AU RENDEZ-VOUS DES SOUVENIRS DU RALLYE COMBREUX

COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA
É com grande satisfação que, se comparada com os anos anteriores, constatamos que a prova de matemática está
tecnicamente melhor. Enunciados impecáveis, nível das questões estratificado, considerando ser uma prova de 1ª fase.
A registrar a ausência de temas clássicos do ensino médio, como matrizes e determinantes, polinômios e equações
algébricas, logaritimos e sistemas de equações, dentre outros. Creditamos grande parte dessas ausências ao número
pequeno de questões de cada matéria na primeira fase.
Parabenizamos a comissão organizadora.
Resolução:
Se 48% da população (P) são homens (H), então 52% da população são mulheres (M). Ou seja,
48%P = H e 52%P = M
O número de canhotos é 11% H + 9%M, logo:
11%.(48%P) = 5,28% P são homens canhotos e 9%.(52%P) = 4,68% P são mulheres canhotas.
O número de canhotos é 5,28% P + 4,68% P = 9,96% P.
Portanto, 9,96% da população é canhoto.
Resolução:
Supondo que os dentes de cada engrenagem sejam do mesmo tamanho e se encaixem perfeitamente, observa-se que a
primeira delas realiza uma volta completa a cada giro de 7 dentes; a segunda, a cada giro de 20 dentes; e a terceira, a cada
giro de 30 dentes. Para que ocorra novamente um realinhamento das quatro flechas é necessário e suficiente que cada uma
das rodas realize um número inteiro de voltas. Isto ocorrerá se a quantidade de dentes girados em cada roda for igual a um
número natural que seja múltiplo simultâneo de 7, 20 e 30. Logo, o número mínimo de voltas pode ser obtido pelo mínimo
múltiplo comum dos números 7, 20 e 30, ou seja:
m.m.c {7; 20; 30} = 7 . 2 . 3 . 10 = 420
Desta forma, em um giro de 420 dentes, a menor das engrenagens deve realizar
1
420
= 60 voltas.
7
MATEMÁTICA
Resolução:
Seja P a probabilidade de que os dois cartuchos, escolhidos ao acaso, tenham cores distintas. A probabilidade de que os
dois cartuchos tenham cores distintas é igual à probabilidade de se escolher um primeiro cartucho qualquer, multiplicada
pela probabilidade de se escolher um segundo cartucho que tenha uma cor diferente da cor do primeiro. Logo:
8 6 6
P= . =
8 7 7
Resolução:
Se a reta é tangente à circunferência, a distância do centro da circunferência à reta é igual à medida do raio desta circunferência.
Reta: 2x – y + 2 = 0
Centro: C(0, 0)
2 . 0 -1 . 0 + 2
2
5 2 5
Distância do centro à reta: d =
=
.
=
5
5 5
2 2 + ( -1) 2
Logo, a medida do raio é igual a
2 5
.
5
2
MATEMÁTICA
Resolução:
Suponha-se que o ângulo de visão do motorista seja dado em graus e a velocidade em km/h.
Assim, tem-se:
A=k.v+b
100o = k . 40 + b (I)
30o = k . 120 + b (II)
Efetuando-se (II) – (I), tem-se:
70
7
80k = –70 ® k = –
=–
80
8
Substituindo-se em (I), tem-se:
7
100 = – . 40 + b ® b = 135
8
Desta forma, tem-se:
7
A = – . v + 135
8
Para v = 64, tem-se:
7
A = – . 64 + 135 ® A = 79
8
Portanto, para uma velocidade de 64km/h, o ângulo de visão é igual a 79o.
3
MATEMÁTICA
Resolução:
O revestimento do interior do tanque deve ser suficiente para pintar, com tinta anticorrosiva, uma área equivalente à área
lateral de um cilindro de raio igual a 1m e altura 6m, e uma superfície esférica de raio 1m. Assim, a área a ser pintada, representada por S, é dada por:
S = 2pRh + 4pR2
S = 2pR . (h + 2R)
S @ 2 . 3,14 . 1 . (6 + 2 . 1)
S @ 50,24
Para calcular o número mínimo de latas de tinta, basta considerar que cada lata pode revestir 8 m2:
50,24
= 6,28
8
O resultado obtido indica que 6 latas de tinta são insuficientes para se revestir o interior do tanque.
Logo, o número mínimo de latas de tinta é igual a 7.
4
MATEMÁTICA
Resolução:
Para que ambos os pistões estejam na mesma profundidade, é necessário e suficiente que H1 = H2:
12cos(2pt/60) = 12sen(2pt/60)
Dividindo ambos os membros da equação anterior por 12cos(2pt/60), tem-se:
1 = tg(2pt/60)
2pt p
= + kp , em que k é um número inteiro
60 4
60
, tem-se:
Multiplicando-se todos termos da equação por
2p
t = 7,5 + 30k
Atribuindo-se valores inteiros para k obtém-se diferentes instantes de tempo para os quais ambos os pistões ficam com a
mesma altura. O menor tempo é obtido quando k = 0:
t = 7,5 + 30 . 0
t = 7,5
Portanto, desde o acionamento do motor os pistões estarão à mesma profundidade após 7,5 milissegundos.
5
MATEMÁTICA
Resolução:
Vamos supor que as abscissas dos pontos para os quais o perímetro do retângulo seja máximo sejam representadas por k e
–k. Substituindo x = k e x = –k na equação da parábola, obtém-se y = 4 – k2 em ambos os casos. Assim, o retângulo tem
base de medida 2k e altura de medida (4 – k2), de modo que o perímetro do retângulo, representado por L, é dado por:
L = 2k + 2k + (4 – k2) + (4 – k2)
L = –2k2 + 4k + 8
O perímetro máximo do retângulo é a ordenada do vértice da parábola representada pela última equação. Assim, o perímetro máximo é dado por:
D
yv = –
4a
yv = –
[4 2 - 4 . ( -2) . 8]
4 . ( -2)
yv = 10
Portanto, o perímetro máximo é igual a 10.
6
MATEMÁTICA
Resolução:
Observe a próxima ilustração:
Supondo que as faces das paredes nas quais as escadas são apoiadas sejam verticais, observe a próxima figura:
Utilizando-se o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos de hipotenusas 3 e 4, respectivamente, tem-se:
32 = (2,4)2 + (h1)2 ® h1 = 1,8
42 = (2,4)2 + (h2)2 ® h2 = 3,2
Da semelhança entre os triângulos com bases nas faces das paredes e das propriedades da proporção, tem-se:
h1 h 2
=
a1 a 2
1,8 3,2 1,8 + 3,2 5,0
=
=
=
® a1 = 0,864 e a2 = 1,536
a1 a 2
a1 + a 2
2,4
Da semelhança entre os triângulos retângulos de alturas h e h1, tem-se:
a2
h
=
h1 a 1 + a 2
h 1,536
=
® h = 1,152
1,8
2,4
Logo, a altura h, do ponto onde as escadas se tocam, em relação ao chão, é de aproximadamente 1,15m.
7
MATEMÁTICA