Brevet Blanc n°1

Collège Jules Ferry
Session 2016
Diplôme National du Brevet Blanc n°1
Epreuve de Mathématiques
Durée 2 heures
L’utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n°99 – 186 du 16 Novembre 1999).
L’usage du dictionnaire n’est pas autorisé.
La présentation, la rédaction et l’orthographe seront évaluées sur 4 points.
Indication portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche.
Elle sera prise en compte dans la notation.
Un formulaire à la page 3 rappelle des formules de géométrie.
Exercice 1 ( 8 points) :
1 ) Calculer en écrivant les étapes intermédiaires s’il y en a et donner les résultats de E, F et G en fraction
irréductible
A = ( 78 – 53 ) ( 72 + 28 )
B = 20 – 12 ( 49 – 48 ) – 4 – 7 : ( 2 × 3 + 1 )
C = ( – 45 ) – ( – 36 )
D = (–1)×( +2)×(–3)×( +4)×(–5)
5 3
E= +
6 4
F=
G=
5
3
×
6
4
5 3
:
6 4
2 ) H = 3 x ( 7 y – 20 ) + y ² – 4 x ²
Calculer H pour x = – 4 et y = 3
Exercice 2 (5,5 points) :
On considère l'expression : D = x ² – 9 + ( x – 3 ) ( 3 x + 7 )
1) Développer D.
2)
a) Factoriser x ² – 9
b) En déduire la forme factorisée de D.
3) Calculer la valeur de D pour :
a) x = 3
b) x = 0
c) x = – 2
4) Résoudre l'équation ( x – 3 ) ( 4 x + 10 ) = 0
1/3
Exercice 3 (5 points) :
Pour chacune des questions suivantes, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la ou
les réponse(s) exacte(s). On ne demande pas de justification.
Attention : Il peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé. Les trouver toutes.
Question 1 : Sachant que 4 kg de pêches coûtent
3 €, quel est le prix de 1,8 kg de pêches ?
Question 2 : L'effectif d'un collège est de 700
élèves. Il diminue de 10% une année, puis
augmente de 10% l'année suivante. Au final,
A
B
C
2,40 €
1,35 €
0,8 €
L'effectif a
L'effectif n'a pas
Il y a 693 élèves.
diminué de 1%
changé.
Question 3 : Une pyramide à base rectangulaire de
longueur 3 cm et de largeur 25 mm a une hauteur
de 4 cm. Son volume est :
100 cm3
10 000 mm3
10 cm3
Question 4 : Un cône de révolution a une hauteur
de 6 cm et sa base a un rayon de 5 cm. La valeur
exacte de son volume en cm3 est :
20 π
157
50 π
Question 5 : Un train part de Grenoble à 16h22 et
arrive à Paris à 20h07.
Quelle a été la durée du trajet ?
3h45
3,75 h
4h15
Exercice 4 (2 points) :
A
33°
B
C
1,65 m
45 m
Avec les données du schéma, calculer l'arrondi au cm de la hauteur de l'arbre.
Exercice 5 (3 points) : Sur la figure ci-dessous, les points A, B et C sont alignés et
Le carré a le même périmètre que le triangle équilatéral.
Déterminer la longueur du côté du carré.
A
B
7 cm
C
2/3
Exercice 6 (5 points) :
L'unité de longueur est le centimètre.
• Les points C, D et A sont alignés.
• Les points B, E et A sont alignés.
• (DE) et (AD) sont perpendiculaires.
• AB = 6,25 ; AC = 5 ; BC = 3,75 ; AD = 3,2
1)
a) Montrer quel le triangle ABC est
rectangle. Vous préciserez en quel point.
b) En déduire que les droites (BC) et (DE)
sont parallèles.
2) Calculer DE.
Exercice 7 (7,5 points) :
Une voiture est équipée de pneus sur lesquels sont inscrits : 205/55 D 16 91H
Ces informations désignent (voir l’illustration) dans l’ordre :
• largeur (en mm) : 205
largeur hauteur
• hauteur (en % de la largeur) : 55
• lettre indiquant le type de structure : D
• diamètre (en pouce*) : 16
• charge : 91
diamètre
• lettre indiquant correspondant à une vitesse : H
a ) Calculer la hauteur h en centimètre de ces pneus.
b ) Calculer le diamètre d de ces pneus en centimètre.
c ) En déduire que le rayon de la roue est R = 31,595 cm.
d ) En déduire que le périmètre P de cette roue vaut P ≈ 198,5 cm.
e ) Prouver que lorsque les roues de la voiture font 14 tours par seconde alors la vitesse de la voiture est
d’environ 100 km/h.
Lorsqu’on roule, les pneus s’usent et leurs hauteurs diminuent. La zone d’usure fait 7,6 mm et le pneu est
hors d’usage lorsque cette zone devient inférieure à 1,6 mm.
f ) Prouver que le rayon de la roue lorsque le pneu est usé est r = 30,995 cm et que son périmètre est
alors p ≈194,7 cm.
g ) Calculer la vitesse de la voiture lorsque ses roues sont usées et qu’elles tournent à 14 tours par seconde.
*On donne : 1 pouce = 2,54 cm
Formulaire
Le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur l est P = 2 L + 2 l = 2 ( L + l ).
Le périmètre d'un cercle de rayon r est P = 2 π r.
L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l est A = L × l.
b×h
L'aire d'un triangle de hauteur h et de base associée b est A =
.
2
L'aire d'un disque de rayon r est A = π r ².
L'aire d'un parallélogramme de longueur l et de hauteur h est A = l × h.
L'aire d'une sphère de rayon r est A = 4 π r ².
4
Le volume d'une boule de rayon r est V = π r 3.
3
Le volume d'un parallélépipède rectangle de longueur L, de largeur l et de hauteur h est V = L × l × h.
Le volume d'un prisme droit de base B et de hauteur h est V = B × h.
Le volume d'un cylindre de base B et de hauteur h est V = B × h.
B×h
Le volume d'une pyramide de base B et de hauteur h est V =
.
3
Le volume d'un cône de base B et de hauteur h est V =
B×h
.
3
3/3
Correction du brevet blanc n° 1 de 2015/2016
Validation des compétences :
Pour chaque compétence, il y a 2 questions pour la valider :0 question réussie : non acquis
1 question réussie : en cours d'acquisition
2 questions réussies : acquis
Exercice 1 ( 8 points) : 1 point par question (1 points maximum s’il n’y a que les résultats)
1 ) A = ( 78 – 53 ) ( 72 + 28 ) = 25 × 100 = 2 500
B = 20 – 12 ( 49 – 48 ) – 4 – 7 : ( 2 × 3 + 1 ) = 20 – 12 × 1 – 4 – 7 : 7 = 20 – 12 – 4 – 1 = 8 – 5 = 3 (C2)
C = ( – 45 ) – ( – 36 ) = – 45 + 36 = – 9
D = ( – 1 ) × ( + 2 ) × ( – 3 ) × ( + 4 ) × ( – 5 ) = – 120
5
3
5×●
3
5
5 3 5 4 5×2×●
2 10
5 3 10 9 19
E= + =
+
=
F= × =
=
G= : = × =
=
6 4 12 12 12
6
4 ●
6 4 6 3 ●
3 ×2×4 8
2 ×3×3 9
2 ) H = 3 × ( – 4 ) × ( 7 × 3 – 20 ) + 3 ² – 4 × ( – 4 ) ² = – 12 ( 21 – 20 ) + 9 – 4 × 16
= – 12 × 1 + 9 – 64 = – 12 + 9 – 64 = – 67 (C2)
Exercice 2 : 5,5 points : 1 – 1 – 1 – 0,5 – 0,5 – 0,5 – 1
1 ) D = x ² – 9 + ( x – 3 ) ( 3 x + 7 ) = x ² – 9 + 3 x ² + 7 x – 9 x – 21 = 4 x ² – 2 x – 30
2)a) x²–9= ( x +3) ( x –3)
b)D= x²–9+(x–3)(3x+7)=(x+3)(x–3)+(x–3)(3x+7)
= ( x – 3 ) [ ( x + 3 ) + ( 3 x + 7 ) ] = ( x – 3 ) ( x + 3 + 3 x + 7 ) = ( x – 3 ) ( 4 x + 10 )
3 ) a ) D ( 3 ) = 3 ² – 9 + ( 3 – 3 ) ( 3 × 3 + 7 ) = 9 – 9 + 0 × 16 = 0
b )D ( 0 ) = 0 ² – 9 + ( 0 – 3 ) ( 3 × 0 + 7 ) = 0 – 9 – 3 × 7 = – 9 – 21 = – 30
c )D ( – 2 ) = ( – 2 ) ² – 9 + ( – 2 – 3 ) ( 3 × ( – 2 ) + 7 ) = 4 – 9 – 5 × ( – 6 + 7 ) = 4 – 9 – 5 × 1 = – 10
4 ) ( x – 3 ) ( 4 x + 10 ) = 0
pour qu’un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit qu’un de ses facteurs soit nul
– 10
donc x – 3 = 0 ou 4 x + 10 = 0 donc x = 3 ou x =
donc x = 3 ou x = – 2,5
4
Exercice 3 : 5 points : 1 point par question juste, 0,5 si pas tout, 0 si une mauvaise réponse
question
1
2
3
4
5
B (C1)
C (C4)
A et B (C4)
réponse
B et C
C
Exercice 4 : 2 points ( 0,5 par étape sans compter la phrase mais mettre un – si pas écrite) (C3)
Dans le triangle ABC rectangle en B on :
AB
AB
Tan ( ♀
C ) =
donc tan ( 33 ) =
donc AB = 45 tan ( 33 ) ≈ 29,22 m
BC
45
La hauteur de l’arbre est donc d’environ 29,22 + 1,65 ≈ 30,87 m
Exercice 5 : 3 points : à l’appréciation du correcteur
Nommons x = AB donc BC = 7 – x cm
Le périmètre du carré est alors 4 x et le périmètre du triangle est 3 ( 7 – x )
On a donc 4 x = 3 ( 7 – x ) donc 4 x = 21 – 3 x donc 4 x + 3 x = 21 donc 7 x = 21 donc x = 3 cm
La longueur du côté du carré est donc de 3 cm.
Exercice 6 : 5 points : 2 – 1 – 2
1 ) a ) Dans le triangle ABC on a : AB² = 6,25² = 39,0625 et CB² + CA² = 3,75² + 5² = 39,0625
Donc AB² = CB² + CA² donc le triangle ABC est rectangle en C d’après le théorème réciproque de
Pythagore.
b ) (BC) et (ED) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à (AC).
3 ) J’utilise le théorème de Thalès :
E ∈ [AB]

AB AC BC
 donc
=
=
(C3)
On a : D ∈ [AC]
AE AD ED

( DE ) // ( BC )
DE 3,2
3,75 × 3,2
Donc
=
donc DE =
= 2,4 cm
3,75 5
5
Exercice 7 : 7,5 points : 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 2 – 0,5
a ) 55% de 205 mm fait h = 0,55 × 205 = 112,75 mm = 11,275 cm (C1)
b ) le diamètre d vaut d = 16 × 2,54 = 40,64 cm
d
40,64
c ) le rayon r des roues est : R = h + = 11,275 +
= 31,595 cm
2
2
d ) le périmètre p vaut : P = 2 π R = 2 π × 31,595 ≈ 198,5 cm
e ) en t = 1 s, la voiture parcourt la distance d = 14 × P ≈ 14 × 198,5 ≈ 2779 cm
donc la vitesse de la voiture est :
d 2779
v= =
≈ 2779 cm/s ≈ 2779×3600 cm/h ≈ 10004400 cm/h ≈ 100 km/h
t
1
f ) La différence de hauteur entre le pneu neuf et le pneu usé est 7,6 – 1,6 = 6 mm = 0,6 cm
On a donc r = R – 0,6 = 31,595 – 0,6 = 30,995 cm et p = 2 π r = 2 π × 30,995 ≈ 194,7 cm
e ) en t = 1 s, la voiture parcourt la distance d = 14 × p ≈ 14 × 194,7 ≈ 2725 cm
d 2725
donc la vitesse de la voiture est : v = =
≈ 2725 cm/s ≈ 2725×3600 cm/h ≈ 9812880 cm/h ≈ 98 km/h
t
1