1 5 points 1. Pourquoi utiliser un satellite géostationnaire pour ce

5 points 1. Pourquoi utiliser un satellite géostationnaire pour ce projet ? 1.1. (0,75p)À partir des documents et sans faire de calcul, définir un satellite géostationnaire puis donner les valeurs de sa vitesse et de sa période dans le référentiel terrestre et dans le référentiel géocentrique. « …un satellite en orbite équatoriale … à l’altitude de 36000 km … apparaît immobile au-­‐dessus d’un point de l’équateur : c’est un satellite géostationnaire » C’est donc un satellite fixe par rapport à la Terre. Vu depuis l’espace, le satellite tourne à la même vitesse que la Terre autour de son axe. Par conséquent : • Par rapport au référentiel terrestre : vitesse =0 km/s, période = 0 km/s • Par rapport au référentiel géocentrique : vitesse=30000km/s, période= 24h00 1.2. (0,5p)Dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen, le satellite géostationnaire a une trajectoire circulaire. À partir de la deuxième loi de Kepler (ou des aires), montrer que le mouvement de ce satellite est uniforme. Soit OA1A2 et OA3A4 les aires décrites par le rayon de l’orbite pendant un même intervalle de temps Δt. Conformément à la 2e loi de Kepler, ces aires sont égales. Puisque l’orbite est un cercle, OA1A2 et OA3A4 sont des secteurs de cercle d’aires égales. Les arcs de cercle A1A2 et A3A4 sont donc égaux. Les vitesses v12= A1A2/Δt = A3A4/Δt=v34 . La vitesse moyenne calculée pour un intervalle Δt est donc une constante. Si l’on calcule cette vitesse pour un intervalle de temps de plus en plus petit, on obtient que la vitesse instantanée est la même en tout point de l’orbite. Le mouvement est donc uniforme. 1.3. (1p)En faisant référence à la question précédente, donner la direction et le sens du vecteur accélération du satellite géostationnaire dans le référentiel géocentrique. Montrer que ces résultats sont en conformité avec la deuxième loi de Newton. 1 Si le mouvement est uniforme, l’accélération est un vecteur constant en norme et orienté vers le centre de la trajectoire. Avec les notations de la figure, l’accélération est un vecteur orienté vers le centre de la Terre : ! = −!! où ! est un vecteur unitaire orienté vers le satellite. La seule force qui agit sur le satellite est la force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite : ! !"##" !!"#$%%&#$
! = −!
! !!
La 2e loi de Newton : !" = ! d’où : ! !"##"
! = −!
! !!
C’est donc bien un vecteur de sens opposé à ! 1.4. (0,5p)Établir l’expression de la vitesse v du satellite géostationnaire dans le référentiel géocentrique en fonction de sa période TGéo, du rayon de la Terre RT (RT = 6,4 x 103 km) et de son altitude h puis calculer sa valeur. Le satellite décrit pendant 24h=TGéo une orbite de rayon r=RT +h 2!"
v=
= 3,1×10! !/! !!é!
1.5. (0,25p)D’après le texte, que faut-­‐il « rajouter » à un satellite géostationnaire pour réaliser un ascenseur spatial ? Pour quelle raison est-­‐il essentiel de placer un satellite à 36 000 km ? • Il faut rajouter un câble • Il faut placer le satellite à 36000 km, car c’est la seule altitude à laquelle le satellite peut être « géostationnaire » 2. L’ascenseur spatialSans souci d’échelle, représenter sur un schéma : 2 -­‐ la Terre de rayon équatorial RT = 6,4 x 103 km ; -­‐ le satellite géostationnaire en orbite à l’altitude h de « 36 000 km » ; -­‐ le câble reliant le satellite géostationnaire à la Terre ; -­‐ la cabine de l’ascenseur à une altitude h’ = 20 000 km ; -­‐ le vecteur vitesse ascensionnelle de la cabine le long du fil ainsi que son vecteur vitesse orbitale . 2.1.(0,25p) 2.2. (0,25p)Un point de l’ascenseur spatial situé à l’altitude z possède dans le référentiel géocentrique la vitesse orbitale VO(z) = . Montrer que cette expression est cohérente avec l’allure de la courbe de la vitesse orbitale présentée dans le document 2. 2!(!! + !)
!!(!) =
!!é!
v0(z) est une fonction linéaire de z. Le graphique est donc une droite. Cette droite intersecte l’abscisse !!!
en z=-­‐RT. La droite intersecte l’ordonnée en !!(!) = ! ! !é!
2.3.(0,5p) En faisant référence au document 1, calculer la valeur de sa vitesse moyenne ascensionnelle. Du doc.1, la cabine va escalader le câble (longueur 36000 km) en environ 5 jours. La vitesse moyenne sera donc : !!â!"#
!! =
= 83 !/! Δ!! !"#$%
2.4. (0,25p)Comparer la vitesse moyenne ascensionnelle à la vitesse orbitale à l’altitude h’. La vitesse orbitale à 26000 km (doc.2) est v0(26000) = 2500 km/s. Donc vA << v0 2.5. « La vitesse tout en haut de l’ascenseur serait si grande qu’un satellite qui y serait largué n’aurait pas besoin de moteur pour échapper à l’attraction terrestre ». 2.5.1.(0,25p) Estimer l’altitude minimale de l’ascenseur spatial pour que le satellite s’échappe de l’attraction terrestre. 3 Pour qu’un satellite puisse s’échapper de l’attraction terrestre il faut que sa vitesse orbitale v0 soit supérieure à la vitesse de libération vL à une altitude donnée : vl > v0 Cette condition est satisfaite (voir doc.3) pour des altitudes z> 45000 km 2.5.2.(0,5p) Estimer l’énergie cinétique à communiquer à un satellite de masse m = 1,5 x 103 kg, en orbite géostationnaire, pour qu’il s’échappe de l’attraction terrestre. Comment cette énergie peut-­‐elle lui être communiquée ? L’énergie cinétique nécessaire pour que le satellite s’échappe de l‘attraction terrestre est Ec,L=mvL2/2=1,5x1010 J Le satellite a à cette altitude une énergie cinétique : Ec,géo=mv02/2=6,75x109 J L’énergie cinétique à communiquer est donc : ΔEc= Ec,L -­‐ Ec,géo = 8x 109J 4