Fluctuation d`une fréquence selon les échantillons

Fluctuation d’une fréquence
selon les échantillons Probabilités
3
JE VAIS ÊTRE CAPABLE DE
Expérimenter la prise d’échantillons aléatoires
de taille n fixée
Déterminer l’étendue des fréquences de la série
d’échantillons
Évaluer la probabilité d’un événement à partir
des fréquences
Faire preuve d’esprit critique face à une situation
aléatoire simple
Le Craps est un jeu d’argent venant des États-Unis qui se joue avec deux dés à
six faces. Les paris portent sur les combinaisons successives obtenues avec la
somme des faces des deux dés.
Au premier lancer, le lanceur perd s’il fait un Craps. Craps désigne un total des
points des deux faces dont il n’existe qu’une manière de les obtenir :
2 (1 + 1)
ou
3 (2 + 1)
ou
12 (6 + 6)
On a simulé 100 lancés de deux dés et
0,16
0,14
calculé la fréquence d’apparition des
0,12
sommes des faces obtenues. Les résul0,1
tats sont donnés par le diagramme en
0,08
bâtons ci-contre.
0,06
0,04
À partir de cette simulation, peut-on pré0,02
voir qu’au jeu du Craps le plus difficile
0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
est d’obtenir un 12 ?
MODULE : NOTION DE PROBABILITÉ
JE DOIS SAVOIR
Calculer une fréquence
CHAPITRE
29
Activités de recherche
ACTIVIT É
1
Expérimenter à l’aide de pièces
Dans le règlement d’un concours organisé par un organisme de vente par correspondance, on peut lire l’extrait suivant :
« – Le tirage au sort aura lieu le 22 décembre 2008 à 11h par Maître Bonnard, huissier
de justice à Paris.
– Les participations doivent nous parvenir au plus tard le 19 décembre à midi.
– Un premier tirage au sort aura lieu pour déterminer si le gagnant fera partie des envois
postaux classiques ou des envois mails. Ce choix se fera par pile ou face avec une pièce
de 1 €.
Ensuite le tirage au sort se fera parmi les gagnants de la famille sélectionnée ».
Comment convaincre les participants que les chances pour le gagnant d’être parmi
les envois postaux ou les mails sont les mêmes ?
ACTIVIT É
2
Simuler à l’aide d’un tableur
En 2008, la France a présidé pendant six mois
l’Union Européenne. À cette occasion des pièces
commémoratives de deux euros ont été mises en
circulation.
Pour réaliser la simulation demandée, on remplacera la pièce commémorative par une pièce « classique » de 2 €.
1 Lancer 20 fois une pièce de 2 € et noter F si la face obtenue est face et P si la face
obtenue est pile.
2 Ouvrer le fichier « 2euros.xls » et compléter le tableau à partir des résultats de la
question 1 .
3 Sur le graphique qui s’est construit, interpréter les résultats. Les comparer avec un
autre élève.
4 Regrouper les résultats des deux simulations dans le même tableau. Commenter le
nouveau graphique obtenu.
5 Comparer la fréquence obtenue pour F et P à la question 1 et à la question 4 .
6 Ouvrir le fichier « simulation_2euros.xls ». Lire les consignes et réaliser le travail
demandé.
7 En déduire la probabilité vers laquelle se rapprochent F et P.
30
L’essentiel
1 Expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire si elle peut être répétée dans des conditions identiques et
si les résultats ne sont pas prévisibles.
2 Éventualité – Univers
Une éventualité est un résultat possible d’une expérience aléatoire.
L’ensemble des éventualités possibles d’une expérience aléatoire est appelé univers,
noté .
exemple
Lorsque l’on jette un dé équilibré à 6 faces : l’univers est :
= {1,2,3,4,5,6}.
3 Événement – Événement élémentaire
Un événement est une partie de l’univers qui peut être, ou ne pas être, réalisé au cours d’une
expérience aléatoire.
Un événement élémentaire est un événement réduit à une seule éventualité.
exemple
Lorsque l’on jette un dé équilibré à 6 faces : « obtenir un nombre pair » est un
événement qui a pour éventualité : 2, 4 et 6 ; « obtenir 6 » est un événement
élémentaire.
4 Probabilité – Équiprobabilité
Si une expérience aléatoire est effectuée un grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d’un événement A se rapproche d’une « fréquence théorique », appelée probabilité et
notée p(A).
Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
On a une situation d’équiprobabilité quand les n événements élémentaires d’une expérience
aléatoire ont la même probabilité d’être réalisés. La probabilité de chaque événement élé1
mentaire est p = .
n
exemple
Lorsque l’on lance un dé un grand nombre de fois, il y a une chance sur 6 d’obtenir
la face 3. Autrement dit, la probabilité d’avoir l’événement A « obtenir la face 3 » est
1
1
ou p(A) = .
6
6
Il y a autant de chance d’obtenir le nombre 1, que les nombres 2, 3, 4, 5, ou 6 : c’est
une situation d’équiprobabilité.
5 Tirage sans remise – Tirage avec remise
Au cours d’un tirage sans remise, l’objet retiré est mis de côté.
Au cours d’un tirage avec remise, l’objet retiré est remis avec les autres objets.
31
À L’ORAL
Je vérifie mes acquis
1 Reconnaître une expérience aléatoire
5 Reconnaître une situation d’équiprobabilité
Parmi les expériences suivantes, quelles sont celles
qui correspondent à une expérience aléatoire ?
a) On lance un dé équilibré à 6 faces et on note le
nombre obtenu.
b) On lance un dé équilibré à 6 faces de couleurs différentes et on note la couleur obtenue.
c) On lance un dé truqué à 6 faces et on note le nombre obtenu.
d) On lance un jeton équilibré comportant une face
blanche et une face rouge. On note la couleur de la face
obtenue.
e) On lance une pièce truquée de un euro et on note
la face obtenue.
2 Énoncer les événements d’une expérience
aléatoire
a) Une urne contient 50 boules : 10 rouges, 10 bleues,
15 blanches, 15 noires. On tire une boule au hasard et
on note sa couleur.
Quels sont les événements possibles de cette expérience aléatoire ?
b) On fait tourner la roue de loterie ci-contre.
Quels sont les événements possibles de cette expérience aléatoire ?
Parmi les expériences aléatoires suivantes, quelles
sont celles qui correspondent à une situation d’équiprobabilité ?
Justifier la réponse.
a) Une urne contient 30 jetons identiques numérotés
de 1 à 30. On tire un jeton au hasard et on note le nombre obtenu.
b) Une urne contient 20 pièces : 4 pièces de 1 €,
4 pièces de 2 €, 5 pièces de 20 centimes d’€ et
7 pièces de 50 centimes d’€. On tire une pièce au
hasard et on note sa valeur.
c) Une roue de loterie est composée de 6 parts égales
dont 2 rouges, 3 bleues et une verte. On fait tourner la
roue et on note la couleur désignée par la flèche.
d) Au jeu du loto, une urne contient 49 boules identiques numérotées de 1 à 49. On tire une boule et on
note le numéro obtenu.
6 Évaluer une probabilité
On dispose un jeu de 32 cartes dans une boîte. On
effectue le tirage avec remise d’une carte et on note
sa valeur.
a) Calculer la probabilité d’avoir l’as de cœur.
b) Quelle est la probabilité d’avoir une carte dont la
valeur est comprise entre 7 et 10 ?
c) Quelle est la probabilité d’avoir un trèfle ?
7 Évaluer une probabilité
3 Calculer une fréquence
On lance 50 fois un dé équilibré à 6 faces notées de 1
à 6. On a obtenu 23 fois les faces 2,4 ou 6.
Calculer la fréquence d’obtenir une face paire, et en
déduire la fréquence d’obtenir une face impaire.
4 Calculer une fréquence
On lance un dé équilibré à 6 faces et on s’intéresse
à l’événement A : « la face obtenue est un nombre
pair ».
On a utilisé un tableur pour simuler cette expérience
aléatoire. Quatre simulations de 1 000 lancers chacune ont été réalisées (S1, S2, S3 et S4).
Les résultats dans le tableau suivant donnent, pour
chaque simulation, le nombre de fois où la face correspondante est apparue :
On lance 20 fois une pièce équilibrée de un euro et on
note la face obtenue. Les résultats sont notés P pour
« pile » et F pour « face » :
F
F
P
P
P
P
P
P
F
F
P
F
F
F
P
P
F
P
P
P
a) Calculer la fréquence d’apparition de la face P.
b) En déduire la fréquence d’apparition de la face F.
32
À partir des résultats du tableau donner une valeur
possible pour la probabilité p(A).
J’applique
b) Les résultats obtenus sont regroupés dans le
tableau ci-dessous (on note R la couleur rouge, V la
couleur verte et J la couleur jaune) :
Calculer la fréquence
d’apparition d’un événement
EXE RC I C E RÉ S O L U
J
R
R
V
V
R
J
J
V
V
On lance un dé équilibré à 6 faces et on note le
nombre sur la face obtenue.
a) Citer les éventualités de cette expérience
aléatoire.
b) Les résultats sont donnés dans le tableau
suivant :
R
R
J
R
V
R
R
J
V
V
R
R
J
R
V
V
R
R
V
J
6
5
2
4
3
1
1
1
3
5
5
5
4
6
4
3
4
4
4
1
6 1 4 2 2 4 1 1 2 2
4 1 6 2 5 3 6 2 1 3
Quelle est la fréquence d’apparition de la face 4 ?
de la face 5 ?
a) Les éventualités sont :
1, 2, 3, 4, 5, et 6.
1
9
Faces
Effectifs
2
7
3
5
4
9
5
5
Calculer la fréquence d’apparition de chacune des
couleurs.
10 Les lettres du mot MATHEMATIQUES sont notées
sur des jetons et mises dans un sac. On tire au hasard
un jeton et on note la lettre obtenue. Le tirage est avec
remise.
a) Quelles sont les éventualités de cette expérience
aléatoire ?
b) Les résultats des tirages sont donnés dans le
tableau suivant :
6
5
b) On calcule :
– le nombre total de lancers : 40
– la fréquence d’apparition de la face 4 :
9
= 0,225
40
– la fréquence d’apparition
de la face 5 :
On divise l’effectif
de la face
correspondante
par l’effectif total.
f4 =
f5 =
5
= 0125
,
40
8 On lance une pièce équilibrée de un euro et on
note la face obtenue.
a) Quelles sont les éventualités possibles de cette
expérience aléatoire ?
b) On obtient les résultats suivants (P pour pile et F
pour face) :
P
F
F
F
P
F
F
F
F
P
P
P
F
F
P
F
F
F
F
P
Calculer la fréquence d’apparition de F.
9 Une urne contient 2 boules rouges, 2 boules vertes et 2 boules jaunes. On tire au hasard une boule et
on note sa couleur. Le tirage est avec remise.
a) Quelles sont les éventualités possibles de cette
expérience aléatoire ?
M
T
E
T
S
M
M
M
T
E
E
Q
M
E
E
E
M
H
M
M
A
M
H
A
T
Q
H
E
E
T
H
A
M
A
S
A
Calculer la fréquence d’apparition des lettres Q, T, M.
11 Dans une classe de Seconde professionnelle, il y
a 12 filles et 18 garçons.
Parmi la liste des élèves, on tire au hasard (tirage avec
remise) un nom et on note le résultat F pour fille et G
pour garçon.
On obtient les résultats suivants :
F
F
F
G
F
G
G
G
G
F
G
G
G
G
F
F
G
F
G
F
G
G
Calculer la fréquence d’apparition de F et G.
Déterminer la probabilité d’un
événement
EXERC ICE RÉSOLU
Une boîte contient 10 jetons numérotés de 1 à
10, indiscernables au toucher. On tire au hasard
un jeton, on note son numéro et on le remet dans
la boîte.
a) Quelle est la probabilité d’obtenir le jeton
numéro 4 ? numéro 5 ?
b) Quelle est la probabilité de l’événement A :
« obtenir un jeton ayant un numéro pair » ?
33
J’applique
a) Quelle est la probabilité de tirer la lettre R ?
b) Quelle est la probabilité de tirer un S ?
c) Quelle est la probabilité de tirer une consonne ?
Les 10 jetons ont la même chance d’être tirés :
c’est une situation d’équiprobabilité.
La probabilité d’avoir le jeton numéro 4 est :
1
p(4) = . La probabilité d’avoir le jeton numéro 5
10
1
est : p(5) = .
10
Il y a 5 jetons pairs dans le sac : le 2, 4, 6, 8 et 10.
p(A) = p(2) + p(4) + p(6) + p(8) + p(10)
=
13 On lance deux dés et on note la somme des deux
faces obtenues.
a) Écrire les éventualités possibles.
b) Calculer la probabilité d’avoir la somme 12.
c) Quelle est la probabilité d’avoir une somme inférieure ou égale à 6 ?
1 1 1 1 1 5 1
+ + + + = =
10 10 10 10 10 10 2
14 On considère une urne contenant les cubes de
couleurs différentes représentés ci-dessous.
On additionne
les probabilités
d’obtenir chaque
cas.
a) Écrire les éventualités possibles.
b) S’agit-il d’une situation d’équiprobabilité ? Justifier
la réponse.
c) On tire au hasard un cube dans l’urne, sa couleur est
violette. On le remet dans l’urne et on tire un second
cube.
Quelle est la probabilité que ce cube soit violet ?
h
Autrementt dit
dit, on a une chance
sur deux d’obtenir
un numéro pair.
12 Dans une urne, on dispose de 6 jetons marqués
avec les lettres du mot SAISIR. On tire, avec remise, un
jeton et on note la lettre correspondante.
Bilan Je me teste
Cocher la(les) bonne(s) réponses aux questions suivantes :
1
On lance 10 fois un dé équilibré à 6 faces et on obtient les
résultats suivants : 3, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 1, 5, et 3. Quelle est
la fréquence d’apparition du nombre 3 ?
a) 0,3
b) 3
c) 30
Pour les questions 2 et 3, on lance un dé pipé 100 fois.
Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :
Faces
Effectifs
2
3
4
34
1
15
2
20
La fréquence d’apparition d’un nombre impair est :
3
18
4
14
a) 0,5
La fréquence d’apparition d’un nombre inférieur ou égal à
a) 0,5
3 est :
On est dans une situation d’équiprobabilité lors d’un
5
17
6
16
b) 0,2
c) 0,16
b) 0,53
c) 0,47
a) lancer de dé b) tirage d’une
non truqué
carte
c) jeu de pile ou
face
Je m’entraîne
15 Pour simuler le jet d’un dé dont les faces sont
numérotées de 1 à 6, on utilise :
– sur une calculatrice Ti82 Stat.fr, l’instruction :
dans la cellule A102 et en utilisant le « glisser-coller »
jusqu’à la cellule Y102.
c) Calculer l’étendue des fréquences de l’échantillon.
Int ( rand × 6 ) + 1
17 Au jeu des petits chevaux, pour commencer la
– sur une calculatrice Casio Graph 35+, l’instruction :
partie chaque joueur doit réaliser un six à l’aide d’un
dé.
Int ( rand # × 6 ) + 1
(On prend la partie entière d’un nombre aléatoire multiplié par 6, à laquelle on ajoute 1).
a) À l’aide de cette instruction, simuler 50 jets de ce dé
et noter les résultats dans le tableau suivant.
Faces
Effectifs
1
2
3
4
5
6
b) À l’aide d’un diagramme en bâtons, représenter graphiquement le tableau précédent en utilisant la calculatrice.
c) Déterminer à partir du graphique, quelle est la face
qui apparaît le plus souvent.
En déduire la fréquence d’apparition de cette face.
16 À l’aide d’un tableur, on souhaite simuler 25 expériences aléatoires du jeu PILE ou FACE, comportant
chacune 100 lancers :
a) Réaliser un tableau représentant 25 expériences de
100 lancers en entrant la formule :
=SI(ENT(ALEA()+0,5)=0;"PILE";"FACE")
dans la cellule A1 et en utilisant le « glisser - coller »
jusqu’à la cellule Y100.
Marc affirme qu’il est plus difficile d’obtenir un six
qu’une autre face.
À l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice réaliser une
simulation correspondant à la situation ci-dessus et
confirmer ou infirmer l’affirmation de Marc.
18 Dans une boîte, on tire au hasard un jeton parmi
10 jetons numérotés de 1 à 10.
a) En utilisant un tableur, simuler cette situation à l’aide
de 40 expériences comportant 500 tirages.
b) Pour chaque jeton, déterminer la fréquence d’apparition.
c) Calculer l’étendue des fréquences pour tous les
jetons.
d) Jean affirme que la fréquence d’apparition du 10 est
inférieure à 5 %. Cette affirmation est-elle conforme aux
calculs de la question c ?
19 On dispose d’une urne contenant 5 jetons émoticônes représentés ci-dessous :
b) Calculer la fréquence d’apparition de la face PILE pour
chaque expérience en tapant la formule :
=(NB.SI(A1:A100;"PILE")/NBVAL(A1:A100))*100
On met ces jetons dans un sac opaque et on tire au
hasard un jeton.
Célia affirme que le jeton vert est le jeton qui a le plus
de chance d’être tiré.
a) À l’aide d’un tableur, simuler cette situation pour
100 tirages, et regrouper dans un tableau les fréquences d’apparition de chaque jeton.
b) À partir de cette simulation, que peut-on dire de l’affirmation de Célia ?
c) À l’aide de la touche F9, recommencer la simulation :
que peut-on dire de l’affirmation de Célia ?
d) Recommencer la simulation pour 1 000 tirages et
10 000 tirages.
f) Que peut-on en conclure ?
35