Mecanique Appliquee

Chapitre 11 - COBTCBATMTES ET DEFOLIATIONS PRODUITES
PM LE MOM3HT DE TORSION
A ** £LagUJ^,JE?^
11.1 Foi^ules générales
11.1.1 Intrody-ctioia
Les composantes du torseur de gaache se réduisent tiniquement au
moment de torsion Ht
Le modèle de Irorsion pure est un arbre sollicité à ses deux 0xtré~*
mités par deux couples directe rient opposés dont lraxe est parallèle
à l$axe de la barre*
Les équations d*équilibre statique (voir §6.4) sont :
fi^d»*© d\
fx^r^as-o
i^i
/ i v e ^ c d i a ^ o \^\
J^^cf^dis^o
{s|
v£*i>cls*.o is\
{ ^t^^Cac^yeu^g^oiô»
11.1.2 Tableau des contraintes
Les équations (l) et (2) sont vérifiées si : X* —X^ <=sr O
ljéquation (3) conduit à ^3 = 0 ; les équations (4) et (5) à : €^:O
et" <QT = 0 (voir discussion du § 8,1.^)
L1équation (6) donne après calculs, la rotation par unité de longueur :
EE5LOn en déduit la valeur des contraintes tangentielles ^ et ^^
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En définitive le tableau des contraintes est :
r°e ° **i
o & z4
I * *-< °)
Les axes x, y, z ne sont pas les ares principaux. Leur recherche
a été faite au § 11,4.3
11-1.3 Déformation élémentaire
1 - Déformation d*un prisme élémentaire
Elle se réduit § une rotation ^ds autour de lfaxe du
cylindre (foimtle 1)
2 - Déformation au Tpisina^e d$un pojlnt
Elle se compose dfuh glissement ï£.o ^ —
**»*
fsf
qui transforma un petit rectangle en parallélogramme (roir figure)
11.2 A^g34jgat3.Mjaf
11*2.1 CrJ.eul.des, arbres de transmission à la torsion
Le calcul se fait uniquement à la torsion lorsque Ifécart0ïient
entre les paliers est réduit*
Nous disposons de deux formules : une formule de résistance, une
formule de déformation.
Soit : JMt
rr ^ ^h O ^ M t>
5
CT.TIË*
^«
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t,^a-*
5&
~3 Le problème comprend cinq variables :
- 2 de fonctionnement
W^ {***
- 2 de constitution
- 1 de construction
&? # ^Q
cà
II y a donc 3 variables indépendantes* Dans les problèmes de construction, on connaît le couple à transmettre, soit !%
D*autre part, pcor les aciers9 & est pratiquement égal à
8000 kgf/moa2.
Donc en définitive, il ne nous reste plus que le choix d*une autre
variable• Selon le mode de calcul adopté on peut soit ;
1°) se fixer la contrainte aduiissible Rg * Par exemple :
f\
2 kgf/mm
transmission longue j couple irréguliar
p
4 kgf/mm
transmission courte ; couple à peu près cons~
tant.
2° ) se fixer la déformation €3 . Par exemple dans les mêmes
conditions que précédemment : 2/3 o/m ou 1/4 o/m
3°) s1imposer la plus désavantageuse des conditions 1 et 2.
1.2,2 Ca3eu 1 des ressorts ,de:.Jrprsion
Nous étudierons le ressort constitué par un fil enroulé sur tin
cylindre suivant une hélice.
1/ Calcul des contr^j^te^ i
Les composantes du torseur de gauche
dans une section G sont :
1 ~^' ZS—'R COÔ4V
l **-*
\ Hç'- H^^n^
S H^/ rr RR, emoe
X H^' s -PiR .CO&oc
En général I1 angle d1inclinaison de
l1hélice est faible et l*on peut
considérer uniquement lf effet de
T et Mj.
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- 4 -•
Les composantes ±i torpeur d» gauche développent dans la section
droite des contraintes tangentielles qui se combinant géométriquement»
On constate sur la figure que les
points les plus chargea s'o;^t les points
a, intérieurs du ressort» La oission
a pour valeur :
^ * ee _ 4L^E»
TLsL?
ie
3 ni*
A
c ^ Ê a f i + i en
t^3<>
^> R ^
16
Le deuxième terme de la parenthèse représente l1influence da l'effort tranchant.
Il dépend du rapport d/R ; or pour les
ressorts usuels R/d « 2,5 à 5 on peut
négliger cette influence*
La formule de résistance utilisée est
donc généralement :
_
Rgî=
PR
/
-nd^
~TT
2/ Calcul de la flèche
Sous Inaction du couple de torsion deux
sections infiniment voisines tournent
lfune par rapport a lfautre d!1 angle
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do*' »
Le brin primitivement an Gc vient en
Gc*.
A la déformation angulaire dof
correspond la déformation linéaire df
sur lîaxe
df = R d«*r
SB R © t ds
- 5d'où la flèche totale pour n spires de longueur assimilable à 2n E
F = 8 Rx 2nR n
Or
£3
V
PR
'« «**—w»
4
•nd
G
12
soit
3
\C
PD
n
Ir » 8
.-..•..
..........
4
I
Gà
On appelle ;
f /P la H^Milii du ressort (m^/kgf )
P/F = k la S^âit£f la constante d^élaaticité du ressort (kgf/nsa)
3/ fi^^îl(>Kâ⧫Z§§?iîE£§.
LJexamen des formules de résistance et de déformation
mèntre qufil y a 7 variables, dont 5 sont indépendantes et peuvent être
choisies arbitrairement* En général, on se fixe :
a) la charge P et la flèche P ; on conserve la
charge et la flexibilité *
b) le métal c^est-à-dire Rg et & » En particulier
cette résistance dépend du diamètre du fil et de
la fréquence des vibrations
c) le rayon moyen d* enroulement S ou le rapport R/d»
Par exenofile :
R/d » 2 à 3
ressort dxir
3 a4
ressort semi-souple
4 à5
ressort souple
On peut alors calculer le diamètre du fil et le nombre de spires*
J^S^SBi, * ^ existe une règle à calcul permettant de déterminer rapidement les caractéristiques des ressorts à boudin cylindriques à pas
constant ~ (Système J. GUSRENBOURG)
^ *• Ssss^^â^-^ESîs^M-ââ^^ssSsES-^^
(Voir Elasticité)
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