Exercices, dioptres sphériques et lentilles

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exercices, dioptres sphériques et lentilles
Exercices, dioptres sphériques et lentilles
1. Lentille demi-boule
Considérons une lentille demi-boule de centre O, de sommet S, de rayon R = OS = 5 cm , et d'indice
N = 1,5 , plongée dans l'air d'indice n = 1 .
N
O
S
1.1. Dans l'approximation de Gauss, déterminez la position du foyer image F′ de cette lentille.
1.2. La lentille est éclairée par des rayons parallèles à l'axe optique OS, à la distance R 2 de celui-ci.
Le foyer image G′ de ces rayons ne coïncide plus avec F′ . Déterminez l'aberration de sphéricité
G′F′ .
solution
2. Lentille boule
On rappelle la relation de conjugaison et l'expression du grandissement du dioptre sphérique avec
origine au centre dans l'approximation de Gauss, pour le couple de point BB' :
n
CB '
−
n'
CB
=
n − n'
CS
,
γ=
CB '
CB
.
S est le sommet du dioptre, C son centre. n est l'indice du milieu à gauche du dioptre et n' l'indice à
droite. La lumière se propage de la gauche vers la droite.
La lentille étudiée est une boule de verre de rayon R et d’indice N, plongé dans l'air d'indice égale à 1.
On veut montrer dans l’approximation de Gauss qu’elle est équivalente à une lentille mince.
N
A
A’
S1
O
S2
2.1. Déterminez la relation de conjugaison de cette lentille boule et en déduire sa distance focale
image f ' en fonction de R et N.
2.2. Donnez en la démontrant, l’expression du grandissement γ de cette lentille.
On veut maintenant retrouver l’expression de f ' directement à partir des lois de Descartes, toujours
dans l’approximation de Gauss. On suppose donc H et S2 confondus et on identifie la tangente et le
sinus d’un angle à cet angle.
exercices, dioptres sphériques et lentilles
2
I
i
J
r
r
O
i
F’
H
2.3. Déterminer les angles du triangle OJF’ en fonction de N et r.
2.4. Déterminer la distance HF’ en fonction de R et N, puis la distance focale f ' = OF' toujours en
fonction de R et N. Comparer avec le résultat obtenu à la question 2.1..
solution
3. Constructions géométriques
Construire les images des objets AB en utilisant la convention suivante : traits pleins pour les rayons
lumineux réels, traits pointillés pour les rayons lumineux virtuels. La lumière se propage de la gauche
vers la droite.
F
B
B
A
A
F’
F’
O
O
F
solution
4. Lentille mince convergente
4.1. Formation d’une image réelle.
L’objet AB est situé à gauche du foyer objet.
- Quelles sont les caractéristiques de l’image A’B’ ? Connaissez-vous une application courante d’un tel
dispositif ?
- Comment obtenir une image plus proche de la lentille ? Plus grande ?
- La distance objet/écran D étant fixée, comment doit-on choisir la distance focale f ′ de la lentille pour
que l’image de l’objet soit nette sur l’écran ? Pour f ′ donnée, combien y a-t-il de positions possibles
pour la lentille ?
4.2. Distance focale.
On obtient l’image A’ d’un point A par un dioptre sphérique de sommet S et de centre C, séparant deux
milieux d’indices n (à gauche) et n’ (à droite) par la relation :
n'
SA '
−
n
SA
=
n'− n
SC
.
Une lentille mince convergente est formée de l’association de deux dioptres sphériques de rayons R1
et R2 . En utilisant la relation précédente, et le fait que la lentille soit mince, trouver l’expression de la
distance focale f ′ en fonction de l'indice N de la lentille et des rayons R1 et R2 .
4.3. Loupe.
Rappeler le principe de fonctionnement d’une loupe. En déduire comment reconnaître facilement une
lentille convergente. Définir le grossissement et la puissance de la loupe.
solution
5. Association de deux lentilles
5.1. Association de deux lentilles convergente.
Approche géométrique
3
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- Construire géométriquement l'image A'B' de l'objet AB ( de hauteur l = 1 cm et placé à 4 cm devant
O1 ) à travers le système optique décrit sur la Figure, où f1 ' = 2 f2 ' = 8 cm et O1O2 = 4 cm .
L1
L2
B
O1
A
F2 ' F1 '
O2
Utilisation des formules de conjugaison
- Reprendre la même démarche mais par le calcul.
Grandissement du montage
- Exprimer le grandissement de ce montage.
5.2. Association d'une lentille divergente et d'une lentille convergente accolée
Approche géométrique
- Construire géométriquement l'image A'B' de l'objet AB (placé à 16 cm devant O1 ) à travers le
système optique décrit sur la figure, où f1 ' = −2 f2 ' = −8 cm et O1O2 = 0 cm .
L1 L 2
B
F1 '
A
F2
O1
O2
F2 '
Utilisation des formules de conjugaison
- Reprendre la même démarche mais par le calcul.
Grandissement du montage
- Exprimer le grandissement de ce montage.
solution
6. Aberrations chromatiques, principe d’un achromat
On dispose de deux verres dont les indices sont donnés par le tableau suivant pour trois longueurs
d’ondes particulières.
λ
656,3 nm
587,6 nm
486,1 nm
Crown B. 1864
1,51552
1,51800
1,52355
Flint C. 8132
1,67482
1,68100
1,69607
Dans le crown B. 1864, on taille une lentille mince biconvexe de diamètre D = 8 cm. Les rayons de
courbures des faces sont R1 = 30 cm et R1 ' = 1,8m .
6.1. Calculer (à l’aide du résultat 4.2.) la distance focale f 1′ de cette lentille pour chacune des trois
longueurs d’ondes du tableau.
6.2. Un faisceau de lumière blanche, cylindrique, parallèle à l’axe optique de la lentille, recouvre toute
la face d’entrée. Qu’observe-t-on sur un écran placé au voisinage du foyer image "moyen" de la
lentille ? Evaluer la dimension minimale de la tache observée.
exercices, dioptres sphériques et lentilles
4
6.3. On veut réaliser un doublet achromatique en accolant à L1 une lentille mince L 2 réalisée en flint
C. 8132, de sorte que la distance focale du doublet ainsi constitué soit la même pour les deux
longueurs d’onde extrêmes du tableau. Comment doit-on choisir L 2 ? Calculer sa distance focale ainsi
que celle du doublet.
6.4. Les faces en regard des deux lentilles ont le même rayon de courbure, soit 1,8 m. Calculer le
rayon de courbure de l’autre face de L 2 .
Solution
solutions
S1
1.1. Dans l'approximation de Gauss, la relation de conjugaison d'un dioptre sphérique avec origine au
sommet s'écrit :
n
SA
−
n′
SA ′
=
(n − n′)
SC
.
S est le sommet du dioptre, C son centre. n est l'indice du milieu à gauche du dioptre et n' l'indice à
droite. La lumière se propage de la gauche vers la droite.
Dans notre cas, A est à l'infini. On en déduit :
SF′ =
1
R
N −1
OF′ =
N
R.
N −1
et :
Application :
1.2.
OF′ = 15 cm .
I
R
2
i
O
Dans le triangle OIH :
tani =
r
i
HI
.
OH
Dans le triangle G'HI :
tan ( r − i ) =
HI
.
HG′
r-i
H S
G'
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Donc :
OG′ = OH + HG′ =
HI
HI
.
+
tani tan ( r − i )
Mais HI = R 2 et :
OG′ =

R 1
1
+

.
2  tani tan ( r − i ) 
Application : Puisque sini = 1 2 et D'après Descartes sinr = n sini , on déduit i = 30° et r = 48,59° .
Puis :
OG′ = 11,8 cm .
l'aberration de sphéricité est :
G′F′ = OF′ − OG′ .
D'où :
G′F′ = 3,2 cm .
retour énoncé
S2
2.1. L'image A 0 de A par le premier dioptre sphérique de sommet S 1 est donnée par la relation de
conjugaison avec origine au centre :
1
OA 0
−
N
1− N
=
OA
OS1
=
1− N
.
−R
L'image A' de A 0 par le deuxième dioptre sphérique de sommet S 2 est donnée par la relation de
conjugaison avec origine au centre :
N
OA ′
−
1
OA 0
=
N −1
OS2
=
N −1
.
R
En sommant membres à membres ces deux relations, on obtient la relation de conjugaison d'une
lentille mince :
1
OA ′
−
1
OA
=
2 (N − 1)
NR
.
La distance focale image est donc :
NR
.
2 (N − 1)
f′ =
2.2. Les grandissements du premier et second dioptre sont respectivement :
γ1 =
OA 0
OA
γ2 =
et
OA ′
OA 0
Le grandissement de la lentille boule est :
γ=
A ′B′
AB
=
A ′B′ A 0B 0
A 0B 0
AB
= γ 2 γ1
.
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et donc :
γ=
OA ′ OA 0
OA 0 OA
=
OA ′
OA
.
C'est le grandissement d'une lentille mince.
2.3. Dans le triangle OJF' :
(F′OJ) = π − i − ( π − 2r ) = 2r − i ,
( OJF′) = π − i ,
( JF′O ) = π − ( 2r − i) − ( π − i) = 2i − 2r .
Dans l'approximation de Gauss, i = Nr et donc :
(F′OJ) = r ( 2 − N) ,
( OJF′) = π − Nr ,
( JF′O ) = 2r (N − 1) .
2.4. Dans le triangle OHJ :
sin r ( 2 − N)  = r ( 2 − N) =
JH
.
R
Dans le triangle HF'J :
tan 2r (N − 1)  = 2r (N − 1) =
Par conséquent :
Rr ( 2 − N) = 2r (N − 1) HF′ ,
et :
HF′ =
R ( 2 − N)
2 (N − 1)
.
La distance focale f ′ = R + HF′ est :
f′ =
NR
.
2 (N − 1)
Ce résultat est identique à celui de la question 2.1..
retour énoncé
JH
.
HF′
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S3
B
B'
F
O
A'
A
F’
B
B'
A
F’
A'
O
F
retour énoncé
S4
4.1. -L'image est renversée car le grandissement est :
γ=
A ′B′
AB
=
OA ′
OA
< 0.
Si A est proche de F, OA ′ > OA et γ < −1 . L'image est agrandie. L'application est l'utilisation d'une
diapositive.
-Pour obtenir une image plus proche de la lentille, il faut éloigner l'objet. En effet, la relation de
conjugaison est :
1 1 1
avec
p′ = OA ′, p = OA, f ′ = OF′ .
− =
p′ p f ′
Si A est loin de la lentille, − 1 p est petit, 1 p′ est grand donc p′ petit et A' est proche de la lentille.
Inversement si A est proche de la lentille, − 1 p est grand et 1 p′ petit donc p′ grand et le
grandissement en valeur absolue γ = p′ p aussi.
écran
B
A'
A
O
B'
D
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Nous pouvons écrire deux relations :
1 1 1
− =
p′ p f ′
p′ − p = D .
et
D et f ′ sont fixés. On a donc deux équations à deux inconnues p et p′ . Cherchons p. On élimine p′ et
il reste :
1
1 1
− = .
p + D p f′
On obtient l'équation du second degré en p :
p 2 + Dp + D f ′ = 0 .
Son discriminant est :
∆ = D 2 − 4D f ′ .
Si ∆ > 0 , c'est à dire si D > 4 f ′ , il existe deux positions possibles pour la lentille :
p=
−D ± D 2 − 4D f ′
.
2
Expérimentalement, on mesure l'écart d = D 2 − 4D f ′ entre ces deux positions et on peut ainsi
obtenir la valeur de f ′ :
f′ =
D2 − d2
.
4D
C'est la méthode de Bessel, pour déterminer la distance focale d'une lentille.
4.2.
N
R2
C2
C1
S1
O
S2
R1
Pour une lentille mince, S 1 ≡ O ≡ S 2 . La position de l'image A 0 de A par le premier dioptre, est
donnée par la relation de conjugaison :
N
OA 0
−
1
OA
=
N −1
OC1
.
La position de l'image A' de A 0 par le deuxième dioptre est donnée par la relation de conjugaison :
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exercices, dioptres sphériques et lentilles
1
OA ′
−
N
OA 0
=
1− N
OC2
.
On somme ces deux relations. En notant OC 1 = R 1 et OC 2 = − R 2 il vient :
1
OA ′
−
 1
1 
= (N − 1) 
+
.
OA
 R1 R2 
1
La distance focale est :
f′ =
R1R 2
(N − 1)(R 1 + R 2 )
.
4.3.
B'
B
A'
F'
F A
Une loupe est une lentille mince convergente. L'objet AB à observer est placé très près de F, à droite.
L'image virtuelle A'B' est agrandie. C'est un moyen de voir que la lentille est convergente.
Sans loupe, AB est vu sous l'angle α .
B
α=
AB
dm
A
α
dm
d m est la plus petite distance sous laquelle on peut voir l'objet AB net à l'œil nu. On l'appelle le
punctum proximum.
Avec la loupe, A'B' est vu sous l'angle α ′ supérieur à α .
B'
A'
α′
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La puissance de la loupe est :
P=
α′
,
AB
G=
α′
= Pdm .
α
et le grossissement :
retour énoncé
S5
5.1.
L1
L2
B
O1
A
F1
O2
F2 ' F1 '
A'
F2
B'
Pour une construction à l'échelle, on mesure O 2 A ′ = 6 cm .
La position de l'image A 0 de A par la lentille L 1 est donnée par la relation de conjugaison :
1
−
O1 A 0
1
O1 A
=
1
.
f 1′
On en déduit : O 1 A 0 = −8 cm .
La position de l'image A' de A 0 par la lentille L 2 est donnée par la relation de conjugaison :
1
O 2 A′
−
1
O2 A0
=
1
.
f ′2
Sachant que O 2 A 0 = −12cm on déduit O 2 A ′ = 6 cm .
Le grandissement s'écrit :
γ=
A ′B′
AB
=
A ′B′ A 0B 0
A 0B 0
Avec γ 2 = −0,5 et γ 1 = 2 , on obtient :
γ = −1 .
AB
= γ 2 γ1.
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5.2.
L1
L2
B
O1
F1′
A
O2
A'
A 0 F2
B'
On commence par déterminer la position de l'image A 0 de A par la lentille L 1 , puis on construit
l'image A' de A 0 par la lentille L 2 . Les lentilles sont accolées et donc O 1 ≡ O 2 ≡ O .
Pour une construction à l'échelle, on mesure O A ′ = 16 cm .
La position de l'image A 0 de A par la lentille L 1 est donnée par la relation de conjugaison :
1
OA0
−
1
=
OA
1
.
f 1′
La position de l'image A' de A 0 par la lentille L 2 est donnée par la relation de conjugaison :
1
O A′
−
1
OA0
=
1
.
f 2′
En sommant ces deux relations, on obtient :
1
O A′
−
1
OA
=
1 1
+
f ′2 f 1′
On déduit O A ′ = 16 cm .
Le grandissement s'écrit :
γ=
A ′B′
AB
=
OA ′
OA
.
Et donc :
γ = −1 .
retour énoncé
S6
6.1.
R 1 = 0,3m
N
R′1 = 1,8m
exercices, dioptres sphériques et lentilles
12
La distance focale image est :
f 1′ =
R 1 R′1
.
−
N
1
( )(R 1 + R′1 )
On obtient après calcul pour les trois longueurs d'ondes :
′
λ = 656,3nm f 1′ = 49,88 cm = f 1r
λ = 587,6nm f 1′ = 49,64 cm
λ = 486,1nm
.
′
f 1′ = 49,11cm = f 1B
6.2.
′
f 1B
′
f 1r
A
2r
B
C
′
fm
La distance focale moyenne est :
′ =
fm
′ + f 1B
′
f 1r
2
= 49,495 cm .
Dans le triangle ABC, le théorème de Thalès permet d'écrire :
r
D
=
.
′ − fm
′
′
f 1r
2 f 1r
D'où :
r =D
′ − fm
′
f 1r
′
2 f 1r
= 0,03 cm .
Le diamètre minimum de la tâche observé est donc :
d = 2r = 0,06 cm .
6.3. Les centres des deux lentilles sont confondus, donc : O 1 ≡ O 2 ≡ O . Notons R 2 et R′2 les rayons
de courbure des dioptres de L 2 , N 1 l'indice de L 1 et N 2 l'indice de L 2 .
La position de l'image A 0 de A par la lentille L 1 est donnée par la relation de conjugaison :
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exercices, dioptres sphériques et lentilles
1
OA0
−
 1
1  N1 − 1
= (N 1 − 1) 
+
.
=
r1
OA
 R 1 R′1 
1
( r1 est simplement introduit pour alléger les notations).
La position de l'image A' de A 0 par la lentille L 2 est donnée par la relation de conjugaison :
1
O A′
−
1
OA0
 1
1  N2 − 1
= (N 2 − 1) 
+
.
=
r2
 R 2 R′2 
La somme de ces deux relations s'écrit :
1
O A′
−
1
OA
=
N1 − 1 N 2 − 1 1
+
= ,
r1
r2
f′
où f ′ est la distance focale image du doublet. Pour que les rayons bleus et rouges convergent au
même point, il suffit que f ′ ait la même valeur pour les longueurs d'ondes extrêmes, soit :
N1 ( λ B ) − 1 N 2 ( λ B ) − 1 N1 ( λ r ) − 1 N 2 ( λ r ) − 1
+
=
+
.
r1
r2
r1
r2
On en déduit l'expression de r 2 :
N1 ( λ r ) − N1 ( λ B ) 1
1
=
.
r 2 N 2 ( λ B ) − N 2 ( λ r ) r1
On calcule avec les valeurs du tableau :
1
= −1,469m −1 .
r2
La distance focale image de L 2 est :
f 2′ =
r2
.
N2 −1
Pour la valeur intermédiaire N 2 = 1,68100 dans le flint, on trouve :
f 2′ = −1m .
L 2 est donc une lentille divergente. La distance focale du doublet est telle que :
1 1 1
= +
.
f ′ f 1′ f ′2
Pour N 1 = 1,51800 , f 1′ = 49,64 cm . Par conséquent :
f ′ = 0,96 m .
6.4. La lentille L 2 est collée à L 1 , donc R 2 = R′1 = 1,8m . Et :
exercices, dioptres sphériques et lentilles
14
1
1
1
=
+
.
r 2 R 2 R′2
Connaissant la valeur de 1 r 2 , on obtient :
R′2 = 0,91m .
R2
N2
R′2
N1
L1
L2
La lentille L 2 est divergente, et comme R′2 < R 2 , on peut montrer facilement, en utilisant les relations
de conjugaison des dioptres sphériques qu'elle est obligatoirement biconcave.
retour énoncé