Mémoire - Optical Communications Laboratory

Transcription

ÉRIC HAMELIN
ÉTUDE DES PERFORMANCES D’UN SYSTÈME CDMA
À TAUX MULTIPLES
Mémoire
présenté
à la Faculté des études supérieures
de l’Université Laval
pour l’obtention
du grade de maître ès sciences (M.Sc.)
Département de génie électrique et de génie informatique
FACULTÉ DES SCIENCES ET GÉNIE
UNIVERSITÉ LAVAL
SEPTEMBRE 1997
© Éric Hamelin, 1997
RÉSUMÉ
Le projet consiste à évaluer la performance de séquences de codes pseudo-bruits déterministes
dans un environnement de réseau multi-média. Cette évaluation nous permet de déterminer la
faisabilité théorique d’un système CDMA à taux multiples avec gain d’étalement variable.
Dans notre modèle de réseau, le taux de transmission “chip” est fixe et le taux de transmission
de données varie; de cette façon, le gain CDMA (ou gain d’étalement) doit varier en fonction
du taux de données désiré. Les codes que nous avons utilisés pour cette étude sont les séquences
bien connues de Gold (périodes 127 et 511) et de Kasami (période 255).
Nous avons dérivé des expressions nous permettant d’évaluer l’inter-corrélation entre des
familles de séquences déterministes de périodes différentes. À partir de ces expressions nous
avons évalué numériquement l’inter-corrélation.
Les résultats de notre évaluation nous donne une valeur moyenne, un écart type et une
distribution des valeurs numériques de l’inter-corrélation. Nous utilisons ces résultats pour
déterminer un “intervalle de confiance” sur la performance, en fonction du taux d’erreur binaire
et du nombre d’usagers simultanés, d’un réseau CDMA à taux multiples.
Paul Fortier,
Directeur de recherche
Éric Hamelin
Leslie A. Rusch
Co-directrice de recherche
ii
AVANT-PROPOS
Beaucoup de personnes m’ont aidé et supporté tout au long des presque deux années de la
réalisation de ce projet. Cette aide ne passera pas sous silence et soyez tous certains que c’était
grandement apprécié.
Je voudrais grandement et sincèrement remercier ma co-directrice Leslie A. Rusch et mon
directeur Paul Fortier pour tout le support qu’ils m’ont apporté tout au long de mon travail.
Leurs directions, compréhension, conseils et leurs patience ont été d’un apport incalculable.
Mes remerciements à Fakher Ayadi pour sa disponibilité et pour toutes les explications données
avec patience sur le CDMA dans les premiers mois de ce projet.
J’exprime ma sincère gratitude à tous les membres des deux laboratoires, le LRTS et le
COPGEL qui ont répondu à mes inlassables questions sur tous les sujets possibles et
impossibles et m’ont aussi enduré tout au long de mon séjour ici.
Je voudrais aussi chaleureusement remercier tous mes ami(e)s des labos et de l’extérieur qui
m’ont écouté, supporté, relaxé tout au long et sans qui je n’aurais pu réaliser ce projet.
iii
iv
Table des matières
CHAPITRE 1
INTRODUCTION .....................................................................................................1
1.1 Mise en contexte................................................................................................1
1.2 Radiomobile numérique ....................................................................................2
1.3 Réseau local (LAN) optique..............................................................................3
1.4 Résumé du mémoire ..........................................................................................4
CHAPITRE 2
LE CDMA..................................................................................................................6
2.1 Introduction .......................................................................................................6
2.2 Le signal transmit ..............................................................................................10
2.3 Le signal reçu ....................................................................................................10
2.4 Le récepteur .......................................................................................................11
2.5 L’interférence par accès multiple (MAI)...........................................................12
2.6 SNIR (Rapport Signal sur Interférence + Bruit)................................................13
CHAPITRE 3
LES CODES ..............................................................................................................14
3.1 Caractéristiques .................................................................................................14
3.2 Les m-séquences................................................................................................15
3.3 Séquences de Gold et de Kasami.......................................................................17
3.3.1 Séquences de Gold ...................................................................................17
3.3.2 Séquences de Kasami ...............................................................................17
3.4 L’inter-corrélation .............................................................................................18
3.5 Taux multiples ...................................................................................................19
CHAPITRE 4
CDMA (Taux multiples)............................................................................................21
4.1 CDMA à taux multiples.....................................................................................21
4.2 Le signal transmit ..............................................................................................22
4.3 Le signal reçu ....................................................................................................22
4.4 Le récepteur .......................................................................................................22
4.5 MAI (taux multiples).........................................................................................24
iv
v
4.5.1 Cas Tj = Ti ................................................................................................25
4.5.2 Cas Tj > Ti ................................................................................................27
4.5.3 Cas Tj < Ti ................................................................................................30
CHAPITRE 5
RÉSULTATS.............................................................................................................32
5.1 Introduction .......................................................................................................32
5.2 Séquences aléatoires..........................................................................................33
5.3 Résultats avec séquences déterministes.............................................................34
5.3.1 Histogramme des valeurs de rik pour les cas CDMA à taux uniques .......34
5.3.2 Histogrammes des valeurs de rik pour les cas CDMA à taux multiples ..39
5.4 SNIR (Rapport Signal sur Interférence + Bruit)................................................49
CHAPITRE 6
Aspect LAN optique ..................................................................................................61
6.1 Introduction .......................................................................................................61
6.2 Configuration physique .....................................................................................62
6.3 Le récepteur double balancé (RDB) ..................................................................65
6.4 CDMA dans le récepteur double balancé..........................................................69
6.5 Diversité de polarisation....................................................................................70
CHAPITRE 7
CONCLUSION..........................................................................................................73
7.1 Conclusions .......................................................................................................73
7.2 Travaux futurs ...................................................................................................74
ANNEXE A
Fonction d’inter-corrélation apériodique ...................................................................76
ANNEXE B
Transfert continu-discret............................................................................................83
ANNEXE C
Calculs détaillés: Paramètre d’interférence moyenne................................................86
v
vi
Liste des Figures
Figure 2.1
Modulation des données. Les données sont multiplexées directement par des séquences pseudo-bruits périodiques où la durée de la période d’une séquence est la
même que la durée d’un bit de données. .................................................................7
Figure 2.2
Modèle Transmetteur-Canal-Récepteur. Le spectre des données est étalé en fréquence au transmetteur et est dé-étalé au récepteur par la même séquence de code. .....8
Figure 2.3
Étalement spectral du signal. Illustration du spectre du signal étalé combiné avec
du bruit à bande étroite pouvant provenir du canal ou de signaux interférents, avant
et après le multiplexage avec la séquence adresse au récepteur. ............................9
Figure 5.1
Paramètre d’interférence moyenne (rik) pour des séquences de Gold de périodes Nj
= Ni = 511 construites à partir des polynômes 1021 et 1131octal. Les valeurs de rik
sont normalisées sur le résultat rik = 2Ni2 = 522 242. ...........................................34
Figure 5.2
Paramètre d’interférence moyenne (rik) pour des séquences de Kasami de périodes
Nj = Ni = 255 construites à partir du polynôme 5110557octal. Les valeurs de rik sont
normalisées sur le résultat rik = 2Ni2 = 130 050. ..................................................35
Figure 5.3
= Ni = 127 construites à partir des polynômes 235 et 247octal. Les valeurs de rik
sont normalisées sur le résultat rik = 2Ni2 = 32 258. .............................................36
Figure 5.4
= Ni = 127 construites à partir des polynômes 235 et 247octal et optimisées selon
les critères AO/LSE. Les valeurs de rik sont normalisées sur le résultat rik = 2Ni2 =
32 258. ..................................................................................................................37
Figure 5.5
= 511 et Ni = 127 construites à partir des polynômes 1021, 1131octal et 211,
217octal, respectivement. Les valeurs de rik sont normalisées sur le résultat rik =
2LNi2 = 129 032. ...................................................................................................39
Figure 5.6
= 511 et de Kasami de périodes Ni = 255 construites à partir des polynômes 1021,
1131octal et 5110557octal, respectivement. Les valeurs de rik sont normalisées sur
le résultat rik = 2LNi2 = 260 100. ..........................................................................40
Figure 5.7
Nj = 255 et de Gold de périodes Ni = 127 construites à partir des polynômes
5110557octal et 235, 247octal, respectivement. Les valeurs de rik sont normalisées
sur le résultat rik = 2LNi2 = 64 516. ......................................................................41
Figure 5.8
= 127 et de périodes Ni = 511 construites à partir des polynômes 211, 217octal et
vi
vii
1021, 1131octal, respectivement. Les valeurs de rik sont normalisées sur le résultat
rik = 2NjNi = 129 794. ...........................................................................................42
Figure 5.9
= 127 et de Kasami de périodes Ni = 255 construites à partir des polynômes 211,
247octal et 5110557octal, respectivement. Les valeurs de rik sont normalisées sur
le résultat rik = 2NjNi = 64 770. ............................................................................43
Figure 5.10
Nj = 255 et de Gold de périodes Ni = 511 construites à partir des polynômes
5110557octal et 1131, 1541octal, respectivement. Les valeurs de rik sont normalisées sur le résultat rik = 2NjNi = 260 610. .............................................................44
Figure 5.11
BER en fonction du nombre d’usagers simultanés dans le cas d’un signal désiré à
un taux binaire de 100 Mbits/s et où les interféreurs transmettent également à 100
Mbits/s. .................................................................................................................52
Figure 5.12 BER en fonction du nombre d’usagers simultanés dans le cas d’un signal désiré à un
taux binaire de 100 Mbits/s et où les interféreurs transmettent tous à 50 Mbits/s. 53
taux binaire de 25 Mbits/s et où les interféreurs transmettent tous à 50 Mbits/s. .56
Figure 5.16
un taux binaire de 100Mbits/s et où les interféreurs transmettent à des taux différents, 1 interféreur à 100 Mbits/s, 4 interféreurs à 50 Mbits/s et la courbe représente
les interféreurs à 25 Mbits/s. .................................................................................57
Figure 5.17
un taux binaire de 100Mbits/s et où les interféreurs transmettent à des taux différents, 6 interféreurs à 100 Mbits/s, 4 interféreurs à 50 Mbits/s et la courbe représente
Figure 5.18
un taux binaire de 100Mbits/s et où les interféreurs transmettent à des taux différents, 4 interféreurs à 100 Mbits/s, 8 interféreurs à 50 Mbits/s et la courbe représente
Figure 6.1
Configuration physique LAN optique. L’architecture (simple) est celle d’un réseau
en “étoile” reliant 1024 ordinateurs. .....................................................................63
Figure 6.2
Configuration physique LAN optique. L’architecture (composée) est celle d’un ré-
vii
viii
seau arbre-étoile-arbre (“Tree-Star-Tree”) reliant 1024 ordinateurs. ...................64
Figure 6.3
Récepteur double balancé. Modèle du récepteur optique pour du BPSK homodyne
avec détection cohérente (illustration simplifiée). ................................................65
Figure6.4 Récepteuravecdiversitéde polarisationouindépendantde lapolarisation(modèlesimplifié).
70
Figure A-1
Inter-corrélation de séquences de même longueur (Ny = Nx). .............................76
Figure A-2
Inter-corrélation de séquences (Ny > Nx) .............................................................79
Figure A-3
Inter-corrélation de séquences (Ny < Nx) .............................................................81
Figure B-1
Schéma d’inter-corrélation lorsque les délais tombent entre deux “chips”. ........84
Figure B-2
Inter-corrélation entre deux séquences de différentes longueurs pour trois cas de délais.
85
viii
ix
Liste des Tableaux
Tableau 5.1 Données sur rik (taux unique) ..................................................................................45
Tableau 5.2 Données sur rik (taux multiples) (Tj > Ti) ................................................................47
Tableau 5.3 Données sur rik (taux multiples) (Tj > Ti) ................................................................48
Tableau 5.4 Capacité du réseau (Nombre d’usagers Ki vs. BER = 10-9) .....................................60
ix
CHAPITRE
1
INTRODUCTION
1.1 Mise en contexte
La raison d’être de ce travail vient de la demande toujours grandissante sur le spectre de
fréquences, autant pour la téléphonie sans fil que les réseaux. De plus, cette demande devrait
continuer à croître dans les années qui suivent. Il est donc nécessaire de trouver de nouvelles
façons de procéder pour améliorer l’efficacité d’utilisation du spectre de fréquences. La
conversion des systèmes analogiques à des systèmes numériques est déjà un grand pas vers
l’amélioration de cette efficacité. L’étape suivante est d’améliorer et optimiser les systèmes de
communications numériques pour faire face à cette demande grandissante.
Cette demande sur le spectre vient de nouvelles applications, comme la vidéo haute définition,
qui demande des taux de transmission de données très élevés, jusqu’à 100 Mbits/s. L’autre
facteur qui contribue à cette augmentation de la demande est le nombre toujours grandissant
d’utilisateurs qui veulent accéder au spectre de fréquences.
Beaucoup de recherches sont entreprises pour tenter de trouver des solutions et beaucoup
d’approches différentes au problème sont appliquées [7][8][9][13][14]-[21][23][24]. Celle que
nous proposons est de donner un accès multiple au spectre (à une tranche de) à plusieurs usagers
1
1. INTRODUCTION
simultanéments. Cela entraîne une amélioration nette de l’efficacité d’utilisation du spectre par
une réutilisation des bandes de fréquences impliquées. La technique que nous utilisons est une
technique d’accès multiple par répartition de code (CDMA).
Le CDMA est une technologie d’étalement du spectre qui est utilisée depuis longtemps par les
militaires pour sa résistance à l’interférence et pour le niveau de sécurité qu’elle offre. C’est une
technique qui consiste à redistribuer (étaler) le signal sur une très grande largeur de bande,
jusqu’à le rendre “invisible” idéalement, pour les autres utilisateurs de la même largeur de
bande. Au récepteur, l’opération d’étalement exécutée au transmetteur est répétée pour dé-étaler
le signal en bande de base (ou une fréquence intermédiaire) tandis que les autres signaux
transmis (interférence) sont perçus par le récepteur comme étant du bruit.
Nous avons discuté plus haut que la demande grandissante sur le spectre vient des applications
vidéos et du nombre d’utilisateurs. Une façon d’améliorer l’efficacité serait de permettre aux
usagers qui n’ont pas besoin d’un taux de transmission si élevé (applications images seulement,
voix ou données) de transmettre dans la même largeur de bande mais à un taux (binaire) plus
lent. Cela nous permettrait d’accommoder beaucoup plus d’usagers simultanés, et du fait
améliorer l’efficacité d’utilisation du spectre.
La méthode que nous proposons pour réussir cela est par le CDMA à taux multiples. Cette
approche à deux dimensions (CDMA, taux multiples) peut être applicable à plusieurs
technologies ou types de réseau différents. Quelques exemples d’application qui ont avantage à
utiliser le CDMA sont les réseaux radiomobiles numériques, les réseaux de communications
personnels (PCN) et les réseaux locaux (LAN) utilisant les fibres optiques.
1.2 Radiomobile numérique
Dans le domaine de la téléphonie sans fil, le marché croît à un rythme fulgurant. Cette
croissance apporte un défi imposant à cette industrie pour améliorer la capacité des réseaux
existant. Le transfert à une technologie numérique comparativement à la technologie analogique
est déjà un bon pas. La prochaine étape est d’améliorer les technologies numériques pour utiliser
plus efficacement les ressources (fréquences) de plus en plus limitées.
Pour la nouvelle génération de système radiomobile numérique, l’emphase sera mise sur la
flexibilité dans le but d’offrir plusieurs niveaux de services [14]. Ces différents niveaux de
services peuvent inclure des taux de transmission variés, par exemple, un taux spécifique pour
la voix et un autre taux pour les données, ou, tout simplement varier le taux selon le niveau de
trafic dans le canal. La base de cette approche (à taux multiples) est qu’en réduisant le taux de
2
1. INTRODUCTION
transmission de certain utilisateurs qui ne requiert pas le service complet, nous pouvons ainsi
réduire les coûts et utiliser plus efficacement le spectre disponible, car un plus grand nombre
d’usagers auront accès au réseau simultanément.
Le CDMA est une technique qui démontre une amélioration en terme d’efficacité spectrale et
une bonne robustesse. Le CDMA à taux multiples démontre un bon potentiel pour améliorer
encore plus le CDMA (à taux unique) dans le but de créer un système le plus flexible possible.
C’est l’option que nous étudions pour maximiser l’efficacité d’utilisation des ressources
(fréquences) limitées.
Les calculs que nous présentons sont basés sur un système CDMA par multiplexage par code
(DS-CDMA) à taux multiples (multi processing gain) asynchrone utilisant des codes bipolaires,
un taux de multiplexage (“chips/s”) constant et cela pour un taux d’erreur binaire (BER) fixe
donné. Les calculs fournissent des données sur la performance des codes (intra et
inter-corrélation), donc sur l’interférence par accès multiple (MAI) dans un tel système.
1.3 Réseau local (LAN) optique
La fibre optique monomode offre une largeur de bande énorme, de l’ordre de 100 000 GHz. La
technologie d’aujourd’hui n’utilise pas encore à son plein potentiel cette largeur de bande
énorme. Le CDMA, qui requiert une très grande largeur de bande est taillé sur mesure pour ce
type de médium. Dans le contexte d’un réseau local utilisant des fibres optiques monomodes, le
CDMA peut utiliser le spectre efficacement [22] car
• il permet un accès au réseau asynchrone;
• il est robuste au trafic en salve (bursty);
• il n’y a pas d’allocation rigide des ressources;
• il est plus flexible que les autres protocoles comme l’accès multiple par
répartition dans le temps (TDMA) et;
• aucun centre de contrôle (commun) n’est nécessaire.
Pour exploiter cette largeur de bande dans le contexte d’un réseau local (plusieurs transmetteurs
et plusieurs récepteurs), le système que nous étudions est un système hybride de répartition en
fréquence (FDMA) et de répartition par code. Un tel système a le potentiel d’utiliser
efficacement la largeur de bande disponible dans les fibres monomodes.
3
1. INTRODUCTION
Dans ce travail, nous nous concentrons sur l’amélioration de l’efficacité d’utilisation sur une
seule longueur d’onde (parmi plusieurs). Pour améliorer cette efficacité, nous étudions un
système d’accès multiples par multiplexage par code en séquence directe (DS/CDMA) à taux
multiples. Les taux multiples amplifient encore plus l’avantage de la flexibilité que le CDMA
possède déjà par rapport au TDMA et cela rend le protocole très compatible avec les
applications multi-médias comme l’Internet.
En effet, les applications vidéos peuvent nécessiter un taux de transmission très élevé (autour de
100Mbits/s) mais les transferts d’images, de voix ou de données n’ont pas vraiment besoin d’un
tel taux de transmission. L’utilisation de taux multiples permet donc une amélioration en
fonction du nombre d’usagers simultanés dans la fibre car le nombre d’usagers simultanés que
le système peut supporter à un taux de transmission de données réduit est beaucoup plus grand.
Cela permet aussi de réduire les coûts pour les usagers qui n’ont pas besoin du taux de service
maximal.
Les calculs que nous présentons nous permettent d’évaluer la performance, en fonction des
séquences de codes, d’un tel système CDMA à taux multiples et sont basés sur les paramètres
suivants:
• un système au taux “chips” constant;
• l’utilisation de codes bipolaires;
• une détection cohérente;
• 3 niveaux de service (100, 50, 25 Mbits/s);
• un taux d’erreur binaire (BER) fixe (sous 10-9).
1.4 Résumé du mémoire
Ce mémoire est divisé en six chapitres principaux. Le chapitre deux est une introduction au
CDMA et est la base théorique pour les calculs d’inter-corrélations CDMA à taux multiples. Le
chapitre trois traite brièvement des séquences de codes choisis pour ces calculs et leurs
caractéristiques principales. Le chapitre quatre comprend tous les calculs des expressions
analytiques pour la performance des séquences de codes déterministes dans un système CDMA
à taux multiples et le chapitre cinq présente les résultats des calculs complétés en utilisant les
expressions dérivées au chapitre quatre. Le chapitre six est un exemple de l’utilisation des
calculs et des résultats des chapitres quatre et cinq dans un réseau spécifique.
4
1. INTRODUCTION
Les chapitres deux et trois sont des résumés de travaux déjà publiés et sont cités dans la
bibliographie. Les calculs du chapitre quatre ont déjà été publié dans le cas de familles de
séquences aléatoires et avec quelques hypothèses qui simplifient les calculs.
La contribution de ce mémoire est la dérivation des expressions analytiques (du chapitre quatre)
dans le cas de séquences de codes pseudo-bruits déterministes et sans certaines hypothèses (sur
la longueur des séquences) précédentes. Des résultats numériques sur l’inter-corrélation entre
les séquences nous permettent d’utiliser des “intervalles de confiance” (sur le BER) pour prédire
la performance d’un réseau CDMA au lieu d’utiliser des bornes inférieures et supérieures qui
sont parfois très large. L’exemple d’application des calculs du chapitre six est le résultat du
travail d’équipe du groupe de recherche CDMA sur fibre optique.
5
CHAPITRE
2
LE CDMA
Ce chapitre introduit le CDMA et présente le modèle de signal utilisé comme base pour mesurer
la capacité et les performances d’un système CDMA à taux multiples.
2.1 Introduction
Le CDMA est une méthode d’accès multiple à un médium de communication par répartition de
code. C’est-à-dire, plusieurs usagers ont accès à un canal commun et peuvent l’utiliser
simultanément jusqu’à une certaine limite d’usagers actifs définie par la tolérance (capacité) du
système. Il existe deux autres systèmes d’accès multiples très commun:
• FDMA: l’accès multiple par répartition en fréquence;
• TDMA: l’accès multiple par répartition dans le temps.
Les avantages et désavantages de chacune de ces méthodes sont discutées très brièvement au
chapitre un et nous n’y entrerons pas plus en détails. Il existe deux façons différentes
(principales) de faire de l’étalement spectral (CDMA), soit l’étalement par saut de fréquence
(Frequency Hopping) (FH/CDMA) ou par multiplexage par code (Direct Sequencing) (DS/
CDMA). La méthode que nous employons est le DS/CDMA; c’est une méthode de CDMA où
6
2. LE CDMA
7
l’étalement spectral est réalisé en multiplexant directement une séquence de code adresse avec
les données à transmettre.
Données
Séquence Pseudo-bruit (périodique)
Données modulées
Tc
Figure 2.1 Modulation des données. Les données sont multiplexées
directement par des séquences pseudo-bruits périodiques où la
durée de la période d’une séquence est la même que la durée d’un
bit de données.
2. LE CDMA
8
Le récepteur optimal pour un système avec un seul usager dans un canal avec bruit Gaussien est
un filtre adapté à la séquence de code adresse. Le récepteur multiplexe le signal reçu avec sa
séquence adresse et le signal désiré est dé-étalé pour le traiter en bande de base.
Données
Canal
Séquence
pseudo-bruit
∫
Séquence
pseudo-bruit
Figure 2.2 Modèle Transmetteur-Canal-Récepteur. Le spectre des
données est étalé en fréquence au transmetteur et est dé-étalé au
récepteur par la même séquence de code.
Tous les autres signaux qui n’ont pas la bonne séquence adresse ou qui sont dé-synchronisés,
sont perçu par le récepteur comme étant du bruit. Ce système permet une certaine tolérance du
2. LE CDMA
9
récepteur à un niveau de bruit (d’interférence pseudo-bruit), ce qui permet en retour un accès
multiple au canal de transmission par les usagers du réseau.
S(f)
Interférence à bande étroite
Signal
spectre étalé
Avant dé-étalement
S(f)
Signal spectre étalé
Interférence à
bande étroite
Après dé-étalement
Figure 2.3 Étalement spectral du signal. Illustration du spectre du
signal étalé combiné avec du bruit à bande étroite pouvant provenir
du canal ou de signaux interférents, avant et après le multiplexage
avec la séquence adresse au récepteur.
Pour la représentation du cheminement du signal (transmetteur-médium-récepteur) nous
supposons que tous les usagers utilisent le même médium (canal) et qu’ils transmettent de façon
asynchrone. Le transmetteur choisi la séquence adresse de la destination désirée. Le récepteur
reçoit les signaux de tous les usagers qui transmettent simultanéments sur la même canal. Tous
les autres usagers sont perçus par le récepteur comme étant de l’interférence (pseudo-bruit) dans
le canal.
2. LE CDMA
10
2.2 Le signal transmit
Dans notre système DS/CDMA nous utilisons la modulation en phase (BPSK) avec des
séquences de codes pseudo-bruit bipolaires prenant des valeurs de l’ensemble { ± 1 } pour
l’étalement spectral. Chaque usager est indépendant l’un de l’autre. Le signal transmit par le
kème usager est:
sk ( t ) =
2Pa k ( t )bk ( t ) cos ( w c t + θ k )
(2.1)
où P = Eb ⁄ T est la puissance moyenne, b k ( t ) est une impulsion rectangulaire de durée T qui
prend des valeurs de l’ensemble { ± 1 } , a k ( t ) est aussi une impulsion rectangulaire de durée
Tc qui représente la séquence de codes qui étale le spectre des données et qui prend des valeurs
de l’ensemble { ± 1 } . Le terme w c est la porteuse et θ k est le déphasage initial du signal. La
relation entre la durée de l’impulsion des données et des “chips” pour l’étalement spectral est
T = NT c où N est la période (longueur) de la séquence. Nous pouvons écrire les trains
d’impulsion comme suit:
∞
ak ( t ) =
∑
(i)
a k p Tc ( t – iT c )
(2.2)
i = –∞
∞
bk( t ) =
∑
(j)
b k p T ( t – jT )
(2.3)
j = –∞
(i)
ak
(j)
, bk
où
prennent des valeurs de l’ensemble { ± 1 } et p Tc, p T sont des impulsions
rectangulaires de hauteur 1 et de durées Tc et T, respectivement.
2.3 Le signal reçu
Le signal reçu quand le canal est modélisée comme étant un bruit blanc Gaussien (AWGN) de
moyenne nulle est:
K
r( t) = w( t ) +
∑
2Pb k ( t – τ k )a k ( t – τ k ) cos ( w c t + θ k )
(2.4)
k=1
où w ( t ) est un AWGN de moyenne nulle avec une densité spectrale de puissance N 0 ⁄ 2 , K est
le nombre d’usagers actifs, et τ k est le délai relatif entre le signal reçu et le début de la séquence
de dé-étalement au récepteur. Les délais τk et les déphasages initiaux θ k sont modélisés comme
2. LE CDMA
11
des
variables aléatoires
[ 0, 2π ) respectivement.
indépendantes
uniformément
distribuées
sur
[ 0, T )
et
2.4 Le récepteur
Le récepteur utilisé est un filtre adapté. La sortie du récepteur l est
T
Zl =
∫0 r ( t)al ( t ) cos ( w c t ) dt
(2.5)
où a l ( t ) est la séquence de code d’adresse du récepteur.
K
T
Zl =
∫0
w( t) +
∑
2Pbk ( t – τ k )ak ( t – τ k ) cos ( w c t + θ k ) a l ( t ) cos ( w c t ) dt
(2.6)
k=1
T
Zl =
∫0 w ( t )al ( t ) cos ( wc t ) dt
T
+ ∫ 
K
∑
(2.7)

2Pbk ( t – τ k )a k ( t – τ k ) cos ( w c t + θ k )a l ( t ) cos ( w c t ) dt
Nous pouvons diviser l’expression de la sortie du récepteur en trois partie, soit le bruit, le signal
et l’interférence par accès multiple (MAI). Si nous supposons que le signal désiré correspond à
l’usager k = l = 1 et que le récepteur est parfaitement synchronisé avec le signal désiré (i.e.
θ 1 = 0 = τ1 ), alors nous avons pour le bruit, le signal et l’interférence respectivement
T
Wl =
T
S1 =
S1 =
(0 )
où b 1
∫0
∫0 w ( t )al ( t) cos ( w c t ) dt
(2.8)
(0)
2Pb 1 ( t )a 1 ( t ) cos ( w c t )a 1 ( t ) cos ( w c t ) dt
T
(0)
2
P
--- ∫ b 1 ( t ) ( a l = 1 ( t ) ) dt =
2 0
(0 )
P
---b 1 T
2
(2.9)
est le bit reçu. La MAI est
T


I1 = ∫  ∑ 2Pbk ( t – τ k )a k ( t – τ k ) cos ( w c t + θ k )a 1 ( t ) cos ( w c t ) dt
0
k = 2

K
(2.10)
2. LE CDMA
12
2.5 L’interférence par accès multiple (MAI)
L’équation 2.10 est celle qui représente l’interférence causée par les autres usagers actifs et elle
est ce que nous devons analyser avec plus de détail. Pour les délais relatifs des usagers
interférents ϕ k = θk – ω c τ k , nous substituons dans 2.10
T

P

I1 = ∫  ∑ ---b k ( t – τ k )a k ( t – τ k )a 1 ( t ) cos ( ϕ k ) dt
2
0
k = 2

K
K
∑
I1 =
k=2
P T
--- ∫ b k ( t – τ k )a k ( t – τ k )a 1 ( t ) cos ( ϕ k ) dt
2 0
(2.11)
(2.12)
Ce qui nous intéresse, c’est la variance de ce terme d’interférence, i.e. Var [ Il ] (où l = 1 )
quand nous modélisons l’interférence comme étant un bruit blanc Gaussien de moyenne nulle,
cette hypothèse est une approximation mais elle est très précise [9] dans les cas où le rapport
signal sur bruit est élevé et beaucoup d’usagers simultanés sont présents.
2
var [ Il ] = E [ ( I l ) ]
K
∑
2
E [ ( Il) ] =
T
2
P
--- E  ∫ b k ( t – τk )a k ( t – τ k )a l ( t ) cos ( ϕ k ) dt

2  0
(2.13)
(2.14)
k=2
Étant donné l’indépendance de cos ( ϕ k ) par rapport aux données et aux séquences, et que
E [ cos θ k ] = 0 ,
K
2
E [ ( Il ) ] =
∑
2
T
P
--- E  ∫ b k ( t – τ k )a k ( t – τ k )a l ( t ) dt E [ cos ( ϕ k )2 ]

2  0
(2.15)
k=2
K
2
E[ ( Il ) ] =
∑
2
T
P
--- E  ∫ bk ( t – τ k )ak ( t – τ k )a l ( t ) dt

4  0
(2.16)
k=2
Le résultat de 2.16 est publié [4] pour des séquences de même période, soit
2
PT
E [ ( I l ) ] = ------------3
12N
2
K
∑ r k, l
(2.17)
k=2
où N est la période des séquences et rl,k est défini comme étant le “paramètre d’interférence
2
moyenne”. Les résultats numériques obtenus [6] dans ce cas sont r k, l ≈ 2N . Ce paramètre (rk,l)
2. LE CDMA
13
permet une estimation de la contribution de l’interférence (MAI) dans le rapport Signal sur
Interférence + Bruit (SNIR) du système CDMA. C’est donc la base de référence que nous allons
utiliser pour évaluer la performance (inter-corrélation) des séquences de codes pseudo-bruits de
longueurs différentes (taux multiples).
2.6 SNIR (Rapport Signal sur Interférence + Bruit)
À partir des calculs et des résultats numériques publiés [3][4][5][6] sur la variance de la MAI,
et en insérant la variance du bruit, on trouve l’expression suivante pour le SNIR d’un système
CDMA à taux unique:
1
SNIR = ----------------------------------K
–
1
1
 ------------- + ---------- 3N  SNR
(2.18)
où SNR est le rapport Signal/Bruit lorsqu’un seul usager est présent et le terme
– 1-
K
----------- 3N 
(2.19)
est la contribution de la MAI dans le SNIR à la sortie du récepteur. La probabilité d’erreur en
utilisant la modulation de phase (BPSK) homodyne avec détection cohérente est
SNIR
P e = 0.5erfc  -------------
2
(2.20)
Le terme MAI (éq. 2.19) est celui qui sera affecté par l’addition de la dimension taux multiples
à notre système. La MAI est fonction des codes utilisés pour l’étalement spectral, surtout leurs
caractéristiques d’intra-corrélation et d’inter-corrélation. Le terme MAI, lorsque beaucoup
d’usagers sont présent, est le terme prédominant par rapport au SNR (dans le SNIR). Le choix
des séquences de codes utilisées devient donc très important pour la maximisation de la
performance du réseau. Pour cette raison, avant de passer au CDMA à taux multiples, nous
allons aborder le sujet des codes que nous allons utiliser dans notre système et leurs
caractéristiques.
CHAPITRE
3
LES CODES
Ce chapitre traite brièvement des codes à registre à décalage binaire et de leurs caractéristiques,
spécialement les séquences de Gold et de Kasami.
3.1 Caractéristiques
Les familles de séquences de codes que nous recherchons pour notre système de
communication doivent, avant tout, posséder les caractéristiques suivantes:
• Une séquence doit être facilement distinguable d’une version décalée
d’elle-même, et cela, pour toutes les séquences de la famille;
• Chaque séquence doit être facilement distinguable de toutes les autres
séquences de la famille (décalée ou non).
Bien entendu, les séquences que nous considérons sont périodiques, mais pas nécessairement
de même période (taux multiples). Nous utilisons des séquences bipolaires prenant des valeurs
de l’ensemble { ± 1 } pour profiter de leurs meilleures caractéristiques de corrélations
comparativement aux séquences unipolaires { 0, 1 } . La mesure de “distinguabilité” que nous
employons est l’erreur quadratique moyenne ε, qui est l’origine (dans les références) de nos
14
3. LES CODES
15
calculs de corrélation. Pour des séquences périodiques tel que x ( t ) = x ( t + T ) et
y ( t ) = y ( t + T ) , un T quelconque et pour tout t de chaque séquences de la famille, nous avons
T
1
2
ε = --- ∫ [ y ( t ) ± x ( t ) ] dt
T
(3.1)
0
T
T
1 2
2
2
ε = --- ∫ [ y ( t ) + x ( t ) ] dt ± --- ∫ y ( t )x ( t ) dt
T
T
0
(3.2)
0
Donc, pour maximiser la “distinguabilité” entre les séquences, il faut que l’erreur quadratique
moyenne ε soit maximisée. Cela veut dire qu’il faut minimiser
T
R = ∫ x ( t )y ( t ) dt
(3.3)
0
Pour respecter les deux caractéristiques mentionnées précédemment, il est nécessaire que ε soit
grand pour τ ∈ [ 0, T ] , donc que
T
R x, y ( τ ) =
∫ x ( t )y ( t + τ ) dt
(3.4)
0
où Rx, y ( τ ) , qui est appelé la fonction d’inter-corrélation, soit petit.
Les séquences que nous avons choisies pour notre système de communication sont les
séquences construites à partir de registre à décalage binaire. Ces familles de séquences ont été
choisies pour leurs simplicités de génération et pour leurs excellentes propriétés
d’inter-corrélation, d’intra-corrélation périodiques, apériodiques et partielles. Ces séquences
sont considérées comme des séquences pseudo-bruits, ce qui les rend encore plus intéressantes
pour un système de communication CDMA. Les premières séquences que nous allons
considérer sont les séquences binaires de longueur maximale générées par des registres à
décalage avec boucle de rétro-action linéaire (traduction de l’anglais “binary maximal-length
linear feedback shift-register sequences”), que nous appelons “m-séquences”.
3.2 Les m-séquences
Les m-séquences possèdent une période de
n
N = 2 –1
(3.5)
3. LES CODES
16
où n est le nombre d’échelons (aussi appelé “degré”) dans le registre à décalage binaire avec
boucle de rétro-action linéaire. L’avantage principal des m-séquences est leur fonction
d’intra-corrélation périodique
N–1
θ x, x ( q ) =
∑ xi xi + q
(3.6)
i=0
où 0 ≤ q < N est le décalage entre les deux séquences, qui est la meilleure possible pour une
séquence binaire de période N. C’est-à-dire θ x, x ( 0 ) = N et θ x, x ( q ) = – 1 pour 1 ≤ q < N ,
ce qui correspond aux valeurs minimales. Les propriétés de ces séquences sont énumérées en
détails dans [3]. L’autre fonction de corrélation qui est intéressante pour nos applications est la
fonction de corrélation apériodique. La seule différence entre la fonction de corrélation
périodique et apériodique est que la deuxième est modulée par les bits de données qui doivent
être étalées. L’expression de l’inter-corrélation apériodique est plutôt dynamique dans notre cas
(taux multiples) et est détaillées au chapitre quatre.
Les ensembles de m-séquences qui sont utiles pour un système de communication sont les
“Maximal Connected Sets” [3] qui ont comme caractéristique d’avoir une fonction
d’inter-corrélation périodique prenant trois valeurs possibles, soit; {-1, -t(n) et t(n) - 2} où
t( n ) = 1 + 2
(n + 2) ⁄ 2
(3.7)
où α dénote la partie entière de α. Ces ensembles sont construits à partir de polynômes
binaires primitifs et ce que nous appelons un “Maximal Connected Sets” est tout simplement un
ensemble de ces séquences de grandeur maximale (en nombre de séquences) possédant les
caractéristiques d’inter-corrélation périodique “préférées” ci-haut. Le désavantage principal des
m-séquences est le nombre limité de séquences disponibles pour former un “Maximal
Connected Sets”. Par exemple, pour N = 127 (n = 7), l’ensemble le plus grand possède un
maximum de 6 séquences avec une amplitude maximale de l’inter-corrélation périodique
θ c = max { θ x, y ( q ) ;0 ≤ q ≤ N – 1 } = t ( n ) = 17 (/127 chips). Aussitôt qu’une septième
séquence est nécessaire, θ c grimpe à 41 (/127 chips), ce qui est nettement insuffisant (comme
inter-corrélation) pour notre réseau.
Cependant, à partir de ces m-séquences, nous pouvons construire d’autres ensembles de
séquences qui possèdent des caractéristiques presqu’aussi bonnes que les “Maximal Connected
Sets”, mais où la quantité de séquences disponibles est beaucoup plus élevée. Ces séquences
sont les séquences de Gold et de Kasami.
3. LES CODES
17
3.3 Séquences de Gold et de Kasami
Ces deux types de séquences, ou famille de séquences, sont construites à partir de manipulation
de m-séquences [3].
3.3.1
Séquences de Gold
Les séquences de Gold sont construites par la combinaison de deux m-séquences de période
n
N = 2 – 1 appartenant à un “Maximal Connected Set”. L’ensemble de séquences de période
n
N = 2 – 1 construites par cette combinaison contient N + 2 séquences avec un
θ c = θ a = t ( n ) , où
θ a = max { θ x, x ( l ) ;1 ≤ l ≤ N – 1 }
est l’amplitude de
l’intra-corrélation périodique maximale.
Supposons deux polynômes binaires primitifs h ( x ) et hˆ ( x ) de degré n générant les
n
m-séquences u et v, respectivement, de période N = 2 – 1 . La famille de séquences contenus
dans l’ensemble
2
G ( u, v ) ≡ { u, v, u ⊕ v, u ⊕ Tv, u ⊕ T v, …, u ⊕ T
N–1
v}
(3.8)
q
où T est un opérateur de décalages cycliques de q vers la gauche et ⊕ est l’opération logique
du “ou exclusif”, est une famille de séquences de Gold. En d’autres mots, une séquence de
l’ensemble de Gold est formée en exécutant l’opération “ou exclusif” entre la sortie des deux
registres à décalage binaire qui construisent les m-séquences. L’ensemble des séquences est
formé en répétant cette opération pour les N décalages (“phases”) possibles d’une des deux
m-séquences.
Sans être aussi bonnes que les m-séquence, les séquences de Gold possèdent des qualités d’intra
et d’inter-corrélation bien suffisantes pour notre application. Elles sont avantageuses dans le cas
ou le degré n des séquences désirées est impair. Pour des séquences avec une période qui
nécessite un n pair, il existe des familles de séquences qui offrent une meilleure performance
d’inter-corrélation que les séquences de Gold, celles qui nous intéressent sont les séquences de
Kasami.
3.3.2
Séquences de Kasami
Les séquences de Kasami qui nous intéressent sont ceux du grand ensemble (“large set”) car cet
n⁄2 n
ensemble contient 2 ( 2 + 1 ) – 1 séquences possédant un θ max = max { θ c, θ a } = t ( n ) .
3. LES CODES
18
n
Par exemple, dans notre cas, nous désirons des séquences de période N = 2 – 1 = 255 , ce qui
8⁄2 8
nécessite n = 8. Le grand ensemble de Kasami possède 2 ( 2 + 1 ) – 1 = 4111 séquences
avec θ max = 33 (/255 chips), ce qui est beaucoup plus que nous avons besoin, mais on peut en
choisir 255 parmis ces 4111. L’autre ensemble de Kasami disponible est le petit ensemble
(“small set”) de Kasami, cependant il ne contient que 16 séquences (de période 255), mais avec
un θmax = s ( n ) = 17 , où
s( n) = 1 + 2
n⁄2
(3.9)
C’est presque deux fois mieux que le grand ensemble pour l’inter-corrélation mais nettement
insuffisant pour notre application sur le nombre de séquences disponibles.
Les séquences du grand ensemble de Kasami sont construites comme suit. Supposons h ( x ) , un
polynôme binaire primitif de degré n qui génère la m-séquence u; w, la m-séquence de période
n⁄2
N = 2
– 1 générée par le polynôme binaire primitif h' ( x ) et; hˆ ( x ) , un autre polynôme
n
binaire primitif de degré n qui génère la m-séquence v de période N = 2 – 1 . Alors,
l’ensemble des séquences de période N générée par h ( x )h' ( x )ĥ ( x ) est appelé “le grand
n⁄2 n
ensemble de Kasami” K L ( u ) . Dans cette famille, il existe 2 ( 2 + 1 ) – 1 séquences prenant
des
valeurs
d’inter-corrélation
( θ a, θ c )
de
l’ensemble
{ – 1, – t ( n ), t ( n ) – 2, – s ( n ), s ( n ) – 2 } . Nous avons formé notre ensemble de séquences
K L ( u ) en construisant le registre à décalages binaires correspondant au polynôme binaire
h ( x )h' ( x )ĥ ( x ) et en trouvant N valeurs initiales du registre qui nous donnent un θ a avec des
valeurs de l’ensemble ci-haut. Seulement l’intra-corrélation a été testée dans la sélection des
séquences pour réduire le temps d’ordinateur.
3.4 L’inter-corrélation
Dans leur construction, les familles de séquences ont été évaluées selon des critères de
performance en fonction de leur intra-corrélation, pour simplifier leurs génération. Elles ont été
testées par la suite pour leurs inter-corrélations “intra-familiale”. Tous les critères d’évaluations
classiques sont en fonction d’un système de communication (CDMA) qui n’utilisait que des
séquences de même période et d’une même famille. Il en est de même pour les critères
d’optimisation.
À partir de ce point de vue, il existe trois “sortes” d’inter-corrélation qui sont utiles pour évaluer
la performance des séquences dans un système CDMA. C’est l’inter-corrélation périodique,
apériodique et partielle. L’inter-corrélation périodique est une corrélation dans le domaine du
temps “discret” et considère les séquences de “chips” tout en négligeant l’effet de modulation
3. LES CODES
des bits de données sur les séquences. L’inter-corrélation apériodique est dans le domaine
“discret” aussi comme le cas périodique mais l’effet de modulation des bits de données est
considéré. Dans ces deux cas, par “discret” nous entendons que les délais (ou décalages) entre
les séquences tombent exactement sur la fin ou le début d’un “chip”. L’inter-corrélation partielle
est l’inter-corrélation en temps continu où les délais peuvent tomber n’importe où entre deux
intervalles “chip”.
De par les caractéristiques de base de notre système, il est évident que les critères d’évaluation
et d’optimisation des séquences dans leurs construction ne sont pas nécessairement les critères
optimaux pour notre cas. Tout en prenant cela en ligne de compte, il s’agissait des seuls critères
disponibles au départ et, après avoir évalué les résultats (taux multiples) avec ces critères de
départ, il sera possible de déterminer si c’est suffisant ou si nous devons chercher une meilleure
façon de procéder avec des critères plus appropriés.
Pour notre application CDMA à taux multiples, l’inter-corrélation périodique n’est pas un
critère intéressant, car les bits de données sont de durée variée et on ne peut utiliser ces
propriétés. L’inter-corrélation apériodique et l’inter-corrélation partielle sont les deux
corrélations qui sont utiles dans notre évaluation de la performance des séquences.
L’inter-corrélation partielle nous donne une représentation de la contribution des séquences à
l’interférence (MAI) dans un système CDMA asynchrone (temps continu) et l’inter-corrélation
apériodique nous permet d’évaluer numériquement la performance des séquences (de
différentes périodes) dans un système CDMA à taux multiples. Il s’agit de trouver un lien
convenable entre les deux pour avoir une évaluation complète de la performance d’un système
CDMA asynchrone à taux multiples.
Les expressions des inter-corrélations apériodiques et partielles détaillées (taux multiples) sont
le sujet du chapitre 4 mais avant de s’y rendre, il est nécessaire d’établir certains paramètres de
transfert entre le cas ou les séquences sont toutes de même périodes et le cas ou elles sont de
périodes différentes.
3.5 Taux multiples
Le système que nous proposons est un système à gain d’étalement variable (multi processing
gain), c’est-à-dire que la durée d’un “chip” est constante et que nous varions la durée des bits
de données. Ce qui veut dire qu’il faut varier la période des séquences pour qu’elle soit
exactement de même durée qu’un bit de données. Nous devons donc évaluer l’inter-corrélation
entre des séquences de longueurs (périodes) différentes. L’évaluation de leurs inter-corrélations
19
3. LES CODES
20
sera exprimée en fonction de la différence de période (des séquences) utilisée par les différents
taux de transmission.
La première étape est bien entendu de définir la relation entre les différentes longueurs de
séquences, ce qui sera une référence utile tout au long des calculs. Les seules séquences que
nous considérons dans cette analyse sont des séquences de registres à décalages binaires.
C’est-à-dire que la période des séquences est
n
N = 2 –1
(3.10)
où n est le degré de la séquence. La relation entre les séquences est
N v = LN u + ( L – 1 )
(3.11)
où n v ≥ n u sont les degrés respectifs des séquence v et u, et
L = 2
est le rapport entre les deux longueurs.
( nv – nu )
(3.12)
CHAPITRE
4
CDMA (Taux multiples)
La différence principale en terme de performance (BER) entre le CDMA à taux multiples et le
CDMA à taux unique vient de la MAI. Nous devons évaluer l’interférence causée par des
séquences de périodes différentes en fonction bien entendu de leur inter-corrélation mais aussi
en fonction de la différence de longueur.
4.1 CDMA à taux multiples
Le système que nous proposons est un système à gain d’étalement variable (multi processing
gain), i.e. la durée d’un “chip” est constante et nous varions la durée des bits de données.
Étant donné que l’analyse fait en [3][4][5] a pour hypothèse que les séquences doivent être de
même période, il est nécessaire de reprendre les calculs depuis presque le début. En fait, nous
devons rajouter une dimension aux équations du chapitre 2 et en approfondir l’étude.
21
4. CDMA (Taux multiples)
22
4.2 Le signal transmit
L’équation 2.1 devient le signal transmit par l’usager k dans le sous-système i, ce qui correspond
à un taux binaire Ri (bit/s)
s ik ( t ) =
2Pi a ik ( t )b ik ( t ) cos ( w c t + θ ik )
(4.1)
où P i = E b ⁄ T i est la puissance moyenne correspondant au taux binaire R i = 1 ⁄ Ti , b ik ( t ) est
une impulsion rectangulaire de durée Ti, aik ( t ) est la séquence d’impulsion rectangulaire de
durée Tc et de période Ni qui fait l’étalement spectral des bits de données de l’usager k du
sous-système i. La relation entre la durée de l’impulsion des données et des “chips” de la
séquence pour l’étalement spectral est T i = N i T c . La puissance moyenne du signal est
différente pour chaque taux de transmission de données de façon à garder l’énergie par symbole
(Eb) constante [8]. C’est-à-dire,
Eb = Pi T i = P j T j
(4.2)
4.3 Le signal reçu
Le signal reçu aux récepteurs est:
p
r (t) = w(t ) +
Ki
∑ ∑ sik ( t – τik )
(4.3)
i = 1k = 1
p
Ki
∑∑
r( t) = w( t ) +
2P i b ik ( t – τ ik )a ik ( t – τ ik ) cos ( w c t + θ ik )
(4.4)
i = 1k = 1
où Ki est le nombre d’usagers dans le sous-système i, p est le nombre de sous-système présent
et tous les autres paramètres sont les mêmes que ceux de l’équation 2.4.
4.4 Le récepteur
Le récepteur l du sous-système j est le même qu’au chapitre 2, mais avec une dimension
supplémentaire qui représente le taux de transmission binaire sur lequel le récepteur est
synchronisé. À la sortie, nous avons
Tj
Zjl =
∫0 r ( t)ajl ( t) cos ( w c t ) dt
(4.5)
23
À partir de cette étape les différences par rapport au CDMA à taux unique deviennent plus
évidentes. Nous supposons que le récepteur est parfaitement synchronisé sur le signal désiré
ik = jl (i.e. θ ik = 0 = τ ik ) et nous nous intéressons seulement au terme signal et à
l’interférence (MAI), le bruit (AWGN) sera traité plus loin.
Tj
Z jl
K
i
 p

P
= ∫  ∑ ∑ -----i b ik ( t – τik )a ik ( t – τ ik )a jl ( t ) cos ( ϕ ik ) dt + bruit
2

0 i = 1 k = 1
(4.6)
où les délais relatifs entre le récepteur et les signaux reçus sont ϕ ik = θ ik – ω c τ ik . Nous
séparons l’équation 4.6 en sa partie signal et sa partie interférence, respectivement
Tj
Z jl =
∫
P
-----i b ik ( t )aik ( t )a jl ( t ) dt
2
(4.7)
0
Tj 

Ki
 p

P
+ ∫  ∑ ∑ -----i b ik ( t – τ ik )a ik ( t – τ ik )a jl ( t ) cos ( ϕ ik ) dt + bruit


2

0 i = 1 k=1


Le signal à la sortie du récepteur est
Tj
S jl =
∫
Pj
P
(0)
----- b jl ( t )a jl ( t )ajl ( t ) dt = b jl Tj -----j
2
2
(4.8)
0
où
(0 )
b jl
est le bit de données reçue. L’interférence (toujours à la sortie du récepteur) est
Tj 
I jl

= ∫ 
0

p
Ki
∑ ∑
i = 1 k=1
( ik ≠ jl )


Pi
----- b ik ( t – τ ik )a ik ( t – τ ik )a jl ( t ) cos ( ϕ ik ) dt
2


(4.9)
Nous pouvons recombiner les expressions du signal, du bruit et de l’interférence comme suit
[8]:
P (0 )
Z jl = T j -----j ( b jl + I jl + W j )
2
où W j est le bruit (AWGN) à la sortie du récepteur et
(4.10)
24
Ki
p
I jl =
∑ ∑
i = 1 k=1
1- P i Tj
------- b ( t – τik )a ik ( t – τ ik )a jl ( t ) cos ( ϕ ik ) dt
T j P j ∫0 ik
(4.11)
( ik ≠ jl )
est le terme d’interférence MAI.
4.5 MAI (taux multiples)
Comme à la section 2.5, ce qui nous intéresse est la variance du bruit et surtout de la MAI à la
sortie du récepteur.
2
var [ I jl ] = E [ ( I jl ) ]
Ki
p
var [ Ijl ] =
∑ ∑
i = 1 k=1
(4.12)
Tj
1P
---------i E
2P
Tj j
∫0 bik ( t – τik )aik ( t – τik )ajl ( t ) cos ( ϕik ) dt
2
(4.13)
( ik ≠ jl )
Les déphasages initiaux ( θ ik ) et les délais ( τ ik ) sont modélisés comme des variables aléatoires
indépendantes distribuées uniformément sur [ 0, 2π ) et [ 0, T i ), respectivement. Les termes
croisés seront nuls car les bits sont indépendantes et de moyenne nulle.
Ki
p
var [ Ijl ] =
1 Pi
- E [ ( cos ϕ ik )
∑ ∑ T-----2 ---Pj
2
2
]Ebik, τ ik [ J ik ]
i = 1 k=1 j
( ik ≠ jl )
p
Ki
Pi
1 - ---2
--------E
[J ]
2 P b ik, τik ik
2T j j
(4.14)
∫0 bik ( t – τik )aik ( t – τik )ajl ( t ) dt
(4.15)
∑ ∑
var [ I jl ] =
i = 1 k=1
( ik ≠ jl )
Tj
où J ik =
Il est nécessaire de définir la fonction d’inter-corrélation partielle suivante:
Rik , jl ( t1, t 2 ) =
t2
∫t aik ( t – τik )ajl ( t ) dt
(4.16)
1
Pour résoudre l’équation 4.14, il faut diviser en trois cas qui sont fonction de la différence entre
les longueurs des séquences; soit T j = T i , Tj > T i et Tj < T i .
4.5.1
25
Cas Tj = Ti
Pour ce cas, les séquences de codes interférentes (prenant des valeurs de l’ensemble { ± 1 } )
possédant la même période que la séquence de code du signal, c’est-à-dire N j = N i .
L’expression de l’inter-corrélation partielle est
( –1 )
(0)
J ik = b ik Rik, jl ( 0, τ ik ) + b ik Rik, jl ( τ ik, T j )
(4.17)
Nous calculons la moyenne de l’expression de l’inter-corrélation partielle sur les bits ( b ik ) et
sur les délais ( τ ik ) .
( –1 )
2
(0 )
2
Eb ik, τ ik [ ( J ik ) ] = Eb ik, τ ik [ ( b ik R ik, jl ( 0, τ ik ) + b ik Rik , jl ( τik , Tj ) ) ]
( –1 )
(4.18)
(0 )
où b ik , b ik sont les bits (indépendants) de l’interféreur (voir dessins en Annexe A). De par
le fait que les bits sont indépendants des séquences nous pouvons développer comme suit:
2
( –1 ) 2
2
2
2
(0) 2
2
E b ik, τ ik [ ( J ik ) ] = E [ ( b ik ) ]E [ Rik, jl ( 0, τ ik ) ] + E [ ( b ik ) ]E [ R ik, jl ( τ ik, T j ) ]
2
Eb ik, τ ik [ ( J ik ) ] = E [ Rik, jl ( 0, τ ik ) ] + E [ Rik, jl ( τ ik, T j ) ]
Il reste le moyennage des fonctions d’inter-corrélation partielles sur les délais ( τ ik ) définis sur
l’intervalle 0 ≤ τ ik < T i .
1 Ti 2
2
2
Ebik, τ ik [ ( J ik ) ] = ---- ∫ Rik, jl ( 0, τik ) + Rik, jl ( τik, Tj ) dτ ik
Ti 0
(4.19)
Maintenant nous divisons l’intégration de l’intervalle 0 ≤ τ ik < T i en une somme des intégrales
sur les intervalles “chips”.
Ni – 1
1
2
E b ik, τ ik [ ( J ik ) ] = ---- ⋅
Ti
( q + 1 )T c
∑ ∫qT
q=0
2
2
[ R ik, jl ( 0, τ ik ) + R ik, jl ( τ ik, T j ) ] dτ ik
(4.20)
c
Pour résoudre l’équation 4.20, il est nécessaire de transférer les fonctions d’inter-corrélations
partielles du temps continu au temps discret. Pour exécuter ce transfert, nous avons utilisé
l’identité suivante [3]:
R x, y ( τ ) = T c C x, y ( q ) + ( τ – qT c ) [ C x, y ( q + 1 ) – C x, y ( q ) ]
(4.21)
où C x, y ( ) est la fonction d’inter-corrélation apériodique (temps discret) et où q est le plus
grand nombre entier tel que qTc ≤ τ . Cette identité ajoute un “poids” sur l’inter-corrélation
26
partielle lorsque τ tombe entre qTc et ( q + 1 )Tc donc 0 ≤ qT c ≤ τ ≤ ( q + 1 )Tc < T i (i.e. cas
asynchrone). Nous pouvons développer cette identité de façon complémentaire [4], c’est-à-dire
Rx, y ( 0, τ ) = R x, y ( 0, ( τ = qT c ) )
(4.22)
+ ( τ – qTc ) [ R x, y ( 0, ( τ = ( q + 1 )Tc ) ) – R x, y ( 0, ( τ = qTc ) ) ]
Rx, y ( τ, T ) = Rx, y ( ( τ = qT c ), T )
(4.23)
+ ( τ – qT c ) [ Rx, y ( ( τ = ( q + 1 )T c ), T ) – Rx, y ( ( τ = qT c ), T ) ]
qui deviennent
Rx, y ( 0, τ ) = T c C x, y ( q – N ) + ( τ – qTc ) [ C x, y ( q + 1 – N ) – C x, y ( q – N ) ]
(4.24)
R x, y ( τ, T ) = Tc C x, y ( q ) + ( τ – qTc ) [ C x, y ( q + 1 ) – C x, y ( q ) ]
(4.25)
et où la fonction d’inter-corrélation apériodique pour deux séquences x,y de longueur N est
donnée par





C x, y ( q ) = 





N–1–q
∑
xd yd + q
0≤q≤N–1
d=0
N–1+q
∑
(4.26)
xd – q yd
1–N≤q<0
0
q ≥N
d=0
La fonction C x, y ( q ) est une fonction des délais q en temps discret. Les calculs détaillés des
fonctions d’inter-corrélations sont en Annexe A et les calculs de transfert continu-discret avec
schémas sont en Annexe B. À partir de ces calculs nous obtenons comme résultat, pour le côté
droit de l’équation 4.20, l’expression intermédiaire suivante:
Ni – 1
1
---⋅
Ti
( q + 1 )T c
∑ ∫qT
q=0
[ T c C x, y ( q – N i ) + ( τ ik – qT c ) [ C x, y ( q + 1 – N i ) – C x, y ( q – N i ) ] ]
2
c
Cette expression nous donne un lien direct entre l’inter-corrélation apériodique des séquences
de codes déterministes pseudo-bruits, que nous pouvons évaluer numériquement, et
27
l’inter-corrélation en temps continu des mêmes séquences dans un système de communication
CDMA asynchrone. Les calculs détaillés en Annexe C nous permette de réécrire l’équation 4.20
comme suit:
3
Tc
E b ik, τ ik [ ( J ik ) ] = -------- ⋅ r ik , jl
3T i
2
(4.27)
où le paramètre d’interférence moyenne est
Ni – 1
r ik =
∑
2
C ik, jl ( q – N i ) + C ik, jl ( q + 1 – N i )
2
(4.28)
q=0
Note: r ik, jl = r ik pour faire plus court.
Ce cas correspond au CDMA à taux unique de [3][4][5]. Le paramètre d’interférence moyenne
doit être évalué numériquement pour en substituer la valeur dans l’équation 4.27.
4.5.2
Cas Tj > Ti
Les hypothèses de départ de ce cas sont que chaque bits consécutifs doivent être indépendants,
que les séquences soient périodiques, que les chips prennent des valeurs de l’ensemble { ± 1 } ,
et que la relation entre les longueurs des séquences respecte les équations 3.11 et 3.12.
L’expression de l’inter-corrélation partielle (voir Figure A-2) est
L–2
J ik =
( –1 )
b ik R ik, jl ( 0, τik )
+
∑
(m)
b ik Rik, jl ( τik + mT i, τ ik + ( m + 1 )T i )
m=0
(L – 1 )
+ b ik
( L)
( Rik, jl ( τ ik + ( L – 1 )T i, τ ik + LT i ) ) + bik ( Rik, jl ( τ ik + LT i, T j ) )
Nous devons calculer la moyenne sur les bits et sur les délais τ ik .
(4.29)
28
( –1 )
2
2
Eb ik, τ ik [ ( J ik ) ] = Eb ik, τ ik [ ( b ik Rik, jl ( 0, τ ik ) ) ]
+ Ebik, τ ik
(4.30)
L–2

(m)


 ∑ b ik R ik, jl ( τ ik + mT i, τ ik + ( m + 1 )T i )
m = 0

(L – 1 )
+ Ebik, τ ik [ ( b ik
2
2
R ik, jl ( τ ik + ( L – 1 )T i, τ ik + LT i ) ) ]
Les termes croisés sont nuls (bits indépendants et de moyenne nulle) et nous obtenons
2
Ebik, τ ik [ ( J ik ) ] = Eτ ik [ R
2
ik , jl ( 0, τik ) ]
(4.31)
L–2
∑
+
Eτ ik [ R
2
ik, jl ( τ ik
+ mT i, τ ik + ( m + 1 )T i ) ]
m=0
Il ne reste qu’à faire le moyennage sur les délais.
1 Ti 2
Eb ik, τ ik [ ( J ik ) ] = ---- ∫ [ R ik, jl ( 0, τ ik ) +
Ti 0
2
+R
2
ik, jl ( τ ik
L–2
∑
R
2
ik, jl ( τ ik
+ mTi, τ ik + ( m + 1 )Ti )
m=0
+ ( L – 1 )T i, τ ik + LT i ) + R
2
ik, jl ( τ ik
+ LTi, T j ) ]dτ ik
Maintenant, nous divisons l’intégration de l’intervalle 0 ≤ τ ik < T i en une somme des intégrales
sur les intervalles “chips”.
Ni – 1
2
Ebik, τ ik [ ( J ik ) ] =
∑
q=0
1 ( q + 1 )T c 2
---[ R ik, jl ( 0, τ ik )
T i ∫q
(4.32)
L–2
+
∑
R
2
ik, jl ( τ ik
+ mT i, τ ik + ( m + 1 )T i ) + R
2
ik, jl ( τ ik
+ ( L – 1 )T i, τ ik + L T i )
m=0
2
+R
( τ + LT T ) dτ
Le résultat que nous obtenons, en reproduisant les même étape de calculs que la section
précédente, (calculs détaillés en annexes A, B et C) est
29
3
Tc
E bik, τ ik [ ( J ik ) ] = -------- ⋅ r ik
3T i
2
(4.33)
Ni – 1
r ik =
∑
2
2
(4.34)
q=0
+ C ik, jl ( q – N i )C ik, jl ( q + 1 – N i )
et la fonction d’inter-corrélation apériodique (Ny = Njl et Nx = Nik) est
 Nx – 1 + q


y
x
 ∑ d–q d
 d=0
 Nx – 1


x y
 ∑ d d+q
 d=0
C xy ( q )
=  Ny – L – ( L – 1 )N x
( Ny > Nx )

 ∑ xd yd + q
 d=0
 N –1–q
 y

 ∑ xd yd + q
 d=0

 0
1 – Nx ≤ q < 0
0 ≤ q ≤ ( L – 1 )N x – 1
( L – 1 )N x ≤ q < ( L – 1 )N x + ( L – 1 )
(4.35)
( L – 1 )N x + ( L – 1 ) ≤ q ≤ Ny – 1
autrement
Il est à noter que le cas T j = Ti n’est qu’un cas spécial des équations 4.34 et 4.35 où
(n – n )
(0 )
L = 2 j i = 2
= 1 . On peut donc réunir les deux définitions pour en faire un seul cas;
soit le cas Tj ≥ T i . Les équations 4.34 et 4.35 nous permettent d’évaluer le paramètre
d’interférence moyenne r ik numériquement pour en substituer la valeur dans l’équation 4.33.
Cette conversion du temps continu au temps discret nous permet d’évaluer la performance des
séquences de codes dans un réseau de communication (temps continu) à taux multiples.
4.5.3
30
Cas Tj < Ti
Pour ce cas, l’expression de J ik est différente pour τ ik < Tj et pour τ ik ≥ Tj (voir dessins en
Annexe A). Les expressions des l’inter-corrélations partielles sont
( –1 )
(0 )
J ik = b ik Rik, jl ( 0, τ ik ) + b ik R ik, jl ( τ ik, T j )
J ik =
( –1 )
b ik Rik, jl ( 0,
Tj )
0 ≤ τik < T j
(4.36)
T j ≤ τ ik < T i
donc
2
1- Tj
( –1 )
( 0)
--Ebik, τ ik [ ( J ik ) ] = ∫ Ebik [ ( b ik Rik, jl ( 0, τ ik ) + bik R ik, jl ( τ ik, T j ) ) ] dτ ik
Ti 0
2
(4.37)
2
1 Ti
( –1 )
+ ---- ∫ Eb ik [ ( b ik Rik, jl ( 0, T j ) ) ] dτ ik
Ti Tj
et, comme les deux autres cas, nous divisons l’intégration de l’intervalle 0 ≤ τ ik < T i en une
somme des intégrales sur les intervalles “chips”.
Nj – 1
2
Eb ik, τ ik [ ( J ik ) ] =
∑
1 ( q + 1 )Tc 2
2
---- ∫
[ R ik, jl ( 0, τ ik ) + R ik, jl ( τ ik, T j ) ] dτik
Ti q
q=0
Ni – 1
+
∑
(4.38)
1 Ti 2
---R ik, jl ( 0, Tj ) dτ ik
T i ∫T j
Le résultat que nous obtenons (calculs détaillés en annexe A, B et C) est
3
Tc
E bik, τ ik [ ( J ik ) ] = -------- ⋅ r ik
3T i
2
(4.39)
31
Nj – 1
r ik =
∑
2
2
(4.40)
q=0
+ C ik, jl ( q – N i )C ik, jl ( q + 1 – N i )
2
2
+ C ik, jl ( q ) + C ik, jl ( q + 1 ) + C ik, jl ( q )C ik, jl ( q + 1 )
Ni – 1
+
∑
2
2
q = Nj
et la fonction d’inter-corrélation apériodique (Ny = Njl et Nx = Nik) est







C xy ( q )

= 
( N y < Nx )








Ny – 1 – q
∑
xd yd + q
0 ≤ q ≤ Ny – 1
xd – q yd
1 – Nx ≤ q ≤ N y – N x – 1
d=0
Nx – 1 + q
∑
(4.41)
d=0
Ny – 1
∑
xd – q yd
Ny – Nx ≤ q < 0
d=0
0
autrement
À partir de ces expressions de l’inter-corrélation apériodique nous pouvons évaluer
numériquement la valeur du paramètre d’interférence moyenne de ce cas.
Pour les trois cas, nous avons trouvé des expressions de l’inter-corrélation que nous pouvons
évaluer numériquement pour ensuite substituer les valeurs obtenues dans les expressions de la
2
moyenne de l’inter-corrélation en temps continu E bik, τ ik [ ( J ik ) ] . Cela, en retour, nous donne
la valeur de la variance de l’interférence var [ Ijl ] (équation 4.14). Cette valeur est nécessaire
pour évaluer la performance d’un système CDMA à taux multiples.
CHAPITRE
5
RÉSULTATS
Ce chapitre présente les résultats des calculs numériques d’inter-corrélations entre des
séquences de codes pseudo-bruits de longueurs différentes. Les calculs ont été fait avec l’aide
de programmes en C.
5.1 Introduction
Comme nous avons mentionné à la fin du chapitre 4, le paramètre que nous pouvons évaluer
numériquement est le paramètre d’interférence moyenne ( r ik ). Ce paramètre est fonction de
l’inter-corrélation entre les séquences et leurs différences de longueur. À partir de ces résultats
numériques nous pouvons évaluer la variance de la MAI pour les trois cas suivant;
• durée du bit signal = durée du bit interférente T j = T i ;
• durée du bit signal > durée du bit interférente T j > Ti et;
• durée du bit signal < durée du bit interférente T j < Ti .
32
5. RÉSULTATS
33
En utilisant l’approximation que la MAI a une densité Gaussienne, la variance de la MAI nous
permet le calcul du SNIR qui nous donne la performance d’un réseau avec un système CDMA
à taux multiples.
Des calculs et des résultats numériques ont déjà été publiés sur ce sujet dans le cas d’un système
CDMA à taux unique avec des m-séquences et aussi avec des séquences de Gold et de Kasami
[6]. Dans le cas d’un système CDMA à taux multiples, des calculs ont été publiés seulement
pour des séquences (quasi) aléatoires (i.e. inter-corrélation égale à un) [8].
Nous utilisons les résultats de [6] et [8] comme base de référence pour comparer la performance
de nos calculs et évaluer leur validité. Un bref résumé de ces résultats est compris dans la
prochaine section, surtout sur les calculs avec séquences aléatoires.
5.2 Séquences aléatoires
Les résultats numériques obtenus pour le calcul de l’inter-corrélation entre des séquences
aléatoires de longueurs différentes [8]
Ecodes aléatoires r ik

 2N 2i
Tj = Ti


=  2LN 2i T > T
j
i


 2N j N i T j < T i

(5.1)
où, dans la référence, L = T j ⁄ T i , une approximation de notre définition de L. Les longueurs
des séquences, dans [8], sont des multiples de la plus petite longueur de séquence. La valeur
moyenne dans l’équation 5.1 a été obtenue en calculant l’espérance de l’expression de
l’inter-corrélation partielle
2
E a, bik, τ ik [ ( J ik ) ]
(5.2)
sur les codes aléatoires (a), les bits (bik) et les délais ( τ ik ) pour les trois cas de l’équation 5.1,
comparativement à nous, où rik n’est moyenné que sur les bits (bik) et les délais ( τ ik ).
Étant donné que nous utilisons des séquences de code déterministes, nous pouvons utiliser les
résultats numériques de nos calculs par ordinateur au lieu de se fier à une moyenne. Dans le cas
des inter-corrélations entre des séquences de mêmes longueurs, il est montré dans [3][4][5][6]
que les résultats numériques, en utilisant des m-séquences, des séquences de Gold et des
séquences de Kasami, donnent les mêmes résultats (en moyenne) que le calcul de la moyenne
5. RÉSULTATS
34
tel que calculé à partir de l’équation 5.2. Notre objectif est de chercher à savoir si nous obtenons
des résultats similaires entre des séquences de longueurs différentes et aussi d’obtenir un estimé
de la fonction de densité de probabilité (pdf) pour rik. Avec la pdf de rik nous pouvons évaluer
la qualité du calcul de la performance utilisant seulement la moyenne de rik.
5.3 Résultats avec séquences déterministes
5.3.1
Histogramme des valeurs de rik pour les cas CDMA à taux uniques
Le paramètre d’interférence moyenne rik a été calculé premièrement pour les cas ou les
séquences interférentes sont de même période que le signal désiré. Ces résultats étant déjà connu
nous pouvons ainsi tester la validité des programmes de calculs.
5000
moyenne théorique
µ = 0.9989
4500
σ = 0.0547
Nombres d’événements
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
Figure 5.1 Paramètre d’interférence moyenne (rik) pour des
séquences de Gold de périodes Nj = Ni = 511 construites à
partir des polynômes 1021 et 1131octal. Les valeurs de rik sont
normalisées sur le résultat rik = 2Ni2 = 522 242.
1.4
5. RÉSULTATS
35
Pour les calculs, nous avons construit des familles de séquences de Gold et de Kasami à partir
d’une variété de polynômes pour pouvoir essayer plusieurs possibilités. Les histogrammes
représentent rik pour chacune des Nj séquences d’une famille (signal désiré) inter-corrélées avec
les Ni séquences d’une autre famille constituant les interféreurs et leurs Ni décalages possibles.
Le nombres d’évènements rik constituant un histogramme est donc au plus Nj x Ni évènements,
ce qui contient toutes les possibilités de décalages entre toutes les séquences de chacune des
familles. Les figures 5.1, 5.2 et 5.3 représentent les histogrammes des valeurs de rik obtenus
entre des séquences de la même famille (même longueur). L’axe des x est normalisé sur la valeur
espérée de rik (valeur de 5.1). La variance de la MAI sera proportionnelle à la somme de rik pour
tous les usagers actifs. Comme l’ensemble des usagers actifs varient avec le temps (usagers qui
commencent et terminent leurs transmissions), l’histogramme nous donne l’information sur les
valeurs possibles pour chaque terme rik. L’histogramme est notre estimé de la pdf de rik en
considérant la combinaison des usagers actifs comme une variable aléatoire.
2500
moyenne théorique
2000
µ = 0.9894
σ = 0.0930
1500
1000
500
0
0.5
1
1.5
séquences de Kasami de périodes Nj = Ni = 255 construites à
partir du polynôme 5110557octal. Les valeurs de rik sont
2
5. RÉSULTATS
36
Une droite au point rik (normalisé) = 1.0, représentant la moyenne théorique de 5.1 est
superposée à l’histogramme de la Figure 5.1. Nous notons que la moyenne des valeurs de
l’histogramme est très près de la valeur moyenne pour des codes aléatoires. La courbe
Gaussienne superposée à l’histogramme est tracée en utilisant les valeurs (µ, σ) de
l’histogramme pour illustrer que sa forme est bien approximée par une Gaussienne.
Pour les séquences de Kasami de la Figure 5.2, l’histogramme est moins près de la forme
Gaussienne que sur la Figure 5.1, mais sa moyenne est quand même très près de la valeur
moyenne pour des codes aléatoires. Nous notons aussi quelques points de l’histogramme (côté
droit) qui montrent une moins bonne performance (d’inter-corrélation) pour certain délais entre
certaines séquences. Ces différences peuvent être expliquées par une méthode de construction
de la famille de séquences de Kasami, qui est différente par rapport à la méthode utilisée pour
les séquences de Gold, et qui n’est pas aussi performante.
300
µ = 0.9921
σ = 0.1079
moyenne théorique
250
200
150
borne inférieure
borne supérieure
100
50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
partir des polynômes 235 et 247octal. Les valeurs de rik sont
1.8
5. RÉSULTATS
37
En effet, les critères de sélection pour qu’une séquence soit admise dans la famille de Kasami
(255 séquences / 4111 possibilités pour nos familles) sont en fonction de son intra-corrélation
et non en fonction de son inter-corrélation avec les autres séquences de la famille, tandis que les
séquences de Gold forme un ensemble complet sans qu’aucun autre test de sélection ne soit
nécessaire. Cependant, les résultats obtenus, en comparant avec l’équation 5.1, sont quand
même cohérents avec ce que nous attendions. Dans la Figure 5.3, nous avons rajouté les valeurs
de la borne inférieure et de la borne supérieure de rik tel que définies en [5][6]. L’histogramme
n’est pas aussi “quasi-Gaussien” que sur la Figure 5.1, mais dans ce cas-ci cela peut être
expliqué par le fait que les séquences sont plus courtes, donc d’apparence moins aléatoire.
300
µ = 0.9949
moyenne théorique
σ = 0.0946
250
200
150
borne inférieure
borne supérieure
100
50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
partir des polynômes 235 et 247octal et optimisées selon les
critères AO/LSE. Les valeurs de rik sont normalisées sur le
résultat rik = 2Ni2 = 32 258.
Les séquences des figures 5.1, 5.2 et 5.3 ne sont pas optimisées. Elles sont telles que créées selon
les deux méthodes de construction utilisées. Nous avons essayé une méthode optimisation de
ces familles de séquences selon les critères AO/LSE de [3][6]. Les résultats obtenus sont
5. RÉSULTATS
illustrés, pour une famille de séquences de code spécifique, à la Figure 5.4 et démontrent, pour
ce cas, qu’il n’y a pas un grand avantage (en fonction de rik) à optimiser les séquences selon ces
critères. La moyenne se rapproche légèrement de 1.0 (mais augmente) tandis que l’écart type
offre une amélioration de 1.33% pour les séquences de longueur 127. Cependant, nous avons
noté que pour certaines autres combinaisons de familles de séquences, il n’y a aucune
amélioration, même, dans certain cas, il y a une détérioration de la performance (voir tableaux
5.1, 5.2 et 5.3).
Nous observons que la valeur des écarts types (normalisés) pour les histogrammes des figures
5.1 à 5.4 est 0.0547, 0.0930, 0.1079 et 0.0946, respectivement. L’écart type varie entre 5% et
10% de la valeur moyenne de rik, ce qui est satisfaisant.
Nous avons des séquences de longueurs 511, 255 et 127 qui démontrent des caractéristiques
d’inter-corrélation (à taux unique) correspondant aux résultats publiés précédemment. À partir
de ces résultats, nous pouvons maintenant passer aux résultats d’inter-corrélations à taux
multiples.
38
5. RÉSULTATS
5.3.2
39
Histogrammes des valeurs de rik pour les cas CDMA à taux multiples
3000
µ = 1.0032
moyenne théorique
σ = 0.0707
2500
2000
1500
1000
500
0
0.5
1
1.5
séquences de Gold de périodes Nj = 511 et Ni = 127 construites
à partir des polynômes 1021, 1131octal et 211, 217octal,
respectivement. Les valeurs de rik sont normalisées sur le
résultat rik = 2LNi2 = 129 032.
Les figures 5.5 à 5.10 représentent toutes les combinaisons d’inter-corrélations parmis les
différentes familles (en fonction de la différence de longueur) de séquences choisies pour nos
calculs. Dans tous les cas nous notons que la valeur moyenne de l’histogramme de rik est très
près de la valeur moyenne pour des codes aléatoires de l’équation 5.1. Nous observons que les
histogrammes sont parfois légèrement décalés par rapport à la forme Gaussienne mais
suffisamment près pour justifier la qualification que la forme est quasi-Gaussienne. Nous notons
aussi que l’écart type se situe entre 5% et 10% de la valeur moyenne pour ces longueurs de
séquences. Pour chacun des histogrammes de figure 5.5 à 5.10, nous avons superposés une
droite représentant la valeur moyenne pour des codes aléatoires (de l’équation 5.1) de rik ainsi
qu’une courbe Gaussienne tracée en utilisant les valeurs (µ, σ) de l’histogramme.
5. RÉSULTATS
40
5000
µ = 0.9966
σ = 0.0684
moyenne théorique
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0.5
1
séquences de Gold de périodes Nj = 511 et de Kasami de
périodes Ni = 255 construites à partir des polynômes 1021,
1131octal et 5110557octal, respectivement. Les valeurs de rik
sont normalisées sur le résultat rik = 2LNi2 = 260 100.
1.5
5. RÉSULTATS
41
1500
µ = 0.9986
moyenne théorique
σ = 0.0968
1000
500
0
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
séquences de Kasami de périodes Nj = 255 et de Gold de
périodes Ni = 127 construites à partir des polynômes
5110557octal et 235, 247octal, respectivement. Les valeurs de
rik sont normalisées sur le résultat rik = 2LNi2 = 64 516.
1.5
5. RÉSULTATS
42
2500
µ = 1.0000
σ = 0.0807
moyenne théorique
2000
1500
1000
500
0
0.5
1
séquences de Gold de périodes Nj = 127 et de périodes Ni =
511 construites à partir des polynômes 211, 217octal et 1021,
1131octal, respectivement. Les valeurs de rik sont normalisées
sur le résultat rik = 2NjNi = 129 794.
1.5
5. RÉSULTATS
43
1500
µ = 0.9947
moyenne théorique
σ = 0.0966
1000
500
0
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
séquences de Gold de périodes Nj = 127 et de Kasami de
périodes Ni = 255 construites à partir des polynômes 211,
247octal et 5110557octal, respectivement. Les valeurs de rik
sont normalisées sur le résultat rik = 2NjNi = 64 770.
1.8
5. RÉSULTATS
44
12000
moyenne théorique
µ = 0.9947
σ = 0.0684
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
séquences de Kasami de périodes Nj = 255 et de Gold de
périodes Ni = 511 construites à partir des polynômes
5110557octal et 1131, 1541octal, respectivement. Les valeurs
de rik sont normalisées sur le résultat rik = 2NjNi = 260 610.
Chacun des histogrammes des figures 5.1 à 5.10 présente les valeurs de rik pour un cas
spécifique de combinaison entre deux familles de séquences. Nous avons effectué plusieurs
calculs avec des combinaisons de séquences différentes pour élargir notre base de données
sur le paramètre d’interférence moyenne rik. Certaines combinaisons contiennent des
familles de séquences optimisées selon les critères AO/LSE pour en illustrer la
performance comparativement aux familles de séquences non-optimisées. Ces données
sont présentées dans les tableaux 5.1, 5.2 et 5.3 qui suivent.
5. RÉSULTATS
45
Tableau 5.1 Données sur rik (taux unique)
Séquences Signal
Longueur
(Nj)
Polynômes
(octal)
Séquences Interférentes
Longueur
(Ni)
Polynômes
(octal)
moyenne µ
(normalisée)
écart type σ
(normalisé)
(sur 2Ni2)
(sur 2Ni2)
127
211 & 217
127
211 & 217
0.9958
0.1089
127
211 & 235
127
211 & 235
0.9921
0.1089
127
211 & 247
127
211 & 247
0.9921
0.1086
127
235 & 247
127
235 & 247
0.9921
0.1079
127
277 & 357
127
277 & 357
0.9921
0.1082
127
211 & 217 X
127
211 & 217 X
0.9950
0.0967
127
211 & 235 X
127
211 & 235 X
0.9945
0.0971
127
211 & 247 X
127
211 & 247 X
0.9951
0.0968
127
235 & 247 X
127
235 & 247 X
0.9949
0.0946
127
277 & 357 X
127
277 & 357 X
0.9958
0.0966
moyenne des combinaisons
0.9928
0.1085
moyenne des combinaisons (optimisées AO/LSE) (X)
0.9951
0.0960
moyenne µ
(normalisée)
écart type σ
(normalisé)
(sur 2Ni2)
(sur 2Ni2)
Séquences Signal
Longueur
(Nj)
Polynômes
(octal)
Longueur
(Ni)
Polynômes
(octal)
255
5110557 (#2)
255
5110557 (#2)
1.003
0.0933
255
5110557 (#3)
255
5110557 (#3)
0.9894
0.0930
255
5110557 (#2) X 255
5110557 (#2) X 1.004
0.0958
255
5110557 (#3) X 255
5110557 (#3) X 0.9914
0.0950
0.9962
0.0932
0.9977
0.0954
5. RÉSULTATS
46
Séquences Signal
Longueur
(Nj)
Polynômes
(octal)
Longueur
(Ni)
Polynômes
(octal)
moyenne µ
(normalisée)
écart type σ
(normalisé)
(sur 2Ni2)
(sur 2Ni2)
511
1021 & 1131
511
1021 & 1131
0.9989
0.0547
511
1021 & 1167
511
1021 & 1167
0.9980
0.0546
511
1131 & 1541
511
1131 & 1541
0.9980
0.0547
511
1055 & 1333
511
1055 & 1333
0.9981
0.0545
511
1021 & 1131 X 511
1021 & 1131 X 0.9988
0.0518
511
1021 & 1167 X 511
1021 & 1167 X 0.9987
0.0517
511
1131 & 1541 X 511
1131 & 1541 X 0.9986
0.0518
511
1055 & 1333 X 511
1055 & 1333 X 0.9985
0.0519
0.9983
0.0546
0.9987
0.0518
Note 1: X dénote une famille de séquences optimisées selon les critères AO/LSE.
Note 2: Pour les séquences de Kasami de longueur 255, (#2) et (#3) dénote le numéro de
l’ensemble de 255 séquences choisis parmis une famille de 4111 séquences disponibles.
D’après les résultats du Tableau 5.1, nous observons que rik offre des performances (en fonction
de (µ, σ)) constantes, très près des valeurs théoriques pour différentes familles de séquences.
Dans le cas des séquences de Kasami, nous observons qu’il n’existe aucun avantage concluant
à optimiser les séquences selon les critères AO/LSE, car µ et σ augmentent (même si µ se
rapproche de la valeur “théorique” de 1.0). Dans le cas des séquences de Gold, il existe un léger
avantage, car σ diminue malgré que µ augmente.
Cependant, si l’objectif est de trouver et d’utiliser seulement les meilleures séquences parmi
toutes celles de la famille, alors les critères AO/LSE sont intéressants. Mais si l’intention est
d’utiliser toutes les séquences de la famille, alors ils ne sont pas vraiment utiles.
5. RÉSULTATS
47
Tableau 5.2 Données sur rik (taux multiples) (Tj > Ti)
Séquences Signal
Longueur
(Nj)
Polynômes
(octal)
Longueur
(Ni)
Polynômes
(octal)
moyenne µ
(normalisée)
écart type σ
(normalisé)
(sur 2LNi2)
(sur 2LNi2)
511
1021 & 1131
127
211 & 217
1.0032
0.0707
511
1021 & 1131
127
211 & 217 X
1.0038
0.0766
511
1021 & 1131 X 127
211 & 217
1.0039
0.0799
511
1021 & 1131 X 127
211 & 217 X
1.0039
0.0755
511
1021 & 1167
127
235 & 247
1.0039
0.0807
511
1021 & 1131
255
5110557 (#3)
0.9966
0.0684
511
1021 & 1131
255
5110557 (#3) X 0.9969
0.0657
511
1021 & 1131 X 255
5110557 (#3)
0.9967
0.0668
511
1021 & 1131 X 255
5110557 (#3) X 0.9971
0.0641
511
1131 & 1541
255
5110557 (#2)
1.0031
0.0693
255
5110557 (#3)
127
235 & 247
0.9982
0.0967
255
5110557 (#3) X 127
235 & 247 X
0.9989
0.0864
255
5110557 (#3)
127
277 & 357
0.9986
0.0969
255
5110557 (#2)
127
211 & 235
1.0051
0.0981
5. RÉSULTATS
48
Tableau 5.3 Données sur rik (taux multiples) (Tj > Ti)
Séquences Signal
Longueur
(Nj)
Polynômes
(octal)
Longueur
(Ni)
Polynômes
(octal)
moyenne µ
(normalisée)
écart type σ
(normalisé)
(sur 2NjNi)
(sur 2NjNi)
127
211 & 247
255
5110557 (#3)
0.9947
0.0966
127
211 & 247 X
255
5110557 (#3) X 0.9950
0.0881
127
235 & 247
255
5110557 (#3)
0.9947
0.0964
127
211 & 217
255
5110557 (#2)
1.0012
0.0981
255
5110557 (#3)
511
1055 & 1333
0.9947
0.0684
255
5110557 (#3) X 511
1055 & 1333 X 0.9949
0.0639
255
5110557 (#2)
511
1021 & 1131
1.0012
0.0691
255
5110557 (#3)
511
1131 & 1541
0.9947
0.0684
127
211 & 217
511
1021 & 1131
1.0000
0.0807
127
211 & 217 X
511
1021 & 1131 X 1.0000
0.0753
127
235 & 247
511
1021 & 1067
1.0000
0.0804
127
277 & 357
511
1055 & 1333
1.0000
0.0805
Nous observons que quelque soit la combinaison de familles de séquences testées, les résultats
sont constants d’une à l’autre. L’effet de l’optimisation selon les critères AO/LSE est, dans la
plupart des cas ci-haut, d’augmenter légèrement la valeur moyenne de rik (ce qui n’est pas une
amélioration) et de diminuer légèrement l’écart type des histogrammes (ce qui est avantageux).
Cependant, l’effet de l’optimisation ne semble pas être constant d’une famille de séquences à
l’autre.
Ces résultats nous permettent d’incorporer les valeurs moyennes et les écarts types de rik dans
les équations de la variance de la MAI pour évaluer le SNIR.
5. RÉSULTATS
49
5.4 SNIR (Rapport Signal sur Interférence + Bruit)
Reprenons les équations 4.14, 4.27, 4.33 et 4.39;
Ki
p
var [ Ijl ] =
1 Pi
--------- ----- Eb , τ
∑ ∑ 2T
2P
j
ik
2
ik
[ J ik ]
(5.3)
j
i = 1 k=1
( ik ≠ jl )
3
Tc
Eb ik, τ ik [ ( J ik ) ] = -------- ⋅ r ik
3Ti
2
(5.4)
Si nous substituons 5.4 dans 5.3, nous obtenons l’expression de la variance de la MAI en
fonction de notre paramètre d’interférence moyenne rik
Ki
p
3
∑ ∑
var [ Ijl ] =
i = 1 k=1
 Tc

1 -P
------------i  ------- ⋅ r ik
2 P 3T

2T j j  i
(5.5)
( ik ≠ jl )
P
T
Après quelques manipulations et étant donné que Tj = N j T c , que T i = N i T c et que -----i = ----j ,
Pj
Ti
nous pouvons réécrire l’équation 5.5
p
var [ I jl ] =
Ki
1
- ( r ik )
∑ ∑ -------------2
6N N
i = 1 k=1
i
(5.6)
j
( ik ≠ jl )
En utilisant les valeurs de rik obtenues dans nos calculs (figures 5.1 à 5.10), nous pouvons
trouver la distribution de la variance (équation 5.6) pour tous les cas qui nous intéressent. La
variance de la MAI, qui est une valeur normalisée sur la puissance moyenne du signal (voir
équation 4.10), peut ensuite être insérée dans le rapport Signal / Bruit + Interférence (SNIR).
1
SNIR multirate = ----------------------------------1var [ Ijl ] + ---------SNR
(5.7)
5. RÉSULTATS
50
1
SNIRmultirate = ---------------------------------------------------------------------p
Ki
1
(5.8)
- ( r ik ) + ----------∑ ∑ -------------2
SNR
6N N
i = 1 k=1
i
1
j
( ik ≠ jl )
La probabilité d’erreur pour un système de modulation en phase BPSK est
Pe = 0.5erfc ( SNIR multirate )
(5.9)
Nous avons donc une expression de la probabilité d’erreur de notre système CDMA à taux
multiples en fonction de la variance de la MAI ou en fonction du paramètre d’interférence
moyenne rik. Ceci nous permet d’évaluer directement l’influence des séquences de codes
déterministes sur la performance du réseau.
Les figures 5.11 à 5.18 illustrent différentes manières de représenter l’information obtenue par
nos calculs. Les paramètres qui sont intéressants pour notre réseau sont: le nombre d’usagers
simultanés (Ki), le taux d’erreur (BER), le rapport Signal sur Bruit (SNR) et bien entendu le
paramètre d’interférence moyenne (rik). Nous avons traité l’ensemble des rik comme des
variables aléatoires, gaussiennes et indépendantes. Les valeurs moyennes ainsi que les écarts
types trouvés à partir des données de nos histogrammes (tableaux 5.1, 5.2 et 5.3) de rik nous
permettent de définir nos “intervalles de confiance”. La densité de probabilité de la somme sur
rik sera donc aussi gaussienne. Avec la définition
X ik

 r ik ⁄ 2N 2i
Tj = Ti


=  r ik ⁄ 2LN 2i T > T
j
i


 r ik ⁄ 2N j N i T j < T i

(5.10)
nous tenons compte de la normalisation des moyennes, et nous pouvons modéliser les xik
comme des variables aléatoires gausiennes de moyenne un et ayant une variance donnée dans
les tableaux 5.1, 5.2 et 5.3. Nous établissons la définition
5. RÉSULTATS
51
Ki

p
 1
 -------- ∑ ∑ x ik Tj = T i
 3N j
i = 1 k=1


( ik ≠ jl )

Ki
p
Ki
p

L
 -------1 X = ∑ ∑ -------------( r ik ) =  3N
∑ ∑ xik Tj > Ti
(5.11)
2
j
6N i N j

i = 1 k=1
i = 1 k=1

(
ik
≠ jl )
( ik ≠ jl )

Ki
p

x ik
 1
Tj < T i
 --3- ∑ ∑ -----Nj

 i = 1 k=1
 ( ik jl )
L’écart-type et la moyenne de cette variable aléatoire est donc relativement facile à calculer. Les
intervalles de confiance sont donnés par
1

P e = 0.5erfc  --------------------------------------------------------------------------------moyenne X ± écart-type X + SNR
(5.12)
On note, par l’équation 5.11, que la probabilité d’erreur est une fonction du nombre d’usagers à
chaque taux de transmission, et n’est pas seulement une fonction du nombre total des usagers.
Il est donc nécessaire de présenter des courbes qui montrent les intervalles quand les populations
de chaque taux de transmission présent varient (les figures 5.16, 5.17 et 5.18 en sont des
exemples).
Les paramètres de réseau utilisés pour obtenir les courbes sont des paramètres typiques (pour
exemple LAN optique, voir le chapitre 6). Le rapport Signal sur Bruit (SNR) est fixé à une valeur
(réaliste) où les erreurs proviennent principalement de l’interférence (pour la mettre en
évidence). C’est-à-dire qu’une augmentation du SNR n’améliorera pas le BER.
La Figure 5.11 représente le taux d’erreur binaire en fonction du nombre d’usagers simultanés
dans le cas où tous les interféreurs possèdent le même taux de transmission (binaire) que le
signal désiré, c’est-à-dire le cas d’un système CDMA à taux unique. Nous notons que pour que
chaque usager maintienne un taux d’erreur binaire égal ou inférieur à 10-9, il ne doit pas y avoir
plus de 11 usagers simultanés à un taux de transmission de 100 Mbits/s (ce qui correspond à un
étalement spectral avec une séquence de code de période 127). Précédemment [6], l’information
qui était disponible était la valeur moyenne (ligne pleine) ainsi que des bornes théoriques (de
rik) qui fixait les bornes absolues entre 5 et 15 usagers simultanés (pour le cas de Figure 5.11).
Nos résultats numériques nous donne encore plus d’information, car en utilisant les valeurs des
écarts types des histogrammes du Tableau 5.1, nous pouvons déterminer des “intervalles de
5. RÉSULTATS
52
confiance” associés avec des séquences de codes déterministes. C’est-à-dire, dans le cas de la
Figure 5.11, l’intervalle µ ± σ (ou 68%) ne varie pas de façon significative de la moyenne de
10 usagers mais l’intervalle µ ± 2σ (ou 95%) varie de 9 à 11 usagers simultanés. Nous avons
donc beaucoup plus d’information sur la performance (d’inter-corrélation), ce qui nous permet
une meilleure évaluation de la performance globale d’un réseau CDMA.
0
10
−2
10
−4
10
BER
SNR = 28dB
−6
10
−8
10
valeur moyenne
borne 68%
borne 68%
borne 95%
borne 95%
−10
10
−12
10
0
10
20
30
40
50
60
70
K = Nombre d’usagers simultanés
Figure 5.11 BER en fonction du nombre d’usagers simultanés
dans le cas d’un signal désiré à un taux binaire de 100 Mbits/s et
où les interféreurs transmettent également à 100 Mbits/s.
80
5. RÉSULTATS
53
0
10
−2
10
−4
10
BER
SNR = 28dB
−6
10
−8
10
valeur moyenne
borne 68%
borne 68%
borne 95%
borne 95%
−10
10
−12
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
dans le cas d’un signal désiré à un taux binaire de 100 Mbits/s
et où les interféreurs transmettent tous à 50 Mbits/s.
Les figures 5.12 à 5.15 représentent le taux d’erreur binaire en fonction du nombre d’usagers
simultanés dans des cas où les interféreurs ne transmettent pas au même taux de transmission
(binaire) que le signal désiré. Dans ces cas, la seule information que nous possédions
précédemment était la valeur moyenne en utilisant l’hypothèse que les séquences étaient
parfaitement aléatoires [8]. Comme dans la Figure 5.11, nous avons maintenant des “intervalles
de confiance” pour évaluer la performance, dans ces cas, d’un réseau CDMA à taux multiples,
avec des séquences de code déterministes. Les taux de transmission binaire 100 Mbits/s, 50
Mbits/s et 25 Mbits/s correspondent à un étalement spectral par des séquences de code de
périodes 127, 255 et 511, respectivement.
5. RÉSULTATS
54
−3
10
−4
10
SNR = 28dB
−5
10
−6
BER
10
−7
10
−8
10
−9
10
valeur moyenne
borne 68%
borne 68%
borne 95%
borne 95%
−10
10
−11
10
−12
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
dans le cas d’un signal désiré à un taux binaire de 100 Mbits/s
et où les interféreurs transmettent tous à 25 Mbits/s.
Les figures 5.11 à 5.15 nous donne une évaluation de la performance quand il n’y a qu’un seul
taux d’interféreurs présent. Les figures 5.16 à 5.18 nous donne la même information, mais dans
les cas plus réalistes où il existe plusieurs interféreurs avec des taux de transmission différents.
La Figure 5.16 n’a qu’un seul interféreur à 100 Mbits/s, 4 interféreurs à 50 Mbits/s et beaucoup
d’interféreurs à 25 Mbits/s. Nous observons, en comparant la Figure 5.16 avec les figures 5.17
et 5.18, où il y a une répartition différente des interféreurs, que les usagers à 100 Mbits/s causent
beaucoup plus d’interférence que ceux transmettant à un taux binaire plus lent (comme on
pouvait le déduire intuitivement). L’autre constatation est le fait que la capacité totale du réseau
demeure à peu près constante. C’est-à-dire qu’on peut avoir 10 usagers simultanés (avec marge)
à 100 Mbits/s, ou 9 usagers à 100 Mbits/s avec 2 autres à 50 Mbits/s, ou encore 8 usagers à 100
Mbits/s, 2 à 50 Mbits/s et 4 à 25 Mbits/s. La capacité totale demeure donc toujours autour de 1
Gbits/s pour notre réseau.
5. RÉSULTATS
55
0
10
−2
10
−4
10
BER
SNR = 28dB
−6
10
−8
10
valeur moyenne
borne 68%
borne 68%
borne 95%
borne 95%
−10
10
−12
10
0
10
20
30
40
50
60
70
où les interféreurs transmettent tous à 100 Mbits/s.
80
5. RÉSULTATS
56
0
10
−2
10
−4
10
BER
SNR = 28dB
−6
10
−8
10
valeur moyenne
borne 68%
borne 68%
borne 95%
borne 95%
−10
10
−12
10
0
10
20
30
40
50
60
70
où les interféreurs transmettent tous à 50 Mbits/s.
80
5. RÉSULTATS
57
−3
10
−4
10
SNR = 28dB
−5
10
−6
BER
10
−7
10
−8
10
−9
10
valeur moyenne
bornes 68%
bornes 68%
bornes 95%
bornes 95%
−10
10
−11
10
−12
10
0
10
20
30
40
50
60
K = Nombre d’usagers simultanés (25 Mbits/s)
70
dans le cas d’un signal désiré à un taux binaire de 100Mbits/s et
où les interféreurs transmettent à des taux différents, 1
interféreur à 100 Mbits/s, 4 interféreurs à 50 Mbits/s et la
courbe représente les interféreurs à 25 Mbits/s.
80
5. RÉSULTATS
58
−3
10
−4
10
SNR = 28dB
−5
10
−6
BER
10
−7
10
−8
10
−9
10
valeur moyenne
bornes 68%
bornes 68%
bornes 95%
bornes 95%
−10
10
−11
10
−12
10
0
10
20
30
40
50
60
70
interféreurs à 100 Mbits/s, 4 interféreurs à 50 Mbits/s et la
80
5. RÉSULTATS
59
−3
10
−4
10
SNR = 28dB
−5
10
−6
BER
10
−7
10
−8
10
−9
10
valeur moyenne
bornes 68%
bornes 68%
bornes 95%
bornes 95%
−10
10
−11
10
−12
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
interféreurs à 100 Mbits/s, 8 interféreurs à 50 Mbits/s et la
Nous pouvons facilement faire un lien entre notre équation 5.6 et les résultats des calculs
obtenus en [8]. Nous observons que les valeurs (numériques) moyennes de rik obtenues dans les
tableaux 5.1, 5.2 et 5.3 sont très près de ceux de l’équation 5.1 comme illustré par

 2N 2i
Tj = Ti


r ik ≅  2LN 2i T > T
j
i


 2N j N i T j < T i

(5.13)
5. RÉSULTATS
60
Si nous supposons que, dans notre cas, LN i ⁄ N l = 1 (pour T j > Ti ) et que notre système de
contrôle de puissance est directement proportionnel au taux de transmission binaire
( P i ⁄ P j = R i ⁄ Rj ) où Ri = 1 ⁄ T i et Rj = 1 ⁄ T j sont les taux de transmission binaire, alors
1
SNIR multirate = ---------------------------------------------------------------------K
p
(5.14)
i
1
- ( r ik ) + ----------∑ ∑ -------------2
SNR
6N N
i = 1 k=1
( ik
1
i
j
jl )
devient
1
SNIRmultirate = ------------------------------------------------------------------p
R
1
1-------- ∑ -----i ( K i ) – 1 + ---------3N j
Rj
SNR
(5.15)
i = 1
( ik
jl )
ce qui correspond au résultat de [8] dans le cas d’un système CDMA à taux multiples avec des
séquences parfaitement aléatoires.
Le Tableau 5.4 montre les valeurs de ces “intervalles de confiance” prisent dans les figures 5.11
à 5.18. Ce tableau illustre bien l’information que nous pouvons tirer de nos calculs.
Tableau 5.4 Capacité du réseau (Nombre d’usagers Ki vs. BER = 10-9)
Interféreurs
(100 Mbits/s)
Nb. d’usagers
Signal
(Rj)
Interféreurs
(50 Mbits/s)
Nb. d’usagers
Interféreurs
(25 Mbits/s)
Nb. d’usagers
Moy.
68%
95%
Moy.
68%
95%
Moy.
68%
95%
100 Mbits/s
10
10
9-11
-
-
-
-
-
-
100 Mbits/s
-
-
-
20
19-21
18-22
-
-
-
100 Mbits/s
-
-
-
-
-
-
40
39-41
38-42
25 Mbits/s
10
10
9-11
-
-
-
-
-
-
25 Mbits/s
-
-
-
20
20
19-21
-
-
-
100 Mbits/s
1
-
-
4
-
-
28
27-30
25-31
100 Mbits/s
6
-
-
4
-
-
8
7-10
5-11
100 Mbits/s
4
-
-
8
-
-
8
6-10
4-12
CHAPITRE
6
Aspect LAN optique
Ce chapitre décrit brièvement un réseau local utilisant les fibres optiques comme médium de
communication. Ce réseau est l’infrastructure physique sur laquelle nous voulons implanter
notre configuration logique CDMA à taux multiples, même si un tel système peut être adaptable
à d’autres types de réseau. Ce chapitre n’étudie pas tous les aspects et les problèmes associés
au CDMA dans un LAN optique. Le chapitre met en évidence les calculs développés et les
résultats des chapitres précédents et est donc nécessairement concentré sur l’étude de la
performance des séquences de code comme tel.
6.1 Introduction
Le réseau que nous proposons est un réseau local (LAN) hybride WDMA (Wavelength Division
Multiple Access) / CDMA reliant 1024 usagers répartis sur 10 longueurs d’ondes différentes.
Pour ce qui est de l’aspect CDMA, nous allons seulement nous concentrer sur ce qui se passe
61
6. Aspect LAN optique
sur une seule longueur d’onde en supposant qu’il n’y a aucune diaphonie entre les longueurs
d’ondes. Les caractéristiques principales du réseau sont les suivantes:
• utilisation de codes bipolaires avec une modulation en phase;
• détection homodyne cohérente.
L’utilisation des codes bipolaires pour faire le CDMA nous permet de profiter des meilleures
propriétés d’intra et d’inter-corrélation des séquences de codes comparativement aux séquences
utilisées pour du “On/Off Keying” (OOK) avec une détection directe. Cependant, étant donné
que l’utilisation de ces codes nécessite une modulation en phase, on doit utiliser la détection
cohérente, ce qui rend les récepteurs plus complexes mais théoriquement beaucoup plus
performant (en sensibilité.)
La configuration du réseau peut être divisée en deux parties: la configuration physique et la
configuration logique.
6.2 Configuration physique
La configuration physique qui optimise notre réseau est la configuration composée
“Tree-Star-Tree” [10]. Les figure 6.1 et 6.2 illustrent deux types d’architecture en général, soit
une configuration simple et une configuration composée, tandis que la Figure 6.3 est un modèle
du récepteur que nous proposons. L’architecture peut être optimisée en fonction des besoins et
de l’endroit où le réseau doit être implanté. Pour ce qui est du transmetteur, nous supposons tout
simplement que le signal transmis par le laser est modulé en phase par un modulateur externe
avant d’entrer sur le réseau.
62
Figure 6.1
Configuration physique LAN optique.
L’architecture (simple) est celle d’un réseau en “étoile” reliant
1024 ordinateurs.
63
Figure 6.2
Configuration physique LAN optique.
L’architecture (composée)
est celle d’un
réseau
arbre-étoile-arbre (“Tree-Star-Tree”) reliant 1024 ordinateurs.
64
65
C’est sur cette architecture que le système CDMA à taux multiples sera implanté. Nous allons
maintenant nous attarder au récepteur comme tel et sur l’effet du CDMA sur ce récepteur,
c’est-à-dire, l’implantation de la configuration logique.
E1
Es
I ( t ) = I 1 ( t ) – I2 ( t )
El
E2
Coupleur 3dB
Figure 6.3 Récepteur double balancé. Modèle du récepteur
optique pour du BPSK homodyne avec détection cohérente
(illustration simplifiée).
6.3 Le récepteur double balancé (RDB)
Premièrement, nous allons analyser le rapport Signal sur Bruit (SNR) à la sortie du récepteur
quand il n’y a qu’un seul usager présent [1][26]. Cela nous permettra de déterminer la sensibilité
du récepteur avant de calculer l’effet du CDMA ou de l’interférence (MAI) [7].
Au récepteur, nous avons le signal reçu E s et le signal provenant de l’oscillateur local E l , ce
dernier contribuant la majorité de la puissance à la sortie du récepteur.
E s = E 0 s cos [ ω s t – k s ⋅ r + θ s ] ⋅ e s
(6.1)
E l = E 0 l cos [ ω l t – k l ⋅ r + θ l ] ⋅ e l
(6.2)
où E s est le champ électrique du signal à l’entrée du récepteur, E l est le champ électrique de
l’oscillateur local à l’entrée du récepteur (après modulateur externe), ω s , ω l sont les fréquences
angulaires optiques, k s ⋅ r , k l ⋅ r sont les constantes de phase, θ s , θ l sont les déphasages
initiaux des signaux et e s , e l sont les angles de polarisation des signaux.
66
L’effet des constantes de phase est négligé, donc 6.2 et 6.3 deviennent
E s = E 0 s cos [ ω s t + θ s ] ⋅ e s
(6.3)
E l = E 0 l cos [ ω l t + θ l ] ⋅ e l
(6.4)
Ces deux signaux entrent dans un coupleur 3dB qui possède la matrice de transformation
suivante
a1
a2
b1 = 1 ⁄ 2 1 ⁄ 2
b2
–1 ⁄ 2 1 ⁄ 2
(6.5)
Note: Le facteur – 1 ⁄ ( 2 ) est du à un déphasage relatif de π du signal reçu entre les deux
branches du coupleur.
Les deux sorties du coupleur sont
2
E 1 = a 1 ( E s ) + b 1 ( E l ) = ------- [ E s + E l ]
2
(6.6)
2
E 2 = a 2 ( E s ) + b 2 ( E l ) = ------- [ – E s + E l ]
2
(6.7)
où les puissances optiques reçues incidentes aux photodiodes PIN1 et PIN2 sont
2
1
P 1 ( t ) = --- E 1
Z
2
1
P 2 ( t ) = --- E 2
Z
(6.8)
respectivement et Z est la constante du milieu (l’impédance).
Le courant total produit par PIN1 et PIN2 est
I1 ( t ) = R λ P 1 ( t )
I2 ( t ) = R λ P 2 ( t )
(6.9)
Rλ = ηe
------ = ηλe
---------hγ
hc
(6.10)
où R λ est la sensibilité des PINs, η est l’efficacité quantique des PINs (supposons PIN1 =
PIN2),
– 19
e = 1.602 ×10
– 34
C , h = 6.626 ×10
et λ est la longueur d’onde de la porteuse optique.
8
J ⋅ s , c = 2.99792458 ×10 m ⁄ s
67
Nous substituons l’équation 6.12 dans 6.9, 6.10 et 6.11 pour obtenir, après quelques
manipulations, l’expression suivante des courants à la sortie des deux PINs
R λ  E 0s 2 E 0l 2

I 1 ( t ) = ------  ---------- + ---------- + E0l E 0s cos [ ( w s – w l )t + θ s – θ l ] cos φ
2Z  2
2

(6.11)
2
R λ  E 0s 2 E0l

I 2 ( t ) = ------  ---------- + ---------- – E 0l E0s cos [ ( w s – w l )t + θ s – θ l ] cos φ
2Z  2
2

(6.12)
où cos φ est l’angle entre les deux polarisations e s, e l . Il est à noter que les PINs filtrent les
hautes fréquences 2ω s, 2ω l, ω s + ω l .
Étant donné que par définition les puissances optiques moyennes incidentes à la surface des
PINs du signal de l’oscillateur local sont
2
E0s
Ps = --------2Z
2
E0l
Pl = --------2Z
(6.13)
nous pouvons substituer dans les équations 6.11 et 6.12
Rλ
I 1 ( t ) = ------ ( P s + P l + 2 P s P l cos [ ( w s – w l )t + θ s – θ l ] cos φ )
2
(6.14)
Rλ
I 2 ( t ) = ------ ( Ps + Pl + – 2 Ps Pl cos [ ( w s – w l )t + θ s – θl ] cos φ )
2
(6.15)
Dans notre cas de détection homodyne cohérente, nous supposons que la fréquence w s = w l ,
la phase θ s = θ l et la polarisation cos φ = 1 sont parfaitement synchronisées [26].
Les courants (6.14 et 6.15) peuvent être divisés en composantes dc et ac, c’est-à-dire
I1 ( t ) = I 1dc + i1 ( t )
I 2 ( t ) = I 2dc + i 2 ( t )
(6.16)
Étant donné que PIN1 = PIN2, nous pouvons supposer que
Rλ
I 1dc = I 2dc = ------ ( Ps + Pl )
2
(6.17)
Aussi, étant donné que P s « Pl , l’équation 6.17 devient
Rλ
I 1dc = I 2dc = ------ Pl
2
(6.18)
68
La partie ac du courant est la partie qui contient le signal et nous avons
i 1 ( t ) = – i 2 ( t ) = Rλ P s P
l
(6.19)
Maintenant nous devons faire une brève analyse du bruit présent dans le récepteur. L’expression
(simplifiée) du bruit dans les photodiodes PIN1 et PIN2 est
IN = I sh + Ith + Ies + Id
(6.20)
où I sh est le bruit de grenaille, Ith est le bruit thermique, Id est le courant de noirceur et
I es est le bruit causé par les variations d’amplitude de l’oscillateur local. Nous supposons que
I th est négligeable par rapport à I sh et que le courant de noirceur est négligeable aussi.
Le bruit est donc
2
I N1 = Ish + I es = 2eI 1dc + 2eϒI 1dc
IN2 = 2eI2dc +
(6.21)
2
2eϒI2dc
où ϒ est le paramètre constant des fluctuations d’intensité de l’oscillateur local.
Les signaux et le bruit à la sortie des deux photodiodes sont additionnés.
I ( t ) = I1 ( t ) – I 2 ( t ) = I1dc + i 1 ( t ) – I2dc – i 2 ( t ) = 2Rλ P s P l
(6.22)
et, en supposant que le bruit causé par l’oscillateur local est en phase à l’entrée des photodiodes
PIN
2
I Bruit = IN1 – IN2 = 2e ( I1dc + I 1dc ) + 2eϒ ( I1dc – I1dc ) = 4eI1dc
(6.23)
Nous obtenons la puissance du signal et du bruit
2
2
S = RL ( I ( t ) ) = R L 4R λ P s P l Watts
(6.24)
Rλ
N = RL IBruit = R L 4e  ------ P l B = 2eR L Rλ Pl ( BT ⁄ 2 ) Watts
2
(6.25)
où B = BT ⁄ 2 = 1 ⁄ 2T est la largeur de bande, B T est le taux de transmission et T est la durée
d’une bit.
Le rapport Signal sur Bruit pour du BPSK homodyne avec détection cohérente est
69
2
RL 4Rλ Ps P
4R λ P s T
SNR = ----------------------------l = -----------------eR L R λ P l B T
e
(6.26)
Ce SNR peut être substitué dans l’équation 5.7 dans le cas où le réseau est un LAN à fibre
optique comme décrit dans ce chapitre.
6.4 CDMA dans le récepteur double balancé
La différence entre cette section et la section précédente est que maintenant il y aura un terme
d’interférence (MAI) qui se rajoutera au bruit dans le système [7].
Le signal reçu (équation 6.1) devient
p
Es =
Ki
∑ ∑ E 0s
ik
a ik ( t )b ik ( t ) cos [ ω sik t – k ik ⋅ r + θ ik ] ⋅ e sik
(6.27)
i = 1k = 1
où a ik ( t ), b ik ( t ) sont la séquence d’étalement spectral (équation 2.2) et le bit de données
(équation 2.3), les indices i, k représentent le taux de transmission binaire et le nombre d’usagers
par taux de transmission, respectivement. Le signal provenant de l’oscillateur local (équation
6.2) devient
j
E l = E 0l a jl ( t ) cos [ ω l t – k l ⋅ r + θ l ] ⋅ e l
(6.28)
À partir de ces deux équations nous pouvons développer, de la même façon qu’à la section 6.3
pour l’aspect optique, et comme au chapitre 4 pour l’aspect CDMA, le SNIR de ce réseau.
Le résultat des calculs donne
1
SNIRmultirate = ------------------------------------------------------------------------K
p
(6.29)
i
1
- ( r ik ) + ----------∑ ∑ ----------------2
SNR
12N N
i = 1 k=1
( ik
i
1
j
jl )
qui est similaire à l’équation 5.7 mais avec une différence de facteur 1/2 sur la puissance de la
MAI. Cette différence vient du fait que le signal reçu et celui de l’oscillateur local doivent être
aligné en polarisation à la surface des photodétecteurs PIN. Étant donné que les interféreurs ne
sont pas synchronisés en polarisation, en moyenne ils sont 3dB moins puissants.
70
L’utilisation du CDMA avec un récepteur utilisant le RDB entraîne cependant certaines
complications pour la synchronisation de la phase et de la polarisation entre le signal reçu et
l’oscillateur local ou même les deux. Il peut être nécessaire de construire un récepteur qui est
insensible à la phase ou à la polarisation du signal. La section suivante est un exemple de
récepteur synchronisé en phase mais indépendant de la polarisation.
6.5 Diversité de polarisation
Les différences principales entre le récepteur synchronisé sur la phase et la polarisation et un
récepteur indépendant de la polarisation du signal reçu sont l’utilisation d’un cube séparateur de
polarisation (Polarisation Beam Splitter) et le besoin d’utiliser deux récepteurs (RDB) comme
celui de la Figure 6.3 [11][25]. Le cube séparateur de polarisation projette le vecteur de
polarisation du signal sur deux axes. Le signal provenant de l’oscillateur local est aligné de
façon à ce que la puissance soit répartie également sur les deux axes. La figure 6.4 est une
illustration de ce montage.
RDB1
EsH
IH ( t )
BS1
Es
E lH
I(t)
Coupleur 3dB
RDB2
E sV
BS2
El
IV ( t )
ElV
Figure 6.4 Récepteur avec diversité de polarisation ou
indépendant de la polarisation (modèle simplifié).
71
Dans le système que nous proposons, chaque RDB reçoit un des deux axes de polarisation. Les
équations du signal et de l’oscillateur local (notation en phaseur) à l’entrée du récepteur
(équation 6.27 et 6.28) deviennent
Ki
p
E sH =
∑ ∑
2P si e
j ( ω sik t + θ ik )
⋅e
π
π
j  --- C ik ( t ) – ---
2
2
⋅ β ik e
jΘ s
(6.30)
i = 1k = 1
Ki
p
EsV =
∑∑
2P si e
j ( ω sik t + θ ik )
⋅e
π
---
j  --- C ik ( t ) – π
2
2
⋅ ( 1 – β ik )e
jΦ s
(6.31)
i = 1k = 1
ElH =
ElV =
2Pl e
2Pl e
j ( ωlt + θl )
j ( ωlt + θl )
⋅e
⋅e
π
π
j  --- C l ( t ) – ---
2
2
π
π
j  --- C l ( t ) – ---
2
2
⋅ ye
jΘ l
2
⋅ ( 1 – y )e
(6.32)
jΦ l
(6.33)
où EsH, EsV, ElH, E lV sont les composantes du signal reçu et de l’oscillateur local projeté sur
les deux axes de polarisation (H pour horizontal et V pour vertical), C ik ( t ) est le produit des
bits avec la séquence d’étalement a ik ( t )b ik ( t ) , C l ( t ) est la séquence d’étalement, P si est le
2
terme de puissance moyenne reçue, β ik , 1 – β ik , y , 1 – y sont les coefficients d’amplitude
associés avec l’angle de polarisation entre les signaux, l’oscillateur local et les deux axes de
polarisation, respectivement. Les termes Θ s, Φ s, Θ l, Φ l représentent le bruit introduit par les
cubes séparateurs de polarisation.
2
Dans notre système y = 1--- , c’est-à-dire que la puissance de l’oscillateur local est divisée
2
également entre les deux branches. Nous substituons cette valeur dans 6.32 et 6.33
E lH =
ElV =
Pl e
Ple
j( ωl t + θl )
j ( ωlt + θl )
⋅e
⋅e
π
π
j  --- C l ( t ) – ---
2
2
π
---
j  --- C l ( t ) – π
2
2
⋅e
⋅e
jΘ l
(6.34)
jΦ l
(6.35)
Le courant à la sortie des deux RDB, en répétant les mêmes calculs qu’à la section 6.3 à partir
des équations 6.3 et 6.4 à 6.17 et 6.18, est
p
IH ( t ) = Rλ ∑
Ki
∑
i = 1k = 1
2P l Psi e
π
j --- ( C ik ( t ) – C l ( t ) ) + j ( θ ik – θ l )
2
⋅ β ik e
j( Θ s – Θl )
(6.36)
72
p
IV ( t ) = Rλ ∑
Ki
∑
2P l Psi e
π
j --- ( C ik ( t ) – C l ( t ) ) + j ( θ ik – θl )
2
⋅ ( 1 – β ik )e
j ( Φs – Φl )
(6.37)
i = 1k = 1
Nous supposons que la polarisation du signal est suffisamment constante sur l’intervalle d’un
bit pour que les termes de bruit ajouté s’annulent [11] et que, en moyenne, les signaux
interférents aient pour coefficient d’amplitude β ik = ( 1 – β ik ) = 1 ⁄ 2 . Donc la
recombinaison des composantes H et V en bande de base est
I ( t ) = IH ( t ) + IV ( t )
p
I ( t ) = 2R λ ∑
Ki
∑
Pl Psi e
(6.38)
π
j --- ( C ik ( t ) – C l ( t ) ) + j ( θ ik – θ l )
2
(6.39)
i = 1k = 1
L’expression 6.39 est l’équivalent du résultat du CDMA dans le RDB que nous obtenons dans
la section 6.4, moins les termes de polarisation. L’avantage de 3dB (polarisation) du signal
désiré sur les interféreurs est perdu. Le SNIR est
1
SNIRmultirate ( div pol ) = ---------------------------------------------------------------------K
p
(6.40)
i
1
- ( r ik ) + ----------∑ ∑ -------------2
SNR
6N N
i = 1 k=1
i
1
j
( ik ≠ jl )
Les expériences de [12] indiquent qu’il existe une variation de l’amplitude du courant de moins
de 1.0dB qui est introduite dans le système. Ce qui veut dire que les pertes (SNIR) par rapport
à la section 6.4 sont de 1.0dB, en plus des 3dB des interféreurs.
CHAPITRE
7
CONCLUSION
7.1 Conclusions
L’ objectif de ce projet était d’évaluer la performance d’un système CDMA à taux multiples
utilisant des séquences de codes pseudo-aléatoires. Pour atteindre nos objectifs, en premier lieu,
nous avons trouvé des expressions analytiques pour l’inter-corrélation entre des séquences
déterministes de différentes longueurs. Les expressions sont valides pour des séquences du type
3
défini au chapitre trois et d’une longueur minimale de N = 2 – 1 = 7 . Ces expressions nous
ont permis d’évaluer numériquement ces inter-corrélations à partir de programmes sur
ordinateur dans le langage C. Les résultats de ces calculs nous apportent beaucoup
d’information sur l’effet de l’inter-corrélation sur la variance du terme d’interférence (MAI)
d’un système CDMA.
Nous avons calculé un paramètre d’interférence (rik) qui est fonction des séquences de codes et
leurs différences de longueur. À partir de ces calculs, nous avons tracé des histogrammes de
toutes les valeurs possibles de rik entre deux familles de séquences. Ces histogrammes nous
donnent un estimé de la pdf de rik, en considérant la combinaison des usagers actifs comme
variable aléatoire, ainsi qu’une valeur moyenne et un écart-type. Nous utilisons une
73
7. CONCLUSION
approximation de MAI Gaussienne, donc les valeurs de rik nous donne la variance de la MAI.
Nous substituons cette variance dans les équations de BER du réseau CDMA pour en évaluer la
capacité en terme du nombre d’usagers simultanés, du taux d’erreur binaire et du rapport signal
sur bruit, SNR.
En utilisant notre estimé de la pdf de rik, nous pouvons générer un “intervalle de confiance” (Ki
versus BER) pour la capacité du réseau au lieu d’utiliser les bornes théoriques de [3][4][5]. Nous
avons aussi déterminé, à partir des résultats, que la capacité totale du réseau en terme de bits/s
est conservé dans un système CDMA à taux multiples. C’est-à-dire que si nous avons une
capacité de 10 x 100 Mbits/s dans une bande de fréquence, alors notre système permet aussi, par
exemple, d’avoir 8 x 100 Mbits/s, 2 x 50 Mbits/s et 4 x 25 Mbits/s. La performance des
séquences de Gold et de Kasami permet de transmettre à plusieurs taux binaires sans pertes sur
la capacité totale du réseau.
Un autre résultat intéressant est l’effet de l’application des critères d’optimisation AO/LSE de
[6] sur nos familles de séquences. Nous avons trouvé que les critères AO/LSE, lorsqu’utilisés
dans un système où nous avons besoin de toutes les séquences d’une famille donnée,
n’améliorent pas la performance des séquences (en terme d’inter-corrélation) dans un
environnement à taux multiples et même à taux unique. L’avantage de ces critères demeurent
dans un système ou l’on a besoin de seulement les meilleures séquences parmi celles de la
famille.
Les résultats de la moyenne de la distribution de rik nous permettent de confirmer la précision
de l’hypothèse des séquences aléatoires de [8] (sur la valeur moyenne de rik), dans le cas à taux
multiples, car toutes les valeurs que nous avons trouvées en sont très près.
L’avantage d’un système CDMA dans un environnement (de réseau) multi-média est rehaussé
par l’application d’un système à taux multiples. Les avantages inhérents du CDMA sont
conservés par l’utilisation de séquences pseudo-aléatoires (Gold et Kasami) de longueurs
différentes. Le gain en utilisateurs simultanés est appréciable et cela est un bon pas vers une
utilisation plus efficace des ressources spectrale limitées.
7.2 Travaux futurs
Nous avons observés dans nos calculs la précision de la valeur moyenne de la distribution de
rik. Cependant, nous avons beaucoup plus d’information disponible sur ce paramètre. Nous
avons remarqué que la distribution est de forme quasi-Gaussienne et il serait intéressant
74
7. CONCLUSION
d’étudier la possibilité d’appliquer un modèle mathématique pour essayer de prédire la
performance.
Aussi, nous avons remarqué que les critères de construction des familles de séquences et leurs
optimisations sont en fonction de paramètres d’intra-corrélations et aussi en fonction de
paramètres d’inter-corrélations à taux unique (tout le monde transmet au même taux). Il serait
intéressant de chercher de nouveaux critères de construction et d’optimisations applicable à ces
séquences et qui prennent en ligne de compte l’environnement multimédia (à taux multiples) de
demain.
75
ANNEXE
A
Fonction d’inter-corrélation apériodique
Cas 1: Inter-corrélation entre deux séquences de même longueurs ( Tj = T i ).
La séquence qui correspond au signal désiré est la séquence “y” et celle qui correspond à
l’interféreur est “x”. Pour des valeurs de décalages 0 ≤ q ≤ N x – 1 nous avons la Figure A-1
yq-1
yq
yNy-1
séquence “y”
(chips 0 à Ny-1)
y0 y1 ... by(n)...
...
q
x0
...
séquence “x”
(chips 0 à Nx-1)
... bx(m-1) ...
xNx-q
x0
...
xNx-1
...
bx(m)
xNy-1-q
1
...
xNx-1
2
Figure A-1 Inter-corrélation de séquences de même longueur (Ny = Nx).
76
A. Fonction d’inter-corrélation apériodique
(n )
(m – 1)
77
( m)
où b y est le bit reçu et b x
, bx sont les deux bits de l’interféreur qui inter-corrèlent avec
le bit désiré. Les deux séquences sont représentées dans la Figure A-1 par deux rectangles
divisés en intervalles “chip”. L’inter-corrélation “chip” par “chip” entre le signal désiré (y) et
(n )
l’interféreur (x) est (nous supposons b y = 1 )
2
1
Ny – 1
q–1
(m – 1 )
bx
(m)
∑ xN – q + i yi + bx ∑
xi – q yi
x
i=0
(A-1)
i=q
Maintenant, si nous définissons p = q – N x nous avons
Nx – 1 + p
q–1
(m – 1)
bx
∑ xN – q + i yi
x
=
(m – 1)
bx
i=0
∑
xi – p yi
1
(A-2)
i=0
et 1 ≤ q ≤ N x – 1 implique 1 – N x ≤ p ≤ – 1 . De plus, si j = i – q nous avons
Ny – 1
(m)
bx
∑
Ny – 1 – q
(m)
∑
xi – q yi = bx
i=q
( 0 ≤ q ≤ Nx – 1 )
2
xj y j + q
(A-3)
j=0
Nous combinons les deux équations ci-haut pour créer la fonction d’inter-corrélation
apériodique (équation 4.26)





C x, y ( q ) = 





N–1–q
∑
xd yd + q
0≤q≤N–1
xd – q yd
1–N≤q<0
0
q ≥N
d=0
N–1+q
∑
d=0
où N est la longueur des séquences de code et xd est le dième chip de la séquence x. L’équation
de l’inter-corrélation peut donc être réécrite comme suit:
1
( m – 1)
bx
La région
2
(m)
C x, y ( q – N x ) + b x C x, y ( q )
1 correspond à Rik, jl ( 0, τik ) et la région 2
(A-4)
correspond à Rik, jl ( τ ik, T j ) .
78
Cas. 2: La durée des bits de l’interféreur est plus courte que celle du bit reçu ( T j > Ti ).
L’inter-corrélation est illustrée à la Figure A-2 où chacune des séquences est un rectangle divisé
en intervalles “chip”. Le décalage est défini sur 0 ≤ q ≤ N x – 1 , par exemple le cas
(n – n )
(9 – 7)
n x = 7, n y = 9 pour L = 2 y x = 2
= 4 , nous avons (voir Figure A-2):
L’expression de l’inter-corrélation “chip” par “chip” pour (0 ≤ q < L – 1 ) est
Nx – 1 + q
q–1
(m – 1)
bx
(m)
∑ xN – q + i yi + bx
∑
i=0
3N x – 1 + q
i=q
x
(m + 2)
∑
+ bx
2N x – 1 + q
(m + 1 )
xi – q yi + bx
(m + 3)
i = 2N x + q
Ny – 1
(m + 4)
+ bx
∑
∑
x i – ( q + Nx ) y i
(A-5)
i = Nx + q
Ny – ( L – q )
x i – ( 2N x + q ) y i + b x
∑
x i – ( 3N x + q ) y i
i = 3N x + q
x i – ( 4N x + q ) y i
et pour (L – 1 ≤ q ≤ N x – 1 )
Nx – 1 + q
q–1
(m – 1)
bx
∑ xN – q + i yi +
x
i=0
3N x – 1 + q
(m + 2)
+ bx
∑
(m)
bx
∑
2N x – 1 + q
xi – q yi +
(m + 1 )
bx
i=q
Ny – 1
(m + 3)
x i – ( 2N x + q ) y i + b x
∑
∑
x i – ( q + Nx ) y i
i = Nx + q
x i – ( 3N x + q ) y i
(A-6)
yNy-1
séquence “y”
(chips 0 à Ny-1)
bn
y0 ...
by(n)
...
q
(m)
x0 ... bx ...
bx(m-1)
bx(m+1)
bx(m+2)
3
4
bx(m+3)
bx(m+4)
xNx-1
séquences “x”
(chips 0 à Nx-1)
1
2
5
6
Figure A-2 Inter-corrélation de séquences (Ny > Nx)
79
80
À partir de ces expressions pour l’inter-corrélation et de transformations similaires au Cas 1
(équations A-2 et A-3), nous trouvons la fonction d’inter-corrélation apériodique suivante
(équation 4.35)
 Nx – 1 + q


y
x
 ∑ d–q d
 d=0
 Nx – 1


x y
 ∑ d d+q
 d=0
C xy ( q )
=  Ny – L – ( L – 1 )N x

( Ny > Nx )

 ∑ xd yd + q
 d=0
 N –1–q
 y

 ∑ xd yd + q
 d=0

 0
1 – Nx ≤ q < 0
0 ≤ q ≤ ( L – 1 )N x – 1
( L – 1 )N x ≤ q < ( L – 1 )N x + ( L – 1 )
( L – 1 )N x + ( L – 1 ) ≤ q ≤ N y – 1
autrement
et on réécrit l’équation de l’inter-corrélation comme suit:
1
(m – 1 )
C x, y ( q
bx
+
– Nx ) +
2
(m)
b x C x, y ( q )
3
+
( m + 1)
bx
C x, y ( q
(m + 2 )
5
4
(m + 3)
C x, y ( q + 2N x ) + b x
C x, y ( q + 3N x )
(m + 4 )
6
C x, y ( q + 4N x )
+ bx
+
+ bx
+ Nx )
(A-7)
pour 0 ≤ q ≤ N x – 1
ou, dans un cas général ( n x ≥ 3 )
L
(m – 1)
bx
C x, y ( q
– Nx ) +
∑
m=0
(m)
b x C x, y ( q + mN x )
(A-8)
81
Cas. 3: La durée des bits de l’interféreur est plus longue que celle du signal désiré ( T j < Ti ).
L’inter-corrélation pour ce cas est illustrée à la Figure A-3 où les séquences sont représentées
par des rectangles subdivisés en intervalles “chip”.
yNy – 1
yq
séquence “y”
(chips de 0 à Ny-1)
y0 ... by(n)...
...
0 ≤ q ≤ Ny – 1
q
x0
...
bx(m-1)
...
séquences “x”
(chips de 0 à Nx-1)
xNx – 1
3
x0
bx(m)
...
x Nx – 1
2
1
N y ≤ q ≤ Nx – 1
q
x0
bx(m-1)
...
...
bx(m)
...
xNx – q
x Nx + N y – q
3
...
x Nx – 1
Figure A-3 Inter-corrélation de séquences (Ny < Nx)
L’expression de l’inter-corrélation “chip” par “chip” est
2
q–1
bx
=
(m – 1)
Ny – 1
∑ xN – q + i yi + bx
x
i=0
(m)
∑
1
xi – q yi ( 0 ≤ q ≤ Ny – 1 )
i=q
(A-9)
Ny – 1
bx
(m – 1 )
3
∑
i=0
x Nx – q + i y i
( Ny ≤ q ≤ Nx – 1 )
82
À partir de ces résultats nous trouvons la fonction d’inter-corrélation apériodique suivante
(équation 4.41):







C xy ( q )

= 
( Ny < N x )








Ny – 1 – q
∑
xd yd + q
0 ≤ q ≤ Ny – 1
xd – q yd
1 – Nx ≤ q ≤ Ny – Nx – 1
d=0
Nx – 1 + q
∑
d=0
Ny – 1
∑
Ny – Nx ≤ q < 0
xd – q yd
d=0
0
autrement
Ce qui nous donnent pour l’équation d’inter-corrélation
2
bx
(m – 1)
1
C x, y ( q – N x ) + b x
bx
(m – 1)
3
(m)
C x, y ( q – N x )
C x, y ( q )
0 ≤ q ≤ Ny – 1
N y ≤ q ≤ Nx – 1
(A-10)
ANNEXE
B
Transfert continu-discret
Pour transférer les fonctions d’inter-corrélations partielles du temps continu au temps discret
(fonctions d’inter-corrélations apériodiques), nous avons utilisé l’identité suivante [3]:
Rx, y ( τ ) = Tc C x, y ( q ) + ( τ – qTc ) [ C x, y ( q + 1 ) – C x, y ( q ) ]
(B-1)
où C x, y ( ) est la fonction d’inter-corrélation apériodique (temps discret) et où q est le plus
grand nombre entier tel que qT c ≤ τ . Cette identité ajoute un “poids” sur l’inter-corrélation
partielle lorsque τ tombe entre qT c et ( q + 1 )T c .
Nous pouvons développer cette identité de façon complémentaire [4], c’est-à-dire
R x, y ( 0, τ ) = Rx, y ( 0, ( τ = qTc ) )
(B-2)
+ ( τ – qTc ) [ R x, y ( 0, ( τ = ( q + 1 )T c ) ) – Rx, y ( 0, ( τ = qTc ) ) ]
R x, y ( τ, T ) = R x, y ( ( τ = qT c ), T )
(B-3)
+ ( τ – qT c ) [ Rx, y ( ( τ = ( q + 1 )Tc ), T ) – R x, y ( ( τ = qT c ), T ) ]
deviennent
Rx, y ( 0, τ ) = Tc C x, y ( q – N ) + ( τ – qT c ) [ C x, y ( q + 1 – N ) – C x, y ( q – N ) ]
(B-4)
R x, y ( τ, T ) = T c C x, y ( q ) + ( τ – qT c ) [ C x, y ( q + 1 ) – C x, y ( q ) ]
(B-5)
83
B. Transfert continu-discret
qTc
84
(q+1)Tc
...
“chips”
by(n)
...
“signal”
τ
bx(m-1)
...
bx(m)
...
“interféreur”
“chips”
qTc
(q+1)Tc
...
...
τ’
τ' = τ – qT c
Figure B-1 Schéma d’inter-corrélation lorsque les délais tombent
entre deux “chips”.
La Figure B-1 illustre l’application de l’identité B-1. L’identité est utilisable pour une série de
bits étalés même quand les bits ne sont pas de la même longueur. Par exemple le cas Tj > T i ;
nous avons 0 ≤ qT c ≤ τ ≤ ( q + 1 )T c < Ti , ce qui fait que la valeur de l’inter-corrélation
partielle sera une pondération entre la valeur de cette même inter-corrélation partielle à
τ = qTc et τ = ( q + 1 )Tc , comme le démontre la Figure B-2 suivante.
B. Transfert continu-discret
85
Cas asynchrone général ( 0 ≤ qT c ≤ τ ≤ ( q + 1 )Tc < Ti )
Tj
by(n)
qTc (q+1)Tc
qTc+Ti
(q+1)Tc+Ti
Tc
τ
Cas général
τ+Ti
Tc
bx(m)
Ti
bx(m-1)
Cas τ = qT c
bx(m+1)
τ
Tc
Tc
bx(m)
bx(m-1)
bx(m+1)
Ti
Cas τ = ( q + 1 )T c
τ
Tc
Tc
bx(m-1)
bx(m)
bx(m+1)
Ti
Figure B-2
Inter-corrélation entre deux séquences de
différentes longueurs pour trois cas de délais.
Tj
ANNEXE
C
Calculs détaillés: Paramètre d’interférence moyenne
Les calculs détaillés du moyennage des fonctions d’inter-corrélations partielles sont divisés en
trois cas, soit; Tj = Ti , Tj > T i et Tj < T i .
Cas Tj = T i :
On part de l’équation 4.20
Ni – 1
1
E bik, τ ik [ ( J ik ) ] = ---- ⋅
Ti
2
( q + 1 )T c
∑ ∫qT
q=0
2
2
[ Rik, jl ( 0, τ ik ) + Rik, jl ( τ ik, T j ) ] dτ ik
(C-1)
c
Avant d’intégrer sur l’intervalle d’un chip, nous allons transformer les fonctions
d’inter-corrélations partielles du temps continu au temps discret (Annexe B). L’équation 4.20
exprime la moyenne de l’inter-corrélation partielle sur les délais τ ik définis sur l’intervalle
0 ≤ qTc ≤ τ ik ≤ ( q + 1 )T c < T i et qui devient en temps discrets
Ni – 1
1
---⋅
Ti
( q + 1 )T c
∑ ∫qT
q=0
{ ( T c C x, y ( q – N i ) + ( τ ik – qTc ) [ C x, y ( q + 1 – N i ) – C x, y ( q – N i ) ] )
c
86
2
C. Calculs détaillés: Paramètre d’interférence moyenne
87
où la fonction d’inter-corrélation périodique (équation 4.26) (calculs en Annexe A) est





C x, y ( q ) = 





Nous avons résolu l’intégrale
symbolique, et nous obtenons
( q + 1 )T c
∫qT
c
N–1–q
∑
0≤q≤N–1
xd yd + q
d=0
N–1+q
∑
(C-2)
xd – q yd
1–N≤q<0
0
q ≥N
d=0
( q + 1 )T c
∫qT
… dτ ik en utilisant un logiciel de mathématique
c
1
3 1 2
3
… dτ ik = --- C x, y ( q – N i )C x, y ( q + 1 – N i )Tc + --- C x, y ( q – N i )T c
3
3
(C-3)
1 2
3 1
3
+ --- C x, y ( q + 1 – N i )Tc + --- C x, y ( q )C x, y ( q + 1 )T c
3
3
1 2
3 1 2
3
+ --- C x, y ( q )T c + --- C x, y ( q + 1 )T c
3
3
Nous substituons ce résultats dans l’équation 4.20, et nous obtenons
3
Tc
Ebik, τ ik [ ( J ik ) ] = -------- ⋅ r ik
3T i
2
(C-4)
où
Ni – 1
r ik =
∑
2
2
C ik, jl ( q – N i ) + C ik, jl ( q + 1 – N i ) + C ik, jl ( q – N i )C ik , jl ( q + 1 – N i )
q=0
2
2
(C-5)
88
Cas Tj > T i :
Pour ce cas les étapes sont les même que pour le cas précédent, sauf que nous partons de
l’équation 4.32
Ni – 1
2
∑
1 ( q + 1 )Tc 2
---- ∫
{ R ik, jl ( 0, τ ik )
Ti q
(C-6)
q=0
L–2
+
∑
R
2
ik, jl ( τik
+ mT i, τ ik + ( m + 1 )Ti )
m=0
+R
2
ik, jl ( τ ik
+ ( L – 1 )T i, τ ik + L T i )
2
+ R k l ( τ + LT T ) }dτ
Nous transformons au temps discret (Annexe B)
Ni – 1
∑
q=0
1 ( q + 1 )Tc
2
---- ∫
{ [ T c C x, y ( q – N i ) + ( τ ik – qT c ) [ C x, y ( q + 1 – N i ) – C x, y ( q – N i ) ] ]
Ti q
L–1
+
∑
[ Tc C x, y ( q + mN i ) + ( τik – qTc ) [ C x, y ( q + 1 + mN i ) – C x, y ( q + mNi ) ] ]
2
et encore une fois nous résolvons l’intégrale avec un logiciel de mathématique symbolique
( q + 1 )T c
∫qT
c
1
3 1 2
3
… dτik = --- C x, y ( q – N i )C x, y ( q + 1 – N i )T c + --- C x, y ( q – N i )Tc
3
3
L
1 2
3
+ --- C x, y ( q + 1 – N i )T c +
3
∑
1--- 2
3
C ( q + mNi )T c
3 x, y
m=0
1 2
3 1
3
+ --- C x y ( q + 1 + mN i )T c + --- C x y ( q + mN i )C x y ( q + 1 + mN i )Tc
3
3
89
où la fonction d’inter-corrélation apériodique est
 x
q


x
y
1 – Nx ≤ q < 0
 ∑ d–q d
 d=0
 Nx – 1


x y
0 ≤ q ≤ ( L – 1 )N x – 1
 ∑ d d+q
 d=0
C xy ( q )
=  N y – L – ( L – 1 )N x

( Ny > Nx )
( L – 1 )N x ≤ q < ( L – 1 )N x + ( L – 1 )

x
y
d
d
+
q
∑

 d=0
 N –1–q
 y
( L – 1 )N x + ( L – 1 ) ≤ q ≤ Ny – 1

y
x
d
d
+
q
∑

 d=0

 0
En substituant ce résultats dans l’équation C-7, nous obtenons encore
(C-7)
3
Tc
Ebik, τ ik [ ( J ik ) ] = -------- ⋅ r ik
3T i
2
(C-8)
Ni – 1
r ik =
∑
2
2
(C-9)
q=0
L
+
∑
2
2
C ik, jl ( q + mN i ) + C ik, jl ( q + 1 + mN i ) + C ik , jl ( q + mN i )C ik, jl ( q + 1 + mN i )
Cas Tj < T i :
Nous partons de l’équation 4.38
Nj – 1
2
∑
1 ( q + 1 )Tc 2
2
---R ik, jl ( 0, τik ) + R ik, jl ( τ ik, T j ) dτik
∫
Ti q
q=0
Ni – 1
+
∑
1 Ti 2
---R ik, jl ( 0, Tj ) dτ ik
T i ∫T j
et nous transférons au temps discret (Annexe B)
(C-10)
Nj – 1
∑
90
1 ( q + 1 )Tc
2
---- ∫
[ T c C x, y ( q – N i ) + ( τ ik – qTc ) [ C x, y ( q + 1 – N i ) – C x, y ( q – N i ) ] ] (C-11)
Ti q
q=0
et encore une fois nous résolvons l’intégrale avec le logiciel de mathématique symbolique
( q + 1 )T c
∫qT
c
1
3 1 2
3
… dτik = --- C x, y ( q – N i )C x, y ( q + 1 – N i )T c + --- C x, y ( q – N i )Tc
3
3
(C-12)
1 2
3 1
3
+ --- C x, y ( q + 1 – N i )T c + --- C x, y ( q )C x, y ( q + 1 )Tc
3
3
1 2
3 1 2
3
+ --- C x, y ( q )T c + --- C x, y ( q + 1 )Tc
3
3
pour la première intégrale et
( q + 1 )T c
∫qT
c
1
3 1 2
3
… dτ ik = --- C x, y ( q – N i )C x, y ( q + 1 – N i )Tc + --- C x, y ( q – N i )T c
3
3
(C-13)
1 2
3
+ --- C x, y ( q + 1 – N i )T c
3
pour la deuxième.
La fonction d’inter-corrélation apériodique dans ce cas est







C xy ( q )

= 
( N y < Nx )








Ny – 1 – q
∑
xd yd + q
0 ≤ q ≤ Ny – 1
xd – q yd
1 – Nx ≤ q ≤ N y – N x – 1
d=0
Nx – 1 + q
∑
d=0
Ny – 1
∑
xd – q yd
Ny – Nx ≤ q < 0
d=0
0
autrement
(C-14)
91
Ce qui nous donnent comme résultats en substituant dans l’équation C-11
3
Tc
E bik, τ ik [ ( J ik ) ] = -------- ⋅ r ik
3T i
2
(C-15)
Nj – 1
r ik =
∑
2
2
q=0
2
2
Ni – 1
+
∑
2
2
C ik, jl ( q – N i ) + C ik, jl ( q + 1 – N i ) + C ik, jl ( q – N i )C ik, jl ( q + 1 – N i )
(C-16)
BIBLIOGRAPHIE
Ouvrages citées:
[1]
SENIOR, John M., “Optical Fiber Communications. Principles and Practice.
Second edition”. Prentice Hall International, London, 1992.
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