Sur l`application des méthodes d`approximations

J OURNAL DE MATHÉMATIQUES
PURES ET APPLIQUÉES
E RNEST L INDELÖF
Sur l’application des méthodes d’approximations successives à l’étude
des intégrales réelles des équations différentielles ordinaires
Journal de mathématiques pures et appliquées 4e série, tome 10 (1894), p. 117-128.
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DES
APPUC~TION
~r
/~<c~M~
~~e~e
~r~
MÉTHODES
D\PPROXIMA.T!ONS
(les /~Aof/c~' ~t?~o~~
rcc//c.?
~M/<~
~~v~
PAR
SUCCESSIVES.
11~
~cc~/<~
<7'e/?~
M ERNESTUNDELOF
La présente étude a pour but de donner une exposition succincte de
Luméthode d'approximations successives de M. Picard en tant qu'elle
supplique aux équations différentielles ordinaires ( ). Je commence
par démontrer, d'une manière très simple, qu'il ne peut y avoir qu'un
seul système d'intégrales de nos équations prenant des valeurs initiales données. Les conditions dans lesquelles je me place sont assez
générales; ainsi je ne suppose pas l'existence des dérivées des fonctions
qui figurent dans les seconds membres (les équations étant réduites à
la forme normale). Puis j'expose la méthode de M. Picard avec la
modification que j'y ai apportée dans une Note que j'ai eu l'honneur
de présenter à l'Académie des Sciences (séance du 26 février i8()~).
A la fin j'applique la méthode exposée à la démonstration d'un théorème connu de M. Poincaré concernant les équations différentielles
dépendant d'un paramètre arbitraire.
SM~ théorie des équations aux dérivées partielles
(' ) E. Ptc~RD, ~o<re
et la méthode des approximations
de ~fa!<
successives, Chap. V (Journal
et
Journal
de
l'École
/~a~M~
Polytechnique,
1890).
Sur l'application
des méthodes d'approximations
~MCceMï~M /~M~e
certaines équations ~~e/'e/t~'c~/e~ ordinaires,
1
Chap.
(JoM/o~ de j~~e/yM:~Me~.
ï8~3).
Journ.
de
(4' série), tome X.
Fasc. II, 18;)~.
i6
M 8
E.
LINDELÔF.
i. Considérons le système des équations différentielles
Nous supposons que les fonctions/
/a,
tinues pour les valeurs réelles de ~c, y,, y3,
les intervalles
soient finies et concomprises dans
étant des nombres positifs.
/r,, A~,
Nous allons d'abord démontrer qu'il ne peut exister qu'un système
d'intégrales des équations (i), continues dans un intervalle
et prenant les valeurs y*~
'?
P~~ x ==~o'
en
existe
deux
tels systèmes d'intégrales
effet, qu'il
Supposons,
APPLICATION
DES MÉTHODES
D ~APPROXIMATIONS SUCCESSIVES.
!I()
120
E.
LINDELÔF.
Soit A une quantité positive plus petite que
et p. E la plus
grande valeur de la fonction ~*(a.') dans l'intervalle (a?c~'o+A) et
~'0 -+-A, (A, ~A)la valeur de x correspondant à ce maximum. On aura
<~cc /e r~M~<x<o6<<?~M
Aa~. Donc
c~ ~Mt e.y~ co~c~o/~
seul
de
satisfaisant
U ne
il
ne peut exister
exister qu'un
qu\m seul système d'intébrales
d~intégrales de (i) satisfaisant MllX
aux
c. Q. r. ]).
condiuons posées,
3. Considérons toujours le système ( i), en faisant sur les fonctions
mêmes hypothèses qu'au début du numéro précé./n ,/2? "s
dent. Pour former effectivement les intégrales de ce système qui se
réduisent ay~
'"?~
pour ~=.y,)) on aura, d'après la méthode de M. Picard, a former n suites de fonctions
les constantes d'intégration étant déterminées en sorte qu'on ait,
APPLICATION
DES
MÉTHODES
D'APPROXIMATIONS
SUCCESSIVES.
121
Ces inégalités subsisteront tant que les courbes y~ resteront comprises dans les intervalles (2), soit pour .r. .r a~-t- p(p~a). Pour
ces valeurs de x les séries (4) seront uniformément convergentes,
leurs termes successifs étant plus petits que ceux de la série exponentielle
Il s'ensuit que, dans ledit intervalle de x, ces séries représentent
i22
E.
LINDELÔF.
les intégrales cherchées du système (t). On aura, en effet, à
partir
d'une certaine valeur K de k,
qui aura lieu dans l'intervalle (~+
p) de x et pour k ~> K. Le
premier membre étant indépendant de K et pouvant d'autre part.,
pour des valeurs assez grandes de K, être rendu plus petit qu'une
quantité positive quelconque, quelque petite qu'elle soit, il s'ensuit
qu'on aura identiquement
Les fonctions Y~ Y~
Y~ représentent donc bien les intégrales
cherchées du système (t) lorsque x reste dans l'intervalle (;z\ .x'+ p).
(c. Q. F. D.).
3. Occupons-nous maintenant du domaine de convergence des
séries que nous venons de former. Il s'agit de trouver une expression
pour la quantité désignée plus haut par p.
APPLICATION
DES METHODES
D'APPROXIMATIONS
SUCCESSIVES.
123
ta4
E.
LINDELÔF.
soient intégrables dans le même intervalle de x. Les deux expressions
que nous venons de trouver pour le domaine de convergence des
séries (~) seront encore valables pour les nouvelles séries, à cette différence près qu'on aura à remplacer M. par la valeur absolue maxima
des fonctions
pour les valeurs de x comprises dans l'intervalle (~'o, x,, + a).
4. On peut indiquer des cas étendus où le domaine de convergence
des séries (~) est encore plus large. Ainsi, considérons l'équation
la fonction f (x, y) étant finie, continue et positive pour
-r <~a7,
.y ayant une valeur finie quelconque; de plus, dans les mêmes intervnHes,/(a~~) va toujours en décroissant lorsque y croît; enfin, à tout
domaine fini compris entre les droites x == ~'o et
==.y, e, E étanl
une quantité positive si petite qu'on voudra, il correspond un nombre
positif tel qu'on ait
méthode des a~~ro~/M~~o/M ~McccM~<?~sera t/o//bM/
me/~e/z~ co/!p<?/<?/~c ~/M~<?/<?(~y,
s), quelque petite
E.
soit
la
que
quantitépositive
En effet, on aperçoit facilement que, dansFintervalle~o–
s),
les courbes~, y;},
seront tout entières comprises entre les deux
courbes yo ~ty~ finies et continues elles-mêmes dans ledit intervalle.
Il existe donc un nombre k valable pour toutes ces valeurs de x; c'est
le nombre k relatif à l'aire comprise entre ~o,~ e la droite x = x, s.
La démonstration s'achève comme dans le n" 2.
APPLICATION
DES MÉTHODES
D'APPROXIMATIONS
SUCCESSIVES.
125
Il en est de même si la fonction f (x, y), au lieu de décroître, va
toujours en croissant lorsque y croit, pourvu que l'intégrale dont il
s~agit soit finie et continue dans l'intervalle (xo
~)~s étant.
une quantité positive si petite qu'on voudra.
S. Pour terminer, je vais appliquer la méthode des approximations
successives à la démonstration d'un théorème de M. Poincaré (').
Cette application a déjà été faite par M. Picard (~). Seulement, en
faisant usage de la seconde limite de convergence que j'ai introduite
dans le n° 3, je pourrai éviter une transformation dont se sert M. Picard pour se débarrasser des termes du premier ordre.
TnÉoRÈME.
<M
Considérons le système des c~M~~o~ différen-
les intégrales
<x~ec<
t e~
de ce système,
:/x~7'<x~ ~a/ï~M~
s'annulant avec
~<e~e, lorsqu'on
~or~~M~o~
y fait
/en<
=
soient
et
contio.
Nous
fisupposons que les fonctions 6~(t)
finies
~M<?s
t
reste
dans
l'intervalle
lorsque
et que, pour les mêmes ~a~M~
soient développables e~
séries suivant les puissances entières et positives de
(~) Les Méthodes /ïOM(~~e~de la ~fgM~~MCce/e~e, t. I, p. 58-6i.
(~) Comptes y'e/ï~K~de l'Académie des Sciences, séance du 9 avril 1894.
Journ. de Math. (4' série), tome X. Fasc.II, tSg~.
17
126
E. LINDELÔF.
tl nous faut supposer encore que, lorsque t, varie depuis zéro jusqu'à
P(t, ) et Q(t, ) aient des limites inférieures, p et 7~ différentes
de zéro (' ).
Ces conditions supposées remplies, les intégrales de (6) s'annulant pour t = 0 seront développables en séries suivant les puissances entières et positives de [JL,ces séries étant convergentes lors~MC p~ 1 resteau-dessous d'une CCr~~C limite, t ayant une valeur
quelconque dans l'intervalle (7).
< ayant une valeur quelconque dans l'intervalle (~); d'ailleurs
fonctions
s'annuleront identiquement lorsqu'on y fait
les
(~) Il est facile de former des fonctions fi pour lesquelles cette dernière condition n'est pas remplie. Ainsi, par exemple, la fonction
est bien développable suivant les puissances de p., .a?i,.r:,
< ayant une
valeur quelconque dans l'intervalle (y), mais le domaine où converge cette série
tend vers zéro lorsque t tend vers
2
APPLICATION
DES MÉTHODES
D'APPROXIMATIONS
SUCCESSIVES.
les variables restant dans les intervalles considérés.
Cela posé, appliquons la méthode des approximations
la recherche des intégrales du système
12~
successives à
128
E.
LINDELÔF.
APPLICATION
DES MÉTHODES
D'APPROXIMATIONS.
seront uniformément convergentes et représenteront les intégrales
cherchées pour les valeurs de et de t comprises dans les intervalles
Or, M(p') tendra évidemment vers zéro en même temps que p'. Dès
lors, il existe un nombre p~ tel que, pour p'<~p~, la seconde des
limites (8) sera plus grande que la première et, par suite, on pourra
affirmer que les séries ~({~ t) convergent uniformément dans tout
l'intervalle o–~
<~ pg. Les termes de ces séries
pourvu qu'on ait
étant d'ailleurs des fonctions holomorphes de
pour ~<~p, on en
en
se
un
théorème
bien
connu
de M. Weierconclut,
reportant à
strass (~), que les fonctions ~(pL, t) et, par suite, les intégrales cherchées du système (6), sont développables en séries suivant les puisces séries étant convergentes pour
sances entières et positives de
) ~)<~P2, la variable t ayant une valeur quelconque dans l'intervalle
C.Q.F.D.
(O––<(,).
(') ~M<ï/«/~e~
~M~ofc/' ~M/o/~e~/cA/'e
1
(BerUn,
1886), p. ~S.