Exercice n 1 : Les plantes Kevin a planté une graine d`une plante

Exercice n◦ 1 : Les plantes
Kevin a planté une graine d’une plante tropicale.
Après 10 jours, la plante a poussé une branche.
Au bout de vingt jours, la plante a 3 branches et 10 jours après,
chaque branches a donné naissance à trois branches.
Combien y aura-t-il de branches au 90ème jour ?
après 10 jours a poussé une branche : 1
après 20 jours ont poussé 3 branches : 3
après 10 jours supplémentaires, ont poussé 3 branches par branche soit : 3 × 3 = 9 branches.
Au bout de 30 jours il y a donc : 9 branches c’est à dire 9 chemins, qui partent du tronc pour aller à une
extrémité !
après 10 jours supplémentaires, ont poussé 3 branches par branche soit : 3 × 9 = 27 branches.
Au bout de 40 jours il y a donc : 27 branches.
En poursuivant le processus pendant 90 jours on obtient :
Au bout de 50 jours il y a donc : 27 × 3 = 81 branches.
Au bout de 60 jours il y a donc : 81 × 3 = 243 branches.
Au bout de 70 jours il y a donc : 243 × 3 = 729 branches.
Au bout de 80 jours il y a donc : 729 × 3 = 2187 branches.
Au bout de 90 jours il y a donc : 729 × 3 = 6561 branches.
L’écriture puissance que l’on découvre en quatrième permet d’écrire plus facilement le développement de
cette plante et permet également de mieux comprendre cette progression du nombre de branches :
Cette écriture conciste à résumer une répétition de multiplications d’un même nombre, par exemple :
38 = 3| × 3 × 3 × 3 {z
× 3 × 3 × 3 × 3} = 6561
8 f acteurs 3
Après 10 = 0 × 10 + 10 jours a poussé une branche : 1 = 30 .
Après 20 = 1 × 10 + 10 jours ont poussé 3 branches : 3 = 31 .
Au bout de 30 = 2 × 10 + 10 jours il y a : 3 × 31 = 31+1 = 32 = 9.
Au bout de 40 = 3 × 10 + 10 jours il y a : 3 × 32 = 32+1 = 33 = 27.
En poursuivant le processus pendant 90 jours on obtient :
Au bout de 50 = 4 × 10 + 10 jours il y a : 3 4 = 3| × 3 {z
× 3 × 3} = 81 branches.
4 f acteurs 3
Au bout de 60 = 5 × 10 + 10 jours il y a : 3 5 = 3| × 3 ×{z
3 × 3 × 3} = 243 branches.
5 f acteurs 3
Au bout de 70 = 6 × 10 + 10 jours il y a : 3 6 = 3| × 3 × 3 {z
× 3 × 3 × 3} = 729 branches.
6 f acteurs 3
Au bout de 80 = 7 × 10 + 10 jours il y a : 3 7 = 3| × 3 × 3 ×{z
3 × 3 × 3 × 3} = 2187 branches.
7 f acteurs 3
Au bout de 90 = 8 × 10 + 10 jours il y a finalement : 3 8 = 6561 branches..
Exercice n◦ 2 : L’escargot revisité : (d’après Rallye Champagne)
Dans ce jeu, qui se joue avec une pièce et un jeton, les règles sont simples :
Lorsqu’on obtient pile, on peut avancer le jeton de 7 cases.
Lorsqu’on obtient face , on peut reculer le jeton de 3 cases.
Dans tous les cas, on peut laisser le jeton sur place.
En partant de la case Départ, combien de fois doit-on, au minimum,
lancer la pièce pour pouvoir atteindre exactement la case Arrivée
Il y a 27 cases pour aller du départ à l’arrivée, départ non compris, arrivée comprise.
On peut immaginer qu’en faisant que des piles on arrive plus vite à l’arrivée :
• Avec 3 Piles on avance de 3 × 7 = 21 cases.
Refaire 1 fois Pile n’avance à rien puisque, avec 7 cases supplémentaires, on dépasse l’arrivée de 1
case, donc on choisirait dans ce cas de laisser le jeton sur place et on a lancé le pièce pour rien.
• En faisant 1 Face on recule de 3 cases, on se retrouve à la case n◦ 18 après le départ.
• On peut alors refaire 1 Pile, pour se retrouver case n◦ 25 après le départ.
De nouveau 1 Pile n’avance à rien.
• On espère alors 1 Face pour revenir à la case n◦ 22, mais cela ne suffit pas pour avancer de 7 et
refaire un Pile.
• On espère encore 1 Face pour revenir à la case n◦ 19.
• 1 Pile, nous amène alors à la case n◦ 26 après le départ.
• Il nous faut alors 2 Faces, pour revenir à la case n◦ 20 après le départ.
• Et terminer par notre dernier Pile et arriver sur la case n◦ 27 après le départ, c’est à dire sur l’arrivée!
En faisant le bilan, on s’aperçoit que sont nécessaires 3 + 1 + 1 + 1 = 6 Piles et 1 + 1 + 1 + 2 = 5 Faces,
c’est à dire en tout : 5 + 6 = 11 lancers de pièces au minimum.
A l’ordre près, (Après le premier lancer de Pile, on peut soit reculer soit avancer. On peut donc aussi bien
réaliser un des 6 Piles, ou un des 5 Faces qui nous sont nécessaires par la suite . . . ), le calcul suivant
va montrer qu’en fait nous avons obtenu par ce raisonnement le nombre minimum de lancers nécessaires
pour aller du départ à l’arrivée, en respectant la règle du jeu.
Utilisation des lettres (inconnues) pour modéliser le problème :
• On note x le nombre de Piles et y le nombre de Faces que l’on doit réaliser au minimum, pour
aller du départ à l’arrivée c’est à dire pour couvrir exactement 27 cases.
• A chaque fois que l’on fait Pile, on avance de 7 cases, donc après 2 Piles on avance de 2 × 7 = 14
cases, après 3 Piles on avance de 3 × 7 = 21 cases, finalement après x Piles on avance de x × 7 = 7x
cases.
• De même, à chaque fois que l’on fait Face, on recule de 3 cases, donc après 2 Faces on recule de
2 × 3 = 6 cases, après 3 Faces on recule de 3 × 3 = 9 cases, finalement après y Faces on recule de
y × 3 = 3y cases.
• Au bilan on avancé de : 7x − 3y cases.
• Comme la fin du jeu se termine quand on a parcouru, exactement 27 cases, il faut que 7x − 3y = 27.
• Un nombre de lancers étant un nombre entier et positif, il nous suffit de tester les différents couples
(x; y) qui vérifient l’égalité précédente et prendre celui dont la somme est la plus petite.
3
27
7
• Un calcul simple montre alors que y = x − 9 et x = y − .
3
7
7
• Le fait que x et y doivent être entiers impliquent que x est un multiple de 3.
3
27
7
≥ 0.
• Le fait que x et y doivent être positifs impliquent que y = x − 9 ≥ 0 et que x = y −
3
7
7
27
Ce qui implique alors que y ≥ −9 et x ≥
> 3.
7
Conclusion x est un multiple de 3 supérieur ou égal à 4. Le prochain x à répondre à ces deux
exigences est évidemment 6.
• Avec x = 6, on obtient en remplaçant x par sa valeur : 27 = 7 × 6 − 3y = 42 − 3y
15
42 − 27
=
= 5.
Pour qui sait résoudre une équation, on vérifie que la solution est y =
3
3
On retrouve ainsi le couple de solution (x; y) = (6; 5), déterminé lors du raisonnement initial, avec
6 + 5 = 11.
• Le fait qu’il soit le couple dont la somme est minimale est clair :
Le prochain multiple de 3 est 9, or avec x = 9, on obtient 27 = 7 × 9 − 3y = 63 − 3y, d’où y = 12
et le nombre total de lancers est alors de 12 + 9 = 21 > 11. Le prochain multiple est cette fois ci
12 déjà plus grand que 11 à lui seul, sans les lancers de Faces. Les prochains multiples de 3 seront
encore plus grand.. . .
• DONC le couple de solution (x; y) = (6; 5), déterminé lors du raisonnement initial, avec 6 + 5 = 11,
est bien celui qui réalise le minimum de lancers à faire pour arriver à nos fins!