Cours sur les chaines de solides

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CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
Cours Chaînes de solides
CHAINES DE SOLIDES
Les mécanismes sont constitués de nombreuses pièces, certaines restant
en permanence liées à d’autres au cours du fonctionnement du
mécanisme. Les liaisons mécaniques permettent la mobilité entre les
groupes de pièces. L’analyse de ces différentes liaisons fait ainsi
apparaître les chaînes de solides.
1- Rappel sur les liaisons élémentaires
Solide indéformable :
RS
A
B
C’est un solide physique dont on peut négliger la
déformation sous l’effet des actions mécaniques
qui lui sont appliquées
Cela implique que, quels que soient les points A et B appartenant à ce
solide, la distance AB reste constante dans le temps.
 d AB 

 = 0
 dt Rs
Rs est un repère lié au solide S
Classe d’équivalence :
C’est l’ensemble des pièces d’un même système mécanique qui sont en permanence en liaison
encastrement, et dont le comportement du point de vue cinématique est équivalent au comportement
de l’une d’entre elles.
Liaison élémentaire :
Modèle retenu pour traduire la relation physiquement établie
entre deux solides ou classe d’équivalence par l’intermédiaire
d’une où plusieurs surfaces de contact, et autorisant un
nombre défini de degrés de liberté (mouvements) de l’un par
rapport à l’autre. Il y a au total 10 liaisons élémentaires
autorisant des mouvements relatifs
M Salette- Lycée Brizeux- Quimper
Une liaison autorisant 6 degrés de liberté est appelée liaison
x
libre.
Une liaison n’autorisant aucun degré de liberté est appelée
liaison encastrement ou liaison fixe.
Une liaison élémentaire est caractérisée par un ou plusieurs éléments
géométriques associés : direction, centre, normale, axe (voir
annexe).
z
TX
y
RX
y
2
x
Torseurs associés à une liaison élémentaire :
On suppose que les liaisons entre solides sont parfaites, c'est-àdire que :
les surfaces en contact sont géométriquement parfaites
il n’y a pas de frottement
le contact est supposé bilatéral
Chaque liaison élémentaire autorise un comportement mécanique de
l’un des solides par rapport à l’autre. Des torseurs traduisent ce
comportement :
: C10 Chaines de solides.docCréé le 27/09/2012 –
1
A
Page 1 sur 12
z
Ω ( S / R ) 
• Le torseur cinématique : {V ( S / R ) }= 

(ou torseur des vitesses permises)
V


A  ( A,S / R ) 
On utilise de manière conventionnelle la lettre
{V
(S / R)
}
(vitesse) pour désigner un torseur
cinématique
Ω ( S / R ) est la vitesse angulaire( exprimée en rad/s), qui sera la même en tout point du solide
V( A, S / R ) est la vitesse linéaire( exprimée en m/s), qui sera fonction de la position du point du solide
Les éléments de réduction par projection dans une base particulière font apparaître nc paramètres
(ou inconnues) cinématiques. Ce nombre correspond aux degrés de liberté (ddl) de la liaison.
 R( S → R ) 
•
Le torseur « statique » : {τ ( S → R ) }= 

(ou torseur des actions transmissibles)
M

( A,S → R ) 

A
Désigné de manière conventionnelle avec la lettre τ (pour torseur…)
Les éléments de réduction par projection dans une base particulière font apparaître ns paramètres
(ou inconnues) statiques. Ce nombre correspond aux degrés de liberté supprimés de la liaison.
Il existe une relation particulière entre ces deux nombres : nc + ns = 6.
2- Graphe de structure (ou graphe des liaisons)
Graphe où les classes d’équivalence sont représentées par des
cercles et les liaisons par des arcs (ou des segments) joignant les
cercles.
Suivant la représentation obtenue, on pourra distinguer :
- des chaînes ouvertes continues de solides
- des chaînes fermées simples de solides
- des chaînes fermées complexes de solides.
L2
1
0
L4
L5
L6
L3
L7
5
3
2
L8
L9
4
Exemple de chaîne ouverte continue : Robot Ericc 3
Bras 2
Avant-bras 3
Graphe de structure :
L3
Poignet 4
2
Pince 5
Chaise 1
3
L4
L2
4
L5
1
Socle 0
L1
0
5
Ici, les liaisons Li sont toutes des liaisons pivots
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Exemple de chaîne fermée simple: Vérin électrique
Ecrou -tige 3
L2
3
Arbre vis 2
2
L1
Bâti 1
L3
1
Exemple de chaîne fermée complexe: Positionneur 6 axes
Table 3
3
Tige de
vérin 2i
21
22
23
24
25
26
11
12
13
14
15
16
0
Embase 0
Corps de
vérin 2i
Liaisons 0/1i et 3/2i : liaisons sphériques
Liaisons 1i/2i : liaisons pivot glissant
On appelle N le nombre de solides et L le nombre de liaisons intervenant dans la chaîne.
On remarque que :
- pour une chaîne ouverte continue : L = N – 1
- pour une chaîne fermée simple :
L=N
- pour une chaîne fermée complexe : L > N .
Nombre cyclomatique :
On remarque que sur les chaînes fermées complexes, il est possible d’écrire plusieurs fermetures
cinématiques. On appelle γ le nombre de cycles strictement nécessaires pour prendre en compte
toutes les inconnues cinématiques. Ce nombre est défini par la relation :
γ=L–N+1
3- Liaisons équivalentes
Dans un graphe de structure, il est possible de remplacer un sous-ensemble de liaisons liant deux ou
plusieurs pièces par une seule liaison entre deux solides, équivalente du point de vue cinématique et
statique (si on se place dans le cas des liaisons parfaites).
On distingue deux cas :
- les liaisons en parallèle
- les liaisons en série.
Pour déterminer une liaison équivalente, on peut rechercher soit le torseur statique équivalent, soit le
torseur cinématique équivalent. On parle dans le 1er cas de méthode statique, dans le 2ème de
méthode cinématique.
Page 3 sur 12
3-1 Liaisons en parallèle:
Action
extérieure
L1
On considère une portion de graphe liant deux solides 1 et
2 par l’intermédiaire de trois liaisons.
L2
2
1
On cherche à déterminer la liaison équivalente, qui
pourrait être une liaison élémentaire.
L3
Action
extérieure
Léq
2
1
Méthode statique :
Le solide 2 est soumis à une action extérieure autre que celles dues aux liaisons :
On note :
{τ } = {τ
1
(1 → 2 )
L1
}, {τ } = {τ
2
(1 → 2 )
L2
}, {τ } = {τ
3
(1 → 2 )
L3
{τ
( ex → 2 )
} et {τ } = {τ
équ
}.
(1 → 2 )
Léqu
}.
On applique le PFS au solide 2. En considérant les trois liaisons, on obtient :
{τ } + {τ } + {τ } + {τ
1
2
3
} = {0}
( ex → 2 )
{τ }+ {τ
Par substitution, on obtient : {τ } + {τ } + {τ } = {τ }.
En considérant la liaison équivalente, on obtient :
1
2
3
équ
} = {0}
( ex → 2 )
équ
Attention, pour faire cette somme de torseur, il faudra tous les exprimer en un même point.
D’une manière générale, le torseur statique d’une liaison équivalente à n liaisons en parallèle
{τ } = ∑ {τ }
n
s’exprime par :
équ
i
(1)
i =1
Méthode cinématique :
On note :
{V } = {V
1
( 2 / 1)
L1
}, {V } = {V
2
( 2 / 1)
L2
}, {V } = {V
3
( 2 / 1)
L3
} et {V } = {V
équ
( 2 / 1)
Léqu
}
Le comportement cinématique du solide 2 par rapport à 1, est induit par la liaison L1, mais aussi L2 et
L3 et également par la liaison équivalente.
On traduit cela par l’égalité de tous les torseurs entre eux.
{V } = {V } = {V } = {V }
équ
1
2
3
D’une manière générale, le torseur cinématique d’une liaison équivalente à n liaisons en parallèle
s’exprime par :
{V } = {V } = ... = {V } = ... = {V }
équ
1
i
n
Conclusion : Dans le cas des liaisons en parallèle, on privilégiera la méthode statique.
On aura intérêt à rechercher si les ensembles de points conservant pour chaque torseur sa forme
particulière ont une zone commune. On écrira alors les éléments de réduction des torseurs en
un point de cette zone commune.
Mobilité :
On appelle « m », le degré de mobilité de la liaison équivalente aux n liaisons en parallèle. Il est égal
à 6 (nombre maximum de degrés de liberté) moins le nombre d’équations statiques indépendantes :
m = 6 - rs
Si m = 0, la liaison équivalente est une liaison encastrement ou fixe.
Si m > 0, la liaison est dite mobile à m degrés de libertés.
Hyperstatisme :
Si on appelle nsi le nombre d’inconnues statiques introduites par la liaison « i », alors le nombre total
d’inconnues statiques mise en oeuvre par la liaison équivalente Ns vaut : Ns =
n
∑ ns
i
.
i =1
Page 4 sur 12
En appliquant la relation (1), on fait apparaître un nombre d’équations scalaires statiques
indépendantes noté « rs » au plus égal à 6.
On appelle « h », le degré d’hyperstatisme de la liaison équivalente aux n liaisons en parallèle, le
nombre total d’inconnues statiques moins le nombre d’équations statiques indépendantes :
h = Ns – rs
Remarque : pour l’étude des liaisons en parallèle, rs = nseq nombre d’inconnues statiques
indépendantes que l’on a dans le torseur statique de la liaison équivalente
Si h = 0, la liaison est dite isostatique.
Si h > 0, la liaison est dite hyperstatique d’ordre h.
Exemple de réalisation de liaison hyperstatique : guidage d’un vilebrequin de moteur thermique à 4
cylindres : la liaison pivot est réalisée par 5 portées cylindrique correspondant chacune à une liaison
pivot.
On a donc un hyperstatisme h = 20, nécessaire ici pour avoir un guidage rigide du vilebrequin, mais
qui impose des contraintes de précision d’usinage au niveau des pièces participant au guidage.
Autre exemple de liaison
hyperstatique
guidage par
paliers lisses
L1
3-2 Liaisons en série:
Action
extérieure
2
Léq
Méthode statique :
Le solide 3 est soumis à une action extérieure autre que
{τ
3
1
On considère une portion de graphe liant trois solides 1, 2 et
3 par l’intermédiaire de deux liaisons.
On cherche à déterminer la liaison équivalente, qui pourrait
être une liaison élémentaire.
celles dues aux liaisons :
On note :
L2
1
Action
extérieure
3
}.
( ex → 3 )
{τ } = {τ
}.
On applique le PFS au solide 3.on obtient : {τ } + {τ
} = {0}
On applique le PFS au système (2+3). on obtient : {τ } + {τ
} = {0}
{τ } = {τ
1
}, {τ } = {τ
(1 → 2 )
2
},
( 2 → 3)
et
(1 → 3 )
équ
2
Léqu
( ex → 3 )
( ex → 3 )
1
On applique le PFS au solide 3 en considérant la liaison équivalente, on obtient :
{τ } + {τ
équ
} = {0}
( ex → 3 )
{τ } {τ } {τ }
1 =
2 =
équ .
Par substitution, ces trois relations donnent :
D’une manière générale, le torseur statique d’une liaison équivalente à n liaisons en série s’exprime
par :
{τ } = {τ } = ... = {τ } = ... = {τ }
équ
1
i
n
(2)
Méthode cinématique :
On note :
{V } = {V
1
( 2 / 1)
L1
}, {V } = {V
2
(3 / 2)
L2
} et {V } = {V
équ
( 3 / 1)
Léqu
}
Page 5 sur 12
Le comportement cinématique du solide 3 par rapport à 1, est induit par la liaison L1, mais aussi L2 et
L3 et également par la liaison équivalente.
La composition de mouvements de 3 par rapport à 1 s’exprime par la composition des torseurs
cinématiques :
{V } = {V } + {V }
équ
1
2
D’une manière générale, le torseur cinématique d’une liaison équivalente à n liaisons en série
s’exprime par :
{V } = ∑ {V i}
n
équ
i =1
Conclusion : Dans le cas des liaisons en série, on privilégiera la méthode cinématique.
On aura intérêt à rechercher si les ensembles de points conservant pour chaque torseur sa forme
particulière ont une zone commune. On écrira alors les éléments de réduction des torseurs en
un point de cette zone commune.
Hyperstatisme :
{τ }
La relation (2) permet de déterminer toutes les composantes des torseurs i . Par conséquent, une
liaison équivalente à des liaisons en série est toujours isostatique.
Mobilité :
On appelle nci le nombre d’inconnues cinématiques introduites par la liaison Li. Alors le nombre total
n
d’inconnues cinématiques de la liaison équivalente Nc vaut :
Nc =
∑
nci
i=1
On appelle « m », le degré de mobilité cinématique de la chaîne continue ouverte constituée des n
liaisons en série. Il est égal au nombre total d’inconnues cinématiques : m = Nc
On appelle « mu », le degré de mobilité de la liaison équivalente :
mu = ncéqu.
Ces deux mobilités ne sont pas systématiquement égales. En effet m peut être supérieure à mu.
On définit alors la mobilité interne « mi » telle que :
m = mu + mi
Cette mobilité peut se déterminer en supposant les deux solides
terminaux de la chaîne ouverte immobile l’un par rapport à
l’autre et en observant les mouvements internes possibles.
3
1
Exemple de liaisons en série : paumelle de porte
2
4- Chaînes fermées simples
En reliant les deux solides extrêmes d’une chaîne continue ouverte, on obtient une chaîne fermée
simple. Une chaîne fermée simple possède autant de solides que de liaisons.
On définit ci-dessous les relations caractéristiques d’un tel type de chaîne en considérant ensuite
l’exemple d’un vérin électrique.
Etude statique et hyperstatisme :
Une chaîne de n solides liés par n liaisons permet d’appliquer (n-1) fois le PFS. L’un des solides étant
fixe ne peut être isolé. Il résulte de ces (n-1) isolements un certain nombre d’équations statiques
indépendantes. On notera « rs » le nombre d’équations statiques indépendantes et « Ns » le nombre
total d’inconnues statiques.
On appelle h le degré d’hyperstatisme d’une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le
nombre total d’inconnues statiques Ns et le nombre de relations statiques indépendantes les liant rs :
h = Ns – rs
Page 6 sur 12
Etude cinématique et mobilité:
Une chaîne de n solides liés par n liaisons permet d’appliquer une fois la composition de mouvement
en écrivant la fermeture des torseurs cinématiques. On obtient alors un système d’au plus 6
équations cinématiques indépendantes. On notera « rc » le nombre d’équations cinématiques
indépendantes et « Nc » le nombre total d’inconnues cinématiques.
On appelle m le degré de mobilité d’une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le
nombre total d’inconnues cinématiques Nc et le nombre de relations cinématiques indépendantes les
liant rc:
m = Nc - rc
Cette mobilité se décompose en mobilité utile (loi E/S) « mu » et mobilité interne « mi » avec :
m = mu + mi
Problème : si la détermination de rc est en général aisée, celle de rs est souvent longue et
fastidieuse. D’où une certaine difficulté à déterminer le degré d’hyperstatisme d’une chaîne fermée
simple.
Par analogie avec les chaînes ouvertes, on démontre que la mobilité peut aussi s’exprimer par la
relation suivante :
m = 6(n-1) – rs
En utilisant la relation remarquable nci + nsi = 6, on peut exprimer le degré d’hyperstatisme plus
simplement :
n
On peut écrire :
Nc + Ns =
∑
i=1
n
nci +
∑
nsi = 6n
i=1
rs = 6 (n-1) – m = (Nc + Ns) - 6 - m
h = Ns – rs = Ns – ( (Nc + Ns) – 6 – m )
De plus :
D’où :
Ce qui nous donne la relation finale suivante : h = m + 6 – Nc
Exemple de chaîne fermée simple: Vérin électrique
{τ ( E → 2)}
Ecrou -tige 3
L2
3
2
Arbre vis 2
y
x
L1
O
z
{τ ( E → 3)}
L3
1
Bâti 1
On définit les torseurs statiques et cinématiques par leurs éléments de réductions en O.
r
r
r
 X 12 x + Y12 y + Z12 z 
{τ (1 → 2 )}=  r
r

M 12 y + N12 z

O
r
r
r
 X x + Y y + Z 32 z

{τ ( 3 → 2 )}=  32 r 32
r
r
− pX 32 x + M 12 y + N12 z 
O
r
r
Y13 y + Z13 z

{τ (1 → 3)}=  r
r
r
L x + M 13 y + N13 z 
O  13
r
α 21 x 
{V ( 2 / 1)}=  
0 
O
r
α 32 x 
{V ( 3 / 2 )}= 
r
pα 32 x 
O
r
0 
{V ( 3 / 1)}=  r 
u x
O  31 
On considère que cet ensemble matériel est en équilibre sous l’action de deux torseurs extérieurs :
r
r
r
 Xex + Yey + Zez 
{τ ( E → 2 )}=  r
r
r
Lex + Mey + Nez 
O
: C10 Chaines de solides.doc-
Créé le 27/09/2012 –
et
r
r
r
 Xe' x + Ye' y + Ze' z 
{τ ( E → 3)}=  r
r
r
Le' x + Me' y + Ne' z 
O
Page 7 sur 12
Etude statique :
On applique le PFS à l’arbre vis 2 :
{τ
{τ
} + {τ
} + {τ
( E → 2)
} + {τ
} − {τ
(1 → 2 )
} = {0}
} = {0}
(3 → 2)
Puis, on applique le PFS à l’écrou tige 3 :
( E → 3)
(1 → 3 )
( 2 → 3)
 X12 + X 32 + Xe = 0
−X32 + Xe'= 0 → (b)


Y12 + Y32 + Ye = 0
Y13 − Y32 + Ye'= 0
Z12 + Z 32 + Ze = 0
 Z13 − Z 32 + Ze'= 0
On obtient au total 12 équations:


− pX32 + Le = 0 → (a)
 pX32 + L13 + Le'= 0
M + M + Me = 0
 M − M + Me'= 0
12
32
13
32


N12 + N 32 + Ne = 0
 N13 − N 32 + Ne'= 0
On remarque que l’équilibre de l’ensemble ne peut avoir lieu que si les composantes Xe' et Le
sont liées (relation imposée par (a) et (b)).
Au total, on obtient donc 11 équations indépendantes (sur un total initial de 12) liant 15 inconnues
statiques.
Le degré d’hyperstatisme vaut donc :
h = Ns – rs = 15 – 11 = 4
 X12 + X32 + Xe = 0

Y12 + Y32 + Ye = 0
 Z12 + Z 32 + Ze = 0

− pX32 + Le = 0 ⇔ −X32 + Xe'= 0 avec Le = − pXe'
 M12 + M 32 + Me = 0

 N12 + N 32 + Ne = 0
Y − Y + Ye'= 0
 13 32
 Z13 − Z 32 + Ze'= 0
 pX + L + Le'= 0
 32 13
 M13 − M 32 + Me'= 0
 N − N + Ne'= 0
 13
32
Etude cinématique :
On exprime la fermeture cinématique ::
{V
} + {V
(3 / 2)
} + {V
( 2 / 1)
} = {0}
(1 / 3 )
α 32 + α 21 = 0

 pα 32 + u13 = 0
Le degré de mobilité vaut donc : m = Nc – rc = 3 – 2 = 1 (avec mu = 1 et mi = 0)
On peut retrouver la valeur de h en utilisant la relation : h = m + 6 – Nc = 1 + 6 – 3 = 4.
On obtient alors deux équations scalaires indépendantes :
5- Chaînes fermées complexes
Une chaîne fermée complexe possède un nombre de liaisons supérieur au nombre de solides.
L’étude d’une chaîne complexe reprend la même démarche que celle d’une chaîne simple. Mais la
présence de plusieurs cycles amène à des relations prenant en compte le nombre cyclomatique.
Etude statique et hyperstatisme :
Une chaîne de n solides liés par l liaisons permet d’appliquer (n-1) fois le PFS. L’un des solides étant
fixe ne peut être isolé. Il résulte de ces (n-1) isolements un certain nombre d’équations statiques
indépendantes. Ces équations font intervenir au total Ns inconnues statiques.
On notera « rs » le nombre d’équations statiques indépendantes et « Ns » le nombre total
d’inconnues statiques.
On appelle h le degré d’hyperstatisme d’une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le
nombre total d’inconnues statiques Ns et le nombre de relations statiques indépendantes les liant rs :
h = Ns - rs
Page 8 sur 12
Etude cinématique et mobilité:
Une chaîne de n solides liés par l liaisons permet d’écrire plusieurs fermetures cinématiques, en
l’occurrence γ fermetures On obtient alors un système d’au plus 6γ équations cinématiques
indépendantes. Ces équations font intervenir au total Nc inconnues cinématiques.
On notera « rc » le nombre d’équations cinématiques indépendantes et « Nc » le nombre total
d’inconnues cinématiques.
On appelle m le degré de mobilité d’une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le
nombre total d’inconnues cinématiques Nc et le nombre de relations cinématiques indépendantes les
liant rc:
m = Nc - rc
Problème : si la détermination de rc est en général aisée, celle de rs est souvent longue et
fastidieuse. D’où une certaine difficulté à déterminer le degré d’hyperstatisme d’une chaîne fermée
simple.
Par analogie avec les chaînes ouvertes, on démontre que la mobilité peut aussi s’exprimer par la
relation suivante :
m = 6(n-1) – rs
En utilisant la relation remarquable nci + nsi = 6, on peut exprimer le degré d’hyperstatisme plus
simplement :
n
On peut écrire :
Nc + Ns =
∑
n
nci +
i=1
De plus :
D’où :
∑
nsi = 6 l
i=1
rs = 6 (n-1) – m = 6 (l - γ) – m = (Nc + Ns) - 6γγ - m
h = Ns – rs = Ns – ( (Nc + Ns) – 6γγ – m )
Ce qui nous donne la relation finale suivante :
h = m + 6γγ - Nc
Dans le cas d’un problème plan, cette relation devient :
h = m + 3γγ - Nc
TABLEAU DES LIAISONS
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Page 10 sur 12
Page 11 sur 12
Ce qu’il faut retenir :
Il y aura 2 sortes de problèmes à traiter :
Recherche de la liaison équivalente à l’association de liaisons en série ou en parallèles
Recherche de la mobilité et de l’hyperstatisme d’un mécanisme.
Penser à chercher la zone commune pour exprimer les torseurs
Les relations à utiliser devront correspondre à l’étude à mener :
Liaison équivalente : liaisons en parallèle
On cherche la liaison équivalente à l’association de liaisons en parallèle.
L’association de liaison en parallèle est généralement hyperstatique
{τ } + {τ } + {τ } = {τ }
1
2
3
NS = Σ nsi
équ
h = NS – rs = NS – nseq
{τ }
rs correspond au nombre de composantes indépendantes du équ
nseq correspond aux nombres d’inconnues statiques de la liaison équivalente
{V } = {V } = {V } = {V }
équ
1
2
m= 6 - nseq
3
Liaison équivalente : liaisons en série
On cherche la liaison équivalente à l’association de liaisons en série.
Cette association ne peut pas créer d’hyperstatisme, elle va augmenter la mobilité
{τ } = {τ } = {τ }
1
2
NC = Σ nCi
équ
{V } = {V } + {V }
équ
1
m = NC
mu = nCequ
m = mu + mi
2
Mécanisme à chaîne fermée simple
On cherche à déterminer les mobilités et l’hyperstatisme d’un mécanisme
• NS nombre d’inconnues statiques
• rs nombre d’équations obtenues en appliquant (n-1) fois le PFS
h = N S – rs
m = N C - rc
rc est le nombre d’équations cinématiques indépendantes
et m = mu + mi
Il est difficile de déterminer rc et rs. On va généralement essayer de trouver la mobilité m du
mécanisme en cherchant les mouvements indépendants possibles. On en déduit l’hyperstatisme
avec la relation :
h = m + 6 - Nc
Mécanisme à chaîne fermée complexe
On cherche à déterminer les mobilités et l’hyperstatisme d’un mécanisme
h = N S – rs
m = N C - rc
rc est le nombre d’équations cinématiques indépendantes
et
m = mu + mi
Il est difficile de déterminer rc et rs. On va généralement essayer de trouver la mobilité m du
mécanisme en cherchant les mouvements indépendants possibles. On en déduit l’hyperstatisme
avec la relation :
h = m + 6.γγ - Nc
avec γ = L – N + 1
L nombre de liaison
N nombre de pièces
Cas du problème plan :
On ne prend plus en compte que 3 composantes dans les torseurs, et on a alors
h = m + 3.γγ - Nc
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Cours sur les chaines de solides

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