Intégrales multiples et intégrales curvilignes

Chapitre 1
Intégrales curvilignes, intégrales
multiples
Avertissement : ce chapitre essaye de donner une idée de la théorie des intégrales curvilignes et des intégrales
multiples. Il ne prétendra pas au même degré de rigueur que le reste de l’ouvrage.
1.1
Intégrales curvilignes
1.1.1
Formes différentielles sur un arc paramétré
Définition 1.1.1 Soit E un espace vectoriel normé, Γ = (I, f ) un arc paramétré de E de classe C 1 . On appelle forme
différentielle sur Γ toute forme différentielle α = a(t) dt sur l’intervalle I.
Exemple 1.1.1 Soit Γ = (I, f ) un arc paramétré de E
– (i) soit h une fonction définie sur l’image de Γ et à valeurs dans K ; on peut associer à h la forme différentielle
h(m) ds définie par h(m) ds = h(f (t)) kf 0 (t)k dt (obtenue en remplaçant m par f (t) et ds par kf 0 (t)k dt, la
différentielle de l’abscisse curviligne).
– (ii) supposons que E est un espace euclidien et soit V un champ de vecteurs défini et continu sur l’image de Γ
(c’est-à-dire une application
de l’image de Γ dans E) ; on peut associer à V la forme différentielle (V (m) | dm)
définie par (V (m) | dm) = V (f (t)) | f 0 (t) dt (obtenue en remplaçant m par f (t) et donc dm par f 0 (t) dt).
– (iii) supposons que E = Rn , que U est un ouvert de E contenant l’image de Γ et ω = a1 (x) dx1 + . . . + an (x) dxn
une forme différentielle de degré 1 continue sur U ; posons f (t) = (f1 (t), . . . , fn (t)) ; on peut considérer la forme
différentielle restriction de ω à Γ définie par ω|Γ = a1 (f (t))f10 (t) + . . . + an (f (t))fn0 (t) dt (obtenue en remplaçant
dans ω, x par f (t), xi par fi (t) et donc dxi par fi0 (t) dt).
Remarque 1.1.1 En fait les cas (ii) et (iii) sont étroitement liés. En effet, munissons Rn de sa structure euclidienne
canonique et soit U un ouvert contenant l’image de Γ. A tout champ de vecteurs V défini sur U défini par
V (x) = (V1 (x), . . . , Vn (x)), on peut associer la forme différentielle ω = V1 (x) dx1 + . . . + Vn (x) dxn . Cette application
V 7→ ω est clairement bijective. On a alors dans ce cadre
(V (m) | dm) =
V (f (t)) | f 0 (t) dt
=
a1 (f (t))f10 (t) + . . . + an (f (t))fn0 (t) dt
= ω|Γ
Théorème 1.1.1 Les trois exemples fondamentaux sont invariants par changement de paramétrage de sens direct.
Soit (I, f ) et (J, g) deux arcs paramétrés équivalents et de même sens. Soit θ : I → J un difféomorphisme croissant
de classe C 1 tel que f = g ◦ θ. Si α = a(t) dt et β = b(u) du sont les formes différentielles obtenues respectivement sur
(I, f ) et (J, g) par l’une des trois constructions ci dessus, on a a(t) dt = b(u) du pour u = θ(t).
Démonstration
(i) Sur (I, f ), on a h(m) ds = h(f (t)) kf 0 (t)k dt ; mais comme f = g ◦ θ, on a
h(m) ds
= h(g(θ(t))) kθ0 (t)g 0 (θ(t))k dt
= h(g(θ(t))) kg 0 (θ(t))kθ0 (t) dt
car θ0 (t) > 0 ; d’où encore, en posant u = θ(t) et donc du = θ0 (t) dt, h(m) ds = h(g(u)) kg 0 (u)k du ce qu’on voulait
démontrer.
(ii) Sur (I, f ), on a
(V (m) | dm) =
V (f (t)) | f 0 (t) dt
=
V (g(θ(t)) | θ0 (t)g 0 (θ(t)) dt
=
V (g(θ(t)) | g 0 (θ(t)) θ0 (t) dt
=
V (g(u)) | g 0 (u) du
ce qu’on voulait démontrer.
(iii) On peut faire un calcul similaire ou utiliser le lien entre formes différentielles et champ de vecteurs décrit ci dessus.
1.1.2
Intégrale d’une forme différentielle sur un arc
Définition 1.1.2 Soit Γ = ([a, b], f ) un arc paramétré et α = A(t) dt une forme différentielle continue par morceaux
sur Γ. On appelle intégrale (curviligne) de la forme différentielle α sur Γ le scalaire
Z
Z
α=
Γ
b
A(t) dt
a
Remarque 1.1.2 Soit Γ = ([a, b], f ) un arc paramétré et c ∈ [a, b]. On peut alors considérer les deux arcs paramétrés
Γ1 = ([a, c], f|[a,c] ) et Γ2 = ([c, b], f|[c,b] ). On dira alors que Γ est la juxtaposition de Γ1 et Γ2 et on écrira Γ = Γ1 t Γ2 .
Z
Proposition 1.1.2 (i) L’application α 7→
Z
Z
Z
(ii) On a
α=
α+
α
Γ1 tΓ2
Démonstration
Γ1
α est linéaire
Γ
Γ2
Résulte immédiatement des propriétés de l’intégrale.
Théorème 1.1.3 (invariance de l’intégrale curviligne). Soit Γ1 = ([a, b], f ) un arc paramétré, Γ2 = ([c, d], g) un arc
paramétré équivalent et de même sens. Soit θ un difféomorphisme croissant de [a, b] sur [c, d] tel que f = g ◦ θ. Soit
α = A(t) dt une forme différentielle sur Γ1 et β = B(u) du la forme différentielle qui s’en déduit en posant t = θ(u).
Alors
Z
Z
α=
β
Γ1
Γ2
Démonstration Comme θ est croissant, on a nécessairement c = θ(a) et d = θ(b). De plus la relation A(t) dt =
B(u) du pour u = θ(t), montre que A(t) = B(θ(t))θ0 (t). On a donc
Z
Z
α
Z
b
A(t) dt =
=
Γ1
b
Z
B(θ(t))θ0 (t) dt
a
a
θ(b)
=
Z
B(u) du =
θ(a)
β
Γ2
en utilisant le théorème de changement de variable dans les intégrales.
Exemple 1.1.2 Les résultats précédents, en liaison avec les définitions du paragraphe précédent nous permettent
d’associer à un arc paramétré Γ = ([a, b], f ) les trois types suivants d’intégrales, tous trois invariants par changement
de paramétrage admissible et croissant
– (i) soit h une fonction définie et continue sur l’image de Γ et à valeurs dans K ; on peut associer à h l’intégrale
curviligne
Z
Z b
h(m) ds =
h(f (t)) kf 0 (t)k dt
Γ
a
(obtenue en remplaçant m par f (t) et ds par kf 0 (t)k dt, différentielle de l’abscisse curviligne).
– (ii) supposons que E est un espace euclidien et soit V un champ de vecteurs défini sur l’image de Γ (c’est-à-dire
une application de l’image de Γ dans E) ; on peut associer à V l’intégrale curviligne (appelée circulation du
champ de vecteurs V le long de Γ)
Z
Z b
(V (m) | dm) =
V (f (t)) | f 0 (t) dt
Γ
a
0
(obtenue en remplaçant m par f (t) et donc dm par f (t) dt).
– (iii) supposons que E = Rn , que U est un ouvert de E contenant l’image de Γ et ω = a1 (x) dx1 + . . . + an (x) dxn
une forme différentielle de degré 1 continue sur U ; posons f (t) = (f1 (t), . . . , fn (t)) ; on peut considérer l’intégrale
curviligne
Z
a1 (x) dx1 + . . . + an (x) dxn
Γ
Z b
=
a1 (f (t))f10 (t) + . . . + an (f (t))fn0 (t) dt
a
(obtenue en remplaçant dans ω, x par f (t), xi par fi (t) et donc dxi par fi0 (t) dt).
Remarque 1.1.3 Le lecteur vérifiera facilement que le premier type d’intégrale est également invariant par changement d’orientation de Γ, c’est-à-dire par un changement de paramétrage décroissant (car la forme différentielle est
changée en son opposée mais dans le même temps les bornes de l’intégrale sont interverties) ; par contre les intégrales
des deux autres types sont changées en leurs opposées par changement d’orientation.
Proposition 1.1.4 Soit Γ = ([a, b], f ) un arc paramétré de classe C 1 de longueur l(Γ).
– (i) soit h une fonction continue bornée définie sur l’image de Γ et à valeurs dans K ; alors
Z
h(m) ds ≤ l(Γ) sup |h(m)|
m∈Im Γ
Γ
– (ii) supposons que E est un espace euclidien et soit V un champ de vecteurs continu défini sur l’image de Γ et
borné ; alors
Z
(V (m) | dm) ≤ l(Γ) sup kV (m)k
m∈Im Γ
Γ
Démonstration
(i) On a
Z
b
Z
h(m) ds
h(f (t)) kf 0 (t)k dt
=
Γ
Z
a
b
|h(f (t))| kf 0 (t)k dt
Z b
kf 0 (t)k dt
≤
sup |h(m)|
≤
a
m∈Im Γ
a
= l(Γ) sup |h(m)|
m∈Im Γ
(ii) On a grâce à l’inégalité de Schwarz,
V (f (t)) | f 0 (t) ≤ kV (f (t))k kf 0 (t)k d’où
Z
(V (m) | dm)
Γ
=
Z b
a
V (f (t)) | f 0 (t) dt
Z
b
kV (f (t))k kf 0 (t)k dt
a
Z b
≤
sup kV (m)k
kf 0 (t)k dt
≤
m∈Im Γ
a
= l(Γ) sup kV (m)k
m∈Im Γ
1.1.3
Formes différentielles exactes et champs de gradients
Théorème 1.1.5
– (i) Soit Γ = ([a, b], f ) un arc paramétré de classe C 1 et soit V un champ de vecteurs défini
et continu sur un ouvert U contenant l’image de Γ ; si V est le champ des gradients d’une fonction F : U → R,
alors
Z
(V (m) | dm) = F (f (b)) − F (f (a))
Γ
– (ii) Soit Γ = ([a, b], f ) un arc paramétré de classe C 1 et soit ω une forme différentielle définie et continue sur
un ouvert U contenant l’image de Γ ; si ω est la différentielle d’une fonction F : U → R, alors
Z
ω = F (f (b)) − F (f (a))
Γ
Démonstration
(i) On a en effet
d
(F (f (t)))
dt
= dF (f (t)).f 0 (t) = (grad F )(f (t)) | f 0 (t)
=
(V (f (t)) | f 0 (t))
d’où l’on déduit
Z
Z
(V (m) | dm)
Γ
b
0
Z
(V (f (t)) | f (t)) =
=
a
b
(F ◦ f )0 (t) dt
a
= F (f (b)) − F (f (a))
∂F
∂F
(x) dx1 + . . . +
(x) dxn , si bien que
∂x1
∂xn
Z
Z b
∂F
∂F
ω =
(
(f (t))f10 (t) + . . . +
(f (t))fn0 (t)) dt
∂x
∂x
1
n
Γ
a
Z b
d
(F (f1 (t), . . . , fn (t))) dt = F (f (b)) − F (f (a))
=
dt
a
(ii) Si ω = dF , on a donc ω =
Corollaire 1.1.6 Soit Γ = ([a, b], f ) un arc paramétré de classe C 1 , fermé (c’est-à-direZ que f (b) = f (a)).
– (i) Pour tout champ de gradients V sur un ouvert U de E contenant Im Γ, on a (V (m) | dm) = 0
Γ
Z
– (ii) Pour toute forme différentielle exacte ω sur un ouvert U de E contenant Im Γ, on a
ω=0
Γ
Démonstration
Conséquence évidente du résultat précédent.
x dy − y dx
Exemple 1.1.3 Considérons sur R2 \{(0, 0} la forme différentielle de classe C ∞ , ω =
; on vérifie facilement
x2 + y 2
∂
−y
∂
x
que dω = 0 puisque
=
. Pourtant ω n’est pas exacte. En effet calculons l’intégrale de ω
∂y x2 + y 2
∂x x2 + y 2
le long du cercle Γ de centre (0, 0) de rayon 1. On a en posant x = cos θ et y = sin θ,
x dy − y dx = cos θ × (cos θ dθ) − sin θ × (− sin θ dθ) = dθ
si bien que
Z
Z
2π
dθ = 2π 6= 0
ω=
0
Γ
ce qui montre que ω ne peut pas être la différentielle d’une fonction. L’hypothèse que l’ouvert est étoilé est donc
essentielle pour la validité du théorème de Poincaré qui dit que (sur un ouvert étoilé) une forme différentielle est
exacte si et seulement si elle vérifie dω = 0.
1.2
1.2.1
Intégrales multiples
Pavés et subdivisions. Fonctions en escalier.
Définition 1.2.1 On appelle pavé de Rn tout ensemble P de la forme P = I1 × · · · × In où les Ij sont des intervalles
n
Y
bornés de R. On notera mesure du pavé P le nombre réel positif m(P ) =
`(Ii ).
i=1
Définition 1.2.2 On dit qu’une fonction f : Rn → E est en escalier s’il existe une famille finie (Pi )i∈I de pavés
bornés deux à deux disjoints telle que f soit constante sur chaque Pi et nulle en dehors de la réunion des Pi : on dit
qu’une telle famille est adaptée à f .
Soient f et g deux fonctions en escalier ; si une famille (Pi )i∈I est adaptée à f et une famille[(Qj )j∈J[est adaptée à
g, on peut supposer, quitte à ajouter des pavés sur lesquels f ou g sera la fonction nulle, que
Pi =
Qj ; alors la
i∈I
j∈J
famille (Pi ∩ Qj )(i,j)∈I×J est à la fois adaptée à f et à g, ce qui entraı̂ne que αf + βg est en escalier (ainsi que f g dans
le cas où E = R ou C.)
Théorème 1.2.1 (i) Si un pavé borné P de Rn est réunion d’une famille finie de pavés deux à deux disjoints (Pi )i∈I ,
alors
X
m(P ) =
m(Pi )
i∈I
n
(ii) Soit f : R → E une fonction
X en escalier et soit (Pi )i∈I une famille finie de pavés bornés adaptée à f , f étant
égale à ci sur Pi ; alors le vecteur
ci m(Pi ) est indépendant du choix de la famille (Pi ) ; on l’appelle intégrale de f
i∈I
Z
et on note
f.
Rn
Z
(iii) Si f et g sont deux fonctions en escalier de Rn dans E et si α et β sont des scalaires, alors
(αf + βg) =
Rn
Z
Z
α
f +β
g.
Rn
Rn
Démonstration Notons An , Bn et Cn ces trois énoncés. Remarquons que A1 est évident (un intervalle qui est réunion
d’intervalles deux à deux disjoints possède une longueur égale à la somme des longueurs de ces sous-intervalles). Nous
allons démontrer que An ⇒ Bn ⇒ Cn ⇒ An+1 ce qui démontrera le théorème par récurrence.
An ⇒ Bn : soit (Qj )j∈J une autre famille adaptée à f et soit dj la valeur constante de f sur Qj , K l’ensemble des
couples (i, j) tels que Pi ∩ Qj 6= ∅ ; soit eij la valeur commune de ci et dj lorsque (i, j) ∈ K. On a alors, en utilisant An ,
X
ci m(Pi ) =
X
i∈I
i∈I
ci
X
m(Pi ∩ Qj ) =
j∈J
X
eij m(Pi ∩ Qj )
(i,j)∈K
et de la même façon
X
j∈J
dj m(Qj ) =
X
eij m(Pi ∩ Qj )
(i,j)∈K
ce qui montre Bn .
Bn ⇒ Cn : il suffit de choisir une famille de pavés adaptée à la fois à f et à g.
Cn ⇒ An+1 : soit P un pavé de Rn+1 qui est réunion d’une famille finie de pavés deux
Xà deux disjoints (Pk )k∈K .
Posons P = P 0 × I et Pk = Pk0 × Ik . La famille (Pk ) étant une partition de P on a χP =
χPk0 ; mais d’autre part,
χP (x1 . . . xn+1 = χP 0 (x1 . . . xn )χI (xn+1 ) et aussi χPk (x1 . . . xn+1 ) = χPk0 ((x1 . . . xn )χIk (xn+1 ) et on a donc
χP 0 (x1 . . . xn )χI (xn+1 ) =
X
χPk0 (x1 . . . xn )χIk (xn+1 )
k∈K
On intègre les deux membres par rapport à la variable xn+1 , et donc
X
χP 0 (x1 . . . xn )`(I) =
χPk0 (x1 . . . xn )`(Ik )
k∈K
soit encore
χP 0 `(I) =
X
χPk0 `(Ik )
k∈K
puis par application de Cn
m( P 0 )`(I) =
X
m(Pk0 )`(Ik )
k∈K
soit encore m(P ) =
X
m(Pk ), ce que l’on voulait démontrer.
k∈K
On vérifie facilement la proposition suivante
Proposition 1.2.2 Si f : R → E est une fonction en escalier, il en est de même de kf k et on a
1.3
Z
Z
n
f ≤
kf k.
Rn
Rn
Fonctions intégrables
Définition 1.3.1 On dit qu’une fonction f est à support compact, si elle est nulle en dehors d’un compact.
Définition 1.3.2 On dit que f : Rn → E est intégrable au sens de Riemann si elle vérifie les propriétés (visiblement)
équivalentes :
Z
(i) pour tout ε > 0, il existe ϕ : Rn → E en escalier et ψ : Rn → R en escalier telles que kf − ϕk ≤ ψ et
ψ ≤ ε.
Z Rn
(ii) il existe des suites (ϕk )k∈N et (ψk )k∈N de fonctions en escalier telles que ∀k ∈ N, kf −ϕk k ≤ ψk et lim
ψk = 0.
Rn
Une telle fonction est visiblement bornée et à support compact.
Lorsque (ii) est vérifié, l’inégalité
kϕp − ϕq k ≤ kϕp − f k + kf − ϕq k ≤ ψp + ψq
donne
Z
Z
Z
ϕp −
ϕq ≤
Rn
De plus, si
(ϕ∗k )k∈N
et
Z
Rn
ψp +
Rn
ψq
Rn
Rn
Z
ϕk
ce qui montre que la suite
Z
kϕp − ϕq k ≤
Rn
(ψk∗ )k∈N
est une suite de Cauchy, donc convergente.
sont deux autres suites de fonctions en escalier vérifiant (ii), l’inégalité
kϕp − ϕ∗p k ≤ kϕp − f k + kf − ϕ∗p k ≤ ψp + ψp ∗
donne
Z
Z
ϕp −
Rn
Z
Z
ϕp −
ce qui montre que lim
Rn
Rn
ϕ∗p
Rn
ϕ∗p ≤
Z
Rn
kϕp − ϕ∗p k ≤
Z
Z
Rn
Rn
Z
ϕk
= 0. Donc la limite de la suite
(ϕk )k∈N et (ψk )k∈N de fonctions en escalier vérifiant (ii).
ψp ∗
ψp +
Rn
est indépendante du choix des suites
Définition 1.3.3 Soit f : Rn → E une fonction Riemann intégrable.
Soit (ϕk )k∈N et (ψk )k∈N deux suites de fonctions
Z
en escalier telles que ∀k ∈ N, kf − ϕk k ≤ ψk et lim
ψk = 0. On appelle intégrale de f l’élément de E,
Rn
Z
Z
f = lim
ϕk (ce vecteur étant indépendant du choix des deux suites).
Rn
Rn
On établit facilement à partir de la définition
Théorème
1.3.1 Z(i) Si desZ fonctions f et g de Rn dans E sont intégrables, il en est de même de αf + βg et alors
Z
(αf + βg) = α
f +β
g
Rn
Rn
Rn
Z
Z
(ii) Si f est Riemann intégrable, kf k l’est également et k
fk ≤
kf k.
Rn
Rn
On déduit alors immédiatement de (ii) le résultat suivant
Z
f ≥ 0.
Corollaire 1.3.2 (i) Si f est Riemann intégrable réelle positive, alors
Rn
Z
n
(ii) Si des fonctions f et g de R dans R sont intégrables et vérifient f ≤ g, alors
1.4
Z
f≤
Rn
g.
Rn
Ensembles quarrables
Définition 1.4.1 On dit qu’un sous ensemble A de Rn estZquarrable si sa fonction caractéristique χA est Riemann
intégrable. On définit alors la mesure de A comme m(A) =
χA .
Rn
Cette définition est bien cohérente avec la mesure d’un pavé. Il ressort immédiatement du formulaire sur les
fonctions caractéristiques que la réunion, l’intersection et la différence symétrique de deux ensembles quarrables est
quarrable.
Définition 1.4.2 On dit qu’un sous ensemble est pavable s’il est réunion d’une famille finie de pavés bornés. Tout
ensemble pavable est quarrable.
Théorème 1.4.1 Un ensemble A est quarrable si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe des ensembles pavables P
et Q tels que P ⊂ A ⊂ Q et m(Q) − m(P ) ≤ ε.
Démonstration
Supposons que P et Q existent. Leurs fonctions caractéristiques sont en escalier, on a 0 ≤ χA −χP ≤
Z
χQ − χP avec
(χQ − χP ) = m(Q) − m(P ) ≤ ε, donc χA est Riemann intégrable et donc A est quarrable.
Rn
Inversement supposons que A est quarrable ; la fonction
Z χA est donc Riemann intégrable, donc pour ε > 0,
il existe ϕ et ψ en escalier telles que ϕ ≤ χA ≤ ψ et
(ψ − ϕ) ≤ ε. Soit P = {x ∈ Rn | ϕ(x) > 0} et
Rn
Q = {x ∈ Rn | ψ(x) ≥ 1} ; ces deux ensembles sont bien évidemment pavables.
Z On a P ⊂ A Z⊂ Q, ϕ ≤ χP et
(χQ − χP ) ≤
(ψ − ϕ) ≤ ε et
ψ ≥ χP , si bien que ϕ ≤ χP ≤ χA ≤ χQ ≤ ψ ; ceci montre que m(Q) − m(P ) =
termine la démonstration.
1.4.1
Rn
Rn
Ensembles négligeables
Définition 1.4.3 On dit qu’un ensemble est négligeable si, pour tout ε > 0, il est contenu dans un ensemble pavable
de mesure inférieure à ε.
Remarque 1.4.1 Ceci équivaut à dire qu’un tel ensemble est quarrable de mesure nulle.
Le théorème suivant nous donnera une large classe de fonctions Riemann intégrables, suffisante dans la pratique :
Théorème 1.4.2 Si une fonction est bornée, à support compact et continue hors d’un ensemble négligeable, elle est
Riemann intégrable.
Démonstration Soit K un pavé compact tel que f soit nulle en dehors de K. Soit ε > 0 et U un sous ensemble
pavable ouvert contenu dans K, contenant l’ensemble des points de discontinuité de f et de mesure plus petite que
ε
ε
, avec M = sup kf (x)k (il suffit pour cela de prendre un sous ensemble pavable de mesure plus petite que
et
2M
3M
0
d’agrandir un peu les pavés qui le composent en des pavés ouverts). L’ensemble K = K \ U est pavable et compact
et f y est continue. On en déduit que f est unformément continue sur K 0 : donc il existe η > 0 tel que
ε
∀x, x0 ∈ K 0 , kx − x0 k ≤ η ⇒ kf (x) − f (x0 )k∞
2m(K 0 )
On écrit K 0 =
p
[
Pk où les Pk sont des pavés de diamètre inférieur à η et on choisit dans chaque Pk un point xk . On
k=1
définit alors des fonctions en escalier ϕ et ψ par


 ϕ(x) = f (xk ) et ψ(x) =
ε
2m(K 0 )

 ϕ(x) = M et ψ(x) = 0
ϕ(x) = 0 et ψ(x) = 0
Z
On a bien kf − ϕk ≤ ψ et
Rn
ϕ ≤ m(K 0 )
si x ∈ Pk
si x ∈ U
si x ∈
/K
ε
+ m(U )M ≤ ε ce qui montre que f est Riemann intégrable.
2m(K 0 )
Corollaire 1.4.3 Soit A un sous ensemble quarrable de Rn et f : A → E continue bornée ; on prolonge f à Rn tout
entier en une fonction f ∗ définie par f ∗ (x) = f (x) si x ∈ A et f ∗ (x) = 0 sinon. Alors la fonction f ∗ est Riemann
intégrable.
Démonstration
En effet l’ensemble des points de discontinuité de f ∗ est contenu dans la frontière de A.
On obtient ainsi une caractérisation des ensembles quarrables :
Théorème 1.4.4 Un ensemble est quarrable si et seulement il est borné et de frontière négligeable.
Démonstration L’ensemble des points de discontinuité de la fonction caractéristique d’un ensemble A est bien
entendu la frontière de A. Le théorème précédent nous garantit donc qu’un ensemble borné de frontière négligeable
possède une fonction caractéristique Riemann intégrable donc est quarrable. Inversement, supposons que A est
quarrable ; il est donc borné et pour ε > 0, il existe des sous ensembles pavables P et Q tels que P ⊂ A ⊂ Q
tels que m(Q) − m(P ). On peut supposer sans nuire à la généralité que P est ouvert et Q fermé (ajouter ou retirer
des faces de pavés) et on a alors Fr A ⊂ Q \ P , ce qui montre que la frontière de A est négligeable.
Corollaire 1.4.5 Si A est quarrable, alors l’intérieur et l’adhérence de A sont également quarrables.
Démonstration En effet la frontière de l’intérieur de A et la frontière de son adhérence sont toutes deux contenues
dans la frontière de A.
Le théorème suivant nous donnera une classe de sous ensembles négligeables : les graphes de fonctions intégrables
sur un sous ensemble quarrable.
Théorème 1.4.6 Soit A un sous ensemble quarrable de Rn et f : A → R ; on prolonge f à Rn tout entier en une
fonction f ∗ définie par f ∗ (x) = f (x) si x ∈ A et f ∗ (x) = 0 sinon. On suppose que la fonction f ∗ est Riemann
intégrable. Soit i ∈ [1, n + 1] et
B = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn | (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn+1 ) ∈ A et xi = f (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn+1 )}
Alors B est un sous ensemble négligeable de Rn+1 .
Z
Démonstration
Soit ε > 0. On peut trouver ϕ et ψ en escalier telles que ϕ ≤ f ≤ ψ et
(ψ − ϕ) ≤ ε. Soit
Rn
K = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn | (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn et ϕ(x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn+1 ) ≤ xi ≤ ψ(x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn+1 )}
Z
Alors K est un sous ensemble pavable, m(K) =
(ψ − ϕ) ≤ ε et B ⊂ K, ce qui montre que B est négligeable.
Rn
Dans la pratique on utilisera la plus souvent le corollaire suivant pour montrer qu’un ensemble est quarrable.
Corollaire 1.4.7 Soit A un ensemble borné dont la frontière est la réunion d’une famille finie de graphes de fonctions
continues (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ) 7→ xi = fi (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ), définies sur des sous ensembles quarrables,
alors A est quarrable.
Démonstration
1.4.2
En effet tout ensemble qui est réunion finie d’ensembles négligeables est lui même négligable.
Intégration sur un sous ensemble quarrable
Définition 1.4.4 Soit A un sous ensemble quarrable de Rn et f : A → E ; on dit que f est Riemann intégrable sur A
si
f ∗ = f χA (définie par f ∗ (x) = f (x) si x ∈ A et f ∗ (x) = 0 sinon), est intégrable sur Rn ; on pose alors
Z
Z la fonction
f ∗.
f=
Rn
A
On déduit immédiatement d’un théorème précédent le théorème suivant
Théorème 1.4.8 Soit A un sous ensemble quarrable de Rn et f : A → E continue bornée ; alors f est intégrable sur
A.
On a aussi les propriétés suivantes
Proposition
1.4.9 (i) Soit A un sous ensemble négligeable de Rn et f : A → E bornée ; alors f est intégrable sur A
Z
et
f = 0.
A
Z
Z
(ii) L’application f 7→
f est linéaire et on a k f k ≤ m(A) sup kf (x)k.
A
x∈A
A
(iii) Soit A et B deux sous ensembles quarrables disjoints (ou tels que A∩B soit négligeable) :Zpour qu’une
Z fonction
Z
f : A ∪ B → E soit intégrable sur A ∪ B, il faut et il suffit qu’elle le soit sur A et sur B et alors
f=
f+
f.
A∪B
1.4.3
A
B
Réduction aux intégrales simples
Théorème 1.4.10 Soit f : Rp × Rq → R Riemann intégrable ; on suppose que la fonction
y 7→ f (x, y) est intégrable
Z
q
p
(au sens de R sauf pour un ensemble négligeable D de x ∈ R . Alors la fonction x 7→
f (x, y) dy est intégrable sur
Rq
Rp \ D et on a
Z
Z
Z
dx
Rp
f (x, y) dy =
f
Rq
Rp ×Rq
Démonstration Supposons tout d’abord que f est la fonction caractéristique d’un pavé P de Rp × Rq , P = Q × R
p
où Q est un pavé de Rp et R Zun pavé de Rq ;on a alors m(P ) = m(Q)m(R).
Z Pour tout x ∈ R , on a f (x, y) =
χR (y) si x ∈ Q
m(R) si x ∈ Q
, si bien que
f (x, y) dy =
. On a donc
f (x, y) dy = m(R)χQ qui est encore
0
si x ∈
/Q
0
si x ∈
/Q
q
R
Z Rq
une fonction en escalier et son intégrale vaut m(Q)m(R) qui est encore égal à
f . Par linéarité le résultat subsiste
Rp ×Rq Z
Z
Z
Z
si f est une fonction en escalier : x 7→
f (x, y) dy est une fonction en escalier et
dx
f (x, y) dy =
f.
Rq
Rp
Rq
Rp ×Rq
Supposons maintenant
ϕ et ψ telles que kf (x, y) −
Z f intégrable et soit ε > 0. IlZexiste des fonctions en escalier
Z
ϕ(x, y)k ≤ ψ(x, y) et
ψ ≤ ε. Posons Φ(x) =
ϕ(x, y) dy et Ψ(x) =
ψ(x, y) dy. On sait que Φ et
Rp ×Rq
Rq
Rq
Z
Ψ sont des fonctions en escalier. En posant, pour x ∈
/ D, F (x) =
f (x, y) dy, on a, en intégrant l’inégalité
Rq
Z
Z
kf (x, y) − ϕ(x, y)k ≤ ψ(x, y) par rapport à la variable y, kF (x) − Φ(x)k ≤ Ψ(x) ; de plus
Ψ(x) dx =
ψ ≤ ε,
Rp
Rp ×Rq
Z
Z
ce qui montre que F est intégrable sur Rp \ D, donc sur Rp . On sait de plus que
Φ(x) dx =
ϕ, si bien que
Rp
Z
Rp
Z
Z
F (x) dx −
f
Rp ×Rq
Z
F (x) dx −
=
Rp
Z
Z
ϕ−
Φ(x) dx +
Rp
Rp ×Rq
Rp ×Rq
f
Rp ×Rq
Z
Z
≤
ZR
p
≤
kF (x) − Φ(x)k dx +
kϕ − f k
Rp ×Rq
Z
ψ ≤ 2ε
Ψ(x) dx +
Rp
Rp ×Rq
Comme ε est arbitraire, on a
Z
Z
dx
Rp
1.5
Z
f (x, y) dy =
Rq
f
Rp ×Rq
Calcul des intégrales doubles et triples
1.5.1
Théorème de Fubini sur une partie de R2
Théorème 1.5.1 (de Fubini pour un pavé de R2 ). Soit P = [a, b] × [c, d] un pavé de R2 , E un espace vectoriel normé
de dimension finie, f : P → E vérifiant
(i) f est une fonction bornée dont l’ensemble des points de discontinuité est négligeable
(ii) il existe une partie négligeable de [a, b] (par exemple finie) telle que, pour chaque x ∈ [a, b] \ D, l’application
y 7→ f (x, y) soit Riemann intégrable de [c, d] dans E (par exemple continue par morceaux)
Z d
Alors l’application F : x 7→
f (x, y) dy est Riemann intégrable sur [a, b] et
c
Z
b
Z
f=
P
Z b Z
d
F (x) dx =
a
f (x, y) dy
a
dx
c
Démonstration Les hypothèses garantissent que f χP est intégrable sur R2 et il suffit d’utiliser le théorème de
réduction aux intégrales simples.
Remarque 1.5.1 De même si on suppose à la place de (ii) que
– (ii’) pour chaque y ∈ [c, d] \ D0 , l’application x 7→ f (x, y) est Riemann intégrable de [a, b] dans E (par exemple
continue par morceaux) où D0 désigne une partie négligeable de [c, d] (par exemple finie)
Alors
Z
Z d
Z d Z b
f=
G(y) dy =
f (x, y) dx dy
P
c
c
a
b
Z
en posant G(y) =
f (x, y) dx.
a
ZZ
Tout ceci nous amène tout naturellement à introduire la notation
f (x, y) dx dy pour l’intégrale d’une fonction f
P
2
sur un pavé P de R puis à généraliser cette notation à toute partie quarrable de R2 .
Corollaire 1.5.2 Soit P = [a, b] × [c, d] un pavé de R2 , f : [a, b] → K, g : [c, d] → K réglées. Alors
Z b
Z d
ZZ
f (x)g(y) dx dy =
f (x) dx
g(y) dy
[a,b]×[c,d]
Démonstration
On a
a
d
Z
c
d
Z
f (x)g(y) dy = f (x)
g(y) dy = λf (x)
c
Z
avec λ =
c
d
g(y) dy. On en déduit que
c
ZZ
Z
f (x)g(y) dx dy
b
=
[a,b]×[c,d]
b
Z
λf (x) dx = λ
f (x) dx
a
a
Z
=
b
Z
f (x) dx
a
d
g(y) dy
c
Théorème 1.5.3 (théorème de Fubini pour une partie de R2 ). Soit ϕ1 et ϕ2 deux applications continues de [a, b] dans
R vérifiant ∀t ∈ [a, b], ϕ1 (t) ≤ ϕ2 (t) et soit A = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b] et ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}. Soit f : A → E
continue. Alors A est quarrable et
!
ZZ
Z
Z
b
ϕ2 (x)
f (x, y) dx dy =
A
f (x, y) dy
a
dx
ϕ1 (x)
Démonstration A est quarrable car il est borné (ϕ1 et ϕ2 continues sur des compacts sont bornées) et sa
frontière est formée de la réunion de quatre graphes de fonctions continues x 7→ ϕ1 (x), y 7→ b, x 7→ ϕ2 (x)
et y 7→ a. Soit M = sup ϕ2 (x) et m = inf ϕ1 (x) si bien que A ⊂ [a, b] × [m, M ] et soit f ∗ le prolongement
par 0 de f de A à P = [a, b] × [m, M ]. On sait déjà que f ∗ est bornée et que Disc(f ) est négligeable (il est
contenu dans la frontière de A). Pour x ∈ [a, b] fixé, l’application y 7→ f ∗ (x, y) est continue par morceaux car
Z M
Z ϕ2 (x)
n
f
(x,
y)
si
ϕ
(x)
≤
y
≤
ϕ
(x)
∗
∗
1
2
f (x, y) =
. De plus
f (x, y) dy =
f (x, y) dy est une fonction continue
0
sinon
m
ϕ1 (x)
de x comme on l’a vu dans le chapitre sur les intégrales de fonctions d’une variable. On peut donc appliquer le
théorème précédent et on obtient
ZZ
ZZ
f (x, y) dx dy =
f ∗ (x, y) dx dy
A
P
Z b Z M
∗
=
f (x, y) dy dx
a
m
!
Z
Z
b
ϕ2 (x)
=
f (x, y) dy
a
dx
ϕ1 (x)
f ig598haut
Remarque 1.5.2 Ceci permet de ramener le calcul d’une intégrale double sur une partie de R2 délimitée par deux
graphes au calcul de deux intégrales de fonctions d’une variable. Pour un sous ensemble A plus général, on cherchera à
écrire A = A1 ∪. . .∪Ak où chaque partie Ai est limitée par deux graphes de fonctions continues, soit de la forme {(x, y) ∈
R2 | x ∈ [a, b] et ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)} ou de la forme {(x, y) ∈ R2 | y ∈ [c, d] et ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)} ; on écrira alors, à
ZZ
k ZZ
X
condition que les intersections deux à deux des Ai soient négligeables,
f (x, y) dx dy =
f (x, y) dx dy puis
A
i=1
Ai
on ramènera le calcul de chaque intégrale double au calcul de deux intégrales simples.
Exemple 1.5.1 Soit K = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0, y ≤ x, 0 ≤ x + 2y ≤ 2} et on cherche à calculer I =
ZZ
x2 dx dy
K
(moment d’inertie par rapport à l’axe Oy).
x=y
x + 2y = 2
A(2/3,2/3)
K
B(2,0)
0
Le théorème de Fubini nous permet de calculer cette intégrale de deux manières différentes suivant que l’on
commence à intégrer suivant x ou suivant y. Dans une première méthode on peut écrire
K
2
= {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [0, ] et 0 ≤ y ≤ x}
3
2
x
∪ {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [ , 2] et 0 ≤ y ≤ 1 − }
3
2
d’où (en faisant sortir de l’intégrale par rapport à y le terme en x2 qui ne dépend pas de y)
Z
I
2/3
x2
=
Z
0
Z
x
dy
Z
0
2/3
=
x3 dx +
0
2
x2
dx +
2/3
Z
Z
1− x2
dy
dx
0
2
x
52
x2 1 −
dx =
2
81
2/3
On peut aussi la calculer en considérant que
2
K = {(x, y) ∈ R2 | y ∈ [0, ] et y ≤ x ≤ 2 − 2y}
3
d’où
Z
2/3
Z
I=
0
1.5.2
2−2y
Z
x2 dx dy =
y
2/3
0
y3
(2 − 2y)3
−
3
3
dy =
52
81
Théorème de Fubini sur une partie de R3
On obtient d’une façon similaire les résultats suivants pour les intégrales sur une partie de R3
Théorème 1.5.4 (théorème de Fubini pour un pavé de R3 ). Soit P = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ] un pavé de R3 , E un
espace vectoriel normé de dimension finie, f : P → E une fonction vérifiant
– (i) f est une fonction bornée dont l’ensemble des points de discontinuité est négligeable
– (ii) l’application z 7→ f (x, y, z) est Riemann intégrable sur [a3 , b3 ] pour tout (x, y) ∈ [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] \ D où D
est une partie négligeable de [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ]
– Alors
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz
P
Z b3
ZZ
=
f (x, y, z) dz dx dy
[a1 ,b1 ]×[a2 ,b2 ]
a3
Théorème 1.5.5 (théorème de Fubini pour un pavé de R3 ). Soit P = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ] un pavé de R3 , E un
espace vectoriel normé de dimension finie, f : P → E une fonction vérifiant
– (i) f est une fonction bornée dont l’ensemble des points de discontinuité est négligeable
– (ii) l’application (x, y) 7→ f (x, y, z) est Riemann intégrable sur [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] pour tout z ∈ [a3 , b3 ] \ D où D
est une partie négligeable de [a3 , b3 ]
– Alors
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz
P
Z b3 Z Z
=
f (x, y, z) dx dy dz
a3
[a1 ,b1 ]×[a2 ,b2 ]
La première méthode d’intégration porte en général le nom d’intégration par piles (on somme d’abord verticalement,
puis ensuite horizontalement), la deuxième méthode portant le nom d’intégration par tranches (on somme d’abord
horizontalement, puis ensuite verticalement).
De la même manière que pour les intégrales doubles et par prolongement par 0 à un pavé, on montre alors les deux
résultats suivants
Théorème 1.5.6 (théorème de Fubini pour une partie de R3 , intégration par piles). Soit A un sous-ensemble
quarrable de R2 , ϕ1 et ϕ2 deux applications continues de A dans R vérifiant ∀(x, y) ∈ A, ϕ1 (x, y) ≤ ϕ2 (x, y) et
soit K = {(x, y, z) ∈ R2 | (x, y) ∈ A et ϕ1 (x, y) ≤ z ≤ ϕ2 (x, y)}. Soit f : K → E continue. Alors
!
ZZZ
ZZ
Z
ϕ2 (x,y)
f (x, y, z) dx dy dz =
K
f (x, y, z) dz
A
ϕ1 (x,y)
dx dy
Théorème 1.5.7 (théorème de Fubini pour une partie de R3 , intégration par tranches). Soit K une partie de R3
compacte et quarrable. Soit f une application continue de K dans E. On suppose vérifiées les conditions suivantes (en
posant m = inf z et M = sup z)
(x,y,z)∈K
(x,y,z)∈K
(i) pour tout z ∈ [m, M ], Kz = {(x, y) ∈ R2 | (x, y, z) ∈ K} (section de K par le plan horizontal de cote z) est un
sous-ensemble quarrable de R2
ZZ
(ii) l’application z 7→
f (x, y, z) dx dy est réglée sur [m, M ].
Kz
Alors
ZZZ
Z
M
Z Z
f (x, y, z) dx dy
f (x, y, z) dx dy dz =
K
m
dz
Kz
Exemple 1.5.2 Supposons donnée une courbe dans un plan méridien donnée en coordonnées cylindriques par r = ϕ(z)
où ϕ : [a, b] → R est continue positive. Considérons le volume K de révolution délimité par la rotation de la courbe
autour de l’axe Oz. Les sous-ensembles Kz sont des disques de centre (0, 0) de rayon ϕ(z), donc de mesure πϕ(z)2 . On
en déduit que la mesure de K est donnée par
Z b Z Z
ZZZ
m(K)
=
dx dy dz =
Z
K
b
= π
dx dy
a
Kz
Z
b
dz =
m(Kz ) dz
a
ϕ(z)2 dz
a
Par exemple, pour une boule de rayon R, on peut prendre a = −R, b = R et ϕ(z) =
la boule
R
Z R
4
z3
= πR3
m(K) = π
(R2 − z 2 ) dz = π R2 z −
3
3
−R
−R
1.5.3
p
R2 − z 2 , d’où la mesure de
Théorème de changement de variables dans les intégrales multiples
On admettra le théorème suivant de démonstration difficile
Théorème 1.5.8 (théorème de changement de variables). Soit K1 et K2 deux parties compactes de Rn de frontières
négligeables, ϕ : K1 → K2 continue, E un espace vectoriel normé de dimension finie. On suppose que ϕ réalise un
C 1 difféomorphisme de l’intérieur de K1 sur l’intérieur de K2 . Soit f : K2 → E continue. Alors (si jϕ (x) désigne le
jacobien de ϕ au point x ∈ K1o )
Z
Z
f=
f ◦ ϕ |jϕ |
K2
K1
En particulier on a les formules suivantes pour les intégrales doubles et triples
ZZ
ZZ
f (x, y) dx dy =
f (ϕ(u, v)) |jϕ (u, v)| du dv
K2
K1
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz
ZZZ
=
f (ϕ(u, v, w)) |jϕ (u, v, w)| du dv dw
K2
K1
Remarque 1.5.3 Le lecteur comparera ce théorème de changement de variables avec le théorème de changement
de variable pour les fonctions d’une variable. Le jacobien joue ici le rôle du terme ϕ0 (u). On prendra garde qu’ici
il est assorti d’une valeur absolue. Ceci est dû à l’absence de convention de Chasles à partir de la dimension 2. En
dimension 1 et lorsque ϕ est décroissante (donc ϕ0 ≤ 0), les bornes se retrouvent en sens contraire de l’ordre naturel
et un rétablissement de cet ordre transforme alors ϕ0 en −ϕ0 = |ϕ0 |.
Corollaire 1.5.9 En supposant vérifiées les hypothèses ci dessus pour le changement de variable, on a les formules
suivantes pour les passages en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques
ZZ
ZZ
f (x, y) dx dy =
f (r cos θ, r sin θ) |r| dr dθ
K2
K1
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz
ZZZ
=
f (r cos θ, r sin θ, z) |r| dr dθ dz
K1
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz
K2
ZZZ
=
f (r cos θ cos ϕ, r sin θ cos ϕ, r sin ϕ) |r2 cos ϕ| dr dθ dϕ
K2
K1
Remarque 1.5.4 Le lecteur devra se persuader que le principal obstacle au calcul explicite d’une intégrale multiple
provient du domaine d’intégration et non de la fonction à intégrer (penser par exemple qu’une aire ou un volume
peuvent être difficiles à calculer alors que la fonction à intégrer est la constante 1). Ceci veut dire que lorsque l’on
recherche un changement de variable, on doit accorder une priorité absolue à la simplification du domaine d’intégration,
l’idéal étant de transformer ce domaine en un pavé.
Exemple 1.5.3 Soit (v1 , . . . , vn ) une famille libre de Rn et soit V le polytope construit sur cette base, c’est-à-dire
V = {t1 v1 + . . . + tn vn | ∀i ∈ [1, n], ti ∈ [0, 1]} (en dimension 2, il s’agit d’un parallélogramme et en dimension 3 d’un
parallélépipède). Alors l’application ϕ : [0, 1]n → V , (t1 , . . . , tn ) 7→ t1 v1 + . . . + tn vn vérifie évidemment les conditions
du théorème de changement de variable. De plus son jacobien est égal au produit mixte des n vecteurs, soit [v1 , . . . , vn ].
On en déduit que la mesure de V est donnée par
Z
Z
m(V ) =
1=
|[v1 , . . . , vn ]|
V
[0,1]n
= |[v1 , . . . , vn ]|m([0, 1]n ) = |[v1 , . . . , vn ]|
f ig602
Exemple 1.5.4 On considère deux paraboles d’axe Ox tangentes en O à l’axe Oy et deux paraboles d’axe Oy
tangentes en O à l’axe Ox. On cherche à calculer l’aire du domaine K compris entre les paraboles (hachuré sur le
dessin ci dessous)
Les paraboles auront pour équations x2 = 2p1 y et x2 = 2p2 y pour les paraboles verticales, y 2 = 2q1 x et y 2 = 2q2 x
pour les paraboles horizontales. Il n’est pas raisonnable de tenter un calcul par le théorème de Fubini. Nous allons
donc faire un changement de variable en paramétrant un point de la zone hachuré ; pour cela nous considérerons que
tout point de la zone hachurée est l’intersection d’une parabole x2 = 2py et d’une parabole y 2 = 2qx avec p ∈ [p1 , p2 ]
x2 y 2
et q ∈ [q1 , q2 ], autrement dit nous considérerons l’application ϕ : K → [p1 , p2 ] × [q1 , q2 ] définie par ϕ(x, y) = ( , ).
2y 2x
Il est visible que ϕ est bijective, ce que confirmerait un calcul simple. De plus
x
y
jϕ (x, y) =
y2
− 2
2x
x2
2y 2 = 3
4
y
x
−
On en déduit par le théorème d’inversion locale que ϕ est un C 1 difféomorphisme de K o sur ]p1 , p2 [×]q1 , q2 [ et que
4
1
= . On a donc
jϕ−1 (p, q) =
−1
jϕ (ϕ (p, q))
3
ZZ
m(K) =
1 dx dy
Z ZK
=
1 ◦ ϕ−1 (p, q) jϕ−1 (p, q) dp dq
[p1 ,p2 ]×[q1 ,q2 ]
=
1.5.4
4
4
m([p1 , p2 ] × [q1 , q2 ]) = (p2 − p1 )(q2 − q1 )
3
3
Théorème de Green-Riemann
Soit ϕ1 et ϕ2 deux applications continues de [a, b] dans R vérifiant ∀x ∈ [a, b], ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x) et soit A = {(x, y) ∈
R2 | x ∈ [a, b] et ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}. On considère la frontière ∂A de A en tant qu’arc paramétré orientée comme
l’indique la figure ci dessous : on parcourt la frontière en laissant A à sa main gauche. Cette frontière est la réunion de
quatre arcs paramétrés, deux étant des graphes de fonctions x 7→ y = ϕi (x) (l’un parcouru dans le sens direct, l’autre
dans le sens indirect), deux étant des graphes de fonctions y 7→ constante.
y = φ2(x)
A
y = φ1(x)
a
b
1
Z Z Soit U un ouvert contenant A et P une fonction de classe C sur U . On cherche à calculer l’intégrale I =
∂P
(x, y) dx dy. D’après le théorème de Fubini, on a
A ∂y
!
ZZ
Z b Z ϕ2 (x)
∂P
∂P
(x, y) dx dy =
(x, y) dy dx
A ∂y
a
ϕ1 (x) ∂y
Z bh
iy=ϕ2 (x)
=
P (x, y)
dx
y=ϕ1 (x)
a
Z
b
Z
P (x, ϕ2 (x)) dx −
=
a
b
P (x, ϕ1 (x)) dx
a
Z
b
La première intégrale
P (x, ϕ2 (x)) dx n’est autre que l’intégrale curviligne de la forme différentielle P (x, y) dx le
a
long du graphe y = ϕ2 (x), c’est-à-dire l’opposée de l’intégrale curviligne de la forme différentielle P (x, y) dx le long
du quart supérieur de la frontière ∂A (un changement d’orientation changeant l’intégrale curviligne en son opposée).
Z b
La deuxième intégrale −
P (x, ϕ1 (x)) dx n’est autre que l’opposée de l’intégrale curviligne de la forme différentielle
a
P (x, y) dx le long du graphe y = ϕ1 (x), c’est-à-dire l’opposée de l’intégrale curviligne de la forme différentielle
P (x, y) dx le long du quart inférieur de la frontière ∂A . Mais d’autre part les intégrales curvilignes de la forme
différentielle P (x, y) dx le long des quarts gaucheZ Zet droite de la frontière
Z sont nulles, car sur ces arcs, x est une
∂P
constante et donc dx = 0. On en déduit donc que
(x, y) dx dy = −
P (x, y) dx.
A ∂y
∂A
Soit ψ1 et ψ2 deux applications continues de [c, d] dans R vérifiant ∀y ∈ [c, d], ψ1 (y) ≤ ψ2 (y) et soit A = {(x, y) ∈
R2 | y ∈ [c, d] et ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)}. On considère la frontière ∂A de A en tant qu’arc paramétré orientée comme
l’indique la figure ci dessous : on parcourt la frontière en laissant A à sa main gauche. Cette frontière est la réunion de
quatre arcs paramétrés, deux étant des graphes de fonctions y 7→ x = ψi (y) (l’un parcouru dans le sens direct, l’autre
dans le sens indirect), deux étant des graphes de fonctions x 7→ constante.
A
y = ψ2(x)
c
d
y = ψ1(x)
Soit U un ouvert contenant A et Q une fonction de classe C 1 sur U . La même méthode va nous fournir
!
Z d Z ψ2 (y)
∂Q
∂Q
(x, y) dx dy =
(x, y) dx dy
A ∂y
c
ψ1 (y) ∂x
Z dh
ix=ψ2 (y)
=
Q(x, y)
dx
ZZ
x=ψ1 (y)
c
Z
Z
Q(ψ2 (y), y) dy −
=
c
Z
d
d
Q(ψ1 (y), y) dy
c
d
La première intégrale
Q(ψ2 (y), y) dy est l’intégrale de la forme différentielle Q(x, y) dy le long du quart droit de
Z d
la frontière ∂A, la seconde −
Q(ψ1 (y), y) dy est l’intégrale de la forme différentielle Q(x, y) dy le long du quart
c
c
gauche de la frontière ∂A (à cause du changement d’orientation). Mais d’autre part les intégrales curvilignes de la
forme différentielle Q(x, y) dy le long des quarts supérieur
sont nulles, car sur ces arcs, y est
Z
Z Z et inférieur de la frontière
∂Q
(x, y) dx dy =
Q(x, y) dy.
une constante et donc dy = 0. On en déduit donc que
A ∂x
∂A
Si A est à la fois des deux formes en question, on pourra additionner les deux résultats obtenus ce qui nous conduira
à la formule
Z
(P (x, y) dx + Q(x, y) dy)
∂A
ZZ ∂Q
∂P
=
(x, y) −
(x, y) dx dy
∂x
∂y
A
Définition 1.5.1 On dit qu’une partie A de R2 est un compact élémentaire s’il existe a, b, c, d ∈ R, deux fonctions
ϕ1 , ϕ2 : [a, b] → R continues telles que ∀x ∈ [a, b], ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x) et deux fonctions ψ1 et ψ2 continues de [c, d] dans R
vérifiant ∀y ∈ [c, d], ψ1 (y) ≤ ψ2 (y) telles que
A = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b] et ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}
= {(x, y) ∈ R2 | y ∈ [c, d] et ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)}
Définition 1.5.2 On dit qu’une partie A de R2 est un compact simple s’il existe un pavé P de R2 contenant A et une
subdivision σ de P tels que pour tous les pavés Pi de la subdivision, Pi ∩ A soit un compact élémentaire.
On oriente la frontière d’un tel compact simple par la même règle que ci dessus : on parcourt la frontière en laissant
le compact à sa main gauche.
Exemple 1.5.5 Une couronne est un compact simple comme le montre le dessin ci-dessous où on a exhibé une
subdivision adaptée, ainsi que l’orientation de la frontière de chaque compact élémentaire :
f ig606
Posons alors Ai = Pi ∩ A. On peut alors écrire
∂P
∂Q
(x, y) −
(x, y) dx dy
∂x
∂y
A
X ZZ
∂Q
∂P
(x, y) −
(x, y) dx dy
=
∂x
∂y
Ai
i
XZ
=
(P (x, y) dx + Q(x, y) dy)
ZZ i
∂Ai
Mais la réunion des frontières des Ai est constituée de deux types d’arcs paramétrés : des arcs faisant partie de
la frontière de A plus des segments horizontaux et verticaux provenant de la subdivision du pavé. Or (sans vouloir
formaliser complètement ce raisonnement) ces segments sont parcourus deux fois pour un Ai et un Aj adjacents, une
fois dans un sens et une fois dans l’autre (voir le dessin ci dessus), si bien que les intégrales curvilignes le long de ces
segments horizontaux ou verticaux n’appartenant pas à la frontière de A s’annulent deux à deux. On obtient donc
ZZ Z
∂Q
∂P
(x, y) −
(x, y) dx dy =
(P (x, y) dx + Q(x, y) dy)
∂x
∂y
A
∂A
Théorème 1.5.10 (Green-Riemann). Soit A un compact simple de R2 de frontière orientée ∂A, U un ouvert de R2
contenant A, P, Q : U → R de classe C 1 . Alors
ZZ Z
∂Q
∂P
(P (x, y) dx + Q(x, y) dy)
(x, y) −
(x, y) dx dy =
∂x
∂y
∂A
A
Remarque
autres choses) de ramener le calcul d’une intégrale
Z Z 1.5.5 Le théorème de Green-Riemann permet (entre
Z
f (x, y) dx dy à celui d’une intégrale curviligne
(P (x, y) dx + Q(x, y) dy) (c’est-à-dire d’une intégrale
du type
A
∂A
simple) à condition de connaı̂tre deux fonctions P et Q telles que f (x, y) =
∂Q
∂P
(x, y) −
(x, y).
∂x
∂y
Corollaire 1.5.11 Soit A un compact simple de R2 de frontière orientée ∂A. Alors l’aire de A est donnée par
Z
Z
Z
1
(x dy − y dx)
m(A) =
x dy = −
y dx =
2 ∂A
∂A
∂A
Démonstration Il suffit de prendre successivement P (x, y) = 0, Q(x, y) = x, P (x, y) = −y, Q(x, y) = 0 et enfin
y
x
∂Q
∂P
P (x, y) = − , Q(x, y) = , couples pour lesquels
(x, y) −
(x, y) = 1.
2
2
∂x
∂y
Corollaire 1.5.12 Soit A un compact simple de R2 de frontière orientée ∂A. Alors l’aire de A est donnée en polaires
par
Z
1
ρ2 dθ
m(A) =
2 ∂A
Démonstration
1.6
En effet x dy − y dx = ρ2 dθ.
Introduction aux intégrales de surface
Définition 1.6.1 Soit Σ = (D, F ) une nappe paramétrée de classe C 1 de R3 , où D est un compact de R2 de frontière
négligeable. Soit f une fonction définie et continue
Z Z sur l’image de Σ et à valeurs dans l’espace vectoriel normé E. On
f (m) dσ l’élément de E
appelle intégrale de f le long de Σ et on note
Σ
ZZ
ZZ
f (F (u, v)) k
f (m) dσ =
Σ
D
∂F
∂F
(u, v) ∧
(u, v)k du dv
∂u
∂v
En particulier, on appelle aire de Σ le nombre réel positif
ZZ
ZZ
∂F
∂F
m(Σ) =
dσ =
k
(u, v) ∧
(u, v)k du dv
∂v
Σ
D ∂u
Le principal résultat sur ces intégrales de surface est l’invariance par changement de paramétrage admissible
Théorème 1.6.1 Soit Σ1 = (D1 , F1 ) et Σ2 = (D2 , F2 ) deux nappes paramétrées de classe C 1 équivalentes, où D1 et
D2 sont des compacts de R2 de frontières négligeables. Soit f une fonction définie sur l’image de Σ1 et Σ2 , à valeurs
dans l’espace vectoriel normé E. Alors
ZZ
ZZ
f (m) dσ =
Σ1
f (m) dσ
Σ2
En particulier, l’aire de la nappe est invariante par changement de paramétrage.
Démonstration Soit θ : D1 → D2 un difféomorphisme de l’intérieur de D1 sur l’intérieur de D2 vérifiant F1 = F2 ◦θ.
Un calcul fait dans le chapitre sur les nappes paramétrées montre que (si on note (u, v) 7→ F1 (u, v) et (λ, µ) 7→ F2 (λ, µ))
∂F1
∂F1
∂F2
∂F2
(u, v) ∧
(u, v) = jθ (u, v)
(θ(u, v)) ∧
(θ(u, v))
∂u
∂v
∂λ
∂µ
On en déduit que
ZZ
f (m) dσ
ZZ
∂F
∂F
=
f (F1 (u, v)) k
(u, v) ∧
(u, v)k du dv
∂u
∂v
D
ZZ 1
∂F2
∂F2
=
f (F2 ◦ θ(u, v)) k
(θ(u, v)) ∧
(θ(u, v))k |jθ (u, v)| du dv
∂λ
∂µ
D1
ZZ
∂F2
∂F2
=
f (F2 (λ, µ)) k
(λ, µ) ∧
(λ, µ)k dλ dµ
∂λ
∂µ
D2
Σ1
par le théorème de changement de variables dans les intégrales doubles.
Remarque 1.6.1 Le lecteur attentif aura remarqué que nous avons modifié légèrement les définitions d’une nappe
paramétrée et de l’équivalence de deux nappes paramétrées, de façon à ce que cela nous arrange. Nous réclamons toute
son indulgence pour ces modifications de détail.
Comme cas particulier, cherchons l’aire d’une nappe de révolution d’axe Oz. Soit Γ une méridienne de cette nappe,
paramétrée en coordonnées cylindriques par r = ϕ(t) et z = ψ(t), t ∈ [a, b]. Un paramétrage de la nappe est alors
∂F
∂F
F (t, θ) = O + ϕ(t)~u(θ) + ψ(t)~k, (t, θ) ∈ [a, b] × [0, 2π] si bien que
(t, θ) = ϕ0 (t)~u(θ) + ψ 0 (t)~k et
(t, θ) = ϕ(t)~u0 (θ).
∂t
∂θ
On a donc
∂F
∂F
(t, θ) ∧
(t, θ) = ϕ(t) ϕ0 (t)~k − ψ(t)~u(θ)
∂t
∂θ
et donc
p
∂F
∂F
k
(t, θ) ∧
(t, θ)k = |ϕ(t)| ϕ0 (t)2 + ψ 0 (t)2
∂t
∂θ
On en déduit que
ZZ
p
m(Σ) =
|ϕ(t)| ϕ0 (t)2 + ψ 0 (t)2 dt dθ
[a,b]×[0,2π]
Z
=
2π
b
p
|ϕ(t)| ϕ0 (t)2 + ψ 0 (t)2 dt
Za
=
|r| ds
2π
Γ
en notant r = ϕ(t) et ds =
p
ϕ0 (t)2 + ψ 0 (t)2 dt la différentielle de l’abscisse curviligne sur Γ. On obtient donc
Proposition 1.6.2 Soit Σ la nappe de révolution engendrée par la rotation de la méridienne Γ autour de la droite
D. Soit ds la différentielle
Z de l’abscisse curviligne de Γ et r la distance d’un point de Γ à la droite D. Alors l’aire de
la nappe est égale à 2π
r ds.
Γ