série d`exercices

Mathématique 1ère année Exercices
Série 9 : Polynômes et factorisation
Exercice 1 : Evaluations
Soient les polynômes P1 (x) = 4x3 − 2x2 + x + 1, P2 (x) = −x2 + x3 − x − 15
et P3 (x) = x4 − 4x2 + 2x + 8. Evaluer :
a. P1 (0)
c. P3 (−2)
e. P1 (−1)
g. P2 (3)
b. P1 (2)
d. P2 (1)
f. P2 (0)
h. P3 (−1)
Exercice 2 : Ecriture canonique
Ecrire sous la forme canonique (i.e. effectuer, réduire et ordonner) les expressions polynomiales suivantes :
1 2
5
a. (x4 − x3 + 2) + (x2 − 2x + 5)
e.
x − 2x + 3 − − x2 − 3
8
8
b. −(3x2 + 2x − 1) − (−3x2 + 2x + 1)
2
2
f. (−x − 5x − 3) + (2x − 3x + 1)
c. 4[3x − 4(x − 2)] − (x − 3))
d. (x2 + x − 3)(x2 − x + 1)
g. x2 + (n − 1)x + 1 x + x2 − (n − 1)x + 1 x
h. x4 − x3 − [−4x2 − (6x − 4) − 1] − 4x3 − [6x2 − (4x − 1)]
i. x4 − 4x3 − 6x2 − (4x − 1) − x4 + (4x3 + 6x2 ) − (4x − 1)
j. −(3x2 + 2x − 1) − (−3x2 + 2x + 1)
Exercice 3 : Mise en évidence et formules remarquables
En utilisant la mise en évidence et les formules remarquables, factoriser les
polynômes suivants :
a. 3x + 6x2
g. 4x2 − 12x + 9
b. 2x + 1 + (2x + 1)(3x + 2)
h. 3x2 − 18x + 27
c. (x − 1)(x + 2) − 3x(x − 1)
i. 8xn + 4x2n
d. x − (x − 2)2 − 2
j. x3 − 8
e. 3(x + 3) + (x2 − 9)
k. 3x3 − 18x2 + 36x − 24
f. x2 + 10x + 25
l. 3x + x(x2 − 3) − 27
Exercice 4 : Décomposition
Factoriser les polynômes ci-dessous par la méthode de décomposition.
a. 2x2 + 5x + 3
e. x2 − 8x − 20
i. −x2 + 10x − 24
b. 6x2 + 15x + 6
f. x2 + x − 30
j. −3x2 + x + 2
c. x2 + 4x + 4
g. 6x2 − 8x + 2
k. x3 − 13x2 + 12x
2
d. 3x − 27x + 54
2
h. 6x − 2x − 8
l. 4x4 − 13x2 + 9
Exercice 5 : Division polynômiale
Effectuer les divisions ci-dessous.
a. p(x) = x5 + x4 + x3 + x2 divisé par d(x) = x2 + 1
b. p(x) = 2x3 − x2 + x + 1 divisé par d(x) = x2 − x + 1
c. p(x) = 2x3 + 3x2 − 23x − 12 divisé par d(x) = 2x + 1
Exercice 6 : Méthode d’Horner
Factoriser les polynômes suivants en cherchant une racine et en appliquant
la méthode d’Horner.
a. 2x3 − 21x2 + 4x + 60
e. x3 − 3x + 2
b. 2x3 − 6x2 − 26x + 30
f. x4 − 4x3 − 14x2 + 36x + 45
c. x4 + 5x3 + 6x2 − 4x − 8
g. x3 − 7x2 + 36
4
3
2
d. x + 4x + 6x + 5x + 2
h. 24x3 − 26x2 + 9x − 1
Exercice 7 : Salade mêlée
Factoriser les expressions ci-dessous (avec élégance).
a. (x + 3)2 − (x2 − 9)2
i. 6x4 − 25x3 + 28x2 + x − 10
b. x4 − 2x3 − 4x2 + 8x
j. x3 − (m + 4)x2 + 4(m + 1)x − 4m
c. x3 + 3x2 − 9x − 27
k. x3 − 3x2 + 4
d. 8x3 − 27
l. a3 − a2 x − ax2 + x3
3
2
e. 4x − 8x + 5x − 1
4
m. x4 − 2x2 + 1 − (x − 1)2
2
f. 3x − 11x − 4
2
1
g. x3 − x2 − 3x + 6
3
3
h. 4x3 − 13x − 6
n. x3 − x2 − 6x
o. x4 − 81
p. x4 − 6x3 + 9x2 + 4x − 12
TP 2011 - Exercices Série 9 : Polynômes et factorisation - Page 2
Chapitre 6
POLYNOMES
Page 1
♣♠ Exercices supplémentaires ♠♣
Exercice 1 : Effectuer :
1. 3x2 − 4x2
4.
1
3. 2x3 · (− x2 )
3
6. − x7 : 2x3
2. 4x8 − 3x4
− 5x3 · 3x4
5. 4x6 : 2x3
Exercice 2 : Effectuer, puis ordonner les polynômes obtenus :
1. (−2x5 + 3x2 − 1) + (−x5 − 3x3 + x2 − 5)
2
3
3. ( x3 − 5) − ( x3 − 2x2 − 1)
5
5
5. (x − 1)(x + 2)
2. (2x3 − 3x2 + 2) + (−5x3 + x − 1) + (−2x − 3)
7. (2x − 5)(x2 + 5x + 6)
8. (3x − 1)(1 − 4x) − (4x − 3)(x − 2)
9. (x + 1)(2x + 1)(x − 3)
10. 6xn (3x3n−1 + 2)
4. 6x(x − 3)
6. (2x − 3)(x − 5)
Exercice 3 : Utiliser les identités remarquables pour effectuer les opérations suivantes :
1
1
1. (5x − 4)2
2. (2x3 + 4x)2
3. (3x2n − 2xn+1 )2
4. ( x2 − x)2
2
3
5. (x − 5)(x + 5)
6. (x + 1)3
7. (2 − x)3
8. (2x − 1)3
9. (xn + y m )(xn − y m )
11. 422
10. 19 · 21
12. (x3 + 2x2 − 4x)2
Exercice 4 : Effectuer les opérations suivantes et réduire les polynômes obtenus :
1. 3(2 − x)2 − 5(x + 1)2
2. (x + 2)3 − 4(x + 1)3 + 6x3 − 4(x − 1)3 + (x − 2)3
Exercice 5 : Factoriser à l’aide de mises en évidence et des identités remarquables :
1. a(x + y) + b(x + y)
2. (x − 1)(y + 3) − (1 − x)
3. (x + y)2 + (x + y)(x − y)
4. x3 − 3x2 + 3x − 1
5. 8 − 12x + 6x2 − x3
6. x4 − a4
7. a6 x − x7
8. xy 4 − x4 y
9. x18 − y 12
Exercice 6 : Factoriser à l’aide d’artifices de calcul ou de groupements :
1. a2 − 2ax + x2 − 1
2. x2 − 2x − a2 + 1
3. x2 − 4a2 + 4a − 1
4. ax + ay + bx + by
5. x3 − x2 − x + 1
6. x3 + 2x2 − x − 2
7. 4x2 + 2x − 9a2 − 3a
8. 8x2 − 8x3 + x − 1
9. 5x3 + x2 − 20x − 4
Exercice 7 : Factoriser à l’aide de la méthode somme-produit :
1. x2 + x − 72
2. x2 + 7x + 12
3. x2 − 8x + 15
4. 3x2 + 9x + 6
5. 2x2 − 14x + 24
6.
7. 3x2 + 5x + 2
8. 6x2 + 5x + 1
9. 6x2 + 3x − 9
10.
− 4x2 − x + 3
11.
− 6x2 − 2x + 8
12.
− x2 − 4x + 21
− 5x2 − 3x + 2
Exercice 8 : Effectuer les divisions suivantes.
1. (−x5 + 2x4 − 7x2 + 9x + 3) : (x2 − 3)
2. (x7 − 2x4 − x3 + x2 + x + 1) : (x4 − 1)
3. (x5 − 5x3 − 5x2 + 4x + 3) : (x2 − 2x − 1) 4. (x4 − 10x3 + 23x2 + 10x + 2) : (x2 − 5x − 1)
5. (x6 − 1) : (x3 + 2x2 + 2x + 1)
6. (x5 − x2 ) : (x − 1)
Chapitre 6
POLYNOMES
Page 2
Exercice 9 : Effectuer les divisions suivantes à l’aide du schéma de Horner, après avoir évalué
le reste à l’aide d’un théorème du cours.
1. (−2x2 + x − 5) : (x + 1)
2. (x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) : (x + 1)
3. (x8 − 1) : (x + 1)
4. (x6 + 2x5 − x4 + 4x3 − 7x2 − 2x + 3) : (x − 1)
Exercice 10 : Factoriser à l’aide de la divisibilité par x − a.
1. x3 + 9x2 + 11x − 21
2. x3 + 2x2 − 5x − 6
3. x4 + 2x3 − 16x2 − 2x + 15
4. x4 − 7x3 + 17x2 − 17x + 6
5. 6x4 + 13x3 − 13x − 6
6. 6x4 − 5x3 − 23x2 + 20x − 4
Exercice 11 : Factoriser.
1. (x2 + 6)2 − 25x2
2. x3 − 9x2 + 27x − 27
3. x4 − 10x2 + 9
4. x4 − 2x2 + 1 − (x − 1)2
5. x4 − 3x3 − 18x2
6. (x − 1)(x + 2) − (1 − x)
7. 6x4 + 4x3 − 26x2 − 16x + 8
8. x6 − 26x3 − 27
9. x8 − 4x6 − 2x5 + 8x3 + x2 − 4
10. x4 + 5x3 + 6x2 − 4x − 8
11. x7 − x4 y 3 − x3 y 4 + y 7
12. (x − 3)(x2 + 9) − 6x(3 − x)
13. 9x2 − 2x2 (3x − 2) − 12x + 4 + 5x(3x − 2)
14. 3x6 − 3
15. x6 − 26x3 − 27
16.
− x10 + x8 + x4 − x2
Solutions :
1. 1.
4.
2. 1.
− x2
2. impossible
− 15x7
5. 2x3
− 3x5 − 3x3 + 4x2 − 6
2.
− 3x3 − 3x2 − x − 2
4. 6x2 − 18x
5. x2 + x − 2
7. 2x3 + 5x2 − 13x − 30
8.
− 16x2 + 18x − 7
2
− x5
3
1
6. − x4
2
1 3
3. − x + 2x2 − 4
5
6. 2x2 − 13x + 15
3.
9. 2x3 − 3x2 − 8x − 3
10. 18x4n−1 + 12xn
3. 1. 25x2 − 40x + 16
1 4 1 3 1 2
x − x + x
4.
4
3
9
7. 8 − 12x + 6x2 − x3
10. 399
4. 1.
− 2x2 − 22x + 7
5. 1. (a + b)(x + y)
1)3
2. 4x6 + 16x4 + 16x2
3. 9x4n − 12x3n+1 + 4x2n+2
5. x2 − 25
6. x3 + 3x2 + 3x + 1
8. 8x3 − 12x2 + 6x − 1
9. x2n − y 2m
11. 1764
12. x6 + 4x5 − 4x4 − 16x3 + 16x2
2. 0
2. (x − 1)(y + 4)
x)3
4. (x −
5. (2 −
2
2
7. x(a − x)(a + x)(a + ax + x )(a2 − ax + x2 )
8. xy(y − x)(y 2 + xy + x2 )
9. (x3 − y 2 )(x3 + y 2 )(x6 + x3 y 2 + y 4 )(x6 − x3 y 2 + y 4 )
3. (x + y)(2x)
6. (x − a)(x + a)(x2 + a2 )
Chapitre 6
POLYNOMES
6. 1. (a − x − 1)(a − x + 1)
4. (a + b)(x + y)
7. (2x − 3a)(2x + 3a + 1)
Page 3
2. (x − 1 − a)(x − 1 + a)
3. (x − 2a + 1)(x + 2a − 1)
5. (x − 1)(x − 1)(x + 1)
6. (x + 2)(x − 1)(x + 1)
x)(8x2
9. (x − 2)(x + 2)(5x + 1)
8. (1 −
7. 1. (x − 8)(x + 9)
− 1)
2. (x + 4)(x + 3)
3. (x − 3)(x − 5)
4. 3(x + 1)(x + 2)
5. 2(x − 3)(x − 4)
6.
7. (x + 1)(3x + 2)
8. (2x + 1)(3x + 1)
9. 3(2x + 3)(x − 1)
10. (x + 1)(−4x + 3)
11.
− 2(x + 1)(3x − 4)
− (x − 3)(x + 7)
12. (x + 1)(−5x + 2)
8. 1. −x5 + 2x4 − 7x2 + 9x + 3 = (x2 − 3)(−x3 + 2x2 − 3x − 1) + 0 ou
−x5 + 2x4 − 7x2 + 9x + 3
= −x3 + 2x2 − 3x − 1
x2 − 3
2. x7 − 2x4 − x3 + x2 + x + 1 = (x4 − 1)(x3 − 2) + (x2 + x − 1) ou
2
x7 − 2x4 − x3 + x2 + x + 1
3−2+ x +x−1
=
x
x4 − 1
x4 − 1
3. x5 − 5x3 − 5x2 + 4x + 3 = (x2 − 2x − 1)(x3 + 2x2 − 3) + (−2x) ou
x5 − 5x3 − 5x2 + 4x + 3
−2x
= x3 + 2x2 − 3 + 2
2
x − 2x − 1
x − 2x − 1
4
3
2
2
4. x − 10x + 23x + 10x + 2 = (x − 5x − 1)(x2 − 5x − 1) + 1 ou
x4 − 10x3 + 23x2 + 10x + 2
1
= x2 − 5x − 1 + 2
2
x − 5x − 1
x − 5x − 1
6
3
2
3
2
5. x − 1 = (x + 2x + 2x + 1)(x − 2x + 2x − 1) + 0 ou
x6 − 1
= x3 − 2x2 + 2x − 1
x3 + 2x2 + 2x + 1
x5 − x2
6. x5 − x2 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 ) + 0 ou
= x4 + x3 + x2
x−1
9. 1. R(x) = P (−1) = −8,
(−2x2 + x − 5) = (x + 1)(−2x + 3) − 8
2. R(x) = P (−1) = 0,
(x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) = (x + 1)(x6 + x4 + x2 + 1)
3. R(x) = P (−1) = 0,
(x8 − 1) = (x + 1)(x7 − x6 + x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1)
4. R(x) = P (1) = 0,
(x6 + 2x5 − x4 + 4x3 − 7x2 − 2x + 3) = (x − 1)(x5 + 3x4 + 2x3 + 6x2 − x − 3)
10. 1. (x − 1)(x + 3)(x + 7)
4. (x −
1)2 (x
− 2)(x − 3)
2. (x + 1)(x + 3)(x − 2)
3. (x − 1)(x + 1)(x + 5)(x − 3)
5. (x − 1)(x + 1)(2x + 3)(3x + 2) 6. (x − 2)(x + 2)(3x − 1)(2x − 1)
11. 1. (x − 2)(x − 3)(x + 2)(x + 3)
2. (x − 3)3
3. (x − 3)(x + 3)(x − 1)(x + 1)
4. x(x − 1)2 (x + 2)
5. x2 (x − 6)(x + 3)
6. (x − 1)(x + 3)
7. 2(x + 1)(x − 2)(x + 2)(3x − 1)
8. (x + 1)(x2 − x + 1)(x − 3)(x2 + 3x + 9)
9. (x + 2)(x − 2)(x − 1)2 (x2 + x + 1)2
10. (x − 1)(x + 2)3
11. (x − y)2 (x2 + y 2 )(x + y)(x2 + xy + y 2 )
12. (x − 3)(x + 3)2
13.
− 2(3x − 2)(x2 − 4x + 1)
15. (x − 3)(x2 + 3x + 9)(x + 1)(x2 − x + 1)
14. 3(x − 1)(x2 + 3x + 9)(x + 1)(x2 − x + 1)
16.
− x2 (x − 1)2 (x + 1)2 (x2 + x + 1)(x2 − x + 1)
Mathématique 1ère année Exercices
Série 10
Fonctions rationnelles - Equations
Exercice 1 : Domaine de définition
Déterminer les domaines de définition et identifier les racines des fonctions
rationnelles suivantes. (m ∈ R).
a. f (x) =
b. f (x) =
c. f (x) =
d. f (x) =
e. f (x) =
5x
3x − 4
2x2 − x − 15
x2 − 9
3
x − x2 − 20x
x2 + 4
x
m
3x2 + 3mx + x + m
x−3
f. f (x) =
x2 − 6x − 7
x−m
x3 − 2x2 + 4x − 8
x3 + 2x2 − 4x − 8
6
3
h. f (x) =
−
3x − 9 x + 4
2x − 1
x+3
−
i. f (x) =
2x − 1
x+3
x+1 6
j. f (x) =
+
x−3 x
g. f (x) =
Exercice 2 : Equations
Résoudre les équations suivantes à l’aide du domaine de définition et des
racines.
a.
3x − 3
3x − 6
=
2x − 6
2x + 6
e.
x2 + 4
=1
x2 − 4
b.
1
3
=
x−3
x−1
f.
x+3
(x − 2)2
=
x
2−x
c. 10x3 − 9x2 − 9x = 8x3 − x − 15
g. 12x3 = 25x2 − x − 2
d. (x + 1)(x + 2) = (x + 1)2
h.
x
x2 + x
= 2
x−1
x −1
Exercice 3 : Problèmes
a. Déterminer trois entiers consécutifs dont la somme vaut 2’076.
b. Deux nombres réels ont pour différence 74. La différence de leurs carrés
est 30’784. Déterminer ces nombres.
Chapitre 6
FONCTIONS RATIONNELLES - EQUATIONS
Page 1
♣♠ Exercices supplémentaires ♠♣
Exercice 1 : Donner le domaine de définition des fonctions rationnelles suivantes :
2x − 1
4x2 − 1
3x
3. f (x) = 2
2x + 3x + 1
1. f (x) =
5x
x2 + 6x + 8
2x3 − 1
4. f (x) = 3
x − x2 − 6x
2. f (x) =
Exercice 2 : Simplifier :
(x + 1)3
x3 + 1
x2 − 6x + 8
3. f (x) = 3
x − 5x2 + 2x + 8
x2 − 9
5. f (x) = 2
x − 2x − 15
1. f (x) =
x2 − 6x + 8
16 − x2
2x3 + 5x2 + 4x + 1
4. f (x) = 3
x + 3x2 + 3x + 1
6x + 18
6. f (x) =
3
2. f (x) =
Exercice 3 : Effectuer en simplifiant :
1.
3.
5.
7.
1
1
1
+
+
x x2 x3
8
4
2
−
+
x2 − 1 x + 1 1 − x
x+9
x + 14
x − 18
− 2
+ 2
2
x − x − 12 x + 8x + 15 x + x − 20
3 + 2x − x2 3x3 + 27x2 x2 + 5x + 6
+
+
3 + 4x + x2
3x3 − 27x
6 + x − x2
2.
4.
6.
3
3
−
x+3 x+6
−7
4
5
+
+
2x2 − 32 3x + 12 12x + 48
x2 + 10x + 16 x2 + 4x
8x2 − 6x − 20
+
−
x2 + x − 2
x2 + x
x3 − 2x2 − x + 2
Exercice 4 : Effectuer en simplifiant :
1.
x2 26 −x5
·
·
5 x3 52
3.
x2 − 25
17x2 − 17x − 34
x2 − 1
x2 + 2x + 1
·
·
·
x3 + 3x2 + 3x + 1
6 − 6x
x2 + 3x − 10 51x − 255
2.
9x2 − 9x − 54 x2 − 1
·
x2 + 2x − 3 3x − 9
Exercice 5 : Résoudre dans R les équations suivantes :
√
√
1. (3x + 1)(4x − 5) = 0
2. ( 3 − x)( 2x + 2) = 0
3. x2 − 16 = 0
4. x2 − 5 = 0
5. 4x2 − 9 = 0
6. x2 + 25 = 10x
7. x(x − 1) = 42
8. x3 + 7x2 + 12x = 0
9. 4x(x − 1) = x3
10. (2x + 9)(x + 5) = 3 − x
11. x3 + 4x2 + 3x + 12 = 0
12. x5 + 2 = x(2x3 + 1)
13. (2x + 1)(4x − 5) = 0
14. 9x2 − 16 = 0
Chapitre 6
FONCTIONS RATIONNELLES - EQUATIONS
Page 2
Exercice 6 : Résoudre dans R les équations suivantes :
1. (2x − 5)(3 − x) = 4(2 + x) − 2x2
2. (x − 2)(x + 4) = x2 − 3x + 2
3x + 1
3. 3x =
+ 2(x − 1)
3
√
√
5x + 1 = 3 − 3x
5.
7. 6(x + 5) − 5x = 25
3x − 4
1 5 − 4x
= −
7
2
14
√
√
6. (4 + 3)x + 1 = − 3(1 + x)
8. (x − 3)2 − 5(10 + x) = x2 − 8
9. (5 − x)(x + 4) = 8 − x2
10. (x − 4)2 − 5(16 − x) = x(x − 1)
4.
2x − 3 x
3(3x − 2)
+ =
5
2
10
3
2x
1
16x −
13. 2x −
=
9
9
2
11.
12.
14.
x + 1 6x + 7
4 − 3x 1
−
=
−
2
8
5
8
2
2
(x − 2)
(2x + 1)
(3x − 7)(3x + 7)
+
=
2
4
6
15. 3(2x − 1) − 5(1 − 4x) = 2x + 64
16. 8 − 3(5x + 2) = 5x − 2(4 − 3x)
17. (x + 3)(x − 5) − 8x = x2 + 5
18. (3x − 4)(5 − 2x) = 2(5 − x) − 6x2
Exercice 7 : Résoudre dans R les équations fractionnaires suivantes :
1.
4.
x+1
x−3
=
x−2
x+4
x−3 x+3
3
−
= 2
x+3 x−3
x −9
4
x
=
−2
x+1
x−2
x
−1
1
2
10. x +
=
x
x+2
−1
1+
x−2
x−2
7.
13.
2.
5.
8.
11.
5 + 2x
3+x
=
1 − 4x
5 − 2x
3x + 1
2x + 1
+
=2
3(x − 3) 2(x + 3)
x
2
x2
− = 2
x+1 x
x +x
x−3
x−1
=
x+4
x−2
3.
6.
9.
12.
x
2
−
=1
x − 2 2x + 3
x
1
−
=1
x − 3 2x + 3
2x
3x
6
−
=
x+1 x−1
−1 + x2
6x − 1
2x
=
3x − 1
x+4
x+3
1
1
−1
−
x−3
= x−1 x
x+3 x−3
1
1
−
−
x−3 x+3
x+1 x−1
Exercice 8 : Problèmes à une inconnue :
1. La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est 555. Quels sont ces entiers ?
2. Un enfant a 10 ans quand son père en a 34. Dans combien d’années la différence des âges
sera-t-elle les 38 de leur somme ?
3. Un terrain rectangulaire a 400 m de périmètre. Si on augmente la longueur de 5 m et si on
diminue la largeur de 5 m, l’aire diminue de 325 m2 . Calculer l’aire du terrain.
4. Un rectangle a 20 m de longueur ; si sa largeur diminue de 16 m et si sa longueur augmente
de 5 m, son aire ne varie pas. Quelle est la largeur du rectangle ?
5. Brigitte lit un roman en 4 jours. Chaque jour (à partir du second), elle lit 22 pages de plus
que le jour précédent. Christine lit le même roman en 4 jours. Le premier jour, elle lit le même
nombre de pages que Brigitte. Chacun des jours suivants elle lit deux fois plus de pages que
la veille. Quelle est le nombre de pages de ce roman ?
6. Un automobiliste avait l’intention de voyager à la vitesse moyenne de 60 km/h. Après un tiers
du trajet, il doit réduire sa vitesse et terminer à la vitesse moyenne de 50 km/h. Déterminer
la distance totale parcourue sachant que l’automobiliste termine avec 36 minutes de retard
sur l’horaire prévu.
Chapitre 6
FONCTIONS RATIONNELLES - EQUATIONS
Page 3
7. Deux amis se rendent à un concert. Le premier part de Sion à 18 heures et roule à 120 km/h ;
le deuxième part de Winterthour à 18h30 et roule à 110 km/h. Sachant que les deux amis se
retrouvent une demi-heure avant le début du concert et que la distance Sion-Winterthour est
de 340 km, déterminer à quelle heure est programmé le concert et à combien de km de Sion
il a lieu.
8. Un nombre est compris entre 1000 et 1999. La somme de ses chiffres est 19 ; le chiffre des
dizaines vaut 3 fois celui des unités ; le chiffre des centaines égale les 53 de la somme des
chiffres des dizaines et des mille. Trouver ce nombre.
9. On dispose de deux qualités de vin, le litre de la première valant 4,70 frs. En mélangeant 930
litres de la première sorte de vin et 310 litres de la seconde, on obtient un vin qui revient à
4,45 frs le litre. Quel est le prix du litre de la seconde qualité ?
Solutions :
1 1. D = R −
1 1
,−
2 2
2. D = R − {−2, −4}
1
3. D = R − −1, −
2
(x + 1)2
x2 − x + 1
1
3. f (x) =
x+1
x−3
5. f (x) =
x−5
2 1. f (x) =
3 1.
3.
5.
7.
4 1.
3.
5 1.
4.
7.
x2 + x + 1
x3
−6x + 10
(x − 1)(x + 1)
1
x+5
x−6
−
x+3
4. D = R − {3, 0, −2}
D = R{−1}
D = R − {−1; 4; 2}
D = R − {5; −3}
x−2
x+4
2x + 1
4. f (x) =
x+1
2. f (x) = −
6. f (x) = 2x + 6
D = R∗
2.
D = R − {1; −1}
4.
D = R − {4; −3; −5}
6.
9
(x + 3)(x + 6)
7(x − 6)
4(x − 4)(x + 4)
2(x + 3)
x+1
D = R − {4; −4}
D = R − {−1}
D=R
D = R − {−3; −6}
D = R − {4; −4}
D = R − {−2; −1; 0; 1; 2}
D = R − {−3; −1; 0; 3; −2}
−x4
3(x + 2)(x + 1)
D = R∗
2.
D = R − {−3; 1; 3}
10
x+3
x+1
−
D = R − {−1; 1; −5; 2; 5}
18
√ √
1 5
S= − ;
2. S =
3; − 2
3. S = {4; −4}
3 4
√
√
3 3
S = { 5; − 5}
;−
6. S = {5}
5. S =
2 2
S = {7; −6}
8. S = {0; −4; −3}
9. S = {0; 2}
10. S = {−3; −7}
1 5
13. S = − ;
2 4
11. S = {−4}
4 4
14. S = − ;
3 3
12. S = {1; −1; 2}
Chapitre 6
23
6 1. S =
7
FONCTIONS RATIONNELLES - EQUATIONS
2. S = {2}
√
√ 5− 3
3. S = ∅
(
Page 4
√ )
1− 3
2
4. S = {5}
5. S =
7. S = {−5}
8. S = {−3}
9. S = {−12}
10. S = {−32}
11. S = R
125
14. S =
12
12. S = {3}
13. S = ∅
5
16. S =
13
1
7 1. S =
5
1
4. S = −
4
7. S = {3; −4}
2
10. S = −
3
13. S = {−2}
8 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
17. S = {−2}
2. S = {−2}
5. S = {−21}
8. S = ∅
7
11. S =
2
6. S =
15. S = {3}
6
18. S =
5
3. S = {−5}
9
6. S =
5
9. S = {−3; −2}
4
12. S =
25
Les deux entiers recherchés sont 277 et 278.
L’évènement recherché aura lieu dans 10 ans.
La largeur vaut 70 m et la longueur 130 m, donc l’aire du terrain est 9100 m2 .
La largeur vaut 80 m.
Le roman comporte 180 pages.
La distance est de 270 km.
Ils se rencontrent à 19h43, le concert a donc lieu à 20h13 à 144 km de Sion.
Le nombre recherché et 1693.
Le prix du litre de la seconde qualité est de 3,70 frs.
1. Systèmes d’équations
1.8
1.8 Exercices
Exercices
Exercice 1
Résoudre les systèmes suivants dans R2 :
2x + y + 7 = −7 − 3y
2x + 4y = 42
n.
a.
4x + 4y + 4 =
x−7
−5x + 7y = 31
x+y
3x − 8y = 36
= x−y
b.
2
3
o.
1
4x − 5y = −14
x
+
4y
=
−
2
(
6x + 5y = 8
1
7
1
c.
x + y =
12
3x + y2 = −4
p.
1
1
1
−
=
−
x
y
12
5x − 14 y = 33
d.
(
−10x + y2 = −68
1
7
1
x+1 + y−2 =
12
q.
1
1
1
30x + 4y = 46
x+1 − y−2 = − 2
e.
−2x + 4y = 14
(
8
x + y−1
= −3
x + 2y
= 17
r.
f.
12
−2x + y−1 = −3
−2x + 3y = 1
(
2x
= 3y
7
4
1
g.
5
x + y =
2
x + y = 12
s.
5
3
3
−
=
2
x
y
14
x + 2y 2 = 22
(
h.
x+y
2x2 − y 2 = −1
= 34
xy
x y
t.
x−y
= 14
= −2
xy
3 − 2
i.
3y
−x + 2 = 6
2(x + 2y)
= 0
x
u.
4y
2 =
−3(−y + 3x) = 0
j.
3 = 2y − x
x
3 = 2y − 1
11x + 18y = 1
v.
k.
3
= 2y − x
22x + 36y = 3
x
x
2x = − 31
3 − 5y + 8 = 2 − 3
w.
l.
y
x
= y+1
−7y = 1 + x
2 − 3 +4
5(x+y)
= 15
0
2y + 3x − 43
3
12 =
m.
x.
x − 2y = −3
−5x + 3y
= − 74
Exercice 2
Résoudre les systèmes paramétriques suivants :
5x − 2y =
x+y
= 3
d.
a.
2x + 3y =
mx − 2y = 5
(m + 2)x + y
2x + (m − 1)y = 1
e.
b.
3x + 2y
3x + y
= 0
x + my =
mx + y = 2
f.
c.
mx + 3y =
2x − y = 1
16
m
17
= 1
= 13
2
3
1. Systèmes d’équations
g.
x + 4y = m + 3
7x − y =
1
1.8 Exercices
h.
mx + 5y = −10
3x − 2y =
4
Exercice 3
Problèmes
a. Un livre est disponible sous la forme reliée ou brochée. L’achat de 4 exemplaires reliés et de 6 brochés, revient à 302fr et l’achat de 3 exemplaires
reliés et 5 brochés revient à 241fr. Quel est le prix de chaque exemplaire ?
b. On donne 3fr10 avec 3 pièces d’un type et 5 d’un autre. Peut-on obtenir
la même somme avec 8 pièces du premier type et 3 du deuxième ? Quelle
est la valeur de chacune des pièces ?
c. Deux nombres diffèrent de 115, la différence entre le quadruple du plus
petit et le plus grand est égale au huitième de ce dernier. Quels sont ces
nombres ?
d. Une couverture en cuir coûte 18fr. On dispose de 2 livres de prix différents. Si on met cette couverture sur le premier livre, il vaut le tripe du
second, si on la met sur le second livre, il vaut le double du premier. Quel
est le prix de chaque livre ?
e. Le patron d’une entreprise dispose d’une certaine somme dédiée aux gratifications accordées à ses employés. S’il distribue 500fr à chacun d’eux, il
lui reste 1’500fr. S’il distribuait 600fr à chaque employé, il lui manquerait
200fr. Déterminer le nombre d’employés et la somme disponible.
f. On veut obtenir 64fr avec 10 pièces d’un premier type et 7 d’un deuxième
type ainsi que 31fr avec 5 pièces du premier type et 3 du deuxième. Quelle
est la valeur de ces pièces ?
Exercice 4
Résoudre dans R3 les systèmes suivants :


6
 x−y+z =
 2x − 4y − z
x + y − z = −10
3x + 7y + 4z
a.
d.


−x + y + z =
4
5x + 6y − 3z


 x+y+z = 2
 −3x − 2y + z
2x − 2y − z = 1
4x − y − z
b.
e.


3x + y
= 0
−2x + y − 2z


= 6
 4x + 5y + 8z
 2x + y − z
8x + 15y + 16z = 14
3x − 6y + 9z
c.
f.


40x + 40y + 40z = 51
x + 3y − 4z
17
= 18
= 10
= −5
= 86
= −58
= −99
= 3
= 3
= 2
4. Inéquations et Trinômes
4.8
4.8 Exercices
Exercices
Exercice 1
Résoudre les inéquations suivantes :
15x − 1 9x + 2
−
> −1
5
3
3x 2
x 1
+ > −
g.
4
3
3 2
x+7
5x + 1 3x − 2
−
6x+
h.
3
5
15
2−x
2(1 − x) 2x − 1
−
>
+3
i.
5
15
3
a. 5x + 3 > 6x + 7
f.
b. 14x − 5 < 12x + 9
c. −4x + 5 > 7
d. 2x − 1 6 3x + 5
e.
x 3x
−
> 2x
3
4
Exercice 2
Résoudre les inéquations suivantes :
h. 2x2 − 3x + 1 > 0
a. (x − 2)(x + 6) < 0
i. x2 + 4x + 3 6 0
b. (2 − 5x)(x − 3) > 0
c. (x − 2)(1 − x)(x + 4)2 > 0
d. (x + 7)(3 − x)(2x +
1)3
>0
j. x(x − 1) < 20
k. 9x2 + 1 > 6x
l. (x − 1)2 > (2x + 3)2
e. x2 > 4
f. x4 − 1 6 0
g. x2 + 2x + 1 6 0
m. 2x3 − 2x2 + 6 6 7x2 + 6x + 1
n. (x − 3)2 6 (x − 4)(x − 2)
Exercice 3
Résoudre les équations suivantes :
a. |x − 3| = 5
b. |2x − 1| = −7
c. |x − 2| = |2x + 3|
d. |(x − 3)(x + 2)| = 0
p
e.
(3x − 4)2 = 3
f. |2x + 3| + |(x − 7)(2x + 3)| = 0
Exercice 4
Résoudre les inéquations suivantes et donner les domaines de définitions :
3 − 5x
<0
2x + 7
(x − 5)(2x + 1)2
>0
b.
x2 + 1
(2x − 7)3 (x − 5)
c.
>0
3x(5 − x)
1
3
d.
<
x−2
x−3
a.
3
x+3
>
2
x −1
x−1
5 − 2x
f.
>2
3x + 1
6x
2x − 1
<
g.
x−5
3x − 1
5
−3
2
−
<
h.
x+1 x−2
x+2
e.
97
4. Inéquations et Trinômes
i.
−x2
4.8 Exercices
8x
61
+ 4x − 4
j.
20x
>1
25x2 + 4
Exercice 5
Appliquer la méthode vue au cours pour dire si les trinômes du second degré
suivants ont des racines. Le cas échéant, calculer ces racines et factoriser le
trinôme.
a. x2 − x + 1
b. x2 + x − 1
c. 3x2 + x − 1
Exercice 6
Factoriser les trinômes suivants et faire une étude de leur signe.
a. f (x) = x2 + 5x − 6
b. f (x) = 3x2 − x − 2
c. f (x) = −4x2 + 5x − 1
Exercice 7
Résoudre les équations suivantes :
a. x2 − 7x + 10 = 0
b.
c.
j. x(x +
3x2
√
− 4x + 2 = 0
√
3x2 − 4x + 2 3 = 0
√
2) =
√
2(x −
√
2)
k.
x2
+ (m + 1)x + m = 0
l.
9x2
+ 3(2m + 1)x + m(m + 1) = 0
d. 2x2 − 6x − 3 = 0
m. 6x2 − (5m − 2)x + m(m − 1) = 0
√
f. 225x2 − 210x + 49 3 = 0
o. − x4 + 7x2 + 8 = 0
e. 9x2 − 16 = 0
n. 3mx2 − (m + 3)x + 1 = 0
g. − 9x2 + 12x + 5 = 0
√
h. x(x + 5) = 2x
√
√
i. 3x2 − 2 3x + 1 = 0
p. 5x4 + 13x2 + 6 = 0
q. 9x4 + 5x2 − 4 = 0
r. 9x4 − 16 = 0
Exercice 8
Résoudre les inéquations suivantes :
a. x2 + x − 2 > 0
f. − 2x2 + 5x + −7 ≥ 0
c. − x2 + x − 2 > 0
h. 2x2 + 3x − 9 > 0
b. − x2 + x − 2 < 0
g. 3x2 − 4x + 5 > 0
d. x2 + 3x + 2 ≤ 0
e. −
x2
i.
2x−1
x−2
≥3
j. 4 < x2 − 4x + 7 < 1
− 2x + 15 < 0
Exercice 9
Résoudre les inéquations suivantes et donner les domaines de définitions :
98
4. Inéquations et Trinômes
4.8 Exercices
5
3x − 2 4 − x
+
<x−
4
3
12
3x2 − 2x + 1
b.
<3
x2 + 1
−6x + 4
−4x − 1
>
c.
4x
6x − 2
x
2x2
d. x2 −
>
x+2
x+2
e. 9x2 6 16
a.
f. 6x3 − 8x2 6 6x − 8
g.
h.
5 − 11x2
6 11x − 3
−x + 5
−7
3
−5
+
<
2x2 − 32 3x + 12
12x − 48
Exercice 10
Problèmes.
a.
Déterminez les longueurs des côtés d’un rectangle dont la diagonale mesure 29m
et dont l’aire est égale à 420m2 .
b.
Le prix total d’un voyage en car pour un certain nombre de personnes se monte à 720fr.
A la suite de la défection de l’un des participants, la part de chacun augmente de 3 fr.
Quel est le nombre de personnes qui devaient participer à ce voyage ?
c.
Trouvez deux nombres entiers consécutifs dont la somme des carrés est égale à 3445.
Exercice 11
Résoudre les inéquations suivantes :
a.
b.
c.
d.
e.
|x − 3| < 2
|3x − 2| < 2
|−2x − 3| ≤ 4
|x − 2| > 3
1
1−x
<
1
|x+1|
f. |3x − 4| > |5 − 2x|
g. |x − 2| ≤ |3x + 7|
Exercice 12
Calculer les valeurs du paramètre m pour que l’équation 3x2 − 10x + m = 0
admette :
a.
Deux racines distinctes
b.
Deux racines positives distinctes
c.
Une racine nulle et une autre non nulle
d.
Deux racines inverses
e.
Deux racines opposées
f.
Deux racines de signes opposés
g.
Aucune racine
h.
Une seule racine nulle (pas d’autres racines).
99
4. Inéquations et Trinômes
4.8 Exercices
Exercice 13
Représenter graphiquement les fonctions suivantes et donner leur tableau de
variation :
g. f (x) = x2 − 7x + 10
a. f (x) = 2x2 + 3x + 1
h. f (x) = 3x2 − 4x + 2
b. f (x) = 1x2 − 2x + 2
i. f (x) = −2x2 − 7x − 10
c. f (x) = −2x2 − 7x − 10
j. f (x) = x2 − 1
d. f (x) = x2 − 1
k. f (x) = (x − 3)(4 − x)
e. f (x) = (x − 2)(3 − x)
f. f (x) =
−3x2
l. f (x) = x2 − 4x + 4
− 4x + 4
Exercice 14
Donner le domaine de définition et résoudre les équations suivantes :
√
√
a. −x2 − x + 2 = x + 1
d. 5 1 − x2 = 5 − x
√
√
b.
x−3=5−x
e. x2 + 3x − 28 = x − 1
√
√
√
√
c. x + 1 = x − 2
f. x − 1 − x − 2 = 2x + 3
Exercice 15
Résoudre les inéquations suivantes et donner les domaines de définitions :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
√
√ √ √
√ 5 2x − 5 < 8 5x − 2
√
√
√
3 (x + 2) > 2x + 4 3
√
x−1<2
√
2x − 5 > −2
√
x − 5 < x2 + 9
√
x − 4 > x2 + 1
√
√
2x + 8 > 5x − 2
√
x + 1 6 x2 + 3
√
i.
√
x−
√
x−1>3
√
j. x − 5 < x2 − 9x + 8
r
x−2
k.
61
3x + 9
√
l. x + 3 > 2x + 5
√
4x − 7 + 2x < 3
m.
√
√
n. 7 + x − 3 > x + 4
Exercice 16
Donner le domaine de définition et résoudre les inéquations suivantes :
√
9x+23
g.
>
−x2 − x + 2 < x + 1
a. 23−21x
3x+1
2x−7
√
b. 2x−1
x−3≤5−x
h.
x−2 ≥ 3
√
x+3
x+1
c. x−2 ≥ x−4
i. x + 1 > x − 2
√
2x+5
d. x+10
j. 5 1 − x2 ≤ 5 − x
3x+2 ≥ x−1
√
2 +39x−15
x2 + 3x − 28 ≥ x − 1
k.
<
0
e. −18x
2
6x −34x+40
√
√
√
2
4
≤ x−1
l. x − 1 − x − 2 < 2x + 3
f. x28−1 − x+1
100