Curriculum vitae - Institut Fourier

Concours de recrutement
maı̂tre de conférences
Pierre Dehornoy
.
Curriculum vitae
COORDONNÉES
11 rue Henri IV, 69002 Lyon
[email protected]
06 86 71 82 37
http://mathsites.unibe.ch/dehornoy/
CURRICULUM VITAE
1985
Naissance à Évreux (27)
1995–2002 Études secondaires à Évreux
2001 et 2002 Participation aux Olympiades internationales
de mathématiques (médaille de bronze)
2002 Premier prix au concours général de mathématiques
2002–2004 Classes préparatoires au lycée Louis-le-grand (Paris)
2003 Prix Fermat junior de recherche en mathématiques
2004–2008 Élève à l’ÉNS Paris
2005 Licence et maitrise de mathématiques et licence d’informatique
2005 Stage d’un mois auprès de J. Matoušek à Prague (Rep. Tchèque)
2006 Agrégation de mathématiques (rang: 17e)
2007 Master de mathématiques
2008 Stage de deux mois à Chennai (Inde)
2008–2011 Allocataire moniteur normalien à l’ÉNS de Lyon
2011 Thèse de mathématiques préparée sous la direction d’É. Ghys
soutenue le 23 juin 2011
2011–prés. Post-doctorant/assistant à l’université de Berne (Suisse), auprès de S. Baader
TRAVAUX DE RECHERCHE
Domaines : systèmes dynamiques, topologie de petite dimension
Publications parues ou acceptées
[1] Counting moves in knight’s tour, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003), 543–548.
[2] On the 3-distortion of a path. Eur. J. Comb. 29 (2008), 171–178.
[3] Les nœuds de Lorenz, L’Enseignement mathématique, 57 (2011), 211–270.
[4] A billiard containing all links, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 349 (2011), 575–578.
[5] Enlacement entre géodésiques sur une orbifold, C. R. Acad. Sci. Paris, 350 (2012), 77–80.
[6] On the zeroes of the Alexander polynomial of a Lorenz knot, Ann. Inst. Fourier, à paraı̂tre
(30 pages).
[7] Almost commensurability of 3-dimensional Anosov flows, C. R. Acad. Sci. Paris, à paraı̂tre
(4 pages).
Soumis
[8] Geodesic flows, templates and linking, arXiv:1112.6296 (59 pages).
[9] Genus one Birkhoff sections for geodesic flows, arXiv:1208.6405 (18 pages).
1
2
[10] avec S. Baader, Minor theory for surfaces and divides of maximal signature, arXiv:1211.7348
(20 pages).
Autres textes
[Q] Composition des tours de cavalier, Quadrature, 55 (2005), 31–42.
[T] Invariants topologiques des orbites périodiques d’un champ de vecteurs, Thèse, ÉNS Lyon,
2011, (149 pages).
EXPOSÉS
- 09/2007 Colloque ”Journées toulousaines autour des tresses” (Toulouse), exposé.
- 11/2007 Séminaire de géométrie (Liverpool, GB), exposé et séjour de recherche avec H. Morton.
- 12/2007 Algebra-Topology Seminar, (ETH, Zürich, Suisse), exposé.
- 02/2008 Séminaire du TIFR (Bangalore, Inde), exposé.
- 09/2009 Séminaire de géométrie (Genève, Suisse), exposé.
- 11/2009 Séminaire des doctorants (ENS Lyon), exposé.
- 03/2011 Séminaire de dynamique complexe (Toulouse), exposé.
- 10/2011 Mathematisches Institut (Bern, Suisse), colloquium.
- 10/2011 Séminaire de géométrie (Genève, Suisse), exposé.
- 11/2011 Séminaire de géométrie, topologie et dynamique (Orsay), exposé.
- 11/2011 Séminaire de dynamique et topologie (Dijon), exposé.
- 12/2011 Séminaire de géométrie symplectique (Strasbourg), exposé.
- 12/2011 Laboratoire de mathématiques (Orléans), colloquium.
- 12/2011 Séminaire C*-académie (Orléans), exposé.
- 01/2012 Séminaire de topologie (Grenoble), exposé.
- 01/2012 Séminaire de topologie (Paris), exposé.
- 03/2012 Séminaire de topologie et de géométrie algébrique (Nantes), exposé.
- 03/2012 Séminaire algèbre, dynamique et topologie (Marseille), exposé.
- 03/2012 Séminaire de géométrie (Lyon), exposé.
- 06/2012 Séjour de recherche avec T. Pinski (1 semaine, Haifa, Israël).
- 06/2012 Colloque “Autour des systèmes d’Anosov” (CIRM, Marseille), exposé.
- 10/2012 Séminaire de géométrie analytique (Rennes), exposé.
- 01/2013 Séminaire de topologie (Paris 6 & 7), exposé.
- 01/2013 Séminaire de géométrie (ENS Lyon), exposé.
- 01/2013 Séminaire de topologie (Beida, Beijing, Chine), exposé.
- 01/2013 Conférence de topologie (ECNU, Shanghai, Chine), exposé.
- 01/2013 Séminaire de systèmes dynamiques (Tongji, Shanghai, Chine), exposé.
ENSEIGNEMENT
2003–2008
2005–2008
2007–2010
2008
2008–2009
2008
Participation à la préparation de l’équipe de France aux Olympiades
Khôlles en classes préparatoires
Organisation d’un club de mathématiques pour lycéens à l’ÉNS de Lyon
Cours ”Théorie des jeux” et organisation d’une école d’hiver pour lycéens (Goutelas)
Travaux dirigés de calcul différentiel en L3, ÉNS Lyon
Cours ”Combinatorial game theory” à l’école d’été pour lycéens et étudiant
Contemporary Mathematics (Dubna, Russie)
3
2009–2010 Travaux dirigés de calcul différentiel en L3, ÉNS Lyon
2010
Travaux dirigés de géométrie hyperbolique à la confrence Discrete Groups
in Complex Geometry, (ICTP, Trieste, Italie)
2010–2011 Cours de géométrie pour l’agrégation, ÉNS Lyon
2011–2012 Travaux dirigés d’analyse en L1 et et analyse complexe en L3, université de Berne (Suisse)
2012–2013 Cours de master ”Systèmes dynamiques”
Groupe de travail ”Stable commutator length”, université de Berne (Suisse)
4
Description des travaux
Le principal sujet sur lequel j’ai travaillé jusqu’à présent est l’étude des flots en dimension 3,
à l’intersection des systèmes dynamiques et de la topologie de petite dimension ; la géométrie
hyperbolique y joue un rôle central. De façon un peu plus précise, deux articles [3, 6] sont
consacrés à l’étude topologique des orbites périodiques du flot de Lorenz, trois autres [7, 8, 9]
aux flots géodésiques sur les fibrés unitaires tangents des surfaces, tandis que [10] se situe à la
jonction entre théorie des graphes et théorie des nœuds.
Chronologiquement, les articles [3, 4, 5, 6] et le début de [8] sont issus de ma thèse [T],
préparée entre 2008 et 2011 sous la direction d’É. Ghys. Le résultat final de [8] et ceux de [7, 9,
10] ont été obtenus depuis que je suis à Berne.
Parmi les résultats que j’ai obtenus, le plus important est à mon avis le résultat final de [8]
(théorème B plus bas) selon lequel, pour toute une classe d’orbifolds hyperboliques explicites (les
orbifolds sont des surfaces dont certains points admettent des voisinages isométriques non pas à
un disque, mais au quotient d’un disque par un groupe fini de rotations), deux orbites périodiques
quelconques du flot géodésique s’enroulent toujours l’une autour de l’autre dans le même sens.
Observé par É. Ghys dans deux cas particuliers, ce phénomène est intéressant car il implique
l’existence de ce qu’on appelle des sections de Birkhoff et, par là, simplifie grandement l’étude du
flot (suivant un schéma que j’ai exploité dans [7, 9]) ; savoir que le phénomène se produit pour
beaucoup d’orbifolds (mais certainement pas pour toutes) est un progrès dans la compréhension
des flots géodésiques, qui sont des exemples fondamentaux de systèmes dynamiques chaotiques
en dimension 3.
La description qui suit reprend les travaux dans l’ordre chronologique. Outre les quatre
articles principaux [6, 8, 9, 10], les notes [1, 2, 4] contiennent des petits résultats de nature
combinatoire, [3] est un article de survey (contenant un résultat nouveau), [5] est une note
annonçant [8], et [7] est une note complétant [9].
Tous mes travaux sont disponibles sur http://mathsites.unibe.ch/dehornoy/. En cas
d’audition, [6,8,9,10] seront adressés au jury.
1. Combinatoire des tours de cavaliers
Un tour de cavalier sur un échiquier contient huit types de mouvements élémentaires. Dans
la note [1] et dans l’article [Q] qui est la version développée, on montre
Proposition. Les seules restrictions sur le nombre asymptotique de mouvements sont les bornes
triviales existant pour tous les tours : pour tout choix de proportions compatible avec ces bornes,
il existe une suite de tours réalisant asymptotiquement ce choix.
La preuve repose sur des constructions explicites de tours de cavalier dont la composition est
extrémale. On déduit l’existence de tours d’indice arbitrairement grand, ce qui répond à une
question d’A. Grigis [Gri03]. Ce travail a obtenu le prix Fermat junior 2003.
2. Distorsion dans Rd
Il s’agit d’un travail de géométrie algorithmique effectué à l’occasion d’un stage de master à
Prague auprès de J. Matoušek.
La notion usuelle de distorsion mesure de combien un plongement lipschitzien d’un espace
métrique dans un autre contracte les distances. La notion de k-distorsion pour k ≥ 3 en est une
5
variante introduite par U. Feige [Fei00] en vue d’applications à l’informatique et à la théorie des
graphes et prenant en compte les k-simplexes. Dans cette note, on montre
Proposition. Quand un chemin de longueur n est plongé dans R2 , la 3-distorsion admet une
borne inférieure en Ω(n1/2 ). D’autre part, il existe des plongements d’un chemin de longueur n
dans Rd dont la 3-distorsion admet une borne supérieure en O(n1/(d−1) ).
Pour la borne supérieure, il s’agit essentiellement de construire des suites de points de Rd
dont trois quelconques sont le moins alignés possible.
3. Correspondance entre nœuds de Lorenz et orbites du flot modulaire
L’article [3] fait suite au stage de master que j’ai effectué avec É. Ghys, prolongé par des
recherches effectuées au tout début de ma thèse. Je suis également redevable à H. Morton qui
m’a expliqué certains résultats sur les nœuds de Lorenz lors d’un séjour à Liverpool.
Le flot de Lorenz dans R3 [Lor63] est un des premiers exemples explicite de flot aux propriétés chaotiques. Ses orbites périodiques forment une famille
particulière de nœuds, qu’on appelle les nœuds de
Lorenz. Ces nœuds, dont l’étude du point de vue
de la théorie des nœuds a été débutée par J. Birman
et R. Williams [BiW83], sont ceux qui peuvent être
réalisés sur le patron représenté à droite.
L’article [3] est un exposé de synthèse sur les nœuds de Lorenz. Il présente les principaux
résultats connus sur ces nœuds avec des esquisses de démonstrations, et des développements plus
détaillés pour certains points pour lesquels aucune référence n’était disponible, en particulier
une preuve complète, basée sur la somme de Murasugi et apparemment jamais publiée, du fait
que la clôture d’une tresse positive est un nœud fibré.
En outre, l’article contient des résultats nouveaux. La correspondance de Ghys [Ghy06] établit
un lien entre les nœuds modulaires, qui sont les orbites périodiques du flot géodésique sur la
surface modulaire H2 /PSL(2, Z), et les nœuds de Lorenz. D’autre part, suivant une analyse
des formes quadratiques qui remonte à Gauss, les nœuds modulaires sont en correspondance
bijective avec les classes d’idéaux de certains corps quadratiques, qui forment un groupe appelé
groupe des classes. J’ai montré les deux résultats suivants :
Proposition. Via les correspondances ci-dessus, (i) les nœuds modulaires qui sont triviaux sont
associés à un sous-groupe du groupe des classes, (ii) les nœuds modulaires qui sont associés à
un élément donné du groupe des classes et à son inverse sont isotopes.
La principale difficulté de la démonstration est d’expliciter suffisamment les deux correspondances mises en jeu, ce qui n’est ni trivial, ni très difficile.
4. Billard universel
La note [4] est une observation indépendante prouvant une conjecture proposée par V. Jones
et J. Przytycki [JoP98]. Dans un billard tridimensionnel, les orbites périodiques sans autointersection forment des nœuds. Dans [4], on montre
Proposition. Il existe un billard tridimensionnel dans lequel tout nœud peut être réalisé comme
orbite périodique.
6
Le point pour ce résultat était de penser à utiliser
la notion de patron, et en l’occurence le patron universel de R. Ghrist [Ghr97]. Le billard obtenu est
représenté à droite. Le résultat a été depuis amélioré
par D. Pecker [Pec11] qui a montré un résultat semblable avec un billard convexe.
5. Polynôme d’Alexander des nœuds de Lorenz
Ce travail, principalement effectué durant la première année de ma thèse correspond à l’article [5]
et aux chapitres 6 et 7 de la thèse [T].
À nouveau, on s’intéresse aux nœuds de Lorenz, qui sont les orbites périodiques du flot de
Lorenz. Le polynôme d’Alexander est un invariant de nœud classique. Ses racines peuvent a
priori se répartir dans tout le plan complexe, indépendamment du genre et de l’indice de tresse.
En revanche, pour les nœuds de Lorenz, j’ai montré
Théorème A. Soit K un nœud de Lorenz de genre g et d’indice de tresse b. Alors les racines
du polynôme d’Alexander de K sont situées dans l’anneau
!
#
"
z ∈ C " (2g)−16/(2b−1) ≤ |z| ≤ (2g)16/(2b−1) .
Autrement dit, les racines du polynôme d’Alexander s’accumulent sur le cercle-unité quand
la taille des nœuds tend vers l’infini, avec des bornes explicites.
Ce résultat, qui est apparemment d’un type nouveau, montre la possibilité de résultats sur
le comportement asymptotique d’invariants de nœud pour des familles particulières. Les seuls
résultats analogues précédemment connus concernaient des invariants (enlacement, signatures,
invariants de Vassiliev) dont les comportements asymptotiques sont tous liés à l’hélicité [ArK98],
[GaG01], [BaM08]. En revanche, il n’est pas clair que le polynôme d’Alexander ait, en un sens
quelconque, un comportement asymptotique mais, par contre, on sait déjà que, s’il existe, ce
comportement sera indépendant de l’hélicité. L’un des intérêts du théorème A est d’apporter
une indication en faveur de l’existence d’un tel comportement asymptotique (voir projet de
recherche).
La démonstration du théorème A est basée sur l’interprétation du module maximal des racines
du polynôme d’Alexander d’un nœud fibré comme croissance de la monodromie homologique
du nœud. Plus précisément, étant donné un nœud de Lorenz K, son origine comme orbite du
flot de Lorenz implique que K borde une surface de Seifert S qui peut être réalisée comme
somme de Murasugi itérée de rubans de Hopf positifs, ce qui implique que K est fibré. De
là, on déduit l’existence d’un certain difféomorphisme h de la surface S, appelé monodromie,
et on peut interpréter le polynôme d’Alexander de K comme le polynôme caractéristique de
l’application linéaire [h] induite par h sur H1 (S; Z). L’idée de la preuve est de borner la croissance
de [h]. Pour cela, la décomposition de S en somme de Murasugi itérée permet d’exprimer la
monodromie h comme produit de twists de Dehn, puis la monodromie homologique [h] comme
produit de tranvections. L’hypothèse que le nœud K est de type Lorenz implique que le schéma
de recollement des rubans de Hopf en somme de Murasugi est très spécial. En utilisant cette
particularité et en choisissant une base adaptée astucieuse de H1 (S, Z), on contrôle la croissance
de la norme !1 d’un élément quelconque de H1 (S, Z) quand on itère la monodromie [h]. Enfin,
la borne sur la croissance de la norme !1 implique une borne sur les valeurs propres de [h], et,
de là, une borne sur les modules des racines du polynôme d’Alexander de K.
7
On peut noter que l’argument principal de la démonstration ci-dessus est plus délicat que
ce qu’on pourrait attendre a priori. En effet, utiliser la décomposition de Murasugi standard
pour la surface de Seifert associée à un nœud de Lorenz (obtenue en ajoutant des disques de
Seifert derrière le diagramme standard du nœud) ne peut pas suffire. À la place, on doit utiliser
des décompositions mixtes obtenues en alternant des additions de disque devant et derrière le
diagramme standard.
type VII
type VIII
type VI
Ceci complique fortement la dynamique symbolique sous-jacente exprimée en termes des tableaux
d’Young qui codent la situation. Il s’agit d’étudier
• type I
l’itération d’une transformation de type automate
cellulaire sur un tableau d’Young comme ci-contre,
• type II
• type III
et il faut distinguer les comportements à long terme
des divers types de cellules marqués.
type IV
type V
6. Enlacement des orbites du flot géodésique sur une orbifold
Ce travail, dont les résultats sont annoncés dans la note [5] et qui est l’objet de l’article [8],
contient les résultats les plus sérieux que j’ai obtenus à ce jour. Il correspond aux chapitres 2,
3, 4 de la thèse [T], améliorés ultérieurement pour couvrir une classe élargie d’orbifolds.
Étant donné une bonne orbifold riemannienne Σ de dimension 2 (les orbifolds sont des surfaces dont certains points, dits singuliers, admettent des voisinages isométriques non pas à un
disque, mais au quotient d’un disque par un groupe fini de rotations, et les bonnes orbifolds sont
celles qui sont des quotients de surface par un groupe discret d’isométries), on considère le flot
géodésique sur son fibré unitaire tangent T 1 Σ, qui est une variété de dimension 3. On le note ΦΣ .
Les collections d’orbites périodiques de ΦΣ forment des entrelacs, dont la topologie semble particulière. Celles qui sont homologiquement triviales (pour l’homologie rationnelle) bordent des
surfaces (ou des 2-chaı̂nes rationnelles), et on peut définir l’enlacement entre deux telles collections. C’est un nombre rationnel qui est un invariant topologique de l’entrelacs formé par
les deux collections. Un théorème de G. Birkhoff [Bir17] implique que cet invariant est souvent
négatif. En 2006, É. Ghys a montré que, pour les orbites périodiques des flots géodésiques sur la
surface modulaire H2 /PSL(2, Z) et sur la sphère ronde S2 , cet enlacement est négatif pour toute
paire d’orbites périodiques, ce qu’on traduit en disant que le flot est lévogyre [Ghy09]. Il est donc
naturel d’étudier, pour d’autres orbifolds riemanniennes Σ de dimension 2, l’enlacement entre
orbites périodiques du flot géodésique ΦΣ , et en particulier de déterminer s’il existe d’autres
cas que ceux découverts par Ghys où cet enlacement est toujours négatif. J’ai montré que c’est
effectivement le cas.
Théorème B. Si Σ est le quotient du plan hyperbolique par un groupe triangulaire de Hecke G2,q,∞ ,
ou par un groupe triangulaire de type G2,3,4g+2 , ou si Σ est un tore muni d’une métrique plate,
alors le flot géodésique ΦΣ est lévogyre.
Dans le cas du tore, le résultat porte sur les orbites dont la classe d’homologie est nulle, et
le terme exact est ”faiblement lévogyre”. En revanche, j’ai aussi montré l’existence de cas où la
propriété n’est pas vraie.
Proposition C. Si Σ est une surface hyperbolique (donc de genre au moins 2), ou si Σ est
une sphère admettant au moins une paire de géodésiques sans point d’intersection, alors le flot
géodésique ΦΣ n’est pas faiblement lévogyre.
8
L’intérêt immédiat du théorème B est de fournir de nouveaux exemples de flots lévogyres en
plus des flots de Hopf et de Lorenz qui étaient les seuls exemples connus. De tels flots ont des
propriétés très intéressantes du point de vue des systèmes dynamiques. En effet, suivant [Ghy09],
toute collection d’orbites périodiques d’un tel flot forme un entrelacs fibré et borde une section de
Birkhoff, c’est-à-dire une surface plongée dont l’intérieur est transverse au flot [Bir17]. Lorsqu’un
flot admet une section de Birkhoff, sa dynamique se réduit à celle de l’application de premier
retour sur la section, et par conséquent, son étude se ramène à celle d’un difféomorphisme de
surface, un objet a priori beaucoup plus simple qu’un flot en dimension 3. Tout flot n’admet
pas des sections de Birkhoff, et lorsqu’un flot admet une telle section, il n’y a pas de raison pour
qu’ils en admette beaucoup. Les flots lévogyres apparaissent donc comme des objets d’étude
privilégiés, et disposer d’exemples variés est un progrès.
Un autre intérêt du théorème et de sa démonstration est de fournir des outils généraux pour
l’étude du flot géodésique sur une orbifold. De ce point de vue, même s’il n’est pas difficile à
démontrer, le résultat négatif de la proposition C montre que les résultats positifs du théorème B
dépendent réellement de la géométrie de l’orbifold considérée. Il est donc peu probable que
les preuves relativement compliquées qu’on décrit ci-dessous puissent être trivialisées par un
hypothétique résultat général.
Voici quelques indications sur les preuves des différents cas.
Le cas du tore est le plus simple, et ne fait appel qu’à des outils élémentaires. Le point-clé est
de coder chaque collection γ d’orbites périodiques du flot géodésique sur un tore par un polygone
convexe Polγ de R2 dont les sommets sont à coordonnées entières. En utilisant le polygone Polγ
et les boı̂tes hélicoı̈dales de J. VanHorn-Morris [Van07], on peut décrire précisément les classes
d’isotopie de sections de Birkhoff. On en déduit l’existence et la classification complète de ces
sections, ainsi que des formules explicites pour le genre et pour l’enlacement entre deux collections homologiquement nulles d’orbites périodiques du flot géodésique. Une fois ces formules
disponibles, la négativité de l’enlacement suit facilement.
Les preuves dans les cas des orbifolds hyperboliques reposent sur un principe commun, mais
demandent des arguments spécifiques dépendant de l’orbifold. Indépendamment de la complexité
combinatoire de la situation, la principale difficulté est de comprendre des objets tridimensionnels
qu’on doit manipuler sans pouvoir les visualiser directement. La stratégie se décompose en deux
étapes.
La première étape consiste à montrer qu’on peut utiliser des objets appelés patrons pour
l’étude du flot géodésique sur des orbifolds hyperboliques quelconques. Un patron dans une
variété de dimension 3 est une surface branchée plongée munie d’un semi-flot.
9
On montre que, partant d’une orbifold Σ qui est un quotient du plan hyperbolique et d’un pavage adapté, il existe un patron PΣ dans T 1 Σ tel que l’ensemble des orbites
périodiques du flot géodésique sur Σ est isotope à un sousensemble de l’ensemble des orbites périodiques du patron PΣ ,
l’idée étant de déformer les orbites du flot en des orbites
tracées sur le patron. La figure de droite représente un fragment du patron dans le cas d’une surface de genre 2. De
plus, lorsque l’orbifold a au moins un cusp, on peut choisir
le pavage de sorte que l’ensemble des orbites périodiques du
flot géodésique soit isotope à (tout) l’ensemble des orbites
périodiques du patron, ce qui fournit une description combinatoire des classes d’isotopie des orbites périodiques du flot
géodésique.
Pour compléter la démonstration et montrer la négativité de l’enlacement lorsque Σ est
une orbifold de type (2, q, ∞) avec q ≥ 3, on part de l’observation que T 1 Σ est dans ce cas
difféomorphe au complémentaire d’un nœud K∞ dans un certain espace lenticulaire. En recollant de façon convenable une copie de K∞ , on obtient une compactification de T 1 Σ. Un pavage
adapté du plan hyperbolique fournit alors un patron pour le flot. En décomposant les orbites
en arcs élémentaires inclus dans les rubans de ce patron, on peut alors estimer l’enlacement de
n’importe quelle paire d’orbites du patron, et montrer que cet enlacement est toujours négatif.
Au passage, on calcule l’enlacement entre une orbite périodique quelconque du flot géodésique
et le nœud K∞ , une fonction analogue à la fonction de Rademacher [GaG01] qui a des liens avec
la théorie des nombres [Ogg69].
Pour compléter la démonstration lorsque Σ est une orbifold
hyperbolique de type (2, 3, 4g+2), le cas le plus délicat, on
utilise un revêtement de Σ2,3,4g+2 par une surface explicite Σg de
genre g (montré ci-contre pour g = 3). Ceci permet de relever le
problème en un problème sur certaines orbites du flot géodésique
sur Σg . À partir du pavage du plan hyperbolique par un polygone hyperbolique à 4g+2 côtés, on construit un patron P4g+2
pour le flot géodésique sur Σg . Ensuite, on définit, pour chaque
collection finie γ d’orbites périodiques de P4g+2 , un code c(γ)
qui est une suite de (4g+2)(4g+1) entiers comptant les différents
rubans du patron empruntés par les arcs de γ.
Une analyse fine du plongement de P4g+2 dans T 1 Σg permet alors de majorer l’enlacement entre
deux collections d’orbites périodiquess γ, γ # par la valeur en les codes c(γ) et c(γ # ) d’une forme
bilinéaire explicite Qg . Cette forme n’est pas négative sur tout le cône formé par les codes des
orbites périodiques du flot géodésique sur Σg (conformément à la proposition C). En revanche,
les relevés de géodésiques sur Σ2,3,4g+2 ont de nombreuses symétries dans Σg , de sorte que les
codes associés vivent dans un sous-cône sur lequel la forme bilinéaire Qg se trouve être négative.
7. Sections de Birkhoff de genre 1 pour le flot géodésique
Ce travail, objet de l’article [9] et de la note [7], est aussi lié à l’étude du flot géodésique
sur les orbifolds hyperboliques. Comme mentionné plus haut, une section de Birkhoff pour un
flot tridimensionnel est une surface plongée dont le bord est constitué d’orbites périodiques et
dont l’intérieur coupe toutes les autres orbites. L’existence d’une section de Birkhoff permet de
10
réduire l’étude d’un flot à celle de l’application de premier retour induite, et plus le genre d’une
telle section est petit, plus il est aisé de comprendre le premier retour. D. Fried a montré [Fri83]
que tout flot d’Anosov transitif en dimension 3 admet des sections de Birkhoff, mais sa preuve ne
fournit aucun contrôle sur le genre des sections. En particulier, la question de savoir si tout flot
d’Anosov admet une section de Birkhoff de genre 1 est ouverte. Il existe deux classes principales
d’exemples de flots d’Anosov en dimension 3, à savoir les suspensions d’automorphismes du tore
et les flots géodésiques sur les fibrés unitaires tangents des orbifolds à courbure négative. Les
suspensions contiennent de manière évidente une section de genre 1 (dans ce cas, la section est
même sans bord). Par une construction de Birkhoff [Bir17], les flots géodésiques aussi si l’orbifold
est une surface hyperbolique sans point singulier. Les cas les plus simples non couverts par la
construction de Birkhoff sont ceux d’une sphère avec des points singuliers. S’il n’y a qu’un ou
deux points singuliers, l’orbifold n’admet pas de métrique à courbure négative. Dans [9], on
montre
Théorème D. Pour toute orbifold hyperbolique qui est une sphère à trois ou quatre points
singuliers, le flot géodésique admet une section de Birkhoff de genre 1.
Lorsqu’un flot d’Anosov en dimension 3 admet une section de Birkhoff, l’application de premier retour induite est un difféomorphisme de type pseudo-Anosov. Si la section est un tore, le
difféomorphisme est même d’Anosov, et il agit alors comme une matrice de SL(2, Z). Une question naturelle est alors de déterminer quels éléments de SL(2, Z) apparaı̂ssent comme premier
retour d’une section de genre 1 pour le flot géodésique sur une orbifold hyperbolique. Dans [9],
on montre également
Théorème E. Pour toute matrice A de SL(2, Z) qui est de trace > 2 et produit d’au plus quatre
matrices-compagnon, il existe un flot géodésique sur une orbifold et une section de Birkhoff de
genre 1 de sorte que l’application de premier retour soit conjuguée à A.
Ces deux résultats ont plusieurs intérêts. Tout d’abord, le théorème D accrédite la conjecture
sur l’existence de sections toriques pour tous les flots d’Anosov. Ensuite, le théorème E est une
étape vers la conjecture de Ghys affirmant que toute classe de conjugaison dans SL(2, Z) peut
être représentée comme application de premier retour sur une section torique pour un certain
flot géodésique.
La note [7] contient un corollaire du théorème E qui va dans cette direction: deux flots Φ, Φ#
sur deux variétés M, M # sont dits presque commensurables s’ils admettent deux collections finies
d’orbites périodiques Γ, Γ# de sorte que les restrictions de Φ, Φ# à M \ Γ et M # \ Γ# admettent un
revêtement commun. Dans [7], on montre la conjecture de Ghys, à revêtement fini près:
Théorème F. Toutes les suspensions d’automorphismes du tore et tous les flots géodésiques sur
les fibrés unitaires tandent à des orbifolds à courgure négative sont presque commensurables.
Enfin, ces résultats ouvrent la voie à d’autres constructions explicites et d’autre calculs de
premier retour pour des sections de Birkhoff pour des flots géodésiques. En particulier, le
théorème D présente les premiers exemples de sections de Birkhoff pour le flot géodésique dont
le bord ne soit pas invariant par l’involution qui renverse le sens des géodésiques, contrairement
aux constructions précédentes de G. Birkhoff [Bir17] et M. Brunella [Bru93].
11
La démonstration du théorème D repose sur la construction d’une certaine surface (représentée
ci-dessus pour une sphère à quatre points singuliers) dans le fibré unitaire tangent de l’orbifold
considérée. Il s’agit ensuite de montrer que toute orbite du flot géodésique coupe la surface.
Enfin, on calcule sa caractétistique d’Euler pour montrer que la surface est un tore troué.
L’idée de la construction vient de calculs explicites rendus possibles grâce aux patrons introduits
dans [T] et [8].
Pour le théorème E, on repart de la surface du théorème D et on calcule l’application de
premier retour induite par le flot géodésique. Pour cela, on introduit des sections de Birkhoff
auxiliaires (une, deux ou trois selon les cas) de sorte que l’application de passage d’une section
à la suivante induite par le flot géodésique corresponde, dans une base adaptée, à l’action d’une
matrice-compagnon dans SL(2, Z). L’application de premier retour associée à une seule de ces
sections est alors la composition des deux, trois ou quatre matrices-compagnon obtenues.
Enfin, la démonstration du théorème F repose sur le théorème E et sur le fait que deux
matrices de même trace induisent des suspensions qui sont commensurables (en tant que variétés
de dimension 3).
8. Mineurs de surfaces et signatures des partages
En théorie des graphes, on dit qu’un graphe abstrait est mineur d’un autre s’il peut être
obtenu par contraction et suppression d’arêtes. Cette notion induit un ordre très riche sur les
graphes. En particulier, le théorème de Robertson et Seymour [RoS04] affirme qu’il s’agit d’un
quasi-bon-ordre, c’est-à-dire qu’il n’existe aucune chaı̂ne infinie descendante et aucune antichaı̂ne
infinie pour la relation de mineur. Comme corollaire, on déduit que toute propriété stable par
mineur est caratérisée par un nombre fini de mineurs interdits. C’est par exemple le cas pour
la planarité (théorème de Kuratowski).
Dans ce travail en commun avec Sebastian Baader [10], nous introduisons un avatar topologique:
considérant une surface plongée dans l’espace comme un graphe plongé épaissi, on dit qu’une
surface plongée est mineure d’une autre si elle peut être obtenue en coupant le long d’arcs essentiels (autrement dit, si la première est isotope à une sous-surface incompressible de la seconde).
Cette relation induit un ordre ≤surf sur les classes d’isotopie de surfaces plongées. Cet ordre est
plus faible que l’ordre original sur les graphes, au sens où on exhibe facilement des antichaines
infinies.
Dans l’article [10], nous restreignons notre attention à une classe particulière de surfaces, les
fibres de partages du disque (“divides d’A’Campo”) [A’C98], et nous montrons, dans ce cadre
restreint, un avatar du théorème de Robertson-Seymour.
Théorème F. La restriction de ≤surf aux classes d’isotopie de fibres de partages du disque est
un quasi-bon-ordre.
Ce théorème implique que toute propriété des fibres de partages qui est stable par mineur est
décrite par un nombre fini de mineurs interdits. La forme de Seifert d’une surface plongée est une
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forme quadratique sur son premier groupe d’homologie. Le caractère défini positif de la forme
de Seifert (ou de manière équivalente, l’égalité entre signature de la forme de Seifert et premier
nombre de Betti de la surface) est une propriété stable par mineur. La seconde moitié de [10]
est consacrée à exhiber les mineurs interdits pour cette propriété. Nous en trouvons exactement
deux. On en déduit une énumération des entrelacs de partage de signature maximale par les
diagrammes de Dynkin.
L’intérêt principal de ces résultats est d’introduire des outils nouveaux et des questions
d’origine combinatoire en théorie des nœuds.
La preuve du théorème F repose sur un codage des partages et des surfaces associées à l’aide de
graphes planaires coloriés. La relation de mineur sur les surfaces est alors induite par la relation
de mineur sur ces graphes, et il s’agit alors de prouver une variante du théorème de RobertsonSeymour pour les graphes plongés. Ceci se fait en repartant du théorème original [RoS04] pour
les graphes abstraits (non plongés), par un argument qui n’est pas très difficile, mais nécesssite
de bien comprendre les théorèmes de décomposition des graphes planaires.
Bibliographie
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Enlacement entre géodésiques sur une orbifold, C. R. Acad. Sci. Paris, 350 (2012), 77–80.
On the zeroes of the Alexander polynomial of a Lorenz knot, Ann. Inst. Fourier, à paraı̂tre, arXiv:1110.4178
(30 pp).
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Almost commensurability of 3-dimensional Anosov flows, C. R. Acad. Sci. Paris, à paraı̂tre (4 pages).
[8]
Geodesic flows, templates and linking, arXiv:1112.6296 (58 pp).
[9]
Genus one Birkhoff sections for geodesic flows, arXiv:1208.6405 (19 pp).
[10] avec S. Baader, Minor theory for surfaces and divides of maximal signature, arXiv:1211.7348 (20 pp).
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