Rappel cours sur le cône:

Correction contrôle 2 ( 3 marine)
Points de cours testés dans ce contrôle
Produits remarquables pour développer:
( a + b )² =a² + 2ab + b²
( a - b )² =a² - 2ab + b²
(a + b) ( a b) = a² – b²
Utilisation du vocabulaire: carré, somme , produit , différence, double, tiers etc
Sav oir remplacer les termes par une valeur y compris en fonction de x dans une formule
Savoir reconnaître une expression factorisée et une expression développée
Connaître et savoir utiliser:
la propriété de thalès
la réciproque de la propriété de thalès
la propriété de Pythagore
la réciproque de la propriété de Pythagore
Connaître et savoir utiliser
la formule de l'aire d'un disque
la formule du périmètre d'un cercle
le calcul de la mesure de l'angle pour faire le patron d'un cône
Rappel cours sur le cône:
1) Définition
Un cône de révolution de sommet S est le solide engendré par la
rotation d’un triangle SOM rectangle en O, autour de la droite
(SO).
Le disque de centre O et de rayon OM est la base du cône
2) Volume du cône
Le volume du cône est égal au tiers du produit de l’aire de base par la hauteur du cône
V=
1
× aire de la base × hauteur du cône
3
3) Patron d'un cône Voir page suivante
Patron d'un cône
La longueur du cercle de diamètre [AB] sur la figure 1 est égale à la longueur de l'arc rouge
sur le figure 2 et donc pour faire le patron, je dois chercher la mesure de l'angle 
ASB sur la
figure 2 .
La mesure de l'angle au centre est proportionnelle à la mesure de l'arc
Périmètre du cercle rouge sur la figure 1: π ×AB
Périmètre du cercle de la figure 2 : π ×2×SB
Le rapport des périmètres est :
π × AB
π×2×SB
Le périmètre du cercle 2 correpond à un angle de 360 ° et donc la mesure de l'angle :
π × AB

ASB = 360×
π×2×SB
1) Vocabulaire:
a) Je traduis chacune des phrases par une expression mathématique
Phrase1: La somme du carré de 5 et du produit de 3 par x : 5² + 3x
Phrase 2 : Le carré de la somme de 4 et du produit de cinq par x : ( 4 + 5x) ²
x
Phrase 3: La somme du quadruple de x et du tiers de x. 4 x
3
b) Je traduis chacune des expressions mathématiques à l'aide d'une phrase
Expression 1: 3 x + 7 La somme du produit de 3 par x et de 7
Expression 2: ( 2x – 5)² Le carré de la différence du double de x et de 5
x x
 La somme du cinquième de x et du tiers de x
Expression 3:
5 3
Exercice 1: 1) Soit ABC un triangle et AH sa hauteur
L'aire du triangle:
AH ×BC
A=
2
AH =3x−5 et BC=3x−5
3x−5×3x−5
2
3x−5 ²
A=
Forme factorisée
2
9x²−30x25
A=
Forme développée
2
9
25
A= x² −15x
Forme développée et réduite
2
2
A=
On reconnaît le produit remarquable:
(a – b)² = a² - 2 a b + b² avec
a = 3x et b = 5
a² = ( 3x)² = 9x²
2ab=2×3x×5=30 x
b² = 5² = 25
2) Aire du triangle EKG
A=EK ×KG 2
3x5× FG− FK 
A=
2
3x53x−5
A=
Forme factorisée
2
9x²−25
A=
forme développée
2
9
25
A= x² −
forme développée et réduite
2
2
On reconnaît le produit ( a + b) ( a – b) = a² – b²
avec a² = ( 3x)² = 9x²
et b² = 5² = 25
Exercice 2: En utilisant les produits remarquables, calculer:
43²= 403 ²=40 ²2×40×33²=16002409=1849
37²=307 ²=30²2×30×77²=90042049=1369
ou 37²=40−3=40²−2×40×39=1600−2409=1369
97×103=100−31003=100 ²−3²=10 000−9=9 991
Applications géométriques:
Exercice 1 : Le puits
On remarque sur le dessin que les droites (DC) et (YE)
sont perpendiculaires à la droite (DE)
or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors
elles sont parallèles
donc les droites (DC) et ( YE) sont parallèles
On reconnaît une configuration de la propriété de Thalès
en situation papillon
Les droites (YC) et (DE) se coupent en A et les droites
(DC) et (YE) sont parallèles
d'après la propriété de Thalès:
AE AY YE
=
=
AD AC DC
AE YE
=
AD DC
0,8 1,72
=
On a :
1,8 DC
1,72×1,8
DC =
0,8
DC =3,87
Le puits a une profondeur de 3,87 m.
Vous pouviez aussi:
Chercher la mesure de AY en utilisant la propriété de pythagore dans le triangle rectangle AYE
Puis dire que puisque les droites (DC) et (YE) sont parallèles alors il y a un agrandissement en
AD
passant du triangle AYE au triangle ADC dont le coefficient est
AE
AD
× AY
Calculer ensuite DC avec la formule: DC =
AE
Exercice 2 :
On veut calculer la hauteur de l'arbre
La hauteur est : AC + CB
On calcule CB
Le triangle CAB est rectangle en A, je peux utiliser la
propriété de Pythagore
CB² = AC² + AB²
CB² = 12 ² + 16²
CB² = 400
CB =  400 = 20
La hauteur de l'arbre est:
AC + CB = 12 + 20 = 32
L'arbre avait une hauteur de 32 m
Exercice 3 : La traverse de bois représentée par le segment [CD] est-elle horizontale?
Pour le montrer, on va montrer que les droites (EF) et (CD) sont parallèles.
MC MD
=
A – t -on:
?
ME MF
On calcule:
MC 3,1
=
.
ME 4,34
Si on fait le calcul à la calculette on a une valeur approchée par contre
4,34
=1,4
3,1
On va travailler sur les quotients:
ME MF
et
MC MD
ME 4,34
=
=1,4 valeur exacte
MC 3,1
MF 5,33
=
≃1,41
MD 3,8
ME MF
On a :
≠
MC MD
Les quotients ne sont pas égaux donc
les droites (EF) et (CD) ne sont pas parallèles alors la barre [CD] n' est pas horizontale.
Lorsque les produits ne sont pas égaux, on n'utilise pas la réciproque
de Thalès mais le négation de la propriété de Thalès appelée contraposée
ME MF
≠
on peut utiliser les produits en croix et là, on voit que pour le
MC MD
produit de 3,1 par 5,33 le chiffre des unités est 3 et pour le produit de 4,34 par 3,8 le chiffre des
unités est 2 et donc les produits ne sont pas égaux
Pour montrer que:
Problème Longueur de la géneratrice
1) Longueur de la géneratrice
Dans le triangle SA'A, je reconnais une configuration de la
propriété des trois rapports égaux
Dans le triangle SCD, on a :
A un point de [SC]
B un point de [SD]
et (BB') parallèle à (A'A)
d'après la propriété des trois rapports égaux
SA SB BA
=
=
SC SD CD
On a :
SA 4
=
SC 10
SA BA
=
SC CD
SC −20 4
=
SC
10
10× SC−20=4×SC
Pour résoudre cette équation, on développe le deuxième membre
10×SC −200=4×SC
On regroupe les SB dans le premier membre
10×SC – 4×SC =200
6×SC =200
200 100
SC =
=
6
3
La génératrice mesure environ 33 cm.
2) Patron.
Le patron du cône est un secteur circulaire. Cherchons la mesure de l'angle.
Ce cône est découpé dans un cercle de rayon 33 cm. La base est un cercle de diamètre 10 cm.
Je calcule le périmètre de la base
P = π ×10
La longueur du cercle de rayon 33 est P' = π ×66
×10 10 5
P
'=
= =
Se reporter au rappel de cours qui doit être appris
P
×66 66 33
L'angle est égal à :
360×5
≃55
33
La mesure de l'angle est de 55°
L'aire de papier nécessaire:
On a une portion de disque de rayon 33 cm dont l'angle au centre est de 55° diminué d'une
portion de disque de rayon (33 - 20) cm soit 13 cm et d'angle 55°
332 – 13 2×55 π ×920×55
A=π
=
=π ×140,56≃442
360
360
A≃442 cm²
Patron:
Longueur d'adhésif
On met l'adhésif
sur les parties en rouge et
donc sur les portions les
cercles de diamètres 4 ou
10 cm
L=
L≃46,2
La longueur est d ' environ 46,2 cm soit 0,462 m
Aire de papier nécessaire avec la perte
A = 442
442×20
100
A=530,4 cm² soit 0,05304 m²
Dépense pour le galon et le papier en €
3,5 * 0,462 + 25 * 0,05304 = 2,943
Il paiera 2,94 €
Question-bonus:
Pour que l'étagère soit perpendiculaire au mur, il faut que les triangles ABC et EFG soient
respectivement rectangle en B et F.
Dans le triangle ABC , on a : AB = 15 , AC = 25 et BC = 20
A-t-on: AB² + BC² = AC²
On calcule:
AB² + BC² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625
AC² = 25² = 625
On a : AB² + BC² =AC² d'après la réciproque de la propriété de Pythagore alors le triangle
ABC est rectangle en B.
On a aussi EFG rectangle en F et donc l'étagère BFGC est perpendiculaire au plan du
mur AEFB.