Licence 2 Mathématiques- Semestre 3 Introduction aux

Transcription

Licence 2 Mathématiques- Semestre
3
Introduction aux mathématiques
financières
Année universitaire 2010-111
Version Septembre 2010
1
Responsable du cours: Marie-Amélie Morlais
2
0.1
Plan sommaire du cours
Les objectifs de ce cours sont d’une part de présenter le vocabulaire
propre au domaine des Mathématiques financières (et d’apporter ainsi une
ouverture sur les secteurs de la banque et de l’assurance en général) et
d’autre part de fournir quelques méthodes simples de modélisation mathématique
de problèmes financiers concrets (tels que par exemple : le calcul de l’échéancier
d’un prêt, les différents types de calcul d’intérêts et de taux d’intérêt, les
méthodes de valorisation de titres financiers). Globalement il s’agit de comprendre les mécanismes de base régissant les échanges financiers (on insistera
sur l’importance des taux d’intérêt, de la valorisation)
(I) Langage propre aux Mathématiques financières
(II) Les taux d’intérêts
Quelques exemples : de quoi parle t’on ? exemples : taux du marché,
taux réel (déduit l’inflation) TEG,...
• taux d’intérêts pré et post comptés,
• taux simples et composés,
(III) Notion d’actualisation/ capitalisation et remboursement :
• Remboursement de prêt : calcul d’échéanciers,
• Actualisation : notion particulière de la VAN du TRI (mise en oeuvre
de simulations numériques) flux financiers et échéancier de prêt
(IV) Autour de la valorisation des obligations et des courbes de taux d’intérêt
Chapitre 1
Chapitre introductif
1.1
Vocabulaire des marchés financiers
Le Marché Financier est le marché sur lequel s’échangent les valeurs
mobilières telles que les actions, les obligations et titres dérivés : produits
spéculatifs qui sont basés sur l’évolution d’un sous jacent en général une
action, un taux d’intérêt, ce sont généralement des contrats à terme des
swaps ou produits d’échange. On donne quelques définitions utiles pour la
suite de ce cours :
1. Un titre financier est un contrat où les deux parties (acheteur et
vendeur) s’échangent des flux d’argent.
2. Un marché financier est le lieu d’achat et/ou de vente des titres
financiers. Par ailleurs, sur ce type de marché, les opérateurs sont autorisés à vendre à découvert (ce qu’on appelle “short selling”). On
distingue le marché primaire (lieu d’émission des titres financiers :
par les états : emetteurs notamment d’obligations, les sociétes) et le
marché secondaire (marché où les banques notamment s’échangent les
titres).
Les plus gros volumes échangés concernent les produits hautement
spéculatifs et les principaux acteurs sont les banques centrales, les
banques d’investissement, les sociétés (dans une moindre mesure et
souvent par l’intermédiaire de placement dans des banques les particuliers).
3. La valeur d’un titre financier est un montant (positif ou négatif)
représentant l’enrichissement ou l’appauvrissement des flux futurs :
la valeur d’un titre n’a aucune raison d’être unique (il existe plusieurs
méthodes de valorisation : principe d’actualisation qui repose forte3
4
CHAPITRE 1. CHAPITRE INTRODUCTIF
ment sur la connaissance des taux du marché). La valeur d’une action
est celle de sa cotation en bourse.
4. Le prix d’un titre est le montant convenu entre les deux parties en
échange du titre : le plus souvent c’est l’acheteur qui paie le titre mais
il arrive que le vendeur doive payer pour un titre qui lui causera des
pertes. Attention : le prix n’est pas nécessairement égal à la valeur
(car les deux parties n’ont pas nécessairement la même anticipation de
l’avenir).
1.2
Les produits financiers
Parmi les produits financiers les plus courants, on compte :
Les actions, les obligations, les contrats à terme et les produits conditionnels
(warrants,bons et options)
1.2.1
Les actions
Définition 1.1 Une action est un titre de propriété représentant une fraction du capital d’une entreprise et donnant à son porteur le droit de vote
aux assemblées, le droit d’information ainsi qu’aux bénéfices (dividende)
En voici quelques exemples :
l’action classique : ce titre s’acquiert contre de l’argent soit à la création de
l’entreprise soit lors d’augmentation du capital (directement sur le marché
boursier).
l’action privilégiée elle offre un privilège (par exemple un priorité lors des
votes aux assemblées ou lors de la ditribution des dividendes).
L’action à dividende prioritaire : Elle offre à son détenteur un rendement plus élevé que l’action classique en assurant que si le profit est positif,
le dividende versé ne doit pas être en deça d’une fraction donnée de la valeur
nominale.
Certificats d’investissements : Action sans droit de vote.
1.2.2
Les obligations
Définition 1.2
Les obligations sont des titres de créance représentatifs de dettes : l’obligation donne droit au paiement d’un intérêt en général annuel et au remboursement du capital.
1.2. LES PRODUITS FINANCIERS
5
Le détenteur perçoit un revenu connu à l’avance ou dont la révision se réalise
dans les conditions prévues au moment de l’émission. En cas de faillite, le
détenteur d’une créance est toujours prioritaire à l’actionnaire. Les obligations peuvent être émises par les entreprises privées ou publiques ainsi que
par l’état et les administrations.
Vocabulaire
La valeur nominale d’une obligation est celle qui sert de base au calcul de
l’intérêt annuel (cet intérêt est appelé coupon et une obligation ne versant
pas d’intérêt est appelée zéro coupon). Le coupon est calculé ainsi :
C = (Taux facial) × (valeur nominale)
avec le taux facial fixé lors de l’émission. Lorsque le prix d’émission est
égal à la valeur nominale on parle de remboursement au pair. Mais l’obligation peut être émise soit en dessous (cas le plus fréquent) soit au dessus
du nominal et dans ce cas, la différence entre les deux s’appelle la prime de
remboursement.
Remarque : le taux facial et le nominal sont fixés une fois pour toute lors de
l’émission de l’obligation donc le coupon est également fixe. La possibilité de
verser des primes d’émission et/ou de remboursement permet à l’émetteur
de prendre en compte une évolution du taux du marché (par exemple, il peut
demander un prix inférieur à la valeur nominale s’il espère pouvoir réaliser
avant la date de remboursement une plus value).
L’annuité est le flux total versé chaque année par l’émetteur à l’ensemble
des obligataires (somme de l’ensemble des intérêts auquelle s’ajoute le nominal lors de l’échéance du contrat).
Le remboursement peut s’effectuer des trois façons suivantes (on verra
plus loin qu’il en est de même des remboursements d’emprunts auprès d’organismes de prêt ou de banques) :
– Remboursement in fine : Celui ci est réalisé en une seule fois le
dernier jour de la durée de l’obligation : l’annuité n’est composée que
des intérêts versés chaque année par l’émetteur : avant l’échéance, cela
correspond au versement annuel du coupon.
– Remboursement par séries ou tranches annuelles on parle aussi
de remboursement à périodicités constantes. Chaque année une
même part de l’emprunt est remboursée et l’annuité diminue donc
chaque année puisque l’intérêt sur le capital restant du diminue.
– Remboursement par annuités constantes : à nouveau, le montant de l’intérêt sur le capital restant diminue et la part du capital
remboursée augmente. (c’est le cas le plus fréquent des intérêts d’emprunt immobilier pour un particulier)
6
Notons An l’annuité : celle ci est constituée de la part remboursée (amortissement du capital) et de l’intérêt : An = Dn + In , le coupon représentant
ici l’intérêt versé.
Exemple de flux financier associé à une obligation de nominal 1000 euros, taux facial à 5 % sur 4 ans avec remboursement in fine :
La suite des flux financiers est la suivante : A1 = 1000 ∗ 5% = 50 , A2 = 50,
A3 = 50 et A4 = 1000 + 50 Pour une même durée de 4 ans (à 5 % de taux
intérêts) donner la suite des annuités et des intérêts versés pour un remboursement par tranches égales.
Reponse : sur 4 ans, les tranches égales correspondent à 250 euros (1/4 du
capital= le nominal) et dans ce cas, les intérêts sont recalculés ensuite :
successivement : I1 = 50 puis I2 = 750 ∗ 5% = 37.5 euros, I3 = 25, puis
I4 =12.5 (sommes auxquelles se rajoutent le remboursement des 250 euros)
Remarque : On verra plus loin dans le cours une méthode de calcul du
prix d’une obligation en introduisant la notion de prix de non arbitrage
(méthode commune de valorisation d’un titre) et son calcul.
Il existe deux grand types d’obligations :
• les obligations ordinaires dont le coupon versé une fois par an est identique
toute la durée de la vie : ces titres sont extrêmement vulnérables à l’inflation
(c’est à dire la variation des taux du marché).
Exemple (en exercice) :
Prenons l’exemple suivant qui montre l’évolution du prix d’une obligation
en fonction du taux du marché :
soit une obligation de nominal 1000 euros remboursé au pair et in fine avec
un taux facial de 10 % : le remboursement se fait par versement de 100
euros auquel se rajoute les 1000 euros au bout des 10 ans. Supposons que le
détenteur souhaite revendre son obligation avant l’échéance mais a un moment où le taux facial pratiqué est de 15 % ainsi, au taux du marché, une telle
obligation rapporte 150 euros par an. Personne n’acceptera d’acheter 1000
euros un titre ne rapportant que 100 euros par an. Pour revendre ce titre, le
détenteur doit donc consentir à une baisse du prix d’émission : le nouveau
prix est alors égal à 666.7 euros (car : 15% *666.7 = 100) : en effet, le nominal de l’obligation ne variant pas ici donc le coupon reste égal à 1000*10 %
• Les obligations à taux variable ou celles indexées sur un indice de
référence (i.e. leur valeur de remboursement dépend de l’évolution de cet
indice de référence) Ainsi l’état a émis des obligations indexées sur l’inflation car ce type de produit offre donc une protection supplémentaire pour
l’émetteur (i.e l’Etat) face à toute tentative d’anticipation de l’évolution de
l’inflation puisque dès lors il suit l’évolution du taux d’intérêt réel = taux
nominal - inflation.
1.2. LES PRODUITS FINANCIERS
1.2.3
7
Les autres produits échangés
Deux grands types de produits existent :
– Les produits de taux : produit dont les revenus et la valorisation
dépendent de la variation d’un taux et notamment de celle du taux
du marché,
– les produits dérivés généralement des produits spéculatifs basés sur le
cours du sous jacent (i.e. une action ou obligation) :
Quelques exemples : les contrats à terme (contrat gré à gré : forwards
ou futures) ou les options et les warrants donnant droit et non l’obligation
d’acheter ou vendre un titre à un prix fixé à l’avance et à une date d’échéance
précise (les warrants n’autorisant pas la vente à découvert.) Parmi les options
on citera
– les options d’achat dites ”Call”,
– les options de vente dites ”Put”,
ces deux types d’options donnent le droit et non l’obligation d’acheter ou
vendre à la date d’exercice (date d’échéance) et à un prix d’exercice déterminé
à l’avance (strike) le calcul à l’instant initial dépend notamment de la volatilité du sous jacent mais aussi de la distance (en temps) avant l’échéance
(anticipation de l’avenir).
On parle d’option européenne pour celles qui contraignent le détenteur à
exercer ou non à l’échéance alors que pour une option américaine le détenteur
peut exercer à tout moment (avant l’échéance).
8
Chapitre 2
Les taux d’intérêt
La connaissance des taux du marché est primordiale afin d’évaluer notamment le prix d’une obligation ou en général de tout produit financier.
Ils régissent toutes les opérations financières et interviennent de facon cruciale dans les deux mécanismes suivants : actualisation et capitalisation. En
particulier fondamentaux dans ce qui concerne les prêts/ emprunts.
Exemples de taux
on distingue les taux court à moyen termes (tel que taux EURIBOR european interbank offered rate, TMM taux moyen du marché monétaire de
valeur calculée mensuellement pour TMM et trimestrielle pour EURIBOR)
et les taux longs tels que ceux du marché obligataire
Parmi les taux couramment cités, on parle des taux directeurs (ceux pratiqués par les banques centrales, le taux réel du marché (=taux nominal
moyen pratiqué déduit de l’inflation) le TEG : taux effectif global (taux
d’un crédit pour un emprunteur comptabilisant les intérêts + frais de dossier et assurance : il doit figurer sur le dossier du prêt depuis 1966). On
parle aussi de taux fixes ou de taux variables (leur valeur fluctue suivant les
montants et les finalités des prêts ; à la consommation, prêts immobiliers les
crédits les ”moins” chers sont les crédits immobiliers (car possibilité pour la
banque d’hypothéquer le bien)
Définition 2.1 L’intérêt est le loyer de l’argent : pour un consommateur
c’est le prix à payer pour la jouissance immédiate d’un bien de consommation (automobile, maison ou appartement,..) accessible à l’aide de l’argent. Inversement, l’int’erêt est source de revenu pour l’organisme de prêt
(banques, assurances). Pour l’épargnant, l’intérêt est la récompense pour une
remise à plus tard de la jouissance.
L’intérêt est calculé à chaque période de la durée du contrat : cette
période est précisée dans le contrat (on parle d’intérêt mensuel, semestriel
annuel selon que le calcul de l’intérêt se fait tous les mois, tous les deux
9
10
CHAPITRE 2. LES TAUX D’INTÉRÊT
mois, tous les ans). De façon générale, le taux d’intérêt r est le ratio (sur
une période) entre l’intérêt I (revenu pour l’épargnant et coût pour l’emprunteur) sur la valeur du capital Vi
r=
I
ou encore I = r ∗ VI .
VI
Le taux d’intérêt est une mesure de l’intérêt : il dépend des facteurs suivants
– la durée de l’emprunt/ placement (dont dépend le calcul de l’interêt
versé),
– le risque de contrepartie : cela signifie que l’emprunteur peut faire
défaut. Ainsi, le taux est une mesure croissante du risque : par exemple
dans le cas des assurances de prêt immobilier, le taux de l’assurance
augmente avec l’âge. Dans le cas des assurances automobile, le calcul
du taux dépend aussi de l’âge et notamment l’expérience du conducteur.
– les conditions économiques : si le prêteur peut placer à un taux de 5 %,
il n’acceptera donc pas de prêter en dessous (remarque : c’est pourquoi
les taux bas du marché avantagent d’avantage les emprunteurs que les
épargnants).
2.1
Les différents types d’intérêts
2.1.1
Taux précomptés et postcomptés
Lorsque l’intérêt est versé en début de période on parle d’intérêt précompté
ou d’intérêt à terme à échoir. Lorsqu’au contraire, celui ci est versé en fin
de période, on parle d’intérêt postcompté ou d’intérêt à terme échu.
Ainsi, le taux précompté avantage le prêteur puisque le versement de l’intérêt
a lieu dès le début contrairement au taux postcompté (ce sera le cas lorsque
l’on va parler d’escompte commercial accordé par une banque).
Intérêt postcompté
Lors du calcul de ce type d’intérêt, la valeur du capital ainsi que l’intérêt
sont versés en fin de période : on note Vf (resp. Vi ) la valeur finale reversée
(resp. valeur initiale) : on a la relation suivante
Vf = Vi + I = (1 + r) × Vi
Exemple 1 : On investit une somme de 350 euros : le calcul de l’intérêt
est postcompté au taux de 7 % sur la période. Quel est l’intérêt versé et
quelle est la valeur finale reversée ?
2.1. LES DIFFÉRENTS TYPES D’INTÉRÊTS
11
Réponse : I = 7% × 350 = 24.5 et Vf = 350 + 24.5 = 350 × 1.07 = 374.5
euros.
Exemple 2 : Un prêt est réalisé : l’intérêt est toujours postcompté au taux
de 7 %. La valeur finale à verser est de 400 euros : de combien était le
prix initial ? Un prêt similaire de cette dernière somme rapporte 500 euros :
quelle est la valeur du taux sur cette période.
400
Réponse : VI = 1.07
= 373.8 euros. Dans le second cas, le nouveau taux est
0
500
r = 373.8 ∼ 33%
Intérêt précompté
Lorsque l’intérêt est précompté, l’intérêt est versé en début de période et
le capital initial en fin de période : ainsi avec une somme initiale de M ,
l’intérêt I = rp M est versé initialement et l’emprunteur dispose ainsi de :
MI = M × (1 − rp ), à la fin de la période la somme initiale M est versée On
pourrait aussi le voir comme l’emprunt de la somme MI = M × (1 − rp ) avec
remboursement au taux postcompté r et versement de M en fin de période,
ce qui fournit la relation entre taux d’intérêt pré- et postcomptés
M × (1 − rp ) × (1 + r) = M ⇒ (1 − rp ) × (1 + r) = 1.
Exemple 3 : Un prêt de 350 euros est réalisé : l’intérêt de ce prêt est précompté
au taux de 7 % : quel est la valeur de l’intérêt versé et quelle est la valeur
finale reversée ? quel est, par ailleurs, le taux postcompté d’un tel prêt ?
Réponse : L’intérêt d’un tel prêt est : I = rp × 350 = 24.5, et la somme
réellement à disposition est donc de MI = 325.5 euros. La valeur finale reversée dans ce cas est de 350 euros et le taux postcompté d’un tel prêt se
M
calcule ainsi : 1 + r = M
= 350/325.5 ∼ 7.5% (vérifier la formule reliant les
I
deux taux d’intérêt) → fournir la correction des exercices.
La valeur empruntée dans ce cas est égale à la valeur totale reversée au
prêteur. La différence entre les deux types d’intérêt réside dans le fait que
l’intérêt est ou non comptabilisé dans le prêt.
(Du point de vue de l’emprunteur, il est beaucoup plus simple de parler
en termes d’intérêts postcomptés ! pourquoi ce choix en pratique ?)
Résumons la philosophie de ce type d’intérêt : afin de posséder N , je dois
emprunter la somme x de sorte que : x = (1 − rp ) × N , ce qui me coûtera
r
N
donc : x × rp = N × 1−rp p . Avec la somme N , je peux prêter x = 1−r
ce qui
p
me rapportera alors x × rp .
Exemple 4 Comparaison entre les deux modes : Nous avons besoin de 350
euros : les emprunts à l’intérêt précompté affichent un taux de 6.8 % alors
que ceux à l’intérêt postcompté affichent un taux de 7 % : calculer l’intérêt
12
versé pour chacun des modes de calcul d’intérêt afin que l’emprunteur puisse
disposer de la somme de 350 euros. Lequel des choix va t’il donc prendre ?
Réponse : Dans le cas de l’intérêt précompté, la somme effectivement em350
pruntée est : x = 1−.068
et l’intérêt versé est donc : I = (0.068 × x) = 25.5
euros. Dans le second cas, l’intérêt vaut : I2 = 0.07 ∗ 350 = 24.5 euros.
Le choix de l’intérêt postcompté est le meilleur (du point de vue de l’emprunteur). Remarque : Le taux précompté rp correspondant au taux post1
compté de 7% est donné par : rp = 1 − 1+r
, c’est-à-dire : rp ∼ 6.5 % (à .1
% près).
Principe de non arbitrage
Afin de ne pas avoir d’opportunité d’arbitrage : c’est-à-dire gagner de l’argent en empruntant et prêtant la même somme à l’aide des deux modalités,
il faut nécessairement que
(1 − rp ) × (1 + r) = 1.
Preuve : Considérer la stratégie suivante : on emprunte N à intérêt posN
compté r et on prête en même temps la somme x = 1−r
au taux précompté
p
de rp . A la fin de la période, on touche alors
N
1−rp
et on doit rembourser
N
N ×(1+r) : il n’y a aucune plus value si et seulement si : N ×(1+r) ≥ 1−r
.
p
Pour l’inégalité dans l’autre sens, on reproduit le même raisonnement avec
la stratégie inverse (consistant à emprunter x avec taux d’intérêt précompté
et à prêter la somme x à taux postcomptés).
2.1.2
Taux d’intérêts simples et composés
Intérêts simples
L’intérêt est dit simple lorsqu’il est calculé à chaque période seulement
sur la base de la somme prêtée ou empruntée à l’origine : il est généralement
utilisé pour les opérations à court terme (i.e. en dessous d’un an) on parle
parfois d’intérêt commercial.
Calcul dans le cas d’intérêt postcomptés : On note N le nombre de
périodes du contrat, Vi le capital initial, In l’intérêt à la n ième période
(toujours postcompté i.e. calculé à la fin) et r le taux d’intérêt fixe : on a
alors que pour tout n In = r × Vi et donc
Vf = (1 + N ∗ r) × Vi
et la somme des intérêts vaut donc : N rVi .
Exemple 1 : on investit 350 euros avec intérêts simples postcomptés de 7%
par période de 1 mois : l’emprunt est de 14 mois : quel est l’intérêt versé au
bout d’un mois, que vaut la somme des intérêts à la fin de la période 12 ?
13
Réponse : L’intérêt simple I vaut 350 × 0.07 (si 7% désigne le taux sur
une période ici le mois). Au bout de 12 mois, il suffit de multiplier par 12
(progression linéaire).
Exemple 2 : A quel taux annuel a été placé un capital de 20000 euros ayant
généré des intérêts simples postcomptés de 2500 euros en deux ans ? combien
de périodes faut il avec ce même taux afin de générer 8750 euros (avec le
même capital initial) ?
Réponse : 1 + 2ra = 22500
20000 soit : ra ∼ 6.25%, et le nombre N de périodes est
tel que N × ra × 20000 = 8750 soit : N = 7 ans.
Pour le cas de l’intérêt composé :
(1 + re,a )2 = 22500
20000 , soit : re,a ∼ 6.1%. Pour obtenir 8750 euros, le nombre
log( 28750 )
20000
N de périodes satisfait : (1 + re,a )N = 28750
20000 , soit N = log(1+re,a ) soit encore
N ∼ 6.16 (6 ans et 2 mois environ)
Attention : il est fondamental que toutes les variables soient exprimées en
fonction de la même unité de temps : si N est un nombre de jours, le taux r
doit être le taux journalier (si N est un nombre de mois,..) On précisera pour
la suite que par convention, l’année sera divisée en 360 jours, 52 semaines,
12 mois 4 trimestres. Généralement, on traite avec des taux annuels mais si
l’on veux convertir, il faut alors utiliser le principe d’équivalence des taux :
i.e convertir comme suit
Si r est le taux annuel alors les taux proportionnels équivalents rm , rt et rs
(mensuels trimestriels et semestriels) se calculent comme suit
rm =
r
r
r
, rt =
et rs =
12
4
2
Calcul dans le cas d’intérêt précomptés :
On conserve les mêmes notations pour N , Vi et Vf = Vi (dans le cas
précompté) et rp désigne le taux d’intérêt précompté. La somme des intérêts
versés au début est égale à N × rp × Vi et le capital Vi est reversé à la fin
de la N ieme période. le taux postcompté r équivalent à ce taux précompté
satisfait alors
(1 + N × r)(1 − N × rp ) = 1.
Les opérations à court terme
1 L’escompte commercial L’entreprise A vend le 8 Février à son client
Ω pour V = 10000 euros de marchandises (valeur nominale de l’effet)
avec date de réglement le 30 Avril (date d’échéance de l’effet). Cependant, le 10 Mars A a besoin de l’argent afin de réinvestir, argent qu’il
emprunte à sa banque.
A souhaite donner à son banquier la créance qu’elle détient sur Ω mais
le banquier n’y consentira que s’il bénéficie d’une rémunération appelée
14
escompte commercial calculé à l’aide de la formule d’intérêts simples
(journaliers) où l’intérêt précompté se calcule ainsi
re
I=V ×
× N,
360
N étant le nombre de jours séparant la date de la remise de l’escompte
de l’échéance de l’effet (= durée du prêt consenti par la banque).
S’ajoutent à cet escompte différentes commissions proportionnelles à
la durée de l’escompte de taux rc et d’autres fixes pour toute la durée
du prêt de taux rci d’où la formule suivante
re
rc
e = V 360
N + 360
N + rci ,
= V
(re +rc +rci 360
N )
360
×N =V
rp
360 N
avec rp qui représente le taux effectif annuel précompté et : a = V − e
est appelée valeur actuelle commerciale
2 L’escompte commercial rationnel Le taux d’escompte affiché est
parfois le taux postcompté de la valeur actuelle de l’effet et non pas
de sa valeur nominale : ainsi,
r
re = (V − e) ×
N,
360
et en le convertissant ensuite en taux précompté, il s’ensuit que
re = V
r
r
1+N 360
N
360
(on précompte ici sur la somme V en tenant compte des intérêts du
r0
1
r
banquier avec le taux précompté rp = 1− 1+r
)
= 1+r
soit : r0 = N 360
0
0
ce taux est beaucoup moins utilisé que le précédent.
3 Le découvert (ou avance en compte courant) se traduit par un compte
débiteur et suit la règle des intérêts simples : le coût du découvert
est affecté par la commission de plus fort découvert qui s’applique
au plus fort solde débiteur mensuel (1 pour mille). La commission
de confirmation (appliquée lorsque le découvert est confirmé par écrit
par la banque 1 % du plafond autorisé) et les intérêts résultent de
l’application du taux de découvert.
Ainsi pour un découvert de 200 euros sur 30 jours (plafond à 250) à
un taux de découvert annuel de 12 %, les agios (ou frais de découvert)
s’élèvent à
0.001 ∗ 200 + .01 ∗ 250 + 200 ∗ (.12/360) ∗ 30 = 4.7 euros
4.7
et le taux d’intérêt effectif appliqué reff, a satisfait donc 200
= reff, a ×
30
(le
taux
effectif
annuel
est
donc
de
28.2
%
ce
qui
est
bien
supérieur
360
au taux de 12 % annoncé)
15
Intérêts composés
L’intérêt est dit composé lorsqu’il s’ajoute à la fin de chaque période
au capital. Cette nouvelle somme forme la base de l’intérêt sur la période
suivante. Le montant de l’intérêt et du capital en début de chaque période
varie donc.
Interets postcomptés N désigne le nombre de périodes du contrat Vi le
capital initial (somme prêt’ee ou empruntée) In l’intérêt versé à la fin de la
n ième période et Vf (n) la valeur du capital en fin de n ième période (début
de la n + 1 ième). Enfin r est le taux d’intérêt fixe. Sur la première période,
on a
I1 = r × Vi et Vf (1) = (1 + r)Vi ,
sur la deuxième
I2 = r × Vf (1) et Vf (2) = (1 + r)Vf (1) = (1 + r)2 Vi ,
d’ou il s’ensuit en itérant que : Vf (N ) = (1+r)N Vi et la somme I des intérêts
satisfait
!
N
−1
X
1 − (1 + r)N
I = r × Vi
(1 + r)i = r
Vi
1 − (1 + r)
i=1
ainsi cette somme croit exponentiellement avec la période du prêt (ou du
placement) du capital V i .
Exemples de calcul : Quel est le taux annuel d’un placement de 10000 euros
à intérêts composés rapportant 18000 euros en 3 ans ? Pour le même placement, combien d’années faut il pour quadrupler le capital ? Réponse Le
taux annuel ra satisfait (1 + ra )3 = 28000
10000 soit ra ∼ 41 %.
Le capital quadruple au bout d’un nombre N d’années tel que : (1+ra )N = 4
log(4)
soit N = log(1+r
= 4 ans et 14 jours environ.
a)
La capitalisation indique à quelle fréquence l’intérêt s’ajoute au capital
en cas d’intérêts composés. On parle de capitalisation annuelle semestrielle
trimestrielle mensuelle selon la périodicité du versement des intérêts Pour
rappel deux taux sont dits équivalents si à placement identique, ils permettent d’obtenir le même capital. En général, les banques fournissent un
taux nominal annuel calculé dans le cas des intérêts simples et qui ne permet
donc pas le calcul d’intérêts composés. Le taux équivalent annuel correspondant à un taux mensuel fixé dans le cas d’une capitalisation mensuel sera
appelé le taux effectif annuel re,a il se calcule ainsi
re,a = (1 + rm )12 − 1 > 12rm !
en pratique, si une banque annonce un taux nominal annuel de 8% le taux
effectif annuel est de : re,a = (1 + .08/12)12 − 1 ∼ 8.16%, soit des intérêts de
81 euros 60 centimes sur un total de 1000 euros.
16
Chapitre 3
Actualisation/ Capitalisation
et applications
3.0.3
Notion d’actualisation : application au remboursement
de prêt
A l’inverse de la capitalisation qui permet de calculer des valeurs futures à
partir des valeurs initiales (ou valeurs présentes) on peut souhaiter connaitre
la valeur qui doit être prêtée aujourd hui pour obtenir un montant fixé à
l’avance : ceci s’appelle principe d’actualisation (d’un flux financier).
Principe d’actualisation
Définition 3.1 Une suite d’annuité est une suite de réglements réalisés à
des intervalles de temps égaux (à savoir les périodes) mais de montant non
nécessairement égaux. Le terme d’annuité bien que parfois utilisé quelque
soit la périodicité des versements est réservé habituellement à des périodicités
annuelles. Pour les plus courantes on parle de
– Semestrialités pour des périodicités de six mois
– Mensualités pour des périodicités d’un mois
La suite d’annuité correspond à une rente pour celui qui la percoit. Voici
quelques exemples concrets de suite de versements :
a Un emprunt remboursé sur dix ans par mensualités constantes donne
lieu au versements de 120 périodicités
b La constitution d’un capital par versements constants,
c L’acquisition d’une obligation d’une durée de vie de six ans versant
des coupons annuels
Valeurs actuelles et acquises
Les mécanismes de calcul des valeurs actuelles et acquises sont semblables :
17
18CHAPITRE 3. ACTUALISATION/ CAPITALISATION ET APPLICATIONS
pour la valeur acquise à la date n, il s’agit de la valeur de la suite des annuités
jusqu’à la date n. Pour la valeur ”actuelle”, c’est la valeur à l’origine de la
suite des annuités (somme actuelle prêtée ou empruntée et qui va donner
lieu au versement de la suite des annuités.
Définition 3.2
(ia) La valeur actuelle à t = 0 associée à un flux Fp flux donné au bout
de p périodes se calcule ainsi
F0 =
Fp
(1 + r)p
(ib) La valeur acquise à la date N à partir d’un flux Fn réalisé à la fin
de la n ième période vaut
VN = Fn (1 + r)N−n ,
et cette valeur acquise correspond à la somme suivante dans le cas d’un
flux financier
N
X
VN =
Fp (1 + r)N−p .
p=n
(ii) La valeur actuelle associée à une suite de versements ou flux financiers (Fp )p=1,···N correspond à la somme de chaque flux actualisée
à la date présente, à savoir que l’on a :
V0 =
N
X
p=1
Fp
.
(1 + r)p
(3.1)
Quelques remarques
• Conséquence immédiate de (ii) :
Si on considère le flux financier (Fp )p=1,···N et une date n fixée telle que :
1 ≤ n ≤ N , alors la valeur à la date n associée à ce flux se calcule ainsi
N
−n
X
Fp
Fn+p
Vn =
=
,
p−n
(1
+
r)
(1
+ r)p
p=n
N
X
p=0
la deuxième somme étant obtenue par une réindexation de la première.
• Considérant la relation (3.1) dans le cas où la suite de versements est
constitués de périodicités constantes, on a
V0 =
N
X
p=1
Fp
1 − (1 + r)−(N +1)
=
F
,
(1 + r)p
r
19
cette relation sera importante lors du calcul des périodicités associées à un
remboursement de prêts par versements constants : V0 représentant ici la
somme empruntée et F la périodicité constante.
• Lien entre valeur actuelle et valeur acquise à la date N associé à un
flux financier
VN =
N
X
Fp (1 + r)N −p = (1 + r)N
p=1
N
X
p=1
Fp
= (1 + r)N V0 .
(1 + r)p
Emprunts indivis
On parle d’emprunts indivis pour ceux contractés auprès d’un seul créancier :
ils s’opposent aux obligations où le nombre de créancier est grand. En
général, il s’agit d’emprunts contractés par des particuliers auprès des banques
ou par des entreprises à la recherche de financement pour des investissements.
Pour chaque contrat de prêt sont clairement définies dans les clauses du
contrat : la durée de mise à disposition, le taux d’intérêt et les conditions de
remboursement du capital selon l’une des trois modalités déjà décrites au
premier chapitre :
1. Le remboursement in fine : seuls les intérêts calculés périodiquement
sont versés excepté lors de la dernière période,
2. Le remboursement à amortissement constant : à chaque période et
notant N le nombre de périodes du contrat, V0 le capital emprunté, la
fraction VN0 du capital est amortie ou remboursée.
3. Le remboursement à périodicité constante : la suite des périodicités
est une suite constante.
Ensemble des notations et relations Notons respectivement par V0 ,
N et r le capital emprunté, le nombre de périodes de l’emprunt et le taux
d’intérêt sur une période. Les intérêts sont supposés composés et le calcul
de l’intérêt est postcompté (ou à terme échu).
On note aussi par Vn la capital (restant) dû en fin de nième période (ou
encore début de (n + 1)-ième période et In l’intérêt versé à la nième période
In = rVn−1 .
D’autre part si Fn désigne le montant du n-ième remboursement (ou réglement)
en fin de n ième période et Dn le capital ayant été amorti (= amortissement)
durant la n ième période on a les relations suivantes

 Fn = Dn + In ,

Vn = Vn−1 − Dn .
Par ailleurs, à la fin de la N ieme période, le capital est intégralement remboursé à savoir que l’on a : VN = 0.
De toutes ces relations, on déduit successivement les propriétés suivantes :
1. La somme de tous les amortissements doit coincider exactement avec
le montant emprunté à savoir que :
V0 = V1 + D1 = · · · =
N
X
Dn
n=1
2. Le montant Vn du capital restant dû correspond à la valeur actualisée
à la fin de la n ième période des règlements à partir de la (n+1)-ième
période, i.e
Vn =
N
−n
X
k=1
Preuve :
N
X
Fn+k
Fk
=
k
(1 + r)
(1 + r)k−n
k=n+1
On exploite les égalités suivantes
Vn = Vn+1 + Dn+1 = Vn+1 + Fn+1 − In+1 = Vn+1 + Fn+1 − rVn ,
pour obtenir une première relation
Vn =
Fn+1
Vn+1
+
.
(1 + r) (1 + r)
La relation s’ensuit à l’aide d’une récurrence décroissante de n = N à n = 0.
On appelle coût global du crédit Cg la somme des intérêts
Cg =
N
X
In .
n=1
Le cas du remboursement in fine
L’emprunteur ne paie que les intérêts du capital jusqu’à la N −1 ième période
il rembourse en une seule fois à l’échéance du prêt, l’intégralité du capital
emprunté. Pour ce type de remboursement et pour tout n, on a : Dn = 0 et
In = rV0 D’ou l’échéancier suivant
Structure de l’échéancier
Années
n=1
n =2
···
n
n=N
intérêts In
rV0
rV0
···
rV0
rV0
amortissement Dn
0
0
···
0
V0
capital dû
V0
V0
···
V0
0
21
Exemple pratique
Emprunt de 10000 euros sur 5 ans au taux annuel effectif de 4 %
Années
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
intérêts In
400
400
400
400
400
amortissement Dn
0
0
0
0
10000
Flux
0
0
0
0
10400
capital dû Vn
10000
10000
10000
10000
0
Le cas du remboursement à amortissement constants
Philosophie de remplissage du tableau :
Dans ce cas de ce mode de remboursement, l’amortissement est constant et
donc connu à toute date. Puis on déduit de la relation : Dn = Vn−1 − Vn , la
suite des montants Vn
n
Vn = (1 − )V0 ,
N
ce par une récurrence immédiate. Dès lors on peut calcule les intérêts versés
In = rVn−1 puis la suite des flux financiers.
Enfin, le coût total du crédit vaut ici
N
N
X
X
n−1
N +1
Cg =
In =
rV0 1 −
= rV0
N
2
n=1
revient au calcul de
1
N
n=1
multiplié par la somme des premiers entiers.
Années
n=1
n =2
n
···
n=N
intérêts In
rV0
rV0 1 − N1
rV0 1 − n−1
N
···
rV0 1 − NN−1
amortissement Dn
V0
N
V0
N
V0
N
···
V0
N
capital dû Vn
V0 1 − N1
V0 1 − N2
n
V0 1 − N
···
0
Exemple pratique
Emprunt de 10000 euros sur 5 ans au taux annuel effectif de 4 %
Années
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
intérêts In
400
320
240
160
80
amortissement Dn
2000
2000
2000
2000
2000
Flux Fn
2400
2320
2240
2160
2080
capital dû Vn
8000
6000
4000
2000
0
Le cas du remboursement à périodicités (souvent mensualités ou
annuités) constantes
Philosophie de remplissage du tableau :
Commencons par le calcul de la périodicité qui est constante : d’après ce qui
précéde
F =
ou de facon équivalente : V0 =
rV0
(1 − (1 + r)−N )
F (1−(1+r)−N )
.
(1+r)
1− 1
1+r
cette dernière relation provenant du principe d’actualisation des flux futurs.
De même, utilisant encore ce même principe d’actualisation, on calcule le
capital restant dû Vn comme suit
Vn
=
PN −n
=
F 1−(1+r)−N +n
(1+r) (1−(1+r)−1 )
=
1−(1+r)−N +n
rV0
(1+r)(1−(1+r)−N ) 1−(1+r)−1
=
V0 (1−(1+r)−N +n )
,
(1−(1+r)−N )
F
k=1 (1+r)k
la seconde égalité se déduisant de la formule pour la somme associée à une
suite géométrique.
On en déduit donc le calcul de l’amortissement Dn = Vn−1 − Vn puis de
l’intérêt In = F − Dn
Années
n=1
n =2
n
···
n=N
intérêts In
((1−(1+r)−N ))
r (1−(1+r)−N ) V0
−N +1 )
r (1−(1+r)
V0
(1−(1+r)−N )
(1−(1+r)−N +n−1 )
rV0 (1−(1+r)−N )
amortissement Dn
Flux
capital restant dû Vn
rV0
(1+r)N (1−(1+r)−N )
rV0
(1+r)N −1 (1−(1+r)−N
rV0
(1+r)N −n+1 (1−(1+r)−N )
rV0
(1−(1+r)−N )
rV0
(1−(1+r)−N )
rV0
(1−(1+r)−N )
V0 (1−(1+r)−N +1 )
(1−(1+r)−N )
V0 (1−(1+r)−N +2 )
(1−(1+r)−N )
V0 (1−(1+r)−N +n )
(1−(1+r)−N )
···
···
···
···
−1 ))
rV0 ((1−(1+r)
(1−(1+r)−N )
rV0
(1+r)(1−(1+r)−N )
rV0
(1−(1+r)−N )
0
23
Exemple pratique Même emprunt sur 5 ans que précédemment
Années
n=1
n =2
n =3
n=4
n=5
3.0.4
intérêts In
400
326.15
249.34
169.5
86.4
amortissement Dn
1846.3
1920.1
1996.9
2076.7
2160
Flux financier
2246.3
2246.3
2246.3
2246.3
2246.3
capital dû Vn
8153.7
6233.6
4236.7
2160
0
Application au calcul de la VAN et TRI
On considère ici la suite de flux financiers donnée par
par convention on aura toujours : F0 < 0 et : ∀ n ≥ 1,
Fn ≥ 0.
Définition 3.3 Conformément à la notion d’actualisation précédemment
introduite, on appelle valeur actualisée nette ou VAN du flux financier
la quantité suivante
N
X
Fk
V AN (r) =
(1 + r)k
k=0
La quantité F0 négative représente la valeur investie à la date initiale et qui
donne lieu au versement de Fn à la nı̀eme période. On dira que l’investissement engendrant la suite de flux (Fn ) est acceptable si la VAN est positive
et non acceptable si la VAN est négative.
Définition 3.4 On appelle taux de rentabilité interne (ou TRI) la valeur
r∗ du taux qui annule la valeur actualisée nette ou VAN à savoir que r∗
satisfait que, pour un flux (F0 = −V0 , F1 , F2 , , · · · , FN ) donné, on a
N
X
F1
FN
Fk
F0 +
+ ··· +
=
= 0.
(1 + r∗ )
(1 + r∗ )N
(1 + r∗ )k
(3.2)
k=0
Exemple
Année
Flux (en kilo Euros)
0
-400
1
170
2
140
3
130
4
120
Selon le principe de la VAN, ce projet est il acceptable pour le taux : r =
0.14% pour r = 0.17% ? Qu’en déduire sur la valeur du TRI r∗ ?
Méthodes numériques
r∗ défini implicitement par la relation n’est pas calculable explicitement
en général : on a recours donc à une résolution numérique et on va présenter
dans ce cours deux méthodes générales itératives pour déterminer une solution approchée à l’équation : f (x) = 0. Une méthode itérative consiste a
contruire une suite (rn ) telle que : limn (rn ) = r∗ .
Les deux méthodes qui vont être présentées dans ce cours sont les suivantes :
– Algorithme de dichotomie : cette méthode ne présuppose aucune
régularité de la fonction (seulement l’existence d’un zéro du f sur un
intervalle donné),
– Algorithme de Newton-Raphson : cette méthode appelée parfois
méthode de la sécante suppose que la fonction soit au moins localement
de classe C 1 ou différentiable et de dérivée ne s’annulant pas (si de plus
la fonction est localement de la classe C 2 , on obtient plus de précision
quant à la vitesse de convergence.)
La vitesse de convergence d’une méthode numérique sera exprimée à l’aide
des paramètres C et p (p ≥ 1) tels que
∀ n ∈ N,
|rn − r∗ | ≤ C|rn−1 − r∗ |p ,
et plus p est grand plus la méthode est rapide : pour la dichotomie p = 1, on
parle de convergence linéaire, et pour Newton Raphson, on trouve : p = 2
et on parle de convergence surlinéaire dans ce cas.
Dichotomie
On suppose la fonction f continue sur [a, b] et l’algorithme consiste à considérer
deux valeurs d’initialisation r0 et r1 telles que
a < r0 < r1 < b et t.q. f (r0 )f (r1 ) < 0
b
On évalue alors la fonction au centre : rc = ra +r
de l’intervalle [r0 , r1 ]. Deux
2
cas se présentent
– si f (r0 )f (rc ) < 0, on pose alors :r2 = rc , r1 = r0 ,
– sinon si f (r0 )f (rc ) < 0, on pose : r2 = r1 , r1 = rc
et on recommence la même opération sur l’intervalle [r1 , r2 ] et ainsi de suite.
On peut ajouter les critères d’arrêt suivants
|f (rn )| ≤ 1 ou |rn − rn−1 | ≤ 2 ,
pour des réels 1 et 2 petits : notons que ces critères précisent la qualité de
la solution numérique au sens où plus i est proche de zéro meilleure sera
l’approximation du zéro.
25
Pour la méthode de dichotomie les inclusions des intervalles et leur longueur
satisfont
|rn − r∗ | ≤ 21 |rn−1 − r∗ |
≤ ( 12 )2 |rn−2 − r∗ |
≤ ( 12 )n |r0 − r∗ | → 0, si n → ∞,
ce qui prouve la convergence linéaire de la méthode vers r∗ .
Méthode de Newton Raphson
La méthode est basée sur l’itération suivante
r0
et
rn+1 = rn −
f (rn )
.
f 0 (rn )
Par conséquent, pour que l’itération soit bien définie, il faut absolument que
0
f ne s’annule pas si on est ”suffisamment” proche de r∗ Avec l’hypothèse
que f est au minimum deux fois dérivable, on obtient de plus une vitesse de
convergence de type surlinéaire.
Preuve
On souhaite justifier que la méthode converge avec une vitesse superlinéaire
(plus précisément quadratique), c’est-à-dire que
n
|rn − r∗ | ≤ C|d0 |2
avec : d0 = K|r0 − r∗ |,
(3.3)
avec un réel K explicite. Ainsi dès que r0 satisfait que : |r0 − r∗ | < K1 , on
peut conclure à cette convergence.
Pour prouver (3.3), on va exploiter une relation de Taylor à l’ordre deux ce
qui nécessite que la fonction f soit localement deux fois dérivable :
00
f (c) ∗
0 = f (r ) = f (x) + f (x)(r − x) +
(r − x)2 ,
2
0
∗
∗
avec c appartenant à ]r∗ , x[ (ou ]x, r∗ [). Exploitant cette relation pour :
x = rn−1 , on obtient d’abord
00
f (rn−1 )
f (c)
− 0
= (r∗ − rn−1 ) + 0
(r∗ − rn−1 )2 ,
f (rn−1 )
2f (rn−1 )
et il s’ensuit alors
rn − r∗ = rn−1 −
f (rn−1 )
f 0 (rn−1 )
− r∗ ,
00
=
f (c)
(r∗
2f 0 (rn−1 )
− rn−1 )2
0
Comme : f (r∗ ) 6= 0, il existe η > 0 tel que : m =
et comme f est C 2 , on pose : M =
|rn − r∗ | =
max
x∈[r∗ −η,r∗ +η]
min
x∈[r∗ −η,r∗ +η]
00
0
|f (x)| existe
|f (x)|. Il vient alors que
1
M ∗
|r − rn−1 |2 = (dn−1 )2 ,
2m
K
M
avec : K = 2m
, et dn = K|rn − r∗ |. On montre ensuite que : dn ≤ d2n−1 ≤
n
4
2
dn−2 ≤ · · · ≤ d0 et, à l’aide d’une récurrence, on prouve alors que
|rn − r∗ | ≤
1 2n
d → 0, lorsque n → ∞.
K 0
Différences finies
Dans des conditions semblables, l’algorithme de différences finies s’écrit à
l’aide des initialisations r0 et r1 et des itérations suivantes
rn − rn−1 f (rn )
rn+1 = rn −
.
f (rn ) − f (rn−1 )
Application pratique de ces méthodes numériques
Ecrire précisément le schéma de Newton Raphson dans le cas du polynome
suivant : X 2 − 2 justifier que si on prend u0 = 2 le schéma est bien surlinéaire.
(en pratique on verra que même si u0 est grand le schéma numérique est
toujours convergent !)
Comparaison des critères de la VAN et de la TRI
Illustrer une situation de conflit entre les critères :
Lorsque l’on compare deux projets 1 et 2 dans un intervalle de taux tels que
V AN1 (r) > 0 et V AN2 (r) > 0 on choisira toujours parmi les deux projets
celui dont le TRI est le plus élevé. Toutefois, si les deux courbes de VAN se
croisent sur le demi plan y > 0, on peut construire un intervalle sur lequel
la relation suivante est vraie V AN1 < V AN2 avec T RI1 > T RI2 :
selon le critère de la TRI, on va choisir le modèle 1 alors que la comparaison
seule de la VAN conduit plutôt à choisir le projet 2.
27
3.0.5
Principe de valorisation des obligations
On rappelle ici qu’une obligation est un contrat (de créance) financier
caractérisée par sa valeur nominale N , par son prix d’émission E (ce dernier
n’est pas nécessairement égal à cette valeur nominale) et qui donne lieu à
des versements réguliers (en général annuel). La difference P = N − N E
s’appelle la prime de remboursement.
Le mode de remboursement le plus habituel pour ce type de contrat est le
remboursement in fine qui suit la règle suivante :
Une fois par an, est versé ce qu’on appelle le coupon C, calculé à l’aide de la
formule suivante : C = r × N et où r désigne le taux facial qui est fixé une
fois pour toute à l’émission. A l’échéance, il y a remboursement du nominal
en sus du coupon, ce qui correspond à un versement total de C + N .
Dans le langage propre aux mathématiques financières, on appelle communément “cash flow“ la suite des réglements associés au remboursement.
Enfin, pour toutes les obligations qui ne donnent lieu à aucun versement de
coupon on emploiera le terme d’obligation zéro coupon : ces dernières sont
remboursés en une seule fois à maturité.
L’objectif de cette section est de définir une règle permettant de calculer
la valeur d’une obligation
Notion de non arbitrage Rappelons tout d’abord brièvement et au travers d’un exemple concret ce qu’est une opportunité d’arbitrage (possibilité
d’adopter une stratégie d’achat et de titre financiers qui rapporte de l’argent sans investissement initial) : ainsi supposons que coexistent deux zéroscoupons de même maturité six mois et respectivement de nominal 100 euros
et 110 euros au même prix de 99 euros : la stratégie consistant à acheter le
premier et à vendre, dans le même temps, le second permet sans investissement de gagner 10 euros et constitue donc une opportunité d’arbitrage.
Considérons le tableau suivant donnant les caractéristiques de quatre
obligations A, B, C et D dont les dates de maturités sont soit de 1 an soit
de deux.
Titre
A
B
C
D
Prix
PA = 960
PB = 1760
PC = 95
PD = 80
n=1
100
1000
100
0
n=2
1100
1000
0
100
Au vu de ce tableau, les obligations C et D sont des obligations zéro-coupons
d’échéances respectives 1 et 2 ans. On justifie désormais que pour les valeurs
qui sont indiquées dans le tableau, il existe ce qu’on appelle des opportunités
d’arbitrage :
On considère alors la stratégie dite de réplication1 de l’obligation A consistant en l’achat d’un zéro-coupon de C et de 11 zéro-coupons de D : au vu
du prix de chacun de deux zéros-coupons le coût global de cette opération
est de 880 + 95 = 975 euros. Par conséquent, l’obligation A est donc sous
côtée de 15 (15 = 975 − 960) euros. On peut vérifier que B est au contraire
surcôtée (de 10 euros).
Ainsi, si on souhaite, au contraire interdire, toute opportunité d’arbitrage
(hypothèse AOA : absence d’opportunité d’arbitrage) et connaissant les prix
des obligations zéro-coupons il est possible de calculer la valeur unique des
obligations A et B qui assure la condition de non arbitrage on vérifie alors
que ces valeurs doivent satisfaire
PAAOA = PC + 11PD = 975 et PBAOA = 10(PC + PD ) = 1750.
A l’aide de la valeur des zéro-coupons, on peut calculer le taux d’acutalisation à l’échéance de leur maturité : ainsi, si on note pn le prix du
zéro-coupon de maturité n et de nominal N on obtient le taux d’intérêt sur
les n périodes
(N − pn )
Rn =
.
pn
Par ailleurs et comme les taux correspondent à des périodes différentes, il est
naturel de chercher à définir, à partir des données Rn , un taux périodique
annuel z(n) effectif equivalent : celui ci est basé sur la formule suivante
1
zn = (1 + Rn ) n − 1.
Principe général : afin de calculer la valeur des obligations satisfaisant
la condition (généralement requise en pratique) d’absence d’arbitrage sur le
marché, on doit considérer la valeur actualisée des “cash flow” correspondants : c’est à dire que le prix P est obtenu comme suit
P =
N
X
i=1
N
X
Fi
Fi
Q
=
i
(1 + zi )
i≤k (1 + rk )
i=1
Application pratique :
Dans le cas des 4 obligations présentées dans l’exemple précédent (une
période correspondant à un an), la connaissance des caractéristiques des
obligations A et B suffit afin de reconstruire à la fois R1 et R2 et, par suite,
les taux périodiques effectifs z1 et z2 .
R1 =
100 − 95
100 − 80
∼ 0.0526 et R2 =
∼ 0.25
95
80
1
Le terme de réplication signifie que la stratégie permet d’obtenir le même ”’cash
flow“et donc, au final, le portefeuille de l’investisseur augmente de la même somme.
29
d’où on déduit donc que : z1 = R1 ∼ 5.26% et z2 = (1 + R2 )0.5 − 1 ∼ 11.8%
(z2 représente le taux d’intérêt effectif annuel permettant le calcul de la valeur actualisée d’un flux versé au bout de deux ans).
Vérifions la cohérence de ses résultats en recalculant ces taux à l’aide du
principe d’actualisation des “cash flow” : ainsi, on obtient les relations suivantes
PD
PC
95
1
80
1
et
=
=
=
=
N
100
1 + r1
N
100
(1 + r1 )(1 + r2 )
on trouve donc : r1 ∼ 5.26% et r2 ∼ 18% et, par conséquent, le taux z2 doit
vérifier
(1 + r1 )(1 + r2 ) = (1 + z2 )2
p
Le calcul montre que : (1 + r1 )(1 + r2 ) ∼ 1.118, ce qui est en cohérence
avec les calculs précédents.
Application : courbe des taux à terme
En pratique, notons que si on dispose de suffisamment de zéro-coupons, il
est possible de construire le graphe de l’application T 7→ z(T ) : la courbe
correspondante est appelée la courbe des taux purs (ou courbe des zéroscoupons par terme) et, selon son allure, on a les interprétations suivantes
(i) La courbe est plate, ce qui signifie que le taux est constant dans le
temps : c’est un cas d’école qui n’arrive pas en pratique,
(ii) La courbe est croissante (cas le plus courant) : dans ce cas, plus
l’échéance est éloignée (i.e. plus T est grand) plus le risque de taux
est important et plus les investisseurs demandent un rendement élevé
(correspondant à z(T )),
(iii) La courbe est décroissante : on peut observer ce phénomène (rare)
lorsque le marché anticipe une baisse des taux.

Licence 2 Mathématiques- Semestre 3 Introduction aux

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