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Table des matières
I
Diffusion par des particules
5
1 Concepts généraux
1.1
1.2
1.3
6
Amplitude de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.1
Ondes scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.2
Ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Sections efficaces. Théorème optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.1
Diffusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.2
Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.3
Extinction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.4
Théorème optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.5
Section efficace différentielle de diffusion. Fonction de phase . . . . . . . .
10
Description de la diffusion en lumière polarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.1
Vecteur de Stokes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.2
Interprétation. Mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.3
Matrice de Mueller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2 Rayonnement électromagnétique
2.1
13
Potentiel retardé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.1
Expression générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.2
Approximation de champ lointain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2
Puissance rayonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
Approximation dipolaire électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3.1
Potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3.2
Puissance rayonnée en champ lointain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Notion de fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.4.1
17
2.4
Approche intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.4.2
Expression de la fonction de Green de l’espace libre . . . . . . . . . . . .
3 Diffusion de la lumière par des petites particules
19
3.1
Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2
Formulation intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3
Approximation de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.4
Théorème optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.4.1
Bilan d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.4.2
Calcul de la puissance d’extinction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Particules petites devant la longueur d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.5.1
Approximation dipolaire. Polarisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.5.2
Sections efficaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.5
3.6
II
17
Particules de taille quelconque
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.6.1
Particules sphériques de taille quelconque. Théorie de Mie . . . . . . . . .
26
3.6.2
Particules grandes devant la longueur d’onde . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Transport en milieu diffusant
28
4 Introduction à la diffusion multiple
29
4.1
Diffusion simple et diffusion multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.2
Approche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2.1
Champ moyen et champ fluctuant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2.2
Intensité moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.3
Intensité collimatée. Loi de Beer-Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.4
Régimes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.5
Libre parcours moyen de diffusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Homogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.5.1
5 Equation de Transfert Radiatif
5.1
5.2
34
Grandeurs photométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
5.1.1
Luminance et flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
5.1.2
Vecteur flux radiatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
5.1.3
Densité volumique d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Evolution du flux d’énergie par absorption et diffusion . . . . . . . . . . . . . . .
35
2
5.2.1
Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.2.2
Extinction par diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.2.3
Gain par diffusion. Fonction de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.3
Etablissement de l’ETR (bilan d’énergie radiative) . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.4
Intensités balistique et diffuse. Echelles de longueur . . . . . . . . . . . . . . . .
38
5.4.1
Composantes balistique et diffuse de la luminance . . . . . . . . . . . . .
38
5.4.2
Echelles de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6 Approximation de la Diffusion
6.1
Equation locale de conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
6.2
Approximation P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
6.2.1
Premier moment de l’ETR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
6.2.2
Luminance quasi-isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
6.2.3
Expression du vecteur flux radiatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
6.2.4
Equation de diffusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Un exemple de comportement diffusif : conductance radiative . . . . . . . . . . .
44
6.3
III
41
Speckle
45
7 Statistique de l’intensité
46
7.1
Modèle de speckle pleinement développé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
7.2
Densité de probabilité de l’intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
7.3
Contraste de speckle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7.4
Corrélation angulaire de l’intensité. Effet mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7.4.1
Expression générale de la fonction de corrélation angulaire du champ . . .
49
7.4.2
Expression de la probabilité de transport P (Ra − Rb ) . . . . . . . . . . .
50
Taille du grain de speckle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
7.5
8 Diffusion dynamique de la lumière
53
8.1
Régime de diffusion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
8.2
Régime de diffusion multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
A Exemples de fonction de phase
57
A.1 Dépendance angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
A.2 Fonction de phase constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3
A.3 Fonction de phase de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
A.4 Fonction de phase de Henyey-Greenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
A.5 Fonction de phase de Mie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
A.6 Développement sur les polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
B Conditions aux limites en approximation de la diffusion
59
B.1 Equation de la diffusion avec éclairement collimaté . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
B.2 Conditions aux limites en z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4
Partie I
Diffusion par des particules
5
Chapitre 1
Concepts généraux
1.1
1.1.1
Amplitude de diffusion
Ondes scalaires
Les ondes scalaires se rencontrent par exemple en acoustique ou en mécanique quantique. Elles
sont aussi une bonne approximation des ondes électromagnétiques lorsque le rôle de la polarisation peut être négligé. Intéressons-nous à la diffusion d’une onde scalaire plane et monochromatique (pulsation ω) par une particule de composition et forme quelconque. L’onde incidente
a une amplitude complexe de la forme :
Ψinc (r, t) = Re[Ψ0 exp(ikinc · r − iωt)]
Dans la suite, on travaillera avec l’amplitude complexe Ψinc (r) = Ψ0 exp(ikinc · r) et on omettra
la dépendance temporelle en exp(−iωt). L’amplitude complexe du champ diffusé en champ
lointain, à une distance r de la particule dans la direction u(θ, φ) (voir figure 1.1), peut se
mettre sous la forme :
exp(ikr)
Ψd = S(u)
Ψ0
(1.1)
r
avec k = ω/c = 2π/λ, c étant la célérité de l’onde dans le milieu dans lequel se trouve la
particule et λ la longueur d’onde dans ce même milieu. La grandeur S(u) est appelée amplitude
de diffusion. Il s’agit en général d’une grandeur complexe.
ψd θ ψinc u Z Figure 1.1: Géométrie type pour la diffusion d’une onde par une particule.
6
Remarque :
On trouve aussi une autre définition de l’amplitude de diffusion [1] :
Ψd = S 0 (u)
exp(ikr)
Ψ0
−ikr
Ce choix de normalisation est conventionnel (dans ce cas, l’amplitude de diffusion S 0 (u) est sans
dimension, alors que l’amplitude S(u) que nous utilisons est homogène à une longueur).
1.1.2
Ondes électromagnétiques
Dans le cas des ondes électromagnétiques, le champ est vectoriel. On a l’habitude de travailler
avec le champ électrique. On écrit alors l’amplitude complexe de l’onde incidente sous la forme :
Einc (r) = E0 exp(ikinc · r)
avec
E0 = E0 e0
Le vecteur unitaire e0 décrit la direction de polarisation de l’onde incidente (on prend souvent
comme situation de référence la diffusion d’une onde polarisée rectilignement). L’amplitude
complexe du champ diffusé en champ lointain s’écrit :
Ed = S(u) E0
exp(ikr)
r
(1.2)
où S(u) est la matrice de diffusion. Il s’agit en fait d’un tenseur d’ordre 2 qui transforme un
vecteur en un autre vecteur. En effet, dans le cas le plus général, il n’y a aucune raison que Ed
soit colinéaire à E0 .
Figure 1.2: Géométrie et conventions pour la diffusion de la lumière polarisée par une particule.
D’après [1].
L’état de polarisation des champs incident et diffusé peut se définir avec deux composantes (les
champs sont transverses). On choisit un plan de référence, et on décompose les champs incident
7
Einc et diffusé Ed selon deux composantes parallèle (k) et perpendiculaire (⊥) à ce plan. Le plan
de référence est défini par la direction d’incidence (conventionnellement choisie comme direction
de l’axe Oz) et la direction de diffusion, comme indiqué sur la figure (1.2) :
k
k
E0 = E0 ei + E0⊥ e⊥
i
k
Ed = Ed eks + Ed⊥ e⊥
s
On écrit alors la matrice de diffusion S(u) sous la forme :
! k
exp(ikr)
S2 S3
Ed
=
S4 S1
r
Ed⊥
k
E0
E0⊥
!
(1.3)
Chaque élément de la matrice de diffusion en amplitude est une fonction de (θ, φ), qui dépend des
caractéristiques de la particule (composition et forme) et de la fréquence. Sauf dans quelques cas
simples, le calcul de ces coefficients nécessite la résolution complète d’un problème de diffusion
d’ondes électromagnétiques.
Cas particulier : particules sphériques homogènes.
La matrice de diffusion en amplitude a dans ce cas les propriétés suivantes :
• S3 = S4 = 0
• Pour la diffusion vers l’avant (θ = 0), S1 (0) = S2 (0) = S(0)
1.2
1.2.1
Sections efficaces. Théorème optique
Diffusion
La section efficace de diffusion, notée σd , est telle que le produit σd Iinc soit égal à la puissance
diffusée par la particule dans tout l’espace, Iinc étant la puissance par unité de surface véhiculée
par l’onde plane incidente. La puissance diffuée totale s’obtient en intégrant la puissance diffusée
directionnelle à travers une sphère de rayon R → ∞ entourant la particule :
Z
Z
σd Iinc =
Id (R, θ, φ) dS =
Id (R, θ, φ) R2 dΩ
R→∞
4π
avec dΩ = sin θdθdφ, Id (R, u) = |Ψd (R, u)|2 et Iinc = |Ψ0 |2 . En utilisant (1.1), on obtient :
Z
σd =
|S(u)|2 dΩ
(1.4)
4π
La section efficace de diffusion est homogène à une surface.
1.2.2
Absorption
On introduit de même la section efficace d’absorption, notée σa , en écrivant que σa Iinc est égal
à la puissance absorbée dans la particule. Pour une particule non absorbante, on a évidemment
σa = 0.
8
Diffusion
AAAAA
AAAAA
AAAAA
AAAAA
Iinc
Faisceau
atténué
(extinction)
Figure 1.3: Représentation schématique de la diffusion et de l’extinction.
1.2.3
Extinction
La puissance cédée par le champ incident à la particule est soit diffusée, soit absorbée. Cette
puissance contribue à atténuer l’onde incidente : on parle d’extinction. On définit alors la section
efficace d’extinction, notée σext , telle que le produit σext Iinc soit égal à puissance prélevée à l’onde
incidente. On a donc
extinction = diffusion + absorption
ce qui s’écrit en termes de sections efficaces :
σext = σd + σa
(1.5)
Cette relation traduit la conservation de l’énergie dans un processus de diffusion d’onde. On
notera que pour une particule non absorbante, les sections efficaces de diffusion et d’extinction
sont égales.
Notion d’efficacité
Si la section géométrique de la particule, vue depuis la direction du faisceau incident, est Σ, on
définit les efficacités de diffusion, d’absorption et d’extinction par Qd = Cd /Σ, Qabs = Cabs /Σ
et Qext = Cext /Σ. Les efficacités sont des nombres sans dimension, qui peuvent être supérieurs
ou inférieurs à l’unité (pour une particule éclairée à résonance, la section efficace de diffusion ou
d’absorption peut être supérieure à la section géométrique vue par l’onde incidente).
1.2.4
Théorème optique
Dans la direction avant (définie par θ = 0), l’amplitude de diffusion est S(uinc ), avec uinc le
vecteur unitaire désignant la direction d’incidence, tel que kinc = kuinc . Le théorème optique
permet d’exprimer la section efficace d’extinction sous la forme :
σext =
4π
Im[S(uinc )]
k
(1.6)
Nous donnons ici ce résultat sans démonstration.1 Dans le cas des ondes électromagnétiques
vectorielles, le théorème optique s’écrit :
σext =
1
4π
Im[e0 · S(uinc ) e0 ]
k
Pour une démonstration, voir par exemple les réfs [1, 2].
9
(1.7)
Mise à part la projection de la matrice de diffusion sur la direction de polarisation de l’onde
plane incidente, la forme est identique à celle du cas scalaire. Nous démontrerons ce résultat au
chapitre 3.
Le théorème optique est un résultat très important de la théorie de la diffusion des ondes. Il montre que la section efficace d’extinction, grandeur énergétique, est donnée par l’amplitude complexe du champ diffusé vers l’avant. On peut interpréter ce résultat physiquement : l’extinction
(diminution de l’énergie du faisceau incident après interaction avec la particule) provient de
l’interférence entre le champ incident et le champ diffusé vers l’avant. Une conséquence pratique importante est que la section efficace d’extinction peut être déterminée par un calcul (ou
une mesure) de l’amplitude du champ diffusé dans une direction unique. Le champ diffusé vers
l’avant contient toute l’information sur la diffusion et l’absorption par la particule.
1.2.5
Section efficace différentielle de diffusion. Fonction de phase
dS u dΩ
θ ψinc u Z Figure 1.4: Géométrie utilisée pour définir la section efficace différentielle de diffusion et la
fonction de phase.
Afin de décrire le caractère anisotrope de la diffusion par une particule, on introduit une section
efficace directionnelle, dite section efficace différentielle de diffusion, notée dσd /dΩ. La puissance
diffusée dans la direction u, dans un angle solide élémentaire dΩ, s’écrit :
dPd = |Ψd (r, u)|2 dS = |Ψd (r, u)|2 r2 dΩ
Par définition de la section efficace différentielle de diffusion, on a alors :
dPd
dσd
=
Iinc
dΩ
dΩ
ce qui donne
dσd
1 dPd
=
dΩ
Iinc dΩ
On a bien sûr :
Z
σd =
4π
dσd
dΩ
dΩ
La section efficace différentielle de diffusion décrit le diagramme angulaire de diffusion. Nous
verrons que la répartition anglaire de l’intensité diffusée a de l’importance notamment lorsque
l’on s’intéresse à la diffusion multiple de la lumière par un grand nombre de particules. Lorsque
l’on décrit la propagation de l’intensité dans un milieu diffusant, on définit habituellement la
fonction de phase, notée p(u, ui ), qui donne la fraction de la puissance de l’onde incidente
10
(direction ui ) qui est diffusée dans la direction u. La fonction de phase n’est autre que la section
efficace différentielle de diffusion normalisée2 :
p(u, ui ) =
4π dσd
σd dΩ
(1.8)
La direction ui est
R celle du rayonnement incident. Avec cette définition, la fonction de phase est
normalisée par p(u, ui ) dΩ = 4π. On mesure en général le degré d’anisotropie de la diffusion
par une particule à l’aide du paramètre d’anisotropie, noté g, qui est la moyenne du cosinus de
l’angle de diffusion θ (angle entre les vecteurs ui et u) :
Z
1
u · ui p(u, ui ) dΩ
(1.9)
g=
4π 4π
La paramètre g a un intérêt pratique lorque la fonction de phase elle-même est une fonction
de cos θ = u · ui (sinon g dépend de la direction d’incidence ui ). C’est le cas pour une particule sphérique, ou pour une particule formée elle-même d’un ensemble de petite particules
anisotropes, mais orientées aléatoirement. Pour une particule petite devant la longueur d’onde,
pour laquelle le diagramme de diffusion est quasi-isotrope, on a g ' 0. Pour une particule
diffusant essentiellement vers l’avant (par exemple une grosse particule sphériques), on a g ' 1.
Notons que l’on peut même avoir g < 0 pour des particules diffusant vers l’arrière.
1.3
Description de la diffusion en lumière polarisée
Lorsque l’on traite de la diffusion en lumière polarisée, on a vu que la grandeur fondamentale
est la matrice de diffusion qui permet de déduire toute les grandeurs utiles (en particulier les
sections efficaces). En pratique, on mesure des intensités lorsqu’on travaille dans le domaine
visible ou infrarouge (et non les amplitudes complexes des champs, sauf si l’on utilise des techniques interféromériques ou holographiques). Il est donc utile d’introduire une description de la
polarisation en termes d’intensité.
1.3.1
Vecteur de Stokes
Dans la base définie sur la figure 1.2, nous avons vu que le champ électrique (incident ou diffusé)
se décomposait sous la forme E = Ek ek +E⊥ e⊥ . On définit ainsi quatre paramètres [I, Q, U, V ],
formant un vecteur dit vecteur de Stokes, par les relations :
∗
I = Ek Ek∗ + E⊥ E⊥
∗
Q = Ek Ek∗ − E⊥ E⊥
U
∗
= Ek E⊥
+ Ek∗ E⊥
V
∗
= i(Ek E⊥
− Ek∗ E⊥ )
(1.10)
Si l’on fait apparaı̂tre les amplitudes et phases des composantes du champ par les relations
Ek = ak exp(iδk ) et E⊥ = a⊥ exp(iδ⊥ ), on peut écrire le vecteur de Stokes associé au champ
2
La fonction de phase définie ici suppose que l’on s’intéresse à un milieu formé de particules identiques.
11
électrique E sous la forme :
I = a2k + a2⊥
Q = a2k − a2⊥
U
= 2 ak a⊥ cos(δk − δ⊥ )
V
= 2 ak a⊥ sin(δ⊥ − δk )
(1.11)
Cette écriture montre plus clairement que les deux premiers paramètres mesurent la somme et
la différence des intensités de chacune des composantes du champ, alors que les deux suivants
mesurent la phase relative de ces deux composantes.
1.3.2
Interprétation. Mesure.
L’intérêt du vecteur de Stokes est que ses composantes peuvent être déduites de mesures
d’intensité uniquement (alors qu’elles portent aussi de l’information sur la phase du champ).
• I : intensité totale mesurée.
• Q : différence entre l’intensité de la composante k et l’intensité de la composante ⊥.
S’obtient avec deux mesures d’intensité, en utilisant un polariseur orienté selon ek , puis
selon e⊥ .
• U : différence entre deux intensités I + et I − . I + est mesurée derrière un polariseur orienté
à 45o entre les directions ek et e⊥ (selon la direction ek + e⊥ ). I − est mesurée derrière un
polariseur orienté à −45o entre les directions ek et e⊥ (selon la direction ek − e⊥ ).
• V : différence entre les intensités des deux composantes polarisées “circulaire droite” et
“circulaire gauche”. Rappelons que toute polarisation peut s’écrire comme la somme d’une
composante circulaire droite et d’une composante circulaire gauche. Dans le cas qui nous
intéresse, on a E = Ek ek +E⊥ e⊥ = ED eD +EG eG où les vecteurs portant les polarisations
√
√
droite et gauche sont donnés par eD = (ek + ie⊥ )/ 2 et eG = (ek − ie⊥ )/ 2.
1.3.3
Matrice de Mueller
Revenons maintenant à une situation de diffusion, où une particule est éclairée par un champ
incident Einc , et crée un champ diffusé Ed . On peut définir un vecteur de Stokes pour chacun
de ces champs. En utilisant la matrice de diffusion en amplitude, on montre qu’il existe une
relation linéaire entre le vecteur de Stokes du champ diffusé et celui du champ incident. La
matrice qui relie ces deux vecteurs est appelée matrice de Mueller. On l’écrit en général sous la
forme :

 


Id
S11 . . S14
Iinc


 Qd   .
. 

 
  Qinc 
(1.12)
 Ud  =  .


Uinc 
.
Vd
S41 . . S44
Vinc
Les notions de vecteur de Stokes et de matrice de Mueller sont utiles notamment pour décire la
transport de l’intensité lumineuse dans un milieu diffusant en prenant en compte la polarisation
du rayonnement [3].
12
Chapitre 2
Rayonnement électromagnétique
Lorsqu’une onde électromagnétique est incidente sur une particule (ou sur tout autre objet), elle
génère en son volume des mouvements de charges (charges libres ou charges de polarisation). Il se
crée donc au sein de la particule un courant volumique dépendant du temps (ou une polarisation
volumique1 ). Calculer le champ diffusé revient donc à calculer le champ rayonné par les courants
induits. Dans ce chapitre, nous rappelons les résultats principaux de la théorie du rayonnement
électromagnétique (la plupart du temps sans démonstration).
2.1
Potentiel retardé
2.1.1
Expression générale
Considérons un volume source parcouru par une densité volumique de courant monochromatique
de la forme j(r0 , t) = Re[j(r0 ) exp(−iωt)] (voir figure 2.1). Ce courant rayonne au point r un
champ électromagnétique, que l’on peut caractériser à l’aide de son potentiel vecteur A(r, t) =
Re[A(r) exp(−iωt)]. L’expression la plus générale du potentiel vecteur est l’expression dite du
A(r) r r’ V u j(r’) Figure 2.1: Rayonnement électromagnétique par un volume source parcouru par une densité
volumique de courant monochromatique j(r0 , t) = Re[j(r0 ) exp(−iωt)].
1
En régime optique, les fréquences mises en jeu sont de l’ordre de 1014 − 1015 Hz. Il n’y a pas de possibilité
de dissocier l’effet des charges libres de celui des charges liées à ces fréquences. On peut donc traiter macroscopiquement les charges oscillantes aussi bien à l’aide d’une densité de courant j(r, ω), qu’à l’aide d’une densité
de polarisation P(r, ω), les deux grandeurs étant reliées par j(r, ω) = −iωP(r, ω).
13
potentiel retardé (donné ici dans le cas du régime monochromatique) :
Z
µ0
exp(ikR) 3 0
A(r) =
j(r0 )
d r
4π V
R
(2.1)
avec k = ω/c = 2π/λ et R = |r − r0 |.
Lorque le point d’observation r est situé hors de la source, la connaissance du potentiel vecteur
suffit à caractériser le champ électromagnétique. En effet, on a
B = rotA
(2.2)
et en utilisant l’équation de Maxwell rotB = −iω0 µ0 E (compte-tenu du fait que j = 0 hors de
la source), on a aussi
i
rot rotA
(2.3)
E=
ω0 µ0
2.1.2
Approximation de champ lointain
Lorsque le point d’observation est à grande distance de la source, l’expression du potentiel
vecteur peut se simplifier. Plus précisément, dans les conditions de l’approximation de champ
lointain, le terme exp(ikR)/R dans l’intégrale se simplifie sous la forme d’une onde sphérique
centrée en l’origine (l’origine étant supposée prise dans le volume source) multipliée par un terme
de phase :
exp(ikR)
exp(ikr)
∼
exp(−iku · r0 )
R
r
Dans cette expression, u = r/r est le vecteur unitaire dans le direction d’observation. Les
conditions de validité de cette approximation sont r L et r L2 /λ, où L est la taille
caractéristique de la source (V ∼ L3 ). Ces deux conditions permettent d’écrire |r − r0 | ∼ r
dans le terme d’amplitude et |r − r0 | ∼ r − u · r0 dans le terme de phase. En champ lointain,
l’expression du potentiel vecteur (2.1) se simplifie pour donner :
µ0 exp(ikr)
A(r) =
4π
r
Z
j(r0 ) exp(−iku · r0 ) d3 r0
(champ lointain)
(2.4)
V
Dans les conditions de champ lointain, les champs magnétique et électrique sont donnés par :
B = ik u ∧ A
E = iω A⊥
(2.5)
où A⊥ = A − (A · u)u est la composante de A transverse au vecteur u (la projection de A dans
le plan perpendiculaire à u). On a donc une structure locale d’onde plane de vecteur d’onde ku.
2.2
Puissance rayonnée
Afin de calculer le flux d’énergie rayonné à travers une surface quelconque, on introduit la valeur
moyenne temporelle du vecteur de Poynting :
1
1
Re(E ∧ B∗ )
Π = Re(E ∧ H∗ ) =
2
2µ0
14
En champ lointain, on obtient en utilisant (2.5) :
Π=
ω2
0 c 2
|A⊥ |2 u =
|E| u
2µ0 c
2
La puissance rayonnée dans une direction u donnée, dans l’angle solide dΩ s’écrit :
dP = Π · u dS = Π · u r2 dΩ
En effet, le flux partant dans dΩ est le flux traversant la surface dS qui sous-tend l’angle solide
dΩ, et qui vérifie dΩ = dS/r2 (voir figure 2.2). La puissance rayonnée dans une direction u, par
unité d’angle solide, est donc :
ω2
0 c 2 2
dP
=
|A⊥ |2 r2 =
|E| r
dΩ
2µ0 c
2
La puissance totale rayonnée dans tout l’espace s’obtient par intégration angulaire :
Z
dP
Pray =
dΩ
4π dΩ
(2.6)
(2.7)
Nous allons utiliser ces expressions pour calculer la puissance rayonnée par un dipôle électrique
dans la section suivante. Elles nous seront utiles également lorsque nous traiterons de la diffusion
par des petites particules.
2.3
Approximation dipolaire électrique
Une source de petite taille, qui vérifie L λ, avec λ la longueur d’onde d’émission, est
équivalente à un dipôle électrique. Le calcul du champ rayonné se simplifie dans ce cas, pour
donner des expressions très utiles en pratique, notamment lorsque l’on traite de la diffusion par
des petites particules.
2.3.1
Potentiel vecteur
Dans le cadre de l’approximation dipolaire électrique, on suppose que L λ et que la distance
d’observation vérifie r L. Dans ces conditions, on peut approximer l’amplitude du terme
exp(ikR)/R de l’expression (2.1) par 1/r, et on peut négliger les déphasages entre les différents
points de la source. On obtient alors :
Z
µ0 exp(ikr)
A(r) =
j(r0 )d3 r0
(2.8)
4π
r
V
L’intégrale de la densité de courant sur le volume de la source n’est autre que la dérivée par
rapport au temps du moment dipolaire de la source. Pour s’en convaincre, on peut raisonner
15
sur les charges microscopiques qi formant la source. On a :
Z X
Z
j(r)d3 r =
qi vi (t) δ[r − ri (t)] d3 r
V
V
=
i
X
qi vi (t)
i∈V
=
d X
qi ri (t)
dt
=
dp
dt
i∈V
On obtient donc l’expression du potentiel vecteur en approximation dipolaire électrique, pour
une source de moment dipolaire p placée en r = 0, et en régime monochromatique :
A(r) =
2.3.2
µ0 exp(ikr)
(−iω p)
4π
r
(approximation dipolaire)
(2.9)
Puissance rayonnée en champ lointain
La puissance rayonnée en champ lointain dans la direction u, dans l’angle solide dΩ, s’obtient à
partir de (2.6) et (2.9) :
µ0 ω 4
dP
=
|p|2 sin2 θ
dΩ
32π 2 c
où on a utilisé |p⊥ | = |p| sin θ, avec θ l’angle défini sur la figure 2.2.
dS
p
p⊥
dΩ
θ
u
Figure 2.2: Rayonnement dipolaire dans une direction u.
La puissance totale rayonnée s’obtient en intégrant sur les directions :
Z
Z π
Z 2π
dP
µ0 ω 4
2
Pray =
dΩ =
|p|
dφ
dθ sin3 θ
2c
dΩ
32π
4π
0
0
On obtient en final :
Pray =
µ0 ω 4
|p|2
12πc
(2.10)
On remarque le facteur ω 4 caractéristique du rayonnement dipolaire électrique. Nous le retrouverons dans la cadre de la diffusion par des petites particules non résonantes, connue sous le
nom de “diffusion Rayleigh”.
16
2.4
Notion de fonction de Green
Le concept de fonction de Green est très général en physique mathématique pour modéliser la
réponse des systèmes linéaires. Il est très utile dans le traitement de la propagation des ondes, et
en particulier dans les problèmes de diffusion. Nous allons l’introduire ici dans le cas particulier
du rayonnement électromagnétique.
2.4.1
Approche intuitive
Du fait de la linéarité des équations de Maxwell, le champ électrique rayonné par un dipôle
électrique ponctuel et monochromatique (source élémentaire) est linéairement relié au moment
dipolaire. Pour un moment dipolaire p placé au point r0 , le champ au point r peut s’écrire sous
la forme :
E(r) = µ0 ω 2 G0 (r, r0 , ω) p
(2.11)
Dans cette expression, on a introduit la fonction de Green tensorielle G0 (r, r0 , ω), que l’on appelle
plus simplement tenseur de Green. Il s’agit d’un tenseur d’ordre 2 (que l’on peut représenter
par une matrice 3 × 3 dans une base spécifique). La relation ci-dessus s’écrit alors :
 

 
Ex
Gxx Gxy Gxz
px
Ey  = µ0 ω 2 Gyx Gyy Gyz  py 
Ez
Gzx Gzy Gzz
pz
Une telle relation tensorielle est nécessaire puisqu’il n’y a aucune raison que le champ soit
colinéaire au moment dipolaire p. Le tenseur de Green caractérise toute la réponse du milieu
dans lequel la source est plongée (et il est indépendant de la source).
Le principe de superposition permet d’utiliser le tenseur de Green pour caractériser le champ
électrique rayonné par une source quelconque placée dans le milieu. On écrit alors :
Z
2
E(r) = µ0 ω
G0 (r, r0 , ω) P(r0 ) d3 r0
V
Z
= iµ0 ω
G0 (r, r0 , ω) j(r0 ) d3 r0
(2.12)
V
L’intégrale dans ces expressions est étendue au volume V occupé par la source. On a utilisé la fait
qu’en régime optique, on peut caractériser la source aussi bien à l’aide d’un courant volumique
j qu’à l’aide d’une densité de polarisation P, moyennant j = −iωP. L’intérêt du tenseur de
Green est donc qu’une fois qu’il est connu, il permet de calculer la réponse à n’importe quelle
source.
2.4.2
Expression de la fonction de Green de l’espace libre
Le tenseur de Green est une réponse impulsionnelle, qui donne le champ rayonné par une source
dipolaire ponctuelle. Dans un milieu complexe, il n’est pas possible de le calculer explicitement,
mais dans des géométries simples, il peut exister des formules analytiques. C’est le cas de l’espace
libre (vide), ou de tout milieu homogène.
Dans le cas d’une onde scalaire monochromatique, la fonction de Green (qui est donc un scalaire
et pas un tenseur) est le champ rayonné par une source ponctuelle. En géométrie 3D, ce champ
17
est une onde sphérique de la forme exp(ikR)/R où R est la distance à la source. Dans le cas
des ondes électromagnétiques, le problème est vectoriel. Le champ électrique rayonné au point
r dans le vide par un dipôle électrique placé au point r0 se déduit de (2.3) et (2.9). On obtient :
k 2 exp(ikR)
1
1
0 0
0 0
E(r) =
p − (p · u )u −
(2.13)
+
p − 3(p · u )u
4π0
R
ikR k 2 R2
avec R = |r − r0 | and u0 = (r − r0 )/R. Notons qu’en champ lointain, on aurait uniquement le
terme en 1/R. Les autres termes jouent un rôle lorsque R < λ (zone dite de champ proche).
De cette expression, on déduit le tenseur de Green de l’espace libre, noté G0 , en utilisant la
définition (2.11) :
1
exp(ikR)
1
0 0
0 0
0
I−uu −
(I − 3u u )
(2.14)
G0 (r, r , ω) =
+
4πR
ikR k 2 R2
Le tenseur noté u0 u0 (produit tensoriel) est tel que son application à un vecteur p donne le
vecteur (p · u0 )u0 .
En champ lointain, l’expression du tenseur de Green de l’espace libre se simplifie en :
G0 (r, r0 , ω) =
exp(ikr)
exp(−iku · r0 ) [I − uu]
4πr
(champ lointain)
(2.15)
avec u = r/r. Cette expression est valable lorsque r r0 et r r02 /λ. Elle exprime le fait que
le champ rayonné par le dipôle est une onde sphérique, corrigée par un terme de phase prenant
en compte la position du dipôle par rapport à l’origine des coordonées. Le terme tensoriel est
simplement la projection sur la direction transverse à u, le champ électrique étant proportionnel
à p⊥ en champ lointain.
18
Chapitre 3
Diffusion de la lumière par des
petites particules
Dans ce chapitre nous étudions la diffusion de la lumière par des particules, éventuellement
absorbantes. Nous traitons en premier lieu le cas de la diffusion d’une onde plane monochromatique par une particule unique. Le chapitre suivant introduit la diffusion multiple, qui met
en jeu la diffusion par un grand nombre de particules. Le formalisme utilisé est très général et
peut-être transposé à d’autres types d’ondes.
3.1
Position du problème
Le problème de diffusion standard est schématisé sur la figure 3.1. Une source externe génère le
champ incident (laser, ampoule, soleil...). On la modélise par une densité volumique de courant
externe, notée jext . En l’absence de tout autre objet, le champ électrique en tout point est le
champ incident noté Einc . En présence du diffuseur, le champ total s’écrit sous la forme :
Ed, Hd Einc, Hinc jext
V
Figure 3.1:
E(r) = Einc (r) + Ed (r)
où Ed est le champ diffusé, c’est-à-dire le champ rayonné par la polarisation induite dans le
volume V du diffuseur. Cette écriture traduit simplement le théorème de superposition. On
fait simplement l’hypothèse que les sources du champ incident jext ne sont pas modifiées par la
présence du diffuseur (ce qui est réaliste dans la plupart des situations pratiques). On cherche
19
alors à prédire, par exemple, la puissance diffusée ou absorbée, connaissant les propriétés du
diffuseur.
3.2
Formulation intégrale
Le champ diffusé étant par définition le champ rayonné par la polarisation induite dans le
diffuseur, on peut l’écrire formellement en utilisant la fonction de Green introduite au chapitre
précédent (on suppose le diffuseur unique et placé dans le vide) :
Z
G0 (r, r0 , ω) P(r0 ) d3 r0
(3.1)
E(r) = Einc (r) + µ0 ω 2
V
Cette relation traduit le fait que chaque élément de volume du diffuseur se comporte comme un
dipôle rayonnant, de moment dipolaire p = P(r0 ) d3 r0 . La superposition au point r des champs
rayonnés par chaque élément de volume créé le champ diffusé Ed (r).
Si le diffuseur est p
décrit macroscopiquement par sa constante diélectrique (r, ω), ou son indice
optique n(r, ω) = (r, ω), on a P(r) = 0 [(r, ω) − 1]E(r), et le champ s’écrit :
Z
E(r) = Einc (r) + k 2
G0 (r, r0 , ω) [(r0 ) − 1] E(r0 ) d3 r0
(3.2)
V
Cette expression intégrale décrit de manière exacte le processus de diffusion. Notons qu’il ne
s’agit pas d’une expression explicite du champ, mais d’une équation intégrale qui est en général
très complexe à résoudre (le champ dans l’intégrale est le champ total dans le diffuseur). Dans
certains cas particuliers (par exemple particules sphériques homogènes, particules petites devant
le longueur d’onde), il existe des solutions explicites exactes comme nous le verrons un peu
plus loin. Dans les autres cas, il faut avoir recours au calcul numérique, ou à des résolutions
approchées.
3.3
Approximation de Born
Dans le cas d’un diffuseur faiblement diffusant (|(r) − 1| 1), on peut utiliser une approximation, dite “approximation de Born”, qui donne une solution explicite. Physiquement, on
suppose que le diffuseur perturbe peu le champ incident, de telle sorte que le champ à l’intérieur
du diffuseur soit très proche du champ incident. On écrit alors :
Z
2
E(r) ' Einc (r) + k
G(r, r0 , ω) [(r0 ) − 1] Einc (r0 ) d3 r0
(3.3)
V
Mathématiquement, cette expression est le premier ordre d’une résolution itérative de l’équation
intégrale (3.2). Le problème de diffusion est alors ramené à un problème de calcul d’une intégrale
dans laquelle l’intégrand est explicite. Cette approximation est adaptée au cas des milieux dilués.
Elle caractérise le régime de diffusion simple (nous préciserons cette notion à la fin du chapitre).
3.4
Théorème optique
Dans cette section, nous allons démontrer le théorème optique, qui décrit le bilan d’énergie lors
d’un processus de diffusion d’une onde plane par une particule.
20
3.4.1
Bilan d’énergie
Dans la situation de la figure 3.1, le champ incident (qui règnerait en l’absence du diffuseur)
obéit à l’équation de Maxwell :
rot Hinc = jext − iω0 Einc
(3.4)
En présence du diffuseur, il se créé une densité de polarisation P dans le volume V . Celle-ci
est équivalente à une densité de courant aditionnelle j = −iωP. Le champ total obéit alors à
l’équation :
rot H = jext − iωP − iω0 E
(3.5)
Par soustraction, on obtient l’équation vérifiée par le champ diffusé :
rot Hd = −iωP − iω0 Ed
(3.6)
Nous allons maintenant établir le théorème de Poynting, sous une forme adaptée au problème
de diffusion. En multipliant l’Eq. (3.6) par E∗d :
E∗d · rot Hd = −iωP · E∗d − iω0 |Ed |2
(3.7)
Le membre de gauche peut être modifié en utilisant l’identité vectorielle div(A∧B) = B·rot A−
A · rot B, ce qui donne :
Hd · rot E∗d − div(E∗d ∧ Hd ) = −iωP · E∗d − iω0 |Ed |2
(3.8)
En utilisant l’équation de Maxwell rot Ed = iωµ0 Hd , on aboutit à :
−iωµ0 |Hd |2 − div(E∗d ∧ Hd ) = −iωP · E∗d − iω0 |Ed |2
(3.9)
Aux fréquences optiques, on s’intéresse au bilan d’énergie en valeur moyenne temporelle (sur un
temps grand devant 2π/ω). En notation complexe, la valeur moyenne temporelle des grandeurs
quadratiques s’obtient en prenant (1/2)Re[...]. On obtient :
1
ω
∗
div Re(Ed ∧ Hd ) = − Im(P · E∗d )
(3.10)
2
2
Le membre de gauche est la divergence de la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting
du champ diffusé (qui peut s’écrire indifféremment 0.5 Re(E∗d ∧ Hd ) ou 0.5 Re(Ed ∧ H∗d )). Le
membre de droite peut se réécrire en utilisant E = Einc + Ed . On obtient la forme locale du
bilan d’énergie :
ω
ω
1
∗
∗
∗
Im(P · Einc ) = Im(P · E ) + div Re(Ed ∧ Hd )
(3.11)
2
2
2
Dans cette expression, le membre de gauche est la puissance cédée par le champ incident au
diffuseur (issue du travail du champ incident sur les charges constitutant le diffuseur). Le
premier terme du membre de droite est la puissance volumique absorbée dans le diffuseur1 , et
le second terme est le vecteur de Poynting du champ diffusé (qui donne la puissance véhiculée
1
La puissance volumique absorbée (effet Joule) est j·E, qui en valeur moyenne donne 0.5 Re(j·E∗ ). En utilisant
j = −iωP, on obtient (ω/2) Im(P · E∗ ).
21
par le champ diffusé). En intégrant ce bilan d’énergie sur une surface fermée S entourant le
diffuseur, on aboutit à l’expression du bilan d’énergie global :
Pext = Pabs + Pdif f
Les trois puissances intervenant dans (3.12) ont pour expression :
Z
ω
Im(P · E∗inc ) d3 r
Pext =
2 V
Z
ω
Im(P · E∗ ) d3 r
Pabs =
2 V
Z
Pdif f =
Πd · n d2 r
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
S
La puissance d’extinction Pext est la puissance perdue par le champ incident (et cédée au diffuseur
qui se polarise). Elle est soit rayonnée en champ lointain (c’est le terme Pdif f ), soit absorbée
dans le diffuseur (c’est le terme Pabs ).
3.4.2
Calcul de la puissance d’extinction
Lorsque le champ incident est une onde plane monochromatique polarisée rectilignement, d’amplitude
complexe Einc (r) = E0 e0 exp(ikinc · r), on définit la section efficace d’extinction par (voir
chapitre 1) :
0 c
Pext = σext
|E0 |2
2
Le facteur Iinc = (0 c/2) |E0 |2 est la puissance par unité de surface véhiculée par l’onde plane
incidente. Nous allons relier σext à l’amplitude du champ diffusé dans la direction de l’onde
incidente (direction avant). Cette relation est connue sous le nom de théorème optique.
En utilisant l’Eq. (3.13) et l’expression de l’onde plane incidente, on obtient :
Z
ω
Pext = Im
E0∗ e0 · P(r) exp(−ikinc · r) d3 r
2
V
(3.16)
Nous allons montrer que l’intérale est à un facteur près le champ diffusé vers l’avant. Le champ
diffusé en un point r s’écrit :
Z
2
Ed (r) = µ0 ω
G0 (r, r0 , ω) P(r0 ) d3 r0
(3.17)
V
En champ lointain, lorsqu’on observe dans la direction u, on a (voir Eq. 2.15) :
Z
2 exp(ikr)
(I − uu)
P(r0 ) exp(−iku · r0 ) d3 r0
Ed (r) = µ0 ω
4πr
V
(3.18)
où le terme (I−uu) est simplement la projection sur le plan transverse à la direction d’observation
(en champ lointain, le champ électrique est transverse). On suppose maintenant que l’on mesure
le champ lointain derrière un polariseur, c’est-à-dire projeté sur une direction de polarisation e
(qui est nécessairement transverse à u) :
Z
exp(ikr)
e · Ed (r) = µ0 ω 2
e · P(r0 ) exp(−iku · r0 ) d3 r0
(3.19)
4πr
V
22
Nous pouvons maintenant introduire la matrice de diffusion S(u), introduite au chapitre 1
(Eq. 1.2). On obtient de l’équation précédente :
Z
µ0 ω 2
e · P(r0 ) exp(−iku · r0 ) d3 r0
(3.20)
e · S(u)E0 e0 =
4π V
A partir des expressions (3.16) et (3.20), on voit que l’on peut écrire la puissance d’extinction
sous la forme :
2π
Pext =
Im[E0∗ e0 · S(uinc )E0 e0 ]
(3.21)
µ0 ω
En utilisant la section efficace d’extinction, ceci s’écrit aussi :
σext =
4π
Im[e0 · S(uinc )e0 ]
k
(3.22)
Ce résultat constitue le théorème optique. Il montre qu’en mesurant (ou calculant) l’amplitude
complexe du champ diffusé vers l’avant, on a accès à l’extinction de l’onde incidente par diffusion
et absorption (on a donc accès à une grandeur énergétique par la mesure de l’ampitude d’une
onde dans une direction unique, ce qui est loin d’être un résultat évident).
3.5
Particules petites devant la longueur d’onde
Dans cette section, on s’intéresse aux particules sphériques (rayon R), homogènes (constante
diélectrique (ω)), et vérifiant R λ, où λ = 2πc/ω est la longueur d’onde de l’onde incidente.
De telles particules peuvent être décrites dans le cas de l’approximation dipolaire électrique2 .
Leurs propriétés de diffusion sont alors décrites par la polarisabilité α(ω).
3.5.1
Approximation dipolaire. Polarisabilité
Considérons une particule sphérique homogène de rayon R, située dans le vide, dont le centre
est à la position r0 . Le champ total en un point r s’écrit :
Z
2
G0 (r, r0 , ω) ( − 1) E(r0 ) d3 r0
(3.23)
E(r) = Einc (r) + k
δV
On a noté δV le volume de la particule. Dans ce volume, sous l’hypothèse R λ, on peut
considérer que le champ dans la particule, noté Eint , est uniforme. On peut le déterminer en
appliquant l’Eq. (3.23) au point r0 situé au centre de la particule, à la limite ou R → 0. Il faut
prendre garde au fait que lorsque r → r0 dans l’intégrale, la fonction de Green G0 est singulière
(plus précisément, c’est la partie réelle qui est singulière). On écrit alors :
Z
Eint (r0 ) = Einc (r0 ) + k 2 ( − 1)
Re[G0 (r0 , r0 , ω)] Eint (r0 ) d3 r0
δV →0
+ ik 2 ( − 1) Im[G0 (r0 , r0 , ω)] Eint (r0 ) δV
(3.24)
En utilisant l’expression de la fonction de Green de l’espace libre G0 (r0 , r0 , ω) (Eq 2.14), on
obtient :
k
Im[G0 (r0 , r0 , ω)] =
I
6π
2
Dans le cas où || 1, ce qui peut être le cas avec certains métaux, il peut être nécessaire de traiter la
particule à l’aide d’un dipôle électrique et d’un dipôle magnétique, qui sont du même ordre de grandeur. Voir [4].
23
La contribution singulière peut se calculer lorsque δV est un volume sphérique. On obtient [5] :
Z
Eint (r0 )
Re[G0 (r0 , r0 , ω)] Eint (r0 ) d3 r0 = −
3k 2
δV →0
En insérerant ces deux résultats dans (3.24), on aboutit à l’expression reliant le champ dans la
particule au champ excitateur (champ incident) :
−1
k 3 ( − 1)
3
1 − i 3δV
Eint (r0 ) =
Einc (r0 )
+2
6π + 2
(3.25)
On peut remarquer que lorsque ω → 0 (ou k → 0), on a Eint (r0 ) = 3Einc (r0 )/( + 2) qui
est un résultat connu en électrostatique (reliant le champ dans une sphère homogène au champ
extérieur). Dans l’Eq. (3.25), le terme entre crochets est une correction dynamique, qui prend en
compte le fait qu’aux fréquences optiques on ne peut pas a priori négliger le fait que la particule
polarisée rayonne, et perd donc de l’énergie (ce qui n’est pas le cas en électrostatique).
Le champ dans la particule étant déterminé, on peut alors calculer le moment dipolaire électrique
de la particule :
Z
p =
P(r) d3 r
ZδV
=
0 ( − 1)Eint (r) d3 r
δV
' 0 ( − 1) Eint (r0 ) δV
−1
k3
= 0 α0 (ω) 1 − i α0 (ω)
E0 (r0 )
6π
(3.26)
Dans la dernière égalité, on a utilisé l’Eq (3.25). Par définition de la polarisabilité α(ω), on a
p = α(ω) 0 Einc (r0 ). En identifiant dans (3.26), on obtient :
α(ω) =
α0 (ω)
k3
1 − i α0 (ω)
6π
avec
α0 (ω) = 4πR3
(ω) − 1
(ω) + 2
(3.27)
Là aussi, on remarque que dans le cas de l’électrostatique (k → 0), on a α(ω) = α0 (ω). La
polarisabilité α0 (ω) est d’ailleurs souvent appelée polarisablité “quasi-statique”. La différence
entre α(ω) et α0 (ω) est la manifestation du fait qu’en régime dynamique, la particule rayonne
(on parle de “correction radiative”). Le terme correctif est proportionnel à (kR)3 , de telle sorte
qu’il tend vers 0 lorsque kR 1. On peut donc retenir que pour calculer des ordres de grandeur,
on peut la plupart du temps se contenter de l’approximation α(ω) ' α0 (ω). Mais il faut garder
en tête que le dénominateur dans l’expression (3.27) est nécessaire pour assurer la conservation
de l’énergie.
3.5.2
Sections efficaces
Diffusion
Lors du processus de diffusion, le champ incident induit dans la particule un moment dipolaire
p = α(ω) 0 Einc (r0 ). La puissance rayonnée par ce moment dipolaire est la puissance diffusée
24
par la particule. Elle s’écrit (voir chapitre 2, Eq .2.10) :
Pray =
µ0 ω 4
|p|2
12πc
Cette puissance rayonnée (ou diffusée) s’écrit Pray = σd Iinc = σd (0 c/2)|Einc |2 . On en déduit :
σd =
k4
|α(ω)|2
6π
(3.28)
Si l’on fait l’approximation α(ω) ' α0 (ω), on peut noter que :
• Dans une plage de fréquence où α(ω) varie peu, on a σd ∝ ω 4 . C’est une caractéristique
de la diffusion par des particules de taille très inférieure à la longueur d’onde (diffusion
Rayleigh).
• Puisque α0 (ω) ∝ R3 , la section efficace de diffusion d’une petite particule varie en R6 .
Extinction
Le champ diffusé dans une direction u est le champ rayonné par le dipôle p en champ lointain.
On peut le déterminer à partir des Eqs. (2.5) et (2.9) du chapitre 2. En supposant la particule
placée à l’origine des coordonnées (r0 = 0), on a :
Ed (r) =
k 2 exp(ikr)
α(ω) E0,⊥
4π
r
(3.29)
où ⊥ désigne la direction transverse par rapport à la direction d’observation u. Puisque la
particule est sphérique, il n’y a pas de dépolarisation lors de la diffusion vers l’avant. La matrice
de diffusion vers l’avant est donc de la forme :
S(uinc ) =
k2
α(ω) I
4π
L’application du théorème optique (3.22) conduit directement à :
σext = k Im[α(ω)]
(3.30)
La section efficace d’extinction est donc proportionnelle à la partie imaginaire de la polarisabilité.
On saisit ici l’importance de la correction radiative dans l’expression (3.27). Si la particule est
formée d’un matériau non absorbant à la fréquence ω, la constante diélectrique (ω) est réelle,
et donc α0 (ω) est réelle. Hors, il y a toujours de l’extinction par diffusion, donc la polarisabilité
α(ω) se doit d’avoir une partie imaginaire non nulle. Pour un matériau non absorbant, c’est
la correction radiative qui fournit cette partie imaginaire. En d’autres termes, lorsque l’on fait
l’approximation α(ω) ' α0 (ω), on néglige l’extinction par diffusion.
Notons au passage que l’expression du champ diffusé (3.29) permet d’identifier la matrice de
k
diffusion S(u) complète. Il faut pour cela projeter les champs Ed et Einc,⊥ sur les bases (ei , e⊥
i )
k ⊥
et (es , es ) (voir la figure 1.2 du chapitre 1). On obtient :
k 2 α(ω)
cos θ 0
S2 S3
(3.31)
=
S4 S1
0
1
4π
25
Absorption
La section efficace d’absorption σa s’obtient directement par soustraction, puisque la conservation de l’énergie impose que σext = σd + σa . On a donc :
k3
σa = k Im[α(ω)] −
|α(ω)|2
6π
(3.32)
Dans le cas d’une particule non absorbante, on a σa = 0, et donc la polarisabilité doit vérifier
Im[α(ω)] = [k 3 /(6π)]|α(ω)|2 .
3.6
3.6.1
Particules de taille quelconque
Particules sphériques de taille quelconque. Théorie de Mie
Il existe une théorie rigoureuse de la diffusion électromagnétique par une particule sphérique
homogène, dite théorie de Mie (du nom de celui qui l’a développée). Etant donnés l’indice
complexe et le rayon de la particule, ainsi que la longueur d’onde, cette théorie fournit les champs
diffusés (et donc les sections efficaces et la fonction de phase) sous forme de développements en
série qui peuvent être calculés numériquement.
On trouvera un exposé détaillé de la théorie de Mie, par exemple dans la référence [1]. Des
routines de calculs prêtes à fonctionner sont disponibles sur Internet (il s’agit d’un outil standard
pour la diffusion de la lumière). La théorie de Mie est un outil pratique dans de nombreuses
situations où les particules diffusantes sont en bonne approximation sphériques.
3.6.2
Particules grandes devant la longueur d’onde
Pour une particule de rayon R très grand devant la longueur d’onde, les lois de l’optique
géométrique s’appliquent. Pour un faisceau directionnel (onde plane) rencontrant la particule, il semble alors naturel de penser que la lumière diffusée ou absorbée est celle correspondant
aux rayons interceptés par la particule, et que la section efficace d’extinction est la section
géométrique de la particule πR2 . Nous allons voir qu’en fait la section efficace d’extinction est
le double de la section géométrique, du fait de la diffraction.
Après interception par la particule, le front d’onde qui continue à se propager est identique à
celui qui serait obtenu en obstruant une partie de l’onde plane incidente par un disque opaque
de rayon R. Cette onde, qui n’est donc plus une onde plane, va diffracter. L’énergie diffractée
ne se propage plus dans la direction avant, et contribue ainsi à l’extinction. La section efficace
d’extinction est donc supérieure à πR2 . De combien ?
La réponse s’obtient en utilisant le théorème de Babinet, qui dit que deux objets complémentaires
(c’est-à-dire dont la réunion donne un plan opaque infini) produisent la même figure de diffraction
lorsqu’ils sont éclairés de la même manière. Le disque opaque de rayon R produit donc la même
quantité de lumière diffractée qu’un trou de rayon R dans un plan opaque infini. Dans ce cas,
la fraction de lumière incidente qui va être diffractée, et donc prélevée à la direction avant, est
celle qui arrive sur le trou de rayon R. La section efficace correspondante est simplement la
26
section du trou, soit πR2 . Au total, en cumulant les deux effets, on obtient :
σext = 2 πR2
si
Rλ
(3.33)
Le résultat précédent peut paraı̂tre surprenant, voire paradoxal : une particule de grande taille
prélève au faisceau incident deux fois la quantité d’énergie qu’elle intercepte ! En fait, il faut
bien garder à l’esprit que ce résultat est obtenu en supposant que l’observation se fait en champ
lointain (à une distance infiniment grande par rapport à la taille de la particule), largement
au-delà de la zone où une ombre portée géométrique est observable. Dans ces conditions, toute
lumière s’écartant de la direction avant, même très légèrement, participe à l’extinction. Un
objet de quelques dizaines de centimètres placé devant une fenêtre n’empèche que la lumière
qu’il intercepte réellement de rentrer dans la pièce. Par contre, une météorite de même taille
dans le milieu interstellaire, placée entre une étoile et un téléscope sur Terre, va prélever deux
fois cette quantité de lumière avant l’entrée dans l’objectif du téléscope.
27
Partie II
Transport en milieu diffusant
28
Chapitre 4
Introduction à la diffusion multiple
Dans ce chapitre, nous introduisons quelques notions importantes qui caractérisent les ondes
dans les milieux désordonnés. Nous définissons les différents régimes de transport, puis nous
montrons comment une approche statistique peut être mise en place pour décrire la propagation
des ondes (et en particulier de l’intensité en optique). Afin de simplifier l’exposé, nous nous
limitons à des ondes scalaires.
4.1
Diffusion simple et diffusion multiple
On décrit une onde scalaire monochromatique par son amplitude complexe Ψ(r). Lorsqu’une
onde incidente Ψinc (r) éclaire une zone de l’espace remplie d’un milieu hétérogène (par exemple
un ensemble de particules diffusantes) décrit par le potentiel V (r), le champ total de l’onde obéit
à l’équation suivante :
Z
Ψ(r) = Ψinc (r) + G0 (r, r0 , ω) V (r0 ) Ψ(r0 ) d3 r0
(4.1)
Cette équation est la version scalaire de l’Eq. (3.2). On a introduit la fonction de Green
scalaire G0 du milieu de référence.1 Le potentiel V serait k 2 [(r) − 1] dans le cas des ondes
électromagnétiques.
Dans le cas d’un milieu dilué, on peut supposer que chaque élément de volume est éclairé par le
champ incident uniquement (on néglige le champ diffusé provenant des autres diffuseurs). Dans
ce cas, le champ en tout point peut s’écrire en utilisant l’approximation de Born :
Z
Ψ(r) = Ψinc (r) + G0 (r, r0 , ω) V (r0 ) Ψinc (r0 ) d3 r0
(4.2)
Sous cette hypothèse, le régime est dit de diffusion simple.
Lorsque le milieu devient plus dense, on ne peut plus faire l’hypothèse de diffusion simple.
L’onde diffusée par le système ne peut plus être vue comme l’onde incidente diffusée une seule
fois par le potentiel. On est alors en régime de diffusion multiple. On peut mettre en évidence
1
Si le milieu de référence est l’espace libre, cette fonction de Green est simplement exp(ikR)/(4πR), avec
R = |r − r0 |.
29
ce régime en utilisant une notation opérateur, qui permet de réécrire l’Eq. (4.1) sous la forme
compacte :
Ψ = Ψinc + G0 V Ψ
(4.3)
Un solution formelle de cette équation intégrale, sous forme d’un développement itératif, donne :
Ψ = Ψinc + G0 V Ψinc + G0 V G0 V Ψinc + ...
(4.4)
Le deuxième terme du membre de droite décrit la diffusion simple, le troisième la diffusion
double, etc.
4.2
Approche statistique
Dans un milieu désordonné réel, il est impossible de décrire précisément les caractéristiques
détaillées du milieu. De plus, cela serait inutile car beaucoup de mesures sont des grandeurs
moyennes (spatiales ou temporelles), ou ne sont exploitables que statistiquement (par exemple
une figure de speckle). On a donc recours à une approche statistique pour décrire la propagation des ondes dans les milieux complexes.2 On raisonne alors sur un ensemble statistique de
réalisations du désordre (par exemple les positions des particules), et on effectue des moyennes
d’ensemble, que l’on note h...i.
4.2.1
Champ moyen et champ fluctuant
Le champ diffusé par une réalisation du système peut alors s’écrire comme la somme d’une valeur
moyenne et d’une fluctuation :
Ψ = hΨi + δΨ
avec
hδΨi = 0
Le premier terme est le champ moyen (parfois appelé champ cohérent). Le deuxième terme est
le champ fluctuant (parfois appelé champ incohérent).
4.2.2
Intensité moyenne
L’intensité moyenne hIi = h|Ψ|2 i s’écrit alors :
hIi = |hΨi|2 + h|δΨ|2 i
(4.5)
Le premier terme est la puissance véhiculée par le champ moyen. Il représente la composante
balistique de l’intensité (ou composante collimatée). Le second terme est la puissance véhiculée
par les fluctuations du champ (bien que la valeur moyenne du champ fluctuant soit nulle, la
puissance moyenne associée n’est pas nulle). Il représente l’intensité diffuse. On peut donc
écrire :
hIi = Icoll + Id
et on a l’identification Icoll = |hΨi|2 et Id = h|δΨ|2 i.
2
On parle d’ailleurs souvent de “milieux aléatoires”, sans que cette notion ait un sens très clair.
30
L’appellation champ cohérent pour le champ moyen vient du fait que ce champ conserve une
relation de phase bien définie avec le champ incident, avec lequel il est susceptible d’interférer.
En effet, si l’on écrit l’intensité moyenne résultant de la superposition du champ Ψ et du champ
incident, on obtient :
h|Ψinc + Ψ|2 i = h|Ψinc + hΨi|2 i + h|δΨ|2 i
expression dans laquelle le terme d’interférence apparaı̂t explicitement.
4.3
Intensité collimatée. Loi de Beer-Lambert
Lorsqu’une onde collimatée (représentée par une onde plane) traverse un milieu diffusant, son
amplitude décroı̂t par absorption et par diffusion. Nous allons établir la loi de décroissance
de l’intensité associée à cette onde (intensité collimatée ou balistique) dans la géométrie de la
Fig. 4.1. Nous raisonnons sur l’intensité balistique, se propageant dans la direction de l’axe Oz.
σd
σa
n
I0
Icoll
Z=0
Z=L
Z
Figure 4.1: Atténuation d’un faisceau collimaté (onde plane) par une couche d’épaisseur L de
milieu diffusant et absorbant. Le milieu contient n particules par unité de volume, caractérisées
par leurs sections efficaces σd et σa .
Un bilan d’énergie sur un volume délimité par les plans z et z + dz et une section S du milieu
normale à l’axe Oz permet d’écrire :
Icoll (z + dz) S − Icoll (z) S = −(n S dz) (σa + σd ) Icoll (z) = −(n S dz) σext Icoll (z)
(4.6)
Cette expression traduit l’extinction de l’intensité entre z et z + dz, par les n S dz particules
contenues dans le volume.3 On a donc :
dIcoll (z)
+ n σext Icoll (z) = 0
dz
qui s’intègre sur la tranche d’épaisseur L pour donner :
Icoll (z) = I0 exp(−n σext L)
(4.7)
On a donc une décroissance exponentielle de l’intensité collimatée. L’énergie perdue est en
partie absorbée, et en partie redistribuée par diffusion dans les autres directions (pour former
l’intensité diffuse Id ). Cette loi est la loi de Beer-Lambert sous sa forme la plus générale. On
3
Nous faisons l’hypothèse que chaque particule diffuse comme si elle était seule dans le milieu. Cette hypothèse,
dite de diffusion indépendante, est valable en milieu dilué.
31
peut l’utiliser dans des milieux purement absorbants (comme en chimie par exemple), ou dans
des milieux beaucoup plus diffusants qu’absorbants (qui sont ceux qui nous intéressent dans ce
cours).
La longueur èxt = (n σext )−1 est le libre parcours moyen d’extinction (ou longueur d’extinction).
Si le milieu n’est pas absorbant, on a èxt = `d = (n σd )−1 avec `d le libre parcours moyen de
diffusion. Mesurer la décroissance d’un faisceau collimaté en fonction de L est un moyen d’avoir
accès expérimentalement à ce paramètre, qui comme nous allons le voir, est important pour
caractériser le transport de l’intensité diffuse.
4.4
Régimes de transport
Si la loi d’évolution de l’intensité collimatée est simple à établir (au-moins dans un milieu statistiquement homogène), le comportement de l’intensité diffuse est plus difficile à modéliser (ce
sera l’objectif des chapitres 5 et 6). On peut adopter une image de type transport de particules (comme on le ferait par exemple pour un gaz traversant un milieu poreux), en assimilant
le rayonnement à un ensemble de photons qui peuvent être diffusés ou absorbés lors de leur
interaction avec le milieu.
4.5
Libre parcours moyen de diffusion
Le libre parcours moyen de diffusion `d = (n σd )−1 peut s’interpréter microscopiquement comme
la distance moyenne entre deux événements de diffusion, ou encore comme la distance moyenne
qu’un photon, partant de n’importe quelle position, va parcourir avant la prochaine diffusion
(ces deux visions sont équivalentes).
Pour s’en convaincre, réécrivons l’Eq. (4.6), dans le cas d’un milieu non absorbant, sous la forme
Icoll (z + dz) = Icoll (z) −
dz
Icoll (z)
`d
(4.8)
On peut assimiler Icoll (z) au nombre de photons balistiques se propageant dans la direction
Oz, c’est-à-dire au nombre de photons incidents qui n’ont pas été diffusés avant d’atteindre la
profondeur z. L’équation ci-dessus montre donc que (dz/`d ) Icoll (z) est le nombre de photons qui
ont été diffusés entre z et z + dz. En le normalisant par le nombre de photons incidents en z, on
obtient que la probabilité pour un photons d’être diffusé sur une longueur infinitésimale dz est
dz/`d (ce résultat est cohérent avec le fait que `d soit la distance moyenne entre deux événements
de diffusion). On peut donc maintenant s’intéresser à un photon en un point quelconque, et se
propageant dans une direction que l’on note arbitrairement Oz. La probabilité que ce photon
soit diffusé pour la première fois au bout d’une distance z s’écrit :
P (z) = exp(−z/`d )
dz
`d
c’est-à-dire comme le produit de la probabilité de ne pas avoir été diffusé jusqu’en z (loi de BeerLambert) et de la probabilité d’être diffusé entre z et z + dz. La longueur moyenne parcourue
avant le premier événement de diffusion est donc :
Z +∞
hzi =
z P (z) dz = `d
0
32
On a donc démontré, avec une vision dans laquelle le transport de l’énergie lumineuse est assimilé
à un transport de particules, que `d est la distance moyenne qu’un photon, choisi arbitrairement,
va parcourir avant la prochaine diffusion.
En utilisant le libre parcours moyen de diffusion, on peut définir trois régimes de transport de
la lumière dans un milieu diffusant de dimension caractéristique L, et définir en particulier les
régimes de diffusion simple et de diffusion multiple :
• L ld : régime balistique (l’onde traverse le milieu sans être diffusée)
• L ' ld : régime de diffusion simple
• L ld : régime de diffusion multiple.
Dans le régime balistique, l’intensité diffusée est négligeable et l’onde collimatée traverse le
milieu sans perte d’énergie par diffusion. Dans le régime de diffusion multiple, l’onde collimatée (balistique) est totalement éteinte et le transport de l’énergie se fait par l’intensité diffuse
uniquement. Dans le régime intermédiaire, il peut y avoir coexistence d’une intensité collimatée
et d’une intensité diffuse.
4.5.1
Homogénéisation
Pour terminer, nous allons donner un exemple simple de régime d’homogénéisation, dans lequel
un milieu diffusant se comporte comme un milieu effectif homogène qui ne génère plus de champ
diffusé. Ce régime est atteint lorsque toutes les échelles caractéristiques microscopiques du
milieu sont très petites devant la longueur d’onde. Pensons par exemple à une lame de verre
éclairée dans le visible. Elle ne diffuse pas la lumière, bien que microscopiquement elles soit un
milieu amorphe dans lequel les molécules sont disposées de manière désordonnée. La lame est
cependant homogène du point de vue optique
Supposons que l’on fractionne un système de particules diffusantes, tout en maintenant constante
la fraction volumique f , ce qui revient à dire que l’on n’ajoute ou ne retranche aucune matière.
Lorsque le rayon R des particules devient très petit devant la longueur d’onde, elles se comportent
comme des dipôles électriques. La section efficace de diffusion est alors (voir Eq. 3.28) :
σd =
ω4
|α(ω)|2 ∼ R6
6πc4
La fraction volumique f = 4/3 πR3 n étant constante, le densité n varie comme R−3 . Le libre
parcours moyen de diffusion est donc :
ld =
1
∼ R−3
n Cd
On voit que lorsque la taille des particules devient de plus en plus petite, le libre parcours
moyen de diffusion `d → ∞. Le système devient de moins en moins diffusant (bien que la
quantité de matière par unité de volume n’ait pas changé). A la limite, il n’y a plus de champ
diffusé et la lumière est composée d’une composante balistique uniquement. C’est le régime
d’homogénéisation, que nous avons illustré ici sur un cas simple.
33
Chapitre 5
Equation de Transfert Radiatif
L’objectif de ce chapitre est d’introduire une méthode pour modéliser la propagation de l’intensité
moyenne du rayonnement en milieu diffusant et absorbant. L’outil fondamental est une équation
de transport, dite équation de transfert radiatif (ETR). Elle a été introduite initialement en astrophysique pour décrire la propagation du rayonnement dans les milieux interstellaires [3], puis
en neutronique pour décrire la propagation des neutrons dans des réacteurs [6]. L’ETR est
une équation de transport de la luminance (specific intensity en anglais). Dans ce chapitre,
nous introduisons la luminance et les grandeurs photométriques (ou radiométriques) de manière
phénoménologique, ainsi que les phénomènes d’absorption et de diffusion. Nous établissons
ensuite l’ETR à partir d’un bilan d’énergie.
5.1
5.1.1
Grandeurs photométriques
Luminance et flux
Par définition de la luminance Lω (r, u, t), le flux d’énergie radiative monochromatique Pω traversant un élément de surface dS centré au point r = (x, y, z), dans un angle solide élémentaire dΩ
centré sur la direction u, dans l’intervalle de fréquences [ω, ω + dω] et au temps t s’écrit :
Pω (r, u, t) = Lω (r, u, t) u · n dS dΩ dω
(5.1)
Les notations utilisées sont précisées sur la Fig. 5.1. L’élément d’intégration angulaire dΩ
s’exprime sous la forme dΩ = sin θ dθ dφ en coordonnées sphériques. Il représente l’élément
d’intégration associé à la variable u. La luminance s’exprime en W.m−2 .sr−1 .Hz−1 en unité SI.
La luminance est la grandeur fondamentale de la photométrie. Elle est introduite habituellement
dans une approche d’optique géométrique, et on peut l’interpréter comme le flux d’énergie
transporté par un rayon lumineux.
5.1.2
Vecteur flux radiatif
On peut introduire le vecteur flux radiatif qω , quantité non directionnelle, qui s’exprime en
fonction de la luminance Lω par :
Z
qω (r, t) =
Lω (r, u, t) u dΩ
(5.2)
4π
34
Lω(r,u,t)
u dΩ
u dS
r θ n Figure 5.1: Géométrie utilisée pour définir la luminance.
Le vecteur qω s’identifie au vecteur de Poynting défini dans le cadre de la théorie électromagnétique.
Son flux à travers une surface S donne le flux global, par unité de fréquence, qui traverse cette
surface (unité W.Hz−1 ).1
5.1.3
Densité volumique d’énergie
La densité d’énergie par unité de fréquence, au point r et à l’instant t, est donnée par :
Z
Lω (r, u, t)
dΩ
uω (r, t) =
c
4π
(5.3)
La vitesse c qui intervient dans (5.3) est la vitesse de propagation de l’énergie. Dans une image
corpusculaire, la densité d’énergie uω (r, t) peut être reliée à la densité volumique de photons
par unité de fréquence ω, notée nω (r, t), par la relation uω (r, t) = nω (r, t) ~ω. Notons que si la
luminance est isotrope, on a uω (r, t) = 4π Lω (r, t)/c.
5.2
Evolution du flux d’énergie par absorption et diffusion
Nous allons décrire de manière phénoménologique l’évolution du flux d’énergie directionnel (proportionnel à la luminance) dans un milieu. Dans cette approche, le milieu est considéré à l’échelle
macroscopique, c’est-à-dire à l’échelle du milieu continu. Il est décrit par des paramètres (par
exemple coefficient de diffusion et d’absorption) définis à l’échelle d’un volume macroscopiquement petit, mais microscopiquement grand (qui contient un grand nombre de particules diffusantes). Les coefficients introduits sont donc à comprendre comme résultant d’une moyenne sur
un élément de volume. Nous allons supposer que le milieu décrit à l’échelle macroscopique est
homogène et isotrope.2
1
Définir la luminance dans un cadre électromagnétique est plus difficile, et requiert l’utilisation de la théorie
de la cohérence (voir par exemple [7]). Cette difficulté provient du fait que le concept phénoménologique de
flux traversant une surface dans une direction donnée n’est pas évident à traduire en langage ondulatoire (en
particulier le vecteur de Poynting ne donne l’information sur la direction).
2
Il s’agit de notions d’homogénéité et d’isotropie statistiques. Pour un milieu formé de particules, elles résultent
de la moyenne sur les positions et les orientations des particules contenues dans un volume élémentaire.
35
5.2.1
Absorption
Considérons le flux d’énergie radiative monochromatique Pω se propageant dans un milieu absorbant dans une direction u perpendiculaire à l’élément de surface dS. On note s l’abscisse
curviligne le long de la direction u. Sur un élément de longueur ds, une fraction dPω de l’énergie
est absorbée. De manière tout à fait générale, on écrit :
dPω (s + ds, u, t) = −µa Pω (s, u, t)ds
(5.4)
Le coefficient µa introduit dans cette expression est le coefficient d’absorption monochromatique
(unité m−1 ). Son inverse à = 1/µa est le libre parcours moyen d’absorption (ou longueur
d’absorption). Dans le cas d’un milieu dilué (pas de corrélations entre les positions des particules)
et formé de particules identiques, on a µa = n σa , où n est le nombre de particules par unité de
volume et σa la section efficace d’absorption d’une particule.
5.2.2
Extinction par diffusion
Dans le processus de diffusion, une fraction de l’énergie se propageant initialement dans la
direction u est diffusée dans une direction u0 différente, ce qui contribue donc à la diminution du
flux d’énergie dans la direction u. On procède alors comme pour l’absorption, en introduisant le
coefficient de diffusion µd (scattering coefficient en anglais) . Son inverse `d = 1/µd est le libre
parcours moyen de diffusion (ou longueur de diffusion). Dans le cas d’un milieu dilué (pas de
corrélations entre les positions des particules) et formé de particules identiques, on a µd = n σd ,
où n est le nombre de particules par unité de volume et σd la section efficace de diffusion d’une
particule.
Si l’on s’intéresse à l’énergie se propageant dans une direction déterminée (par exemple un faisceau collimaté), alors les deux processus d’absorption et de diffusion contribuent à l’extinction de
l’énergie incidente. On parle d’un milieu absorbant lorsque le processus d’absorption prédomine
sur celui de la diffusion (et inversement). Par exemple, les particules constituant l’encre de
Chine ou des suies dans une fumée vont plus absorber le rayonnement visible incident que le
diffuser (elles apparaissent noires). Par contre, un nuage est un milieu très diffusant (et peu
absorbant) dans le domaine visible (il apparaı̂t blanc).
On peut alors introduire le coefficient d’extinction qui vaut :
µ e = µa + µd
(5.5)
Son inverse è = 1/µe est le libre parcours moyen d’extinction (ou longueur d’extinction).
Le flux d’énergie associé à un faisceau collimaté dans un milieu décroı̂t selon la loi Pω (s) =
Pω (0) exp(−µe s) (loi de Beer-Lambert).
Pour caractériser le pouvoir diffusant d’un milieu, on utilise aussi l’albédo, qui est défini par :
a=
µd
µd + µa
(5.6)
Si l’albédo vaut 0, le milieu est purement absorbant (encre de Chine dans le visible). S’il vaut
1, le milieu est purement diffusant (nuage dans le visible).
36
5.2.3
Gain par diffusion. Fonction de phase
Lors de la diffusion, l’énergie est redistribuée dans toutes les directions. Si l’on s’intéresse à
l’évolution entre s et s + ds du flux se propageant dans la direction u, de l’énergie se propageant
initialement dans une direction différente u0 peut, après diffusion, se propager dans la direction
u. Elle contribue alors à l’augmentation du flux dans la direction u. Pour décrire ce phénomène,
on introduit la fonction de phase p(u, u0 ) (voir le chapitre 1 et le lien avec la section efficace
différentielle de diffusion). Elle représente la fraction du flux d’énergie qui, arrivant dans la
direction u0 , est diffusé dans la direction u. L’accroissement du flux dû à la diffusion entre s et
s + ds s’écrit :
Z
µd
dPω (s + ds, u, t) =
p(u, u0 ) Pω (s, u0 , t) dΩ0 ds
(5.7)
4π 4π
Remarques :
• Nous avons supposé que le milieu décrit à l’échelle macroscopique est homogène et isotrope.
Dans ce cas, la fonction de phase ne dépend que de l’angle relatif Θ entre la direction
d’incidence u0 la direction de diffusion u (même du cosinus de cet angle). On note alors
p(u, u0 ) = p(cos Θ) = p(u · u0 ).
• Il existe différentes normalisations de la fonction de phase (variant selon les auteurs). Nous
utiliserons la normalisation suivante :
Z
1
p(u · u0 ) dΩ0 = 1
(5.8)
4π 4π
Si la fonction de phase est constante, on parle de diffusion isotrope (répartition équiprobable
de l’énergie dans toutes les directions de l’espace par diffusion). Sinon on parle de diffusion
anisotrope. Des exemples de fonctions de phase sont donnés dans l’Annexe A.
5.3
Etablissement de l’ETR (bilan d’énergie radiative)
Nous allons effectuer un bilan d’énergie radiative sur un élément de volume dV (voir Fig. 5.2).
La contribution négative au bilan provient de l’extinction (par absorption et diffusion) et la
contribution positive provient de la diffusion.
u
u
s
s+ds
dΩ
u’
dΩ
dΩ’
Figure 5.2: Système considéré pour effectuer le bilan d’énergie radiative. On a ds = cdt le long
de la direction u.
Raisonnons sur la densité d’énergie directionnelle uω (s, u, t) qui est reliée à la luminance par la
relation :
Lω (s, u, t)
uω (s, u, t) =
(5.9)
c
37
où c est la vitesse de propagation de l’énergie. Le bilan d’énergie sur l’élément de volume dV
s’écrit :
uω (s + c dt, u, t + dt) dV
= uω (s, u, t) dV − (µa + µd ) uω (s, u, t) dV c dt
Z
µd
p(u · u0 ) uω (s, u0 , t) dΩ0 dV c dt
+
4π 4π
En réarrangant les termes de cette équation et en utilisant la relation (5.9), nous obtenons :
Z
Lω (s + c dt, u, t + dt) − Lω (s, u, t)
µd
p(u · u0 ) Lω (s, u0 , t) dΩ0
= −(µa + µd ) Lω (s, u, t) +
c dt
4π 4π
A la limite où dt tend vers zéro, le membre de gauche est la dérivée totale de la luminance :
1d
1∂
∂
1∂
Lω (s, u, t) =
+
=
+u·∇
c dt
c ∂t ∂s
c ∂t
où ∇ est l’opérateur gradient par rapport à la variable de position r. Nous obtenons finalement
l’équation de transfert radiatif qui s’écrit :
µd
1 ∂
Lω (r, u, t) + u · ∇ Lω (r, u, t) = −(µa + µd ) Lω (r, u, t) +
c ∂t
4π
Z
p(u · u0 ) Lω (r, u0 , t) dΩ0
4π
(5.10)
L’ETR est une équation intégro-différentielle qui décrit le transport de la luminance, grandeur
dépendant de la position, d’une direction et du temps. On notera l’analogie qui existe entre cette
équation et l’équation de Boltzmann introduite en théorie cinétique du transport de particules.
De nombreuses techniques de résolution de l’ETR ont été développées dans le cadre du transfert
radiatif [3, 8, 9]. Sauf dans des cas particuliers simples (par exemple couche plane et diffusion
isotrope), il n’existe pas de solution analytique à l’ETR. Il faut dans la plupart des cas réels
avoir recours au calcul numérique.
5.4
5.4.1
Intensités balistique et diffuse. Echelles de longueur
Composantes balistique et diffuse de la luminance
Supposons que le milieu diffusant soit éclairé par un faisceau collimaté se propageant dans la
direction u0 . Nous pouvons écrire la luminance en tout point sous la forme de la somme d’une
composante collimatée (balistique) et d’une composante diffuse :
L(r, u, t) = Lbal (r, t) δ(u − u0 ) + Ldiff (r, u, t)
(5.11)
où la distribution de Dirac δ(u−u0 ) est à prendre au sens de l’intégrale angulaire sur l’angle solide
dΩ. 3 En insérant la décomposition (5.11) dans l’ETR (5.10), on obtient deux équations (une
pour les termes proportionnels à δ(u − u0 ), et une pour les autres termes). Pour la composante
balistique, l’ETR devient :
1 ∂
Lbal (r, t) + u · ∇ Lbal (r, t) = −(µa + µd ) Lbal (r, t)
c ∂t
3
On a en fait δ(u − u0 ) = δ(θ − θ0 ) δ(φ − φ0 )/| sin θ0 |.
38
(5.12)
En régime stationnaire, l’intégration de cette équation donne la loi de Beer-Lambert pour
l’évolution de la luminance balistique. Dans le cas d’un milieu non absorbant, on retrouve que
la luminance balistique décroı̂t avec un longueur caractéristique `d = 1/µd . Pour la composante
diffuse, l’ETR s’écrit :
Z
1 ∂
µd
p(u · u0 ) Ldiff (r, u0 , t) dΩ0
Ldiff (r, u, t) + u · ∇ Ldiff (r, u, t) = −(µa + µd ) Ldiff (r, u, t) +
c ∂t
4π 4π
µd
+ p(u · u0 ) Lbal (r, t)
(5.13)
4π
Il apparaı̂t dans cette équation un terme source proportionnel à la composante balistique au point
et à l’instant considérés. Ce terme décrit le fait que l’énergie quittant la composante balistique
par diffusion est redistribuée dans la composante diffuse. Le poids relatif du transport balistique
et du transport diffus pilote le régime global. Nous verrons au chapitre suivant que lorsque toute
l’énergie est transportée par la composante diffuse et que les échelles spatiales et temporelles
considérées sont grandes (devant `tr et `tr /c, où `tr est le libre parcours moyen de transport que
nous allons définir ci-dessous ), le transport de l’énergie obéit à une équation de diffusion, plus
simple que l’ETR. Ce régime diffusif est important dans de nombreuses applications d’imagerie
dans les milieux diffusants (dont l’imagerie biomédicale).
5.4.2
Echelles de longueur
Nous avons vu que dans l’ETR apparaissent explicitement les coefficients µa et µd , et donc les
longueurs associées à et `d . Ces longueurs pilotent en particulier la décroissance d’un faisceau
balistique pénétrant dans le milieu. Nous allons voir qu’il existe une autre échelle de longueur
présente dans l’ETR, qui apparaı̂t lorsqu’on calcule le vecteur flux radiatif.
Afin d’obtenir une expression générale du vecteur flux radiatif qω (r), nous multiplions l’Eq. (5.10)
par u, puis nous intégrons sur les directions u. On obtient :
Z
Z
1∂
u Lω (r, u, t) dΩ +
u [u · ∇ Lω (r, u)] dΩ = −(µa + µd ) qω (r)
c ∂t 4π
4π
Z Z
µd
0
+
u p(u · u ) dΩ L(r, u0 ) dΩ0
(5.14)
4π 4π 4π
L’intérale du membre de droite peut se mettre sous une forme plus simple. Définissons le
paramètre d’anisotropie, noté g, par :
Z
Z
1
1
0
0
g = hcos Θi =
p(u · u ) u · u dΩ =
p(cos Θ) cos Θ dΩ
(5.15)
4π 4π
4π 4π
Ce paramètre caractérise l’anisotropie du diagramme de diffusion d’un élément de volume. Si
la diffusion est isotrope, on a g = 0. Si la diffusion est très piquée vers l’avant (cas des grosses
particules par exemple), alors g ' 1. On peut alors utiliser la relation :4
Z
u p(u · u0 ) dΩ = 4π g u0
(5.16)
4π
Prenons comme axe (Oz) l’axe portant le vecteur u0 . Les coordonnées du vecteur u dans un systèmes de
coordonnées
R sphériques sont (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ). Du fait de l’intégrale sur φ, seule la composante de
l’intégrale 4π u p(u · u0 ) dΩ le longRde l’axe (Oz), et donc de u0 , est non nulle. Par définition de g (Eq 5.15), cette
composante vaut 4πg. On a donc 4π u p(u · u0 ) dΩ = 4πgu0 .
4
39
En utilisant (5.16), l’Eq. (5.14) devient :
1∂
qω (r, t) + [µa + µd (1 − g)] qω (r, t) = −
c ∂t
Z
u [u · ∇ Lω (r, u)] dΩ
(5.17)
4π
Cette équation sera utile au chapitre suivant pour établir l’approximation de la diffusion. A
ce stade, nous pouvons nous limiter au cas du régime stationnaire, pour lequel on obtient
directement une expression du vecteur flux radiatif :
Z
−1
u [u · ∇ Lω (r, u)] dΩ
(5.18)
qω (r) =
µa + µd (1 − g) 4π
Cette expression est issue directement de l’ETR, sans approximation supplémentaire. Elle est à
ce titre très générale. Le terme intégrale reste compliqué (nous verrons comment le simplifier au
chapitre suivant), mais c’est le préfacteur qui nous intéresse ici. Il fait apparaı̂tre une nouvelle
échelle de longueur, appelée libre parcours moyen de transport (ou longueur de transport) :
`tr =
1
`d
=
µd (1 − g)
1−g
(5.19)
Cette longueur, qui est donc implicite dans l’ETR, joue un rôle important dans le régime diffusif,
que nous allons étudier au chapitre suivant. On peut déjà remarquer que dans un milieu à
diffusion isotrope (g = 0), on a `tr = `d . Dans un milieu à diffusion angulairement anisotrope,
on peut avoir `tr très différent de `d . Par exemple, dans les tissus biologiques, les diffuseurs ont
des tailles microniques (tailles cellulaires), et donc pour la propagation de la lumière visible ou
proche infrarouge, on a typiquement g ∼ 0, 9 − 0, 95, `d ∼ 100 µm et `tr ∼ 1 mm.
40
Chapitre 6
Approximation de la Diffusion
Dans ce chapitre, nous allons montrer qu’aux grandes échelles d’espace et de temps, l’équation de
transfert radiatif (ETR) peut se simplifier en une équation de transport pour la densité d’énergie.
Cette grandeur ne dépend plus de la direction de propagation, ce qui simplifie grandement le
problème. L’équation de transport pour la densité d’énergie est une équation de diffusion (dont
la forme est identique à l’équation de la chaleur). Dans le régime de diffusion, le flux radiatif
est proportionnel au gradient de la densité d’énergie. Le coefficient multiplicatif est appelé
coefficient de diffusion. Notons au passage une difficulté de vocabulaire qui vient du fait que
le mot “diffusion” en français est utilisé pour décrire deux phénomènes très différents. La
diffusion de la lumière par une particule (scattering en anglais) n’a rien à voir avec la diffusion
de la chaleur dans un solide (diffusion en anglais). En particulier, le coefficient de diffusion
D (diffusion coefficient en anglais) dont nous parlons ici n’est pas le coefficient de diffusion µd
(scattering coefficient en anglais) introduit au chapitre 5.
6.1
Equation locale de conservation de l’énergie
Nous allons établir que le vecteur flux radiatif qω et la densité d’énergie radiative Uω sont
reliés par une équation de continuité, du même type que celle que l’on rencontre dans tous les
problèmes de transport de particules. Pour cela, il suffit d’intégrer l’ETR (5.10) sur les directions
(intégration sur la direction u, et donc sur dΩ). On obtient :
Z
Z
Z
1∂
Lω (r, u, t) dΩ +
u · ∇ Lω (r, u, t) dΩ = −(µa + µd )
Lω (r, u, t) dΩ
c ∂t 4π
4π
4π
Z
+ µs
L(r, u0 , t) dΩ0
4π
R
0
Dans le dernier terme, on a utilisé la normalisation de la
R fonction de phase 4π p(u · u ) dΩ = 4π.
Par définition de la densité d’énergie (Eq. 5.3), on a 4π Lω (r, u, t) dΩ = cUω (r, t). De même,
par définition du vecteur flux radiatif (Eq. 5.2), on a :
Z
Z
u · ∇ Lω (r, u, t) dΩ = ∇ ·
Lω (r, u, t) u dΩ = div qω (r, t)
4π
4π
On a donc la relation suivante, qui traduit la conservation locale de l’énergie radiative :
∂
Uω (r, t) + div qω (r, t) + µa c Uω (r, t) = 0
∂t
41
(6.1)
6.2
6.2.1
Approximation P1
Premier moment de l’ETR
Au chapitre 5, nous avons montré qu’en multipliant l’ETR (5.10) par u et en intégrant sur les
directions u, on obtenait (Eq. 5.17) :
Z
1∂
qω (r, t) + [µa + µd (1 − g)] qω (r, t) = −
u [u · ∇ Lω (r, u)] dΩ
(6.2)
c ∂t
4π
On dit parfois que l’on prend le premier moment de l’ETR (ou moment d’ordre 1, le moment
d’ordre 0 étant l’intégrale sur u que nous avons utilisée pour étabir l’équation de conservation
locale de l’énergie). Nous allons voir que le terme intégral du membre de droite peut se simplifier
lorsque la luminance est quasi-isotrope, situation rencontrée dans le cas de forte diffusion.
6.2.2
Luminance quasi-isotrope
Considérons un milieu diffusant, pour lequel la longueur d’absorption à est très grande par rapport à la longueur de diffusion `d (albédo proche de 1), et pour lequel la longueur caractéristique
L est supérieure à `d . Il s’agit donc d’un milieu pour lequel il y a diffusion multiple. La diffusion
multiple tend à rendre la luminance isotrope (pensons à l’éclairement que nous recevons au milieu d’un brouillard épais). Il est alors possible de chercher une approximation de la luminance
sous la forme de la somme d’un terme isotrope et d’un terme correctif dépendant de la direction.
Une façon systématique d’écrire cette approximation consiste à développer la luminance sur la
base des polynômes de Legendre (voir Annexe A). On parle d’approximation P1 lorsque qu’on
ne garde que les deux premiers termes, et d’approximation Pn lorsque l’on va jusqu’à l’ordre n.
L’approximation P1 est le point de départ usuel pour établir l’approximation de la diffusion [8].
A l’appxomation P1 , la luminance s’écrit :
3
qω (r, t) · u
(6.3)
4π
où qω est le vecteur flux radiatif. Remarquons tout d’abord que l’intégrale sur les directions du
terme anisotrope est nulle :
Z
Z
qω (r, t) · u dΩ = qω (r, t) ·
u dΩ = 0
Lω (r, u, t) = L0ω (r, t) +
4π
4π
On a donc, en intégrant l’équation sur les directions : L0ω (r, t) = c Uω (r, t)/(4π). Le terme
isotrope est donc directement proportionnel à la densité volumique d’énergie radiative.
6.2.3
Expression du vecteur flux radiatif
Nous pouvons maintenant simplifier le terme du membre de droite de (6.2). Pour cela, nous
allons le réécrire en utilisant les notations tensorielles.1 La composante j de ce terme (qui est
un vecteur) s’écrit donc :
Z
∂
uj ui
Lω (r, u) dΩ
∂x
i
4π
1
On note habituellement xj , avec j = 1, 2, 3, les 3 coordonnées, plutôt que x, y, z. On note uj la composante
du vecteur
P u dans la direction j. Enfin, une sommation est implicite lorsqu’un indice est répété. On a par exemple
ai bi = i ai bi .
42
Dans le cadre de l’approximation P1 , cette expression se simplifie comme suit :
Z
Z
∂
∂
uj ui Lω (r, u) dΩ
uj ui
Lω (r, u) dΩ =
∂xi
∂xi 4π
4π
Z
Z
∂ 0
3 ∂
=
L (r, t)
uj ui dΩ +
qk (r, t)
uj ui uk dΩ
∂xi ω
4π ∂xi
4π
4π
R
On peut montrerR (par exemple en passant en coordonnées sphériques) que l’on a 4π uj ui dΩ =
4π/3 δij , et que 4π uj ui uk dΩ = 0. A l’approximation P1 , la composante j de l’équation (6.2)
se réécrit donc sous la forme :
1∂
4π ∂ 0
L (r, t)
qj (r, t) + [µa + µd (1 − g)] qj (r, t) = −
c ∂t
3 ∂xj ω
(6.4)
On a donc finalement, en notation vectorielle, et tenant compte du lien entre Uω et L0ω :
1∂
c
qω (r, t) + [µa + µd (1 − g)] qω (r, t) = − ∇Uω (r, t)
c ∂t
3
(6.5)
Dans de nombreux cas, le terme en (∂/∂t)qω (r, t) est négligeable devant les autres termes.
Pour s’en convaincre, il sufffit de comparer les deux termes 1/c (∂/∂t)qω et [µa + µd (1 − g)] qω .
Si τ est le temps caractéristique de variation du flux, et q l’ordre de grandeur du vecteur
flux radiatif, l’ordre de grandeur du premier terme est q/(c τ ), et celui de second terme est
[µa + µd (1 − g)] q ∼ q/`tr (pour un milieu peu absorbant). Le premier terme est donc négligeable
si la condition `tr c τ est vérifiée. Même pour `tr de quelques mm (comme dans les tisus
biologiques), la condition est vérifiée tant que τ > 0, 1 ns.
En négligeant le terme en (∂/∂t)qω (r, t) dans l’Eq. (6.5), on obtient un vecteur flux radiatif
proportionnel au gradient de la densité d’énergie :
qω (r, t) =
−c
∇Uω (r, t) = −D ∇Uω (r, t)
3[µa + µd (1 − g)
(6.6)
où l’on a fait apparaı̂tre le coefficient de diffusion photonique D. Cette expression du flux a la
forme de la loi de Fourier (ou de la loi de Fick ou de la loi d’Ohm). On a donc obtenu une loi de
diffusion pour le transport de la densité d’énergie lumineuse dans un milieu fortement diffusant.
Notons que lorsque µa µd (1 − g) (milieu beaucoup plus diffusant qu’absorbant, ce qui est une
condtion de validité de l’approximation P1 ) le coefficient de diffusion photonique est donné par
D = (1/3) c `tr . Cette expression est caractéristique des lois de diffusion en géométrie 3D. On
la retrouve dans les processus de marche aléatoire de vitesse de transport c et de pas moyen `tr .
6.2.4
Equation de diffusion
Une fois la relation ci-dessus obtenue, il est aisé de montrer que la densité d’énergie Uω obéit à
une équation de diffusion. Il suffit pour cela de reporter l’expression (6.6) dans l’équation locale
de conservation de l’énergie (6.1). En négligeant là-aussi le terme en (∂/∂t)qω (r, t), on obtient
l’équation de diffusion :
∂
Uω (r, t) − D ∆Uω (r, t) + µa c Uω (r, t) = 0
∂t
43
(6.7)
Nous venons donc d’établir qu’à la limite des grandes échelles L `tr et τ `tr /c, L étant la
taille caractéristique du système et τ le temps caractéristique d’observation du flux d’énergie, la
densité d’énergie radiative dans un milieu diffusant obéit à une équation de diffusion (du même
type que l’équation de la chaleur). Le flux d’énergie est dans ce cas proportionnel au gradient de
densité d’énergie. Cette équation de transport, beaucoup plus simple à manipuler que l’ETR, est
à la base de nombreuses techniques d’imagerie des milieux diffusants (pour le dimensionnement
des systèmes et l’analyse quantitative des signaux mesurés).
6.3
Un exemple de comportement diffusif : conductance radiative
On s’intéresse à la propagation de la lumière à travers une couche plane d’épaisseur L de milieu
fortement diffusant et non absorbant. La couche est comprise entre les plans z = 0 et z = L.
Elle est éclairée en régime stationnaire par une onde plane en incidence normale. On suppose
`d L (diffusion multiple, faisceau balistique éteint en transmission) et `tr L (approximation
de la diffusion valable).
La densité d’énergie dans le milieu vérifie l’équation de la diffusion ∆U = 0 (on suppose
l’éclairement monochromatique mais on supprime les indices ω pour alléger les notations). Dans
cette géométrie, U ne dépend que de z. On a donc en fait :
d2 U
=0
dz 2
ce qui donne
−q
dU
= cte =
dz
D
où q est la composante selon z du vecteur flux radiatif (c’est donc le flux par unité de surface
qui traverse le milieu). En intégrant une seconde fois, on peut exprimer le flux Φ (puissance en
W) qui traverse une section S de la couche normale à l’axe z :
DS
[U (z = 0) − U (z = L)]
L
Par analogie avec la loi d’Ohm, on peut définir la conductance G (inverse de la résistance) par
Φ = qS =
DS
`tr
∝S
L
L
On voit que la conductance décroı̂t en 1/L, ce qui est une caractéristique du régime diffusif
(régime ohmique en électronique, dans lequel la résistance croı̂t comme L). Notons que le calcul
du flux transmis T nécessite de déterminer U (z = 0) et U (z = L) en fonction du flux véhiculé par
l’onde incidente. Ceci nécessite de traiter la question des conditions aux limites aux interfaces
entre le milieu diffusant et l’extérieur, ce qui n’est pas immédiat en approximation de la diffusion.
Ce problème est traité dans l’Annexe B.
G=
La loi de décroissance en 1/L de la conductance explique pourquoi un milieu fortement diffusant
observé en réflexion apparaı̂t blanc en lumière naturelle. Si le milieu est tel que L `tr
pour toutes les longueurs d’onde du spectre visible, et que l’absorption est négligeable, alors
la majeure partie de l’énergie est réfléchie, avec une luminance quasi-isotrope. On a donc une
lumière blanche diffuse en réflexion. C’est ce qui se passe avec la neige, un nuage, un verre de
lait ou une feuille de papier.
44
Partie III
Speckle
45
Chapitre 7
Statistique de l’intensité
Lorsqu’on éclaire un milieu désordonné figé (de telle sorte qu’on ne s’intéresse qu’à une seule
réalisation du désordre) par une faisceau de lumière cohérente, on observe sur un écran placé
en champ lointain une répartition très chahutée d’intensité. Un exemple de figure obtenue, dite
figure de speckle, est représenté sur la Fig. 7.1.1 L’analyse détaillée d’une figure de speckle particulière, correspondant à une réalisation donnée d’un milieu désordonné, est sans intérêt et souvent hors de portée. On a recours à une étude des propriétés statistiques des figures de speckle.
Nous allons voir que certaines propriétés sont même universelles, c’est-à-dire indépendantes des
caractéristiques microscopiques du système observé.
Laser
Figure 7.1: Figure de speckle générée en éclairant une tranche de milieu diffusant à l’aide d’un
faisceau de lumière cohérent.
7.1
Modèle de speckle pleinement développé
Pour analyser la distribution de l’intensité dans une figure de speckle, on suppose que l’on mesure
l’intensité I(r) du champ en un point. Lorsque l’on décrit le milieu désordonné à l’aide d’un ensemble statistique de réalisations du désordre, I(r) est une variable aléatoire, dont on peu étudier
les propriétés statisitiques (moyenne, écart-type, etc). Moyennant l’hypothèse d’ergodicité, ces
1
La dénomination française correcte est figure de tavelure, mais ce mot est peu utilisé en pratique.
46
prédictions peuvent être comparées aux propriétés statistiques obtenues à partir d’une seule
figure de speckle (obtenue pour un échantillon donné) en effectuant des moyennes spatiales.
Nous considérons le cas d’une onde scalaire monochromatique (par exemple onde acoustique ou
une composante du champ électromagnétique). Le champ en un point r de la figure de speckle
s’écrit :
E(r, t) = Re[E(r) exp(−iωt)]
Ce champ résulte de la superposition d’un grand nombre d’ondes issues du milieu, et ayant suivi
toutes les séquences de diffusion possible par les différentes particules composant le milieu, et
aboutissant au point r. On écrit alors l’amplitude complexe sous la forme :
E(r) =
∞
X
X
ACn (r) exp[iφCn (r)]
(7.1)
n=1 r1 ,r2 ...rn
Dans cette écriture, on définit une séquences de diffusion (un “chemin” de diffusion) par la donnée
du nombre d’événements de diffusion n et des positions des particules diffusantes {r1 , r2 ...rn }.
On a noté ACn (r) l’amplitude résultant de la diffusion par les n particules d’une séquence particulière aboutissant au point r, et φCn (r) la phase accumulée le long de cette séquence. Afin de
simplifier l’écriture, on peut utiliser la notation condensée
X
E(r) =
AC (r) exp[iφC (r)]
(7.2)
C
où l’indice C désigne un chemin de diffusion quelconque.
Dans un système désordonné, les amplitudes AC (r) et les phases φC (r) sont décrites par des
variables aléatoires. Dans le modèle de speckle pleinement développé, on suppose que le désordre
est suffisant pour que les trois conditions suivantes soient satisfaites :
1. Les phase φC (r) sont uniformément distribuées sur [−π, +π] ;
2. Pour un chemin donné, les AC (r) et les φC (r) sont des variables aléatoires non corrélées ;
3. Les amplitudes AC (r) et les phase φC (r) sont décorrélées des amplitudes AC 0 (r) et des
phases φC 0 (r) lorsque les deux chemins C et C 0 sont différents.
7.2
Densité de probabilité de l’intensité
Les sommes de variables aléatoires de la forme (7.2), que l’on appelle random phasor sums dans
la littéature anglo-saxonne, ont des propriétés statistiques bien connues [11]. En particulier,
lorsque le nombre de termes est très grand, le théorème centrale limite permet de montrer que
la partie réelle et la partie imaginaire de l’amplitude complexe résultante E(r) ont des densités
de probabilité gaussiennes. A partir de ces densités de probabilité, on peut déduire celle de
l’amplitude A(r) = |E(r)|. On obtient :
A
A2
p(A) = 2 exp − 2
pour A > 0
(7.3)
σ
2σ
2 = σ 2 la variance de la partie réelle ou de la partie imaginaire de E(r) (ces deux
avec σ 2 = σR
I
variances sont égales avec nos hypothèses).
47
Pour passer à la statistique de l’intensité, on utilise le fait que I = A2 . On a donc par changement
de variable :
√ dA
√
1
p(I) = p(A = I)
(7.4)
= √ p(A = I)
dI
2 I
A partir de (7.3), on obtient donc :
p(I) =
1
I
pour I > 0
exp −
hIi
hIi
(7.5)
où hIi = 2σ 2 est l’intensité moyenne de la figure de speckle. Cette loi, dite statistique de
Rayleigh, est caractéristique des speckles pleinement développés. Notons que la valeur la plus
probable de l’intensité est zéro.
7.3
Contraste de speckle
Afin de caractériser le contraste d’une figure de speckle, nous allons calculer l’écart-type ∆I de
l’intensité, tel que (∆I)2 = hI 2 i − hIi2 . On appelle contraste de speckle le rapport ∆I/hIi. Le
moment d’ordre 2 de l’intensité s’obtient facilement à partir de la densité de probabilité, avec
une intégration par partie :
Z
∞
hI 2 i =
I 2 p(I) dI = 2 hIi2
(7.6)
∆I
=1
hIi
(7.7)
0
On obtient alors le résultat remarquable :
Une figure de speckle pleinement développé est donc très contrastée. les fluctuations de l’intensité
sont de l’ordre de la valeur moyenne, ce qui montre que l’intensité passe souvent par zéro.
Il est possible de calculer les moments d’ordres supérieurs de la statistique de Rayleigh. On
obtient la relation générale hI p i = p! hIip .
Notons que cette statistique s’applique à une onde scalaire, ou à la lumière polarisée (on n’observe
dans ce cas qu’une composante du champ électromagnétique). Dans le cas de la lumière non polarisée, on a deux composantes indépendantes du champ électromagnétiques et la loi de Rayleigh
doit être modifiée [10].
7.4
Corrélation angulaire de l’intensité. Effet mémoire
Afin de caractériser la distribution angulaire de l’intensité 2 , on peut s’intéresser à la corrélation
entre l’intensité émergeant dans la direction kb pour un éclairement par une onde plane incidente
dans la direction ka , notée I(ka , kb ), et l’intensité émergeant dans la direction k0b pour un
éclairement dans la direction k0a , notée I(k0a , k0b ) (voir figure 7.2). Pour simplifier les écritures,
on notera avec des lettres majuscules les vecteurs projetés dans un plan perpendiculaire à l’axe
Oz, par exemple ra = (Ra , z = 0), rb = (Rb , z = L), ka = (Ka , qa ), etc.
2
Cette distribution angulaire est celle qui est observée en champ lointain, ou en pratique dans le plan focal
image d’une lentille convergente.
48
ka
kb
ra
rb
r’a
r’b
k’a
Z=0
Z=L
k’b
Z
Figure 7.2: Géométrie pour le calcul de la fonction de corrélation angulaire de l’intensité dans
une figure de speckle.
On introduit alors la fonction de corrélation des fluctuations de l’intensité (on note δI = I − hIi
la fluctuation d’intensité) :
CI (∆Ka , ∆Kb ) = hδI(ka , kb ) δI(k0a , k0b )i
(7.8)
On a noté ∆Ka = Ka − K0a et ∆Kb = Kb − K0b . Dans l’hypothèse où le champ est à statistique
gaussienne (ce qui est vrai pour un speckle pleinement développé), la fonction de corrélation de
l’intensité est reliée à celle du champ par la relation de Siegert (admise) :
CI (∆Ka , ∆Kb ) = |hE(ka , kb ) E ∗ (k0a , k0b )i|2
(7.9)
où ∗ désigne le complexe conjugué. Le problème est donc ramené au calcul de la fonction de
corrélation angulaire de l’amplitude complexe du champ CE (∆Ka , ∆Kb ) = hE(ka , kb ) E ∗ (k0a , k0b )i.
7.4.1
Expression générale de la fonction de corrélation angulaire du champ
Pour faire ce calcul, on raisonne sur les chemins de diffusion, tels qu’ils ont été définis précédemment.
On considère toutes les séquences de diffusion possibles pour une onde entrant en ra et sortant
en rb (ou entrant en r0a et sortant en r0b ), puis on somme sur tous les points d’entrée ra , r0a et de
sortie rb , r0b . On écrit alors :
Z
Z
X
CE =
hAab Aa0 b0 exp(iφab −φa0 b0 ) exp(ikb ·rb −ika ·ra −ik0b ·r0b +ik0a ·r0a )i d2 Ra d2 Rb
z=0
z=L C ,C 0 0
ab a b
(7.10)
Dans cette expression, les intégrales sur d2 Ra et d2 Rb sont étendues, respectivement, au plan
z = 0 et au plan z = L. La somme est étendue à tous les chemins de diffusion allant de ra à
rb et de r0a à r0b . On a noté Aab l’amplitude en sortie de l’onde ayant suivi le chemin (ab) (un
chemin particulier allant de ra à rb ) et φab la phase accumulée le long de ce chemin.
Dans un milieu désordonné vérifiant `d λ, on peut faire l’hypothèse que deux chemins
différents donnent des champs non corrélés en phase, et que pour un chemin donné, la phase
et l’amplitude sont décorrélées (ces hypothèses sont celles utilisées dans le modèle de speckle
pleinement développé). On peut donc simplifier l’expression :
Z
Z
X
CE =
hA2ab i exp[i(Kb − K0b ) · Rb − i(Ka − K0a ) · Ra ] d2 Ra d2 Rb
(7.11)
z=0
z=L C
ab
49
P
Les terme Cab hA2ab i peut s’écrire sous la forme E02 P (Ra , Rb ), où E0 est l’amplitude de l’onde
plane incidente et P (Ra , Rb ) est la fraction de l’intensité qui, en moyenne, sort en Rb en
provenant d’une source d’intensité unité placée en Ra . Cette grandeur peut s’obtenir en résolvant
une équation de transport de l’intensité moyenne. Dans l’hypothèse L `tr , on peut utiliser
l’approximation de la diffusion que nous avons décrite au chapitre 6. Pour un système invariant
par translation dans les directions Ox et Oy, comme la couche de la figure 7.2, cette fonction
ne dépend que de Ra − Rb . On a donc :
Z
Z
2
CE = E0
P (Ra − Rb ) exp[i(Kb − K0b ) · Rb − i(Ka − K0a ) · Ra ] d2 Ra d2 Rb
(7.12)
z=0
z=L
Pour simplifier cette expression, on peut effectuer le changement de variable (de Jacobien unité) :
Ra + Rb
2
X
Rb = R −
2
X = Ra − Rb R =
Ra = R +
X
2
On obtient :
Z
Z
2
2
0
0
CE = E0 P (X) exp[−i(Ka −Ka +Kb −Kb )·X/2] d X × exp[−i(Ka −K0a −Kb +K0b )·R] d2 R
(7.13)
La première intégrale est la transformée de Fourier de P (X), que nous noterons P̃ (K), pour la
valeur K = (∆Ka + ∆Kb )/2. La deuxièmes intégrale est la distribution de Dirac 4π 2 δ(∆Ka −
∆Kb ). On a donc finalement :
CE (∆Ka , ∆Kb ) = 4π 2 E02 P̃ (∆Ka ) δ(∆Ka − ∆Kb )
(7.14)
Ce résultat montre que la fonction de corrélation angulaire du champ n’est non nulle que si
∆Ka = ∆Kb . De plus, lorsque |∆Ka | augmente, la portée de la corrélation est donnée par
P̃ (∆Ka ). Il nous reste donc à évaluer cette fonction.
7.4.2
Expression de la probabilité de transport P (Ra − Rb )
Si l’on note F (R − R0 , z, z 0 ) le propagateur de l’équation de diffusion dans la géométrie de
couche plane de la Fig. 7.2, la probabilité de transport de photons du point R0 au point R situés
respectivement sur les interfaces d’entrée et de sortie de la couche s’écrit :
F (R − R0 , z = L, z 0 = 0)
P (R − R0 ) = R
F (X, z = L, z 0 = 0) d2 X
(7.15)
Dans le domaine de Fourier, cela donne :
P̃ (K) =
F̃ (K, z = L, z 0 = 0)
F̃ (K = 0, z = L, z 0 = 0)
(7.16)
Le propagateur de l’équation de la diffusion dans une couche plane peut se calculer analytiquement [12]. Dans le cas d’une couche non absorbante et dans le régime L `lr , on obtient
(admis) :
1 sinh(Kz 0 ) sinh[K(L − z)]
F̃ (K, z, z 0 ) =
(7.17)
D
K sinh(KL)
50
avec la notation K = |K|. Un passage à la limite z → L et z 0 → 0 permet d’obtenir à partir de
(7.16) :
KL
P̃ (K) =
(7.18)
sinh(KL)
En utilisant (7.14) et (7.18), on exprime donc la fonction de corrélation angulaire du champ
explicitement :
CE (∆Ka , ∆Kb ) = 4π 2 E02
∆Ka L
δ(∆Ka − ∆Kb )
sinh(∆Ka L)
(7.19)
La fonction de corrélation angulaire de l’intensité, qui est en général la grandeur mesurée, se
déduit de (7.9). On utilise habituellement la notation suivante :
∆Ka L 2
δ∆Ka ,∆K
CI (∆Ka , ∆Kb ) ∝ b
sinh(∆Ka L) (7.20)
Cette écriture met en évidence le terme qui pilote l’amplitude de la fonction de corrélation des
fluctuations d’intensité, et le symbole δ∆Ka ,∆Kb rappelle que cette corrélation n’existe que si
∆Ka = ∆Kb . Cette fonction de corrélation décrit ce qui est habituellement appelé l’”effet
mémoire”. En effet, elle signifie que si l’on change l’angle d’incidence en passant de Ka à
K0a = Ka + ∆Ka , alors la figure de speckle observée en K0b = Kb + ∆Ka reste corrélée à celle qui
était initialement observée en Kb (la figure de speckle donne l’impression de se dépalcer en bloc,
sans trop se déformer). Ceci n’est vrai que si l’amplitude de la fonction de corrélation ne chute
pas trop vite lorsque ∆Ka = |∆Ka | augmente. Dès que la condition ∆Ka L 1 est vérifiée, on
a CI (∆Ka , ∆Kb ) ∼ exp(−2∆Ka L), ce qui montre qu’il s’agit finalement d’une corrélation de
courte portée.
7.5
Taille du grain de speckle
Dans une figure de speckle comme celle de la Fig. 7.1, on observe une structure granuleuse formée
de taches sombres et de taches brillantes. On peut essayer de caractériser la taille typique d’une
tache brillante (ou sombre), communément appelée “grain” de speckle.
Cette taille typique peut à nouveau se mesurer à partir d’une corrélation d’intensité (et donc
de champ dans le cas du speckle pleinement développé à statistique gaussienne). Cette fois,
nous allons considérer une seule direction d’incidence, mais avec un faisceau de taille finie, puis
nous allons calculer la fonction de corrélation angulaire du champ résultant en transmission (qui
correspond à une corrélation spatiale si l’on se place en champ lointain ou dans le plan focal
d’une lentille).
Pour décrire cette fonction de corrélation, on repart de l’Eq. (7.12)
Z
Z
2
CE = E0
P (Ra , Rb ) exp[i(Kb − K0b ) · Rb − i(Ka − K0a ) · Ra ] d2 Ra d2 Rb
z=0
(7.21)
z=L
mais en tenant compte du fait que le faisceau incident est de taille finie. On écrit alors la
probabilité de transport sous la forme
F (Rb − Ra , z = L, z 0 = 0)
P (Ra , Rb ) = H(Ra ) R
= H(Ra ) F 0 (Rb − Ra , z = L, z 0 = 0)
F (X, z = L, z 0 = 0) d2 X
51
(7.22)
où la fonction H(Ra ) décrit la forme du faisceau incident centré en Ra (par exemple un disque
ou une gaussienne). On notera W la taille caractéristique du faisceau (c’est-à-dire le support de
la fonction H). On a noté F 0 le propagateur de l’équation de diffusion normalisé pour alléger
l’écriture. En insérant (7.22) dans (7.21), on obtient en effectuant les transformées de Fourier :
CE (∆Ka , ∆Kb ) = E02 F̃ 0 (∆Kb ) H̃(∆Kb − ∆Ka )
(7.23)
Pour déterminer la taille du grain speckle, il faut déterminer la largeur de cette fonction quand
la direction d’observation Kb change, et pour un Ka fixé (un angle d’incidence fixé). Il faut
donc étudier la largeur de CE considérée comme une fonction de ∆Kb , et pour ∆Ka = 0.
Pour une couche plane d’épaisseur L `tr , la résolution de l’équation de diffusion montre que
la fonction F (Rb − Ra , z = L, z 0 = 0) génère en sortie une tache de largeur L. La fonction H a
elle une largeur W .
Dans le cas W L (éclairement pas un faisceau étendu), c’est donc H̃(∆Kb ) qui pilote la
largeur angulaire de la fonction de corrélation. Cette largeur angulaire est alors ∆Kb ∼ 2π/W .
Si on observe dans le plan focal d’une lentille de distance focale f , la taille du grain de speckle
est ∆R ∼ f λ/W . Dans le cas W L (faisceau focalisé), c’est la fonction F̃ 0 (∆Kb ) qui pilote la
largeur de la fonction de corrélation. On a alors ∆Kb ∼ 2π/L et une taille de grain de speckle
∆R ∼ f λ/L.
52
Chapitre 8
Diffusion dynamique de la lumière
Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la diffusion de la lumière par un ensemble de particules
en mouvement. Un système typique est une suspension colloı̈dale de particules en mouvement
Brownien. Un autre exemple est un tissu biologique en présence d’un écoulement sanguin. Dans
une telle situation, le champ diffusé (et son intensité) fluctuent dans le temps, principalement
parce que les déphasages induits par les particules diffusantes changent au cours du temps.
Nous allons montrer que les fluctuations de champ ou d’intensité portent de l’information sur
la dynamique du système. Les techniques de diffusion dynamique de la lumière permettent par
exemple de mesurer le coefficient de diffusion Brownien de particules dans un fluide, ou encore de
détecter un changement de vitesse d’écoulement sanguin dans un tissu. Elles sont très utilisées
pour l’étude de la matière molle, et commencent à donner lieu à des applications biomédicales.
8.1
Régime de diffusion simple
On utilise souvent l’appellation “diffusion dynamique de la lumière” pour le régime de diffusion
simple, même si le terme est plus général (on parle aussi de “diffusion quasi-élastique de la
lumière”) [13]. La situation de diffusion simple est représentée sur la Fig. 8.1. Entre les instants
kf
ki
E(t)
Δr(τ)
Z=0
Z=L
E(t+τ)
θ
Z
Figure 8.1: Diffusion dynamique de la lumière. On note ∆r(τ ) le déplacement d’une particule
entre les instants t et t + τ . Ce déplacement induit un déphasage entre les champs diffusés E(t)
et E(t + τ ).
t et t + τ , les particules se déplacent de ∆r(τ ). La lumière diffusée dans une direction définie
53
par le vecteur d’onde kf est la superposition des ondes diffusées par chaque particule. Les
déplacements induisent des déphasages différents pour chaque particule, de telle sorte que cette
superposition donne une amplitude complexe E(t) qui change (fluctue) au cours du temps 1 .
Afin de caractériser ces fluctuations, nous allons nous intéresser à la fonction de corrélation
G1 (τ ) = hE(t) E ∗ (t + τ )i où h...i désigne la moyenne sur les mouvements des particules. En
régime de diffusion simple, on a donc :
G1 (τ ) = hE(t) E ∗ (t + τ )i = |E0 |2 h exp[−i(kf − ki ) · ∆r(τ )] i
(8.1)
où E0 est l’amplitude de l’onde plane incidente et ki son vecteur d’onde. En introduisant le
vecteur d’onde de diffusion q = kf − ki , l’expression devient
G1 (τ ) = |E0 |2 h exp[−iq · ∆r(τ )] i
(8.2)
La moyenne porte ici sur la variable aléatoire ∆r(τ ). Cette moyenne va donc dépendre du type
de mouvement considéré. Dans le cas du mouvement Brownien, la distribution est gaussienne :
1
−(∆r)2
P (∆r) =
(8.3)
exp
4DB τ
(4π DB τ )3/2
où DB est le coefficient de diffusion des particules Browniennes. La moyenne dans l’expression
(8.2) s’effectue analytiquement pour donner :
G1 (τ ) = |E0 |2 exp(−DB q 2 τ )
(8.4)
Le module de l’angle de diffusion est q = 2 k sin(θ/2), où θ est l’angle de diffusion défini sur la
Fig. 8.1 et k = ω/c = 2π/λ est le module du vecteur d’onde de la lumière incidente.
Cette relation montre qu’à partir d’une mesure de G1 (τ ), on peut remonter au coefficient de
diffusion du mouvement Brownien DB . Pour des particules sphériques, on peut le relier directement à la taille des particules. Ce type de mesures est très utilisé en matière molle, par exemple
pour l’étude des colloı̈des ou des mousses. Notons qu’en pratique, on mesure souvent la fonction
de corrélation de l’intensité G2 (τ ) = hI(t) I(t + τ )i, avec I(t) = |E(t)|2 . Dans le cas d’un champ
à statistique gaussienne, la relation de Siegert s’applique [13], et on a G2 (τ ) ∝ |G1 (τ )|2 .
8.2
Régime de diffusion multiple
Les techniques de diffusion dynamique de la lumière ont été étendues au régime de diffusion
multiple à la fin des années 1980. On parle de “spectroscopie des ondes diffuses” (DiffusingWave Spectroscopy ou DWS en anglais). Dans ce régime, on observe un speckle dynamique,
c’est-à-dire que la figure de speckle fluctue sans cesse du fait des mouvements des particules.
On peut alors mesurer les fluctuations de l’intensité en un point donné (ou dans une direction
donnée) et essayer de relier ces fluctutions à des paramètres qui caractérisent la dynamique du
milieu (par exemple DB dans le cas du mouvement Brownien).
Comme dans le chapitre précédent, nous allons raisonner sur des séquences (ou chemins) de
diffusion, comme représenté sur la Fig. 8.2. Le champ E(t) sortant du milieu dans une direction
1
Nous faisons l’hypothèse que ces fluctuations sont lentes devant 2π/ω, où ω est la fréquence optique de
la lumière incidente monochromatique. La notation E(t) désigne donc l’amplitude complexe modulée par ces
fluctuations lentes (hypothèse de champ quasi-monochromatique).
54
E(t+τ)
E(t)
kf
ki
Z=0
Z=L
Z
Figure 8.2: Représentation schématique des champs issus d’une séquence de diffusion multiple
à deux instants différents. Les phases accumulées le long du chemin aux deux instants sont
différentes, du fait du déplacement des particules.
donnée est la superposition des champs produits par chaque séquence de diffusion :
E(t) =
∞
X
X
ACn (t) exp[iφCn (t)]
(8.5)
n=1 r1 (t),r2 (t)...rn (t)
Dans cette expression, on somme sur tous les chemins Cn = {r1 (t), r2 (t)...rn (t)} contenant n
événements de diffusion, et sur le nombre n d’événements de diffusion. La fonction de corrélation
temporelle du champ G1 (τ ) = hE(t)E ∗ (t + τ )i s’écrit alors :
XXXX
ACn (t)AC 0 0 (t) h exp[iφCn (t)] exp[−iφC 0 0 (t + τ )] i
(8.6)
G1 (τ ) =
n
Cn
n0
n
0
Cn
0
n
Dans cette expression, nous avons considéré que seule la phase est affectée par le mouvement
des particules. Afin de la simplifier, nous allons utiliser l’hypothèse de milieu dilué (`d λ),
qui permet de négliger les corrélations de phase entre deux chemins différents. On a donc :
XX
G1 (τ ) =
A2Cn (t) h exp[iφCn (t)] − iφCn (t + τ )] i
(8.7)
n
Cn
Il reste donc à évaluer la moyenne du terme de phase pour un chemin donné. On peut considérer
le chemin Cn comme une succession de n diffusions simples et utiliser le résultat de la section
précédente établi pour le cas du mouvement Brownien :

+
*
n
XX
X
G1 (τ ) =
A2Cn (t) exp −DB τ
qj2 
(8.8)
n
Cn
j=1
Nous avons introduit le module qj du vecteur de diffusion correspond à l’événement de diffusion
numéro j. La moyenne qui reste à effectuer est donc celle des qj2 . Le résultat étant indépendant
du chemin particulier Cn considéré, il est utile d’introduire
P (n), fraction de l’énergie incidente
P
2 . On peut alors réécrire l’équation
qui a subi n diffusions, telle que |E0 |2 P (n) =
A
Cn C n
précédente sous la forme :

+
*
n
X
X
G1 (τ ) = |E0 |2
P (n) exp −DB τ
qj2 
(8.9)
n
j=1
55
Afin d’obtenir une expression analytique de la moyenne (qui fait intervenir a priori les angles de
diffusion de chaque diffusion élémentaire), on a recours à une évaluation simplifiée de la moyenne
de l’exponentielle :

+
*
*
+
n
n
X
X
exp −DB τ
qj2 
'
1 − DB τ
qj2
(8.10)
j=1
j=1
= 1 − DB τ
= 1−
n
X
hqj2 i
j=1
n DB τ hqj2 i
' exp(−n DB τ hqj2 i)
(8.11)
(8.12)
(8.13)
Il reste à évaluer hqj2 i. Si θ est l’angle de diffusion, on a hqj2 i = 2k 2 h1−cos θi = 2k 2 (1−g) où g est
le facteur d’anisotropie défini comme la valeur moyenne angulaire de cos θ pour la diffusion par
une particule (equation 5.15 du chapitre 5). En utilisant les libres parcours moyen de diffusion
et de transport, on a aussi hqj2 i = 2k 2 `d /`tr . Finalement, la fonction de corrélation temporelle
du champ s’écrit :
X
2
2 `d
n DB τ
(8.14)
G1 (τ ) = |E0 |
P (n) exp −2k
`tr
n
Plutôt que d’utiliser cette expression, on passe en général à la limite du continuum, en introduisant la longueur d’un chemin s = n`d et la probabilité P (s) ds d’avoir une chemin de longueur
s. On a finalement :
Z ∞
τ s
2
G1 (τ ) = |E0 |
P (s) exp −2
(8.15)
ds
τ0 `tr
0
avec τ0 = (k 2 DB )−1 . Cette expression est à la base de toutes les techniques de diffusion
dynamique de la lumière en régime de diffusion multiple (régime de DWS). Bien qu’approchée,
elle décrit remarquablement les données lorsque le transport s’effectue en régime diffusif. Pour
une géométrie couche plane, on peut évaluer l’intégrale analytiquement, ce qui permet de disposer
d’expressions pratiques pour interpréter les mesures.
56
Annexe A
Exemples de fonction de phase
A.1
Dépendance angulaire
Nous avons suppoosé que la fonction de phase ne dépend que de l’angle relatif entre les deux
directions u et u0 . On a donc :
p(u, u0 ) = p(u · u0 ) = p(cos Θ)
A.2
Fonction de phase constante
La plus simple des fonctions de phase est celle qui est constante : p(cos Θ) = 1. La diffusion est
isotrope, le facteur d’anisotropie g vaut exactement 0.
A.3
Fonction de phase de Rayleigh
Si la particule est non absorbante, très petite devant la longueur d’onde de l’onde incidente
(particule dite de Rayleigh), elle se comporte comme un dipôle électrique. Dans le cas où l’onde
incidente est non polarisée, la fonction de phase est alors :
3
p(cos Θ) = (1 + cos2 Θ)
4
A.4
(A.1)
Fonction de phase de Henyey-Greenstein
Un modèle très utilisé est celui de la fonction de phase de Henyey-Greenstein. Cette fonction
ne dépend que des deux paramètres cos Θ et g :
1 − g2
p(cos Θ) = p
(1 + g 2 − 2 g cos Θ)3
(A.2)
En particulier, cette fonction de phase obéit à la normalisation définie par l’équation (5.8). Bien
que cette fonction ait été introduite pour des raisons pratiques (sans justification fondamentale
57
mais parce que sa forme donne des comportements réalistes), elle est un bon modèle pour la
propagation dans les tissus biologiques (pour lesquels g ∼ 0, 9).
A.5
Fonction de phase de Mie
La théorie de Mie consiste en la résolution exacte de la diffusion d’une onde plane électromagnétique
par une particule sphérique, homogène et optiquement isotrope. Si l’on connaı̂t l’indice de la
particule (np ), l’indice du milieu hôte (nh ), le rayon de la particule (r), la longueur d’onde de
l’onde incidente dans le milieu hôte (λ = λ0 /nh ), alors la théorie de Mie nous fournit les sections
efficaces d’extinction, de diffusion et d’absorption d’une particule, l’albédo (a), la fonction de
phase (p(cos Θ)) et le paramètre d’anisotropie (g), en fonction du paramètre de taille des particules (X = 2πr/λ). Ces propriétés sont celles d’une particule. Dans un milieu dilué (diffusion
indépendante), on peut en déduire les propriétés de diffusion d’un élément de volume. Pour la
fonction de phase, si les particules sont identiques, la fonction de phase est directement celle
d’une particule isolé. Sinon, il faut moyenner sur les différents types de particules.
A.6
Développement sur les polynômes de Legendre
Dans le cas général, la fonction de phase pν (cos Θ) peut être développée sur la base des polynômes
de Legendre :
∞
X
p(cos Θ) =
an Pn (cos Θ)
(A.3)
n=0
Les an sont les coefficients de développement et les Pn (cos Θ) sont les polynômes de Legendre
de degré n. La série converge en un nombre fini de terme selon la précision voulue. Le nombre
de termes sera déterminé par l’anisotropie de la fonction de phase. Plus elle est anisotrope, plus
il faudra de termes dans le développement.
En utilisant la normalisation de la fonction de phase, et la définition du paramètre d’anisotropie
g, on montre que l’on a a0 = 1 et a1 = 3g. Dans le cas de la fonction de phase de HenyeyGreenstein, on peut déterminer les an à tous les ordres. On obtient an = (2n + 1) g n .
58
Annexe B
Conditions aux limites en
approximation de la diffusion
Nous allons traiter la question des conditions aux limites à une interface plane séparant un milieu
diffusant d’un milieu extérieur non diffusant (par exemple le vide ou l’air). Pour garder la plus
grande généralité, nous allons considérer le cas où l’interface est éclairée par une onde plane
incidente (voir figure). Au voisinage de l’interface a donc lieu la conversion de l’onde incidente
en onde diffuse, sur une épaisseur de l’ordre de la longueur d’extinction (µs + µa )−1 .
θ
I0
Z
Z=0
Figure B.1: Géométrie considérée pour l’établissement des conditions aux limites en approximation de la diffusion. Une interface plane sépare deux milieux semi-infinis de même indice optique
n = 1. Le milieu z > 0 est diffusant, et le milieu z < 0 est non diffusant. L’interface z = 0 est
éclairée par une onde plane monochromatique, d’intensité I0 (W.m−2 ).
B.1
Equation de la diffusion avec éclairement collimaté
Nous avons vu au chapitre 5 que la luminance diffuse obéit à l’ETR avec un terme source
provenant de l’onde collimatée (Eq. 5.13). En régime stationnaire, et tenant compte du fait que
59
dans la géométrie considérée ici la luminance ne dépend que de z et de la direction u, on a :
Z
∂
µs
u·
p(u · u0 ) Ldiff (z, u0 ) dΩ0
Ldiff (z, u) ez = −(µa + µs ) Ldiff (z, u) +
∂z
4π 4π
µs
+ p(u · ez ) Lbal (z)
(B.1)
4π
On a ici Lbal (z) = Icoll (z) = I0 exp[−(µa + µs )z], où I0 est l’intensité de l’onde plane incidente.
On a noté ez le vecteur unitaire dans la direction de l’axe (Oz).
Il est possible de passer à l’approximation de la diffusion en suivant la démarche du chapitre
6, mais cette fois à partir de l’Eq. (B.1). On obtient alors une équation de la diffusion pour la
densité d’énergie U (z), avec un terme source provenant de l’intensité collimatée :
d2 U (z)
3µs (µa + µ0s )
3µs g(µa + µs )
0
−
3µ
(µ
+
µ
)
U
(z)
=
−
Icoll (z) −
Icoll (z)
a
a
s
dz 2
c
c
(B.2)
On a noté µ0s = µs (1 − g) = 1/`tr (parfois appelé coefficient de diffusion réduit). Le vecteur flux
radiatif s’écrit
dU (z)
µs g
c
+
Icoll (z)
(B.3)
q(z) = q(z) ez = −
0
3(µa + µs ) dz
µa + µ0s
B.2
Conditions aux limites en z = 0
Une manière d’imposer une condition aux limites en z = 0 est d’écrire que le flux diffus entrant
est nul à l’interface [8]. En termes de luminance diffuse, cette condition donne :
Z
Ldiff (z, u) u · ez dΩ = 0 en z = 0
(B.4)
2π
L’intégrale angulaire porte sur le demi-espace pour lequel u · ez > 0. A l’approximation P1, on
a (Eq. B.5) :
c U (z)
3
Ldiff (zu) =
+
q(z) · u
(B.5)
4π
4π
L’insertion de ce développement dans (B.4) conduit à :
Z
Z
c U (z = 0)
3
u · ez dΩ +
q(z = 0) · u u · ez dΩ = 0
(B.6)
4π
4π 2π
2π
En notant cos θ = u · ez , on obtient :
Z
Z
c U (z = 0)
3
cos θ dΩ +
q(z = 0)
cos2 θdΩ = 0
4π
4π
2π
2π
qui donne finalement :
c
U (z = 0) + q(z = 0) = 0
2
En utilisant l’expression du vecteur flux radiatif (B.3), on obtient l’expression de la condition
aux limites en z = 0 :
U (z = 0) −
2
1
dU (z)
2µs g
+
Icoll (z = 0) = 0
3 µa + µ0s dz
c(µa + µ0s )
60
(B.7)
A une interface où aucune onde collimatée ne joue un rôle, on a plus simplement :
U (z = 0) −
2
1
dU (z)
=0
0
3 µa + µs dz
(B.8)
Un moyen d’appliquer cette condition aux limites est d’extrapoler linéairement U (z) à l’extérieur
du milieu. On obtient alors une annulation de la densité d’énergie à une distance z0 = (2/3)(µa +
µ0s )−1 , dite longueur d’extrapolation. Dans le cas où l’absorption est négligeable, on écrit plus
simplement z0 = (2/3) `tr . Imposer U = 0 en z = −z0 est équivalent à imposer (B.8).
61
Références
[1] C.F. Bohren and D.R. Huffman, Absorption and Scattering of Light by Small Particles
(Wiley, New York, 1983).
[2] H.C. van de Hulst, Light Scattering by Small Particles (Dover, New York, 1981).
[3] S. Chandrasekhar, Radiative Transfer (Dover, New York, 1960).
[4] L. Landau and F. Lifchitz, Electrodynamique des Milieux Continus (Editions Mir, Moscou,
1969). Existe aussi en version anglaise plus récente : L. D. Landau, E. M. Lifshitz, and L.
P. Pitaevskii, Electrodynamics of Continuous Media (Pergamon Press, Oxford, 1984).
[5] J. van Bladel, Singular Electromagnetic Fields and Sources (Clarendon, Oxford, 1991).
[6] K.M. Case and P.F. Zweifel, Linear Transport Theory (Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1967).
[7] L.A. Apresyan and Yu A. Kravtsov, Radiation Transfer: Statistical and Wave Aspects
(Gordon and Breach, Amsterdam, 1996).
[8] A. Ishimaru, Wave Propagation and Scattering in Random Media (IEEE Press, Piscataway,
1997).
[9] G.E. Thomas and K. Stamnes, Radiative Transfer in the Atmosphere and Ocean (Cambridge
University Press, Cambridge, 1999).
[10] J. Goodman, Statistical Optics (Wiley, New York, 1985).
[11] J. Goodman, Speckle Phenomena in Optics (Roberts and Company, Greenwood, 2007).
[12] A. Akkermans et G. Montambaux, Physique Mésoscopique des Electrons et des Photons
(EDP Sciences, CNRS Editions, 2004).
[13] P. J. Berne and R. Pecora, Dynamic Light Scattering (Wiley, New York, 1976).
62

Poly 2010-2011 - (paristech.institutoptique.fr) au

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