Réponse indicielle et impulsionnelle d`un système

PSI Brizeux
Ch. E2: Réponse indicielle et impulsionnelle d’un système linéaire
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CHAPITRE E2
Réponse indicielle et impulsionnelle d’un
système linéaire
Nous connaissons tout l’intérêt de l’étude de la réponse harmonique d’un système à une sollicitation
de type sinusoïdal. L’étude d’autres types de réponses n’en n’est pas moins instructive et permet de
prévoir le comportement de ces systèmes à des sollicitations plus réalistes.
1.
REPONSE INDICIELLE D’UN SYSTEME LINEAIRE
On appelle échelon unité ou fonction de Heaviside, notée u(t), la fonction définie par :
u(t)
u(t) = 1 pour t ! 0
1
u(t) = 0 pour t < 0
0
t
La réponse indicielle d’un système linéaire est le signal de sortie su(t) associé à une entrée échelon
(pas forcément unité).
L’intérêt d’une telle étude est d’observer l’effet d’une discontinuité finie du signal d’entrée.
Cette « discontinuité » est obtenue en pratique lorsque le signal d’entrée présente un temps de
montée très court devant les temps caractéristiques du système à étudier.
1.1.
Paramètres caractéristiques de la réponse à un échelon
1.1.1. Valeur finale
Sauf instabilité, s(t) tend vers un état final d’équilibre lorsque t tend vers l’infini. Cet état d’équilibre
est un régime continu (indépendant du temps).
Pour connaître directement la valeur finale de s(t), il suffit donc de faire tendre ω vers 0 dans H(jω)
(ou p vers 0 dans H(p)).
lim s(t) = lim H(p)
t "#
!
p"0
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Exemples :
C
R
e(t)
C
s(t)
e(t)
R
s(t)
Déterminer H(p) et vérifier la cohérence du résultat en tenant compte du comportement asymptotique des composants à
basse fréquence.
1.1.2. Temps de réponse à 5%
C’est le temps nécessaire pour que la sortie du système ait son écart à la valeur finale définitivement
inférieur à 5% de l’écart entre la valeur initiale et la valeur finale.
s(t)
Le temps de réponse tr permet d’évaluer la rapidité
valeur finale d’évolution du système.
Dans les systèmes réels, on cherche généralement à
optimiser sa valeur.
t
1.1.3. Dépassement
Si s(t) sort à certains instants de l’intervalle [s(0) ; sf], on dit qu’il y a dépassement. On le chiffre en %
de l’écart entre valeurs initiale et finale. Soit D = smax- sf = d.(sf – s0).100 . Selon les dispositifs, les
dépassements sont à proscrire ou alors sont tolérés dans la mesure où ils permettent d’optimiser un autre
paramètre tel que la rapidité.
1.2.
Cas d’un système du 1er ordre
Pour un système du 1er ordre, l’ordre maximal dans H(p) est 1. On a donc forcément un
dénominateur du type 1 + τp du fait de la condition de stabilité.
1.2.1. Passe-bas
Dans ce cas,
H(p) =
H0
1+ "p
ds
L’équation différentielle est alors : τ dt + s(t) = H0u(t).
!
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Pour t > 0, la solution générale de cette équation différentielle est de la forme : s(t) = H0 + Be-t/τ où B
est une constante.
Si s(t) est fonction continue du temps et si s(t=0-) = 0, alors B = -H0 et s(t) = H0(1 - e-tτ) pour t ≥0.
Pour t < 0 s(t) = 0.
On peut regrouper le résultat sous la forme :
s(t) = H0(1 - e-t/τ).u(t)
s(t) est de la forme :
s(t)
e(t)
t
Les caractéristiques de la réponse du passe-bas du
1er ordre à un échelon de tension sont :
* l’absence de dépassement.
* un temps de réponse à 5% d’environ 3τ.
* une intersection de la tangente à l’origine et
de l’asymptote à l’infini en t = τ.
* le temps de montée de 10 à 90% : tm ≈ 2,2 τ
(c’est la durée nécessaire pour que s(t) passe de 10%
à 90% de sa valeur finale).
1.2.2. Passe-haut
τp
Prenons par exemple : H(p) = H0 1 + τp .
ds
de
L’équation différentielle est alors : τ dt + s(t) = H0τ dt = 0
D’où s(t) = H0e-t/τ pour t >0.
Ce résultat peut se retrouver à l’aide du paragraphe précédent. En effet, on avait trouver tout à
l’heure s1(t) = H0(1 - e-t/τ) pour un second membre de l’équation différentielle H0e1(t). Ici le second
d (H0e1)
ds1
membre est τ dt , d’où une solution s(t) =τ dt .
s(t)
e(t)
La forme de la réponse est la
suivante :
On peut remarquer la discontinuité de
s(t) en t = 0, ainsi que l’intersection de la
tangente en t = 0 de la courbe s(t) avec
l’asymptote pour t infini : elle se fait pour t =
τ, comme précédemment.
t
En pratique, pour observer les réponses indicielles d’un système, on utilise la fonction créneaux des
GBF. Mais il faut pour cela ne pas choisir n’importe quelle fréquence du signal d’entrée....
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s(t)
21
e(t)
T
T = qlqs !
t
s(t)
e(t)
T >> !
t
s(t)
e(t)
T<!
t
1.3.
Cas d’un système du second ordre
(A+Bp)ω02
S(p)
On considère un système de fonction de transfert H(p) = E(p) = ω02+2σω0p+p2 .
ω0 est appelée pulsation propre du système et σ facteur d’amortissement.
1
On pose aussi souvent Q = 2σ appelé facteur de qualité du système.
d2 s
ds
de
L’équation différentielle du système est alors : dt2 + 2σω0 dt + ω02 s = Aω02 e + Bω02 dt
de
Si le signal d’entrée est l’échelon unitaire, alors pour t >0 on a dt = 0.
(a) ;
1.3.1. Régime forcé
Dans le cas où e(t) = Eu(t), la solution particulière de l’équation différentielle (réponse forcée) est
s1(t) = AE.
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1.3.2. Les différents régimes libres
Ce sont les solutions de l’équation sans second membre.
L’équation caractéristique est : r2 + 2σω0r + ω02 = 0. On a Δ’ = ω02(σ2 - 1) d’où les différents cas
envisagés selon le signe du discriminant :
1
♦ Si σ > 1 (soit Q < 2 ) (ceci correspond aux systèmes fortement amortis), alors Δ' > 0. On pose
Δ’ = Ω2 et on a : s2 (t) = e"#$ 0 t [ae"$t + be $t ] : le régime est apériodique.
1
♦ Si σ = 1 (soit Q = 2 ) : alors Δ' = 0 et on a : s2 (t) = e"#$ 0 t [a + bt ] : le régime est critique.
!
1
♦ Si σ < 1 (soit Q > 2 ) (ceci correspond aux systèmes faiblement amortis) : alors Δ' < 0 on pose
!
Δ’ = (jΩ)2 et on a : s2 (t) = e"#$ 0 t [acos$t + bsin$t ] : le régime est pseudopériodique.
Remarque : dans tous les cas, si σ < 0 on obtient une solution divergente (les termes de l’équa. diff.
n’étant alors pas tous du même signe) et le système est instable.
!
1.3.3. Solution complète
C’est la superposition du régime libre et du régime forcé.
En prenant les conditions initiales et si s(t)
est continue, on peut calculer les constantes
d’intégration a et b.
ds
Si nous choisissons ici s(0) = 0 et dt (0) = 0,
nous pouvons représenter les caractéristiques
temporelles des différents régimes : σ > 1, σ = 1
et σ < 1.
s(t)
e(t)
t
1.3.4. Détermination des caractéristiques d’un système d’ordre 2
♦ Ayant relevé la valeur expérimentale s∞ on peut en déduire A, gain statique du filtre. En effet,
s∞
A= E .
♦ Dans le cas des régimes pseudo-périodiques, deux méthodes permettent de déterminer rapidement
le facteur d’amortissement du système.
* Par le décrément logarithmique δ défini comme le logarithme népérien du rapport entre
s(t)
deux dépassements successifs : δ = ln s(t+T) (où T est la pseudo-période), rapport atteint par les
2πσ
mesures expérimentales. D’où, après calculs, δ =
≈ 2πσ lorsque σ<<1.
1-σ 2
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smax - s∞
* Par l’intermédiaire du dépassement. Celui-ci est défini par D = s∞
et est facilement
σπ
déterminable expérimentalement. Les calculs aboutissent à D = exp() dont on tire : σ =
1-σ2
lnD
2
π +ln2D
♦ De la mesure de la pseudo-période T et après détermination de σ on peut en déduire la pulsation
2π
propre ω0 =
.
T 1-σ2
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2.
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REPONSE A UNE IMPULSION
Cette étude permet de connaître l’évolution d’un système après que celui-ci ait subi une perturbation
très brève.
Nous allons tout d’abord donner la description mathématique d’une impulsion.
2.1.
Impulsion de durée très brève. Impulsion de Dirac
Un signal impulsionnel a la forme ci-contre. Il sera
considéré comme « très bref » si t0 est très inférieur au temps
caractéristique du système auquel il est appliqué : τ pour un
2π
1
système du 1er ordre, σω0 et ω0 pour un système du second
ordre.
e(t)
E0
t0
t
e(t)
Une impulsion unitaire est de la forme représenté ci-contre :
1/t 0
Soit su(t) la réponse d’un système linéaire (stationnaire) à un
échelon unité u(t) débutant à t = 0.
surface unité
t0
t
1
On peut exprimer le signal impulsionnel e(t) en fonction de u(t) par : e(t) = t0 (u(t) - u(t-t0)).
1
La réponse du système à e(t) est donc : s(t) = t0 (su(t) - su(t-t0)).
# ds &
ds
On constate que lim s(t) = % u (
. Autrement dit, lorsque t 0 " 0 , alors s(t) " u = dérivée de
t 0 "0
$ dt ' t= t 0
dt
la réponse à un échelon.
Or, lorsque t 0 " 0 , l’impulsion unitaire tend vers
!(t)
!
l’impulsion de Dirac δ(t) qui est définie de la façon suivante
:
!
!
!
'"(t) = 0 pour t # 0
) +%
(
) & "(t)dt = 1
*$%
du
dsu
On peut aussi la définir par : δ(t) = dt . Il n’est donc pas étonnant que sδ (t) = dt .
!
t
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2.2.
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Réponse impulsionnelle
On a δ(t) ⊃ 1 donc la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle est la fonction de
transfert du système.
Exemple : passe-bas du 1er ordre.
R
1
H(p) = 1+τp avec τ = RC
C
e(t)
s(t)
Si e(t) est une impulsion très brève de durée τ’ << τ et de hauteur E, en posant ϕ = τ’E on a
e(t) ⊃ ϕ.
ϕ
ϕ
On a alors S(p) = 1+τp
et s(t) = τ e-t/τ ! S(p).
e(t)
s(t)
E
"/!
!'
t
t
La discontinuité de s(t) paraît incompatible avec la continuité de la charge aux bornes du
condensateur. Il n’en est rien.
s(t)
En fait on a τ’ << τ , donc si on dilate l’échelle
temporelle au voisinage de t = 0 on a s(t) qui a
l’allure ci-contre.
C’est-à-dire qu’entre 0 et τ’ on a s(t) = E(1-e-t/τ)
Donc s(τ’) = E(1 - e-τ’/τ) ≈ Eτ’/τ = ϕ/τ.
!/"
"'
t
Nous allons voir, en lui consacrant le prochain chapitre, la réponse d’un système linéaire à un signal
d’entrée périodique et raisonner en terme de filtrage.
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3.
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UTILISATION DE LA TRANSFORMEE DE LAPLACE
3.1.
Définition. Propriétés
#
♦ La transformée de Laplace F(p) de f(t) est définie par : F(p) =
$ f(t)e
"pt
dt où p est complexe.
0
f(t) est appelée originale de F(p) sous réserve de convergence de cette intégrale. On note
f(t) " F(p) .
! linéaire, c’est à dire :
♦ La transformée de Laplace est une transformation
!
[ f1(t) + f2(t) ] " [ F1(p) + F2(p) ]
[ λf1(t) ] " [ λF1(p) ]
df
[ dt ] " pF(p) - f(0-)
! t
#
&
! % f(x)dx( ) F(p)
"
p
$0
'
!
♦ Les principales transformées de Laplace rencontrées en électronique sont regroupées dans le
!
tableau suivant :
1
u(t) " p
f(t-τ) " F(p)e-pτ
!
!
3.2.
1
e-at " p+a
ω
sinωt " p2 + ω2
p
cosωt " p2 + ω2
!-at
p+a
e cosωt " (p+a)2 + ω2
!
!
!
Relation entrée-sortie d’un système linéaire
On considère un système linéaire régi par l’équation différentielle :
ds
d2 s
de
d2 e
b0s(t) + b1 dt + b2 dt2 = a0e(t) + a1 dt + a2 dt2
(1)
En posant e(t) " E(p) et s(t) " S(p) et prenant la transformée de Laplace des 2 membres on obtient
après calculs :
2
a0+a1p+a
b2
ds
a1+a2p
a2
de
! 2p 2 E(p) + !b1+b2p 2 s(0-) +
2
2 e(0 ) 2
S(p) = b0+b1p+b
(0
)
p
b
+b
p+b
p
b
+b
p+b
p
dt
b
+b
p+b
p
b
+b
p+b
p
dt (0-).
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
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ds
de
Lorsque s(0-), dt (0-) , dt (0-) et e(0-) sont nulles, on a directement S(p) = H(p)E(p) , où H(p) est la
fonction de transfert du système.
3.3.
Exemple d’utilisation
1
On considère un système de fonction de transfert H(p) = 1+τp attaqué par un échelon u(t). En
1 1
1
1
prenant s(0-) = 0, on obtient directement S(p) = p 1+τp = p - p + 1/τ (réduction en éléments simples).
D’où, en prenant l’original de S(p) : s(t) = 1 - e-t/τ