Ce qui rend l`abduction difficile - Bruno Zanuttini

Transcription

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Bonjour à tous
Ce qui rend l’abduction difficile
Bruno Zanuttini1
1 GREYC,
2 LIF,
Nadia Creignou2
Gustav Nordh3
Université de Caen Basse-Normandie
Université de la Méditerranée, Marseille
3 LIX,
Polytechnique
Séminaire du GREYC, 11 décembre 2007
Bruno Zanuttini, Nadia Creignou, Gustav Nordh
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Introduction
Introduction
•
L’abduction :
•
•
•
•
sachant que p1 → q, p2 ∧ a → q, p3 → a
observant q
considérant les hypothèses p1 , p2 , p3
inférer les explications {p1 } ou {p2 , p3 }
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Introduction
Introduction
•
L’abduction :
•
•
•
•
•
sachant que p1 → q, p2 ∧ a → q, p3 → a
observant q
considérant les hypothèses p1 , p2 , p3
inférer les explications {p1 } ou {p2 , p3 }
Questions :
•
•
•
algorithmique et complexité
frontière entre problèmes faciles/difficiles
en fonction des restrictions syntaxiques/langages sur les KB
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Plan de la présentation
Plan de la présentation
Le problème d’abduction
Bases de connaissances et observations propositionnelles
Algorithmique et complexité
Classification
La frontière
Un petit détour en théorie de la complexité
Conclusion
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Classification
La frontière
Conclusion
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Exemple : diagnostic médical
•
On sait que :
•
•
•
•
grippe → fièvre
fièvre → frissons
grippe → toux
bronchite → toux
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Exemple : diagnostic médical
•
On sait que :
•
•
•
•
grippe → fièvre
fièvre → frissons
grippe → toux
bronchite → toux
•
Un patient donné a des frissons
•
Diagnostic : le patient a la grippe
•
Un patient donné tousse
•
Diagnostic : le patient a la grippe ou une bronchite
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Exemple : planification dans le monde des blocs
•
On sait que :
•
•
•
•
•
•
move(B1 , B2 , t) → on(B1 , B2 , t + 1)
move(B1 , B2 , t) → clear (B1 , t) ∧ clear (B2 , t) ∧ b1 6= table
move(B1 , B2 , t) ∧ move(B3 , B4 , t) → B1 = B3 ∧ B2 = B3
on(B1 , B2 , t) ∧ ¬move(B1 , B3 , t) → on(B1 , B2 , t)
clear (B2 , t) ↔ B2 = table ∨ ¬on(B1 , B2 , t)
on(B2 , table, 0) ∧ on(B3 , table, 0) ∧ on(B1 , B3 , 0)
•
On veut on(B1 , B2 , 3) ∧ on(B2 , B3 , 3) ∧ on(B3 , table, 3)
•
Plan : {move(B1 , table, 0), move(B2 , B3 , 1), move(B1 , B2 , 2)}
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Exemple : diagnostic de circuits
O
Or
And1
I1
And2
I2
I3
I4
•
On observe I1 = I2 = 0 et I3 = I4 = 1 mais O = 0
•
Diagnostics :
{OK (And2 ), KO(Or )} ou {OK (And1 ), KO(And2 ), OK (Or )}
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Exemple : explication d’échec
•
On sait que :
•
•
•
•
absent ↔ conférence ∨ malade
conférence → article
absent → refusRéunion
malade → ¬conférence
•
On essuie un refus de réunion
•
Explications : conférence ou malade (mais pas les deux)
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Exemple : non observabilité
•
On sait que :
•
•
•
•
•
On veut s’assurer qu’une personne est malade
•
Indicateurs : elle est absente et n’a pas d’article
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Exemple : non observabilité
•
On sait que :
•
•
•
•
•
On veut s’assurer qu’une personne est en conférence
•
Indicateurs : aucun
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Problème d’abduction
•
Entrée :
•
•
•
base de connaissances KB
ensemble d’hypothèses H
observation Obs
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Problème d’abduction
•
Entrée :
•
•
•
•
base de connaissances KB
ensemble d’hypothèses H
observation Obs
On cherche une explication E telle que :
•
•
•
V
KB ∧ V E implique Obs
KB ∧ E cohérent
E ⊆H
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Autres applications
•
Explication d’incohérence (configuration) :
•
•
•
•
un catalogue en intension + des choix d’un utilisateur
une valeur non disponible pour un nouveau paramètre
quels choix précédents interdisent cette valeur ?
Interprétation LN (Hobbs, Stickel, Appelt, Martin, AĲ’93)
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Classification
La frontière
Conclusion
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Formules CNF
•
Variables propositionnelles
•
CNF : conjonction de clauses
•
Exemple : (x1 ∨ ¬x2 ) ∧ (¬x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ) ∧ (¬x4 ∨ ¬x5 )
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Formules CNF
•
Variables propositionnelles
•
CNF : conjonction de clauses
•
Exemple : (x1 ∨ ¬x2 ) ∧ (¬x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ) ∧ (¬x4 ∨ ¬x5 )
•
Restrictions locales :
•
•
•
•
•
restreindre le type des clauses dans la KB
Horn
bĳonctives
3CNF, IHSB, IHSB−k , négatives, etc.
Autres : Horn-renommables, acycliques, monotones, etc.
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Exemple
•
Problème Abduction(CHorn ) :
•
•
•
•
KB une formule CNF de Horn
H un ensemble de littéraux
Obs une formule propositionnelle
existe-t-il une explication ?
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Exemple
•
Problème Abduction(CHorn ) :
•
•
•
•
•
KB une formule CNF de Horn
Exemple d’instance pour Abduction(CHorn ) :
•
•
•
•
KB = (p1 → q1 )∧(p2 ∧a → ¬q2 )∧(p3 → a)∧(¬p1 ∧p4 → ¬q2 )
Obs = q1 ∨ ¬q2
H = {p1 , ¬p1 , p2 , ¬p2 , p3 , p4 }
E = {p1 } ou {p2 , p3 } ou {p4 }
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Langages de contraintes
•
Relations : ensemble de tuples autorisés
•
Contrainte : relation appliquée à des variables
•
Formule : conjonction de contraintes
•
Exemple : 1/3(x1 , x2 , x3 ) ∧ différents(x2 , x4 ) ∧ 1/3(x1 , x2 , x4 )
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Langages de contraintes
•
Relations : ensemble de tuples autorisés
•
Contrainte : relation appliquée à des variables
•
Formule : conjonction de contraintes
•
Exemple : 1/3(x1 , x2 , x3 ) ∧ différents(x2 , x4 ) ∧ 1/3(x1 , x2 , x4 )
•
Restrictions à des langages :
•
•
langage : ensemble fini de relations
exemples :
•
•
•
langage {1/3, différents},
langage des clauses de Horn d’arité 3
généralise les restrictions sur les CNF
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Exemple
•
Problème Abduction({1/3, différents}) :
•
•
•
•
KB une conjonction de contraintes sur {1/3, différents}
17 / 46
Exemple
•
Problème Abduction({1/3, différents}) :
•
•
•
•
•
KB une conjonction de contraintes sur {1/3, différents}
Exemple d’instance pour Abduction({1/3, différents}) :
•
•
•
•
KB = 1/3(p1 , a, q) ∧ différents(a, p2 )
Obs = q
H = {p1 , ¬p1 , p2 , ¬p2 }
E = {¬p1 , p2 }
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Observations
•
Littéraux :
•
•
•
quelconques : Obs = x1 , Obs = ¬x2
positifs : Obs = x1 , Obs = x2
négatifs
Observations les plus simples
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Observations
•
Littéraux :
•
•
•
quelconques : Obs = x1 , Obs = ¬x2
positifs : Obs = x1 , Obs = x2
négatifs
Observations les plus simples
•
Termes, termes positifs, négatifs : Obs = (x1 ∧ ¬x2 ∧ ¬x3 )
•
Clauses : Obs = (¬x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 )
•
•
•
•
observation incertaine
suite d’observations
but pour la planification. . .
CNF
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Hypothèses
•
Toutes positives :
•
•
•
défectuosité des portes pour le diagnostic
choix des utilisateurs pour la configuration
actions pour la planification. . .
•
Toutes négatives
•
Quelconques
•
Closes par négation : x1 , ¬x1 ou aucun des deux
•
descripteurs observables
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Abduction : définition formelle
•
Pour :
•
•
•
un langage de contraintes ou une classe de CNF K
une classe d’observations O
une classe d’ensembles d’hypothèses H
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•
Pour :
•
•
•
•
Donnée du problème d’abduction Abd(K,O,H) :
•
•
•
une base de connaissances KB ∈ K
une observation Obs ∈ O
un ensemble d’hypothèses H ∈ H
20 / 46
•
Pour :
•
•
•
•
•
•
•
•
En sortie, une explication E avec :
•
•
•
E ⊆ HV
KB ∧ V E |= Obs
KB ∧ E satisfaisable
20 / 46
•
Pour :
•
•
•
•
•
•
•
•
En sortie, une explication E avec :
•
•
•
•
E ⊆ HV
KB ∧ V E |= Obs
KB ∧ E satisfaisable
Problème de décision : existe-t-il une explication ?
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Classification
La frontière
Conclusion
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Classes de complexité
•
P : temps polynomial
22 / 46
•
•
NP :
•
•
•
témoin à deviner
témoins vérifiables efficacement (dans P)
∃V ϕ avec ϕ sur V et en CNF
22 / 46
•
•
NP :
•
•
•
•
témoin à deviner
coNP :
•
•
•
tous les témoins potentiels à vérifier
∀V ϕ avec ϕ sur V et en DNF
22 / 46
•
•
NP :
•
•
•
•
coNP :
•
•
•
•
témoin à deviner
Σ2 P :
•
•
•
témoin à deviner
vérification d’un témoin dans NP/coNP
∃V ∀V 0 ϕ avec ϕ sur V ∪ V 0 en DNF
22 / 46
•
•
NP :
•
•
•
•
coNP :
•
•
•
•
Σ2 P :
•
•
•
•
témoin à deviner
témoin à deviner
vérification d’un témoin dans NP/coNP
∃V ∀V 0 ϕ avec ϕ sur V ∪ V 0 en DNF
Problème complet pour C :
•
tout autre problème de C s’y réduit en temps poly
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Résultats généraux
•
Aucune restriction sur KB : Σ2 P-complet
•
•
•
•
•
même pour Obs = littéral positif ou négatif
même pour H positif, négatif, clos par négation
même pour les deux restrictions à la fois
idem pour KB en 3CNF, pour le langage {1/3}, etc.
résultat positif et négatif
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Résultats généraux
•
Aucune restriction sur KB : Σ2 P-complet
•
•
•
•
•
•
même pour Obs = littéral positif ou négatif
même pour H positif, négatif, clos par négation
même pour les deux restrictions à la fois
idem pour KB en 3CNF, pour le langage {1/3}, etc.
résultat positif et négatif
Déduction de clauses polynomiale : NP-complet
•
•
•
langages tous connus
Horn, bĳonctif, dual Horn, affine
bons candidats pour la représentation de K
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Problèmes NP-complets, exemple
•
KB bĳonctive : (x1 ∨ ¬x2 ) ∧ (¬x2 ∨ ¬x3 ) ∧ (x4 ) ∧ (¬x1 ∨ x3 )
•
Observations : termes positifs
•
Hypothèses quelconques
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•
•
•
•
Dans NP : car déduction de clauses polynomiale
Réduction polynomiale depuis SAT :
•
•
ϕ = (x ∨ y ∨ z) ∧ (¬x ∨ ¬y ) ∧ (¬x ∨ ¬z)
24 / 46
•
•
•
•
•
•
ϕ = (x ∨ y ∨ z) ∧ (¬x ∨ ¬y ) ∧ (¬x ∨ ¬z)
•
(x → s1 ) ∧ (y → s1 ) ∧ (z → s1 )
KB : ∧ (¬x → s2 ) ∧ (¬y → s2 )
∧ (¬x → s3 ) ∧ (¬z → s3 )
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•
•
•
•
•
•
ϕ = (x ∨ y ∨ z) ∧ (¬x ∨ ¬y ) ∧ (¬x ∨ ¬z)
•
(x → s1 ) ∧ (y → s1 ) ∧ (z → s1 )
KB : ∧ (¬x → s2 ) ∧ (¬y → s2 )
∧ (¬x → s3 ) ∧ (¬z → s3 )
•
•
Obs = s1 ∧ s2 ∧ s3
H = {x , ¬x , y , ¬y , z, ¬z}
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Problèmes polynomiaux, exemple
•
KB bĳonctive
•
Observations : littéraux quelconques
•
25 / 46
•
KB bĳonctive
•
•
•
Idée :
⇔
⇔
⇔
⇔
KB ∧ e1 ∧ · · · ∧ ek |= o
KB |= (e1 ∧ · · · ∧ ek ) → o
KB |= (¬e1 ∨ · · · ∨ ¬ek ∨ o)
∃i ∈ {1, . . . , k}(KB |= (¬ei ∨ o))
∃i ∈ {1, . . . , k}(KB ∧ ei |= o)
25 / 46
•
KB bĳonctive
•
•
•
Idée :
⇔
⇔
⇔
⇔
KB ∧ e1 ∧ · · · ∧ ek |= o
KB |= (e1 ∧ · · · ∧ ek ) → o
KB |= (¬e1 ∨ · · · ∨ ¬ek ∨ o)
∃i ∈ {1, . . . , k}(KB |= (¬ei ∨ o))
∃i ∈ {1, . . . , k}(KB ∧ ei |= o)
•
Essayer toutes les explications de taille 1
•
De façon générale, générer les impliqués premiers
26 / 46
•
KB Horn définie positive :
•
•
clauses contenant exactement un littéral positif
exemple : (x1 ∨ ¬x2 ) ∧ (¬x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ) ∧ (x5 )
•
Observations quelconques
•
Hypothèses toutes positives
26 / 46
•
•
•
exemple : (x1 ∨ ¬x2 ) ∧ (¬x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ) ∧ (x5 )
•
•
•
Idée :
ToutesVles variables à 1 : modèle de KB
⇒ KB ∧ H est satisfaisable
V
⇒ ∀E ⊆ H,VKB ∧ E est satisfaisable
V
⇒ Si KB ∧ E |= Obs, alors KB ∧ H |= Obs
26 / 46
•
•
•
exemple : (x1 ∨ ¬x2 ) ∧ (¬x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ) ∧ (x5 )
•
•
•
Idée :
ToutesVles variables à 1 : modèle de KB
⇒ KB ∧ H est satisfaisable
V
⇒ ∀E ⊆ H,VKB ∧ E est satisfaisable
V
⇒ Si KB ∧ E |= Obs, alors KB ∧ H |= Obs
•
Il y a une explication ssi H en est une
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Autres types de résultats
•
Problèmes polynomiaux :
•
•
•
•
Problèmes triviaux :
•
•
•
utilisation de la projection
oubli des variables « intermédiaires »
langages affines
pas d’explications possibles
formules négatives
Problèmes coNP-complets :
•
•
•
une seule explication candidate
vérification difficile
langages 1-valides, 0-valides
28 / 46
Classification
Classification
La frontière
Conclusion
29 / 46
Classification
Classification de Post
•
K implémente K0 si ∀R ∈ K0 , R ≡ ∃Aϕ
•
•
•
A : variables auxiliaires, nouvelles
ϕ : conjonction de contraintes sur K
Exemple : (x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ) ≡ ∃a(x1 ∨ x2 ∨ a) ∧ (x3 6= a)
•
{∨/3, 6= /2} implémente toutes les clauses de longueur 3
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Classification
•
•
•
•
•
•
Question d’expressivité
•
K et K0 équivalents si s’implémentent mutuellement
•
Classes d’équivalence de langages
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Classification
•
•
•
•
•
•
Question d’expressivité
•
K et K0 équivalents si s’implémentent mutuellement
•
Classes d’équivalence de langages
•
Abduction : même classe + langages finis ⇒ même complexité
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Classification
Treillis de Post
BR
II0
II1
II
IN2
IN
IE2
IE0
IL2
IE1
IL0
IE
IV2
IL1
IV0
IL
IS10
IS12
IL3
ID2
IS11
IV1
IV
IS00
ID1
IS1
IS01
IS02
IS301
IS302
IS201
IS202
IS0
ID
IS310
IS312
IS311
IS212
IS211
IS300
IS210
IS200
IS31
IS30
IS21
IS20
IM2
IM0
IM1
IM
IR2
IR0
IR1
IBF
31 / 46
Classification
Utilisation pour Abd(K,termes,littéraux)
BR
IE2
IS10
IL2
ID2
IV2
IS00
IS02
IS12
IS310
ID1
IS300
IS302
IS312
IS210
IS200
IS212
IS202
IM2
IR2
31 / 46
Classification
BR
IE2
IS10
IL2
ID2
IV2
IS00
IS02
IS12
IS310
ID1
IS300
IS302
IS312
IS210
IS200
IS212
IS202
IM2
IR2
31 / 46
Classification
BR
IE2
IS10
IL2
ID2
IV2
IS00
IS02
IS12
IS310
ID1
IS300
IS302
IS312
IS210
IS200
IS212
IS202
IM2
IR2
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Classification
BR
IE2
IS10
IL2
ID2
IV2
IS00
IS02
IS12
IS310
ID1
IS300
IS302
IS312
IS210
IS200
IS212
IS202
IM2
IR2
31 / 46
Classification
BR
IE2
IS10
IL2
ID2
IV2
IS00
IS02
IS12
IS310
ID1
IS300
IS302
IS312
IS210
IS200
IS212
IS202
IM2
IR2
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Classification
BR
IE2
IS10
IL2
ID2
IV2
IS00
IS02
IS12
IS310
ID1
IS300
IS302
IS312
IS210
IS200
IS212
IS202
IM2
IR2
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Classification
BR
IE2
IS10
IL2
ID2
IV2
IS00
IS02
IS12
IS310
ID1
IS300
IS302
IS312
IS210
IS200
IS212
IS202
IM2
IR2
32 / 46
Classification
Classification complète. . .
•
Pour 12 classes d’observations
•
Pour 4 classes d’hypothèses
•
Pour 4 classes de complexité
•
Tous les langages finis
•
Toutes les restrictions locales sur les CNF
•
D’après environ 25 résultats de complexité
32 / 46
Classification
Classification complète. . .
•
Pour 12 classes d’observations
•
Pour 4 classes d’hypothèses
•
Pour 4 classes de complexité
•
Tous les langages finis
•
Toutes les restrictions locales sur les CNF
•
D’après environ 25 résultats de complexité
•
Permet de gérer le compromis expressivité/complexité
•
Résultats stables (p. ex. variables additionnelles)
33 / 46
La frontière
Classification
La frontière
Conclusion
34 / 46
La frontière
Entre P et NP-complet pour des CNFs. . .
•
Classes de CNF polynomiales pour la déduction de clauses :
•
•
•
•
•
donc déduction de littéraux, de termes, de CNF polynomiale
donc satisfaisabilité polynomiale
classes intéressantes pour la représentation de K
⊂-maximales connues : Horn, dual Horn, bĳonctives
Frontière P/NP-complet :
•
•
•
caractériser les cas faciles vs. difficiles
influence de K, O, H
apparaît a posteriori
35 / 46
La frontière
Observation = terme
h11
h12
..
.
h1`
h21
h22
..
.
m
h2
..
.
hk1
..
.
hkn
o1
o2
..
.
ok
36 / 46
La frontière
Observation = terme
•
Problème NP-complet exactement quand on peut exprimer :
•
•
h → o pour tous h, o individuels valides
¬(h ∧ h0 ) pour tout couple d’hypothèses
36 / 46
La frontière
Observation = terme
•
•
•
•
Exemple :
•
•
•
hypothèses négatives
Obs = terme positif
NP-complet ssi K exprime (¬x1 → x2 ) et ¬(¬x1 ∧ ¬x2 )
36 / 46
La frontière
Observation = terme
•
•
•
•
Exemple :
•
•
•
•
Obs = terme positif
Intuition :
•
•
•
•
h11 → o1 ,. . .,h1` → o1 : explication C1 = (h11 ∨ · · · ∨ h1` ) pour o1
Obs = o1 ∧ · · · ∧ ok : explication C1 ∧ · · · ∧ Ck
¬(ha ∧ hb ), ¬(hc ∧ hd ), etc. : explications interdites
problème SAT
36 / 46
La frontière
Observation = terme
•
•
•
•
Exemple :
•
•
•
•
Obs = terme positif
Intuition :
•
•
•
•
•
h11 → o1 ,. . .,h1` → o1 : explication C1 = (h11 ∨ · · · ∨ h1` ) pour o1
Obs = o1 ∧ · · · ∧ ok : explication C1 ∧ · · · ∧ Ck
¬(ha ∧ hb ), ¬(hc ∧ hd ), etc. : explications interdites
problème SAT
Confirme des observations similaires dans d’autres cadres
37 / 46
La frontière
Observation = littéral
h11
h12
..
.
`
h1
h21
h22
..
.
h2m
..
.
hk1
..
.
n
hk
i1
i2
o
..
.
ik
38 / 46
La frontière
Observation = littéral ou clause
•
•
•
•
h → i pour tous h valides, i variables « intermédiaires »
(i1 ∧ · · · ∧ ik ) → o pour tous k et o valides
38 / 46
La frontière
Observation = littéral ou clause
•
•
•
•
•
h → i pour tous h valides, i variables « intermédiaires »
(i1 ∧ · · · ∧ ik ) → o pour tous k et o valides
Exemple :
•
•
•
•
Obs = littéral positif
variables intermédiaires négatives
NP-complet si K exprime :
•
•
•
(¬x1 → ¬x2 )
¬(¬x1 ∧ ¬x2 )
(¬x1 ∧ · · · ∧ ¬xk ) → xk+1 pour tous k
39 / 46
La frontière
Points remarquables
•
L’abduction est presque toujours difficile :
•
•
observations = termes et hypothèses conflictuelles suffisent
p.ex. : pas de maladies incompatibles si plusieurs symptômes
•
Littéral : difficile seulement si variables « intermédiaires »
•
Complexité pour clauses = complexité pour littéral
•
Explication de résultats pour des restrictions non locales
40 / 46
La frontière
Autres approches
•
Compilation aussi difficile (Liberatore)
•
Approximation peu efficace (Khardon et Roth 1996, Z. 2002)
•
Résolution en pratique comme pour SAT (QUIP, 2000–2002)
•
Générateurs d’impliqués premiers (Simon, del Val. . .)
•
Étude d’heuristiques dédiées (Letombe & Z., 2007)
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Classification
La frontière
Conclusion
42 / 46
Treillis de Post et langages infinis
•
Application des classes de Post : seulement pour langages finis
•
En IA : classes de formules CNF, souvent infinies (Horn)
•
Dans ce travail :
•
•
•
résultats pour langages finis et infinis
résultats pour toutes classes de CNF locales
travaux (Creignou, Kolaitis & Z., 2005) sur les représentations
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Tantôt NP-complet, tantôt coNP-complet ! ?
•
Selon les restrictions :
P, NP-complet, coNP-complet, Σ2 P-complet
•
Intuition :
•
•
•
Σ2 P = NPNP∪coNP , ∃V ∀V 0 ϕ
NP-complet : NPP = NP, ∃V ϕ
coNP-complet : P P∪coNP = coNP, ∀V 0 ϕ
•
Problème très riche
•
Référence pour la complexité d’autres problèmes
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Conclusion
Classification
La frontière
Conclusion
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Conclusion
En résumé. . .
•
•
Abduction : problème très difficile
Cas traitables, essentiellement :
•
•
•
•
triviaux (pas d’explications)
non contraints (hypothèses non conflictuelles)
explications simples (un seul littéral)
Solutions pratiques encore à étudier
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Conclusion
Complexité du raisonnement propositionnel
•
Inférer automatiquement des résultats de complexité :
•
•
•
•
Tables de complexité pour :
•
•
•
•
réductions connues ou à trouver
circonscription, raisonnement avec défauts
argumentation, théorie des jeux, planification déterministe. . .
concevoir des agents/systèmes à base de K
permettre aux agents de décider comment raisonner
permettre aux agents de décider comment apprendre
Site Web, collecte des résultats

Ce qui rend l`abduction difficile - Bruno Zanuttini

Transcription

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