CEPMMT), Japanese Meteorological
Agency (JMA), Korean Meteorological Agency (KMA), Puertos del Estado (qui utilise les vents analysés
et prévus par l’institut national de météorologie en Espagne). Figures réalisées par Jean Bidlot du CEPMMT, pour le site internet du JCOMM.
les évolution climatiques. De nombreux efforts on été fait pour améliorer cette homogénéité. Dans le cas de la
réanalyse ERA40 du CEPMMT, on peut citer Caires et Sterl (1979) qui ont développé une méthode de correction
de ERA40 à partir d’observations.
12.1.2
vents côtiers
En zone côtière ou dans les bassins fermés entourés de montagnes, comme la rive nord de la Méditerranée, les
vents issus des modèles globaux sont souvent peu précis du fait de la difficulté à résoudre les échelles pertinentes,
comme le montre la figure 12.3 (Cavaleri et Bertotti, 2006). Il peut donc être tentant d’utiliser des modèles à
maille plus fine. Mais attention, la qualité de ceux-là dépend beaucoup de celle du modèle parent dans lequel ils
sont emboı̂tés. Il est parfois préférable de corriger le biais d’un modèle de grande échelle plutôt que d’emboı̂ter
un modèle fin dans un modèle grossier moins bon (Signell et al., 2005).
12.1.3
vents observés
Par ailleurs, les progrès de la télédétection fond que des champs de vent (vitesse et direction) à une résolution
de 12.5 km sont désormais disponible partout toutes les 12h. Cette fréquence est insuffisante pour forcer un
modèle de vagues (6h est suffisant), mais plusieurs organismes, dont l’Ifremer, proposent des vents ”mélangés”
qui bouchent les trous entre deux observations à partir de modèles. Il existe encore peut d’études sur la simulation
des vagues avec ce type de champ de vent. Enfin, l’imagerie radar à synthèse d’ouverture permet d’obtenir des
vents à une résolution de l’ordre de 500 m. L’analyse statistique de ce type de mesures doit permettre d’affiner
des champs de vents plus grossier, ce qui peut être intéressant en zone côtière.
12.2
Aspects numériques
12.2.1
Choix de la méthode
La propagation de l’énergie, aux effets près de la diffraction qui est généralement négligeable, peut être
représentée de manière exacte par un tracé de rayons. La propagation étant linéaire, ils suffit de calculer les
fonctions de tranfert des spectres entre le large et la côte. En absence de variation importante du niveau d’eau
140
Fig. 12.3 – Vent et hauteur des vagues moyens obtenu à différentes résolutions par le modèle du CEPMMT et dans différentes régions du monde (Hémisphère nord, tropiques, hémisphère sud, Méditerranée).
Les résolutions des grilles Gaussiennes de troncature T106, T213, T319, T511, T639, et T799 correspondent à 188, 94, 63, 39, 31, et 25 km. Les valeurs ont été normalisées par celles obtenues avec la grille la
c
plus grossière. Figures tirées de Cavaleri et Bertotti (2006, Elsevier).
(faible marnage, moins de 2 m) et pour des courants inférieurs à 50 cm/s, on peut généralement considérer les
rayons comme fixes, et donc les précalculer une bonne fois pour toutes. Le modèle est alors extrêment peu coûteux
en temps calcul. Ainsi dans les régions ou la propagation est le phénomène dominant, comme pour les plateaux
continentaux étroits en dehors de la zone de déferlement (Californie, côte d’Azur), un bon tracé de rayons est
souvent le meilleur modèle possible et aussi le moins coûteux (O’Reilly et Guza, 1991; Magne et al., 2007). Le
fait de négliger la génération locale par le vent est peu gênant si le fetch dans le domaine conduit à de faible
modifications de la houle provenant du large. Quant à la zone de déferlement, si elle est confinée près de la côte
(sans hauts fonds au large) on peut s’en tirer en limitant à postériori la hauteur significative en fonction de la
profondeur.
Quand on ne peut pas faire cette simplification, il faut alors intégrer le bilan spectral d’action ou d’énergie
donné par l’équation (9.42). En prenant N fréquences (de l’ordre de 30) et M directions (de l’ordre de 30 aussi)
pour la discrétisation spectrale, on a M × N équations d’advection couplées entre elles par le terme source S,
chacune étant dans un espace à deux dimensions d’espace, avec une intégration dans le temps.Il s’agit d’un type de
problème relativement classique en physique, avec quelques spécificités. En particulier, ici la vitesse de transport
Cg + U dépend de l’espace et éventuellement du temps. Si l’on considère une situation typique avec un maillage
régulier de 100 par 100 points, ou un maillage irrégulier de 10000 noeuds, nous avons donc un problème à 10
millions d’inconnues. Il y a deux grandes approches pour résoudre ce type de système :
– Une résolution globale de l’équation par une méthode itérative : c’est l’approche de Patankar (1980) utilisée
pour les vagues dans le modèle SWAN de Booij et al. (1999).
– Une séparation des équations en advection puis intégration des termes source, qui sont intégrés séquentiellement,
c’est l’approche utilisé dans les modèles WAM (WAMDI Group, 1988), TOMAWAC (Benoit et al., 1996),
WAVEWATCH III (Tolman, 2002d). L’advection peut elle même être séparée en advection spatiale et
advection spectrale (réfraction et changement de nombre d’onde). C’est le cas de WAVEWATCH III en
particulier.
La première approche pose quelques problèmes de principe quand on veut utiliser des schémas numériques
pas trop diffusifs. Un des principaux défauts est que les schémas numériques qui ne sont pas d’ordre 1 (et donc
pas trop diffusifs) sont soit non-linéaires (ce qui rend la résolution itérative quasi-impossible) soit produisent
des oscillations, et donc, potentiellement des valeurs négatives. C’est le théorème de Godunov. Dans le modèle
SWAN ces valeurs négatives sont redistribuées suivant les directions afin de garder un énergie positive partout.
Malheureusement cette procédure introduit une diffusion dans l’espace des directions, ce qui limite l’intérêt du
schéma d’ordre 2 (figure 12.4). Par ailleurs, la résolution de l’ensemble du système d’un bloc alors que les vitesses
d’advection sont très diverses dans les différentes dimensions, peut produire des erreurs numériques importantes,
et la convergence vers la solution exacte peut être très lente.
Pour la deuxième approche, le problème est l’erreur liée à la séparation des modes. Elle tend vers zéro quand
le pas de temps tend vers zéro, mais en pratique elle est finie, et d’autant plus importante que le terme source
SWAN Higher Order Scheme, DX = 1000m
SWAN Higher Order Scheme, DX = 2000m
SWAN BSBT Scheme, DX = 1000m
SWAN BSBT Scheme, DX = 2000m
Ardhuin & Herbers, 4-step, DX = 2000m
Directional spreading [°]
Depth[m]
20
0
15
-50
10
-100
5
-150
0
25
10000
20000
30000
40000
50000 60000
Length [m]
70000
80000
90000
100000
WWM CRD-N1 scheme, DT = 150, DX = 1000m
WWM CRD-FCT scheme, DT = 150, DX = 1000m
WWM CRD-N3 scheme, DT = 150, DX = 1000m
Ardhuin & Herbers, 4-step, dx = 2000m
Directional spreading [°]
WWM CRD-N scheme, DT = 150, DX = 1000m
20
0
15
-50
10
-100
5
-150
Profondeur (m)
25
Analytical results using Snell's law
Profondeur (m)
141
12.2. ASPECTS NUMÉRIQUES
Fig. 12.4 – Mise en évidence de la diffusion numérique sur l’étalement directionnel d’une houle de période
15 s de largeur angulaire 15◦ au large se propageant sur un plateau continental bosselé dont la topographie
est indiquée par la courbe marron (échelle à droite). Trois modèles sont testés, le tracé de rayon partiel
de Ardhuin et coll. (2003) avec des rayons intégrés sur un total de 600 s, le code SWAN avec les schémas
d’ordre 1 et d’ordre supérieur, et le code WWM de Roland (2008) avec un maillage non-structuré et
différents schémas d’advection. Les schémas N1 et N2 sont implicite tandis que les schémas N et FCT
sont explicites avec différents ordres (Abgrall 2006). Ces schémas ont aussi été implémentés dans le code
WAVEWATCH III. Figures tirées de Roland (2008).
142
est une fonction non-linéaire variant rapidement en fonction du spectre ou des dimensions d’espace.
Afin de ne pas utiliser des pas de temps trop petits, l’ensemble des méthodes utilise en général des limiteurs :
le changement du spectre lors de l’intégration est artificiellement limité. Ces limiteurs peuvent avoir un effet très
important sur la solution numérique (Tolman, 2002b). Dans le code SWAN, comme l’ensemble de l’équation est
résolue en même temps le limiteur peut avoir pour effet de limiter la réfraction lorsque le nombre de Courant
devient trop élevé, c’est en particulier le cas pour des vagues sur de forts gradients de courant, il faut donc y
prendre garde.
Enfin, en pratique l’intégration du spectre est généralement limitée à une fréquence diagnostique fd au delà
de laquelle on suppose que le spectre décroı̂t de façon régulière, comme f −5 par exemple. Cette astuce évite
d’avoir à trop réduire le pas de temps pour résoudre les temps d’évolution très rapides des vagues les plus courtes.
Malheureusement, la forme du spectre n’est pas aussi simple, et il vaut mieux de pas prendre fd trop bas. Dans
le modèle WAM du centre Européen, fd est fixé à 2.5 fois la fréquence moyenne fm,0,−1 de la partie du spectre
ou le terme de génération Sin est positif. Ce facteur 2.5 est trop faible si on s’intéresse aux propriétés telles que
la pente moyenne de la surface.
12.2.2
Discrétisation spectrale
Il faut avoir conscience que la fréquence la plus haute fmax dicte la vitesse du vent à partir de laquelle
les vagues pourront se développer. La plupart des modèles de grande échelle prennent fmax = 0.4 Hz, ce qui
correspond à des vagues de 10 m de longueur d’onde. En pratique il n’y aura pas de mer du vent générée si le vent
ne dépasse pas 5 m/s, ce qui arrive assez souvent. La fréquence minimale dépend elle des houles les plus longues
que l’on pense trouver. A l’échelle océanique on prendra fmin vers 0.04 Hz, voire un peu en dessous. Des houles de
25 s de période ne sont pas fréquentes, mais elles existent. Entre fmin et fmax , la discrétisation est généralement
en progression géométrique pour faciliter le calcul des interactions non-linéaires. Un facteur de progression de 1.1
est généralement utilisé. C’est relativement grossier au niveau du pic spectral, mais en pratique cela donne déjà
d’assez bons résultats (voir ci-dessous).
12.2.3
Discrétisation spatiale
Le choix essentiel à ce niveau est entre une grille régulière et une grille irrégulière (par exemple basée sur
un maillage triangulaire ou curvilinéaire). Actuellement les codes les plus utilisés (SWAN, WAVEWATCH III,
TOMAWAC) permettent de faire ces choix. Si la grille régulière est bien adaptée à l’échelle océanique, et facile
à mettre en oeuvre, les grilles irrégulières permettent de gérer efficacement les côtes découpées et bathymétries
complexes (lagunes avec chenaux). L’alternative est l’utilisation de modèles gigognes, qui sont aussi bien adaptés
s’il y a une seule zone d’intérêt où la haute résolution est nécessaire.
12.2.4
Schémas numériques
Le choix des méthodes d’intégration pour l’advection ainsi que pour l’intégration dans le temps des termes
de source est assez important. Les schémas numériques les plus diffusifs, tel que le schéma ”upwind” utilisé au
CEPMMT ont du mal à garder la cohérence des champs de houle loin de leur source (l’énergie est étalée dans
le sens de propagation et aussi dans la direction transverse). Ce problème est complètement résolu en utilisant
des schémas d’ordre 2 ou 3, tel que le ”Ultimate Quickest” implémenté dans le code WAVEWATCH III (Tolman,
2002c). Mais dans ce cas, si on ne le corrige pas on voit apparaı̂tre l’effet d’arroseur de jardin : l’énergie se
propage exactement dans les directions de discrétisation du spectre et aux vitesses de groupe discrétisées. Il faut
donc s’assurer de corriger de cet effet de discrétisation en essayant de paramétrer la largeur spectrale de chaque
composante (Tolman, 2002a)... sinon on trouve des résultats assez esthétiques comme des champs de Hs en forme
de fleur autour d’ouragans, par exemple, et des trous dans les champs de houle loin de leur source.
Par ailleurs l’intégration de terme source S n’est pas anodine non plus. Il semble que les meilleurs résultats
soient généralement obtenus avec une méthode implicite (Hargreaves et Annan, 2000) combiné avec un pas de
temps adaptatif, comme cela est désormais fait dans le code WAVEWATCH III ou dans le code WWM II de
Roland (2008). En pratique, l’intégration est réalisée des termes source est réalisée avec un pas de temps qui
est généralement trop grand pour les très hautes fréquences. Il est d’usage de limiter la croissance du spectre
pour éviter les instabilités numériques, mais cela modifie sensiblement la solution (Tolman, 2002b). Une méthode
beaucoup plus précise, développée dans le code WAVEWATCH III, est de rafiner le pas de temps de façon
adaptative : si le spectre évolue trop vite le pas de temps est diminué.
Enfin, pour contrôler la croissance des hautes fréquences, la plupart des codes écrasent les hautes fréquences
en remplaçant le spectre par une forme en f −n , avec, en général n = 5, à partir d’une fréquence fd , qui est
de l’ordre de F = 2.5 à F = 4 fois la fréquence pic de la mer du vent. Avec le paramétrage TEST401 décrit
ci-dessous, ce facteur peut être porté à F = 10 ce qui permet de calculer plus précisément les énergies des vagues
plus courtes. Mais dans ce cas, il faut permettre au pas de temps d’être plus petit pour suivre l’évolution rapide
de ces composantes.
143
12.3. PARAMÉTRAGES PHYSIQUES
12.3
Paramétrages physiques
Une très grande quantité de paramétrages à été proposée pour les termes Sin et Sds . Certains sont restés à
l’état de concepts et n’ont pas fait l’objet de validation et de calibration très poussées. D’autres sont beaucoup
plus utilisés, mais présentent parfois des défauts conduisant à des erreurs importantes, c’est le cas des termes de
dissipation de la famille de celui de Komen et al. (1984) en présence de houle et de mer du vent (Ardhuin et al.,
2007).
Nous décrirons donc quelques uns de ces paramétrages, et celui qui donne les meilleurs résultats sur l’ensemble
des paramètres décrivant l’état de la mer.
12.3.1
Paramétrage de Sin
Paramétrages semi-empiriques
Afin de prendre en compte ces effets, on peut définir une généralisation du paramétrage de Janssen (1991)
sous la forme,
2
ρa βmax Z 4 u⋆
(12.1)
e Z
+ zα cos2 (θ − θu )σF (f, θ) + Sout (f, θ) ,
Sin (f, θ) =
2
ρw κ
C
avec βmax un coefficient constant de couplage entre le vent et les vagues, κ la constante de von Kármán’s, u⋆
la vitesse de frottement dans l’air, et F (f, θ) le spectre d’élevation. La fonction Z = log(µ) avec µ donné par
Janssen (1991, eq. 16), et corrigée pour les profondeurs intermédiaires, est
Z = log(kz1 ) + κ/ cos (θ − θu ) u/⋆ C + zα
,
(12.2)
avec z1 une longueur de rugosité corrigée par la tension supportée par les vagues τw (pour représenter l’effet
quasi-linéaire), et zα un coefficient de correction de l’âge des vagues censé représenter les rafales. La rugosité
effective z1 est définie de façon implicite par
U10
=
z0
=
z1
=
u⋆
10 m
log
κ
z1
u2⋆
max α0 , 0.0020
g
z0
p
,
1 − τw /τ
(12.3)
(12.4)
(12.5)
où τ est la norme de la tension de vent, et τw en est la partie supportée par les vagues, U10 est le vent à 10 m.
La valeur maximale pour z0 a été ajoutée ici pour réduire les tensions de vent trop fortes que donne le
paramétrage, elle revient à limiter un coefficient de traı̂né à une valeur maximale de 2.8 × 10−3 . Ceci avec
l’utilisation d’une valeur u′⋆ (f ) au lieu de u⋆ dans (12.2) sont les seuls changements faits à la forme donnée par
(Janssen, 1991). Cette vitesse de frottement est modifiée pour représenter l’effet d’abri et réduire le flux d’énérgie
et de quantité de mouvement vers les hautes fréquences
2
u′⋆ (f )
= u2⋆ eθ − |su |
Z
0
f
Z
0
2π
Sin (f ′ , θ′ )
eθ′ df ′ dθ′ , .
C
(12.6)
où eθ′ est le vecteur unitaire de direction θ′ et su est un facteur empirique. Cet effet d’abri est aussi appliqué
dans les tables précalculées qui donnent τ en fonction de U10 and τw /τ .
Le terme de perte d’énergie par frottement est déduit des observations de Ardhuin et coll. (2008) en fonction
du nombre de Reynolds Re= 4uorb aorb /νa , avec uorb et aorb les valeurs significatives des vitesses et déplacements
orbitaux en surface et νa la viscosité de l’air. Pour Re< 105
ρa √
Sout (f, θ) = −s5
2k 2νσ F (f, θ) ,
(12.7)
ρw
avec s5 un coefficient empirique d’ajustement, de l’ordre de 1, sinon, au delà,
Sout (f, θ) = −
avec
ρa 16fe σ 2 uorb /g F (f, θ) ,
ρw
fe = s1 fe,GM + [|s3 | − s2 cos(θ − θu )] u⋆ /uorb ,
(12.8)
(12.9)
où fe,GM est le facteur de frottement donné par la thérie de Grant et Madsen (1979) pour une couche limite
oscillante sur une surface rugueuse. Ici la rugosité est prise égale à zr = 0.04 fois la rugosité pour le vent. Les
paramètres s1 , s2 et s3 sont des paramètres empiriques.
144
Paramètre
α0
βmax
zα
su
s0
s1
s2
s3
Rec
s5
zr
variable dans WWATCH.
ALPHA0
BETAMAX
ZALP
TAUWSHELTER
SWELLFPAR
SWELLF
SWELLF2
SWELLF3
SWELLF4
SWELLF5
Z0RAT
WAM-Cycle4
0.01
1.2
0.0110
0.0
0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
BAJ
0.0095
1.2
0.0110
0.0
0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
TEST405
0.0095
1.55
0.006
0.0
3
0.8
-0.18
-0.15
100000
1.2
0.04
TEST441
0.0095
1.52
0.006
1
3
0.7
-0.18
-0.15
100000
1.2
0.04
Tab. 12.1 – Valeurs des paramètres empiriques pour les paramétrages WAM-Cycle 4, Bidlot et coll.
(2004) et deux versions du paramétrage présenté ici. Le paramètre s0 est un ”interrupteur” qui sert à
activer ou non le calcul du terme Sout
12.3.2
Paramétrage de Snl
Les premiers modèles de prévision des vagues dans les années 1950 et 1960 utilisaient les théories de Phillips
et Miles pour la croissance des vagues et le concept de saturation universelle proposé par Phillips (Pierson et
Moskowitz, 1964) : l’énergie des vagues pour une fréquence donnée était limitée par un niveau de saturation.
Il s’est avéré que la croissance des vagues était largement controlée par les interactions non-linéaires entre les
vagues et que la ”saturation” du spectre était en fait un subtil équilibre entre déferlement, évolution non-linéaire
et génération (Phillips 1985). Les premiers paramétrages de ces effets non-linéaires ont donné les modèles dits
de ”seconde génération” qui sont encore largement utilisés, et un calcul plus réaliste est au coeur des modèles de
”troisième génération” (Groupe WAMDI, 1988).
12.3.3
Paramétrage de Sds
Historiquement les paramétrages de la dissipation développés à la suite de Komen et coll. (1984), dans le
cadre du code WAM, ont utilisé une forme spectrale fixe (ou très peu variable) et un niveau de dissipation défini
pour l’ensemble du spectre par un paramètre de cambrure moyenne. Cela donne donc
k 2
k
+ δ2
N (k, θ)
(12.10)
k
k
est une constante adimensionnelle et δ1 et δ2 sont des poids constants. Le nombre d’onde moyen est défini
Sds (k, θ)WAM = Cds α2 σ δ1
où Cds
par
1/p
R p
k N (k, θ) dθ
R
k=
(12.11)
N (k, θ) dθ
avec p une constante. La fréquence moyenne correspondante est
σ=
R
2
σ p N (k, θ) dθ
R
N (k, θ) dθ
1/p
,
(12.12)
ce qui donne une cambrure moyenne α = Ek . Le problème de ce type de formes est que la dissipation de la mer
du vent peut varier énormément en présence de houle, ce qui n’est jamais observé, et conduit à des résultats peu
réalistes dans certains cas (Ardhuin et coll. 2007). La forme donnée par Bidlot et coll. (2005), avec p = 0.5, est
tout de même le paramétrage le plus testé avec des succès importants.
On peut par contre définir un terme de dissipation à partir de la saturation du spectre (Ardhuin et al., 2008a)
en y ajoutant un effet cumulatif Sds,c (Filipot et al., 2008). Cela donne
sat
Sds
(f, θ)
= σCds
(
0.25 max
2
B (f )
− 1, 0
Br
avec
B ′ (f, θ) = 2π
Z
θ−∆θ
θ−∆θ
+ 0.75 max
2 )
B ′ (f, θ)
− 1, 0
Br
k3 cos2 θ + θ′ F (f, θ′ )/Cg dθ′ ,
B (f, ) = max B ′ (f, θ), θ ∈ [0, 2π[ ,
F (f, θ) + Sds,c (f, θ).
(12.13)
(12.14)
(12.15)
145
12.4. VALIDATION
Paramètre
Cds
p
ptail
δ1
δ2
sat
Cds
Clf
Chf
∆θ
Br
Br2
B0
psat
Cturb
4 ∗ c3
variable dans WWATCH
SDSC1
WNMEANP
WNMEANPTAIL
SDSDELTA1
SDSDELTA2
SDSC2
SDSLF
SDSHF
SDSDTH
SDSBR
SDSBR2
SDSC4
SDSP
SDSC5
SDSC6
WAM-Cycle 4
-4.5
-0.5
-0.5
0.5
0.5
0.0
1.0
1.0
0.0
0.0
1.0
0.0
0.0
0.0
0.0
BAJ
-2.1
0.5
0.5
0.4
0.6
0.0
1.0
1.0
0.0
0.0
1.0
0.0
0.0
0.0
0.0
TEST405
0.0
0.5
0.5
0.0
0.0
−2.4 × 10−5
0.0
0.0
80
1.2 × 10−3
0.8
1.0
2.0
0.0
0.0
TEST441
0.0
0.5
0.5
0.0
0.0
−2.4 × 10−5
0.0
0.0
80
9.0 × 10−4
0.8
1.0
2.0
0.0
0.8
Tab. 12.2 – Valeurs des paramètres pour le terme générique de dissipation, tel que implémenté dans la
version 3.14-SHOM du code WAVEWATCH III
et Br = 0.0009 est le seuil sur B pour l’apparition du déferlement, donné par les observations de Banner et al.
(2000, 2002), une fois prise en compte la normalisation par la largeur spectrale, ici remplacée par le facteur en
cos2 dans la définition de B.
Les paramètres empiriques ont été ajustés pour reproduire les observations de Ardhuin et al. (2007).
Pour le terme cumulatif donné
par 7.22, en s’appuyant sur la figure 7.4 et en approchant la saturation ε de
√
Banner et coll. (2000) par 1.6 B, on suppose alors que la longueur des crêtes (pas nécessairement déferlantes) a
une densité spectrale par unité de surface de l’océan l(k) = 1/(2π 2 k), la densité spectrale des fronts déferlants
est alors Λ(k) = l(k)P (k), giving the qui donne le terme
Sds,c (f, θ)
= −c3 F (f, θ)
R 0.7f R 2π
0
0
56.3
π
× max
np
B(f ′ , θ′ −
√
o
Br , 0
∆C
′
Cg
dθ′ df ′ .
(12.16)
Ici encore c3 est un coefficient empirique d’ajustement.
On peut regrouper les termes de type WAM et le nouveau terme de ”saturation” décrit ici, dans une seule
formulation,
sat
Sds (f, θ) == Sds
+ Clf
1 − S WAM
1 + S WAM
Sds
+ Chf
Sds ,
2
2
(12.17)
le paramètre S étant défini à partir de B
"
S = tanh 10
B (f, θ)
Br
0.5
%
− Br2 ,
(12.18)
et les poids Chf et Clf permettant d’activer ou désactiver le terme de type WAM pour la partie du spectre ou il
est censé y avoir un effet ou pas du déferlement.
Les différences entre le TEST405 et le TEST441 viennent de l’ajout, dans ce dernier, du terme cumulatif,
contrôlé par le paramètre c3 , et de la diminution du terme de génération via l’effet d’abri contrôlé par su . Dans
le paramétrage TEST405 les termes ne sont pas équilibrés au delà de 3 fois la fréquence pic de la mer du vent.
Ce déséquilibre ne pose pas de problème majeur pour un calcul de Hs tant qu’une queue en f−5 est imposée dans
cette région du spectre.
12.4
Validation
12.4.1
Grande échelle
Comme détaillé ci-dessus, la qualité du résultat dépend de la combinaison du forçage, des paramétrages et des
schémas numériques, et certains choix se révèlent plus judicieux pour certaines régions ou certains paramètres. A
grande échelle, le nouveau paramétrage décrit ici, qui a le mérite de correspondre à certaines observations sur le
déferlement, permet de réduire de 2 points environ les erreurs obtenues sur le Hs avec le paramétrage de Bidlot
et coll. (2005) (figure 12.5).
146
9
13
bouée 62163
(au large de
la Bretagne)
11
Hs model (m)
10
bouée 51001
(Nord-Ouest
de Hawaii)
8
Hs model (m)
12
9
8
7
6
7
6
5
4
5
4
3
3
2
2
1
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
observations
NRMSE (%): RMSE:
Bias (%): Corr.(r):
8.8
0.28
1.52
0.985
10.6
0.34
4.40
0.981
11
12
1
13
S. I.(%):
8.7
9.6
2
3
4
5
6
7
observations
NRMSE (%): RMSE:
Bias (%): Corr.(r):
11.3
0.27
2.98
0.950
13.5
0.33
1.81
0.925
8
9
S. I.(%):
10.9
13.3
0.24
fm02 model (Hz)
bouée 51001
(Nord-Ouest
de Hawaii)
0.22
0.20
bouée 51001
(Nord-Ouest
de Hawaii)
fp (Hz)
0.18
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
observations
NRMSE (%):
RMSE:
Bias (%):
0.04
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
observations
Corr.(r):
S. I.(%):
NRMSE (%): RMSE:
Bias (%): Corr.(r):
S. I.(%):
5.8
0.009
0.71
0.9356
5.8
19.1
0.020
0.81
0.686
19.0
7.4
0.012
3.36
0.9197
6.6
26.4
0.028
7.58
0.475
25.3
Fig. 12.5 – Exemple de diagrammes de dispersion des erreurs pour le modèle WAVEWATCH III à la
bouée Météo-France - UK Met Office 62163, au large de la Bretagne et à la bouée 51001 de la NOAA,
au Nord-Ouest de Hawaii, pour l’année 2007.
Deux simulations ont réalisées avec le paramétrage de Bidlot et al. (2005), actuellement utilisé au CEPMMT, et le paramétrage décrit ici, actuellement utilisé par le SHOM. Le forçage est donné par les
analyses vents CEPMMT toutes les 6 h, à partir des analyses de 00h et 12h et les prévisions à 6h des
cycles de 00h et 12h. Ici le ”scatter index” (SI) est l’erreur en moyenne quadratique (RMSE) normalisée
(NRMSE) calculée après soustraction du biais. Toutes les observations sont moyennées sur 3 heures afin
de réduire l’incertitude des mesures qui est de l’ordre de 10% pour un intervalle de 1 h.
147
Erreur moyenne normalisée (%)
Biais en cm
12.4. VALIDATION
Fig. 12.6 – Erreurs (bias et NRMSE) du modèle WAVEWATCH III à 0.5 degrés de résolution, forcé par
les analyses CEPMMT avec le paramétrage décrit ici, constatées en 2007 par rapport aux mesures des
trois altimètres JASON-1, ENVISAT et GFO (analyse réalisée par Pierre Queffeulou).
Ces erreurs, pour le Hs , un des rares paramètres pour lequel on a des observations globales sont représentatives
des grands bassins océaniques (figure 12.6). On remarque de plus fortes erreurs relatives dans les bassins fermés
(Méditerranée, Golfe du Mexique, mer du Japon, archipel Indonésien), mais la résolution du modèle y est probablement insuffisante.
Pour la prévision opérationnelle, les résultats peuvent être améliorés en assimilant des observations, en particulier les mesures altimétriques de Hs , et les spectres directionnels de houle mesurés par le SAR. Cette assimilation
a un impact assez limité dans le temps (en gros sur les 24 premières heures pour l’altimètre), en effet les prévisions
du CEPMMT sont à peine meilleures que celles du SHOM sur l’ensemble des bouées, en particulier parce que
le modèle du CEPMMT à une meilleure résolution spatiale et que beaucoup de bouées sont assez proches de la
côte. Les deux modèles utilisent les mêmes vents (à 40 km de résolution et toutes les 10 minutes pour CEPMMT,
à 0.5 degré de résolution et toutes les 6h pour le SHOM), le CEPMMT assimile des données altimétriques alors
que le SHOM ne fait aucune assimilation. Par contre l’impact de la dissipation de la houle est très sensible, en
particulier dans l’océan Indien ou sur la côte ouest des Etats-Unis, où la qualité des prévision du SHOM dépasse
celle des prévisions du CEPMMT pour des échéances supérieures à 48h (figure 12.7).
12.4.2
Zone côtière
La qualité des résultats en zone côtière est beaucoup plus difficile à obtenir et à interpréter. Outre les incertitudes sur les spectres au large, il faut rajouter des effets liées au courants, souvent plus forts près des côtes, le
frottement sur le fond, etc. Pour des côtes assez découpées, les résultats à la côte sont très sensible aux directions
au large (directions moyennes et étalement angulaire) du fait des effets d’abri et de forte réfraction. Ainsi sur
la figure 12.9, on peut constater que la tempête du 5 mai 2004 (Hs = 5.3 m à Iroise) est bien atténuée aux
148
(a)
(b) Ensemble des 56 bouées
(d)
(c) bouées de l'Atlantique Nord-Est
(d) bouées de l'Océan Indien
Fig. 12.7 – Moyenne des erreurs en moyenne quadratique sur la hauteur significative Hs par rapport
aux mesures de bouées en mer, en fonction de l’échéance de prévision, pour la période juin-août 2008.
La carte indique les position des bouées où la comparaison est faite. Les différentes courbes correspondes
à différents centre de prévision : ECMWF, U.K. Met Office, FNMOC (Marine des Etats-Unis), Service
Météo Canadien, NOAA/NCEP, Météo-France, Deutscher Wetterdienst (DWD), Australian Meteorological Bureau, SHOM (qui utilise les analyses et prévisions du CEPMMT), Japanese Meteorological
Agency (JMA), Korean Meteorological Agency (KMA), Puertos del Estado (qui utilise les vents analysés
et prévus par l’institut national de météorologie en Espagne). Figures réalisées par Jean Bidlot du CEPMMT, pour le site internet du JCOMM. Les prévisions et analyses du SHOM ont été réalisées avec le
paramétrage TEST405.
Blancs Sablons (Hs = 1.2 m), et complètement absente à Bertheaume (Hs = 0.4 m). Cet effet est normal car
il s’agit d’une tempête de nord-ouest. Au contraire, le 25 avril, les vagues d’ouest sont très peu atténuées à
Bertheaume, et beaucoup plus faibles aux Blancs Sablons. Différents modèles numériques peuvent donner des
résultats sensiblement différents. Tout d’abord on peut remarque qu’un calcul de propagation seule (modèle de
réfraction-diffraction), sans prise en compte de la génération locale par le vent, est déjà assez précis. Ensuite, il
est probable que l’effet de des courants, négligés dans ce calcul soit assez important.
12.4.3
Paramètres ”exotiques”
Outre les paramètres usuels tels que Hs , Tp ... un modèle d’état de mer peut servir à calculer bien d’autres
grandeurs : pentes de la surface, tension de vent, tension au fond, source de micro-séismes ... Mais qu’en est-il de
la qualité de l’estimation de ces paramètres ? Pour ceux qui sont sensible à la partie haute fréquence du spectre,
comme la dérive de Stokes en surface, les paramétrage de la dissipation de type WAM (y compris Bidlot et coll.
2005) donnent en général des résultats assez médiocres (figure 12.10). La raison de la modification du paramétrage
”TEST405” pour créer le ”TEST441” était justement l’amélioration de la haute fréquence. Avec le TEST405, la
dissipation à haute fréquence était trop faible, d’où l’ajout du terme cumulatif associé à une réduction du terme
de génération via le coefficient d’abri su . Le seul défaut trouvé pour l’instant dans le TEST441 est qu’il conduite
à une sous-estimation assez forte les Hs quand ceux-ci dépassent les 8 m. Ainsi, suivant la finalité recherchée, on
peut avoir intérêt à choisir un paramétrage ou un autre, en attendant que tout ceci s’améliore encore.
149
12.4. VALIDATION
Blancs Sablons
Bertheaume
Iroise
Fig. 12.8 – Exemples de carte de hauteur des vagues en mer d’Iroise, calculée avec la version nonstructurée du code WAVEWATCH III (schéma CRD-N de Csik), et, pour un autre jour, avec un modèle
de propagation linéaire (refraction-diffraction). On retrouve les mêmes structures. On remarque que les
conditions aux limites au large sont supposées homogènes dans le modèle de réfraction-diffraction.
150
Si
8
360
RMSE:
0.454
0.566
0.330
0.419
Bias (%):
15.28
17.93
3.95
0.92
Corr.(r):
0.9719
0.9497
0.9639
0.9358
S. I.(%):
12.6
16.9
13.8
18.3
Direction moyenne (deg)
NRMSE (%):
19.8
24.7
14.4
18.3
Hs (m)
6
Iroise
4
2
0
NRMSE (%):
49.8
25.4
39.2
18.2
RMSE:
0.371
0.189
0.292
0.136
Bias (%):
32.17
12.23
19.08
6.15
Corr.(r):
0.9638
0.9562
0.9587
0.9579
340
std. dev. (deg):
5.830
7.946
21.575
7.900
320
Iroise
300
280
260
240
13/4 15/4 17/4 19/4 21/4 23/4 25/4 27/4 29/4 1/5 3/5 5/5 7/5
Jours (2004)
4
S. I.(%):
38.0
22.3
34.3
17.2
NRMSE (%):
21.0
57.2
18.3
38.7
3
RMSE:
0.206
0.561
0.180
0.379
Bias (%):
12.94
49.61
3.18
28.69
Corr.(r):
0.9486
0.9345
0.9381
0.9281
S. I.(%):
16.5
28.4
18.0
25.9
3
Hs (m)
Bertheaume
Hs (m)
Bias (deg):
0.51
1.62
2.34
0.92
220
13/4 15/4 17/4 19/4 21/4 23/4 25/4 27/4 29/4 1/5 3/5 5/5 7/5
Jours (2004)
4
RMSE (deg):
5.881
8.165
21.162
8.025
2
Blancs Sablons
2
1
1
0
0
Observations
Hs (m):
11
10
9
8
7
6
5
4
321
0
5
10
15
U10 (m/s)
20
Ussnd(0.36 Hz) (m/s)
Fig. 12.9 – Evaluation de modèles de propagation en mer d’Iroise
En haut, résultats pour la bouée Iroise en termes de hauteur (Hs), et direction moyenne. En violet le
calcul est fait avec la version non-structurée du code WAVEWATCH III utilisant le paramétrage décrit
ici, en bleu par tracé de rayons forcés par le spectre calculé en un point au large d’Ouessant avec le
même paramétrage, en orange avec WAVEWATCH III non-structuré et le paramétrage de Bidlot et coll.
(2005) et en rouge par tracé de rayons à partir d’un spectre calculé avec le paramétrage de Bidlot et coll.
(2005). On constate un assez bon accord général. En bas, comparaisons entre observations aux bouées
Bertheaume et Blancs Sablons (voir figure 12.8).
25
Modèle avec
TEST441
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
5
10
15
U10 (m/s)
20
25
0
modèle avec
Bidlot et al. (2005)
5
10
15
U10 (m/s)
20
25
Fig. 12.10 – Estimation de la dérive de Stokes en surface pour les vagues de fréquence inférieure à 0.36 Hz
au large de la côte nord-ouest des Etats-Unis (bouée 46005). Il a été supposé que toutes les vagues se
propagent dans la même direction (en pratique la directionnalité réduit ces valeurs d’environ 15%), ce
qui donne une dérive ”non-directionnelle” Ussnd . Les valeurs observées et modélisées ont été classées par
groupes de hauteur de vagues et de vitesse du vent. La valeur moyenne de chaque classe est indiquée
en ordonnée et les barres noires représentent la moitié de la déviation standard dans chaque classe. On
voit donc que plus de 90% de la variance de Ussnd est expliquée par le vent et la hauteur significative. Le
modèle avec paramétrage de Bidlot et al. (2005), à droite, reproduit très mal la variabilité observée.
Chapitre 13
Effets de la nonlinéarité des états de
mer
13.1
Analyse dimensionnelle et importance des non-linéarités
Reprenons donc l’équation d’onde complète pour des ondes irrotationnelles, établie au chapitre 2,
∂φ
∂ζ ∂ 2 φ
∂2φ
+g
= g∇φ · ∇ζ −
−
2
∂t
∂z
∂t ∂z∂t
∂
∂ζ ∂
+
∂t
∂t ∂z
h
∇φ · ∇φ +
i
∂φ ∂φ
+ C ′ (t),
∂z ∂z
pour
z = ζ.
(13.1)
Avant d’essayer de résoudre cette équation compliquée, une question s’impose : faut-il vraiment garder tous
ces termes ? Il faut donc faire l’analyse dimensionnelle de (2.15), ce qui demande de choisir des échelles de temps
et d’espace.
Nous allons étudier des ondes, qui sont logiquement caractérisées par une longueur d’onde L = 2π/k, leur
période T , et leur amplitude a. Par ailleurs la profondeur D = h + ζ intervient via la condition à la limite au
fond. Enfin, la gravité g est constante et relie donc les échelles de temps aux échelles d’espace. A ce propos on
peut rappeler la loi de Reech-Froude : si on change l’échelle de temps du problème d’une facteur α, alors l’échelle
d’espace change d’un facteur α2 , et l’échelle de vitesse change d’un facteur α.
On peut donc mettre de côté l’échelle de temps, toujours reliée aux échelles d’espace par g, et notre problème
ne dépend plus que de différents rapports entre les échelles d’espace, comme on a trois échelles a, k et D, on peut
former deux rapports indépendants à choisir parmi la cambrure ε1 = ka, l’amplitude relative à la profondeur
ε2 = a/D, et la profondeur adimensionnelle µ = kD. La combinaison des deux derniers donne le nombre d’Ursell,
Ur = ε2 /µ2 (Ursell, 1953). On utilise généralement ε1 et U r. On verra ci-dessous qu’un nombre de Froude
α = ga/C 2 avec C la vitesse de phase des vagues, peut aussi être intéressant (Kirby, 1998).
Nous allons maintenant devoir utiliser (2.15) ce qui demande une analyse dimensionnelle. Nous suivons ici le
raisonnement de Kirby (1998). Posons x′ = k0 x, y ′ = k0 y, t′ = k0 C0 t, ζ ′ = ζ/a, ce qui donne φ′ = φ/φ0 avec
φ0 = Cα/k et le nombre de Froude pour les vagues α = ga/C 2 . Pour la coordonnée verticale on se donne une
échelle Z, donc z ′ = z/Z. La condition à la limite en surface (2.15) devient donc
∂ 2 φ′
∂t′2
+
g
a ∂ζ ′ ∂ 2 φ′
∂φ′
= α∇φ′ · ∇ζ ′ −
Z ∂t′ ∂z ′ ∂t′
Zk02 C02 ∂z ′
− 1+
akC ∂ζ ′ ∂
Z ∂t′ ∂z ′
α ∇φ′ ·
∂∇φ′
1 ∂φ′ ∂ 2 φ′
+ 2 2 ′ ′ ′
′
∂t
k0 Z ∂z ∂t ∂z
+
C ′ (t)
,
φ0 k02 C02
pour
z′ =
a ′
ζ.
Z
(13.2)
Si l’on choisit Z = 1/k, alors α = a/Z = ε1 et il suffit de prendre ε1 ≪ 1. Si on choisit plutôt Z = D, alors il
faudra aussi supposer ε2 = a/D ≪ 1. En supposant, à la fois ε1 ≪ 1 et ε2 ≪ 1 on peut donc négliger les termes
du membre de droite de (13.2). Il conviendra de vérifier ensuite que la solution vérifie bien ces hypothèses.
13.2
Houle régulière d’amplitude finie
13.2.1
Théorie de Stokes pour les faibles non-linéarités
Du fait de l’advection, les conditions à la limite en surface pour l’équation de Laplace qui décrit le mouvement
des vagues (2.15) sont non-linéaires, et contiennent des produits de dérivées de l’élévation de surface ζ et du
potentiel des vitesses φ. Par ailleurs, un autre type de non-linéarité apparaı̂t quand on fait un développement
151
152
CHAPITRE 13. EFFETS DE LA NONLINÉARITÉ DES ÉTATS DE MER
en série des dérivées verticales, en suivant la méthode de Hasselmann (1962), pour ramener l’équation (2.15) de
z = ζ, qui est inconnu, à z = 0, qui est fixe, cela traduit l’effet que pour les vagues courtes, la présence des
vagues plus longues a l’effet d’une modulation du niveau moyen. Tous les termes non linéaires sont faibles pour
des vagues réelles en eau profonde, dont la pente ε est limitée par le déferlement, et donc ils agissent comme des
corrections aux solutions linéaires. En eau peu profonde, la hauteur de la vague reste inférieure à la profondeur,
mais la correction est plus importante.
On écrit donc la solution générale des équations comme une série en puissance de ε, pour le potentiel cela
donne
(13.3)
φ = εφ1 + ε2 φ2 + ε3 φ3 + O ε3 .
φ1 est solution des équations linéarisées (équations à l’ordre 1 en ε) c’est-à-dire (2.16), et donc φ1 est une
superposition d’ondes planes monochromatiques telles qu’elles ont été déterminées au chapitre 1 :
φ1 =
X cosh (kz + kh)
cosh (kh)
k,s
Φs1,k e
t ei(k·x−sσt) ,
(13.4)
avec σ et k qui vérifient la relation de dispersion linéaire (2.23). La variation de Φs1,k sur la grande échelle de
temps e
t n’est pas contrainte par les équations à l’ordre 1 (les amplitudes Φs1,k sont constantes à l’ordre 1), mais
permettra de satisfaire les équations aux ordres supérieurs.
Il faut maintenant déterminer les solutions aux ordres supérieurs qui prennent en compte les termes nonlinéaires et vont faire évoluer les amplitudes dans le temps, et donc le spectre de l’énergie des vagues. A l’ordre
1 en ε, on a la même équation d’onde pour φ2 , mais elle est forcée par un terme supplémentaire dans le membre
de gauche, issu du développement autour de z = 0, et quatre à droite, issus des termes non-linéaires de (2.15) :
∂ 2 (φ1 )
∂ 3 (φ1 )
∂ (φ2 )
∂ 2 (φ2 )
+ gζ1
+ ζ1
+g
= g∇φ1 ·∇ζ1
2
2
∂t
∂z∂t
∂z
∂z 2
−
∂∇φ1
∂φ1 ∂ 2 φ1
∂ζ1 ∂ 2 φ1
− ∇φ1 ·
−
∂t ∂z∂t
∂t
∂z ∂t∂z
à z = 0.
(13.5)
On remplace alors φ1 et ζ1 qui sont connus (reliés par la relation de polarisation (2.26)) pour obtenir une
équation d’onde forcée,
X X
∂ (φ2 )
∂ 2 (φ2 )
2
1
ei[(k1 +k2 )·x−(s1 σ1 +s2 σ2 )t] ,
Φs1,k
D (k1 , k2 ) Φs1,k
=
+g
2
1
∂t2
∂z
(13.6)
k1 ,s1 k2 ,s2
φ2 vérifie l’équation de Laplace et la condition cinématique au fond, et sa composante de Fourier Φ2,k pour le
nombre d’onde k a donc une structure verticale du même type que φ1 en cosh (kz + kh). La transformée de
Fourier spatiale de (13.6) donne donc
∂ 2 Φ2,k
+ gk tanh (kh) Φ2,k =
∂t2
X
2
1
ei−(s1 σ1 +s2 σ2 )t ,
Φs1,k
D (k1 , k2 ) Φs1,k
2
1
(13.7)
k1 +k2 =k,s1 ,s2
et les coefficients de Fourier Z2,k de ζ2 en sont déduit via le développement à l’ordre 2 de la condition cinématique
en surface,
X
1 ∂Φ2,k
2
1
Z2,k = −
e−i(s1 σ1 +s1 σ1 )t .
(13.8)
+
Φs1,k
G (k1 , k2 ) Φs1,k
2
1
g ∂t
k1 +k2 =k,s1 ,s2
où les coefficients de couplage D (k1 , k2 ) et G (k1 , k2 ) sont donnés par Phillips (1960) pour le cas de l’eau profonde
(kh ≪ 1), et Hasselmann (1962) pour les profondeurs intermédiares :
D (k1 , k2 )
=
i (s1 σ1 + s2 σ2 ) [k1 k2 tanh (k1 h) tanh (k2 h) − k1 ·k2 ]
−
G (k1 , k2 )
=
i
2
s1 σ1 k22
cosh2 (k2 h)
+
s2 σ2 k12
cosh2 (k1 h)
(13.9)
,
1 k1 ·k2 − g −2 s1 s2 σ1 σ2 σ12 + σ22 + s1 s2 σ1 σ2 .
2g
(13.10)
L’équation d’oscillateur forcé (13.7) ne peut conduire à une résonance car la relation de dispersion est telle
que σ (k1 + k2 ) 6= σ (k1 ) + σ (k2 ) sauf dans la limite de l’eau peu profonde kh → 0, ou pour des vagues de
gravité-capillarité. En dehors de ces deux cas, les solutions de second ordre sont donc des vagues d’amplitude
limitée et elles sont liées aux solutions du premier ordre. Ces variations d’amplitudes causées par des interactions
non-résonnantes peuvent donner lieu a des échanges temporaires d’énergies entre les différentes composantes aussi
appelées récurrences (Fermi, Pasta et Ulam 1955).
On remarque que si l’on a une seule composante de vecteur d’onde k0 à l’ordre 1, donc une vague monochro+
matique d’amplitude a = 2Z1,k
, avec Φ+
1,k0 = −iag/ (2σ) et
0
φ1 =
cosh (k0 z + k0 h)
+
i(k0 ·x−σ0 t)
+ Φ1,k0 e−i(k0 ·x−σ0 t) ,
Φ+
1,k0 e
cosh (k0 h)
(13.11)
153
13.2. HOULE RÉGULIÈRE D’AMPLITUDE FINIE
1.5
vague lineaire
vague de Stokes
1
ζ
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
kx −ωt
4
5
6
7
Fig. 13.1 – Profils comparés d’une vague linéaire d’Airy et d’une vague de Stokes au second ordre.
alors on a :
φ2 =
cosh (2k0 z + 2k0 h)
+
i(2k0 ·x−2σ0 t)
Φ+
+ Φ2,2k0 e−i(2k0 ·x−2σ0 t) + 2Φ+
2,0
2,2k0 e
cosh (2k0 h)
avec
Φ+
2,2k0
=
=
et
D (k0 , k0 )
Φ+
1,k0
2
σ 2 (2k0 ) − 4σ02
2
3iσk cosh (2kh)
,
Φ+
1,k0
4g sinh3 (kh) cosh (kh)
Φ+
2,0 = 0,
(13.12)
(13.13)
(13.14)
(13.15)
qui donnent
+
Z2,2k
= a2
0
k cosh (kh) [2 + cosh (2kh)]
,
32 sinh3 (kh)
(13.16)
et
σ2 2 (13.17)
k tanh2 (2kh) − 1 .
2
g
Il s’agit là du premier terme de correction de l’amplitude des vagues linéaires dans la série qui décrit une houle
de Stokes de second ordre (figure 13.1).
Les harmoniques sont en phase avec le mode fondamental (linéaire), ce qui donne (Dean et Dalrymple, 1991),
+
Z2,0
= a2
ζ
=
u
=
[2 + cosh (kD)]
cos [2k (x − Ct))]
4 sinh3 (kD)
cosh (kz + kD)
cosh (2kz + 2kD)
3
ωa
cos [k (x − Ct))] + k2 a2 C
cos [2k (x − Ct))]
sinh (kD)
4
sinh4 (kD)
a cos [k (x − Ct))] + ka2
(13.18)
(13.19)
On remarque que la vitesse associée aux vagues est plus importante sous les crêtes que sous les creux.
Par ailleurs, la vitesse de phase est aussi modifiée. En eau profonde on a (Stokes, 1880)
C = gk 1 + k2 a2 .
(13.20)
A partir de l’ordre 5, le calcul devient assez complexe. On utilise plutôt la théorie de Dean (1965), basée
sur la fonction de courant (plutôt que le potentiel), qui permet de calculer numériquement les coefficients du
développement.
Cette houle de Stokes est instable et produit spontanément des ondes plus courtes et plus longues avec
lesquelles elle échange de l’énergie de manière récurrente, c’est l’instabilité de Benjamin-Feir (1967, voir aussi
Chalikov 2007). Ainsi la houle de Stokes n’existe pas en réalité. Pour ak > 0.13 certaines des vagues irrégulières
issues de l’instabilité évoluent vers des formes toujours plus cambrées jusqu’à déferler.
13.2.2
Méthodes de calcul des houles régulières d’amplitude finie
Le calcul par approximations successives tel que développé par Stokes, n’est faisable ”à la main” que jusqu’à
l’ordre 5 environ (De 1955). Au-delà, plusieurs méthodes numériques ont été développées par Dean (1965),
Schwartz (1974), entre autres. Longuet-Higgins et Fenton (1974) ont montré que l’énergie ou la vitesse de phase
154
(a)
0.5
0
-0.5
-0.5
z (m)
0
-1
-1.5
0
z (m)
1
0
-1
-2
-3
0
z (m)
0
2
(b)
0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5
2
x (m)
2.5
3
-2
3.5
0
1
2
x (m)
3
4
(c)
5
10
15
20
5
10
15
20
x (m)
25
30
35
40
45
25
30
35
40
45
(d)
0
-2
Fig. 13.2 – Profils de vagues calculés avec la méthode de Dean et Dalrymple à l’ordre 60, pour une
profondeur de 3 m. (a) et (b) sont des vagues de 1.5 s de période, correspondant à kD ≃ 5 ce qui les
situe en eau profonde, tandis que (c) et (d) sont des vagues de 8 s de période. (a) et (c) sont des vagues
de non-linéarité intermédiaire (umax /C ≃ 0.3) tandis que (b) et (d) sont quasiment les vagues les plus
hautes, sur le point de déferler (umax /C ≃ 0.97).
croissent pas de manière monotone avec la hauteur de la vague, et donc le paramètre ak est assez mal choisi pour
caractériser la non-linéarité des vagues les plus pentues.
La méthode de Dean a été étendue par Dalrymple (1974) pour des vagues en présence d’un courant variant
linéairement du fond à la surface, cas dans lequel l’équation de Laplace est encore vérifiée. Cette méthode itérative
estime les coefficients de Fourier du potentiel des vitesses en minimisant l’erreur faite sur la condition cinématique
à la surface. En pratique cette méthode est simple à programmer et permet d’obtenir des solutions jusqu’à 100
harmoniques (ou plus) pour des vagues dont la vitesse orbitale à la crête umax atteint 98% de la vitesse de phase
C. Cette méthode, programmée en Matlab a été utilisée pour obtenir la figure 13.2. Lorsque umax s’approche de
C, en particulier pour les faibles profondeurs kD < 0.3, la convergence vers la solution devient plus délicate.
Cokelet (1977) a défini comme petit paramètre
2
2
qcrest
qtrough
ǫ= 1−
C4
1/2
(13.21)
avec qcrest et qtrough les vitesses à la crête et au creux, respectivement, dans le référentiel se déplaçant avec la
vague (qcrest = umax − C = 0 pour une vague d’amplitude limite). Ce paramètre est clairement compris entre 0
et 1 et permet un développement limité en puissance de ǫ.
13.2.3
Cinématique des houles d’amplitude finie
Les houles d’amplitude finie se caractérisent par une asymétrie (par rapport à un plan horizontal) entre les
crêtes et les creux : les creux sont plus plats et les vitesses sont plus faibles que les crêtes. La vague la plus
cambrée possède même un point anguleux à sa crête, avec un angle de 120◦ et la vitesse des particules fluides y
atteint la vitesse de phase. Dans le référentiel se déplaçant avec la vague, on y trouve un écoulement de coin avec
un point d’arrêt à la crête.
Les conséquences de ces propriétés sont multiples. En particulier la vitesse de phase, l’énergie et la dérive
de Stokes sont légèrement plus importantes (entre 5 et 10% en eau profonde) que ce que prévoit la théorie
linéaire (Cokelet 1977). Il convient donc d’être prudent et, si une grande précision est nécéssaire, de calculer les
solutions périodiques d’amplitudes finies afin de se faire un idée des erreurs. Par exemple, dans la limite de l’eau
peu profonde, la dérive de Stokes en surface peut dépasser plusieurs fois la valeur donnée par la théorie linéaire
(Ardhuin et coll. 2008).
155
13.2. HOULE RÉGULIÈRE D’AMPLITUDE FINIE
13.2.4
Propriétés intégrales
Certaines relations sont vérifiées de manière exacte pour toute houle périodique de longueur d’onde L. Nous
reprenons ici les résultats énoncés par Cokelet (1977). En choisissant z0 tel que −h < z0 < min(ζ) (profondeur
toujours sous dans l’eau), on (re-)définit,
M
=
C
=
Mw
=
1
L
1
L
Z
Z
L
ρw ζdx = ρw ζ,
(13.22)
ρw u(x, z0 )dx = ρw u,
(13.23)
0
Z
L
0
ζ
ρw udz,
(13.24)
−h
Ec
Ep
=
=
1
2
Z
Z
ζ
ρw (u2 + w2 ) dz,
(13.25)
−h
ζ
ρw gzdz,
(13.26)
ζ
Sxx
=
Z
ζ
(p + ρw
u2 ) dz
−h
F
=
Z
ζ
−h
u2b
=
1
L
Z
h
0
p+
−
Z
ζ
pH dz
−h
=
Z
ζ
−h
(p + ρw u2 ) dz −
1
ρw gD2 ,
2
i
1
ρw (u2 + w2 ) + ρw g (z −z eta) udz,
2
L
u2 (x, −h, t) dx.
(13.27)
(13.28)
(13.29)
Dans le référentiel en mouvement avec les vagues, trois grandeurs suivantes sont indépendantes de x. Il s’agit du
flux de masse par unité de longueur,
−Q =
Z
ζ
−h
ρw (u − C) dz = −ρw Cd.
(13.30)
La profondeur d représente une profondeur fictive d’un écoulement permanent à la vitesse de phase C et dont le
débit serait égal à celui du train de vagues. Un écoulement permanent qui aurait la même profondeur et débit
aurait par contre une vitesse
cm = −
1
d+ζ
Z
ζ
−h
u − Cdz = Cd/D.
(13.31)
Les deux autres grandeurs indépendantes de x sont la pression dynamique
R=
p
1 +
(u − C)2 + w2 + (z + h)
ρw g
2g
(13.32)
et le flux de quantité de mouvement par unité de longueur
S=
Z
ζ
−h
p + (u − C)2 dz.
(13.33)
On a alors les relations intégrales suivantes, valables pour toute houle périodique d’amplitude finie,
Mw
=
2Ec
=
Sxx
=
F
=
K
=
R
=
S
=
ρw CD − Q,
(13.34)
CM w − ρw C,
(13.35)
4Ec − 3Ep + ρw u2b + ρw C 2
1
C (3Ec − 2Ep ) + u2b (M w + ρw CD) + CCQ
2
M
2
+ u2b + C 2 ,
ρw
1
K + h,
2
1
Sxx − 2CM w + D C 2 + D ,
2
(13.36)
(13.37)
(13.38)
(13.39)
(13.40)
où K est la constante de Bernouilli, qui est reliée à la condition dynamique à la surface (pression constante),
K = (u − C) + w2 + 2ζ
pour
z=ζ
(13.41)
156
1.3
1.25
1.15
M
w,nonlin
/M
w,lin
1.2
1.1
1.05
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
H/D
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
tanh(kD)
Fig. 13.3 – Rapport du transport de masse pour une vague d’amplitude finie et de la valeur donnée par
la théorie linéaire. Les calculs ont été réalisés avec la méthode de Dalrymple (1974) avec des ordres de
80 à 120.
13.2.5
Correctifs aux vagues d’Airy
Sur la base des résultat numériques pour les vagues périodiques d’amplitudes finies irrotationnelles sur fond
plat, l’on peut proposer des corrections pour différentes quantités. Ainsi la figure 13.3 montre la correction à
apporter au transport de masse Mw calculé par la théorie linéaire en fonction du rapport hauteur sur profondeur
H/D et de la profondeur adimensionnelle kD.
13.3
Théorie nonlinéaire pour la houle aléatoire
La non-linéairité des vagues aléatoires aboutit à plusieurs effets sur le spectre des vagues. Tout d’abord, le
transfert d’énergie entre composantes ’libres’ est décrit par la théorie de Hasselmann (1960) déjà présentée au
chapitre 6.
13.3.1
Relation de dispersion
Par ailleurs la relation de dispersion est modifiée. Cet aspect est particulièrement important pour la mesure
de courants à partir de la relation de dispersion (radar HF ou autres techniques). Barrick et Weber (1977) ont
montré que pour des vagues de nombre d’onde kB et de direction θB , la correction de second ordre par rapport
à la relation de dispersion linéaire est, en eau profonde (Broche et al., 1983; Ardhuin et al., 2008c),
Z Z
√
g 3/2 ∞ 2π
F (x, α)E(f, θ)dθdf,
(13.42)
k
C2 (kB , θB ) =
2 B 0
0
où, si on définit, y = x1/2 = f /fB and a = cos α,
F (x, α) = y {2a − y + 3xa}+y
X
ε=±1
ε−a
(ya − x) aε + (1 + εy)2 /2 + (1 + εy) (1 + εxa + εy (x + εa) − aε ) ,
2
aε − (1 + εy)
avec
(13.43)
aε = 1 + x2 + 2εxa
3/2
1/2
.
1/2
(13.44)
Pour x < 1, alors F (x, 0) = 4x , et pour x > 1, F (x, 0) = 4x
(Longuet-Higgins et Phillips, 1962). En
général F (x, α) ≃ F (x, 0) cos α, avec les erreurs les plus importantes pour x = 1, où F (x, α) > F (x, 0) cos α pour
|α| < π/3, ce qui peut donner une erreur de 2 to 5% par rapport à l’approximation F (x, α) ≃ F (x, 0) cos α.
13.3. THÉORIE NONLINÉAIRE POUR LA HOULE ALÉATOIRE
13.3.2
157
Harmoniques
Comme pour des vagues périodiques, le fait qu’il n’y ait pas d’interactions résonnantes (pour les vagues de
gravité) à l’ordre 2, permet de calculer de manière explicite le spectre des harmoniques, qui est une correction
nonlinéaire du spectre. Plusieurs méthodes ont été développées, mais certaines sont incomplètes car, pour être
cohérent, il faut non seulement prendre en compte les termes du type Φ22,2 (k) qui résultent du produit d’amplitudes
de vagues linéaires Φ21 (k′ )Φ21 (k − k′ ), mais aussi les termes du type Φ3,1 (k)Φ1,1 (k) avec Φ3,1 (k) les amplitudes
d’ordre 3. C’est justement ce qu’avait oublié de faire Weber et Barrick (1977).
Les solutions correctes sont fournies par Creamer et al. (1989) et Janssen (2009). Cette dernière approche
est bien adaptée à la modélisation numérique : en faisant travailler le modèle sur les variables canoniques que
sont les amplitudes modifiées par la transformation de Krasitskii (1994), on obtient les harmoniques par un posttraitement des spectres résultats pour revenir dans l’espace des variables naturelles, avec les harmoniques. Ce
type d’approche est utile pour calculer des efforts sur des structures en mer ((e.g. Prevosto et Forristall 2002).
Il semble que la théorie n’est pas encore tout à fait au point pour appliquer cette méthode dans des conditions
de profondeur et courant variable, mais elle suggère une alternative interessante au calcul (faux) des interactions
de 3 vagues dans les modèles à phase moyennée.
158
Chapitre 14
Houles et bruit sismique
14.1
Génération de bruit sismique par une houle partiellement
stationnaires
Miche (1944c) a été le premier a mettre en évidence une bizarrerie de la pression de second ordre : en présence
d’ondes stationnaires les vagues génèrent une variation de pression qui est homogène dans l’espace et fluctue dans
le temps. On ne peut donc pas supposer que la fonction C(t) dans (2.10) est nulle : ce n’est généralement pas le
cas.
Prenons donc deux ondes progressives d’élévations a cos(kx − σt)/2 et a cos(kx + σt)/2, se propageant, respectivement, dans les directions x > 0 et x < 0. La superposition donne l’onde stationnaire,
ζ = a cos(kx) cos(σt).
sinh(kz + kD)
w = −aσ
cos(kx) sin(σt).
sinh(kD)
(14.1)
(14.2)
(14.3)
La pression moyenne à la profondeur z est donnée en prenant la moyenne sur une longueur d’onde de (9.11)
p(z) = ρw g(ζ − z) + ρw
∂
ζw(ζ) − ρw w2 .
∂t
(14.4)
Les deux termes non-hydrostatique donnent la correction
pN H (z) = −
ρw a2 σ 2
2
cos(2σt) +
sinh2 (kz + kD)
sinh2 (kD)
.
(14.5)
Le second terme et constant et décroit avec la profondeur, alors que le premier a une période moitié des ondes
progressives mais est uniforme.
Cette variation de pression peut s’interpréter comme
R ζ la force nécessaire à compenser les fluctuations de
quantité de mouvement verticale par unité de surface −h ρwdz ≃ ρζw(ζ), qui n’existent que dans des ondes
stationnaires pour lesquelles w et ζ ont une correlation spatialle qui n’est pas nulle.
Au delà d’une onde purement stationnaire, ces fluctuations de pression peuvent aussi être calculées pour un
état de mer aléatoire. Ce travail a été fait par Hasselmann (1963). Rigoureusement le champ de pression n’est
ζ Fig. 14.1 – Positions successives de la surface libre dans une onde stationnaire pendant une demi période.
T est la période des ondes progressives.
159
160
CHAPITRE 14. HOULES ET BRUIT SISMIQUE
Fig. 14.2 – Relation entre signal sismique et houle côtière.
En haut à droite, diagramme de dispersion des hauteurs significatives mesurées à la bouée NDBC 46013,
au large de San Francisco, comparées au hauteurs significatives du déplacement vertical sismique, enregistrés à la station BKS. En haut à gauche : exemple de spectres en fréquences à deux instants mesurés
à 46013 et BKS, on voit l’excellente correspondance des formes spectrales à la fréquence double pour le
signal sismique. En bas, série temporelle de hauteurs significatives mesurées à 46013 et reconstruite à
partir du signal sismique à BKS. Tiré de Bromirski et al. (1999).
pas uniforme et il faut considérer la compressibilité de l’eau : le champ de pression est constitué d’ondes sonores
forcées par les vagues. On calcule ainsi le spectre de pression SP (2f ), à la fréquence f2 = 2f , double de celle, f ,
des ondes progressives,
Z 2π
ρ2 g 2
E(f, θ)E(f, θ + π)dθ,
(14.6)
SP (f2 ) = w2 (2πf )3
2cson
0
où cson est la vitesse du son dans l’eau. Ce signal peut se mesurer par grand fond, et on y voit tout le spectre des
vagues, y compris les ondes capillaires (Farrell et Munk, 2008).
Ces ondes sonores peuvent ensuite exciter différents modes propres du guide d’onde terrestre, en particulier les
ondes (sismiques) de Rayleigh. Ainsi le “bruit de fond” enrigistré par les sismographes en absence de séismes est
essentiellement causé par ce phénomène, et il se mesure très bien pour des périodes de 4 à 10 s. Les sismographes
sont d’ailleurs les seuls instruments assez sensibles pour détecter les très longues vagues qui précèdent l’arrivée
de houles énergétiques. On observe aussi des modes propres terrestres forcés de la même manière par les ondes
longues infragravitaires Webb (2007).
Parce qu’il faut des vagues de direction opposée, la source des bruit sismique est souvent clairement associée
à la zone côtière : les vagues incidentes se superposent aux vagues partiellement réfléchies par la côte. On peut
alors relier l’amplitude des vagues à l’amplitude du signal sismique. Ainsi le sismographe large bande de Berkeley,
à l’est de la baie de San Francisco a un signal très proche de la houle mesurée dans le Pacifique, au large de San
Francisco (figure 14.2).
Chapitre 15
Compléments sur la génération des
vagues par le vent
15.1
Théorie de Phillips : de la tubulence du vent à l’énergie
des vagues
En supposant que la turbulence du vent est advectée sans modification par un vent moyen U (uniforme sur
la verticale et dans la direction de l’axe des x pour simplifier), Pa est de la forme Pa (x − U t) (c’est l’hypothèse
de G. I. Taylor, la turbulence est ”gelée”). Cela correspond à σ ′′ = k·U .
Pour une pression atmosphérique dont le spectre turbulent est continu,
Pa =
X
ka
Πka cos [ka (x − U t) + αka ] ,
(15.1)
ζ est donné par la superposition de solutions de la forme de (5.11) déphasées de αka . Cette superposition est
dominée par les composantes qui sont proches de la résonance. L’énergie de chaque composante croı̂t initialement
comme t2 , mais la largeur de la bande de fréquence pour laquelle cette croissance a lieu diminue en 1/t. Le calcul
montre que l’énergie des vagues augmente linéairement avec t (eq. 5.14).
On peut alors ajouter des variations suivant y de la fluctuation de pression Pa . Dans ce cas des modes propres
de la surface sont excités avec des nombres d’onde ky non-nuls : ces vagues se propagent dans une direction
différente de la direction du vent, donné par la condition de résonance
σ/kx = U,
(15.2)
qui exprime l’égalité de la composante σ/kx , suivant l’axe des x, de la vitesse de phase des vagues et de la vitesse
du vent U . Phillips a aussi ajouté les effets de la tension de surface dans sa théorie, en utilisant la relation de
dispersion des vagues de gravité-capillarité. Malheureusement, les valeurs mesurées du spectre des fluctuations
de pression turbulente sont insuffisante pour expliquer la croissance des vagues.
15.2
Couplage vent-vagues
Si la croissance linéaire de l’énergie des vagues donnée par la théorie de Phillips (1957) peut expliquer le début
de la croissance des vagues, au bout d’un certain temps on ne peut plus supposer que le vent est uniforme car il
est modifié par la présence des vagues, au moins au voisinage de la surface. Miles (1957) a mis en evidence un
mécanisme de croissance des vagues qui découle de cette modification. Cette théorie a été étendue par la suite par
Fabrikant (1976) et appliquée par Janssen (1991). La théorie apparaı̂t bien vérifiée, au moins qualitativement,
pour les vagues telles que C > U10 /3. Pour les vagues plus lentes, il est probable que l’effet d’abri proposé par
Jeffreys, en particulier en cas de décollement de l’écoulement d’air, soit important (Giovanangeli et coll. 1999).
Belcher et Hunt (1993) ont montré qu’un effet comparable peut aussi se produire en absence de décollement, sous
l’effet des variations des propriétés turbulentes.
Dans tous les cas le couplage vent-vagues fait intervenir une modification induite par les vagues de la pression
et/ou de la tension de cisaillement dans l’air, de la forme dP a = ρw gβdZ. (voir eq. 5.16).
15.2.1
Equation de Orr-Sommerfeld ou de Rayleigh
La vorticité inhérente au cisaillement vertical du vent oblige à généraliser l’équation de Laplace. Le même
problème se pose dans l’étude des ondes internes, avec des applications très importantes en météorologie pour le
161
162
CHAPITRE 15. COMPLÉMENTS SUR LA GÉNÉRATION DES VAGUES PAR LE VENT
Fig. 15.1 – Ecoulement dans l’air et niveau critique : mesures de Hristov et coll. (2003).
A gauche, une photo de la plateforme de recherche FLIP et un schéma de l’écoulement de l’air au dessus
des vagues, dans un référentiel fixe. A droite, solutions numériques de l’équation de Orr-Sommerferld
et observations des variations de l’amplitude et de la phase des vitesses pour des vagues de fréquence
environ 0.7 fp : la vitesse des composantes dont les propriétés sont mesurées est indiquée sur le spectre
c
en bas à droite (Nature
Publishing Group).
paramétrage du ralentissement des vents au dessus du relief. En considérant d’abord le cas ou le vent et les vagues
sont dans la même direction, on utilise la propriété de divergence nulle pour définir une fonction de courant ψ
pour la vitesse induite par les vagues, telle que u = −∂ψ/∂z et w = ∂ψ/∂x. En suivant Miles (1957) on se fixe
le profil de vitesse U (z) du vent moyen, uniforme en x, et on note ses dérivées premières et secondes U ′ et U ′′ .
En supposant que |u, w| ≪ U , on peut négliger les termes quadratiques en u et w, y compris les tenseurs de
Reynolds, et on a l’équation du mouvement,
ρa
∂u
∂u
+U
+ wU ′
∂t
∂x
∂w
∂w
ρa
+U
∂t
∂x
=
=
∂p
∂x
∂p
− .
∂z
−
(15.3)
(15.4)
La gravité n’apparait pas : il suffit de redéfinir la pression comme la pression moins la pression hydrostatique.
En utilisant la fonction de courant et en cherchant une solution qui se propage à la vitesse C comme l’élévation
b ik(x−Ct)
de la surface ζ = aeik(x−Ct) . On a donc ψ = ψe
ρa (U − C)
b
∂ψ
b
− U ′ψ
∂y
b
ρa k2 (U − C) ψ
=
p
(15.5)
=
∂p
.
∂z
(15.6)
(15.7)
Classiquement on élimine la pression et on trouve l’équation de Rayleigh, aussi appelée équation de Orr-Sommerfeld,
b′′ − k2 ψb −
ψ
U ′′ b
ψ=0
U −C
(15.8)
L’équation de Rayleigh décrit la propagation horizontale d’une onde dans un milieu cisaillé verticalement.
Elle sera ainsi utilisée pour étudier l’effet d’un courant variant sur la verticale, et elle est aussi appliquée pour les
ondes internes. On remarque qu’elle diffère de l’équation de Helmholz (2.18) par son dernier terme qui présente
une sigularité pour U = C. Pour un vent variant logarithmiquement U = u⋆ /κ ln(z/z0 ) jusqu’à atteindre U∞
au niveau z∞ , il existe, pour C < U∞ un niveau ”critique” zc tel que U (zc ) = C où l’équation de Rayleigh est
singulière.
163
15.2. COUPLAGE VENT-VAGUES
Afin de déterminer le taux de croissance adimensionnel β, il suffit de se rendre compte que (15.5) nous donne
une perturbation de pression qui peut être mise sous la forme de l’équation (5.15) et de reconnaı̂tre que β est
donné par la partie imaginaire de (15.5).
b donné par l’équation de Rayleigh. Cette
Miles (1957) a montré que β s’obtenait par intégration verticale de ψ
intégrale est alors dominée par la singularité au niveau critique zc et il obtient une expression approchée, en
b décroit comme e−kz ,
supposant que ψ
β = −π
U ′′ (zc ) 2
k
U ′ 3 (zc )
Z
∞
zc
e−kz
dz
(U − C)2
2
.
(15.9)
La croissance des vagues est donc largement déterminée par la forme du profil du vent U (z) au voisinage du
niveau critique zc défini par U (zc ) = C. L’équation (15.9) permet de calculer le taux de croissance β si on connaı̂t
le profil du vent.
15.2.2
Interprétation de Lighthill : Force de vortex
Si le mécanisme de départ est assez clair (les fluctuations de pression en surface), les calculs aboutissant à une
valeur de β obscurcissent un peu comment cette corrélation pression-pente des vagues apparaı̂t. Lighthill (1962) a
proposé une inteprétation relativement simple du résultat de Miles (1957). Le vent a un profil vertical de vitesse
U (z) tel qu’à la surface, il est égal à la vitesse oscillante des vagues. En négligeant la diffusion (turbulente ou
visqueuse), la vorticité de l’écoulement bidimensionnel,
Σ=
∂U
∂w
−
,
∂z
∂x
(15.10)
est conservée par toute particule. On peut écrire l’accélération dans les équations d’Euler come la somme d’un
gradient de pression totale
1
ptot = p + ρ U 2 + w2
(15.11)
2
et d’une force de vortex (−ρΣw, ρΣU ) :
∂U
∂t
∂w
ρ
∂t
ρ
=
=
∂ptot
∂x
∂ptot
ρΣu −
∂z
−ρΣw −
(15.12)
(15.13)
En moyenne sur une longueur d’onde (notée h·i), (15.12) donne
ρ
∂ hU i
= −ρ hΣwi .
∂t
(15.14)
La vorticité Σ est simplement égale à U ′ (z) pour un écoulement non-perturbé par les vagues, et sa valeur diminue
avec z si l’on suppose, avec Miles (1957), U ′′ (z) < 0. En présence de vagues qui perturbent l’écoulement par un
déplacement des lignes de courant, les variations de Σ sont donc essentiellement dues à une variation de l’altitude
des particules. Si on fait un développement en série de Σ autour de z0 , avec h = z − z0 on a
Σ = U ′ (z0 ) + hU ′′ (z0 ) + O h2
et donc
(15.15)
∂ hU i
= −ρU ′′ (z0 ) hhwi .
(15.16)
∂t
Puisque la circulation de l’air résultant de la présence des vagues est advectée avec la vitesse de phase C, l’air
à tous les niveaux, excepté le niveau ”critique” z = zc où U = C, est déplacé de manière à peu près sinusoı̈dale
avec une fréquence
U (z) − C
,
(15.17)
L
où L est la longueur d’onde des vagues. Pour de telles oscillations sinusoı̈dales, le déplacement vertical h et la
vitesse verticale w sont en quadrature et la moyenne de leur produit est nul. Pour des vents plus rapides (en
altitude, où l’on peut négliger l’effet des vagues) que la vitesse de phase C des vagues il existe donc un niveau
”critique” zc où U (zc ) = C. Juste au dessus de z = zc , une particule d’air qui se trouve à la verticale d’une crête
de vague la dépasse, mais avant de se retrouver au dessus du creux de vague suivant son altitude diminue pour
se trouver légèrement en dessous de z = zc car les lignes de courant sont perturbées par la présence des vagues.
Du coup, la particule d’air est lentement rattrapée par la crête de vague qu’elle vient de doubler et se retrouve à
sa position initiale par rapport au train de vagues. Mais à z = zc une particule d’air se déplace à la même vitesse
que les vagues, si bien qu’une particule qui monte continue de monter et inversement et hhwi est non-nul. w est
de la forme
U (z) − C
w = w0 (z) cos 2π
t ,
(15.18)
L
ρ
164
CHAPITRE 15. COMPLÉMENTS SUR LA GÉNÉRATION DES VAGUES PAR LE VENT
h est donc
U (z) − C
w0 (z) L
sin 2π
t ,
2π [U (z) − C]
L
(15.19)
∂ hU i
π
= ρLU ′′ (zc ) w02 (zc ) δ (z − zc ) ,
∂t
4
(15.20)
h=
et (15.16) devient
ρ
où on a utilisé
sin σt
= πδ (σ) .
(15.21)
σ
Pour U ′′ (zc ) < 0, la quantité de mouvement est perdue par l’air, au profit des vagues, et correspond à un gain
d’énergie Sin (”in” pour ”wind INput”) égal à C fois cette perte :
lim
t→0
Sin =
π
ρCLU ′′ (zc ) w02 (zc ) ,
4
(15.22)
ce qui est une autre manière d’écrire (15.9). Il ne reste plus qu’á déterminer w0 qui est la perturbation de la vitesse
verticale dans l’air, induite par les vagues. Lighthill obtient la valeur de w0 en calculant d’abord la pression, qui
est en équilibre avec la force centrifuge ρa |u, w|2 /R. Le rayon de courbure des lignes de courant, R, estimé en
supposant que ces lignes de courant suivent la surface à la surface et deviennent progressivement horizontale au
fur et à mesure qu’on s’élève (R ∝ e−kz ). Ensuite il exprime l’équilibre entre le gradient de pression et la force
de vortex qui fait intervenir w et obtient une expression pour w0 . On trouve que w0 (zc ) est proportionnel à
l’amplitude a des vagues. Le terme de source est donc proportionnel à l’énergie des vagues, et la croissance des
vagues est exponentielle.
15.3
Effet d’abri sans décollement
Hristov et coll. (2003) montrent clairement que la perturbation induite par les vagues a une structure très
proche de la théorie du niveau critique (figure 15.1). De plus, l’extension de la théorie de Miles (1957) par Janssen
(1991) semble donner un bon accord avec les variation de pression au dessus des vagues mesurés par Snyder et
al. (1981, figure 5.5). Cependant ces observations ne couvrent que les vagues proche du pic spectral. A haute
fréquence le niveau critique est très près de la surface, dans une région ou la turbulence est importante et la
vitesse moyenne du vent U est du même ordre que les fluctuations induites par les vagues ou la turbulence.
Afin de représenter l’écoulement sur des vagues lentes, Belcher et Hunt (1993) ont étudié la turbulence près
de la surface et sa déformation par les vagues. Leur théorie fait en particulier intervenir un raccordement entre
une couche interne, et une couche externe. Dans la couche interne proche de la surface, la turbulence peut être
modélisée avec un modèle de type k-l et une longueur de mélange augmentant linéairement avec l’altitude au
dessus de la surface (l = κu⋆ ξ3 ), comme en écoulement permanent : on a un comportement de type visqueux.
Dans la couche externe la turbulence est composée de grands tourbillons, rapidement déformé par les vagues,
sans que les tourbillons ait le temps de transporter de la quantité de mouvement à l’échelle de la période des
vagues : on a un comportement élastique (Miles 1996). La séparation entre ces deux couches se fait au niveau
ou le temps caractéristique des tourbillons (”eddy turn-over time” en anglais) est égal au temps d’advection par
le vent sur une longueur d’onde (voir Janssen 2004 pour une correction de la théorie de Belcher et Hunt 1993).
Belcher et Hunt on montré que l’intensification de la turbulence du côté des crêtes de vagues abrité par le vent
induit un gradient du tenseur de Reynolds qui est équilibré par une variation de la pression. En même temps les
lignes de courant s’écartent un peu plus de la surface du côté abrité. Cette variation de pression est partiellement
en phase avec la pente des vagues et donc contribue à la croissance des vagues et à la tension de vent. Le même
mécanisme explique très bien la traı̂née observée pour un vent au dessus de collines. Il s’agit en quelque sorte
du même mécanisme que Jeffreys (1925) avait proposé, sans avoir besoin d’un décollement de l’écoulement d’air
derrière la crête.
La théorie de Belcher et Hunt (1993) est bien vérifiée par le modèle numérique de Mastenbroek (1996, voir
aussi Mastenbroek et al. 1996). Le modèle de Mastenbroek utilise une cloture turbulente au second ordre et donc
ne fait pas l’hypothèse d’une viscosité turbulente. Il met clairement en évidence le fait qu’une viscosité turbulente
n’est pas adapté à la couche externe.
Des décollements sont toutefois observés, en particulier lorsque les vagues déferlement, ce qui augmente
d’autant leur croissance, et la traı̂née. Ces effet, ainsi que les modulations de la tension de vent sont probablement à
l’origine de la sous estimation du taux de croissance pour les vagues jeunes (C/u⋆ élevé, figure 5.5, voir Giovanageli
et al. 1999). Par ailleurs, pour des vagues très jeunes, le décolement peut littéralement déconnecter l’écoulement
d’air du profil des vagues : le point de rattachement de l’air sur la vague étant près de la crête suivante. Ce
phénomène est probablement à l’origine de la réduction de la rugosité de l’océan, et du coefficient de traı̂née,
pour les vents très forts (Powell et coll. 2003, Donelan et coll. 2006).
Chapitre 16
Interactions vagues - courants en
trois dimensions
16.1
Equations en trois dimensions
Parce que la surface monte et descend, faire une moyenne de l’écoulement près de la surface n’a pas beaucoup
de sens, sauf pour des mesures car on n’a pas toujours le choix. Du point de vue de la modélisation il est intéressant
de résoudre les gradients en surface et donc de séparer clairement l’air et l’eau. Pour cela il faut tranformer au
moins la coordonnée verticale.
Un jeu d’équation a été obtenu par Mellor (2003) à partir d’un simple changement de coordonnée verticale.
La nouvelle coordonnée verticale ς est définie implicitement par,
z = s (x, ς, t) = ζb + ςD + e
s,
(16.1)
de telle sorte que z = ζb+ ζe, la position instantanée de la surface libre, pour ς = 0, et z = −h, la position du fond,
pour ς = −1. on rapelle que D = h + ζb.
Les équations du mouvement ont été ainsi transformées et moyennées sur la phase des vagues par Mellor
(2003), pour des vagues monochromatiques. On peut appliquer le même principe à des vagues aléatoires (Ardhuin
et coll. 2004) en prenant, à l’ordre 1 en pente des vagues,
e
s=
X sinh(kz + kD)
k,s1
sinh(kD)
Z s1 e
1,k
s
iψ 1
1,k
.
(16.2)
Avec cette nouvelle coordonnée, les surfaces où ς est constant sont aussi des lignes de courant pour le mouvement
des vagues. Il n’y a donc plus de vitesse verticale induite par les vagues dans ces coordonnées.
Malheureusement Mellor (2003) a négligé la modification des vitesses orbitales par la pente du fond et variations horizontales du champ de vagues. En effet, dans ces cas (2.26)–(2.29) ne sont pas solution exacte de
l’équation de Laplace. Or ces effets contribuent des termes du même ordre que les termes retenus par Mellor
(Ardhuin et al., 2008b). Or, ces termes relativement complexes n’agissent que sur la pseudo-quantité de mouvement car ils représentent le déplacement vertical de PQDM Us . Il est donc inutile d’introduire cette complexité
si l’on s’intéresse à l’autre partie de la QDM, u
b = U − Us , la QDM du courant moyen.
Il apparaı̂t donc avantageux de déterminer des équations pour u
b directement. Or ce travail a déjà été fait par
Andrews et McIntyre (1978), il suffit donc de le transcrire en utilisant le mouvement connu des vagues (Ardhuin
et coll. 2007b).
En définissant alors X comme la divergence du tenseur de Reynolds, on peut appliquer la moyenne GLM aux
équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds (RANS). Les équations ci-dessus sont donc une approximation au second ordre en cambrure de la moyenne GLM des équations RANS, elles sont donc baptisées équations
”glm2-RANS”.
16.1.1
Equations glm2-RANS pour ∂ ub/∂z = 0
Afin de simplifier la discussion, nous utiliserons ici la forme des équations GLM donnée par Groeneweg
(Groeneweg 1999, eq. 3.12) pour ρw constant, ce qui supprime, entre autres, les termes liés à la thermodynamique
du fluide,
h
i
∂uL
1 ∂pL
∂ 1 l l
L
L
j
L
− X i + gz =
,
(16.3)
D uL
u j u j + Pj
i − Pi + ǫi3j f3 uj +
ρw ∂xi
∂xi 2
∂xi
où la dérivée Langragienne DL est une dérivée en suivant le fluide à la vitesse Langragienne moyenne uL .
Pi = A−xi ξj,i ulj + ǫjik Ωj ξk ≃ A−xi ξj,i ulj
165
(16.4)
166
CHAPITRE 16. INTERACTIONS VAGUES - COURANTS EN TROIS DIMENSIONS
est la composante suivant i de la pseudo quantité de mouvement des vagues, soit, dans un langage plus familier,
et de manière exacte aux ordres ε21 et ε02 , Pi = Usi . On négligera ici le cisaillement vertical du courant, qui est pris
en compte par Ardhuin et al. (2007b). On peut alors utiliser les vitesses et déplacements données par la théorie
d’Airy (chapitre 1).
On remarque que les termes quadratiques dans (16.3) et (16.4) ne sont pas affectés par les corrections de
premier ordre en ε2 , car ces corrections sont en quadrature avec les termes d’ordre ε02 . Il s’agit là d’un grande
simplification par rapport au calcul à partir de la GLM alternative. Par contre, le cisaillement vertical du courant
introduit des termes correctifs qui sont en phase avec les termes d’ordre ε02 (MRL04). Le cisaillement vertical
induit donc une modification de ulj ulj et P que nous négligerons dans un premier temps.
Nous allons calculer les différents termes induits par les vagues, d’abord pour une onde monochromatique
dont la variance de l’élévation est varζ = a2 /2. On fera ensuite la superposition des composantes. Considérons
eα u
eα − w
e2 = σ 2 (FCS FCS − FSS FSS ) est indépendant de
d’abord le terme de pression. En utilisant le fait que u
z à l’ordre ε21 , on peut ajouter 0.5∂(u
eα u
eα − w
ew)/∂z
e
à l’équation sur la verticale (16.3) pour obtenir, toujours à
l’ordre ε21 ,
∂w
b
∂t
+
=
qui se transforme en
∂w
b
∂w
b
∂w
b
1 ∂pL
+ P3
+ (u
bβ + Pβ )
+g
+
∂z
∂z
∂xβ
ρw ∂z
i
h
∂
∂
∂
u
eα u
eα + w
e2 /2 + K2 + Pβ (u
bβ + Pβ ) + P3 (u
b3 + P3 ) ,
∂z
∂z
∂z
w
b
σ2 E
1 ∂
2
2
pL + ρw gz − ρw
FCS
+ FSS
− ρw K2
ρw ∂z
2
− (u
bβ + Pβ )
∂
∂w
b
+ Pβ
(u
bβ + Pβ )
∂xβ
∂z
∂w
b
∂w
b
−w
b
∂t
∂z
=
−
+
P3
∂
(w
b + P3 ) .
∂z
(16.5)
(16.6)
2
2
On ajoute alors le terme uniforme sur la verticale −σ 2 E FCC
− FSS
/2, et en négligeant les trois premiers
termes (hypothèse hydrostatique), l’intégration sur z donne
L
p(z)
ρw
= −g [(z − zs ) − kEFCC FCS ] + K2 + K1 −
gkE
4 sinh(2kD)
(16.7)
La force K1 est définie par
K1 = −
Z
z
ζ
L
∂
Pβ ′ (u
bβ + Pβ ) dz ′ +
∂z
Z
ζ
L
P3
z
∂
(Pβ ) dz ′ ,
∂xβ
(16.8)
où l’on a utilisé la relation, qui peut se prouver dans la limite des faibles cambrures,
P3 = −Pα (−h)
∂h
−
∂xα
Z
z
−h
∂Pα (z ′ ) ′
dz .
∂xα
(16.9)
La constante d’intégration de la pression est donnée par la condition à la surface,
L
L
L
p(ζ) = −ρw g ζ − zs − kEFCC FCS − K2 (ζ )/g = pa .
L’équation (16.21) donne
L
et (16.7) devient
(16.10)
zs = ζ + pa /(ρw g) − K2 ((ζ) )/g
(16.11)
pL
pH
L
=
+ gkEFCC FCS + K1 + K2 − K2 (ζ ),
ρw
ρw
(16.12)
où pH est la pression hydrostatique, pH = ρw g(ζ − z) + pa .
Au moins sous les creux des vagues, la correction de Stokes pour la pression (9.64) donne la pression Eulérienne
moyenne
p = pL − ρw gkvarζ (FCS FCC + FSS FSC ) .
(16.13)
Ainsi l’equation (16.7) donne une relation, valable sous les creux des vagues et à l’ordre ε21 , entre la pression
Eulérienne moyenne p et la pression GLM pL ,
p = pH − ρw gvarζ kFSS FSC .
(16.14)
Par ailleurs, (9.65)–(9.71) donne, aux ordres ε21 et ε2 ,
2
gkvarζ
1 l l
1 2
2
[FCC FCS + FSC FSS ] .
σ varζ =
uj uj =
FCS + FSS
2
2
2
(16.15)
167
16.1. EQUATIONS EN TROIS DIMENSIONS
L
En notant la vitesse quasi-Eulérienne u
b = U − P, l’équation (16.3) devient, pour la vitesse horizontale,
∂u
bβ
∂u
bα
1 ∂pH
∂u
bα L
∂u
b
∂S J
∂u
b
Xα,
+ (u
bβ + Usβ ) α + w
≃−
+ Usβ
− P3
b α + ǫα3β f3 uL
α +
∂t
∂xβ
∂z
ρw ∂xα
∂xα
∂xα
∂z
(16.16)
où S J est défini par (9.50).
L’équation (16.16) peut se transformer en
∂u
b
1 ∂pH
∂ SJ
∂u
bα
∂u
b
∂u
bα
L
+u
bβ α + w
bα + (f3 + ω3 ) Usβ ] +
− P3
+ Xα.
=−
b α + ǫα3β [f3 u
∂t
∂xβ
∂z
ρw ∂xα
∂xα ρw D
∂z
(16.17)
Un paramétrage possible de la source de quantité de mouvement provenant des mouvements diabatiques est
∂Rαβ
∂
+
∂xβ
∂z
L
Xα =
Kz
∂u
bα
∂z
− Tαwc − T turb ,
(16.18)
avec Rαβ le tenseur de Reynolds turbulent horizontal, tandis que les deux derniers termes correspondent au flux
de quantité de mouvement des vagues vers la circulation moyenne.
16.1.2
Transformation de coordonnée implicite associée au GLM
La moyenne des positions des particule aboutit à donner plus de poids là où les particules passent plus de
temps (par exemple sur les crêtes des vagues), malgré un déplacement moyen nul pour chaque particule. Ainsi le
L
domaine de validité de l’équation (16.17) est −h < z < ζ , au lieu de −h < z < ζ. Il faut donc faire attention
en transformant les coordonnées, par exemple pour utiliser une coordonnée ς. On fait ici la démonstration pour
une onde monochromatique dont la variance d’élévation de la surface est varζ . Cette démonstration ne faisant
intervenir que des quantités d’ordre 2 en ε1 , proportionnelles au spectre de variance de l’élévation de surface
E(k), elle se transpose à des vagues alaétoires par simple sommation sur les composantes. Le Jacobien J de la
transformation entre coordonnées Eulériennes et GLM est égal à 1 plus une quantité J2 qui est de second ordre
en ε1 ,
J
J2
=
1 + J2 + O(ε31 )
(16.19)
=
cosh [2k(z + h)]
kA3D
,
−
= −k2 varζ
σ
sinh2 (kD)
(16.20)
Parce que le GLM n’induit pas d’étirement des coordonnées horizontales, une distance verticale dz ′ = Jdz en
GLM correspond à une distance Cartésienne dz. Puisque J < 1, alors dz ′ > dz. Ainsi, la position verticale en GLM
est partout plus grande que la moyenne Eulérienne de la position des mêmes particules (voir aussi la discussion
de cet effet par McIntyre 1988). Cela peut s’interpréter par le fait que les particules sont plus nombreuses dans les
crêtes que dans les creux (figure 9.3). Au second ordre en ε1 , la position GLM moyenne de la surface est donnée
par (9.64)
∂ζ
k
L
S
,
(16.21)
= ζ + varζ
ζ = ζ + ζ = ζ + ξα (z = 0)
∂xα
tanh kD
En intégrant sur la profondeur, on définit
sG
2 (x, z, t) = −
et on a bien
Z
ζ
Z
z
J2 (z ′ )dz ′ = kvarζ
−h
sinh [2k(z + h)]
.
2 sinh2 (kD)
(16.22)
L
−h
L
Jdz = ζ + D − sG
2 (0) = D.
(16.23)
Par analogie avec (16.1) on définit implicitement une nouvelle transformation de coordonnée verticale
s2 = ςD + sG
2 + ζ.
⋆
Tout champ scalaire φ(x1 , x2 , z, t) se transforme en φ
∂φ
∂t
∂φ
∂xα
∂φ
∂z
(x⋆1 , x⋆2 , ς, t⋆ ),
⋆
=
=
=
(16.24)
avec les relations
⋆
∂φ
s2,t ∂φ
−
∂t⋆
s2,ς ∂ς
∂φ⋆
s2,α ∂φ⋆
−
∂x⋆α
s2,ς ∂ς
1 ∂φ⋆
s2,ς ∂ς
(16.25)
(16.26)
(16.27)
avec s2,t , s2,ς et s2,α les dérivés partielles de s2 par rapport à t, ς et xα , respectivement. Nous avons par ailleurs
l’identité remarquable
s2,ς J = D 1 + O(ε31 ].
(16.28)
168
CHAPITRE 16. INTERACTIONS VAGUES - COURANTS EN TROIS DIMENSIONS
On peut enfin transformer l’ équation (16.17) en coordonnée ς en utilisant (16.25)–(16.27). Tout d’abord la
conservation de la masse en GLM s’écrit (Andrews et McIntyre 1978a),
∂ ρw JuL
∂ ρw JwL
∂ (ρw J)
α
+
=0
+
∂t
∂xα
∂z
(16.29)
ce qui donne, dans les nouvelles coordonnées,
∂ ρw ζb
∂t
avec la vitesse ”verticale”,
+
∂ (Dρw Uα )
∂ (ρw W )
= 0,
+
∂xα
∂ς
(16.30)
W = J w L − uL
α s2,α − s2,t ,
(16.31)
qui est définie exactement par le transport Lagrangien à travers les surfaces iso-ς.
La multiplication de (16.17) par ρw s2,ς J donne, sous une de ses formes,
ρw D
∂u
bα
∂t
ρw D u
bβ
+
+
avec
D
∂u
bα
∂u
b
+ ρw w
b α + ρw Dǫα3β [f3 u
bα + (f3 + ω3 ) Usβ ]
∂xβ
∂ς
∂S J
JS J ∂
∂pH
L
(s2,α ) + X α ,
− ρw gDJs2,α = −
+
∂xα
∂xα
D ∂ς
bsα s2,α ,
w
b = J wL − u
bα s2,α + s2,t = W + J U
(16.32)
la vitesse quasi-Eulérienne à travers les surfaces iso-ς.
L
L’équation (16.17) est valable de z = −h à z = ζ ce qui couvre toute la colonne d’eau en GLM.
16.1.3
Comparaison avec les équations 2D
L’équation correspondant à la quantité de mouvement intégrée sur la verticale est obtenue en multipliant
L
(16.17) par le Jacobien J avant d’intégrer de z = −h à z = ζ . Pour les termes qui sont déjà d’ordre ε21 ,
2
comme la force de vortex, cela revient, à l’ordre ε1 , à intégrer simplement (16.17) de −h à z = ζ. Enfin, pour les
termes uniformes sur la verticale (e.g. ∂pH /∂xα = ∂ζ/∂xα ), l’introduction du Jacobien compense exactement la
L
continuation de l’intégrale entre ζ et ζ . Ainsi
−
Z
ζ
L
−h
∂
J
∂xα
SJ
D
dz
h
=
1
∂
ρw gE Cg /C −
−
∂xα
2
=
−
h
1
∂
ρw gE Cg /C −
∂xα
2
i
i
SJ
+
D
+
∂ζ
∂h
+
∂xα
∂xα
S J ∂D
,
D ∂xα
(16.33)
ce qui correspond au deuxième terme du membre de droite de (9.55). L’intégration verticale des équations 3D
donne donc les équations 2D connues.
Le terme adiabatique S J dans l’équation du mouvement moyen (16.17) est uniforme sur la verticale.
A première vue, tout cela peut paraı̂tre très compliqué. Toutefois, on a maintenant explicité la contribution
des vagues qui se cachait dans les mystérieux tenseurs de Reynolds : la boı̂te noire des tenseurs de Reynolds est
devenue un peu plus grise, et c’est, pour certains, moins joli. Mais on s’est donné des outils qui sont parmi les
plus simples pour manipuler la vitesse juste en surface, et nous en verrons une application assez simple. Dans
leur pleine généralité ces équations devraient permettre des simulations 3D réalistes de la zone de déferlement où
la circulation est sensible aux profils des tensions de dissipation Tαwc + T turb .
Annexe A
Tables utiles
169
170
ANNEXE A. TABLES UTILES
Fig. A.1 – Echelle de beaufort pour les états de mer
171
Fig. A.2 – Table du χ2 . Cette table donne les intervalles de confiance pour l’estimation du spectre avec
n = 2N degrés de liberté ou N est le nombre d’échantillons indépendants utilisés.
172
ANNEXE A. TABLES UTILES
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