TD n°2

Ex. 7 :
Une entreprise veut faire transporter par bateaux au moins 300 voitures et 400 tonnes de matériel.
Le transporteur maritime auquel elle s'adresse dispose de :
∎ de 30 bateaux "Arsenal" qui peuvent chacun transporter 10 voitures et 10 tonnes de matériel.
x ≤ 30
x ≤ 30
∎ de 35 bateaux "Bivouac" qui peuvent chacun transporter
y ≤ 3 5 6 voitures et 10 tonnes
y ≤ 3 de
5 matériel.
Correction Ex. 6 :
Ex. 5 :
Une entreprise vend des stages de formation sur 2 types de logiciels commerciaux "Gescom" et
"Contapla" . Une session d'apprentissage sur logiciel "Gescom" nécessite 6 jours de formation et mobilise
2 formateurs, tandis qu' une session d'apprentissage sur logiciel "Contapla" nécessite 4 jours de
formation et mobilise 3 formateurs. Les 2 stages de formation ne1°)
peuvent
….. pas se dérouler en même
temps puisqu'ils se situent dans la même salle informatique. Un 2°)
stage de
(a)formation
x > 5 coûte 1500 € pour
Correction Ex. 5 :
x le nombre annuel de stages de
(b) x < 16
y, le nombre annuel de stages de formation "Contapla".
le logiciel "Gescom" et 1200 € pour le logiciel "Contapla". On désigne par
formation "Gescom" et
( c) 2 x + 3 y ≤ 1 8
1°) Expliquer pourquoi x
et
y sont des nombres entiers naturels.
(d ) x + y ≤ 3 0
(e) 6 sur
x + 4x yet
≥ y1 2
2°) Traduire chacune des affirmations suivantes par une inéquation portant
.0
(a) L'entreprise va vendre cette année plus de 5 sessions de formation sur
(f ) logiciel
1 5 0 0 x "Gescom".
+ 1200 y ≥ 32000
(b) L'entreprise va vendre cette année moins de 16 sessions de formation
c à sur
d 1logiciel
5 x + 1 2"Contapla".
y ≥ 320
(c) L'entreprise va employer cette année au plus 18 formateurs.
(d) L'entreprise va mettre en place cette année au maximum 30 sessions de formation.
(e) L'entreprise va organiser cette année au moins 120 journées de formation.
(f ) Le chiffre d'affaire de l'entreprise cette année va être supérieur à 32000 €.
Ex. 6 :
Tim est chargé d'organiser un pot de fin d'année pour les 30 employés d'une société dont le patron
exige de disposer au minimum de 140 petits-fours et de 80 sushis. Tim s'adresse à un traiteur qui lui
propose :
Correction Ex. 1 :
∎ l'assortiment A composé de 20 petits-fours et de 20 sushis pour 60 €.
∎ l'assortiment B composé de 40 petits-fours et de 20 sushis pour 80 €. x ≥ 0
y ≥ 0
Tim décide de noter x le nombre d'assortiments A et y , le nombre d'assortiments B à commander.
x + 2y≥ 7
1°) Quel est le système d'inéquations (en fonction de
problème?
2°)
x + les
y ≥contraintes
4
x et de y ) qui traduit
du
C = 60 x + 80 y
Dans un repère orthonormal (4 carreaux pour une unité), représenter
la ypartie
60 x + 80
= 360 qui
⟺ correspond
3 x + 4 y = 18
aux solutions de ce système.
3°) Exprimer, en fonction de x
et de
0 x + 6 y ≥ 300
5 x + 3 y ≥ 150
On note x le nombre de bateaux de type "Arsenal" 1
utilisés
et y, le nombre de bateaux
de type "Bivouac"
1
0
x
+
1
0
y
≥
4
0
0
x + y ≥ 40
utilisés.
C sur
= 10 000 x + 7 500 y
1°) Déterminer le système d'inéquations portant
x et y qui traduit les contraintes de cette
10 000 x + 7 500 y = 450 000 x ⟺ 4 x + 3 y = 180
situation.
3 couples possibles pour un cout total de 450 000 € :
Indications : Traduire les contraintes portant sur le nombre de bateaux de chaque type ; celles portant
(30;20) (24;28) (27;24)
sur le nombre de voitures ; celles portant sur la quantité de matériel (en tonnes).
5) est la
solution duen
problème.
15
;2repère
2°) Sur une feuille quadrillée, représenter dans(15;2
un;25
orthonormal
choisissant pour unité 2 cm
Dans ce cas, on trouve
pour 10 bateaux, l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient le système ci-dessus (en
C = 10 000 x 15 + 7 500 x 25 = 337 500 €
hachurant la partie du plan qui ne convient pas).
3°) (a) Le coût d'affrètement d'un bateau "Arsenal" est de 10 000 € et celui d'un "Bivouac" est de 7 500 €.
Soit C, le coût total de l'affrètement de x bateaux "Arsenal" et
y "Bivouac". Exprimer C en fonction de x
et de y.
(b) Déterminer l' équation simplifiée de la droite (D) correspondant à un coût total de 450 000 € et
tracer (D) sur la même figure. Donner alors un couple qui satisfait toutes les contraintes pour un coût
de 450 000 €. Y en a-t-il d' autres ?
(c) Déterminer graphiquement le couple d'entiers ( x ; y ) qui permet d'assurer le transport pour un coût
minimal et calculer ce coût.
(d) En déduire alors le nombre de bateaux de type "Arsenal" et le nombre de bateaux de type "Bivouac" à
affréter pour assurer un transport maximum pour un coût minimal.
(e) Calculer le coût correspondant.
Ex. 8 :
Un hôtel veut renouveler une partie de son équipement. Il faut changer au moins 72 coussins, 48
rideaux et 32 draps. Deux ateliers de confection proposent des lots:
Correction Ex. 2 :
∎ l'atelier IDEA propose un lot de 12 coussins, 4 rideaux et 4 draps pour un montant de 400 €.
≥ 0
∎ l'atelier RENOV propose un lot de 6 coussins, 6 rideaux et 2xdraps
pour un montant de 300 €.
y ≥ 0
Notons x le nombre de lots IDEA achetés et y , le nombre de lots RENOV achetés.
2x + y ≥ 12
et de
(1 ; 3) est la solution du problème.
y , le coût C engendré par la commande de x assortiments A
y assortiments B.
4°) Déterminer l'équation simplifiée de la droite (D) correspondant à un coût de 360 €. Tracer cette
+3y ≥ 24
1°) Traduire les contraintes du problème par un système de 25xinéquations
(en fonction de x
2°) Respecte-t-on les contraintes si on achète:
droite.
5°) E n déduire graphiquement la solution du problème posé à Tim.
3°) Exprimer, en fonction de x
de
et de
et de
y).
2x + y ≥ 16
► 5 lots IDEA et 4 lots RENOV ?
= 400
x + 300
IDEA
et 6y lots RENOV ?
► C
4 lots
► 400
5 lots
7 lots RENOV ?
x +IDEA
300 yet
= 3800
⟺ 4 x + par
3 y =la38commande
→ (8 ; 2)deetx lots
(5 ; 6)
y , le coût C engendré
IDEA et
y lots RENOV.
(6 ; 4) ou (5 ; 6) sont les solutions du problème.
pour ces achats.
Trouver toutes les solutions qui s'offrent à lui en commençant par tracer la droite d'équation :
4 0 0 x +3 0 0 y = 3 80 0 ( à simplifier ) .
4°) Le gérant de l'hôtel dispose de 3800 €