Réponse en freq des amplis op

REPONSE EN FREQUENCE DES
AMPLIFICATEURS OPERATIONNELS
REPONSE D'UN AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN BOUCLE OUVERTE
La fonction de transfert en
généralement complexe avec
stabilité. Il est donc impératif
réponse du premier ordre
inconditionnellement stable.
boucle ouverte d'un amplificateur opérationnel est
plusieurs pôles ce qui peut poser des problèmes de
d'effectuer une compensation permettant d'obtenir une
de manière à ce que le fonctionnement soit
Il existe deux types d'amplificateur opérationnel:
• Les amplificateur opérationnel à compensation externe
• Les amplificateur opérationnel à compensation interne
Les premiers doivent être compensés par l'utilisateur en fonction de l'application, les
seconds sont compensés de manière interne par le constructeur.
Nous ne considérerons par la suite que des amplificateurs opérationnels à compensation
interne, dont la fonction de transfert en boucle ouverte est de la forme:
A( jω ) =
A0
1+ j
(1)
ω
ω0
que nous pouvons écrire sous forme de Gain et Phase: A( jω ) = A( jω ) exp[ jϕ (ω ) ]
Gain
A( jω ) =
A0
ω
1+  
 ω0 
(2)
2
soit en dB
A( jω ) dB
  ω  2
= 20log A0 − 10log 1 +    (3)
  ω0  
Phase
ω 

 ω0 
ϕ (ω ) = − Arctg
pour ω >> ω 0 on peut faire l'approximation
A( jω ) ≅
J. Redoutey
(4)
A0 ω 0
ω ≅ jω
j
ω0
A0
-1-
A( jω ) = 1 pour ωt = A0.ω0
ωt est appelée pulsation de transition ou Produit Gain-Bande passante.
Gain
(dB)
20logA 0
0
ωt
ω0
Phase
ω0
0°
-45°
-90°
Diagramme de Bode d'un amplificateur à compensation
interne en boucle ouverte
REPONSE D'UN AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN BOUCLE FERMEE
Considérons le système suivant:
xe
+
xi
-
xs
A
xc
β
L'amplificateur A est contre-réactionné par circuit de transmittance linéaire β.
J. Redoutey
-2-
On peut écrire d'une manière générale:
xs = A(xe-xc) = A(xe- ßxs)
xs (1+ßA) = Axe
d'où
Ac =
xs
A
=
x e 1 + βA
Ac est la fonction de transfert en boucle fermée
ßA est appelé gain de boucle.
La fonction de transfert de l'ensemble en boucle fermée Ac s'écrit donc:
AC (j ω ) =
A( jω )
(5)
1+ β A( j ω )
En remplaçant A(jω) par son expression (1), il vient:
A0
1+ β A0
AC (j ω ) =
jω
1+
ω 0 (1+ β A0 )
(6)
Posons:
ωoc = ω0 (1+β A0)
A0 c =
et
A0
1+ β A0
nous pouvons écrire (6) sous la forme:
A0 c =
A0 c
jω
1+
(7)
ω 0c
ωoc est la pulsation de coupure à -3dB en boucle fermée
A0c est le gain statique en boucle fermée
En comparant cette expression à l'expression (1) donnant la réponse en boucle ouverte,
on constate que la fréquence de coupure à -3dB en boucle fermée est (1+β A0) fois plus
élevée qu'en boucle ouverte.
calculons le produit A0c . ωοc
A0 cω 0 c =
J. Redoutey
A0
ω 0 (1 + β A0 )
1 + β A0
-3-
A0c . ωοc = A0 . ωο = ωt
Le produit gain-pulsation de coupure est constant.
Si A0c = 1 on a ωοc = ωt d'où l'intérêt de ce paramètre.
Le produit Gain-Fréquence de coupure est une constante souvent appelée Produit
Gain-Bande Passante et noté GBW
Gain
(dB)
20logA 0
boucle ouverte
20logA 0c
Boucle fermée
0
ω0
ω 0c
ωt
Diagramme de Bode en boucle ouverte et en boucle fermée
APPLICATION AU CAS DE L'AMPLIFICATEUR NON INVERSEUR
La fonction de transfert d'un amplificateur non inverseur de gain fini A s'écrit:

R 
G( jω ) =  1 + 2 

R1  1+
1
1
R
(1+ 2 )
A(j ω )
R1
en remplaçant A(jω) par sa valeur tirée de (1)
A( jω ) =
A0
1+ j
ω
ω0
il vient:

R 
G( jω ) =  1 + 2 

R1  1+
1
jω
A0 ω 0 (1 +
R2
)
R1

R
= 1 + 2 

R1  1+
La pulsation de coupure à -3dB est alors :
J. Redoutey
-4-
1
jω
ω t (1 +
R2
)
R1
ω 0c =
A0 ω 0
ωt
=
R
R
1 + 2 1+ 2
R1
R1
Le gain statique (ω = 0) étant
A0c = 1+
R2
R1
on peut écrire
A0 . ω0 = A0c . ω0c = ωt
On vérifie bien que le produit Gain-Bande passante est constant.
FILTRE PASSE BAS DU PREMIER ORDRE
R2
C2
+15V
741
R1
Vs
Ve
-15V
On suppose que l'amplificateur opérationnel est idéal.
Soit Z2 l'impédance formée par R2 en parallèle avec C2.
1/Z2 = 1/R2 + jC2ω
d'où
Z2 = R2/(1+ jR2C2ω)
Le montage étant du type inverseur, sa fonction de transfert s'écrit:
A(jω) = - Z2/R1
En remplaçant Z2 par son expression, il vient:
A( jω ) = −
R2
1
R1 1 + jR2 C2 ω
calculons le module et l'argument pour faire apparaître le Gain et la phase:
A( jω ) =
R2
1
R1 1 + (R2 C2 ω )2
ou en dB
A( jω ) dB = 20log
J. Redoutey
R2
2
− 10 log(1+ (R2 C2 ω ) )
R1
-5-
ϕ(ω) = Arctg(0) -Arctg(R2C2ω) = -π -Arctg(R2C2ω)
Soit ω2 =1/ R2C2
Pour ω = 0 nous avons:
|A(0)| = R2/R1
ϕ(0) = -p
|A(0)|dB = 20 log(R2/R1)
Pour ω = ω2 nous avons:
|A(ω2)|dB = 20 log(R2/R1) -10 log(2)
|A(ω2)|dB = 20 log(R2/R1) -3dB
ϕ(ω2) = -p -Arctg(1) = -225°
gain statique
log(2)=0,30103
ω2 =1/ R2C2 est la pulsation de coupure à -3dB
calculons la pente de l'asymptote de chute du gain:
Pour ω = 10ω2
A(10ω2)|dB = 20 log(R2/R1) -10 log(101)=20 log(R2/R1) - 20dB
ϕ(10ω2) = -180 -Arctg(10) = -264,3°˜ - (270°- 5,7°)
Pour ω = 100ω2
A(100ω2)|dB = 20 log(R2/R1) -10 log(101)=20log(R2/R1) - 40dB
ϕ(100ω2) = -Arctg(100) = -269,4°˜ - (270°-0,57°)
ce qui représente une décroissance du gain de -20dB par décade
Gain
(dB)
20log
R2
R1
pente -20dB/décade
0
ω 2 =1/R2C2
Phase
-š
-š-š/4
-3š/2
ω 2 =1/R2C2
J. Redoutey
-6-
ωt
FILTRE PASSE HAUT DU PREMIER ORDRE (DIFFERENCIATEUR)
R2
+15V
R1
C1
741
Ve
Vs
-15V
On suppose que l'amplificateur opérationnel est idéal.
Soit Z1 l'impédance formée par R1 en série avec C1.
Z1 = R1 + 1/jC1ω
d'où
Z1 = (1+ jR1C1ω) / jC1ω
Le montage étant du type inverseur, sa fonction de transfert s'écrit:
A(jω) = -R2 /Z1
En remplaçant Z1 par son expression, il vient:
A( jω ) = −
jR2C1 ω
1 + jR1 C1ω
calculons le module et l'argument pour faire apparaître le Gain et la phase:
A( jω ) =
ϕ( jω) = −
Posons
ω1 =1/R1C1
π
2
R2 C1ω
1 + (R1 C1ω ) 2
− Arctg(R1C1ω )
ω2 =1/R2C1
et
ω
ω2
A( jω ) = −
ω
1+ j
ω1
j
on prend ω1>> ω2 c'est à dire R2 >> R1
ω1est la pulsation de coupure à -3dB
ω2 est la pulsation de gain unitaire
J. Redoutey
-7-
en effet :
A(ω 2 ) =
1
ω 2
1+( 2)
ω1
≈1
Le diagramme de Bode du circuit est représenté ci dessous.
On notera que dans la démonstration précédente, on a considéré que l'amplificateur
opérationnel était idéal. Dans la réalité il faut tenir compte de la réponse de
l'amplificateur utilisé (représentée en pointillé sur la figure) qui limite la réponse aux
fréquences élevées.
Gain
Réponse en boucle ouverte
(dB)
pente -20dB/décade
20log
R2
R 1 pente 20dB/décade
0
ω 2 =1/R2C1
ωt
ω1 =1/R1C1
Phase
-90°
-135°
-180°
ω 1 =1/R1C1
-225°
-270°
J. Redoutey
-8-