` x `A - e-Learn Université Ouargla

Chapitre 1
INTRODUCTION A LA RELATIVITE RESTREINTE
Juin 1905 : Albert Einstein, âgé de vingt-six ans, soumet un article
intitulé
«
Zur
Elektrodynamik
bewegter
Körper
»
(Sur
l'électrodynamique des corps en mouvement) pour publication à la revue
scientifique allemande Annalen der Physik (Einstein A. 1905 Annalen
der Physik 17: 891-921). Dans cette étude très technique, il s'attaque à un
paradoxe concernant la lumière qui le trouble depuis dix ans. Cet article
venu de Berne a fait voler en éclats les notions traditionnelles de l'espace
et du temps, pour les remplacer par de nouveaux concepts aux propriétés
totalement contraires au sens commun. Le paradoxe qui trouble Einstein
depuis dix ans est le suivant. Au milieu du xixeme siècle, grâce à un
examen minutieux des expériences du physicien britannique Michael
Faraday, le savant écossais James Clerk Maxwell réussit: à unifier
électricité
et
magnétisme
en
une
théorie
unique
du
champ
électromagnétique. Des exemples de champ électromagnétique sont
nombreux : Ondes radio, TV, Téléphone Portable etc…Non seulement
la théorie de Maxwell unifie ces deux types de phénomènes —
électriques, magnétiques— en un cadre mathématique unique qu’est la
théorie de l’électromagnétisme, mais elle montre aussi (et c'était très
inattendu) que les perturbations électromagnétiques se propagent
toujours à la même vitesse, constante, qui est celle de la lumière. Toutes
les expériences (des milliers d’expériences) faites depuis, sont en faveur
de cette conclusion. Cela a permis à Maxwell de comprendre que la
lumière visible n'est rien d'autre qu'un type particulier d'ondes
électromagnétiques. De plus, et il s'agit là d'un point crucial, en vertu de
1
la théorie de Maxwell, les ondes électromagnétiques, et parmi elles la
lumière visible, sont des nomades. Elles ne s'arrêtent jamais. La question
fondamentale que se posa alors Einstein à seize ans est : « Que verrait-on
si l'on prenait en chasse un rayon lumineux à la vitesse de la lumière ? »
Par un raisonnement intuitif, imprégné des lois du mouvement de
Newton, chacun dirait qu'en allant à la même vitesse que la lumière nous
la verrions immobile. Cependant, la théorie de Maxwell ainsi que toutes
les observations faites depuis lors indiquent qu'il n'existe rien de tel qu'un
rayon lumineux soit immobile : personne n'a jamais pu tenir un petit
paquet de lumière au creux de la main. Tout le problème est là.
Dans ce chapitre nous allons raconter comment Einstein a résolu
ce conflit grâce à sa théorie de la relativité restreinte, bouleversant
alors notre conception de l'espace et du temps et cela en instaurant
deux (02) énoncés et fondamentaux et capitaux :
ENONCES (POSTULATS) DE LA RELATIVITE (Einstein)
Premier postulat : le principe de la relativité
Toutes les lois de la physique sont les mêmes dans tous les
référentiels d’inertie (extension aux phénomènes électromagnétiques
car ce principe existe avant Einstein).
En fait ce principe existait déjà avant l’avènement d’Einstein mais
s’appliquait seulement qu’aux phénomènes non électromagnétiques c'està-dire il s’appliquait seulement aux phénomènes à caractère mécanique.
2
Le pas décisif d’Einstein était l’extension de l’application de ce principe,
aussi aux phénomènes électromagnétiques en « améliorant » la
transformation de Galilée (en la généralisant) comme on va le voir plus
tard dans ce cours.
Deuxième postulat : Le principe de la constance de la vitesse de la
lumière
La vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les
référentiels d’inertie. Elle est indépendante du mouvement de sa
source ou de l’observateur.
Aaaaaaah !: Que tu cours derrière un photon pour le rattraper ou
tu le croises, la vitesse de ce photon par rapport à toi, est toujours la
constante « c » .
CONSEQUENCES DES POSTULATS SUR
L'ESPACE, LE TEMPS ET L'OBSERVATEUR
Notre expérience quotidienne nous permet déjà de percevoir
certaines différences liées au mouvement relatif de deux individus. Les
arbres au bord d'une route semblent en mouvement à un automobiliste en
roulant, tandis qu'un auto-stoppeur posté le long de la chaussée les voit
fixes. Il en va de même du tableau de bord de la voiture, par exemple : il
apparaît immobile aux yeux de l’automobiliste roulant (heureusement !),
mais semble en mouvement, avec le reste du véhicule, du point de vue de
l’auto-stoppeur. Ce sont là des propriétés si élémentaires et si intuitives
du monde qui nous entoure qu'on ne les remarque même plus. Toutefois,
la relativité restreinte fait passer ces différences d'observation à un
3
niveau fondamental. Étrangement, elle prédit que des observateurs en
mouvement relatif percevront différemment l'espace, et aussi le temps de
sorte qu'ils ne s'accorderont pas sur la durée séparant deux événements
donnés. Ils ne s’accordent non plus sur la longueur du même objet. La
relativité restreinte ne conteste nullement la précision des montres mais
établit en fait une propriété bien réelle du temps lui-même. De manière
analogue, nos deux observateurs, équipés chacun d'un mètre-ruban
identique, mesureront des longueurs différentes pour un même objet. Ici
encore, l'imprécision des moyens de mesure n'est pas en cause. Les
appareils les plus précis au monde confirment que l'espace et le temps —
en termes de durée et de distance — ne sont pas perçus de la même façon
par tous les observateurs.
Voici bientôt un siècle qu'Einstein a fait part de sa découverte au
monde. Pourtant, la plupart d'entre nous utilisent toujours les vieilles
notions d'espace et de temps absolus. Nous n'avons pas vraiment la
relativité restreinte dans le sang : elle ne nous est pas intuitive, nous ne la
sentons pas. Et l'explication en est très simple. Les effets de la relativité
restreinte dépendent de la vitesse à laquelle on se déplace. Or, à la
vitesse de nos voitures, de nos avions ou même de nos fusées, ces effets
sont indécelables. Certes, les différences de perception spatiale et
temporelle pour un observateur immobilisé au sol et un autre en voiture
ou en avion existent, mais elles sont tellement infimes qu'elles passent
inaperçues. Néanmoins, si l'on pouvait voyager à bord d'une navette, à
des vitesses proches de celle de la lumière, alors ces effets deviendraient
prépondérants. Puisqu'ils ne deviennent notables qu'à des vitesses si
gigantesques qu'elles sont hors d'atteinte, ces effets, appelés parfois «
dilatation du temps » et « contraction des longueurs » dans le jargon des
4
physiciens, sont complètement imperceptibles dans la vie de tous les
jours. Si nous vivions dans un monde où les choses se mouvaient
beaucoup plus vite, presque aussi vite que la lumière, alors ces
caractéristiques de notre espace-temps seraient pour nous complètement
banales parce que quotidiennes. Ces mêmes caractéristiques seront
parfaitement intuitives, et elles ne nous étonneraient pas plus que le
mouvement apparent des arbres en bordure de route. Mais notre univers
n'est pas fait ainsi, et ces aspects-là ne nous sont pas familiers. Avant de
les comprendre et de les accepter, il nous faudra bouleverser
complètement notre vision du monde. Toutefois, ces effets spatiotemporels, prédits par la théorie d'Einstein, sont observables, et même
mesurables, par le biais d'expériences astucieuses que nous allons
exposer comme deux exemples très pédagogiques :
Exemple (a) : Relativité de la durée entre deux événements
Exemple (b) : Relativité de la longueur d’une règle
Exposé de l’exemple (a) : Relativité de la durée entre deux événements
L’auto-stoppeur, situé en O0, envoie à t0 = 0 une impulsion lumineuse
dans la direction y0 vers un miroir M situé en y0 = L (voir figure 1).
L'impulsion, réfléchie par le miroir M, revient vers le l’auto-stoppeur et
l'atteint au bout d'une durée ∆Tprop = 2L/c. Cette durée s’appelle durée
propre ou temps propre des deux évènements pour l’auto-stoppeur car les
deux évènements se produisent au même point O0 du référentiel de
l’auto-stoppeur. Par ce biais, l’auto-stoppeur pourrait ainsi construire une
horloge : en renvoyant une deuxième impulsion à l'instant précis où il
reçoit la première, l’auto-stoppeur établirait un phénomène périodique et
donc une horloge (*) (une montre).
5
M
L
O0
x
Figure 1
Regardons maintenant cette même expérience avec l'œil de
l’automobiliste (figure 2). A t0 = 0, l’automobiliste, venant de la gauche
vers la droite, dépasse O0 à la vitesse constante V. Après cet instant t0 =
0, que nous considérons initial, l’automobiliste continue à rouler vers la
droite et en même temps la lumière continue aussi son voyage vers la
gauche aux yeux de l’automobiliste tout en faisant une montée vers le
miroir, puis une réflexion sur celui-ci avant de retourner en O0. O0 est
alors à une distance D de l’automobiliste O.
Figure 2
6
(*)
En pratique, cette expérience nécessite une longueur L très très grande pour pouvoir
détecter un temps appréciable (voir ce que dit Leblond sur cette remarque).
La durée de l'expérience mesurée par l’automobiliste est plus
grande que celle mesurée par l’auto-stoppeur : on dit que la montre de
l’automobiliste battrait plus vite et avancerait par rapport à celle de
l’auto-stoppeur. Cette expérience de pensée nous fournit une autre
indication sur ce que sera la cinématique relativiste. Selon la figure 2,
vue par l’automobiliste, la lumière parcourt la distance brisée
(OM’+M’O0) qui est une distance bien supérieure à 2L. Donc, vue par
l’automobiliste, la lumière met une durée ∆Timp supérieure à
(∆Tprop=2L/c) pour arriver à O0. Il est clair que cette durée vaut :
∆Timp =
OM '+ M' O 0
OM'
=2
c
c
Remarque très importante : Ce temps n’est pas un temps propre pour
l’automobiliste, car l’envoie du signal et la réception de ce signal se font
en deux points différents du référentiel lié à l’automobiliste.
Il est aussi clair, que cette durée ∆Timp est supérieure à ∆Tprop
puisque le rayon lumineux parcourt, par rapport à l’automobiliste, une
distance (OM’+M’O0) beaucoup plus grande que 2L. Par contre l’envoie
du signal et la réception du signal se font au même point du référentiel
lié à l’auto-stoppeur : la durée séparant ces deux évènements est un
temps propre (∆Tprop) pour l’auto-stoppeur.
∆Tprop < ∆Timp
7
On peut aussitôt calculer ∆Timp, en utilisant simplement l’égalité
précédente. En effet :
D
OM' = L2 + ( ) 2
2
mais la distance D vaut V(∆Timp) donc :
∆Timp = 2
OM' 2 2 D 2 2 2 V∆Timp 2
=
L +( ) =
L +(
)
c
c
2
c
2
ou bien encore :
(∆Timp )
2
2
4  2 V∆Tmp 2   2L 
V2
= 2  L + (
)  =   + 2 (∆Timp ) 2
2
c 
c
  c 
2
= (∆Tprop ) +
V2
c
2
(∆Timp ) 2
soit encore, en dégageant (∆Timp) :
∆Timp =
∆Tprop
1
2 2
V
≡ Γ.∆Tprop

1 −

2 

c 

avec la définition :
Γ=
1
1−
V2
=
1
1 − B2
c2
Première conclusion relative à la notion de temps et de durée :
8
- L’intervalle de temps entre deux évènements se produisant en un
même lieu d’un référentiel d’inertie (c’est xO0y sur la figure 2) est un
intervalle de temps propre ou durée propre.
- Dans tout autre référentiel d’inertie (c’est X’OY’ sur la figure 2),
l’intervalle de temps entre ces deux mêmes évènements est toujours
supérieure à la durée propre. Ce phénomène s’appelle : dilatation du
temps.
- V étant la vitesse relative entre ces deux référentiels.
La durée séparant deux événements est donc une grandeur relative, elle
dépend de l’observable. Elle est minimale dans le référentiel propre
c'est-à-dire dans le référentiel où les deux événements ont lieu au même
point de ce référentiel.
Donc deux évènements simultanés dans un référentiel d’inertie ne sont
pas simultanés dans un autre référentiel d’inertie.
Ehhh voila qu’il en découle une étrange histoire : Imaginons deux
chefs d'Etat de deux
nations
en guerre, assis chacun à une
extrémité d'une longue table où viennent de se tenir des
négociations. Ils sont parvenus à un accord de cessez-le-feu,
mais aucun des deux n'accepte de le signer le premier ! Le
secrétaire général des Nations unies leur
solution ingénieuse. Une lampe,
placée
propose alors une
initialement éteinte, sera
au milieu de la table. Puisqu'elle est située à égale
distance des deux
personnages, si on 1'allume, sa lumière
atteindra les deux
présidents au même instant. Tous deux
9
acceptent alors de ratifier le traité des
qu'ils verront la
lampe s’allumer et signent donc simultanément, à
la
satisfaction générale.
Fier d'un tel succès, le secrétaire général des Nations
unies décide d'user de la même astuce dans un cas semblable.
La seule différence réside dans le fait que les négociations
ont lieu dans un train qui circule à vitesse constante.
Le président du Marchavant est installé à une extrémité
de la table de sorte qu'il est dans le sens de la marche du
train. Le roi du Marcharriere a pris place à l'autre extrémité et
tourne donc le dos à la tête du train. Le secrétaire général,
conscient que les lois de la physique sont indépendantes du
mouvement des
uniforme, ne
observateurs
tient
pas
tant
que
celui-ci reste
compte de cette différence et
entreprend la même cérémonie de signature, orchestrée par la
même
lampe. Les deux chefs d'Etat signent le pacte
puis
fêtent l’événement en compagnie de leurs divers conseillers.
Ils apprennent alors que des combats ont éclaté entre
les
peuples de leurs deux
nations, qui ont assiste à la
ratification du traité depuis le bord de la voie ferrée. Tous
les participants à la cérémonie sont méduses : ces nouvelles
hostilités ont pour origine le mécontentement des gens du
Marchavant qui affirment avoir été leurrés car leur président
aurait
signe 1'accord de paix avant le roi du Marcharriere.
Pourtant, tous les occupants du train, quel que soit leur bord,
s'accordent sur
la simultanéité sans équivoque des
10
deux
signatures. Comment se fait-il alors que
les observateurs
extérieurs ne soient pas d'accord?
Analysons le
point
de
vue d'un des
observateurs,
immobile sur le bord de la voie tandis que, dans le wagon, la
lampe s'allume et que ses rayons de lumière filent vers chacun
des deux dirigeants. Pour cet observateur reste à 1'extérieur, le
président du Marchavant se déplace à la rencontre du pinceau
lumineux, tandis que
le roi du Marcharriere s·’en éloigne.
Notre observateur en déduit que le faisceau qui se dirige vers
le président a moins de distance a parcourir que celui qui
doit rattraper le roi. 11 ne s'agit pas ici d'une assertion
concernant la vitesse de la lumière - puisqu'il est clairement
établi que celle-ci conserve la même allure quel que soit le
mouvement de sa source ou de ses observateurs -mais
plutôt
la distance dont
atteindre les
deux
celle-ci doit s'affranchir ici pour
futurs signataires. Si cette
distance
est
moindre pour le président du Marchavant que pour le roi du
Marcharrière, et puisque la lumière parcourt les deux trajets à la
même vitesse, alors, elle atteint forcement le président avant le roi.
Et voila pourquoi les habitants du Marchavant sont persuades
d'avoir été bernés !
Lorsque les medias
relatent l’événement, le secrétaire
général, les deux chefs d'Etat et tous leurs conseillers
n'en
croient pas leurs oreilles. Ils sont pourtant tous d'accord: la lampe
était fermement installée, exactement a mi-chemin entre le roi et
le président, et sa lumière a donc parcouru exactement la même
11
distance pour les atteindre. Nul doute que la vitesse des rayons
lumineux reste égale à 300000 kilomètres par seconde, qu'ils aient
été émis vers la droite ou vers la gauche. Ils sont donc convaincus,
et en ont même été témoins, que les deux faisceaux lumineux ont
atteint les deux chefs d'Etat au même instant.
Des occupants du train et des observateurs extérieurs, qui a
raison et qui a tort ? Les explications de chacun des deux groupes
sont irréfutables. Ici encore, tous ont raison. Tout comme Wallace et
Gromit, chaque groupe détient une part égale de vérité. Sauf qu'ici
leurs
«
vérité »
Politiquement,’ issue
respectives
semblent
contradictoires.
du débat est d'importance: le roi et le
président ont-ils, oui ou non, signe le traité simultanément ? Avec
les observations et les raisonnements précédents, nous pourrons
seulement conclure que « selon les voyageurs du train, oui », et «
selon les habitants du bord de la voie ferrée, non». En d'autres
termes, des événements simultanés pour certains observateurs ne le
sont pas pour d'autres observateurs en mouvement par rapport aux
premiers.
Exercice : La simultanéité n’est pas absolue
Soient deux signaux arrivant en même temps par rapport à un
observateur se trouvant dans un wagon en marche avec une vitesse
V constante. Ces deux signaux sont t-ils simultanés pour un autostoppeur à coté de la voie ferrée ?
12
Définition : Carré de l’intervalle entre deux évènements
On appelle carré de l’intervalle entre deux évènements se
déroulant dans un même référentiel la grandeur :
(∆S) 2 = c 2 (∆t ) 2 − (∆l) 2
Dans le référentiel de l’auto-stoppeur de l’exemple précédent, le
signal lumineux quitte O0 à t0=0 (c’est le premier évènement), puis le
signal lumineux revient au même point de départ O0 après un temps
∆Tprop propre (c’est le deuxième évènement). Puisque les deux
évènements ont lieu au même point O0, origine du référentiel de l’autostoppeur, alors ∆l=0. Donc le carré de l’intervalle de ces deux
évènements, dans le référentiel de l’auto-stoppeur, vaut :
(∆S) 2 = c 2 (∆t ) 2 − (∆l) 2 = c 2 (∆Tprop ) 2 − 0 2 = c 2 (∆Tprop ) 2
On peut aussi calculer le carré de l’intervalle de ces deux mêmes
évènements dans le référentiel de l’automobiliste. En effet, dans le
référentiel de celui-ci, les deux évènements sont séparés par une durée
(∆Timp) et sont séparés par la distance D. Donc le carré de l’intervalle
des deux évènements, dans le référentiel de l’automobiliste vaut :
(∆S) 2 = c 2 (∆Timp ) 2 − D 2 =
c 2 (∆Timp ) 2 − (V∆Timp ) 2 = (c 2 − V 2 )(∆Timp ) 2
Mais nous avons déjà établi, plus haut, la relation :
13
∆Tprop
∆Timp =
1−
V2
c2
Donc, nous obtenons dans le référentiel de l’automobiliste, le carré de
l’intervalle entre les deux évènements :
2
2
2
2
2
2
(∆S) = (c − V )(∆Timp ) = (c − V )
(∆Tprop ) 2
1−
V2
= c 2 (∆Tprop ) 2
c2
qui est égal au carré de l’intervalle entre les deux mêmes évènements
dans le référentiel de l’auto-stoppeur.
Remarques aussi importantes (suite à cet exemple) :
Le carré de l’intervalle entre deux évènements est indépendant du
référentiel d’inertie choisi : on dit que le carré de l’intervalle est un
invariant dans un changement de référentiel d’inertie. De plus, on
constate que le carré de l’intervalle peut être négatif, nul ou positif (on
en discutera plus tard).
Exposé de l’exemple (b) : Relativité des longueurs
Un chauffeur d’un camion-remorque, veut mesurer la longueur de la
remorque en état de stationnement. Pour cela, il peut procéder, soit en
utilisant son mètre-ruban, soit par le procédé calculatoire suivant (voir
figure 3):
Il considère une montre qui se déplace (avec un système adéquat) à
14
une vitesse constante V par rapport à la remorque en stationnement.
Cette montre marque le premier passage de l’arrière A de la remorque,
puis marque le deuxième passage du devant D de la remorque. Il y a
alors deux évènements : Passage de la montre en face A puis son
passage en face de D.
D
A
V
V
Figure 3
Ces deux évènements sont vus différemment par les deux
observateurs (l’un assis dans la remorque et l’autre lié à la montre).
Pour l’observateur lié à la montre, les deux évènements se déroulent
au même point qui est le centre de la montre.
Pour l’observateur assis dans le camion, les deux évènements se
déroulent en deux points différents qui sont A et D.
Raisonnement de l’observateur lié à la montre :
Les deux évènements sont séparés par une durée propre car ils se
15
produisent au même point, qu’est le centre de la montre. Appelons ce
temps (∆Tprop). L’observateur-montre se déplace à la vitesse constante V
par rapport au camion-remorque. Donc L’observateur-montre calcule la
longueur (∆Limp) (qui est une longueur impropre car la remorque n’est
pas au repos vis-à-vis du référentiel lié à l’observateur-montre) de la
remorque en utilisant la formule aussi simple :
∆Limp = V(∆Tprop )
Raisonnement de l’observateur assis dans le camion:
Pour cet observateur, les deux évènements sont séparés par une durée
impropre (∆Timp), donc cet observateur calcule la longueur (∆Lprop)
(C’est une longueur propre pour l’observateur lié au camion car le
camion est immobile dans ce référentiel) de la remorque en utilisant
aussi une formule simple :
∆L prop = V(∆Timp )
Soit en divisant l’une par l’autre ces deux dernières formules :
∆Limp
∆L prop
=
∆Tprop
∆Timp
Mais nous avons démontré une relation très importante entre la durée
propre et la durée impropre.
∆Timp =
∆Tprop
1−
V
2
= Γ.∆Tprop > ∆Tprop
c2
16
Donc une relation entre la longueur propre et la longueur impropre :
∆Limp
∆L prop
= 1−
V2
c2
=
1
Γ
soit encore :
∆Limp =
∆L prop
Γ
< ∆L prop
L’observateur lié à la montre mesure une longueur de la remorque
(∆Limp) plus courte que la longueur mesurée par l’observateur au repos
et assis dans la remorque. C’est la contraction des longueurs :
V
∆Limp = ∆L prop 1 − ( ) 2
c
∆Limp < ∆L prop
Deuxième conclusion relative à la notion de longueur
Une règle fixe dans un référentiel d’inertie (la remorque sur la figure
3) a une longueur propre. La longueur de cette même règle a une
longueur plus courte dans tout autre référentiel d’inertie (l’observateurmontre sur la figure 3). Ce phénomène s’appelle : contraction des
longueurs.
RETOUR AU CARRE DE L’INTERVALLE
Nous avons vu plus haut que le carré de l’intervalle entre deux
17
évènements est un invariant cinématique dans un changement de
référentiel d’inertie :
r
(∆S) 2 = c 2 (∆t ) 2 − (∆x ) 2 = une cons tan te
ou bien :
r
(∆S) 2 = c 2 (∆t ) 2 − (∆x ) 2 = c 2 (∆t ) 2 − (∆x ) 2 − (∆y) 2 − (∆z) 2
= une cons tan te
C'est-à-dire que cette grandeur conserve sa valeur lorsqu’on passe
d’un référentiel d’inertie à un autre référentiel d’inertie comme on l’a
illustré dans l’exemple de l’auto-stoppeur et l’automobiliste :
r
(∆S) 2 = c 2 (∆t ) 2 − (∆x ) 2 =
r
c 2 (∆t ' ) 2 − (∆x ' ) 2 =
r
c 2 (∆t ' ' ) 2 − (∆x ' ' ) 2 = etc...
On peut se demander s’il existe une transformation entre les
coordonnées spatio-temporelles qui assure l’invariance de ce carré ? La
réponse est donnée par Lorentz par sa fameuse transformation :
B
x)
2
c
c
x ' = Γ( x − Vt ) = Γ( x − Bct )
y' = y
t ' = Γ( t −
V
x ) = Γ( t −
z' = z
où :
18
1
Γ=
1 − B2
V
B=
c
Sous forme quadri-dimensionnelle et plus symétrique en posant ct=T et
ct’=T’:
T' = Γ(T − Bx )
x' = Γ( x − BT)
y' = y
z' = z
Ou bien sous forme matricielle :
 T'  Γ − BΓ 0 0  T 
  
 
0 0  x 
 x'  − BΓ Γ

 y '  = 0
0 1 0  y 
  
 
0
0 1 z 
 z '  0
Plus tard, au prochain chapitre, nous identifions T à x0, x à x1, y à x2 et z
à x3 et nous aurons cette écriture :
 x 0 '  Γ − BΓ 0 0  x 0 
 
  
 x1'  − BΓ Γ
0 0 x1 
 
 =
2
0 1 0  x 2 
 x '  0

 3  0
0
0 1 3 

x 
x '
Exercice : vérifiez que cette transformation conserve le carré de
l’intervalle (∆S)2.
Démonstration : on écrit la transformation de Lorentz pour les
intervalles ∆t’, ∆x’, ∆y’ et ∆z’ ce qui donne :
19
B
∆x )
c
c
∆x ' = Γ(∆x − V∆t ) = Γ(∆x − Bc∆t )
∆y ' = ∆y
∆z' = ∆z
∆t ' = Γ(∆t −
V
∆x ) = Γ(∆t −
2
Maintenant on remplace dans l’expression du carré de l’intervalle (∆S)2 :
r
(∆S) 2 = c 2 (∆t ' ) 2 − (∆x ' ) 2 =
= c 2 (∆t ' ) 2 − (∆x ' ) 2 − (∆y' ) 2 − (∆z' ) 2 =
= c 2 (∆t ' ) 2 − (∆x ' ) 2 − (∆y) 2 − (∆z) 2 =
B
= c 2 Γ 2 (∆t − ∆x ) 2 − Γ 2 (∆x − V∆t ) 2 − (∆y) 2 − (∆z) 2
c
et en développant les carrés, nous obtenons :
r
(∆S) 2 = c 2 (∆t ' ) 2 − (∆x ' ) 2 =
B
= c 2 Γ 2 (∆t − ∆x ) 2 − Γ 2 (∆x − V∆t ) 2 − (∆y) 2 − (∆z) 2
c
2

V
B
2 2
2
= c Γ  (∆t ) − 2 2 (∆t )(∆x ) + 2 (∆x ) 2 
c
c


(
)
− Γ 2 (∆x ) 2 − 2V(∆t )(∆x ) + V 2 (∆t ) 2 − (∆y) 2 − (∆z) 2
(
)
(
)
= c 2 − V 2 Γ 2 (∆t ) 2 − Γ 2 1 − B 2 (∆x ) 2 − (∆y) 2 − (∆z) 2
r
= c 2 (∆t ) 2 − (∆x ) 2 − (∆y) 2 − (∆z) 2 = c 2 (∆t ) 2 − (∆x ) 2
ce qui achève la démonstration de l’invariance de l’intervalle dans un
changement de référentiel d’inertie.
On peut également généraliser la transformation de Lorentz au cas
20
où la vitesse de translation entre les deux référentiels aurait une direction
quelconque. En effet, elle s’écrit sous la forme :
r r
rr
V.x
B.x
)
t ' = Γ( t − 2 ) = Γ ( t −
c
c
r
r
r r
r r V
x ' = x + (Γ − 1)( x.V) 2 − ΓV.t
V
Exercice : Montrez que cette transformation peut s’écrire sous forme
matricielle comme :
Γ


 ct'  ct  − ΓBx
   
 x'   x  
 y'  = Λ y  =  − ΓB
y
    
 z'   z  

 − ΓBz

− ΓBx
− ΓBy
− ΓBz



 Γ −1
 Γ −1
 Γ −1
1+  2 B2x  2 BxBy  2 BxBz  ct
 
B 
 B 
 B 
 x 
 
 Γ −1 2  Γ −1
 Γ −1
 2 ByBx 1+  2 By  2 ByBz  y 
B 
 B 
 B 
 z 
 Γ −1 2 
 Γ −1
 Γ −1
 2 BzBx  2 BzBy 1+  2 Bz 
 B 
B  
B 
avec la notation : B i = Vi / c et i prend x ou y ou z. Fin de l’exercice.
En termes de transformations d’intervalles, entre deux évènements, d’un
référentiel d’inertie à un autre référentiel d’inertie, la transformation de
Lorentz s’écrit:
r r
r r
V.∆x
B.∆x
)
∆t ' = Γ(∆t − 2 ) = Γ(∆t −
c
c
r
r
r r V
r
r
∆x ' = ∆x + (Γ − 1)(V.∆x.) 2 − ΓV.∆t
V
Exercice : Montrez que sous cette transformation le carré de
l’intervalle est bien un invariant.
CINEMATIQUE RELATIVISTE
a) Transformations des vitesses
Je préfère commencer par la loi de composition des vitesses, c'est-
21
à-dire chercher la loi de transformation des vitesses lorsqu’on passe d’un
référentiel d’inertie (R, Oxyz) à un autre référentiel d’inertie
(R’,O’x’y’z’) (voir figure ci-contre) lorsque ceux-ci se translatent l’un
r
par rapport à l’autre avec une vitesse constante V suivant une direction
quelconque. Il est clair que les vitesses d’un mobile vues et calculées
dans chacun des deux référentiels (R, Oxyz) et (R’, O’x’y’z’) sont
définies par :
r
r
r dx r dx '
v=
; v' =
dt
dt '
r
r
Pour trouver la transformation, qui donne v ’ en fonction de v , il
suffit de considérer la transformation de Lorentz pour des intervalles
infinitésimaux, c’est dire réécrire la transformation des intervalles pour
les déplacements infinitésimaux :
r r
V.dx
dt ' = Γ(dt − 2 )
c
r
r r V
r
r
r
dx ' = dx + (Γ − 1)(V.dx.) 2 − ΓV.dt
V
En divisant la deuxième transformation par la première
transformation, on trouve aisément :
22
r
r
r r V
r
r dx + (Γ − 1)(V.dx.) 2 − ΓV.dt
dx '
r V
=
r
dt '
V.dx
Γ(dt − 2 )
c
et en divisant le numérateur et le dénominateur du second membre
par dt, nous trouvons :
r
r
r
r
r dxr V
r dt r
r r V
dx
v + (Γ − 1)(V.v) 2 − ΓV
+ (Γ − 1)(V. ) 2 − ΓV.
r
dx ' dt
dt V
dt
r rV
=
=
r
r
dx
dt '
V.v
V.
Γ(1 − 2 )
dt
c
Γ( − 2dt )
dt
c
soit encore :
r
r
r r V
r
v + (Γ − 1)(V.v) 2 − ΓV
r
r rV
v' =
V.v
Γ(1 − 2 )
c
En posant :
on peut écrire :
r
r vr
r V
B=
et β =
c
c
r
rr V
r
r
v + (Γ − 1)(B.β) 2 − Γ.V
r
r rB
v' =
Γ(1 − Bβ)
A la limite classique Galiléene (c'est-à-dire c tendant vers l’infini),
on trouve la bonne formule de la composition des vitesses dans la
cinématique Galiléene :
r r r
v' = v − V
c'est-à-dire :
r r r
v = V + v' = Vitesse d' entrainement + vitesse relative
r
r
Si, on prend par exemple, V = V i , c'est-à-dire que la translation
23
relative entre les deux référentiels, est selon l’axe des x, alors la
transformation des vitesses du mobile entre les deux référentiels R et R’
est donnée par :
v −V
vx − V
= x
V.v
1 − 2 x 1 − Bβ x
c
vy
vy
vy ' =
=
V.v
Γ(1 − 2 x ) Γ(1 − Bβ x )
c
vz
vz
vz ' =
=
V.v
Γ(1 − 2 x ) Γ(1 − Bβ x )
c
vx ' =
Exercice : quelles sont les deux autres formes de transformations,
si la translation relative entre les deux référentiels se fasse une fois selon
y et l’autre fois selon z ?
b) Transformation des accélérations
Partant de la transformation des vitesses vue plus haut :
r
rr V
r
r
v + (Γ − 1)(B.β) 2 − Γ.V
r
r rB
v' =
Γ(1 − Bβ)
on peut prendre sa dérivée par rapport à t’ puis utiliser la transformation
sur le temps:
dt ' = Γ(dt −
r r
V.dx
c2
r r
r vr
rr
V dx
) = Γdt (1 − . ) = Γdt (1 − B. ) = Γdt (1 − Bβ)
c cdt
c
Donc :
24
dt
1
rr
=
dt ' Γ(1 − Bβ)
La dérivée de la vitesse dans R’ donne :
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
dv
dβ V
V
dβ
r
+ (Γ − 1)(B. ) 2 ( v + (Γ − 1)(B.β) 2 − Γ.V)(B )
r
dv' dt '
dt '
Br r
r r dt ' B +
=
dt '
Γ(1 − Bβ)
Γ(1 − Bβ) 2
r
Ou encore en remplaçant β par son expression :
r r r
r
r r
r
r
r
r
dv
B dv V
V
B
dv
r
+ (Γ − 1)( . ) 2 ( v + (Γ − 1)(B.β) 2 − Γ.V)( . )
r
dv' r dt '
c dt '
Br r
rc r dt ' B +
= γ' =
dt '
Γ(1 − Bβ)
Γ(1 − Bβ) 2
Or on peut transcrire :
r
r
r
r
dv dv dt dv
1
γ
rr =
rr
=
=
dt ' dt dt ' dt Γ(1 − Bβ) Γ(1 − Bβ)
r
r
où γ ' et γ sont les accélérations dans R’ et R respectivement. Donc la
composition des accélérations est donnée par :
r
r
r
r
r Br
rr V
r
Br V
r
γ + (Γ − 1)( .γ ) 2 ( v + (Γ − 1)(B.β) 2 − Γ.V)( .γ )
r
c
c B
Br r
γ' =
+
r
r
Γ 2 (1 − Bβ) 2
Γ 2 (1 − Bβ)3
Si, par exemple, nous prenons la translation comme étant selon l’axe des
r
r
x, c'est-à-dire : V = V i , alors nous aurons suivant l’axe x :
γ 'x =
1
Γ(1 − Bβ x ) 2
γx +
(β x − B)B
Γ(1 − Bβ x )3
γx =
Γ 3 (1 − Bβ x )3
et la transformation de l’accélération suivant l’axe y :
25
γx
B
(
v
)(
.γ x )
y
γy
1
c
γ'y = 2
+
=
γ y + B(β y γ x − β x γ y )
Γ (1 − Bβ x ) 2 Γ 2 (1 − Bβ x )3 Γ 2 (1 − Bβ x ) 3
[
et la transformation de l’accélération suivant l’axe z :
γ 'z =
1
Γ 2 (1 − Bβ x )3
[γ z + B(β z γ x − β x γ z )]
Exercice : trouvez les transformations des accélérations lorsque la
translation se fait une fois selon y et l’autre fois selon z.
26
]
Chapitre 2
FORMALISME QUADRI-DIMENSIONNEL DE LA RELATIVITE
1) Quadri-vecteur position xµ
Il s’agit ici de définir toutes les quantités en dimension 4 de
l’espace de Minkovski en commençant par définir l’événement qui a eu
lieu en M dans un référentiel R, comme un vecteur à 4 dimensions qu’on
note comme un vecteur colonne:
 x0 
   ct 
 x1   x 
 
xµ =   =  
y
x2 

 3   z 
 
x 
Cette notation est dite « la notation contra-variante de l’évènement» ou
bien que x µ est un quadri-vecteur position contravariant.
Pour définir le produit scalaire et la norme du quadri-vecteur, nous avons
aussi besoin de définir le quadri-vecteur position covariant comme un
vecteur ligne:
x ν = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 0 ,− x 1 ,− x 2 ,− x 3 ) = (ct ,− x ,− y,− z)
de sorte que :
x 0 = x 0 = ct , x1 = − x1 = x , x 2 = − x 2 = y , x 3 = − x 3 = z ,
et le produit scalaire entre deux quadri-vecteurs est donné par:
x µ yµ = x 0 y 0 + x1y1 + x 2 y 2 + x 3 y3 =
r r
= x 0 y 0 − x1y1 − x 2 y 2 − x 3 y3 = x 0 y 0 − X.Y
tel que :
1
r r
X.Y = x 1 y1 + x 2 y 2 + x 3 y 3
La norme du quadri-vecteur se définit alors comme :
N( x ) = x µ x µ =
= x 0 x 0 − x1x1 − x 2 x 2 − x 3 x 3 =
r
= ( x 0 ) 2 − ( x1 ) 2 − ( x 2 ) 2 − ( x 3 ) 2 = ( x 0 ) 2 − X.2
ou bien en terme de carré de la norme :
r2
N (x) = x x µ = (x ) − (x ) − (x ) − (x ) = (x ) − X
2
µ
0 2
1 2
2 2
3 2
0 2
2) Géométrie des composantes contravariantes et covariantes
Les composantes contravariantes (4-vecteur à indice supérieur) et
les composantes covariante (4-vecteur à indice inférieur), sont indiquées
sur la figure 4 ci-contre :
Figure 4
2
3) Le tenseur métrique (pseudo-métrique !) :
gµν
En définissant le produit scalaire plus haut, nous avons écrit :
x µ y µ = x 0 y 0 − x 1 y1 − x 2 y 2 − x 3 y 3
qu’on peut transformer en écriture matricielle comme :
 y0 
 x0  1 0
0
0
 
 

1
 x  0 −1 0 0  y1 

 
xµ yµ = x0 y0 − x1y1 − x 2 y2 − x3y3 =  
0 −1
0 y2 
 x2  0
 
 3  0
0
0
1
−

 y3 
 
x 
On note par la matrice de la métrique ou tenseur métrique, la matrice :
g µν
1

0
=
0

0
0 

−1
0
0 
µν
=
g
0 −1
0

0
0 − 1
0
0
de sorte que le produit scalaire s’écrit comme :
x µ yµ = x µ g µν y ν = g µν x µ y ν
On constate d’après cette écriture que nous pouvons écrire la relation qui
transforme un quadri-vecteur contra-variant en quadri-vecteur covariant:
y µ = g µν y ν
La transformation inverse se définit comme (à démontrer) :
yµ = g µν y ν
On peut facilement voir que :
yµ = g µν y ν = g µν g να y α ⇒⇒
g µν g να y α = δµ
3
α
Le carré de la norme d’un quadrivecteur s’écrit alors comme :
N 2 ( x) = xµ xµ = xµ xµ = xµ g µν x ν = g µν xµ x ν
4) Classification des quadri-vecteurs
Les quadri-vecteurs sont classés selon le signe du carré de leur norme.
En effet, nous avons :
r
N 2 ( x ) = x µ x µ = g µν x µ x ν = ( x 0 ) 2 − X 2
qui peut prendre toutes les valeurs négative, nulle ou positive :
µ
Si N2 (x) < 0 le quadivecteur x est de genre espace,
µ
Si N2 (x) = 0 le quadivecteur x est de genre lumière,
µ
Si N2 (x) > 0 le quadivecteur x est de genre temps
5) Retour à la Transformation de Lorentz spéciale (TLS)
Considérons la TL pour le cas où la translation entre R et R’ se fait selon
l’axe des x. Dans ce cas la TL s’écrit comme :
− ΓB
 ct'  ct  Γ
    
Γ
 x'   x   − ΓB
=
=
Λ
 y'   y   0
0
    
0
 z'   z   0
Si on pose B = th (φ) , alors Γ = cosh(φ) et :
− sinh(φ)
 cosh(φ)

cosh(φ)
 − sinh(φ)
Λν µ(φ) = 
0
0

0
0
0  ct
 
0  x 
0 y 
 
1  z 
0
0
1
0
0
0
1
0
0

0
0 

1 
On peut interpréter cette matrice, comme une matrice qui représente une
« rotation » dans le plan (x-t). Cette « rotation », peut être considérée
comme une succession de rotations infinitésimales. En effet si on
4
compose deux rotations « d’angles » φ et ψ on obtient :
− sinh(Ψ)
 cosh(Ψ)

cosh(Ψ)
 − sinh(Ψ)
0
0

0
0
Ce produit est égal à
0
 cosh(φ)

0  − sinh(φ)
0  0

1  0
0
0
1
0
 cosh(φ + ψ)

 − sinh(φ + ψ)
Λν µ(φ + ψ) = 
0

0
Exercice :
− sinh(φ + ψ)
cosh(φ + ψ)
0
0
− sinh(φ)
cosh(φ)
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0

0
0 

1 
0

0
0

1 
ν
Trouvez la matrice Λ µ (φ + ψ + θ) relative à la composition de trois
« rotations » de Lorentz pour la transformation parallèle à 0x.
Donc on peut représenter une « rotation » comme une succession de
rotations infinitésimales chacune d’un angle ε :
1

−ε
Λν µ(ε) = 
0

0
−ε
1
0
0
0
0
1
0
0 

0
0

1 
En écriture tensorielle, la transformation de Lorentz s’écrit :
xµ ' = Λµ
xν = Λµ
xµ ' = Λ µ
x ν = Λµ
(
ν
ν
ν
ν
Λ µ ν = Λµ
5
xν
xµ '
xν
xµ '
)ν −1
L’ensemble des transformations Λ forme un groupe par rapport à la loi
multipliée.
Exercice : montrez que, sous la transformation Λ , le produit scalaire
entre deux quadri-vecteurs est conservé.
Autres propriétés des matrices Λ
x µ ' = Λµ
x µ ' = Λµ
ν
ν
x ν = Λµ
x ν = Λµ
ν
ν
g να x α = Λµα x α
g να x α = Λ µα x α
D’après l’écriture de la transformation TL, l’indice du bas est relatif à la
colonne et l’indice du haut est destiné à la ligne. Plus précisément,
1

−ε
Λν µ(ε) = 
0

0
−ε
0
1
0
0
1
0
0
0
0  Λ 0(ε)

0   Λ1 0(ε)
≡
0   Λ2 (ε)
  0
1  3
 Λ 0(ε)
Λ0 3(ε) 
Λ1 1(ε) Λ1 2(ε) Λ1 3(ε) 

2
2
2
Λ 1(ε)
Λ 2(ε) Λ 3(ε) 

3
3
3
Λ 1(ε) Λ 2(ε) Λ 3(ε) 
Λ0 1(ε) Λ0 2(ε)
On peut aussi définir les éléments de la matrice
Λ µν (ε) = g µα Λα ν (ε)
On peut alors calculer ses éléments un à un de la façon suivante :
Λ µν (ε) = g µα Λα ν (ε)
Λ 00 (ε) = g 0α Λα 0(ε) = g 00 Λ0 0 (ε) + g 01Λ1 0(ε)
+ g 02 Λ2 0 (ε) + g 03Λ3 0(ε) = g 00 Λ0 0(ε) = Λ0 0(ε) = 1
Le deuxième élément de la diagonale :
Λ11 (ε) = g1α Λα 1(ε) = g10 Λ0 1(ε) + g11Λ1 1(ε)
+ g12 Λ2 1(ε) + g13Λ3 1(ε) = g11Λ1 1(ε) = −Λ1 1(ε) = −1
Le deuxième élément de la première ligne :
6
Λ 01 (ε) = g 0α Λα 1(ε) = g 00 Λ0 1(ε) + g 01Λ1 1(ε)
+ g 02 Λ2 1(ε) + g 03Λ3 1(ε) = g 00 Λ0 1(ε) = Λ0 1(ε) = −ε
Le premier élément de la deuxième ligne :
Λ10 (ε) = g1α Λα 0 (ε) = g10 Λ0 0(ε) + g11Λ1 0(ε)
+ g12 Λ2 0(ε) + g13Λ3 0 (ε) = g11Λ1 0(ε) = − Λ1 0(ε) = +ε
Le reste se fait de la même méthode. On constate que la matrice
Λ µν (ε) , a le même comportement sur la diagonale que la matrice gµν et
que les éléments hors diagonale sont anti-symétriques ( Λ 01 = - Λ10 ).
La matrice la matrice Λ µν (ε) ainsi définie peut donc être écrite sous la
forme :
Λ µν (ε ) = g µν + Ωµν (ε )
où Ωµν (ε ) est une matrice anti-symétrique qu’on peut écrire sous la
forme suivante (à vérifier) :
αβ
Ωµν
(ε ) = −ε (g µα g νβ − g µβ g να )
αβ )
Λ(µν
(ε ) = g µν − ε (g µα g νβ − g µβ g να )
où α et β sont des indices qui indiquent le plan dans lequel se fait la
rotation. Il y a en tout six rotations : trois rotations dans les plans x-y
autour de Oz, y-z autour de Ox et z-x autour de Oy pour lesquelles (α, β)
=(1,2), (2,3) et (3,1) respectivement. Les trois autres « rotations » qui
représentent en fait les translations de Lorentz spéciales selon Ox ou Oy
ou Oz, se font dans les plans (x-t), (y-t) et (z-t) pour lesquelles (α, β)
=(1,0), (2,0) et (3,0) respectivement.
Dans notre exemple, la matrice de Lorentz est dans le plan (x-t), donc (α,
β) =(1,0). Donc la matrice anti-symétrique en question est donnée par :
Ω10
µν ( ε ) = −ε (g µ1g ν 0 − g µ 0 g ν1 )
et
10)
Λ(µν
(ε) = g µν − ε(g µ1g ν 0 − g µ 0g ν1 )
7
On peut vérifier de nouveau la matrice Λ µν (ε) est bien celle qu’on a
construit avant. En effet :
10)
Λ(00
(ε) = g 00 − ε(g 01g 00 − g 00g 01 ) = g 00 = 1
En effet aussi :
10)
Λ(11
(ε) = g11 − ε(g11g10 − g10g11 ) = g11 = −1
En effet aussi :
10)
Λ(01
(ε) = g 01 − ε(g 01g10 − g 00g11 ) = εg 00g11 = −ε
En effet aussi :
10)
Λ(10
(ε) = g10 − ε(g11g 00 − g10g 01 ) = −εg11g 00 = +ε
αβ
Exercice : Calculez la matrice Λ µν (ε) lorsque la rotation se fait dans le
plan (z-x).
8
Chapitre 3
CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE RELATIVISTE DANS LE CADRE
QUADRI-DIMENSIONNEL
1) Quadri-vecteur vitesse
Nous chercherons ici à définir la vitesse d'une particule relativiste en
mouvement. Nous pourrons ainsi définir simplement cette vitesse comme étant
le rapport de l'accroissement du quadri-vecteur position pendant un petit
intervalle de temps à l'accroissement de ce paramètre temporel. Le résultat sera
alors évidemment un quadri-vecteur. Comme le temps est relatif, le temps le
plus naturel à utiliser pour définir la quadri-vitesse est le temps propre ∆τ de la
particule en mouvement. Ce temps propre est bien sure indépendant du choix de
référentiel. Ce temps propre permet donc de définir un quadri-vecteur vitesse
par:
Uµ =
dx µ
dx µ dt
=
=
dτ
dt d τ
dx µ
=
dt
1
1−
v2
1
1 − β2
dx µ
dx µ
= γ
dt
dt
c2
C'est-à-dire :
dx µ
d
r
r
r
= γ (ct , x ) = γ (c, v ) = (γc, γv ) = ( U 0 , U 1 , U 2 , U 3 )
dt
dt
r
Où v est la vitesse
r de la particule dans le référentiel où elle est repérée par le
vecteur position x .
Uµ = γ
Notons que
µ
U U µ = (γc)
2
v2
r 2
2
2
2
2 2
− ( γ v ) = γ ( c − v ) = c γ (1 − 2 ) = c 2
c
C’est un invariant dans un changement de référentiel sous la transformation de
Lorentz. De plus nous pouvons aussi constater le suivant :
d
U
dτ
µ
U
µ
d 2
c = 0
dτ
dU µ
+ Uµ
= 0
dτ
=
dU µ
Uµ
dτ
dU µ
2U µ
= 0 = 2U µωµ
dτ
U µωµ = 0
où ωµ est le quadri-vecteur accélération que nous allons définir plus loin dans ce
chapitre. La dernière formule indique que la 4-vitesse et la 4-accélération sont
perpendiculaires dans le formalisme quadri-dimensionnel.
µ
On peut se convaincre que le quadri-vecteur vitesse U se transforme comme
xµ sous la transformation de Lorentz selon l’axe Ox. En effet :
U 0 ' = Γ ( U 0 − BU 1 )
U 1 ' = Γ ( U 1 − BU
0
)
U 2'= U 2
U 3'= U 3
En remplaçant les Uµ=1,2,3,4 , on trouve :
γ ' c = Γ ( γc − B γv x )
γ ' v x ' = Γ ( γ v x − B γ c ) = Γ γ ( v x − Bc )
γ ' v y ' = γv y
γ ' v z ' = γv z
De la première équation, on trouve :
γ ' c = γΓ(c − Bv x )
γ'
v
= Γ(1 − B x ) = Γ(1 − Bβ x )
γ
c
Donc la deuxième composante de la quadri-vecteur vitesse se transforme
comme :
vx ' =
γ
Γ( v x − Bc) v x − V
Γ( v x − Bc) =
=
γ'
Γ(1 − Bβ x ) 1 − Bβ x
C’est le même résultat trouvé auparavant au chapitre 1. La troisième et la
quatrième composante se transforment aussi de la même manière :
γ ' v y ' = γv y ;
vy ' =
γ ' v z ' = γv z
vy
γ
vy =
;
γ'
Γ(1 − Bβ x )
vz ' =
vz
γ
vz =
γ'
Γ(1 − Bβ x )
Application : Aberration des étoiles comme exercice.
2) Quadri-vecteur impulsion
La quadri-impulsion (4-impulsion) est définie comme :
r
r
r
Pµ = m0 Uµ = m0 γ(c, v) = (m0 γc, m0 γv) = (mc, mv)
r
où v est la vitesse de la particule par rapport à un référentiel Galiliéen et m est
la masse en mouvement et m0 est la masse propre ou la masse de cette particule
dans son propre référentiel où elle est au repos :
m0
m =
= m 0γ
v2
1− 2
c
De même le carré de la 4-impulsion est un invariant :
µ
P Pµ =
m 02
[
]
v2
r 2
2 2 2
2
2 2 2
( γc) − ( γv) = m 0 γ (c − v ) = m 0 c γ (1 − 2 ) = m 02c 2
c
2
Comme conséquence de cette invariance, on peut écrire :
(
)
[
]
[
d µ
d
r
P Pµ = 0 = m 02
( γc) 2 − ( γv) 2
dτ
dτ
soit
[
]
]
d
d
r
( γc ) 2 = γm 0
( γv ) 2
dt
dt
d
r d
r
m 0 ( γc ) [( γc ) ] = m 0 ( γv ) [( γv ) ]
dt
dt
d
r d
r
r d
r
rr
( m 0 γc 2 ) = v [( m 0 γv ) ] = v [( m v ) ] = v.F
dt
dt
dt
r
r
d ( m 0 γc 2 ) = d ( mc 2 ) = v.F.dt
Donc nous obtenons la relation:
m0γ
[
]
r r
2
2
d
(
mc
)
v
=
∫
∫ .F.dt = E = mc
dE r r
= Fv
dt
bien connue par : relation d’Einstein sur l’équivalence masse-énergie. C’est
pourquoi la 4-impulsion s’appelle aussi 4-vecteur énergie impulsion :
 mc 2
 mc 2
r   E r 
r E r

P =
, m v =  , p  ; Pµ = 
,−m v  =  ,−p 
 c
 c 
 c
 c





A ce niveau, on peut se convaincre que les deux formules E=mc2 et
µ
P µ Pµ = m 02c 2 coïncident : en effet, en les développant on trouve
2
2
r
r
E
E
P Pµ =   − p 2 = m 02 c 2 ⇒⇒⇒   = p 2 + m 02 c 2
c
c
µ
m 02 γ 2 c 4
m 2c 4
r2 2
2 4
2r2 2
2r2 2
⇒⇒⇒ E = p c + m 0 c = m v c +
=m v c +
γ2
γ2
2
2 2
r2
2 
c 2 
v
r
2 2
2
2
= m c v + 2 = m c  v + c (1 − 2 )  = m 2 c 4 ⇒ E = mc 2


c 
γ 


3) Quadri-vecteur d’onde kµ
La fonction d’onde solution des équations de Maxwell et en occurrence du
photon, est proportionnelle à :
rr
r
i ( ωt − kx )
E≈e
rr
La phase ( φ = ωt − kx ), peut s’écrire comme produit de deux 4-vecteurs comme
ceci :
rr
rr
µ
0
φ = ωt − kx = k x µ = k x 0 − kx
µ
r
0
avec les notations : k = (k , k ) et :
k0 =
ω
;
c
x 0 = ct ;
k1 = k
x
x1 = x ,
,
k
2
= k
x2 = y ,
y
;
k3 = k
z
x3 = z
Il est à noter que (à vérifier la relation de dispersion) :
k µk µ = 0
Le 4-vecteur d’onde kµ, lors d’un changement de référentiel de R à R’ suivant
l’axe Ox, se transforme aussi selon la transformation de Lorentz
ω '
= Γ (k
c
k 'x = Γ ( k
k
k
y
' = k
y
z
' = k
z
0
− Bk
x
− B
1
) = Γ (
ω
− Bk
c
x
)
ω
)
c
Application Effet Doppler et élargissement Doppler des raies spectrales.
4) Quadri-vecteurs accélération et force : ωµ et Ξ
µ
L’accélération quadri-dimensionnelle se définit de la même façon que la quadrivitesse Uµ :
ωµ =
dU µ
dU µ dt
dU µ
=
= γ
dτ
dt d τ
dt
soit en remplaçant Uµ par son expression :
dU µ
d
d
r
µ
ω =γ
=γ
U 0 , U 1 , U 2 , U 3 = γ (γ c , γ v )
dt
dt
dt
r
d r 
dv 
 dγ r dγ
 d
+γ
= γ  ( γ c ), ( γ v )  = γ  c
,v

dt
dt
dt 
 dt

 dt
r
dβ r 
 dγ 2 dv
,γ
)v 
=  γc
+ γ 4 (β
dt
dt
dt


ou bien
(
)
r
r
dβ r 
 dγ 2 dv 4 dβ r   γ d
2 dv
(m0γc), γ
+ γ 4 (β )v 
ω =  γc , γ
+ γ (β )v  = 
dt
dt   m0 dt
dt
dt 
 dt
µ
La première composante est reliée au quadri-vecteur impulsion :
r
r
0
 γ d
γ
d
v
dP
2 dv
4 dβ r  
2
4 dβ r 



+ γ (β )v
ω =
+ γ (β )v = 
,γ
(m0γc),γ
dt 
dt
dt   m0 dt
dt
 m0 dt
µ
ou bien encore
r
r
 γ d
dβ r 
2 dv
4 dβ r   γ d
2 2 dv
(m0γc),γ
(mc ),γ
ω = 
+ γ (β )v = 
+ γ4 (β )v
dt
dt   m0c dt
dt
dt 
 m0 dt
r
 γ dE 2 dv 4 dβ r 
,γ
= 
+ γ (β )v
m
c
dt
dt
dt 
 0
µ
où nous avons assimilé mc2 à E comme nous l’avons vu plus haut ; (E=mc2).
Pour finir, nous définissons la 4-force par la relation :
dU µ
dP µ
Ξ =
= m0
= m 0 ωµ
dτ
dτ
µ
C'est-à-dire :
Ξ
µ
0
1
2
= (F , F , F , F
r
 m dE
dv
= 
,mγ
m
c
dt
dt
 0
r
 m 0 γ dE
dβ r 
2 dv
,m 0γ
+ m 0 γ 4 (β
) v 
) = m 0 ω = 
dt
dt
 m 0 c dt

r
dβ
dv
dβ r 
r   m dE
+ γ 3 (β
+ γ 3 (β
)m v  = 
,mγ
)p 
dt
m
c
dt
dt
dt
  0

3
µ
On peut également écrire aussi formellement la 4-force comme :
r
dγ v 
 γ dE
, m0γ
Ξ = (Ξ , Ξ , Ξ , Ξ ) = m 0ω = 

dt 
 c dt
r
r
r
 γ r r dm 0 γv   γ r r dmv   γ r r dp 
=  Fv , γ
 =  Fv , γ
 =  Fv , γ

dt   c
dt   c
dt 
c
rr
rr
rr
r

 F v dp   F v r   F v
 =  γ
,γ
, γF  =  γ
, γFx , γFy , γFz 
=  γ
dt   c

  c
 c
µ
0
1
2
3
µ
5) 4-moment cinétique et 4-moment d’une force
Nous rappelons que le moment cinétique d’un particule dans un référentiel R en
mécanique de Newton est donné parr :
r r
L = x∧p
En termes de composantes selon x, ou y ou z, le moment s’écrit :
3
L i = ∑ ε ijk x jp k ≡ ε ijk x jp k
j, k =1
où ε ijk est le tenseur anti-symétrique de Lévi-civita qui vaut 1 pour ijk=123 et
est multiplié par (-1) dans toute permutation voisine. Par exemple ijk=213=-1.
L1 = Lx = ε1jkxjpk = ε123x2p3 + ε132x3p2 = x2p3 − x3p2 = ypz − zpx
Qu’on note :
L x ≡ M yz = yp z − zp y = −M zy
De même on note les deux autres composantes comme :
L y ≡ M zx = zp x − xpz = −M xz
L z ≡ M xy = xpy − yp x = −M yx
En généralisant cette notation Newtonienne (tridimensionnelle), à la notation
quadri-dimensionnelle, on définit le moment cinétique covariant:
M αβ = x αpβ − xβ p α = −M βα
où xα et pα sont les quadri-position et quadri-impulsion covariantes vues plus
haut, c'est-à-dire :
E r
r
x α = (ct ,− x) et p α = ( ,−p )
c
Par exemple l’élément M03 :
M 03 = x 0p3 − x3p 0 = ct( −p z ) + z
E
c
De même pour les autres 15 éléments de la matrice [M] représentant le moment
cinétique.
Exercice : construire la matrice [M]
Passons maintenant à la définition du 4-moment d’une 4-force : comme dans le
cas tridimensionnel, on définit celui-ci par la formule suivante :
Ζ αβ = x α Ξβ − xβ Ξ α = −Ξβα
0
1
2
3
où xα=(ct, -x,-y,-z) et Ξ α = ( Ξ ,−Ξ ,−Ξ ,−Ξ ) telle que
γ rr
Ξ 0 = Fv ; Ξ1 = γFx ; Ξ 2 = γFy ; Ξ 3 = γFz
c
Donc la matrice représentant le 4-moment de la 4-force est donnée par :
Z αβ

− ctγFx
0


γ rr
γ
ct
F
−
x
Fv
x

c
=
rr
 ctγF − y γ F
v
y

c

r
 ctγFz − z γ Fvr

c
γ rr
+ x Fv
c
γ rr
− ctγFy + y Fv
c
γ rr
− ctγFz + z Fv 
c 

γ ( xFy − yFx )
γ ( xFz − zFx ) 
0

γ ( yFz − zFy ) 
− γ ( xFy − yFx )
0



− γ ( xFz − zFx ) − γ ( yFz − zFy )
0

6) Effet des rotations sur les fonctions scalaires et vectorielles :
Moment cinétique et Moment de spin
Signalons dès le départ qu'il existe deux points de vue équivalents lorsqu'on
parle de rotation. Le premier point de vue consiste à faire tourner le système
d'axes: chaque point M du système physique reste fixe dans l'espace. Le second
point de vue est faire tourner le système physique lui même en sens contre à
celui du premier point de vue. Voyons maintenant de près comment les deux
points de vue sont équivalents. Commençons d'abord par le second point de vue.
Quand on fait tourner le système d'un angle α autour d'un axe (l'axe Oz par
exemple), chaque point du système aura changer de lieu: le point P du système
physique se transforme alors après rotation du système physique en un point P′
(voir figure ci-contre).
Il est cependant évident qu'une fonction du point P; ψ(x,y,z) ne serait pas égale à
la ψ(x′,y′,z′) fonction du point transformé P′, ψ(x′,y′,z′). Notons alors la fonction
de P′ qui donne la même valeur que ψ(x,y,z) par χ(x′,y′,z′) et cherchons la
relation entre ψ et χ. Pour cette raison écrivons l'égalité des deux valeurs:
χ( x' , y' , z' ) = ψ( x, y , z ) = ψ( R −z 1 (α )( x' , y' , z' ))
Ou bien encore de façon très générale pour tout point (x,y,z) :
χ( x, y , z ) = ψ( R −z 1 (α )( x, y , z ))
tel que
 x'   cos α − sin α 0  x 
  
 
0
=
α
α
y
'
sin
cos
  
 y 
 z'   0
0
1 z 
  
Pour une rotation infinitésimale, nous avons aussi
χ(x,y,z)=ψ(Rz-1(dα)(x,y,z))
Or on a :
 x   x + ydα 
1 dα 0

  

0  y  =  y − xdα 
Rz-1(dα)(x,y,z)=  − dα 1

0
0 1  z   z


Donc :
χ( x, y , z ) = ψ( x + ydα, y + xdα, z )
En faisant un développement de Taylor au premier ordre :
χ(x, y, z ) = ψ(x + ydα, y − xdα, z ) = ψ(x, y, z ) + ydα
∂ψ
∂ψ
− xdα
∂x
∂y
Qu’on peut aménager encore sous la forme :
 ∂ψ
 ∂
∂ψ 
∂
χ(x, y, z) = ψ(x, y, z) − dα x − y  = ψ(x, y, z) − dα x − y ψ
∂x 
∂x 
 ∂y
 ∂y
On constate immédiatement la composante selon z du moment cinétique :
i  h ∂ h∂
i

 i
ψ = ψ− dα(xpy −ypx )ψ = 1− dαL̂z ψ
χ(x, y, z) = ψ− dαx
−y
h  i ∂y i ∂x
h
 h

soit en définitive
tel que :
χ( x, y , z ) = exp(−idαL̂ z / h )ψ( x, y , z ) = R̂(dα )ψ( x, y , z )
R̂(dα ) = exp(−
i
(dα )L̂ z )
h
est l’opérateur de rotation infinitésimale d’angle (dα). Pour une rotation d’un
angle φ quelconque autour de l’axe z, l’opérateur correspondant est :
i
R̂(φ) = exp(− φL̂ z )
h
On peut également dégager une formule semblable pour une transformation
infinitésimale de Lorentz. En effet, en reprenant les formules vues dans le
chapitre 2 : la matrice la matrice Λ µν (ε) relative à la transformation de Lorentz
est de la forme :
Λ µν (ε ) = g µν + Ωµν (ε )
où Ωµν (ε ) est une matrice anti-symétrique, qui possède alors six éléments
indépendants, qu’on peut écrire sous la forme suivante :
Ω01(ε)
Ω02 (ε) Ω03 (ε) 
0


0
Ω12 (ε) Ω13 (ε) 
 − Ω01(ε)
Ωµν (ε) = 
− Ω02 (ε) − Ω12 (ε)
0
Ω23 (ε) 


 − Ω (ε ) − Ω (ε ) − Ω (ε ) 0 


03
13
23
Il est cependant clair que cette matrice peut se décomposer comme :
( )
( )µν + Ω03(ε)(I03 )µν
+ Ω12 (ε )(I12 )µν + Ω13 (ε )(I13 )µν + Ω 23 (ε )(I 23 )µν = ∑ Ωαβ (I αβ )
Ωµν (ε ) = Ω01(ε ) I 01 µν + Ω02 (ε ) I 02
α <β
µν
c'est-à-dire que :
( )
Ωµν (ε ) = ∑ Ωαβ I αβ
α <β
µν
( )
= ∑ Ωαβ I αβ
α >β
µν
( )µν
1
= Ωαβ I αβ
2
telles que :
1
0

−1 0
I 01 µν = 
0
0

0 0
( )
0

0 0
0 0 

0 0 
0
Et
0 0 1 0 


0 0 
0 0
02
I µν = 
−1 0 0 0


0
0
0
0


( )
Etc…. Donc
( )
( )
1
Λ µν (ε ) = g µν + Ωµν (ε ) = g µν + Ω αβ I αβ µν
2
µ
1
Λµ ν (ε ) = g µ ν + Ωµ ν (ε ) = δ µ ν + Ω αβ I αβ ν
2
En tout, il y a 6 matrices anti-symétriques Iαβ. On peut s’assurer qu’elles
s’écrivent comme :
(I αβ )µν = gα µgβ ν − gα ν gβµ
µ
Nous allons maintenant voir comment se transforment les vecteurs d’états ψ
(ou champ de vecteurs) sous la transformation de Lorentz. En effet un vecteur
ψ µ (µ=0,1,2,3) se transforme sous la transformation de Lorentz comme le
µ
vecteur x :
( )µ ν  ψ ν ( x )
1

ψ 'µ ( x ' ) = Λµ ν ( ε ) ψ ν ( x ) =  δ µ ν + Ω αβ I αβ
2

µ
1
= ψ µ ( x ) + Ω αβ I αβ ν ψ ν ( x )
2
( )
ou bien sous forme matricielle :
( )
1
ψ' ( x' ) = ψ( x ) + Ω αβ I αβ ψ( x )
2
D’autre part, en utilisant la transformation de Lorentz sur xµ :
x'µ = Λµ
ρ
xρ = xµ + Ωµ ρ xρ
nous pouvons écrire pour chaque composante du vecteur d’état (ou du champ)
ψ:
ψ' η( xµ ) = ψ' η( x'µ −Ωµ ρ xρ )
Le développement de Taylor au premier ordre permet d’écrire :
ψ'η ( xµ ) = ψ'η ( x'µ −Ωµ ρ xρ ) = ψ'η ( x'µ ) − Ωµ ρ xρ ∂'µ ψ 'η ( x'µ )
Puisque
r
∂ µ f ( x ) = (∂ 0 , ∇ )f ( x)
est un quadrivecteur alors il se transforme sous la transformation de Lorentz
comme xµ
∂'µ ψ'η ( x' ) = Λ µ α ∂ α ψ η ( x)
donc :
ψ'η ( x ) = ψ'η ( x' ) − Ωµ ρ xρ ∂'µ ψ 'η ( x' )
= ψ'η ( x' ) − Ωµ ρ xρ Λ µ α ∂ α ψ η ( x )
En remplaçant Λ par son expression et en ne gardant que le premier terme (on
néglige le deuxième terme en Ω car avec Ω il devient en Ω2 qui est du second
ordre en petitesse), nous obtenons
ψ'η ( x ) = ψ'η ( x' ) − Ωµ ρ xρ δ µ α ∂ α ψ η ( x )
= ψ'η ( x' ) − Ωµ ρ xρ ∂ µ ψ η ( x )
η
η
En remplaçant ψ' ( x' ) par ψ ( x ) +
on écrit :
( )η λ ψλ (x) trouvé plus haut,
1
Ω αβ I αβ
2
( )η λ ψλ (x) − Ωµ ρxρ∂µψ η (x)
1
ψ'η ( x) = ψ η ( x ) + Ω αβ I αβ
2
soit sous forme matricielle
( )
( )
1
ψ' (x) − ψ(x) = Ωαβ I αβ ψ(x) − Ωµ ρ xρ∂ µ ψ(x)
2
 1

ψ' (x) = 1 + Ωαβ I αβ − Ωµ ρ xρ∂ µ ψ(x)
 2

Le dernier terme se transcrit autrement :
[
]
1
Ω µ ρ x ρ ∂ µ ψ( x ) = Ω µ ρ ( x ρ ∂ µ + x µ ∂ ρ ) + ( x ρ ∂ µ − x µ ∂ ρ ) ψ( x )
2
1
= Ω µ ρ x ρ ∂ µ − x µ ∂ ρ ψ( x )
2
[
]
Donc
( )

 1
ψ' (x) = 1 + Ωαβ I αβ − Ωµ ρ xρ∂ µ ψ(x)

 2
1
 1

ψ' (x) = 1 + Ωαβ I αβ − Ωµ ρ xρ∂ µ − xµ ∂ ρ ψ(x)
2
 2

( )
[
Les sommes sur µ et ρ peuvent être remplacées par β et α :
( )
[
]
]
1

 1
ψ' ( x ) = 1 + Ω αβ I αβ − Ωβ α x α ∂ β − xβ ∂ α  ψ( x )
2

 2
α
α
est justement l’opérateur moment cinétique à un
Le terme x ∂ β − xβ ∂
facteur i/ h près pour β et α égaux à 1,2,3 (formule à démontrer):
[
]
( )µ ν + 12 Ωik [xi∂k − xk ∂ i ]ψ(x)
 1
ψ' ( x ) = 1 + Ω ik I ik
 2
[
] ( )
h
i

h
ψ' ( x ) = 1 + Ω ik  x i ∂ k − xk ∂ i + I ik
i
i
 2h
µ


ν   ψ( x )
En définissant, le moment cinétique, le moment de spin et le moment cinétique
total :
(
)
( )µ ν = ih(I ik )µν ;
) ( )µ ν = L̂ + Ŝ
h i k
h
x ∂ − xk ∂ i ; Ŝ = I ik
i
i
h
h
Ĵ = J ik = x i ∂ k − xk ∂ i + I ik
i
i
L̂ =
(
On peut écrire alors
(
)
i
i




ψ' ( x ) = 1 + Ω ik J ik  ψ( x ) = 1 + Ω ik L̂ + Ŝ  ψ( x )
 2h

 2h

Dans cette formule nous avons visiblement le développement d’une
exponentielle, c’est à dire
(
i
i
Ω ik J ik
Ω ik L̂ + Ŝ
2
h
2
h
ψ' ( x ) = e
ψ( x ) = e
)
ψ( x )
Le premier terme dans l’exponentielle contient le moment cinétique L et dépend
donc des coordonnées x et des impulsions p, alors que le deuxième terme S dans
l’exponentielle ne dépend ni des coordonnées ni des impulsions. Nous pouvons
donc assimiler ce deuxième terme à un « moment cinétique supplémentaire »
baptisé « moment de spin »
En effet, si on pose :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
h 32 µ
32
I
;
ν = ih I
µν
i
µ
h
Ŝ 2 = I 13 ν = i h I 13 µν ;
i
µ
h
Ŝ 3 = I 21 ν = i h I 21 µν
i
On peut facilement vérifier les règles de commutation du moment cinétique:
Ŝ 1 =
[Ŝi , Ŝ j ] = ihŜk
Et ainsi de suite dans toute permutation circulaire ijk=123. A titre d’exemple
[
]
calculons Ŝ1 , Ŝ 2 :
[Ŝ1 , Ŝ 2 ] = (ih )2 [I 32 , I13 ] = − h 2 I 21 = − h 2 i1h Ŝ 3 = ih Ŝ 3
Nous avons utilisé les matrices Iik calculées au début de ce paragraphe.
7) Forces électromagnétiques (tenseur électromagnétique) et introduction à
l’électrodynamique:
Les équations de Maxwell relative à l’électromagnétisme s’expriment aussi dans
le formalisme quadri-dimensionnel de façon simple :
Définissons d’abord le quadri-potentiel contravariant :
r
ϕ r
ϕ r
µ
0
Φ = ( , A ) ou bien A = ( A , A ) = ( , A )
c
c
µ
en notation covariante :
r
ϕ r
ϕ r
Φ µ = ( ,− A ) ou bien A µ = ( A 0 ,− A ) = ( ,− A )
c
c
Définissons aussi l’opérateur de dérivation « nabla » : les 4-nabla contravariant
et convariant:
r
 ∂
∂
= 
,− ∇
∂x µ
 ∂x 0
r
∂
 ∂
∇
=
=
,


 ∂x 0

∂x µ
Le 4-nabla contravariant : ∂ µ =
et le 4-nabla covariant : ∂ µ
et le Dalembertien :
□ =∂ µ ∂ µ
=
et la notation : Dµ = ∂ µ + ieA µ
∂2
c 2∂t 2



− ∆
Les forces électromagnétiques sont exprimées à l’aide du tenseur champ
électromagnétique suivant :
Fµν = ∂ µ Φ ν − ∂ ν Φ µ =
∂
∂x
Φν −
µ
∂
∂x
ν
Φ µ = −Fνµ
qui est un tenseur anti-symétrique. On peut calculer les 16 éléments de ce
tenseur de façon systématique en utilisant les équations de Maxwell. En effet :
F00 = F11 = F22 = F33 = 0
∂
∂ ϕ Ex
A
−
=
x
c∂t
c
∂x c
∂x 0
∂ x1
∂
∂
∂
∂
F12 = ∂ 1Φ 2 − ∂ 2 Φ 1 = 1 Φ 2 −
A
A x = −B z
Φ
=
−
+
1
y
∂x
∂y
∂x
∂x 2
∂
∂
∂
∂
F13 = ∂ 1Φ 3 − ∂ 3 Φ 1 = 1 Φ 3 −
A
Ax = By
Φ
=
−
+
1
z
∂x
∂z
∂x
∂x 3
∂
∂
∂
∂
F23 = ∂ 2 Φ 3 − ∂ 3 Φ 2 =
A
A y = −B x
Φ
−
Φ
=
−
+
3
2
z
∂y
∂z
∂x 2
∂x 3
Et ainsi de suite de sorte que la matrice toute entière est donnée par
∂
F01 = ∂ 0 Φ 1 − ∂ 1Φ 0 =
Fµν
Φ1 −

 0

 Ex
− c
=
− E y
 c

− E z
 c
∂
Φ0 = −
Ez 

c
c 

− Bz By 

0
− B x 

Bx
0 

Ey
Ex
c
0
Bz
− By
Exercice : calculez Fµν
La 4-force électromagnétique qui agit sur une particule de charge q est donnée
par :
Ξ µ = qFµν U ν
A titre d’exemple, calculons les composantes
électromagnétique : la première composante :
de
cette
(
Ξ 0 = qF0ν U ν = q F00 U 0 + F01U1 + F02 U 2 + F03U 3
(
q
E x γv x + E y γv y + E z γv z
c
rr
q rr
Fv
= γ Ev = γ
c
c
=
Et la deuxième composante:
(
(
La troisième composante :
)
)
)
Ξ1 = qF1ν U ν = q F10 U 0 + F11U1 + F12 U 2 + F13U 3
= qγ − E x − B z v y + B y v z
4-
)
force
(
Ξ 2 = qF2ν U ν = q F20 U 0 + F21U1 + F22 U 2 + F23U 3
(
= qγ − E y + B z v x − B x v z
)
)
Et la quatrième composante :
(
Ξ 3 = qF3ν U ν = q F30 U 0 + F31U1 + F32 U 2 + F33U 3
(
= qγ − E z + B x v y − B y v x
Mais on a aussi :
)
)
rr
r
 dE dp   Fv r 
Ξµ =
= γ
,−  = γ ,−F 
dτ
cdt
dt   c


dPµ
nous pouvons vérifier que les deux formules sont identiques :
par exemple :
rr
 Fv 
Ξ0 = γ 
 c 
Et aussi :
Ξ1 = −γFx
Or la force de électromagnétique (force de Lorentz) est donnée par :
r
r r r
F = q(E + v × B )
(
Fx = q E x + v y B z − v z B y
c’est à dire que Ξ1 est égale à :
)
(
Ξ1 = − γFx = qγ − E x − v y B z + v z B y
ou bien :
(
Fx = −q − E x − v y B z + v z B y
(
= q Ex + v y B z − v z By
)
)
)
Ce qui est bien la formule de la force de Lorentz. Et ainsi de suite les autres
composantes.
8) Equations de Maxwell en notation quadri-dimensionnelle
Nous allons maintenant écrire les quatre équations de Maxwell sous forme
condensée quadri-dimensionnelle. Rappelons les, d’abord sous leurs formes
connues usuelles :
r
r r
ρ (r , t )
∇ .E =
ε0
r
r
r
r r
r r
∂E
∇ ×B − 2
= µ 0J (r , t ) = J (r , t )
c ∂t
r r
∇ .B = 0
r
r
r
∂B
= 0
∇ ×E +
∂t
En définissant le quadri-vecteur courant contravariant :
r
J = (ρc, J ) = ( J 0 , J1 , J 2 , J 3 )
µ
on peut montrer que les deux premières équations de Maxwell sont données
par :
∂ µ F µν = J ν
où
F µν = g µα g νβ Fαβ = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ
F
ainsi
µν
=g
µρ αν
g
Fρα

 0

Ex
 c
=
Ey
 c

Ez
 c
−
Ex
c
−
0
Ey




By 

− B x 


0

−
c
− Bz
Bz
0
− By
Bx
Ez
c
∂ µ F µ 0 = J 0 = ρc
∂ 0F 00 + ∂1F10 + ∂ 2F 20 + ∂ 3F 30 = ρc
∂
∂ 20
∂ 30
10
F
F
F = ρc
+
+
1
2
3
∂x
∂x
∂x
∂ Ex ∂ Ey ∂ Ez
+
+
= ρc
∂x c ∂y c ∂z c
∂E x ∂E y ∂E z
+
+
= ρc 2
∂x
∂y
∂z
r r
ρ
ρ
∇.E = ρc 2 =
=
ε 0µ 0 ε 0
et les 3 autres composantes :
∂ µ F µ1 = J1 = J x
∂ 0F 01 + ∂1F11 + ∂ 2F 21 + ∂ 3F 31 = J x
∂ 01
∂
∂
F + 2 F 21 + 3 F 31 = J x
∂ct
∂x
∂x
∂ 01 ∂ 21 ∂ 31
F + F + F = Jx
∂ct
∂y
∂z
∂B z ∂B y
−
= Jx
∂z
c 2∂t ∂y
r r
∂E
− 2 x + (∇ × B )x = J x
c ∂t
r r
∂E x
− 2 + (∇ × B )x = J x
c ∂t
−
∂E x
+
C'est-à-dire qu’on trouve bien la deuxième équation de Maxwell:
r
∂E r r r
+∇×B = J
− ε 0µ 0
∂t
Les deux autres équations de Maxwell se résument en :
∂ µ F νρ + ∂ ρ F µν + ∂ ν F ρµ = 0
en prenant (µ,ν,ρ)=(0,1,2) puis (µ,ν,ρ)=(1,2,3).
9) Transformation du champ électromagnétique dans un changement de
référentiel :
Les champs électrique et magnétique sont vus différemment selon le référentiel.
Soient R et R’ deux référentiels d’inertie en mouvement relatif l’un par rapport à
l’autre. Soit Fµν le phénomène physique dans le référentiel R et F’µν son
transformé dans R’. Pour trouver F’µν en fonction de Fµν, nous utilisons la
µ
transformation de Lorentz Λ α vue plus haut :
F'µν = Λµ α Λν β F αβ
Par exemple l’élément F
F'01 = −
'01
=−
E'x
:
c
E'x
= Λ0 α Λ1 β F αβ
c
= Λ0 0 Λ1 β F 0β + Λ0 1Λ1 β F1β + Λ0 2 Λ1 β F 2β + Λ0 3Λ1 β F 3β
= Λ0 0 Λ1 0F 00 + Λ0 0 Λ1 1F 01 + Λ0 0 Λ1 2F 02 + Λ0 0 Λ1 3F 03
+ Λ0 1Λ1 0F10 + Λ0 1Λ1 1F11 + Λ0 1Λ1 2F12 + Λ0 1Λ1 3F13
+ Λ0 2 Λ1 0F 20 + Λ0 2 Λ1 1F 21 + Λ0 2 Λ1 2F 22 + Λ0 2 Λ1 3F 23
+ Λ0 3Λ1 0F 30 + Λ0 3Λ1 1F 31 + Λ0 3Λ1 2F 32 + Λ0 3Λ1 3F 33
Nous allons considérer que la transformation se fait selon Ox, c’est à dire que :
Γ

 − ΓB
Λµ ν = 
0

0
alors :
− ΓB
Γ
0
0
0
0
1
0
0

0
0

1 
−
E 'x
= Λ0
c
= Λ0
+ Λ0
+ Λ0
+ Λ0
= Λ0
+ Λ0
+ Λ0
+ Λ0
1
0Λ
1
1Λ
1
2Λ
1
3Λ
1
0Λ
1
1Λ
1
2Λ
1
3Λ
01
= Γ 2F
0Λ
1
β
F
0β
00
+ Λ0
0F
10
+ Λ0
0F
20
+ Λ0
0F
30
+ Λ0
0F
01
+ Λ0
1F
10
+ Λ0
0F
20
+ Λ0
0F
30
+ Λ0
0F
2
2 10
+ Λ0
0Λ
1
1Λ
1
1Λ
01
1F
11
1F
1
β
F 1β + Λ 0
+ Λ0
+ Λ0
1
21
2 Λ 1F
1
31
3 Λ 1F
1
02
0Λ
2F
1
12
1Λ
2F
1
21
2 Λ 1F
1
31
3 Λ 1F
0Λ
1
+ Λ0
+ Λ0
+ Λ0
+ Λ0
+ Λ0
2F
12
1
02
β
F
2β
+ Λ0
+ Λ0
0Λ
1
1
3F
13
3Λ
1
β
F
3β
03
+ Λ 0 1Λ 3F
2F
1
22
+ Λ 0 2 Λ 1 3 F 23
2Λ
2F
1
32
+ Λ 0 3 Λ 1 3 F 33
3Λ
2F
1
03
0 Λ 3F
1
13
1Λ 3F
1
23
2 Λ 3F
1
32
3Λ
2F
1Λ
+ Λ0
1
2Λ
or
+ B Γ F
nous avons F01 et nous avons aussi F10 :
−
(
)
E'x
E
E
E
E
= −Γ 2 x + B 2 Γ 2 x = −Γ 2 x 1 − B 2 = − x
c
c
c
c
c
Donc :
E'x E x
=
c
c
Passons maintenant au calcul de F’02 :
F '02 = −
E'y
= Λ0 0 Λ 2
c
βF
= Λ0
0β
αΛ
2
βF
+ Λ0 1 Λ 2
αβ
βF
1β
+ Λ0
= Λ0 0 Λ2 2 F 02 + Λ0 1 Λ2 2 F 12 = − Γ
2Λ
2
Ey
c
βF
En simplifiant :
c
=Γ
Ey
c
−Γ
V
Bz
c
(
)
(
)
E'y = Γ E y − VB z
Et de même pour la composante z :
E'z = Γ E z + VB y
+ Λ0 3 Λ 2
+ Γ BB z
Donc :
E'y
2β
βF
3β
La transformation du champ magnétique est aussi immédiate. En effet:
B'x = B x
Et
F '13 = B ' y = Λ1
= Λ1 0 Λ3
βF
0β
αΛ
3
βF
αβ
+ Λ1 1 Λ3
=
βF
1β
=
= Λ1 0 Λ3 3 F 03 + Λ1 1 Λ3 3 F 13 =
= −ΓB(−
Ez
) + ΓB y
c
Donc :
V
V




B ' y = Γ  B y + 2 E z  et aussi de même B ' z = Γ  B z − 2 E y 
c
c




10) Transformation du quadri-potentiel Φµ:
On peut retrouver les transformations sur les champs électrique et magnétiques
µ
ci-dessus trouvées en faisant appel à la transformation du quadri-potentiel Φ :
En effet nous avons les transformations d’un quadri-vecteur comme
φ'
φ V
= Γ(Φ 0 − BΦ1 ) = Γ( − A x )
c
c c
φ
Φ1' = A'x = Γ(Φ1 − BΦ 0 ) = Γ( A x − V 2 )
c
Φ0' =
Donc :
φ' = Γ(φ − VA x )
A'x = Γ( A x − V
φ
c
2
)
Le calcul des champs transformés est alors immédiat:
∂
∂t
∂ ∂x ∂ ∂t ∂
∂
∂x ∂
− φ'
− A'x
− A'x
φ'− A'x = − φ'
∂x ∂x' ∂t ∂x' ∂x
∂x'
∂t'
∂t' ∂t
∂t'
∂
∂
= − φ − A x = Ex
∂t
∂x
E'x = −
11) Applications
a) champ d'une charge ponctuelle en mouvement uniforme
Considérons d’abord le champ électrique et le champ magnétique en un
point M produits par une charge ponctuelle « q » immobile dans un référentiel
R’ fixe. Dans ce référentiel R’, le champ électrique que produit cette charge
« q » (voir la figure ci-contre) en ce point M de coordonnées (x’, y’, z’) est :
E'x = q
E'y = q
E'z = q
r
E'
x'
(o' M )3
y'
(o' M )3
z'
(o' M )3
M
=q
=q
=q
x'
( x'2 + y'2 + z'2 )3 / 2
y'
( x'2 + y'2 + z'2 )3 / 2
y'
( x'2 + y'2 + z'2 )3 / 2
B'x = 0
B'y = 0
B'z = 0
Y’
O’
q
X’
Supposons
maintenant
qu’un observateur se déplaçant avec une vitesse
r
r
constante V = − V i comme le montre la figure ci-bas.
Question : Quels champs au point M (électrique+magnétique) mesurera
cet observateur ? Nous allons calculer ce champ au moyen d’une transformation
de Lorentz effectuée à partir du référentiel R’ dans lequel la charge est au repos.
Appliquons les transformations que nous venons de voir à l’issue de la
µν
pour calculer les champs
transformation du tenseur électromagnétique F
électrique et magnétique produits par cette charge ponctuelle « q ».
.M
Y
Y’
r
−V
O’
q
O
X X’
Reprenons alors les formules de transformations des champs issues de la
transformation de Fµν vues plus haut :
Pour le champ électrique :
E x = E'x
E y = Γ(E'y − VB'z )
E z = Γ(E'z + VB'y )
En remplaçant, nous trouvons sachant que la translation de Lorentz se fait selon
Ox :
E x = E'x = q
x'
( x'2 + y '2 + z '2 )3 / 2
(
)
(
)
E y = Γ E ' y − VB ' z = Γ E ' y = q
E z = Γ E ' z + VB ' y = Γ E ' z = q
Pour le champ magnétique:
=q
Γ ( x − Vt )
( Γ 2 ( x − Vt ) 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2
Γy
( Γ 2 ( x − Vt ) 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2
Γz
( Γ 2 ( x − Vt ) 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2
Bx = B'x = 0
V
V
V
Γz


By = Γ B'y + 2 E'z  = Γ 2 E'z = 2 q 2
c (Γ (x − Vt)2 + y 2 + z 2 )3 / 2
c
c


V
V
V
Γy


Bz = Γ B'z − 2 E'y  = −Γ 2 E'y = − 2 q 2
c (Γ (x − Vt)2 + y 2 + z 2 )3 / 2
c
c


On découvre alors dans le référentiel R un champ magnétique. Dans le
référentiel de la charge q, ce champ magnétique est absent.
Si par exemple le point M est dans le plan xoy (c'est-à-dire z=0) et distant de la
distance « d » de l’axe OX (c'est-à-dire y=d) et situé sur l’axe OY (c'est-à-dire
x=0), alors les champs prennent des expressions plus simples :
Pour le champ électrique :
E x = −Γ
Ey = Γ
qVt
( Γ 2 V 2 t 2 + d 2 )3 / 2
qd
( Γ 2 V 2 t 2 + d 2 )3 / 2
Ez = 0
Pour le champ magnétique:
B x = B'x = 0
By = 0
B z = −Γ
V
qd
c 2 ( Γ 2 V 2 t 2 + d 2 )3 / 2
Application 2 : Condensateur plan
On considère un condensateur plan de charge Q, relié au référentiel fixe R’,
comme le montre la figure ci contre. Dans ce référentiel les relations
d’électrostatique et de magnétostatique sont connues : le champ électrique entre
les armatures, de surface S’=AB*BC=a’b’ chacune, du condensateur est
constant et vaut E' = E'y = Q' / S' / ε 0 = Q / S' / ε 0 = Q /(a' b' ε 0 ) = σ' / ε 0
et le champ magnétique est nul (B’=0=B’x=B’y=B’z) car les charges sont figées
fixes dans ce référentiel R’. Dans le référentiel R la charge Q de l’armature du
condensateur est en mouvement uniforme à une vitesse V. Une charge Q en
mouvement est le siège d’un courant électrique qui vaut l’écoulement de la
charge par unité de temps. Nous voulons ici calculer ce courant et le champ
magnétique associé B et le champ électrique E vus par l’observateur lié au
référentiel R.
(R)
( R’ )
D
y
C
B
A
V
x
x’
z
z’
Pour calculer le champ magnétique dans (R), nous allons utiliser la formule de
transformation des champs :
V


Bx = B'x = 0 ; By = Γ B'y + 2 E'z  = 0
c


V
V
V


Bz = Γ B'z − 2 E'y  = −Γ 2 E'y = −Γ 2 Q / S' / ε0
c
c
c


Donc le champ magnétique mesuré par R vaut :
Bx = 0 ;
By = 0
Q
V
=
−
Γ
σ' = −Γ V µ 0σ'
2
2 S' ε
c
ε 0c
0
Comme le champ magnétique créé par les deux courants laminaires en sens
opposés est donné par :
B z = −Γ
V
B
z
=
µ 0I
b
donc le courant électrique I vu par le référentiel ( R) est donné par
I=
b
b
B z = − ΓVµ 0σ'
µ0
µ0
Pour le champ électrique nous trouvons dans ( R ) :
E x = E'x = 0
(
)
E z = Γ(E'z + VB'y ) = 0
E y = Γ E'y −VB'z = ΓE'y = ΓQ / S' / ε 0 = Γ
c'est-à-dire :
Ex = 0
E y = Γ E 'y = Γ
Ez = 0
σ'
ε0
σ'
ε0