Probabilité de ruine

Méthodes de Monte Carlo pour la finance
ENST, 2007-2008, MDI 345
TP : Méthodes de Réduction de Variance
Enseignant : G. Fort
Probabilité de ruine
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ome
pour le Lundi 16 Juin (matin) au plus tard,
à l’adresse: [email protected]
sujet du mail : TP 6 juin
On s’intéresse à l’estimation, par une méthode d’échantillonnage préférentiel (importance sampling), de
la probabilité de ruine d’une société d’assurance.
Une société d’assurance collecte des primes et rembourse des dommages liés à des sinistres. Elle collecte
des primes à un taux constant p par unité de temps. Les sinistres surviennent à des instants aléatoires
0 = T0 < T1 < T2 < · · · . Soit (Zk ,k ≥ 1) les montants des remboursements des dommages.
Les v.a. ((Tk ,Zk ),k ≥ 1) sont définies sur le même espace de probabilité (Ω,A,P). Les durées entre deux
def
sinistres successifs (τk ,k ≥ 1) définies par τk = Tk − Tk−1 , sont supposées i.i.d. et distribuées suivant des
variables exponentielles de paramètre λ :
P(τk ≥ t) = e−λt 1t≥0 .
τk ∼ E(λ)
Les v.a. (Zk ,k ≥ 1) sont supposées i.i.d. indépendantes du processus d’arrivée des sinistres (Tk ,k ≥ 0), et
distribuées suivant une loi Gamma de paramètres (α,β), α > 0 et β > 0 : 1
Z
β α α−1 −βz
z
e
y α−1 e−y dy .
Γ(α) =
1z≥0 ,
Zk ∼ Ga(α,β) ,
fZ (z) =
Γ(α)
+
R
def
Soit Nt le nombre de sinistres entre l’instant 0 et t, Nt =
d’assurance à l’instant t est donc donnée par
Nt
X
P
k≥1
1Tk ≤t . La somme déboursée par la société
Zk − pt .
k=1
La société d’assurance a un capital initial x. La société est ruinée s’il existe un instant T fini (l’instant de
ruine) où le montant déboursé par l’assurance excède le capital initial, c’est à dire si
)
(N
t
X
Zk − pt ≥ x .
sup
t≥0
k=1
1. On rappelle que l’espérance et la variance d’une loi Gamma sont α/β et α/β 2
1
1
Méthode de Monte Carlo
L’objectif de cette partie est d’étudier l’efficacité de la méthode de Monte Carlo pour estimer la quantité
!
NT
X
def
Zk − pT ≥ x ,
I(x) = P
k=1
pour différentes valeurs de (x,α,β,λ,p,T ),
1. (a) En écrivant {Nt = k} = {Tk ≤ t < Tk + τk+1 }, montrer que le nombre de sinistres est distribué
suivant une loi de Poisson de paramètre λt,
P{Nt = k} = e−λt
(λt)k
k!
k≥0.
(b) Montrer que pour tout T > 0
"N
"N
# #
T
T
X
X
λα
λα
E
− p T , Var
Zk − pT =
Zk = 2 T .
β
β
k=1
k=1
2. On prend p = 1, α = 2.5, λ = 0.005.
P T
(a) Calculer l’espérance et la variance de la v.a. N
k=1 Zk − pT pour tous les couples (β,T ) lorsque
β ∈ {0.01; 0.03} ,
T ∈ {500,1000,1500,2000} .
(b) Estimer par la méthode de Monte Carlo 2 , la probabilité I(x) pour les différentes valeurs du
couple (β,T ) ci-dessus et pour un seuil x ∈ {0,50,100}. On tracera l’évolution de l’approximation
en fonction du nombre de termes dans la somme de Monte Carlo (n ≤ nmax ).
(c) Donner un intervalle de confiance à 95% de cette probabilité. On tracera l’évolution des intervalles
de confiance en fonction du nombre de termes dans la somme de Monte Carlo (n ≤ nmax ).
(d) Calculer le coefficient de variation i.e. le ratio de l’écart-type et de la moyenne obtenu avec les
estimateurs de l’écart-type et de la moyenne pour n = nmax .
(e) Commenter les résultats.
2
Méthode d’échantillonnage préférentiel
Si la société d’assurance est ruinée, la ruine interviendra à l’instant d’arrivée d’un sinistre : en conséquence,
on s’intéresse au processus à temps discret de la somme déboursée échantillonné aux instants d’arrivée
des sinistres. La somme déboursée à l’instant d’arrivée du n-ième sinistre est égale à X1 + · · · + Xn , où
def
Xk = Zk − pτk . La probabilité de ruine est donc donnée par
P(σx < ∞) = 1,
où
def
σx = inf{n ≥ 1,
n
X
Xk > x} ,
k=1
avec la convention inf ∅ = +∞.
2. On pourra utiliser les fonctions poissrnd et gamrnd qui permettent d’obtenir des réalisations de v.a. de loi de Poisson et
de loi Gamma. Attention au sens des arguments de la fonction gamrnd.
2
Pour calculer la probabilité de ruine, nous allons implémenter une technique d’échantillonnage préférentiel
et, pour déterminer le changement de loi, utiliser la fonction génératrice des cumulants. 3
Les v.a. (Xk ,k ≥ 1) sont indépendantes et de même loi; notons fX leur densité. On définit une famille
de densités (gθ ,θ ∈ DX ) sur R, par la relation
def
gθ (x) =
exp(θx) fX (x)
.
exp(ψX (θ))
On suppose dorénavant que les v.a. ((Tk ,Zk ),k ≥ 0) sont définies sur un espace mesurable (Ω,A) que
l’on munit d’une famille de lois (Pθ ,θ ∈ DX ) telles que sous Pθ , les v.a. (Xk ,k ≥ 0) sont i.i.d. de loi gθ . Noter
que 0 ∈ DX et que g0 = fX de sorte que P0 sera noté simplement P. Eθ désigne l’espérance associée à la
probabilité Pθ .
def
Soit (Fn ,n ≥ 1) la filtration naturelle du processus ((Tk ,Zk ),k ≥ 1) : Fn = σ((Tk ,Zk ),k ≤ n).
′ (θ).
1. (a) Montrer que pour tout θ ∈ DX , Eθ [X1 ] = ψX
(b) Montrer que si Y1 et Y2 sont indépendantes alors ψY1 +Y2 = ψY1 + ψY2 sur DψY1 ∩ DψY2 .
(c) Montrer que
ψZ (θ) = −α ln(1 − β −1 θ) , DZ =] − ∞,β[ ,
ψτ (θ) = − ln(1 − λ−1 θ) ,
Dτ =] − ∞,λ[ .
(d) Déduire des questions précédentes, que
ψX (θ) = −α ln 1 − β −1 θ − ln 1 + λ−1 pθ ,
DX =] − p−1 λ,β[ ;
et que pour tout θ ∈ DX , la fonction génératrice des cumulants d’une v.a. de loi gθ - fonction
notée ψX,θ - est donnée par ψX,θ (µ) = ψX (θ + µ) − ψX (θ), pour tout µ tel que θ + µ ∈ DX .
(e) Montrer que pour tout A ∈ Fn , et tout θ ∈ DX ,
i
h
Pn
P (A) = Eθ e−θ k=1 Xk +n ψX (θ) 1A .
2. Montrer que σx est un temps d’arrêt pour la filtration Fn .
3. Déduire de la question 1 que
′ (θ) > 0, P (σ < +∞) = 1.
(a) pour tout θ ∈ DX , tel que ψX
θ x
(b) pour tout θ ∈ DX ,
h
i
Pσx
P(σx < +∞) = Eθ e−θ k=1 Xk +σx ψX (θ) 1σx <+∞ .
3. On rappelle que pour une v.a. réelle Y de densite fY par rapport à la mesure de Lebesgue, la fonction génératrice des
cumulants est donnée par
Z
def
ψY (θ) = ln
exp(θx) fY (x) dx ,
R
def
et est définie pour tout θ ∈ DY = {µ ∈ R : ψY (µ) < +∞}. De plus, la fonction génératice des cumulants caractérise la loi
d’une v.a. : si ψY1 = ψY2 alors Y1 et Y2 ont même loi.
3
′ (θ) > 0,
4. En déduire que pour tout θ tel que ψX
h
P(σx < +∞) = Eθ e−θ
Pσx
k=1
Xk +σx ψX (θ)
i
.
5. Soit θ ∈ DX . En utilisant la fonction génératrice des cumulants et les résultats de la question 1,
montrer que si Z (θ) est une v.a. de loi Ga(α,β − θ), τ (θ) est une v.a. de loi E(λ + θp) et que Z (θ) et
τ (θ) sont indépendantes alors Z (θ) − pτ (θ) est une v.a. de densité gθ .
′ (0) < 0 alors
6. (choix du drift θ) Montrer que ψX (θ) est convexe. En déduire que si ψX
′ (θ) > 0 sur ]θ̌,β[.
(a) il existe un unique θ̌ > 0 (que l’on ne cherchera pas à déterminer) tel que ψX
(b) il existe un unique θ⋆ ∈]θ̌,β[ tel que ψX (θ⋆ ) = 0.
7. (a) Déduire des questions 4, 5 et 6 , une procédure d’échantillonnage préférentiel de la probabilité
de ruine P(σx < +∞).
′ (0) < 0 quand α = 1, β = 1, λ = 0.5 et p = 1; et déterminer θ (on pourra tracer
(b) Vérifier que ψX
⋆
le graphe de θ 7→ ψX (θ) pour trouver la solution).
(c) Implémenter la procédure lorsque θ = θ⋆ , x = 100 et les autres paramètres du modèle fixés aux
valeurs de la question 7b.
(d) Donner une estimation de la probabilité de ruine, un intervalle de confiance à 95%, ainsi que
le coefficient de variation. On précisera avec quel nombre de termes utilisés dans la somme de
Monte Carlo, ces résultats ont été obtenus.
Rque : Pourquoi ce choix du drift θ ? Nous prenons θ = θ⋆ pour les raisons suivantes
– Par définition de θ⋆ et σx , et comme θ⋆ > 0, on a pour tout x,
"
#
σx
X
P (σx < +∞) = Eθ⋆ exp(−θ⋆
Xk ) ≤ exp(−xθ⋆ ) .
(1)
k=1
– On peut alors montrer qu’il existe une constante c > 0 telle que P(σx < +∞) ∼ c exp(−θ⋆ x) quand
x → +∞. [cf. Asmussen, S. (1998) Applied Probability and Queues, Wiley, Chichester, England]
– Comparer la variance des estimateurs sans biais de P(σx < +∞) revient à comparer leur moment
d’ordre 2. D’une part, par Jensen et l’inégalité (1)
"
#
σx
X
Eθ⋆ exp(−2θ⋆
Xk ) ≤ exp(−2θ⋆ x) ,
k=1
et d’autre part, par Jensen encore,
"
Eθ exp(−2θ
σx
X
k=1
#
Xk + 2σx ψX (θ)) ≥
"
Eθ exp(−θ
σx
X
k=1
#!2
Xk + σx ψX (θ))
≥ (P (σx < +∞))2 ∼ c2 exp(−2θ⋆ x) .
Ces inégalités montrent que d’un point de vue asymptotique (quand x → +∞) la dépendance en x
de la variance des estimateurs ne peut pas être plus faible que exp(−2θ⋆ x). Or cette dépendance en x
est atteinte avec θ = θ⋆ . En ce sens, l’estimateur calculé avec θ = θ⋆ est optimal.
4