Planification de production à court terme avec contraintes

ROADEF 2002, Paris, février 2002, Résumé pp.158-159.
Planification de production à court terme
avec contraintes terminales
J.-C. Hennet
LAAS-CNRS, 7 Avenue du Colonel Roche, 31077 Toulouse Cedex 4
[email protected]
Mots-clés : programmation linéaire, goal programming, planification de production.
Présentation de l’approche
Cette étude considère un atelier de fabrication qui doit satisfaire un carnet de commandes sur un horizon à
court terme et atteindre un régime de fonctionnement stationnaire à la fin de cet horizon. Une telle approche
repose sur l’hypothèse de deux modes d’information. Une information parfaite à court terme, correspondant aux
données du carnet de commandes, et des prévisions à moyen terme permettant de caractériser les demandes
futures en produits finis par des lois de probabilité stationnaires.
L’atelier de fabrication considéré permet la transformation de matières premières en produits finis par
l’intermédiaire d’opérations de transformation et d’assemblage. Le modèle de cet atelier repose sur les bilans de
matières et les durées (en nombres de périodes) qui caractérisent ces opérations. Les stocks et les ressources sur
chaque période sont caractérisés par leur capacité. L’objectif est de minimiser le coût total de la politique de
production sur l’horizon à court terme, tout en respectant les contraintes liées à l’état initial du système, à l’état
final imposé et aux contraintes de faisabilité. Le carnet de commandes étant connu, le coût total se décompose en
un coût de fabrication, un coût de stockage et un coût de rupture de stocks de produits finis, associé aux arriérés
de fabrication.
La formulation entièrement linéaire du problème permet de le résoudre facilement par programmation
linéaire lorsque ce problème admet une solution, c’est à dire lorsque l’état final imposé est compatible avec la
durée de l’horizon à court terme. Dans le cas contraire, l’approche par “ goal programming ” permet d’introduire
un critère annexe de minimisation de l’écart entre l’état final atteint et l’état final recherché. Une analyse
multicritère du problème est alors effectuée pour parvenir à un compromis acceptable entre le coût lié à cet écart
et le coût de la politique à court terme.
Les outils de modélisation et d'optimisation
L'évolution dans l'atelier de fabrication des stocks de produits i, numérotés de 1 à n, est décrite par un modèle
linéaire en temps discret :
n
yi, k +1 = yik + +vi, k −θ i − ∑ aij v jk − d ik , pour i=1,...,n, k=0,...,T .
(1)
j =1
yik est le stock algébrique de produit i à la période k, vik est la quantité de produit i lancée en fabrication à la
période k, α ij est la quantité de produit i nécessaire pour fabriquer une unité de produit j, d ik est la quantité de
produit i commandée pour la période k,
θi
est la durée opératoire de fabrication du produit i à partir de ses
composants directs.
La mise en œuvre de l'équation (1) nécessite la connaissance des conditions initiales
yi,−θ i ,..., yi,−1. Par
*
ailleurs, les conditions terminales portent d'une part sur l'état final des stocks, y iT = y i pour i = 1,..., n ,
d'autre part sur les commandes en cours: vik pour k = T − θ i + 1,..., T .
La condition terminale sur les ordres de fabrication en cours de produit i peut s'écrire [1] :
viT −θ i +1 = ... = viT = vi* = [( I − A) −1 d ]i
avec
(2)
A = ((α ij )) et d le vecteur des demandes moyennes par période pour chaque produit.
Le critère de coût total à optimiser sur l'horizon de temps T prend la forme suivante :
T n
+
−
J = ∑ ∑ (cik vik + g ik f ik + hik yik
+ π ik yik
).
k =1 i =1
2
(3)
ROADEF 2002, Paris, février 2002, Résumé pp.158-159.
+
−
yik
et yik
. représentent, respectivement, la partie positive et négative (arriéré de fabrication) de la variable
de stock, cik , g ik , hik et π ik représentent respectivement le coût unitaire variable, le coût fixe, les coûts
où
unitaires de stockage et de rupture de stock relatifs au produit i à la période k.
Si l’on suppose que les coûts de préparation sont relatifs à chaque période, c’est-à-dire qu’ils ne couvrent pas
des durées chevauchant plusieurs périodes, alors la variable fik est reliée à la variable vik par les relations
⎧ f ik = 0 si vik = 0
⎩ f ik = 1 si vik > 0.
suivantes: ⎨
Le problème de minimisation du critère J sous les contraintes (1), les contraintes de positivité des variables,
de capacité des ressources et des stocks, est un problème linéaire en variables mixtes. Même si ce problème
admet une solution, sa résolution peut devenir délicate lorsque les nombres de produits et de périodes sont
importants. Dans ce cas, il est courant d'augmenter la durée des périodes (large time buckets, [2]) et d'assimiler
les coûts fixes à des coûts variables, ce qui permet l'application de la programmation linéaire en variables
continues, autorisant la résolution de problèmes de taille considérable.
Dans le cas où la cible, définie par les conditions (2) n'est pas atteignable à la période T, on peut utiliser une
approche par "goal programming" [3]. Les contraintes (2) sont alors remplacées par:
vi ,T − k = vi* − δ i−,T −k + δ +
pour k = 0,...,θ i − 1 .
i ,T − k
(4)
De même, les contraintes sur les stocks terminaux sont réécrites sous la forme:
yi ,T = yi* − ε −i ,T + ε + pour i = 1,..., n
i ,T
En choisissant la même pondération sur les déficits de stock et de production pour tous les produits, le critère
annexe à minimiser est défini par:
θ i −1
n
−
I = ∑ (ε iT
+ ∑ δ i−,T − k )
(5)
k =0
i =1
Le problème global est alors du type multicritère. De façon classique, on peut choisir de le résoudre par une
approche lexicographique ou archimédienne. L'avantage de l'approche archimédienne est qu'elle permet au
décideur de disposer des paramètres de pondération du critère comme paramètres de décision.
[1] J-C. Hennet, “ Prévision et Planification ”, chapitre 5 de l’ouvrage Gestion de Production, IC2 Productique,
sous la direction de J. Erschler et B. Grabot, Hermès 2001.
[2] M. Salomon, Deterministic Lotsizing Models for Production Planning, Springer, 1991.
[3] M. Tamiz, Multi-Objective Programming and Goal Programming, Lecture Notes in Economics and
Mathematical Systems, Springer, 1996.
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