Corrigé 1. Combien de mots de cinq lettres peut
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Corrigé 1. Combien de mots de cinq lettres peut
Corrigé Test 1 : Dénombrements SQ20 1. Combien de mots de cinq lettres peut-on écrire avec les 26 lettres de l’alphabet ? 2. Combien de ces mots ne contiennent que des lettres distinctes ? 3. Combien de ces mots comportent exactement quatre lettres distinctes (et donc une lettre répétée) ? 1. Pour la première lettre, il y a 26 choix possibles, pour la deuxième 26 choix aussi, etc... Cela fait 26 × 26 × 26 × 26 × 26 = 265 = 11 881 376 mots possibles. 2. Pour la première lettre, il y a 26 choix possibles, pour la deuxième 25 choix (une lettre est déjà 26! prise), etc... Cela fait 26 × 25 × 24 × 23 × 22 = 21! = 7 893 600 mots possibles. 3. Il faut choisir une lettre parmi 26 (celle qui sera répétée), puis trois parmi les restantes. Ce qui 26 25 donne 1 × 3 . Chaque permutation de ces lettres donne un mot de cinq lettres, il faut donc multiplier par 5!. Or, comme il y a une lettre qui se répète, on compte deux fois trop de mots (voi1 ci2 et voi2 ci1 forment bien le même mot). Ce qui fait en tout ! ! 25 × 24 × 23 5 × 4 × 3 26 25 5! × = 1 794 000. × × = 26 × 2! 3! 2 1 3 Pour en savoir plus sur les coefficients multinomiaux : http://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial˙ theorem.