3 intérêts -

3 intérêts
Dans ce chapitre, vous allez étudier les méthodes utilisées pour calculer le montant des intérêts et
la valeur acquise par un capital, dans le cas des intérêts simples ( durée de placement inférieure à un an)
et dans le cas des intérêts composés ( durée de placement supérieure à un an ).
1 - Notation et convention
¾ Par convention une année commerciale dure 1 an ou 2 semestres ou 4 trimestres ou 12 mois
ou 24 quinzaines ou 360 jours.
une année véritable dure 365 ou 366 jours, mais une année commerciale 360 jours seulement.
¾ Notation: C est le capital placé, I l'intérêt, n le nombre de périodes de placement, t le taux de
placement périodique et V la valeur acquise par ce capital à la fin du placement.
¾ A défaut d'indication précise, le taux t est toujours un taux annuel de placement
Exemple: t =6% signifie que 100 € rapporteront 6 € après un an de placement.
¾ Dans les calculs on utilise toujours un taux t décimal et non en pourcentage.
Exemple: t = 8,5% doit s'écrire dans les calculs t = 8,5 = 0,085
100
¾ Si la durée n de placement n'est pas en année alors le taux périodique proportionnel est
résumé dans le tableau suivant:
durée n en …
semestre
trimestre
mois
quinzaine
jours
taux périodique t
taux annuel
2
taux annuel
4
taux annuel
12
taux annuel
24
taux annuel
360
2 – les intérêts simples
c Activité
Joseph DUCHMOL place pendant 7 mois un capital de 2500 € au taux de 3,6 %. Calculer la
valeur du taux mensuel, la valeur de l'intérêt, la valeur acquise au bout de 7 mois.
La période est ici donnée en (entourer la bonne réponse ):
Années
n =……….
3 Intérêts
Semestres
t = ………………..%
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Trimestres
Mois
Jours
Calcul de l'intérêt I
Calcul de la valeur acquise V
d Activité
Le même JD place cette fois 900 € du 16 mars au 24 juillet au taux de 3,5 %. Calculer la durée
de placement en jours, la valeur décimale du taux journalier, l'intérêt et la valeur acquise.
Remarque : cette fois on compte le nombre réel de jours de placement, sachant que les mois
de:
janvier, mars, mai, juillet, août, octobre, décembre ont 31 jours,
février a 28( ou 29 jours si on précise que l'année est bissextile) et
avril, juin, septembre, novembre ont 30 jours;
Calcul de la durée n
Calcul de t
Calcul de I
Calcul de V
e Que faut-il retenir ?
L'intérêt I est donné par
I=C×t×n
La valeur acquise V est donnée par
3 Intérêts
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V=C+I
3 – Intérêts composés
c Activité
JD toujours lui place cette fois un capital de 1400 € pendant 5 mois sur un compte dont les
intérêts sont calculés tous les mois au taux mensuel de 0,6 % et ajoutés au capital pour le
calcul des intérêts du mois suivant. On veut calculer la valeur acquise par ce capital au bout de
5 mois. Pour cela :
¾ Compléter le tableau suivant ( en arrondissant à chaque fois au centime d'euros près) :
Mois
1
2
3
4
5
Capital en début
Valeur acquise en fin
Intérêts (€)
de mois (€)
de mois (€)
1400
8,40
V1 = 1408,40
1408,40
V5 = 1442,51
× …..
× …..
¾ Calculer, puis comparer avec la valeur acquise en fin de mois :
1400 × 1,006 =
1400 × 1,0062 =
1400 × 1,0063 =
1400 × 1,0064 =
1400 × 1,0065 =
Conclusion :
¾ Comment 1,006 a-t-il été construit:
1,006 = …………………………………………
¾ A quel chapitre de cours déjà traité les calculs précédents font-ils référence ? Entourer la
bonne réponse :
Suites
arithmétiques
3 Intérêts
Fonctions
Suites
géométriques
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Système
d'équations
Statistiques
d Ce qu'il faut retenir
Si C0 est le capital de départ, au début de la première période, alors la valeur
acquise Vn après n périodes et à la fin de cette nième période est :
Vn = C0 × ( 1 + t )n
Les intérêts sont acquis sont :
I = Vn – C0
t est le taux décimal et non en pourcentage
e Exemple
4 – Taux équivalent
c Activité
Vous souhaitez placer C0 pendant 3 ans. Vous avez deux possibilités de placement:
Placement 1: Capitalisation annuelle au taux annuel ta = 6%
Placement 2 : Capitalisation mensuelle au taux mensuel de tm qui est inconnu.
Il serait utile de calculer tm pour que les deux placements soient équivalents et donc que les
valeurs acquises dans les deux cas soient égales.
¾ Ecrire la valeur acquise du placement 1 mais sans la calculer.
¾ Ecrire la valeur acquise du placement 2.
¾ Ecrire l'égalité des deux valeurs acquises et simplifier si possible
¾ Pour calculer tm il faut utiliser un outil mathématique. Trouver le dans la liste ci-dessous
Racine
carrée
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Logarithme
décimal
La puissance
deux
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( x n )1 / n = x
¾ Déterminer la valeur de tm
d Ce qu'il faut retenir
Soit t le taux annuel, k le nombre de période dans une année et tk le taux périodique
équivalent.
t et tk sont équivalent si pour le même capital et pour la même durée de placement,
ils conduisent à la même valeur acquise.
1
k
1 + tk = ( 1 + t)
e Exemple
Un compte Epargne est un placement à 3,5%. Les intérêts sont calculés et capitalisés par
quinzaine. Calculer le taux quinzaine tq équivalent au taux annuel.
On peut écrire
( 1 + tq ) = ( 1+ t )1/24
( 1 + tq ) = (1 + 0,035)1/24
( 1 + tq ) = 1,00143
tq = 0,00143
tq = 0,143 %
1/24 car il y a 24
quinzaines dans l'année
5 – Exercices
Intérêts simples
N°1
Vous placez un capital de 2000 € à 6,5 % pendant un an. Calculer l'intérêt et la valeur acquise.
N°2
Un capital placé à 5,25 % pendant 11 mois a rapporté un intérêt de 168,44 €. Calculer le capital de départ.
N°3
La valeur acquise d'un capital de 12 600 € placé pendant 40 jours est 12 670 €. Calculer le taux annuel
d'intérêt.
N°4
Un capital est placé le 5 mars au taux annuel de 8%; la valeur acquise le 25 mai est 763,50 €? Calculer la
durée de placement et le capital placé.
N°5
Quatre capitaux C1, C2, C3, C4 forment une suite arithmétique. La différence entre le premier et le dernier
est de 900 €.
c Calculer la raison de cette suite.
d Les quatre capitaux sont placé à 8% pendant 5 mois et produisent 220 € d'intérêts.
Calculer les quatre capitaux.
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Intérêts composés
N°6
On place 11 000 € pendant 8 ans au taux annuel de 4% avec capitalisation annuelle des intérêts. Calculer
la valeur acquise et le montant des intérêts.
N°7
On veut obtenir une valeur acquise de 180 000 € pour autofinancer un investissement. Calculer le capital
qu'il faut placer si la capitalisation des intérêts est trimestrielle au taux trimestriel de 0,9%. Arrondir le
résultat au centime d'euro près.
N°8
Un banque propose le placement suivant : en onze ans la valeur acquise représente le double du capital
placé. Sachant que la capitalisation est annuelle, calculer le taux d'intérêt.
N°9
On place 8400 € pendant trois ans au taux annuel de 9%. Calculer la valeur acquise par ce placement dans
les cas de capitalisation: annuelle, semestrielle, mensuelle, quotidienne.
Taux équivalent
N°10
Calculer les taux mensuels, trimestriels, semestriels équivalents au taux annuel de 6,32 %.
Taux moyen
N°11
On considère les deux placements suivants:
¾ 1080 € placé à 5,5 % pendant 6 mois à intérêts simples.
¾ 1820 € placé à 6 % pendant 5 mois à intérêts simples.
On appelle taux moyen le taux unique t' auquel il faudrait appliquer les deux capitaux précédents
pour obtenir le même intérêt total obtenu avec les taux différents appliqués à chacun d'eux.
Calculer l'intérêt total de ces deux placements puis le taux moyen t' .
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