La vie au pensionnat Micheline Gagnon

Modelagem Estrutural
Artur Portela
!
UnB – Departamento de Engenharia Civil
Modelagem Computacional
SISTEMA FÍSICO
•  número infinito de parâmetros
SISTEMA IDEALIZADO
•  número finito de parâmetros
MODELO CONTÍNUO
•  sistema de equações diferenciais
•  número infinito de graus de liberdade
•  solução exata (matematicamente)
MODELO DISCRETO
Idealização: selecionar os
parâmetros fundamentais realmente
caraterísticos do sistema em estudo
Modelagem Matemática:
aplicar os princípios da Mecânica
dos Meios Contínuos
Discretização: definir número
finito de graus de liberdade e aplicar
o Método dos Resíduos Ponderados
•  sistema de equações algébricas
•  número finito de graus de liberdade
•  solução aproximada
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Modelagem Computacional
Idealização
Physical
system
Discretização
Continuum
model
Solução
Discrete
model
Numerical
solution
Solution error
Discretization + solution error
Modeling + discretization + solution error
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Modelagem Estrutural
Peças maciças (3D), laminares (2D) e lineares (1D)
Variáveis σ, ε e u
Variáveis generalizadas σ, ε e u
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Modelagem Estrutural
Peças maciças (3D), laminares (2D) e lineares (1D)
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Modelagem Estrutural
Peças maciças (3D), laminares (2D) e lineares (1D)
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Modelos Contínuos
Modelo exato 3D – Teoria da
Elasticidade – descreve o
comportamento mecânico de um
corpo elástico estrutural. Aplicável
a peças em que nenhuma das
dimensões é muito diferente das
outras.
Estados planos de deformação e elasticidade
axi-simétrica são particularizações do modelo 3D.
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Modelos Contínuos
Modelos assimptóticos – simulam o comportamento
mecânico de corpos estruturais com geometria particular,
com uma ou com duas dimensões dominantes, tais
como vigas e cascas.
Formulam-se em termos de variáveis generalizadas do
modelo fundamental.
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Modelos Contínuos
Modelo assimptótico 2D Teoria das Cascas – aplicável a
corpos estruturais em que uma das dimensões, a da
espessura, é muito menor do que as outras – o material da
casca confina-se à vizinhança da superfície média da casca
que bisecta a espessura e tem dupla curvatura, em geral.
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Modelos Contínuos
A casca tem comportamento
de membrana (resistência à
tração ou compressão em
duas direções) quando as
forças internas estão no plano
tangente à superfície média.
Caso contrário, a casca
resiste às ações por flexão.
Os esforços de membrana e de flexão da casca são
acoplados.
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Modelos Contínuos
Uma casca degenera em placa ou em chapa sempre que a
sua superfície média for plana.
Numa chapa, as forças internas estão no plano médio
(comportamento de membrana – agora plano de tensão).
Numa placa as forças internas estão fora do plano médio
(comportamento de flexão). A placa pode ter esforços de
membrana e de flexão que são desacoplados
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Modelos Contínuos
Teorias das Placas:
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Modelos Contínuos
Modelo assimptótico 1D – Teoria das barras – aplicável
a elementos estruturais em que duas das dimensões, as da
seção transversal, são muito menores do que a terceira. O
material da estrutura está confinado à vizinhança de uma
linha, o eixo da barra que é perpendicular à seção
transversal no centróide.
Treliças, pórticos e grelhas são alguns exemplos de
estruturas onde este modelo é válido.
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Modelos Contínuos
Teoria das barras:
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Modelagem Estrutural
Peças maciças (3D), laminares (2D) e lineares (1D)
Variáveis σ, ε e u
Variáveis generalizadas σ, ε e u
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Teoria da Elasticidade
Objetivo - determinar a distribuição de 3 deslocamentos, 6
tensões e 6 deformações (campo elástico) que se instalam
numa estrutura sujeita a um sistema de forças exteriores.
Hipótese- as tensões e deformações relacionam-se por uma
lei física caraterística do material e independente do
tempo (lei constitutiva do comportamento macroscópico do
material elástico).
Modelo - sistema de 15 equações diferenciais com 15
incógnitas que, conjuntamente com as condições de
contorno, pode ser resolvido.
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Teoria da Elasticidade
Equações – modelo exato (3D)
Condições
de contorno
Deslocamento
u
Kinematics
Cinemática
Cargas
Statics
Equilíbrio
Deformações
ε
Tensões
σ
Condições
de contorno
Constitutive
Constitutivas
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Teoria da Elasticidade
Corpo estrutural
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Teoria da Elasticidade
Equações da cinemática
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Teoria da Elasticidade
Equações da cinemática
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Teoria da Elasticidade
Equações de equilíbrio
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Teoria da Elasticidade
Equações de equilíbrio
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Teoria da Elasticidade
Equações constitutivas
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Teoria da Elasticidade
Equações constitutivas
24
Teoria da Elasticidade
Resumo
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Teoria da Elasticidade
Resumo
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Teoria da Elasticidade
Em alternativa aos modelos de equações diferenciais,
um problema de elasticidade pode resolver-se recorrendo
ao teorema do trabalho.
O teorema do trabalho estabelece um princípio global
válido para qualquer sistema mecânico.
O teorema do trabalho formula-se com base no conceito
de campo elástico admissível.
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Campos Elásticos
Campo elástico - qualquer conjunto de
deslocamentos ,
deformações ,
e tensões
que satisfaçam a relação
Um campo elástico satisfaz sempre as equações
constitutivas,
mas pode não satisfazer as equações
da cinemática
ou as do equilíbrio
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Campos Elásticos
Prescribed
displacmnts
DBCs
Kinematically
admissible
Force
Displacmnts
Kinematic
κ =-u
equations2,33
Strains
Equilibrium
equations
-p=M,33
M = EI κ
Statically
admissible
Stress
FBCs
Prescribed
Forces
Constitutive
equations
Totalmente
admissível
=
Cinematicamente
admissível
+
Estaticamente
admissível
Campos Elásticos
Estruturas re)culadas – admissibilidade Prescribed
displacmnts
KBCs
Force
Displacmnts
Kinematic
κ =-u2,33
equations
Strains
Equilibrium
-p=M,33
equations
M = EI κ
Constitutive
equations
Stress
SBCs
Prescribed
Forces
Campos Elásticos
Deformações cinema)camente admissíveis Prescribed
displacmnts
Kinematically
admissible
KBCs
Force
Displacmnts
Kinematic
κ =-u2,33
equations
Strains
Equilibrium
-p=M,33
equations
M = EI κ
Constitutive
equations
Stress
SBCs
Prescribed
Forces
Campos Elásticos
Tensões esta)camente admissíveis Prescribed
displacmnts
KBCs
Force
Displacmnts
Kinematic
κ =-u2,33
equations
Strains
Equilibrium
-p=M,33
equations
M = EI κ
Constitutive
equations
Statically
admissible
Stress
SBCs
Prescribed
Forces
Campos Elásticos
Admissibilidade Total Prescribed
displacmnts
Kinematically
admissible
KBCs
Force
Displacmnts
Kinematic
κ =-u2,33
equations
Strains
Equilibrium
-p=M,33
equations
M = EI κ
Constitutive
equations
Statically
admissible
Stress
SBCs
Prescribed
Forces
Campos Elásticos
Resolver um problema de elasticidade – é determinar um
campo elástico totalmente admissível – satisfazendo as
admissibilidades cinemática e estática.
Se tal campo elástico existir, ele é único, de acordo com o
teorema da unicidade de Kirchoff:
•  Entre todos os campos cinematicamente admissíveis
só um é estaticamente admissível.
•  Entre todos os campos estaticamente admissíveis só
um é cinematicamente admissível.
Teorema do Trabalho
O teorema do trabalho estabelece um princípio global
válido para qualquer sistema mecânico,
independentemente das suas leis constitutivas.
Deduz-se a partir da admissibilidade estática de um
campo de tensões e da admissibilidade cinemática de
um campo de deformações.
Teorema do Trabalho
Statically-admissible
stress field
Strong form
of the WRE
Weak form
of the WRE
Kinematically-admissible
displacement field
Teorema do Trabalho
Cinematicamente
admissível
Estaticamente
admissível
τ e +τ i = 0 τ e =
Under the assumption
of geometrical linearity
i
T ∗
T ∗
T ∗
τ
=
−
σ
b
u
dΔ
+
t
u
dΓ
∫ ε dΔ
∫
∫
Δ
Γ
Δ
Teorema dos Deslocamentos Virtuais
Deslocamento virtual - é um deslocamento compatível
com as ligações da estrutura – é pois um deslocamento
cinematicamente admissível.
Assim, uma variação virtual dos deslocamentos δ u é
qualquer variação que se anula no contorno Γ u (onde estes
estão fixados).
Para o campo elástico real, sujeito a uma variação virtual dos
deslocamentos, obtém-se do teorema do trabalho:
T
T
T
b
δ
u
dΔ
+
t
δ
u
dΓ
=
σ
∫
∫
∫ δε dΔ
Δ
Γt
Δ
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Teorema das Tensões Virtuais
Tensão virtual - é um estado de tensão que equilibra as
forças de massa e as tensões aplicadas – é pois um estado
de tensão estaticamente admissível.
Assim, uma variação virtual das tensões δ σ é qualquer
uma que equilibra forças de massa nulas em Δ (onde estas
estão fixadas) e tensões aplicadas nulas em Γ t (onde estas
estão fixadas).
Para o campo elástico real, sujeito a uma variação virtual das
tensões, obtém-se do teorema do trabalho:
T
T
δ
t
u
dΓ
=
δσ
∫
∫ ε dΔ
Γu
Δ
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Modelos Básicos do MEF
Podem formular-se 3 modelos distintos do MEF com base
nas variáveis de campo escolhidas para incógnitas e ainda
na forma como é feita a interação direta entre os elementos
finitos da malha:
•  Modelo compatível – As incógnitas são os u. Com o
teorema dos deslocamentos virtuais, parte-se da
compatibilidade reduzida e chega-se às condições de
equilíbrio reduzido.
•  Modelo equilibrado – As incógnitas são as σ. Com o
teorema das tensões virtuais, parte-se do equilíbrio
reduzido e chega-se às condições reduzidas de
compatibilidade.
•  Modelo híbrido dos dois anteriores.
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Modelo Compatível do MEF
Formulação Residual
Equilíbrio admissível
campo de tensões
Forma forte
da ERP
Forma fraca
da ERP
Galerkin
u virtuais
Forma fraca
da ERP
que é a expressão do teorema dos deslocamentos virtuais
Modelo Compatível do MEF
Discretização
Elementos
finitos
Interpolação
no elemento
Forma fraca
da ERP
Equações
do elemento
Modelo Compatível do MEF
Discretização
Condições de admissibilidade
Continuidade C0 e polinômios completos do 1º grau
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Energia Mecânica
Energia potencial
Energia interna,
Energia potencial das forças internas,
Energia de deformação elástica:
Energia externa,
Energia potencial das forças externas:
Energia potencial total:
Para o campo elástico real o teorema do trabalho implica:
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Teorema da Energia Total Mínima
O campo elástico real, totalmente admissível que se instala
numa estrutura, é o campo equilibrado que minimiza a
energia total, dentre todos os campos cinematicamente
admissíveis
Considerando o campo real
o teorema do trabalho implica
Assim, o valor mínimo da energia total pode ser substituído
pelo valor máximo da energia interna.
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Análise Linear & não-Linear
Para simular:
•  comportamento elástico linear (linearidade física tensões ∝ deformações),
•  com a hipótese dos pequenos deslocamentos
(linearidade geométrica - carga ∝ deslocamentos),
considera-se a configuração não deformada da estrutura e
a análise é totalmente linear gerando, de uma só vez, um
sistema de equações algébricas que se resolve para obter
a solução.
Análise Linear & não-Linear
Porém, havendo não-linearidades físicas e/ou geométricas,
é necessário adotar uma solução iterativa, envolvendo uma
série de aproximações (linearização) que podem implicar
centenas de iterações para levar em conta:
•  deformações finitas causando mudança de forma (não-linearidade
geométrica - carga não ∝ deslocamentos);
•  deformações plásticas ou fluência (não-linearidade física - tensões
não ∝ deformações);
•  escorregamento finito ou perda de contato (alteração das condições
de contorno - mudanças de rigidez).
Portanto, a análise não linear pode até nem convergir !!!
Problemas não-Lineares
Exemplo - para os problemas da elasticidade linear não
se atualizam as coordenadas nodais no cálculo dos
deslocamentos (linearidade geométrica – a análise é
feita na configuração não-deformada da estrutura).
A análise linear simula apenas o deslocamento vertical da
console. Para simular o deslocamento real é necessário
fazer-se uma análise geometricamente não-linear.
Problemas não-Lineares
Exemplo - Mudanças de rigidez devidas à mudança de
forma – uma casca perde a rigidez durante o fenômeno de
instabilidade de “snap-through” recuperando-a em seguida
Forma original
Deformada depois do “snap-through”
Carga
Defleção
Os problemas de instabilidade resolvem-se com análises
geometricamente não-lineares.
Problemas não-Lineares
Exemplo - Sempre que houver alteração das propriedades
do material, é necessário fazer-se uma análise fisicamente
não-linear. Um caso típico é a análise da deformação
plástica
Um problema também pode ser não-linear devido a alteração
das condições de contorno como é o caso, por exemplo,
dos problemas de contato, sendo necessário adotar uma
solução iterativa.