Championnat de France de la Montagne 2015

SEL413-Telecomunicações
Exercícios resolvidos de linhas de transmissão
Exercício 1: Determinar a impedância característica de uma linha de transmissão que possui capacitância de 35 pF/cm e indutância de 0,25 H/cm.
p
p
Solução: A impedância característica é dada por Z0 = L=C = 0; 25 10 6 =35 10 12 e Z0 = 84; 5 .
Exercício 2: Uma linha de transmissão exibe as seguintes características: R = 2 =m; G = 0; 5 mS=m;
L = 8 nH=m e C = 0; 23 pF=m. A freqüência de operação é 1 GHz. Calcular a impedância característica e
a constante de propagação.
p
Solução: A impedância característica de uma linha com perdas é Z0 = (R + j!L) = (G + j!C). Temos
que !L = 2 f = 2
109
8 10 9 = 16 ; !C = 2
109
0; 23 10 12 = 0; 46
10 3 e
p
10 3 ) e Z0 = 180 + j26; 5 = 1826 8; 40 . A constante de propagação
Z0 = (2 + j16 ) = (0; 5 + j0; 46
p
p
de uma linha com perdas é dada por k = (R + j!L) (G + j!C) = (2 + j16 ) (0; 5 + j0; 46 ) 10 3 e
k = 0; 051 + j0; 273 = 0; 2786 79; 40 m
1
.
Exercício 3: Uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica Z0 = 300 é conectada
a uma carga ZL = 100 + j50 : A freqüência do sinal é 300 MHz. Calcular a impedância em um ponto
distante 12; 5 cm da carga.
Solução: A impedância em qualquer ponto da linha é Z (z) = Z0 [ZL + jZ0 tg (kI z)] = [Z0 + jZL tg (kI z)].
Mas,
1010 = 300 106 e = 100 cm; kI = 2 = ;. Na posição z1 = 12; 5 cm,
0 = v=f = 3
kI z1 = 2 z1 = = 2
12; 5=100 = 2 = (100=12; 5) = 2 =8 = =4 rad e tg(kI z1 ) =tg( =4) = 1. Portanto, Z (z) = 300 [(100 + j50) + j300 (1)] = [300 + j (100 + j50)] = 300 (100 + j350) = (250 + j100) e
Z (z) = 248; 3 + j320; 7 .
Exercício 4: Uma linha de transmissão bi…lar sem perdas de Z0 = 50
é conectada a uma carga
ZL = 50 j30 : O dielétrico com o qual a linha é fabricada possui "r = 2; 62 e a freqüência de operação é 100 MHz. Calcular: A impedância em um ponto a 10 cm da carga; o coe…ciente de re‡exão na
carga; a relação de onda estacionária na linha e a relação entre a potência média re‡etida e a potência média
incidente na carga.
p
p
Solução: Temos que = v= f "r = 3:1010 = 2; 62:108 = 185 cm; kI z1 = 2 z1 = = 2
10=185 =
2 = (185=10) = 2 =18; 5 = 0; 108 ; tg(kI z1 ) =tg(0; 108 ) = 0; 353;
Z (z1 ) = 50 [(50 j30) + j50 0; 353] = [50 + j0; 353 (50 j30)] e Z (z1 ) = 35; 5 j20; 6 = 416
300 .
O coe…ciente de re‡exão na carga é 0 = (ZL Z0 ) = (ZL + Z0 ) = [(50 j30) 50] = [(50 j30) + 50] e
0
= 0; 083
j0; 28 = 0; 296
730 . A relação de onda estacionária é ROE = (1 + j
(1 + 0; 29) = (1 0; 29) e ROE = 1; 82 . A relação entre as potências é Pr =Pi = j
Portanto, 8; 4% da potência incidente é re‡etida.
2
Lj
L j) = (1
j
L j)
=
= 0; 292 e Pr =Pi = 0; 084 .
Exercício 5: Uma linha de transmissão de 72
está ligada a uma carga de 50 . Calcular: O módulo do coe…ciente de re‡exão; a R0E; a porcentagem de potência incidente que é re‡etida e a porcentagem
de potência incidente que é absorvida pela carga.
Solução: O coe…ciente de re‡exão é dado por 0 = (ZL Z0 ) = (ZL + Z0 ) = (72 50) = (72 + 50) e 0 = 0; 18 .
A relação de onda estacionária é dada por ROE = (1 + j L j) = (1 j L j) = (1 + 0; 18) = (1 0; 18) e
2
ROE = 1; 44 . A relação entre as potências é Pr =Pi = j L j = 0; 182 e Pr =Pi = 0; 0324 . Portanto,
3; 24% da potência incidente é re‡etida. A relação entre a potência média dissipada na carga e a potência
incidente é Pd =Pi = 1 0; 0324 = 0; 968 ou 96; 8%.
Exercício 6: Mostrar que se Z (zmin ) = Z0 =R0E, então ZC = (1 jR0EtgkI zmin ) = (R0E jtgkI zmin ), na
qual zmin corresponde à posição de valor mínimo da tensão da onda estacionária mais próxima da carga.
Solução: A impedância em qualquer ponto da linha é dada por Z (z) = Z0 (ZL + jZ0 tgkI z) = (Z0 + jZL tgkI z).
Para z = zmin e Z (zmin ) = Z0 =R0E, Z (zmin ) = Z0 (ZL + jZ0 tgkI zmin ) = (Z0 + jZL tgkI zmin ), Z0 =ROE =
Z0 (ZL + jZ0 tgkI zmin ) = (Z0 + jZL tgkI zmin ) e ZL = Z0 (1 jR0EtgkI zmin ) = (R0E jtgkI zmin ) . O valor
1
do comprimento de onda na linha, , é conhecido a partir da medida de =2 (distância entre 2 mínimos
adjacentes). O valor de zmin correspondente ao primeiro mínimo depois da carga ( mínimo mais próximo da
carga).
Exercício 7: Da medida de R0E e zmin ao longo de uma linha de transmissão sem perdas resulta R0E = 3; 5
e zmin = 8 cm. A distância zmin corresponde ao mínimo mais próximo da carga. A impedância característica
da linha é Z0 = 72 . Se o comprimento de onda da sinal é = 50 cm, determinar a impedância de carga
ZL .
Solução: Temos que ZL = Z0 (1 jR0EtgkI zmin ) = (R0E jtgkI zmin );
ZL = 72 [1 j3; 5tg (2
8=50)] = [3; 5 jtg (2
8=50)] = 72 (1 j5; 51) = (3; 5 j1; 57) e
ZL = 59; 5 j86; 6 .
Exercício 8: Uma linha de transmissão de impedância característica Z0 = 50 está terminada por uma
antena, cuja impedância equivalente é desconhecida. São feitas medidas da relação de onda estacionária e
da distância entre as posições do valor máximo da tensão e da carga. A freqüência de operação é f = 825
MHz e a velocidade da onda é v = 2; 5 108 m/s. O valor da relação de onda estacionária é ROE = 2; 62 e
a posição do valor máximo da tensão mais próxima da carga é L = 0; 082 m. Calcular: a) a impedância no
ponto de máximo da tensão; b) a impedância de carga correspondente à antena.
Solução: Nos pontos de máximo da tensão a impedância é Z (zmax ) = Z0 ROE e nos pontos de mínimo
é Z (zmin ) = Z0 =ROE. Portanto, Z (zmax ) = Z0 [ZL + jZ0 tg (kzmax )] = [Z0 + jZL tg (kzmax )]. Resolvendo
para ZL , ZL = Z0 [Z (zmax ) jZ0 tg (kzmax )] = [Z0 jZ (zmax ) tg (kzmax )]. Substituindo os valores numéricos, kzmax = 2 zmax =v = 2
0; 082=2; 5 108 e kzmax = 1; 7 rad.
A impedância nos pontos de máximo é Z (zmax ) = 50 2; 62 e Z (zmax ) = 131 . A impedância da
antena é ZL = 50 [131
.
j50tg (1; 7)] = [50
j131tg (1; 7)]. Assim, ZL = 19; 4
2
j5; 6
ou ZL = 20; 16
160