Cours et exercices (version juillet 2015) - UTC

Transcription

Révision d’algèbre et d’analyse
Chapitre 7 : Intégrales doubles
Équipe de Mathématiques Appliquées
UTC
(Juillet 2015)
5
suivant Ï
Chapitre 7
Intégrales doubles
7.1
7.2
Motivation, définition et calcul de l’intégrale double . . . . . . . . .
Changement de variables dans les intégrales doubles . . . . . . . .
3
20
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
2
chapitre N
section suivante Ï
7.1 Motivation, définition et calcul de l’intégrale double
7.1.1
7.1.2
7.1.3
7.1.4
7.1.5
Intégrale double, motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Définition de l’intégrale sur un rectangle . . . . . . . . . . . .
Calcul de l’intégrale sur un rectangle . . . . . . . . . . . . . .
Définition de l’intégrale double sur un domaine quelconque
Calcul pratique de l’intégrale double . . . . . . . . . . . . . . .
. 4
. 7
. 11
. 14
. 17
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
3
section N
suivant Ï
7.1.1 Intégrale double, motivation
Avant de voir comment se calcule une intégrale double essayons de répondre à la
question : pourquoi calcule-t-on une intégrale double ?
On rappelle que l’intégrale simple correspond à un calcul d’aire.
Si f est une fonction de IR dans IR, alors
Z
b
f (t )d t est égale à l’aire du domaine du
a
plan tO y limité par les droites d’équations t = a , t = b , y = 0 et par la courbe d’équation
y = f (t ).
Si maintenant f est une fonction de IR2 dans IR, si D est un domaine du plan xO y .
Que représente
ZZ
I=
f (x, y)d x d y?
D
– Calcul de volume :
I est la mesure du volume limité par le plan xO y , par le cylindre engendré par une
droite parallèle à Oz s’appuyant sur le contour de D et par la surface z = f (x, y),
comme le montre la figure 7.1.1 .
– Calcul d’aire :
µZ Z
¶
Lorsque, en particulier, f (x, y) = 1, ∀(x, y) ∈ D , cette mesure de volume
dx dy
Sommaire
Concepts
D
correspond à l’aire de D multiplié par 1, ce qui permet de calculer l’aire d’un domaine quelconque du plan par
aire D =
4
ZZ
d x d y.
D
ÏÏ
Exemples
Exercices
Documents
section N
suivant Ï
– Calcul de masse.
Soit une plaque mince dont l’épaisseur est négligeable, on peut la représenter par
un domaine D du plan xO y . Supposons que la masse surfacique est égale à µ(x, y),
alors la masse m de la plaque vaut :
ZZ
m=
D
µ(x, y)d x d y.
Intégrale
double,
motivation
(7.1.1)
– Calcul des coordonnées du centre de gravité d’une plaque.
Les coordonnées (xG , yG ) du centre de gravité du domaine précédent sont données
par
ZZ
ZZ
xG =
1
m
D
xµ(x, y)d x d y, yG =
1
m
yµ(x, y)d x d y
(7.1.2)
D
– Calcul d’un moment d’inertie.
Sous les mêmes hypothèses que précédemment le moment d’inertie d’un domaine
D par rapport à un axe ∆ est défini par
ZZ
I=
D
d (M , ∆)2 µ(x, y)d x d y
où d (M , ∆) est la distance du point M (x, y) (∈ D ) à l’axe ∆.
– etc.....
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
ÎÎ
5
ÏÏ
section N
suivant Ï
Intégrale
double,
motivation
z=f(x,y)
z
y
D
x
Sommaire
Concepts
F IGURE 7.1.1: Représentation de l’intégrale double sur D
ÎÎ
6
Exemples
Exercices
Documents
Î précédent
section N
suivant Ï
7.1.2 Définition de l’intégrale sur un rectangle
Exercices :
Exercice A.1.1
Exercice A.1.2
On rappelle (voir chapitre 3) que l’intégrale d’une fonction f : [a, b] → IR sur le segment [a, b] est construite par passage à la limite quand N → +∞ de
IN = h
N
X
f (ξi ) , h =
i =1
b−a
, a + (i − 1)h ≤ ξi ≤ a + i h ,
N
ou, ce qui est équivalent, par passage à la limite quand h → 0 de
Ih = h
N
X
f (ξi ) , N =
i =1
b−a
.
h
Soit f : [a, b] × [c, d ] → IR, on se propose de définir l’intégrale de f sur le rectangle D =
[a, b] × [c, d ].
La construction de l’intégrale simple reposait sur le calcul d’une aire, celle de l’intégrale double est liée au calcul d’une mesure de volume (cela ne veut pas dire que toutes
les intégrales doubles servent à calculer des volumes !).
7
ÏÏ
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
Î précédent
section N
suivant Ï
Soient N1 et N2 deux entiers donnés, soit
h1 =
Définition de
l’intégrale sur
un rectangle
b−a
d −c
, h2 =
, h = (h 1 , h 2 )
N1
N2
et effectuons (voir la figure 7.1.2) un découpage du rectangle en rectangles élémentaires
ωi j = [a + (i − 1)h 1 , a + i h 1 ] × [b + ( j − 1)h 2 , b + j h 2 ].
On définit alors
Ih =
N1 X
N2
X
h 1 h 2 f (ξi , η j ) , (ξi , η j ) ∈ ωi j .
(7.1.3)
i =1 j =1
Définition 7.1.1. On appelle intégrale double de f sur D et on note
ZZ
I=
f (x, y)d x d y
D
la limite
I = lim I h .
h→0
L’intégrale double représente la mesure du volume limité par les plans {z = 0}, {x = a},
{x = b}, {y = c}, {y = d } et la surface d’équation z = f (x, y), conformément à la figure 7.1.3.
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
ÎÎ
8
ÏÏ
Î précédent
section N
suivant Ï
Définition de
l’intégrale sur
un rectangle
h1
y
d
ηj
h2
c
0
x
a
b
ξi
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
F IGURE 7.1.2: Découpage du rectangle
ÎÎ
9
ÏÏ
Î précédent
section N
suivant Ï
Définition de
l’intégrale sur
un rectangle
z
z=f(x,y)
O
c
d
y
a
D
b
x
F IGURE 7.1.3: Intégrale double sur un rectangle
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
ÎÎ
10
Î précédent
section N
suivant Ï
7.1.3 Calcul de l’intégrale sur un rectangle
Exercices :
Exercice A.1.3
Le volume élémentaire Vi j représenté sur la figure 7.1.4 peut être approché par un
parallélépipède rectangle de volume :
h 1 h 2 f (ξi , η j ).
Il suffit en effet de remplacer la surface non plane d’équation z = f (x, y), limitant le
volume élémentaire dans sa partie supérieure, par la surface plane z = f (ξi , η j ).
Le calcul pratique de l’intégrale double
ZZ
D
f (x, y)d x d y , D = [a, b] × [c, d ], va se rame-
ner au calcul pratique de deux intégrales simples comme on le montre ci-dessous.
I h = h1
N1
X
Ã
i =1
h2
N2
X
!
f (ξi , η j )
Sommaire
Concepts
j =1
soit en passant à la limite quand h = (h1 , h2 ) tend vers 0
Ã
I = lim I h = lim
h→0
N1
X
h 1 →0 i =1
Ã
h 1 lim h 2
h 2 →0
11
N2
X
Exemples
Exercices
Documents
!!
f (ξi , η j )
j =1
ÏÏ
Î précédent
section N
suivant Ï
z
Calcul de
l’intégrale sur
un rectangle
z=f(x,y)
ηj
c
O
d
y
a
ξi
h1
D
b
x
h2
F IGURE 7.1.4: Volume élémentaire Vi j
ou, par définition de l’intégrale simple,
Ã
I = lim
N1
X
h 1 →0 i =1
d
Z
h1
c
Sommaire
Concepts
!
f (ξi , y)d y .
Exemples
Exercices
Documents
ÎÎ
12
ÏÏ
Î précédent
Si l’on pose g (x) =
section N
suivant Ï
d
Z
Calcul de
l’intégrale sur
un rectangle
f (x, y)d y , on obtient
c
I = lim h 1
h 1 →0
N1
X
g (x)d x
a
i =1
d’où
b µZ d
Z
ZZ
D
b
Z
g (ξi ) =
¶
f (x, y)d y d x.
f (x, y)d x d y =
a
(7.1.4)
c
On pourrait montrer de la même manière, en échangeant le rôle des deux variables, que
ZZ
d
Z
D
f (x, y)d x d y =
c
µZ
b
¶
f (x, y)d x d y
(7.1.5)
a
Cas particulier :
µZ
ZZ
D
f 1 (x) f 2 (y) d x d y =
b
a
d
¶ µZ
f 1 (x)d x
c
¶
f 2 (y)d y .
Traiter les exercices de TD A.2.1 et A.2.2.
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
ÎÎ
13
Î précédent
section N
suivant Ï
7.1.4 Définition de l’intégrale double sur un domaine quelconque
Exercices :
Exercice A.1.4
Exercice A.1.5
Soit le domaine D du plan représenté sur la figure 7.1.5 et considérons le domaine
D h constitué des rectangles R i j qui sont à l’intérieur de D (voir figures 7.1.6 et 7.1.7
pour des h différents). Il est clair que si D est un rectangle, alors D h = D .
h1
y
D
h2
0
Sommaire
Concepts
x
F IGURE 7.1.5: Domaine D
Exemples
Exercices
Documents
14
ÏÏ
Î précédent
section N
suivant Ï
pavage interieur
Définition de
l’intégrale
double sur un
domaine
quelconque
h1
y
D
Dh
h2
0
x
F IGURE 7.1.6: Domaine D h
On définit alors une approximation de
ZZ
f (x, y)d x d y par
D
Ih =
X
h 1 h 2 f (ξi , η j ),
i,j
où (ξi , η j ) est un point quelconque de R i j . Chacun des éléments de cette somme représente le "volume" d’un parallépipède rectangle dont l’aire de la base est h1 h2 et dont la
hauteur vaut f (ξi , η j ). On a alors le résultat (non démontré) suivant
Sommaire
Concepts
Théorème 7.1.1. Quand h = (h1 , h2 ) tend vers (0, 0)
– le domaine D h "tend" vers D ,
– I h tend vers le réel I , appelé l’intégrale double de f sur D et notée
Exemples
Exercices
Documents
ZZ
I=
ÎÎ
f (x, y)d x d y.
D
15
ÏÏ
Î précédent
section N
suivant Ï
Définition de
l’intégrale
double sur un
domaine
quelconque
h1
y
D
h2
0
x
F IGURE 7.1.7: Domaine D h
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
ÎÎ
16
Î précédent
section N
7.1.5 Calcul pratique de l’intégrale double
Exercices :
Exercice A.1.6
Exercice A.1.7
Exercice A.1.8
Exercice A.1.9
Exemples :
Exemple B.1.1
Lorsque le domaine D n’est pas un rectangle on peut refaire le raisonnement du paragraphe référencé et ramener le calcul de l’intégrale double à celui de deux intégrales
simples. La difficulté consiste à trouver les "bonnes" bornes de ces intégrales simples.
On peut montrer que
ZZ
d
Z
D
f (x, y)d x d y =
où
Z
F (y) =
F (y)d y
(7.1.6)
c
β(y)
α(y)
f (x, y)d x.
Le segment [c, d ] est la projection de D sur l’axe O y et le segment [α(y), β(y)] est la projection sur l’axe 0x de l’intersection de D avec la droite parallèle à l’axe Ox d’ordonnée
y , comme le montre la figure 7.1.8. On peut dire aussi que les courbes x = α(y) et x = β(y)
limitent respectivement le domaine D "à gauche" et "à droite".
17
ÏÏ
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
Î précédent
section N
y
Calcul
pratique de
l’intégrale
double
d
D
y
c
O
α (y)
β (y)
x
F IGURE 7.1.8: Bornes de l’intégrale double
Dans la formule 7.1.6 on a commencé à intégrer f par rapport à x avant de l’intégrer
par rapport à y . On peut échanger les rôles de x et y , ce qui donne :
ZZ
Z
D
f (x, y)d x d y =
b µZ δ(x)
a
γ(x)
¶
f (x, y)d y d x
(7.1.7)
Le segment [a, b] est la projection de D sur l’axe Ox et le segment [γ(x), δ(x)] est la
projection sur O y de l’intersection de D avec la droite parallèle à l’axe O y d’abscisse x
comme le montre la figure 7.1.9. On peut dire aussi que les courbes y = δ(x) et y = γ(x)
limitent respectivement le domaine "en haut" et "en bas".
Proposition 7.1.1.
Exemples
Exercices
Documents
Si f est une fonction impaire en x , c’est à dire f (−x, y) = − f (x, y),
si D est symétrique par rapport à la droite d’équation x = 0, c’est à dire O y ,
ÎÎ
18
Sommaire
Concepts
ÏÏ
Î précédent
section N
y
Calcul
pratique de
l’intégrale
double
δ(x)
D
γ(x)
a
O
x
x
b
F IGURE 7.1.9: Bornes de l’intégrale double
alors
ZZ
D
f (x, y)d x d y = 0.
En effet, si le domaine D est symétrique par rapport à O y , cela signifie que α(y) =
−β(y), faites une figure. Donc
ZZ
d
Z
D
f (x, y)d x d y =
c
µZ
β(y)
−β(y)
¶
Z
f (x, y)d x d y =
d
c
0d y = 0.
Sommaire
Concepts
Traiter les exercices de TD A.2.3, A.2.4.
Utiliser les intégrales doubles pour calculer les coordonnées de centres de gravité ou
pour calculer un moment d’inertie, traiter les exercices de TD A.2.5, A.2.6.
ÎÎ
19
Exemples
Exercices
Documents
Î section précédente
chapitre N
7.2 Changement de variables dans les intégrales doubles
7.2.1
7.2.2
Déterminants jacobiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Calcul des intégrales doubles par changement de variables . 22
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
20
section N
suivant Ï
7.2.1 Déterminants jacobiens
Exercices :
Exercice A.1.10
On considère le changement de variables suivant
½
x = a(u, v),
y = b(u, v),
(7.2.1)
où a et b sont données sur un domaine ∆ du plan IR2 .
Définition 7.2.1. On appelle matrice jacobienne, la matrice J (u, v) suivante :
∂a
 ∂u (u, v)
J (u, v) =  ∂b
(u, v)
∂u


∂a
(u, v) 
∂v
,
∂b
(u, v)
∂v
(7.2.2)
Sommaire
Concepts
et on appelle déterminant jacobien ou jacobien le déterminant :
D J (u, v) = dét J (u, v) =
∂b
∂a
∂b
∂a
(u, v) (u, v) −
(u, v) (u, v).
∂u
∂v
∂v
∂u
21
(7.2.3)
Exemples
Exercices
Documents
Î précédent
section N
7.2.2 Calcul des intégrales doubles par changement de variables
Exercices :
Exercice A.1.11
Documents :
Document C.1.1
Exemples :
Exemple B.1.2
Cours :
Jacobiens
Exemple B.1.3
Soit l’intégrale double
ZZ
I=
f (x, y) d x d y.
D
On suppose que par le changement de variables
½
x = a(u, v),
(u, v) ∈ ∆,
y = b(u, v),
D est en bijection avec ∆, c’est à dire que l’on a l’équivalence
Sommaire
Concepts
(x = a(u, v), y = b(u, v)) ∈ D ⇔ (u, v) ∈ ∆.
On définit une nouvelle fonction g (u, v) par
Exemples
Exercices
Documents
g (u, v) = f (a(u, v), b(u, v)).
22
ÏÏ
Î précédent
section N
Théorème 7.2.1. En reprenant les notations ci-dessus, on a
ZZ
ZZ
D
f (x, y) d x d y =
∆
(7.2.4)
g (u, v)|D J (u, v)|d u d v.
Le terme |D J (u, v)| représente la valeur absolue du jacobien. Ceci signifie que cette
quantité ne dépend pas de l’ordre des variables contrairement au jacobien (vous pouvez
en effet facilement vérifier que D J (v, u) = −D J (u, v)).
Calcul des
intégrales
doubles par
changement
de variables
x= a (u,v)
y= b (u,v)
v
δu
∆
y
δv
D
u
x
F IGURE 7.2.10: Changement de domaine
Sommaire
Concepts
La démonstration repose sur une partition particulière du domaine D en éléments
qui sont les images par le changement de variables d’une partition de ∆ en éléments rectangulaires, comme le montre la figure 7.2.10. L’image d’un élément de la partition de
∆ peut être approchée par un parallélogramme dont l’aire est égale à (voir le document
ÎÎ
23
ÏÏ
Exemples
Exercices
Documents
Î précédent
référencé)
section N
~u ∧ T
~v | = |D J (u, v)|δuδv.
|T
On peut comparer la formule 7.2.4 avec celle obtenue par changement de variables
dans une intégrale simple. En effet soit la fonction t → a(t ) bijective d’un intervalle J
sur un intervalle I . Alors
Z
Z
I
f (x)d x =
Calcul des
intégrales
doubles par
changement
de variables
f (a(t ))|a 0 (t )|d t
J
puisque si a est croissante la dérivée a 0 est positive et les bornes de l’image de J sont
croissantes. Par contre si a est décroissante la dérivée a 0 est négative et les bornes de
l’image de J sont décroissantes, d’où en inversant les bornes on fait apparaître −a 0 (t ) =
|a 0 (t )|.
La principale application du changement de variables dans les intégrales doubles
concerne les intégrales sur des disques. Par exemple, pour calculer l’aire (bien connue !
) d’un disque centré en O et de rayon R , on "passe" en coordonnées polaires et le domaine
∆ correspondant est le rectangle ∆ = [0, R] × [0, 2π] :
ZZ
ZZ
D
dx dy =
∆
r dθ dr =
R Z 2π
Z
0
0
r d θ d r = πR 2 .
Sommaire
Concepts
Le jacobien a été calculé dans le paragraphe référencé.
Traiter les exercices de TD A.2.7, A.2.8 et A.2.9.
ÎÎ
24
Exemples
Exercices
Documents
Î précédent
suivant Ï
Annexe A
Exercices
A.1
A.2
Exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices de TD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
38
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
25
chapitre N
section suivante Ï
A.1 Exercices du chapitre 7
A.1.1
A.1.2
A.1.3
A.1.4
A.1.5
A.1.6
A.1.7
A.1.8
A.1.9
A.1.10
A.1.11
Ch7-Exercice1 .
Ch7-Exercice2 .
Ch7-Exercice3 .
Ch7-Exercice4 .
Ch7-Exercice5 .
Ch7-Exercice6 .
Ch7-Exercice7 .
Ch7-Exercice8 .
Ch7-Exercice9 .
Ch7-Exercice10
Ch7-Exercice11
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28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
26
section N
suivant Ï
Exercice A.1.1 Ch7-Exercice1
Utiliser la définition pour calculer
ce la mesure ?
ZZ
D
d x d y où D = [a, b] × [c, d ]. De quel volume est-
retour au cours
Solution
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
27
Î précédent
section N
suivant Ï
Représenter sur une figure le volume V dont l’intégrale I représente la mesure.
ZZ
I=
D
(1 + x)d x d y où D = [0, 1] × [0, 2]
Calculer, à l’aide de volumes connus, la valeur de I .
retour au cours
Solution
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
28
Î précédent
section N
suivant Ï
Exprimer
ZZ
D
f 1 (x) f 2 (y)d x d y où D = [a, b] × [c, d ] sous la forme d’un produit de deux
intégrales simples. En déduire la valeur de
ZZ
I=
D
(1 + x)d x d y où D = [0, 1] × [0, 2].
retour au cours
Solution
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
29
Î précédent
section N
suivant Ï
À quelle mesure de volume correspond l’intégrale double
ZZ
I=
D
(1 + x)d x d y où D = {(x, y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x} ?
retour au cours
Solution
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
30
Î précédent
section N
suivant Ï
Quelle est la valeur de l’intégrale double I =
RR
D dx dy
pour les domaines suivants :
1. D 1 = {(x, y) ∈ IR2 , x 2 + y 2 − 2x ≤ 3},
2. D 2 = {(x, y) ∈ IR2 , x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1},
p
3. D 3 = {(x, y) ∈ IR2 , 0 ≤ y ≤ 1 − x 2 }.
retour au cours
Solution
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
31
Î précédent
section N
suivant Ï
1. Calculer
Z 1 µZ
I=
0
1−y
0
2. L’intégrale précédente peut sécrire I =
3. Exprimer I sous la forme
Z
b µZ δ(x)
a
γ(x)
¶
x y 2d x d y
ZZ
x y 2 d x d y. Représenter le domaine D .
D
¶
x y 2d y d x
retour au cours
Solution
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
32
Î précédent
section N
suivant Ï
Montrer que si f est une fonction impaire en y et si D est symétrique par rapport à
l’axe Ox , alors
ZZ
D
f (x, y)d x d y = 0.
retour au cours
Solution
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
33
Î précédent
section N
suivant Ï
Supposons que la plaque représentée par le domaine D est homogène, c’est à dire
que sa masse surfacique est constante (µ(x, y) = k ). Donner alors la relation entre la
masse et l’aire de D .
retour au cours
Solution
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
34
Î précédent
section N
suivant Ï
Montrer que si la masse surfacique est constante (µ(x, y) = k ) et si le domaine D est
symétrique par rapport à l’axe 0x (resp. 0y ), l’ordonnée (resp. l’abscisse) du centre de
gravité est nulle.
retour au cours
Solution
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
35
Î précédent
section N
suivant Ï
Quelle est la matrice jacobienne du changement de variable
½
x = r cos θ,
?
y = r sin θ
Quel est le jacobien associé ?
retour au cours
Solution
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
36
Î précédent
section N
Calculer, par changement de variable, l’aire de l’ellipse centré à l’origine et de demiaxes de longueur respective a et b .
retour au cours
Solution
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
37
Î section précédente
chapitre N
A.2 Exercices de TD
A.2.1
A.2.2
A.2.3
A.2.4
A.2.5
A.2.6
A.2.7
A.2.8
A.2.9
A.2.10
TD7-Exercice1 .
TD7-Exercice2 .
TD7-Exercice3 .
TD7-Exercice4 .
TD7-Exercice5 .
TD7-Exercice6 .
TD7-Exercice7 .
TD7-Exercice8 .
TD7-Exercice9 .
TD7-Exercice10
.
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39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
38
section N
suivant Ï
Exercice A.2.1 TD7-Exercice1
Soit D = [0, 1] × [0, 2], calculer
Réponse : 2 + (e − 1)(e 4 − 1).
RR
D (1 + 4x ye
x2 y 2
e )d x d y .
Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
39
Î précédent
section N
suivant Ï
Soit D = [0, π] × [0, π], calculer
1
Réponse : (1 − cos π2 )
π
RR
D
y cos(x y)d x d y .
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
40
Î précédent
section N
suivant Ï
Sur quel domaine intègre-t-on la fonction f (x, y) lorsque l’on écrit
Z 1 µZ
I=
0
δ(x)
γ(x)
¶
f (x, y)d y d x
avec
γ(x) = 1 −
p
1 − x 2 , δ(x) = 1 +
p
1 − x 2.
Aide 1 Aide 2 Aide 3
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
41
Î précédent
section N
suivant Ï
Calculer le volume du domaine V qui se trouve dans le demi-espace x ≥ 0 et qui est
limité par le plan xO y , le plan yOz , le cylindre d’axe (x = 0, y = 1) et de rayon 1 et la
surface d’équation z = x .
Réponse : 23 .
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
42
Î précédent
section N
suivant Ï
Calculer les coordonnées du centre de gravité de la surface qui se trouve dans le
demi-plan y ≥ 0 et qui est limitée par la courbe y 2 −4x = 0, la droite y = 0 et la droite x = h
(h > 0). On suppose que la masse
surfacique est égale à 1.
p
Réponse : xG = 53 h, yG = 34 h .
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
43
Î précédent
section N
suivant Ï
Trouver le moment d’inertie par rapport à O y du domaine du plan xO y limité par
l’ellipse d’équation
x2 y 2
+
= 1.
a2 b2
On suppose que la masse surfacique est égale à 1.
Réponse : a 3 b π4
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
44
Î précédent
section N
suivant Ï
Calculer les intégrales doubles
ZZ
d x d y et
D
ZZ
x 2 d x d y où D est le disque
D
D = {(x, y) ∈ IR2 , (x − 1)2 + (y − 2)2 ≤ 4}.
Réponse : 4π, 8π.
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
45
Î précédent
section N
suivant Ï
Reprendre l’exercice A.2.4 et le traiter à l’aide d’un changement de variables.
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
46
Î précédent
section N
suivant Ï
Trouver la masse d’une plaque inhomogène D définie, en coordonnées polaires, par
∆ = {(r, θ), r ≤ 2(1 + cos θ), 0 ≤ θ ≤ π}
et dont la masse surfacique est donnée par
µ(r, θ) = k r
où k est une constante donnée positive.
Réponse : 20kπ
3 .
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
47
Î précédent
section N
On considère les trois domaines
p emboîtés suivants
(voir figure A.2.1, R 1 = R, R 2 = R 2) :
y
CR
1
KR
2
CR
2
O
R1
R2
x
Sommaire
Concepts
F IGURE A.2.1:
– le quart de disque C R = {(x, y), 0 ≤ x, 0 ≤ y, x 2 + y 2 ≤ R 2 },
– le carré K R = [0, R] × [0, R],
– le quart de disque C R p2 = {(x, y), 0 ≤ x, 0 ≤ y, x 2 + y 2 ≤ 2R 2 }.
48
Exemples
Exercices
Documents
ÏÏ
Î précédent
section N
1. Montrer que
ZZ
e
−(x 2 +y 2 )
KR
R
µZ
e
dx dy =
−x 2
¶2
dx
.
0
Exercice
A.2.10
TD7Exercice10
2. Montrer que
´
2
π³
1 − e −R <
4
R
µZ
2
e −x d x
¶2
0
<
´
2
π³
1 − e −2R .
4
3. En faisant tendre R vers l’infini, en déduire la valeur de l’intégrale dite "intégrale
de Gauss"
p
Z
+∞
0
Question 1
Question 2
Question 3
2
e −x d x =
π
.
2
Aide 1 Aide 2
Aide 1 Aide 2
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
ÎÎ
49
Î précédent
suivant Ï
Annexe B
Exemples
B.1
Exemples du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
50
chapitre N
B.1 Exemples du chapitre 7
B.1.1
B.1.2
B.1.3
Un exemple simple d’intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . 52
Un exemple d’intégrale double où le changement de variables est
bien utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Un exemple d’intégrale double où le changement de variables est
indispensable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
51
section N
suivant Ï
Exemple B.1.1 Un exemple simple d’intégrale double
Soient deux réels a, b > 0 et soit le domaine :
T = {(x, y) ∈ IR2
|
x ≥ 0, y ≥ 0 et
x y
+ ≤ 1}
a b
1. Représenter T .
2. Calculer l’aire de T à l’aide d’une intégrale double.
3. Déterminer les coordonnées (xG , yG ) du centre de gravité G de T à l’aide d’une
intégrale double.
Corrigé :
1. Les axes Ox , d’équation y = 0, et O y , d’équation x = 0, divisent le plan en quatre
parties nommées " quadrants " numérotés de 1 à 4 dans le sens trigonométrique
comme dans la figure B.1.1.
Le domaine T se situe donc dans le premier quadrant.
x y
L’équation + = 1 est celle d’une droite ∆ passant par les points A(a, 0) et B (0, b).
a
b
y
La droite ∆ divise le plan en deux demi-plans, dans l’un ax + b < 1 et dans l’autre
y
x
a + b > 1.
Pour déterminer quel est le coté correspondant à T , on considère un point quelconque du plan ne se trouvant pas sur ∆. Les coordonnées de l’origine vérifient :
0
0
a + b = 0 < 1, donc O et T sont dans le même demi-plan. On dit que l’origine est du
52
ÏÏ
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
section N
suivant Ï
Exemple B.1.1
Un exemple
simple
d’intégrale
double
F IGURE B.1.1: Les quatre quadrants
“bon coté”.
On hachure ce qui ne convient pas et on découvre que T est l’intérieur du triangle
O AB , voir la figure B.1.2.
2. On choisit, par exemple, de calculer l’intégrale double avec x variable interne. On
trace à “ y fixé” le segment d’intégration qui est alors horizontal, voir la figure
B.1.3.
Le segment horizontal balaye donc le domaine T , quand la variable y va de y = 0
à y = b . Pour chaque valeur de y , x varie de x 1 (y) à x 2 (y).
Le point (x 1 (y), y) se trouve sur l’axe O y , donc x 1 (y) = 0.
x 2 (y) y
y
+ = 1, soit x 2 (y) = a(1 − )
Le point (x 2 (y), y) se trouve sur la droite ∆, donc
a
b
b
ÎÎ
53
ÏÏ
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
section N
suivant Ï
Exemple B.1.1
Un exemple
simple
d’intégrale
double
F IGURE B.1.2: Le Domaine T
Donc
ZZ
A
=
T
b
Z
=
0
b µZ x 2 (y)
Z
1 dx dy =
0
x 1 (y)
¶
Z
1 dx dy =
b
0
x 2 (y) − x 1 (y) d y
·
¸
−b ³
y
y ´2 b ab
1−
=
a(1 − ) d y = a
.
b
2
b
2
0
Sommaire
Concepts
On retrouve bien l’aire du triangle rectangle O AB .
Exemples
Exercices
Documents
ÎÎ
54
ÏÏ
section N
suivant Ï
Exemple B.1.1
Un exemple
simple
d’intégrale
double
F IGURE B.1.3: Le Segment d’Intégration
3. La masse surfacique vaut 1, on a donc m = A , on a :
ZZ
mxG
=
=
D’où xG =
T
b µZ x 2 (y)
Z
x dx dy =
0
0
¶
Z
x dx dy =
b
0
a2
[x 2 (y)]2
dy =
2
2
b³
Z
0
1−
y ´2
dy
b
·
¸
a 2 −b ³
y ´3 b a 2 b
1−
.
=
2
3
b
6
0
Sommaire
Concepts
a2b
2
a
×
= .
6
ab 3
Exemples
Exercices
Documents
x et y jouent des rôles similaires, on obtient donc sans calcul yG = b3 .
ÎÎ
55
ÏÏ
section N
suivant Ï
Néanmoins on peut effectuer ce calcul qui n’est pas similaire au précédent :
ZZ
m yG
=
T
b
Z
=
0
b µZ
Z
y dx dy =
x 2 (y)
Exemple B.1.1
Un exemple
simple
d’intégrale
double
¶
y dx dy
0
0
b
Z
y x 2 (y) d y = a
0
µ 2
¶
y2
b
b3
ab 2
y−
dy = a
−
=
.
b
2 3b
6
D’où yG = b3 .
Remarque 1 Dans un triangle homogène, le centre de gravité se trouve toujours
à l’intersection des 3 médianes et au tiers de chacune d’elles en partant du côté
associé. Ce résultat est valable pour tout triangle (rectangle ou pas ). Cela donne
une possibilité de vérifier les calculs. Voir les figures B.1.4 et B.1.5.
Remarque 2 Dans les calculs, on a utilisé le fait qu’une primitive de
³
³
y ´2
y´
est F1 (y) = C 1 1 −
f 1 (y) = 1 −
b
b
et qu’une primitive de
³
³
y ´2
y ´3
f 2 (y) = 1 −
est F2 (y) = C 2 1 −
.
b
b
Il suffit de dériver les fonctions F1 et F2 pour déterminer les constantes C 1 et C 2
telles que
Exemples
Exercices
Documents
F 10 (y) = f 1 (y), F 20 (y) = f 2 (y).
Ne pas oublier que la dérivée de u(y)n est égale à : n u 0 (y) u(y)n−1 .
ÎÎ
56
Sommaire
Concepts
ÏÏ
section N
suivant Ï
Exemple B.1.1
Un exemple
simple
d’intégrale
double
F IGURE B.1.4: Le centre de gravité du domaine étudié
retour au cours
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
ÎÎ
57
ÏÏ
section N
suivant Ï
Exemple B.1.1
Un exemple
simple
d’intégrale
double
F IGURE B.1.5: Le centre de gravité d’un triangle quelconque
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
ÎÎ
58
Î précédent
section N
suivant Ï
Exemple B.1.2 Un exemple d’intégrale double où le changement de variables
est bien utile
Soient deux réels a et b > 0, on définit le domaine D par :
D = {(x, y) ∈ IR2
|
x ≥ 0, y ≥ 0 et
x2 y 2
+
≤ 1}
a2 b2
1. Représenter D .
2. Déterminer l’aire A de D par une intégrale double.
3. Calculer les coordonnées du centre de gravité G de D .
Corrigé :
y
1. Si a = b = R , alors ( ax )2 + ( b )2 = 1 est l’équation d’un cercle de centre O rayon R .
Sinon en faisant un changement d’échelle différent selon x et y et en posant X = ax
y
et Y = b , on obtiendrait X 2 +Y 2 = 1 ce qui est l’équation d’un cercle de rayon 1. Donc
on déduit que l’équation est celle d’un cercle déformé, plus précisément il s’agit
d’une ellipse, cette courbe passe en particulier par les points de coordonnées :
(a, 0), (−a, 0), (0, b), (0, −b).
y
( ax )2 +( b )2 ≤ 1 caractérise le domaine intérieur de l’ellipse. Par ailleurs on se trouve
dans le premier quadrant, en hachurant ce qui ne convient pas, on obtient le domaine de la figure B.1.6.
59
ÏÏ
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
Î précédent
section N
suivant Ï
Exemple B.1.2
Un exemple
d’intégrale
double où le
changement de
variables est
bien utile
F IGURE B.1.6: Le Domaine D
RR
2. A = D 1 d x d y .
On choisit, par exemple, d’effectuer le calcul de l’intégrale double par deux intégrales successives avec une intégrale interne par rapport à x . On trace donc à y
fixé un segment d’intégration horizontal voir la figure B.1.7. Le segment horizontal balaye le domaine D , lorsque y varie de 0 à b , pour chaque valeur y , x variant
de x 1 (y) à x 2 (y)
Le point (x 1 (y), y) se trouve sur l’axe O y , donc x 1 (y) = 0.
µ
Le point (x 2 (y), y) se trouve sur l’ellipse, donc
ÎÎ
60
x 2 (y)
a
¶2
+
³ y ´2
b
= 1, soit : [x 2 (y)]2 =
ÏÏ
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
Î précédent
section N
suivant Ï
Exemple B.1.2
Un exemple
d’intégrale
double où le
changement de
variables est
bien utile
F IGURE B.1.7: Le segment d’intégration
µ
³ y ´2 ¶
a2 1 −
. On sait de plus que sur le domaine D , on a x ≥ 0, on obtient finaleb
r
³ y ´2
ment x 2 (y) = a 1 −
b
Donc :
ZZ
A=
D
b µZ x 2 (y)
Z
1 dx dy =
0
x 1 (y)
¶
b
Z
1 dx dy =
0
x 2 (y) − x 1 (y) d y =
r
b
Z
a
0
1−
³ y ´2
b
Sommaire
Concepts
d y.
Pour calculer cette dernière intégrale simple, on fait un changement de variable,
on pose y = b sin θ , d y = b cos θ d θ . Il ne faut pas oublier de changer les bornes : pour
ÎÎ
61
ÏÏ
Exemples
Exercices
Documents
Î précédent
section N
suivant Ï
y = 0, on a θ = 0 et pour y = b , on a θ = π2 , on obtient alors :
Z πp
Z π
2
2
A = ab
| cos θ| cos θ d θ
1 − sin2 θ cos θ d θ = ab
0
Z
Exemple B.1.2
Un exemple
d’intégrale
double où le
changement de
variables est
bien utile
0
π
2
cos2 θ d θ ( car sur l’intervalle d’intégration cos θ ≥ 0)
0
Ã
¸π !
·
Z π
2 1 + cos 2θ
πab
π
sin 2θ 2
=
ab
d θ = ab
+
.
2
4
4
4
0
0
ab
=
=
Si a = b = R , on retrouve bien l’aire d’un quart de disque
πR 2
.
4
3. La masse vaut donc m = A .
ZZ
mxG
=
=
x dx dy =
D
a2
2
b µZ x 2 (y)
Z
b
Z
0
1−
³ y ´2
b
Donc :
xG =
0
0
¶
x dx dy =
b
Z
0
1
(x 2 (y))2 d y
2
µ
¶
a2
b3
a2b
dy =
b− 2 =
.
2
3b
3
a2b
4
4a
×
=
.
3
πab 3π
Pour des raisons de symétrie en échangeant les rôles de x et y on a de même :
yG =
Sommaire
Concepts
4b
.
3π
On peut cependant faire ce calcul qui différe du calcul précédent et est instructif :
ZZ
m yG
ÎÎ
=
D
b µZ x 2 (y)
Z
y dx dy =
0
0
¶
y dx dy =
62
b
Z
0
y x 2 (y) d y = a
r
b
Z
y
0
1−
³ y ´2
b
dy
ÏÏ
Exemples
Exercices
Documents
Î précédent
section N
suivant Ï
¡ y ¢2
Si on note : u(y) = 1 − b . (On pourrait également faire le changement de variable
¡ y ¢2
t = 1 − b , calculer d t , modifier les bornes...)
q
¡ y ¢2
On remarque que : y 1 − b est, à une constante multiplicative, près de la forme
3
1
u 0 (y) [u(y)] 2 et donc une primitive est de la forme : “K [u(y)] 2 ” On détermine facilement cette constante K en redérivant soit :
"µ
m yG
D’où yG =
=
a
1−
³ y ´2 ¶ 32
b
2 −b 2
× ×
3
2
#b
=
0
Exemple B.1.2
Un exemple
d’intégrale
double où le
changement de
variables est
bien utile
ab 2
.
3
4b
.
3π
Le calcul effectué dans cet exercice est instructif et il faut savoir le refaire, cependant pour intégrer sur une ellipse ( ou un quart d’ellipse), il est préférable
d’utiliser un changement de variables dans l’intégrale double. Si on note :
X=
x
y
, Y = , on a X 2 + Y 2 ≤ 1, X ≥ 0, Y ≥ 0.
a
b
On peut décrire le domaine D en posant :
Sommaire
Concepts
h πi
X = r cos θ, Y = r sin θ, (r, θ) ∈ [0, 1] × 0,
.
2
d’où
½
ÎÎ
x = x(r, θ) = ar cos θ
,
y = y(r, θ) = br cos θ
63
h πi
(r, θ) ∈ [0, 1] × 0,
2
Exemples
Exercices
Documents
ÏÏ
Î précédent
section N
suivant Ï
Exemple B.1.2
Un exemple
d’intégrale
double où le
changement de
variables est
bien utile
F IGURE B.1.8: Le changement de variables
ATTENTION, dans ce cas pour un point M quelconque, θ ne représente pas l’angle
y
entre Ox et OM , en effet x 6= tan θ . Par exemple si y = x , on a tan θ × ba = 1, donc si
a 6= b , t anθ 6= 1, donc θ 6= π4 , θ 6= 5π
4 .
h
On calcule le jacobien et on obtient D J (r, θ) = abr , on note ∆ = [0, 1] × 0,
ZZ
A
=
ZZ
D
1 dx dy =
∆
abr d r d θ = ab
1
Z
0
π
2
Z
r dr ×
0
d θ = ab ×
πi
, d’où :
2
1 π abπ
× =
.
2 2
4
Pour le calcul de xG :
ZZ
mxG
=
=
ZZ
D
a2b
x dx dy =
1
Z
0
r 2 dr ×
∆
π
2
Z
0
ar cos θ abr d r d θ = a 2 b
cos θ d θ = a 2 b ×
ZZ
∆
Sommaire
Concepts
r 2 cos θ d r d θ
2
1
a b
×1 =
.
3
3
Le calcul pour yG est similaire, les calculs sont donc alors - avec le changement de
variables - enfantins.
ÎÎ
64
ÏÏ
Exemples
Exercices
Documents
Î précédent
section N
retour au cours
suivant Ï
Exemple B.1.2
Un exemple
d’intégrale
double où le
changement de
variables est
bien utile
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
ÎÎ
65
Î précédent
section N
Exemple B.1.3 Un exemple d’intégrale double où le changement de variables
est indispensable
Soient trois réels A , R 1 et R 2 avec 0 ≤ R 1 ≤ R 2 et A ∈ [0, 2π], soit [Os) la demi-droite telle
á
que ([0x),
[Os)) = A (angle orienté). On définit le domaine :
S = {(x, y) ∈ IR2 | R 12 ≤ x 2 + y 2 ≤ R 22 et (x, y) est dans le secteur angulaire ( [0x), [Os) ) }
1. Représenter S .
2. Déterminer l’aire A de S par une intégrale double avec changement de variables.
3. Calculer les coordonnées du centre de gravité G de S par une intégrale double avec
changement de variables.
Corrigé :
1. x 2 + y 2 ≥ R 12 correspond à l’extérieur du cercle de rayon R 1 .
x 2 + y 2 ≤ R 22 correspond à l’intérieur du cercle de rayon R 2 .
On a donc la représentation suivante donnée sur la figure B.1.9.
Sommaire
Concepts
2. On effectue un changement de variables en polaires :
½
x = x(r, θ) = r cos θ
,
y = y(r, θ) = r cos θ
66
on a : |D J (r, θ)| = r.
Exemples
Exercices
Documents
ÏÏ
Î précédent
section N
Exemple B.1.3
Un exemple
d’intégrale
double où le
changement de
variables est
indispensable
F IGURE B.1.9: Le Secteur Annulaire S
r varie entre R 1 et R 2 , θ varie entre 0 et α, on note ∆ le domaine, [R 1 , R 2 ] x [0, α] voir
la figure B.1.10. On obtient :
ZZ
A=
S
ZZ
1 dx dy =
∆
r dr dθ =
R2
Z
α
Z
rdr
R1
0
1d θ =
α 2
(R − R 12 ).
2 2
Sommaire
Concepts
Pour α = 2π on retrouve bien la différence de deux aires de disques.
3. La masse m de S vaut donc A .
De plus :
ZZ
mxG =
ÎÎ
S
ZZ
x dx dy =
∆
r cos θ r d r d θ =
67
Z
R2
R1
r 2d r
α
Z
0
Exemples
Exercices
Documents
1
cos θ d θ = (R 23 − R 13 ) sin α.
3
ÏÏ
Î précédent
section N
Exemple B.1.3
Un exemple
d’intégrale
double où le
changement de
variables est
indispensable
F IGURE B.1.10: Le Changement de Variables
et donc :
xG =
ZZ
m yG
=
S
ZZ
y dx dy =
∆
r sin θ r d r d θ =
et donc :
yG =
ÎÎ
2 R 23 − R 13 sin α
.
3 R 22 − R 12 α
Z
R2
2
α
Z
r dr
R1
0
1
sin θ d θ = (R 23 − R 13 )(1 − cos α)
3
Exemples
Exercices
Documents
2 R 23 − R 13 1 − cos α
.
3 R 22 − R 12
α
68
Sommaire
Concepts
ÏÏ
Î précédent
section N
Remarque 1 : les calculs sont très simples car le domaine ∆ est un rectangle, et on
doit intégrer une fonction qui s’écrit alors comme un produit g 1 (r )×g 2 (θ), on obtient
donc immédiatement un produit de deux intégrales simples. Sans le changement
de variables les calculs en x, y sont - pour α quelconque - inextricables .
Remarque 2 : pour R 1 = 0, R 2 = R et α = π2 , on obtient
2
2 4R
xG = y G = r × =
.
3
π 3π
Exemple B.1.3
Un exemple
d’intégrale
double où le
changement de
variables est
indispensable
On retrouve les résultats de l’exemple B.1.2 pour a = b = R
retour au cours
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
ÎÎ
69
Î précédent
Annexe C
Documents
C.1
Documents du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
70
chapitre N
C.1 Documents du chapitre 7
C.1.1
Introduction du jacobien dans l’intégrale double . . . . . . . . 72
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
71
section N
Document C.1.1 Introduction du jacobien dans l’intégrale double
x= ξ (u,v)
M2
y= η (u,v)
v
δu
A2
A0
M0
M1
δv
∆
v0
y
A3
M3
Tv
Tu
A1
u
x
u0
F IGURE C.1.1: Changement de variable dans les domaines d’intégration
La figure C.1.1 montre l’image du rectangle (A 0 , A 1 , A 3 , A 2 ) par le changement de
variables
½
x = a(u, v)
y = b(u, v)
On obtient ainsi un élément limité par 4 arcs de courbes. L’arc de courbe M0 M1 est
l’image du segment AO A 1 et correspond à la paramétrisation
x = a(u, v 0 ), y = b(u, v 0 ) u ∈ [u 0 , u 0 + δ u].
On approche cet arc de courbe par sa "tangente", ce qui revient à considérer un développement de Taylor au premier ordre de la paramétrisation précédente pour le point
72
ÏÏ
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
section N
M 1 (u 0 + δ u, v 0 ) :
∂a
a(u 0 + δ u, v 0 ) ' a(u 0 , v 0 ) + δ u
(u 0 , v 0 ),
∂u
b(u 0 + δ u, v 0 ) ' a(u 0 , v 0 ) + δ u
∂b
(u 0 , v 0 ).
∂u
~u sont donc
Les composantes de T
δ u(
Document
C.1.1
Introduction du
jacobien dans
l’intégrale
double
∂a
∂b
(u 0 , v 0 ),
(u 0 , v 0 )).
∂u
∂u
~v sont
De même on montre que les composantes de T
δ v(
∂b
∂a
(u 0 , v 0 ),
(u 0 , v 0 )).
∂v
∂v
L’aire de l’élément courbe image du rectangle (A 0 , A 1 , A 3 , A 2 ) est donc approchée par l’aire
~u et T
~v :
du parallélogramme construit sur les vecteurs T
~u ∧ T
~v =
T
soit
∂a
∂b
∂a
∂b
(u 0 , v 0 ) (u 0 , v 0 ) −
(u 0 , v 0 ) (u 0 , v 0 ),
∂u
∂v
∂v
∂u
~u ∧ T
~v = D J (u 0 , v 0 )δuδv.
T
retour au cours
ÎÎ
73
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
Index des concepts
M
Le gras indique un grain où le concept est
défini ; l’italique indique un renvoi à un exer- Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
cice ou un exemple, le gras italique à un document, et le romain à un grain où le concept est
mentionné.
I
Intégrale double - calcul pratique . . . . . . 17
Intégrale double - domaine quelconque . 14
Intégrale sur un rectangle - calcul . . . . . . 11
Intégrale sur un rectangle - définition . . . 7
Intégrales doubles - changement de variables
22
J
Jacobiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 22
74
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
Solution de l’exercice A.1.1
On a
Ih =
N1 X
N2
X
h1 h2
i =1 j =1
soit
N1
X
Ih =
h1
i =1
N2
X
h 2 = (N1 h 1 )(N2 h 2 )
j =1
ou
I h = (b − a)(d − c)
et comme I h ne dépend plus alors de h , quand h → 0 on a
ZZ
D
d x d y = I h = (b − a)(d − c)
ce qui représente le volume d’un parallépipède rectangle de base D et de hauteur 1.
Retour à l’exercice N
z
y
x
F IGURE C.1.2: Volume calculé
Le volume considéré (voir figure C.1.2) est limité par le plan xO y (à la base), le plan z = 1+ x (au sommet)
et le cylindre "rectangulaire" engendré par une droite parallèle à Oz qui s’appuie sur le contour du rectangle
D . Pour calculer géométriquement ce volume, on le divise en deux domaines dont l’un et un parallépipède
rectangle et l’autre un "demi" parallépipède rectangle. La mesure de ce volume est alors égal à 2 + 1 = 3.
On a montré dans le cours que
b µZ d
Z
ZZ
D
f (x)g (y)d x d y =
a
¶
f (x)g (y)d y d x .
c
Or f (x) ne dépendant pas de y peut "sortir" de l’intégrale en y , soit
Z
ZZ
D
et puisque
Rd
c
b
d
µZ
¶
g (y)d y
f (x)
f (x)g (y)d x d y =
c
a
g (y)d y est une constante indépendante de x ,
ZZ
d
Z
D
f (x)g (y)d x d y =
1
Z
D
(1 + x)d x d y =
f (x)d x.
c
Ainsi, si D = [0, 1] × [0, 2] on a
ZZ
b
Z
g (y)d y
0
a
2
Z
(1 + x)d x
0
d y = 3.
Le volume considéré est limité par le plan xO y (à la base), le plan z = 1 + x (au sommet) et le cylindre
"triangulaire" engendré par une droite parallèle à Oz qui s’appuie sur le contour du rectangle D .
z
2
y
1
1
x
F IGURE C.1.3: Volume calculé
1. Le domaine D 1 représente un disque centré en (1, 0) et de rayon 2 dont l’aire est égal à 4π,
2. Le domaine D 2 représente un triangle rectangle dont l’aire est égal à 12 ,
3. Le domaine D 3 représente le demi-disque supérieur centré en (0, 0) et de rayon 1 dont l’aire est égal à
π
2.
1.
Z 1 µZ
I=
0
1−y
0
2
¶
1
Z
y
xy dx dy =
2
·
0
1 2
x
2
¸x=1−y
1
Z
dy =
x=0
0
1
1 2
y (1 − y)2 d y = .
2
60
2. Le domaine D est défini par
D = {(x, y) ∈ IR2 , 0 ≤ x ≤ 1 − y, 0 ≤ y ≤ 1}.
Il s’agit du triangle (O, A, B ) tel que A(1, 0) et B (0, 1).
3. Si l’on utilise la deuxième méthode, on voit que [a, b] = [0, 1] et [γ(x), δ(x)] = [0, 1 − x] et donc
Z 1 µZ
I=
1−x
2
¶
x y d y d x.
0
0
Ce qui donne
1
Z
I=
0
soit
1
Z
I=
·
x
0
1 3
y
3
¸ y=1−x
dx
y=0
1
1
x(1 − x)3 d y = .
3
60
Si l’on utilise le calcul pratique suivant
Z
ZZ
D
f (x, y)d x d y =
alors, par hypothèse, γ(x) = −δ(x) et
Z
b Z δ(x)
a
γ(x)
f (x, y)d y d x,
δ(x)
γ(x)
f (x, y)d y = 0
d’après un résultat sur l’intégrale simple. En effet l’intégrale d’une fonction impaire sur un segment [−a, a]
est nulle.
m = k × aire D
La définition de yG est donnée par
yG =
1
m
ZZ
D
ykd x d y =
k
m
Z
b µZ δ(x)
a
γ(x)
¶
yd y d x = 0
puisque la fonction est impaire en y et le domaine est symétrique par rapport à Ox . (Voir l’exercice A.1.7.)
Faites un raisonnement semblable dans l’autre cas pour être sûr d’avoir bien compris.
On a de manière évidente :
J (r, θ) =
µ
cos θ
sin θ
−r sin θ
r cos θ
et
D J (r, θ) = r.
¶
Le changement de variables est "calqué" sur celui du disque. En effet, on pose
½
x = ar cos θ,
y = br sin θ
alors on a de manière évidente
D J (r, θ) = abr.
Le domaine en (r, θ) est le même que celui du disque de rayon R = 1 traité dans le cours. L’aire de l’ellipse est
donc πab .
Aide 1, Exercice A.2.1
Ecrire l’intégrale comme somme de deux intégrales et appliquer les résultats du cours.
ZZ
2
D
2
(1 + 4x ye x e y )d x d y =
ZZ
ZZ
D
dx dy +
2
D
et dans la deuxième intégrale, il y a un produit de la forme f (x)g (y).
2
4x ye x e y d x d y
ZZ
x2 y 2
D
(1 + 4x ye e )d x d y = 2 +
1
Z
x2
2
Z
2xe d x
0
0
2
2ye y d y
Solution :
ZZ
2
D
2
(1 + 4x ye x e y )d x d y = 2 + (e − 1)(e 4 − 1)
Choisissez bien l’ordre des deux intégrales simples.
y cos(x y) =
∂
sin(x y)
∂x
il vaut donc mieux commencer par intégrer en x .
ZZ
π µZ π
Z
D
y cos(x y)d x d y =
0
¶
y cos(x y)d x d y
0
Solution :
D
soit
π£
Z
ZZ
y cos(x y)d x d y =
si n(x y)
0
ZZ
D
y cos(x y)d x d y =
¤x=π
x=0 d y =
π
Z
sin(πy)d y
0
1
(1 − cos(π2 )).
π
Rappelez vous de la définition du segment [γ(x), δ(x)].
y = γ(x) est l’équation de la courbe qui limite le domaine "en bas". Pouvez-vous donner l’équation de cette
courbe ? Puis l’équation de la courbe qui limite "en haut" le domaine D ?
p
Solution : Un point y = γ(x)) = 1 − 1 − x 2 , est tel que x 2 + (y − 1)2 = 1, avec y ≤ 1. Si C est le cerclepde centre
(0, 1) et de rayon 1, il s’agit donc du demi cercle inférieur ( y ≤ 1). De même un point y = δ(x) = 1 + 1 − x 2 , est
tel que x 2 + (y − 1)2 = 1, avec y ≥ 1. Il s’agit alors du demi-cercle supérieur de C . Plus précisément (le vérifier
avec une figure) puisque 0 ≤ x ≤ 1, le domaine D est donc le demi-disque
{x 2 + (y − 1)2 ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1}.
Faites une figure (approximative) et revoyez le paragraphe Intégrale double - domaine quelconque. Quelle
est la projection de V sur le plan xO y ?
Soit D le domaine de l’exercice précédent. Montrer que le volume V à calculer correspond à
ZZ
f (x, y)d x d y
D
où vous donnerez la fonction f (x, y).
Le volume de V vaut
ZZ
x dx dy
D
et D est le domaine de l’exercice précédent pour lequel vous connaissez donc les bornes !
Solution :
D
x dx dy =
=
1
Z
=−
0
x
0
1
Z
2x
0
ÃZ
1
Z
ZZ
p
1+ 1−x 2
p
1− 1−x 2
!
dy dx
p
1 − x 2d x
p
¤1 2
2£
(−2x) 1 − x 2 d x = − (1 − x 2 )3/2 0 = .
3
3
Voir le paragraphe Motivation.
Représenter le domaine d’intégration.
Calculer la masse du domaine qui n’est autre que sa surface. Bien préciser les bornes des intégrales simples
correspondantes.
Solution :
m=
h
Z
ZZ
D
dx dy =
p
2 x
ÃZ
0
0
!
4
d y d x = h 3/2 .
3
L’abscisse du centre de gravité est donnée par (on peut utiliser les mêmes intégraqles simples)
xG =
1
m
ZZ
3
xd x d y = h.
5
D
Pour l’ordonnée on peut changer l’ordre d’intégration
1
yG =
m
ZZ
1
yd x d y =
m
D
p
2 h
Z
ÃZ
y
0
!
y 2 /4
0
dx dy =
3p
h.
4
Voir le paragraphe Motivation et tracer le domaine d’intégration.
Voir que la distance d’un point M (x, y) à l’axe O y est égale à |x|.
ZZ
I=
D
a
Z
2
x dx dy =
x
I = 2b
ÃZ
a
p
+b 1−x 2 /a 2
p
−b 1−x 2 /a 2
−a
ou
Z
2
s
x2
−a
1−
x2
d x.
a2
Pour calculer cette intégrale, on peut poser x = a sin θ .
!
dy dx
Solution :
Z
I = 2b
π/2
1
a 2 sin2 θ | cos θ| a cos θ d θ = a 3 b
2
−π/2
ou
1
I = a3b
4
Z
π/2
Z
π/2
−π/2
π
(1 − cos 4θ)d θ = a 3 b .
4
−π/2
sin2 2θ d θ
Voir le paragraphe Intégrales doubles - changement de variables.
Faire un changement de variables en utilisant les coordonnées polaires. N’oubliez pas que le disque n’est
pas centré à l’origine.
Poser x = 1+r cos θ et y = 2+r sin θ . Quel est le domaine ∆ de variations du couple (r, θ) ? Quel est le jacobien ?
Solution :
D J (r, θ) = r, ∆ = [0, 2] × [0, 2π].
Z 2 Z 2π
ZZ
r d θ d r = 4π.
dx dy =
D
ZZ
D
x 2d x d y =
Z 2Z
0
0
2π
0
0
r (1 + r cos θ)2 d θ d r = 2π
2
Z
0
r+
r3
d r = 8π.
2
Utiliser les coordonnées polaires x = r cos θ, y = 1 + r sin θ , calculer le jacobien donner les bornes sur r et θ .
J = r , 0 ≤ r ≤ 1, − π2 ≤ θ ≤
π
2
ZZ
xd x d y
D
= i nt 01
Z
π
2
− π2
2
r cos θd θd r =
1
µZ
2
r dr
0
¶ ÃZ
π
2
− π2
!
cos θd θ =
2
3
Voir le paragraphe Motivation.
Le domaine est donnée directement en coordonnées polaires et les bornes des intégrales vous sont données
dans l’énoncé. N’oubliez pas le jacobien !
Solution :
ZZ
m=
∆
µ(r, θ)r d r d θ =
π
Z
µZ
2(1+cos θ)
k
0
0
D’où, tout calcul fait
m=k
20
π.
3
2
¶
r d r d θ.
Aide 1, Question 1, Exercice A.2.10
Voir le paragraphe Intégrale sur un rectangle - définition.
Solution :
ZZ
e
KR
−(x 2 +y 2 )
R
µZ
dx dy =
e
−x 2
R
¶ µZ
e
dx
0
0
−y 2
¶
dy .
Comparer les trois domaines de la figure A.2.1.
Puisque C R ⊂ K R ⊂ C R p2 (les inclusions sont strictes) et que la fonction f (x, y) = e −(x
tive, on a
ZZ
ZZ
ZZ
CR
f (x, y)d x d y <
KR
f (x, y)d x d y <
f (x, y)d x d y.
C R p2
2
+y 2 )
est strictement posi-
Calculer les intégrales doubles sur les disques par un changement de variables en coordonnées polaires.
N’oubliez pas le jacobien !
Solution : de manière générale on a
ZZ
e −(x
2
+y 2 )
CR
soit
ZZ
CR
e −(x
2
π
2
Z
dx dy =
+y 2 )
0
dx dy =
R
Z
0
2
e −r r d r d θ
´
2
π³
1 − e −R .
4
p
On obtient l’intégrale sur C R p2 en remplaçant R par R 2. L’intégrale sur K R a été calculée dans la première
question.
On fait tendre R vers l’infini dans les trois intégrales. En passant à la limite, les inégalités strictes deviennent des inégalités larges.
Solution :
π
≤
4
+∞
µZ
2
e −x d x
¶2
≤
0
π
.
4
Puisque les quantités à droite et à gauche sont les mêmes, on en déduit que
+∞
µZ
0
2
e −x d x
¶2
=
π
4
d’où le résultat.

Cours et exercices (version juillet 2015) - UTC

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