FORMULAIRE Dans les coordonnées sphériques : grad f =ˆe ∂f ∂r

FORMULAIRE Dans les coordonnées sphériques : grad f =ˆe ∂f ∂r

FORMULAIRE
Dans les coordonnées sphériques :
~ f = ~ˆer · ∂f + ~ˆeΘ · 1 · ∂f + ~ˆeφ · 1 ∂f
grad
∂r
r ∂Θ
r sin Θ ∂φ

∂f
∂r




1 ∂f
r ∂Θ




=
1
r sin Θ
·
∂f
∂φ
(1)
Dans les coordonnées cylindriques :
~ f = ~ˆeρ · ∂f + ~ˆeφ · 1 · ∂f + ~ˆez · ∂f
grad
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
=
 ∂f
∂ρ

 1 ∂f
 ρ ∂φ

∂f
∂z





(2)
En coordonnées sphériques :
~ Θ, φ) =
divA(r,
r2
1
∂
∂
∂
[ (r2 sin Θ · Ar ) +
(r · sin Θ · AΘ ) +
(r · Aφ )]
sin Θ ∂r
∂Θ
∂φ
(3)
En coordonnées cylindriques :
~ φ, z) = 1 [ ∂ (ρAρ ) + ∂ (Aφ ) + ∂ (ρAz )]
divA(ρ,
ρ ∂ρ
∂φ
∂z
(4)
Dans les coordonnées sphériques :
"
~=
~ A
rot
#
∂
∂
1
(r · sin Θ · Aφ ) −
(r · AΘ ) · ~eˆr
2
r sin Θ ∂Θ
∂φ
"
#
1
∂
∂
+
(Ar ) − (r · sin Θ · Aφ ) · ~ˆeΘ
r · sin Θ ∂φ
∂r
"
#
1 ∂
∂
+
(r · AΘ ) −
(Ar ) · ~ˆeφ
r ∂r
∂Θ
(5)
Dans les coordonnées cylindriques :
"
#
~ = 1 ∂ (Az ) − ∂ (ρAφ ) · ~ˆeρ
~ A
rot
ρ ∂φ
∂z
"
#
∂
∂
+
(Aρ ) − (Az ) · ~ˆeφ
∂z
∂ρ
"
#
1 ∂
∂
+
(ρAφ ) −
(Aρ ) · ~ˆez
ρ ∂ρ
∂φ
1
(6)
Dans les coordonnées sphériques :
"
∂
∂f
1
r2 sin Θ
∆f = 2
r sin Θ ∂r
∂r
!
!
∂
∂f
∂
+
sin Θ
+
∂Θ
∂Θ
∂φ
1 ∂f
sin Θ ∂φ
!#
(7)
En coordonnées cylindriques :
"
1 ∂
∂f
∆f =
ρ
ρ ∂ρ
∂ρ
!
!
∂
+
∂φ
1 ∂f
∂
∂f
+
ρ
ρ ∂φ
∂z
∂z
!#
(8)
En coordonnées sphériques :
d~r = dr · ~ˆer + r · dΘ · ~ˆeΘ + r · sin Θ · dφ · ~ˆeφ

dr




rdΘ




=

dr







(9)
=  drΘ 
drφ
r sin Θ dφ
d~s = r2 sin Θ dΘ dφ · ~ˆer + r sin Θ dφ dr · ~ˆeΘ + r dr dΘ · ~ˆeφ
=

 2
r sin Θ dΘ dφ




 r sin Θ dφ dr 



dsr







=  dsΘ 
(10)
dsφ
r dr dΘ
En coordonnées cylindriques :
d~r = dρ~ˆeρ + ρdφ · ~ˆeφ + dz~ˆez
dρ
drρ















=
 ρdφ  =  drφ 
(11)
drz
dz
d~s = ρ dφ dz · ~ˆeρ + dz dρ ~ˆeφ + ρ dρ dφ · ~ˆez

ρ dφ dz
dsρ














=
 dz dρ  =  dsφ 
ρ dρ dφ
dsz
~
~ = grad(div
~ − ∆A
~
~ rot
~ A)
rot(
A)
2
(12)
(13)