TES Devoir no6 durée 2h-20 points Exercice 1 ( 7 points ) Le parc

TES
Devoir no 6
durée 2h-20 points
Exercice 1
( 7 points )
Le parc informatique d’un lycée est composé d’ordinateurs dont :
• 15% sont considérés comme neufs ;
• 45% sont considérés comme récents ;
• les autres sont considérés comme anciens.
Une étude statistique indique que chaque jour :
• 5 % des ordinateurs neufs sont défaillants ;
• 10 % des ordinateurs récents sont défaillants ;
• 20 % des ordinateurs anciens sont défaillants.
On choisit au hasard un ordinateur de ce parc.
On note les événements suivants : N : ” L’ordinateur est neuf ” ;
R : ” L’ordinateur est récent ” ;
A : ” L’ordinateur est ancien ” ;
D : ” L’ordinateur est défaillant ” ;
D : l’événement contraire de D.
Pour tout l’exercice, on donnera les résultats arrondis aux millièmes si nécessaire.
Partie A
1.
En utilisant les données de l’énoncé (sans calculs), traduire les 6 données de l’énoncé avec les notations
des événements données ci-dessus.
* Solution:
15
= 0, 15
100
45
45% ordinateurs sont considérés comme récents donc p(R) =
= 0, 45
100
15
45
40
p(A) = 1 − p(N ) − p(R) = 1 −
−
=
= 0, 4
100 100
100
10 % des ordinateurs récents sont défaillants donc pN (D) = 0, 05
10 % des ordinateurs récents sont défaillants donc pR (D) = 0, 1
20 % des ordinateurs anciens sont défaillants donc pA (D) = 0, 2
15% des ordinateurs sont considérés comme neufs donc p(N ) =
2.
Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
* Solution:
.
3.
Calculer la probabilité que l’ordinateur choisi soit neuf et défaillant.
* Solution:
La probabilité que l’ordinateur choisi soit neuf et défaillant se note p (N ∩ D).
p (N ∩ D) = p(N )pN (D) = 0, 15 × 0, 05 = 0, 0075
La probabilité que l’ordinateur choisi soit neuf et défaillant est 0, 0075.
4.
Démontrer que la probabilité que l’ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325.
* Solution:
D’après la formule des probabilités totales, on a :
p(D) = p (N ∩ D) + p (R ∩ D) + p (A ∩ D)
= p (N ∩ D) + p(R)pR (D) + p(A)pA (D)
= 0, 0075 + 0, 45 × 0, 1 + 0, 4 × 0, 2 = 0, 1325
La probabilité que l’ordinateur choisi soit défaillant est 0, 1325.
5.
Déterminer la probabilité que l’ordinateur soit ancien sachant qu’il est défaillant.
* Solution:
La probabilité que l’ordinateur soit ancien sachant qu’il est défaillant se note pD (A).
p (D ∩ A)
p(A)pA (D)
0, 4 × 0, 2
pD (A) =
=
=
' 0, 604
p(D)
p(D)
0, 1325
Partie B
On s’intéresse à 50 ordinateurs choisis au hasard dans le parc informatique.
On suppose que le nombre d’ordinateurs est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un
tirage avec remise.
Chaque ordinateur fonctionne de manière indépendante.
Chaque ordinateur qui tombe en panne est réparé le soir même et fonctionne donc normalement le lendemain.
On note X la variable aléatoire correspondant aux nombre d’ordinateurs défaillants chaque jour parmi les 50.
* Solution:
On considère l’expérience aléatoire « On choisit un ordinateur au hasard »et cette expérience a deux issues
possibles : soit l’ordinateur est défaillant avec p(D) = 0, 1325 soit il ne l’est pas avec p(D) = 1−0, 1325 = 0, 8675
On répète 50 fois successivement et de manière indépendante cette épreuve de Bernouilli.
On considère la variable aléatoire X donnant le nombre d’ordinateurs défaillants parmi les 50 et X suit la
loi binomiale B(50 ;0,1325).
1.
Déterminer la probabilité de l’événement B :« exactement 10% des ordinateurs sont défaillants un jour
donné ».
* Solution:
10 × 50
=5
100
5 × p(D)5 × p(D)45 = 2118760 × 0, 13255 × 0, 867545 ≈ 0, 144
p(B) = C50
10% de 50 :
2.
Déterminer la probabilité de l’événement C :« au moins un des 50 ordinateurs est défaillant un jour
donné ».
* Solution:
C est le contraire de l’événement « aucun ordinateur n’est défaillant »
0 × p(D)0 × p(D)50 = 1 × 0, 867550 ≈ 0, 999
p(C) = 1 − C50
3.
Calculer l’espérance de la loi de probabilité de X.
* Solution:
X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0, 1325
donc E(X) = np = 50 × 0, 1325 = 6, 625 ≈ 7
Donner une interprétation du résultat dans le cadre de ce problème.
* Solution:
Sur un grand nombre de jours, en moyenne 6,625 ordinateurs seront défaillants chaque jour.
( 4 points )
Exercice 2
Calculer le dérivée de chacune des fonctions ci-dessous, définies et dérivables sur R.
f (x) = −3e5−3x
* Solution:
On pose u(x) = 5 − 3x et on a alors u0 (x) = −3
f 0 (x) = −3 × u0 (x)eu(x) = −3 × (−3)e5−3x = 9e5−3x
f 0 (x) = 9e5−3x
g(x) = x2 ex
* Solution:
On pose u(x) = x2 et v(x) = ex
et on a u0 (x) = 2x et v 0 (x) = ex
g 0 (x) = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) = (2x)(ex ) + (x2 )(ex ) = ex (2x + x2 )
g 0 (x) = ex (2x + x2 )
h(x) = (2x − 4)e−x
* Solution:
On pose u(x) = 2x − 4 et v(x) = e−x
et on a u0 (x) = 2 et v 0 (x) = −e−x
h0 (x) = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) = (2)(e−x ) + (2x − 4)(−e−x ) = e−x (2 + 2x − 4)
h0 (x) = e−x (2x − 2)
i(x) =
e2x
x2 + 1
* Solution:
On pose u(x) = e2x et v(x) = −2x + 6
et on a u0 (x) = 2e2x et v 0 (x) = −2
i0 (x) =
u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
(2e2x )(−2x + 6) − (e2x )(−2)
e2x (−2x + 6 + 2)
e2x (−2x + 8)
=
=
=
(v(x))2
(−2x + 6)2
(−2x + 6)2
(−2x + 6)2
i0 (x) =
e2x (−2x + 8)
(−2x + 6)2
( points )
Exercice 3
La courbe C est la représentation graphique d’une fonction
f définie et dérivable sur R.
La tangente T à la courbe au point A(0 ;3) passe par le point
B(1 ;5).
1.
Déterminer graphiquement f (0) puis f 0 (0)
* Solution:
A(0; 3) appartient à la courbe donc f (0) = 3
f 0 (0) est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point A
yB − yA
2
donc f 0 (0) =
= =2
xB − xA
1
f (0) = 3 et f 0 (0) = 2
2.
Donner une équation de la tangente T.
* Solution:
T a pour coefficient directeur f 0 (0) = 2 et coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 3
donc T a pour équation réduite y = 2x + 3
3.
ax + b
avec a et b réels.
ex
a) Déterminer l’expression de f 0 (x) en fonction de a et b.
f (x) = 1 +
* Solution:
On pose u(x) = ax + b et v(x) = ex
et on a u0 (x) = a et v 0 (x) = ex
f 0 (x) = 0 +
f 0 (x) =
u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
(a)(ex ) − (ax + b)(ex )
ex (a − ax − b)
=
=
(v(x))2
(ex )2
(ex )2
ex (a − ax − b)
−ax + a − b
=
(ex )2
ex
b) A l’aide des résultats de la question 1, déterminer les réels a et b
* Solution:
a×0+b
= 1 + b = 3 donc b = 2 (rappel : e0 = 1)
e0
−a × 0 + a − b)
f 0 (0) =
= a − b = 2 donc a = 2 + b = 4
e0
f (0) = 1 +
a = 4 et b = 2
4.
On donne f (x) = 1 +
4x + 2
ex
a) Etudier les variations de f
* Solution:
D’après la question 3.a.
−4x + 4 − 2
−4x + 2
f 0 (x) =
=
x
e
ex
x
Pour tout réel x, e > 0
donc f 0 (x) est du signe de −4x + 2
−4x + 2 > 0 ⇐⇒ −4x > −2 ⇐⇒ x <
1
2
1
1
donc f est croissante sur ] − ∞; [ et décroissante sur ] ; +∞[
2
2
b) Etudier la convexité de f
* Solution:
• Calcul de f 00 (x)
−4x + 2
f 0 (x) =
ex
On pose u1 (x) = −4x + 2 et v(x) = ex
et on a u01 (x) = −4 et v10 (x) = ex
u01 (x)v1 (x) − u1 (x)v10 (x)
(−4)(ex ) − (−4x + 2)(ex )
ex (−4 + 4x − 2)
4x − 6
=
=
=
2
x
2
x
2
(v1 (x))
(e )
(e )
ex
x
00
Pour tout réel x, e > 0 donc f (x) est du signe de 4x − 6
3
4x − 6 > 0 ⇐⇒ 4x > 6 ⇐⇒ x >
2
3
00
donc f (x) > 0 sur ] ; +∞[
2
f 00 (x) =
Exercice 4
( 5 points )
La courbe (C) donnée en ANNEXE, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d’une fonction
f définie et dérivable sur [2; 9]. On note f 0 sa fonction dérivée.
Les points A (3 ; e) et B (4 ; 2 ) appartiennent à cette courbe.
La tangente à la courbe en A est parallèle à l’axe des abscisses et la tangente (T) à la courbe en B coupe l’axe
des abscisses au point d’abscisse 6.
PARTIE I : lecture graphique
Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier.
1.
Pour quelles valeurs du nombre réel x de l’intervalle [3 ; 9] a-t-on f (x) 6 2 ?
* Solution:
Les solutions de l’inéquation f (x) 6 2 sur [3; 9]
sont les abscisses des points de la courbe de l’intervalle [3; 9] dont l’ordonnée est supérieure ou égale
à 2
donc pour x ∈ [3; 4]
2.
Déterminer f 0 (3) et f 0 (4).
* Solution:
f 0 (3) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d’abscisse 3
La tangente à la courbe en A est parallèle à l’axe des abscisses
donc f 0 (3) = 0
f 0 (4) est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point B d’abscisse 4
−2
donc f 0 (4) =
= −1 (tracé en rouge)
2
donc f 0 (4) = −1
PARTIE II étude de la fonction
La fonction f représentée dans l’ANNEXE, est la fonction définie sur l’intervalle [2; 9] par f (x) = (x−2)e(−x+4) .
1. a) Pour tout nombre réel x de l’intervalle [2; 9], calculer f 0 (x) et montrer que f 0 (x) = (3 − x)e(−x+4) .
* Solution:
On pose u(x) = x − 2 et v(x) = e(−x+4)
et on a u0 (x) = 1 et v 0 (x) = (−x + 4)0 e(−x+4) = −e(−x+4)
f 0 (x) = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) = (1)(e(−x+4) ) + (x − 2)(−e(−x+4) ) = e(−x+4) (1 − x + 2) = (−x +
3)e(−x+4)
f 0 (x) = (−x + 3)e(−x+4)
b) Sur l’intervalle [2; 9] étudier le signe de f 0 (x), puis dresser le tableau de variations de la fonction f .
* Solution:
Pour tout réel x, e(−x+4) > 0
donc f 0 (x) est du signe de 3 − x
3 − x > 0 ⇐⇒ −x > −3 ⇐⇒ x < 3
On a donc :
avec f (2) = (2 − 2)e(−2+4) = 0 , f (3) = e (point A de l’énoncé) et f (9) = (9 − 2)e(−9+4) = 7e−5
c) Calculer f ”(x).
* Solution:
f 0 (x) = (−x + 3)e(−x+4)
On pose u1 (x) = −x + 3 et v1 (x) = e(−x+4)
et on a u01 (x) = −1 et v10 (x) = (−x + 4)0 e(−x+4) = −e(−x+4)
f 0 (x) = u01 (x)v1 (x) + u1 (x)v10 (x)
= (−1)(e(−x+4) ) + (3 − x)(−e(−x+4) )
= e(−x+4) (−1 − 3 + x)
= (x − 4)e(−x+4)
f 00 (x) = (x − 4)e(−x+4)
Déterminer alors les coordonnées du point d’inflexion de (C)
* Solution:
Pour tout réel x, e(−x+4) > 0
donc f 00 (x) est du signe de x − 4
x − 4 > 0 ⇐⇒ x > 4
On a donc :
donc f 00 (x) s’annule et change de signe en x = 4
La courbe admet un point d’inflexion au point B d’abscisse 4
PARTIE III : étude d’un bénéfice
Une entreprise vend x centaines de litres de parfum par jour 2 6 x 6 9.
Le bénéfice en milliers d’euros réalisé, par jour, par l’entreprise lorsqu’elle vend x centaines de litres est donné
par f (x) pour x ∈[2 ; 9]. On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l’entreprise vend au
moins 200 litres et au plus 900 litres.
On donnera les réponses arrondies à 1 e).
1.
Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de 400 litres.
* Solution:
400litres =4 centaines de litres
f (4) = (4 − 2)e(−4+4) = 2e0 = 2.
Pour 400 litres, le bénéfice est de 2 milliers d’euros soit 2000 euros
2.
Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice
maximal en euros ?
* Solution:
Le bénéfice est maximum pour x = xA = 3 soit pour 300 litres.
f (3) = e ≈ 2, 7182 soit environ 2, 7182 × 1000 = 2718, 2 euros de bénéfice.
Le bénéfice est maximum pour 300 litres et est environ de 2718 euros
3.
À partir de quelle quantité journalière aura-t’on un ralentissement de la baisse des bénéfices ?
* Solution:
La baisse des bénéfices se trouve ralentie à partir d’une production de 400 litres, ceci correspond à
l’abscisse du point d’inflexion B de la coure.
annexe exercice 4 :