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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 1–6, 2002
Géométrie Différentielle/Differential Geometry
- PXMA????.TEX -
Rigidité d’Einstein du plan hyperbolique complexe
Yann Rollin
Department of Mathematics & Statistics, University of Edinburgh, James Clerk Maxwell Building, King’s
Buildings, Mayfield Road, Edinburgh EH9 3JZ, Scotland
E–mail address : [email protected]
(Reçu le jour mois année, accepté le jour mois année)
Résumé.
Nous démontrons que toute métrique d’Einstein sur
, asymptotique à la métrique
de Bergmann, lui est égale à un difféomorphisme près. La démonstration repose sur la
construction d’une solution des équations de Seiberg–Witten dans ce contexte de volume
est dotée d’un bord à l’infini muni
infini. Pour cette raison, et plus généralement, si d’une structure CR, d’une structure adaptée dont l’invariant de Kronheimer–Mrowka
est non nul et d’une métrique d’Einstein asymptotiquement hyperbolique complexe, nous
produisons une solution des
équations de Seiberg–Witten avec une propriété de forte décroissance exponentielle. c 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Einstein rigidity of the complex hyperbolic plane
Abstract.
We prove that every Einstein metric on
asymptotic to the Bergmann metric is
equal to it up to a diffeomorphism. The proof relies on the construction of a solution of
Seiberg–Witten equations in this infinite volume setting. Therefore, and more generally, if
is a manifold with a CR–boundary at infinity, an adapted –structure which has a
non zero Kronheimer–Mrowka invariant and an asymptotically complex hyperbolic Einstein
metric, we produce a solution of Seiberg–Witten equations with an strong exponential decay
property. c 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Abridged English version
1. Introduction
Let be an oriented manifold with an end diffeomorphic to . Assume that is endowed
with a contact –form compatible with the orientation and a CR–structure on the contact distribution. We
define the Carnot–Carathéodory metric on the contact distribution by !#"%$&('*),+.-/) 0 ; a riemannian metric
1 on is said to be asymptotically complex hyperbolic (ACH in short) if in some such coordinates on the
end of , we have
1 "3152 46&78*9;: +
(1)
Note présentée par Sir Michael ATIYAH
S0764-4442(00)0????-?/FLA
c 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
1
The author was supported by an EDGE grant, Research Training Network HPRN-CT-2000-00101, European Human Potential
Programme.
Yann Rollin
with <>=@? and : bounded in ACB –norm with respect to the metric
1 2 "D$&E;F 4HG*I F 'KJLE*0MNF 4HG*I F 'E*0M!PO
From the definition, ACH metrics are complete and of infinite volume. Now, if we note E the distance to
a point of with respect to 1 , we obtain again the property (1) up to multiplication of ! by a conformal
parameter. Therefore, we can define the conformal infinity of the ACH metric 1 to be equal to the conformal
class Q !SR .
In the case of the complex hyperbolic plane TPU F , realized as the unit ball VWYXT F endowed with the
Bergmann metric 1Z , we have ["]\ "^(V . Hence, the boundary \ carries a standard CR–structure
induced by the embedding in T F . We note _ the euclidian distance to the center of the ball, E/"a`LbdcLe I _ and
we define the contact –form f"gh-i$j_lkN'mJn_N0 , which is compatible with the CR–distribution and the \Wo –
r
action of the Hopf bundle \paq TPsto . One can check that 1 Z "u1 2 if we choose !"v$jw';)x+y-/)z0"v{t| 1~} ,
N
1
}

where
is the Fubini–Study metric of TPs€o . Thus, the conformal class Q {| 1~} R on the standard CR–
distribution is called the st andard conformal infinity of \h .
Recall that smooth compact quotients of the complex hyperbolic plane TPU F carry a unique Einstein
metric up to a diffeomorphism and a constant parameter. This result was proved by Le Brun [7] using
Seiberg–Witten theory.
In infinite volume, strictly pseudo-convex domains of T F (an more generally of T€ ) carry a unique ACH
Kähler–Einstein metric up to a biholomorphism and a constant parameter [5] ; by analogy with the compact
case, the difficult question of their uniqueness as Einstein metrics is raised. We solve this problem on the
ball in Theorem 1. However, Biquard constructs a family of ACH Einstein metrics on V# for each small
deformation Q !R of the standard conformal infinity of \‚ . Therefore, the conformal infinity must be fixed in
order to obtain a uniqueness result.
2. Main results.
T HEOREM 1. – Let 1 be an Einstein metric on the unit ball VƒWX„T F . Suppose that 1 is asymptotic to
the Bergmann metric 1Z in the sense that there exists <…=@? such that near infinity we have
1 " 1 Z 4H6 78;9 : +
where E is the distance to a point with respect to 1 Z and : is bounded in AWB
Then there exists a diffeomorphism † of VW such that †‡| 1 " 1 Z .
(2)
norm with respect to
1 Z
.
The assumption (2) is equivalent to restrict to ACH metrics with standard conformal infinity of \W .
Our main tool is an existence result of a solution of Seiberg–Witten equations for a manifold ˆ endowed
with an ACH Einstein metric. Recall that in [6], Kronheimer and Mrowka associate a Seiberg–Witten invariant \Š‰['x‹j0 to any ŒŽ‘/’ –structure ‹ on adapted to the contact structure of the boundary at infinity .
Following Biquard and Herzlich, we can define a formal ACH Kähler–Einstein metric 'd1 “ + -”“ 0 on the end
of so that - “ is compatible with the CR–structure of the boundary. In the case of the complex hyperbolic
plane, we do not need all this material because we have 1 “ "•1 2 " 1 Z . Moreover, if 1 is ACH Einstein, we
can suppose that up to a diffeomorphism 1 “ g 1 "—–W' 6 7 9 0 (cf. [3] cor. ˜lO J ).
Let ‹ be a ŒŽ‘‡’ -structure compatible with the contact structure ; this means that ‹ is isomorphic on
the end of to the canonical ŒŽ‘™’ –structure ‹&š induced by - “ . Let 'œ›š~+ž™šŸ0 be the standard solution of
š¦¥ š™§ £ š¦¥ F and › š
Seiberg–Witten equations for the Kähler–Einstein metric 1 “ where  š "v'm gŒ Z +d?&0¢¡¤£
is the Chern connection induce by 'd1 “ + -”“ 0 on the anti-canonical line bundle.
T HEOREM 2. – Let v be a manifold endowed with an ACH Einstein metric 1 and an adapted Œ*S‘¨’ –
structure ‹ whose Kronheimer–Mrowka invariant \Š‰['x‹j0 is non zero. Then, Seiberg–Witten equations for
2
‹
Rigidité d’Einstein du plan hyperbolique complexe
and the metric 1
©hª

«5ª ¬
"
"
?
­N'€0®O
 g#™š and their derivatives decay as –W' 6 7”° ¬”±K² 9 0 for some ³´=@? .
š7 o , µ Remark that the assumption on 1 to be Einstein is needed only to get extra informations on the asymptotic behavior of 1 and that we could for example replace 1 in the last theorem by any metric close up to a
–W' 6 7”° ¬”±K¶,² 9 0 for some ³y·i=¸? .
µ It would be interesting to justify the existence of the solution by a Seiberg–Witten theory developed
admit a solution such that ›@¯›
directly for ACH Einstein metrics.
µ More generally, Theorem 2 should be a useful tool to find links between CR–geometry of and fillings
of by ACH Einstein metrics. For example, under the assumptions of Theorem 2, we have the following
Miyaoka–Yau inequality [2]
?W¹@º™'m]0Pg»j¼i'K]0 4¸½ K' ^ B ]0Š" ¾ { F
¿lÀÂÁ
Œ ÄF
Ä
»Sà ‰ Ä 7 à F´gDà ‰ Ä ¬ à F 4 nJ ŔÆ#ÇjÈjÉ +
(3)
where ‰%Ä Ê are the components of the Weyl curvature and ½ is the invariant of the CR–structure at infinity
of introduced in [3] (where the r.h.s. identity of (3) and its convergence is established). Moreover the
equality holds if and only if 1 is the complex hyperbolic metric.
1. Introduction
¬
Soit „ une variété orientée avec bout difféomorphe à Ë> . Supposons W muni d’une –forme
de contact compatible avec l’orientation et d’une structure CR sur la distribution de contact. On définit
la métrique de Carnot–Carathéodory sur la distribution de contact !¸"[$jw'*),+.-t)z0 ; une métrique 1 est dite
asymptotiquement hyperbolique complexe si dans de telles coordonnées sur le bout de , on a
1 "3152 46 78*9 : +
avec <…=Ì? , : borné en norme AÍB
(4)
par rapport à
1 2 "D$&E F 4HG*I F 'KJLE*0M F 4HG*I F 'E*0M!PO
Par définition les métrique asymptotiquement hyperboliques complexes sont complètes et de volume fini.
Si on note maintenant E la distance à un point de relativement à la métrique 1 , on obtient à nouveau la
propriété (4) quitte à multiplier ! par un facteur conforme. Ainsi, la classe conforme Q !R est appelée l’infini
conforme de la métrique asymptotiquement hyperbolique complexe 1 .
Dans le cas du plan hyperbolique complexe TPU F réalisé comme le modèle de la boule unité VffX]T F
avec la métrique de Bergmann 1 Z , on a Î"ˆ\Š"Ï^(V> . Le bord hérite alors naturellement d’une
structure CR standard induite par le plongement dans T F . On note _ la distance euclidienne au centre de la
boule, E™"„`LbdcLe I _ et on définit la –forme de contact Y"%gh-i$j_lkN'mJn_N0 compatible avec la distribution CR
r
et l’action \¢o du fibré de Hopf \¢ q TPs/o . En choisissant !"v$jw'*),+.-t)z0"]{t| 1} où 1N} est la métrique
de Fubini–Study sur TPs¢o , on vérifie alors que 1 Z "Ð1 2 . La classe conforme Q {Š| 1~} R sur la distribution CR
est alors appelée l’infini conforme standard de \ .
3
Yann Rollin
Rappelons que les quotients compacts lisses du plan hyperbolique complexe T‡U F possèdent une unique
métrique d’Einstein à un difféomorphisme et une constante multiplicative près. Ce résultat a été démontré
par Le Brun [7] en utilisant la théorie de Seiberg–Witten.
En volume infini, on sait d’après [5] que les domaines strictement pseudo-convexes de T F (et plus généralement de T ) possèdent une unique métrique de Kähler–Einstein asymptotiquement hyperbolique
complexe à un biholomorphisme et une constante multiplicative près ; de façon analogue au cas compact, la
question difficile, de l’unicité de ces dernières en tant que métriques d’Einstein se pose alors. Nous traitons
ce problème sur la boule dans le théorème 1. Néanmoins, Biquard [1] construit une métrique d’Einstein
asymptotiquement hyperbolique complexe sur V pour chaque petite déformation Q !SR de l’infini conforme
standard sur \™ ; pour obtenir un résultat d’unicité des métrique d’Einstein asymptotiquement hyperboliques complexes, nous devons donc nécessairement fixer l’infini conforme.
2. Résultats principaux.
T HÉORÈME 1. – Soit 1 une métrique d’Einstein sur la boule unité VÑ5XÌT F . Supposons 1 asymptotique
à la métrique de Bergmann 1 Z , dans le sens où il existe <…=@? tel que près de l’infini, on ait
1 " 1Z H
4 6 78;9 : +
où E est la distance à un point de VY relativement à 1 Z et : est borné en norme AB
Alors il existe un difféomorphisme † de VC tel que †”| 1 " 1 Z .
(5)
pour la métrique 1
Z
.
L’hypothèse (5) revient à considérer les métriques asymptotiquement hyperboliques complexes avec infini
conforme standard.
Notre outil principal est un résultat d’existence d’une solution des équations de Seiberg–Witten sur une
variété munie d’une métrique d’Einstein asymptotiquement hyperbolique complexe. Rappelons que
Kronheimer et Mrowka définissent alors sur un invariant de Seiberg–Witten \Š‰['x‹j0 associé à toute
structure ŒŽ‘P’ , notée ‹ , adaptée à la structure de contact du bord à l’infini .
D’après Biquard et Herzlich, on définit une une métrique de Kähler–Einstein (formelle) 'd1 “ + -”“ 0 sur le bout
de avec - “ compatible à la structure CR du bord à l’infini. Dans le cas de l’infini conforme standard sur
\ , on n’a pas besoin de cette complication car on dispose de 1 “ "u1 2 " 1 Z . Si 1 est d’Einstein, on peut en
outre, quitte à faire agir un difféomorphisme, supposer que 1 “ g 1 "—–W' 6 7 9 0 (cf. [3] cor. ˜NOzJ ).
Soit ‹ une structure ŒŽ‘ ’ compatible avec la structure de contact ; ceci signifie que ‹ est isomorphe sur
le bout de à la structure Œ*S‘/’ canonique ‹~š induite par - “ . Notons alors 'K›¨š~+ž™šŸ0 la solution standard
des équations de Seiberg–Witten pour la métrique Kähler–Einstein 1 “ où WšW"3' gŒ Z +d?&0Ò¡#£ š.¥ š´§ £ š¦¥ F
et › š est la connexion de Chern induite par 'd1 “ + -”“ 0 sur le fibré anti-canonique.
T HÉORÈME 2. – Soit % une variété munie d’une métrique d’Einstein 1 asymptotiquement hyperbolique complexe et d’une structure ŒŽ‘’ adaptée ‹ dont l’invariant de Kronheimer–Mrowka \‰[',‹j0 est non
nul. Alors les équations de Seiberg–Witten associées à ‹ et la métrique 1
© ª
admettent une solution telle que
–W' 6 7”° ¬”±K² 9 0 avec ³p=Ì? .
µ
›v¯]› š 7 o

«5ª ¬
et
"
"
g]™š
?
­N'm€0
ainsi que leurs dérivées décroissent comme des
Notons que l’hypothèse que 1 soit d’Einstein ne sert qu’à en déduire des renseignements supplémentaires sur son comportement asymptotique et nous pouvons sans problème la remplacer par n’importe quelle
¬‡±œ¶x² 9 0 près, avec ³ · =@? .
métrique proche à un un –W' 6 7‡° 4
Rigidité d’Einstein du plan hyperbolique complexe
µ
Il serait intéressant de justifier l’existence de cette solution par une théorie de Seiberg–Witten développée directement sur les variétés d’Einstein asymptotiquement hyperboliques.
µ Plus généralement, le théorème 2 devrait être un outil utile pour établir des liens entre la géométrie
CR de et l’existence de remplissage par des métriques d’Einstein asymptotiquement hyperboliques complexes sur . Par exemple, sous les hypothèses du théorème 2, on a l’inégalité de Miyaoka–Yau [2] suivante
?W¹@º™'m]0Pg»j¼i'K]0 4¸½ K' ^ B ]0Š" ¾ { F
¿ À Á
Œ ÄF
Ä
»Sà ‰ Ä 7 à F gDà ‰ Ä ¬ à F 4
+
JnÅ”Æ ÇjÈjÉ
(6)
où ‰vÄ Ê sont les composantes de la courbure de Weyl et ½ est l’invariant de la structure CR à l’infini de introduit dans [3] (où est démontrée l’identité du membre de droite de (6) ainsi que sa convergence). De
plus on a égalité si et seulement si 1 est la métrique hyperbolique complexe.
3. Aperçu de la démonstration
Une fois le théorème d’existence 2 obtenu, la décroissance à l’infini permet de démontrer le théorème 1
de façon analogue au cas compact. La boule VÓ munie de la structure de contact standard sur \Ò admet un
remplissage symplectique grâce à la métrique kählérienne 1 Z . L’invariant de Kronheimer–Mrowka de la
structure Œ*S‘‡’ canonique vérifie donc \Š‰['x‹ š 0" d’après le théorème 1.1 de [6]. Sous les hypothèses du
théorème 1, on en déduit via le théorème 2 une solution 'K›‚+ž€0 pour la métrique 1 qui possède une propriété
de forte décroissance exponentielle. En appliquant la formule de Lichnerowicz et le fait que 'œ›‚+®€0 est
solution des équations de Seiberg–Witten, on en déduit l’inégalité
¿À
Ä « ªfÕ « ªÖ
'KŒÔÄF 4 Å ¾ à ‰ Ä 7 à FÔ0 jÇ È&É 4 ¾
?l+
avec égalité si et seulement si la métrique 1 est hyperbolique complexe. D’après la théorie de Chern–Weil
de [3] et la propriété de décroissance exponentielle, l’intégrale ci dessus est égale à
¿
« ªw×/Õ « wª ×
'mŒ FZ 4 Å ¾ à ‰ Z 7 à F 0 jÇ È&É Z 4 ¾
" ?lØ
—
on en déduit alors le théorème 1.
Le théorème 2 se démontre comme suit : on approxime toute métrique asymptotiquement hyperbolique 1
par une suite de métriques presque kählériennes ' 1wÙ +y- Ù 0 au bout desquelles on a adjoint un cône asymptotiquement plat avec - Ù compatible à la structure CR du bord. D’après [6], on en déduit une suite de solutions
'K› Ù +ž Ù 0 des équations de Seiberg–Witten perturbées
© dĪ Ú Ú Ù

" ?
(7)
«5ª ¬ Ú
Ù
Ù
#
4
Û
(8)
" ­N'm 0
O
La perturbation est construite
de sorte que ÛÜÙ tende vers ? sur tout compact de pour ¼ tendant vers
« ݬ Ú
gË­N'm š 0 sur le cône, où V Ù désigne la connexion de Chern induite par la métrique
l’infini et soit égale
1
Ù
Ù
hermitienne ' +y- 0 sur le fibré anti-canonique. Pour la métrique limite 1 , la pertubation disparaît des
équations et on retrouve ainsi les équations Seiberg–Witten habituelles (non perturbées).
Un examen précis de la courbure des métriques 1wÙ permet d’obtenir par le principe du maximum une
š uniforme sur  Ù . La structure presque complexe - Ù induit une décomposition Þ"ß'Kà+*!w0¤¡
borne A
¦
š
¥
š
§
£ £ š.¥ F ; on introduit l’énergie d’une configuration (invariante de jauge)
¿
ÄdÚ
ª
á Ù
«5¬
'œ›‚+®€0"
à å 'Kà+*!w0¦Ã F 4 à ªiæ ÝŠÚ ç~è à F 4 à !/à F 4 'ŽÃ à¢Ã F 4 à !ŠÃ F 4 Œ Z 0*Fyé
+
ÇjÈ&É
9âãä
5
Yann Rollin
les normes étant prises par rapport à la métrique 1(Ù . On démontre que cette énergie est uniformément
bornée pour la suite de solution 'œ› Ù +® Ù 0 . L’action du groupe de jauge êY"„ëԍ‡'m„+d\ho®0 sur les solutions
des équations de Seiberg–Witten est donnée par
ì )~'œ› Ù ž+  Ù 0"]'K› Ù¨4 J $ ì + ì”7 o  Ù 0yØ
ì
en choisissant une jauge de Hodge $i|j'K› Ù ¯íV Ù 7 o 0Í"î? , on peut grâce au contrôle fournit par l’énergie
extraire une limite faible sur tout compact 'œ›>+ž€0 , telle que ›D¯¸› š 7 o ¡ï F et ¸gH™šC¡ï F , solution des
o
o
équations de Seiberg–Witten non perturbées pour la métrique 1 .
La décroissance exponentielle nécessite un travail supplémentaire : on commence par analyser l’action
de l’opérateur des équations linéarisées ð modulo le groupe de jauge pour la métrique 1 “ en 'œ›š~+ž™šÔ0 sur
des espaces de Sobolev à poids. On montre qu’il existe <šÓ=Jl+Žñf=%? et ò suffisamment grand, tels que
pour tout poids <>¡Q ?l+Ž< š R et toute configuration 'Kë+dó(0 supportée dans ôÔE=@ò5õ5ƒ on ait
¿
Ä Ö ¿÷ö wª ×
Ä
6
8
*
9
(9)
à ð¤'œë+dó(0¦Ã F F &Ç ÈjÉ
ñ
à å K' ëS+žó(0.à F 4 Ãø'KëS+žó(0.à Fyù 6 F 8*9 Ç&ÈjÉ O
Un premier argument de bootstrapping permet de montrer que la borne ï F sur ›¯Ü› š 7 o et Ñg˝ š entraîne
o
qu’on a en réalité une borne ï Fú pour tout û . On peut alors fixer une jauge de Coulomb près de l’infini
7
$ | 'œ›D¯Ì› š o 0Ò"ýü
 š +ž@g̝ š . Dans cette jauge, les équations de Seiberg–Witten s’écrivent près de
FjþM
ÿ
l’infini
4 'K›¸¯› š 7 o +žg# š 0 4 –W' 6 7”° ¬”±K² 9 0"D?+
ð¤'œ›@¯› š 7 o +®#g š 0 ¬”±K² 9 0 provient de la variation de métrique 1 g1 “ "
où est un terme quadratique et le terme résiduel –W' 6 7”° 6
7
9
–W' 0 ; on montre que la décroissance du terme résiduel est telle grâce à l’étude précise menée dans [3]
sur le comportement de 1 à l’ordre 6 7 9 .
À partir de là, un nouvel argument de bootstrapping utilisant (9) montre qu’on a la décroissance exponentielle voulue en jauge de Coulomb. En résumé, on obtient le résultat de convergence suivant :
P ROPOSITION 3. – Soit 1 une métrique d’Einstein asymptotiquement hyperbolique complexe sur et
1 Ù sa suite d’approximations asymptotiquement plates. Soit 'K› Ù +ž Ù 0 une suite de solutions des équations
de Seiberg–Witten perturbées (7,8) pour les métriques 1 Ù . Alors quitte à faire des changements de jauge et
à extraire une sous-suite, 'œ› Ù +® Ù 0 converge au sens AB sur tout compact de vers une solution 'œ›>+ž€0
des équations de Seiberg–Witten non perturbées pour la métrique 1 , avec 'K›‚+ž€0 possédant une propriété
de décroissance exponentielle telle que dans le théorème 2.
On en déduit immédiatement le théorème 2 d’existence d’une solution.
Remerciements. Je remercie chaleureusement Olivier Biquard pour les nombreuses conversations que j’ai eues avec
lui sur ce sujet et sur les métriques ACH Einstein en général.
Références bibliographiques
[1] Biquard O., Métriques d’Einstein asymptotiquement symétriques, Astérisque 265 (2000).
[2] Biquard O., communication privée, (Déc. 2001).
[3] Biquard O., Herzlich M., A Burns–Epstein invariant for ACHE manifolds, Prep. arXiv math.DG/0111218 (2001).
[4] Burns D., Epstein C.L., A global invariant for three-dimensional CR-manifolds, Invent. Math. 92 (1988) 333–348.
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regularity of Fefferman’s equation, Comm. Pure. App. Math 33 (1980) 507–544.
[6] Kronheimer P.B., Mrowka T.S., Monopoles and contact structures, Invent. Math. 130 (1997) 209–255.
[7] Le Brun C., Einstein Metrics and Mostow Rigidity, Math. Res. Lett. 2 (1995) 1–8.
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