Nombre dérivé Définition du nombre dérivé Interprétations

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Fonctions de R dans R
Elément de cours des exercices
Nombre dérivé
Soit I un intervalle ouvert non vide de R. On considère une application f définie sur I
et à valeurs réelles et un point a de I.
Définition du nombre dérivé
Interprétations du nombre dérivé
Exemples d’utilisation du nombre dérivé
Définition du nombre dérivé
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Définition. Dire que f est dérivable en a signifie que l’application
x 7→
f (x) − f (a)
x−a
définie sur I \ {a} et à valeurs dans R admet une limite ℓ ∈ R lorsque x tend vers a.
Le nombre ℓ est alors appelé nombre dérivé de f au point a et est noté f ′ (a).
f (x) − f (a)
est appelé taux d’accroissement ou taux de variation de la
x−a
fonction f au point a.
Le rapport
Le nombre dérivé est également noté
de Newton (utilisée en cinématique).
df
(a) avec les notations de Leibniz et f˙(a) avec celles
dx
Exemple. La fonction x → x2 admet un nombre dérivé en tout point a de R, en
effet,
x2 − a2
= x + a −→ 2a.
x→a
x−a
Ce nombre dérivé est donc 2a.
(a)
Remarque. Pour étudier la limite, quand x tend vers a du quotient f (x)−f
, il peut
x−a
être plus simple de poser h = x − a et d’étudier la limite, quand h tend vers 0, du
f (a + h) − f (a)
quotient
h
Remarque. Si f est dérivable en a, alors la fonction h : x 7→
prolongée par continuité en a en posant h(a) = f ′ (a).
Proposition. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
1
f (x)−f (x)
x−a
peut être
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La réciproque de cette proposition est fausse : une fonction continue en a n’est pas
obligatoirement dérivable en a. Par exemple, x → |x| est continue et non dérivable en 0.
Développement limité d’ordre 1
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Proposition. La fonction f est dérivable en a si et seulement s’il existe un nombre
ℓ ∈ R et une fonction ε définie sur I \{a} tels que f (x) = f (a)+(x−a)l +(x−a)ε(x)
avec lim ε(x) = 0. On a alors ℓ = f ′ (a).
x→a
L’écriture “f (a)+(x−a)l +(x−a)ε(x)”, avec l’hypothèse faite sur ε, est alors appelée
développement limité d’ordre 1 de f en a.
Quelques exemples
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Fonction
Nombre dérivé en a
pour a ∈
Fct constante
0
R
x
1
R
xn , n ∈ N
nan−1
R
1
x
√
x
1
a2
1
√
2 a
−
R \ {0}
]0, +∞[
Extension de la notion de nombre dérivé
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f (a + h) − f (a)
a une limite quand h tend vers 0 avec h > 0 (resh
pectivement h < 0), alors cette limite est appelée dérivée à droite (respectivement à
gauche) de f en a et notée fd′ (a) (resp. fg′ (a).)
Définition. Si
Exemple. Soit f : x −→ |x|, définie sur R, alors fg′ (0) = −1 et fd′ (0) = 1.
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Proposition. Si f a une dérivée à droite et à gauche en a et si elles sont égales, alors
f est dérivable en a et sa dérivée en a est cette valeur commune. Réciproquement, si
f est dérivable en a, alors elle admet des dérivées à droite et à gauche en a qui sont
égales toutes les deux à f ′ (a).
Remarque. On déduit de cette proposition qu’une fonction qui admet en un point a
des dérivée à droite et à gauche distinctes n’est pas dérivable en ce point a.
On peut aussi parler de la dérivée à gauche (respectivement à droite) de f en a quand
f est définie sur un intervalle semi-ouvert du type ]x0 , a] (resp. [a, x0 [).
Interprétations du nombre dérivé
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Tangente à une courbe en un point
On se place dans le plan affine P muni d’un repère cartésien.
Si la fonction f est dérivable au point a, on définit la tangente à son graphe Cf au point
A = a, f (a) comme étant la droite ∆ d’équation y = f ′ (a)(x − a) + f (a). On peut
donc, d’après la définition du nombre dérivé comme limite d’un taux d’accroissement,
interpréter la tangente en A comme étant la « droite limite » des sécantes ∆h à Cf
passant par A et un point M de Cf d’abscisse a + h lorsque h tend vers 0, i.e. lorsque
M s’approche de A.
∆h
•
M
f (a + h)•
∆
f (a)•
•
A
•
a
•
a+h
Extension de la notion de tangente : lorsque le taux d’accroissement de f diverge
vers +∞ (ou −∞), la droite parallèle à Oy et passant par A est appelée tangente
verticale à la courbe Cf .
Dans le cas d’existence d’une dérivée à droite (ou à gauche), on parle de demi-tangente ;
si les dérivées à droite et à gauche existent et sont distinctes, on dit que le point A est
un point anguleux.
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Interprétation intuitive du nombre dérivé
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f (x) − f (a) est l’accroissement de f correspondant à l’accroissement ∆x = x − a de
∆f
f (x) − f (a)
la variable. L’accroissement relatif
=
est proche de la dérivée de f
∆x
x−a
au point a lorsque x − a est petit.
Cet accroissement relatif (et donc le nombre dérivé) donne une idée de la dépendance
relative de x et f (x). Si |f ′ (a)| est grand, f (x) varie beaucoup quand x varie peu. Si
f ′ (a) est positif (respectivement négatif), x et f (x) varient localement en sens inverse
(respectivement dans le même sens). Cela justifie l’appellation « taux d’accroissement
ou taux de variation » de ce rapport.
C’est d’ailleurs le principe du théorème de caractérisation des fonctions monotones au
moyen des dérivées.
Vitesse instantanée d’un mobile
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Un mobile ponctuel se déplace sur un axe. On note L(t) la distance qu’il a parcourue
à la date t.
La vitesse instantanée du mobile à la date t0 est, par définition, la limite des vitesses
L(t0 + h) − L(t0 )
entre les instants t0 et t0 + h lorsque h tend vers 0. C’est
moyennes
h
donc le nombre dérivé en t0 de la fonction L (lorsqu’il existe).
Exemples d’utilisation
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Limites de certaines formes indéterminées
La notion de nombre dérivé permet de lever les indéterminations de type “0/0” lorsque
l’on cherhce la limite d’un quotient quand celui-ci peut être exprimé comme un taux
d’accroissement d’une fonction dérivable au point où l’on cherche la limite. En effet,
on peut aussi calculer des dérivées avec des théorèmes sur la dérivation des fonctions.
√
x x−1
·
Exemple. Déterminer la limite en 1 de
x−1
On a une forme indéterminée
0/0. On définit, sur ]0, +∞[, la fonction f par f (x) =
√
√
f (x) − f (1)
x x−1
x x. On a alors
=
. Or f est dérivable en 1 comme produit de
x−1
x−1
√
x x−1
3
3
′
fonctions dérivables en 1 et f (1) = 2 . Donc lim
=
x→1 x − 1
2
Approximation affine locale
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I non vide et soit a ∈ I. On
a, pour tout h tel que a + h ∈ I,
f (a + h) = f (a) + hf ′ (a) + hε(h) avec lim ε(h) = 0.
h→0
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f (a) + hf ′ (a) est appelé approximation affine locale de f (a + h). L’erreur commise en
remplaçant f (a + h) par f (a) + hf ′ (a) est hε(h).
Intuitivement, cela permet de remplacer, pour h “petit”, le calcul de f (a + h), qui peut
être compliqué, par le calcul d’un polynôme du premier degré f (a) + hf ′ (a).
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