Formulario Matemáticas 2015

ÍNDICE
MATEMÁTICAS
Geometría
Trigonometría
Números Complejos
Geometría Analítica del Espacio
Reglas Generales de Derivación
Tablas de Integrales
Vectores
Integrales Múltiples
Transformada de Laplace
Fórmulas Misceláneas
FÍSICA
Cinemática
Estática
Dinámica
Trabajo, Energía y Conservación de la Energía
Impulso e Ímpetu
Electricidad y Magnetismo
Termodinámica
Óptica
Mecánica de Fluidos
Constantes
Factores de conversión
QUÍMICA
Serie Electroquímica de los Metales
Tabla de Pesos Atómicos
Valores de constantes físicas y químicas
Datos termodinámicos para compuestos orgánicos a 298K
Potenciales estándar de reducción a 25°C
Valores de Afinidad Electrónica
Valores de Energía de Ionización
Tabla Periódica de los Elementos
1
1
2
2
3
4
6
10
11
13
14
15
15
15
16
16
17
17
19
20
20
21
22
23
24
25
27
27
31
32
33
34
1
FORMULARIO DE MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA
Volumen  43  r 3
r
Área de la Superficie  4  r 2
r
Volumen
  r 2h
h
Área de la superficie lateral  2  rh
r
Volumen  13  r 2h
h
l
Área de la superficie lateral   r r  h   r l
2
2
Volumen  13  h a 2  ab  b2 
Área de la superficie lateral
   a  b h 2   b  a 
a
2
   a  b l
l
h
b
2
TRIGONOMETRÍA
sen2 A  21  21 cos2 A
cos2 A  21  21 cos2 A
sen2 A  2 sen Acos A
cos 2 A  cos2 A  sen 2 A
sen  A  B  sen A cos B  cos A sen B
cos  A  B  cos A cos B  sen A sen B
tanA  tanB
tan  A  B  
1  tanAtanB
sen 2 A  cos2 A  1
sec 2 A  tan 2 A  1
csc 2 A  cot 2 A  1
sen A csc A  1
cos Asec A  1
tan A cot A  1
sen   A   sen A
cos   A  cos A
tan  A  tan A
sen A cos B 
1
2
A
1  cos A

2
2
A
1  cos A
cos  
2
2
sen
 sen A  B  sen  A  B
sen A sen B 
1
2
cos A cos B 
1
2
 cos A  B  cos A  B
 cos A  B  cos A  B
Sea el siguiente triángulo plano ABC de lados a, b, c y ángulos A, B, C .
A
b
c
C
a
B
Ley de los senos
a
b
c


sen A sen B sen C
Ley de los cosenos
c2  a 2  b2  2 a b cosC
Ley de las tangentes
a  b tan 21  A  B

a  b tan 21  A  B
Los otros lados y ángulos están
relacionados en forma similar
Los otros lados y ángulos están
relacionados en forma similar
NÚMEROS COMPLEJOS
Teorema de
DeMoivre
Raíz
compleja
r  cos  i sen    r n  cos n  i sen n 
n
r cos  isen 
1
n
n : número entero
1
n : número entero positivo
 r n cos 2nk   isen   2nk  k  0,1,2, , n  1
3
GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO
Considerando P1  x1 , y1 , z1  y P2  x2 , y2 , z2  :
P1 P2 
Vector que une P1 y P2
Distancia entre dos
puntos
d
Recta que pasa por dos
puntos
Cosenos Directores
x
 x2  x1  ,  y2  y1  ,  z2  z1 
 x1    y2  y1    z2  z1   l 2  m2  n2
2
2
 l , m, n
2
2
Forma paramétrica
x  x1  lt
y  y1  mt
z  z1  nt
Forma simétrica
x  x1
y  y1
z  z1
t
t
t
l
m
n
x2  x1 l
y2  y1 m
z z n
cos  
=
cos  
=
cos   2 1 =
d
d
d
d
d
d
donde , ,  ángulos que forman la línea que une los puntos P1
y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z , respectivamente
cos 2   cos 2   cos 2   1
l 2  m2  n 2  1
Que pasa por un punto P1  x1 , y1 , z1  y tiene vector normal
n  n1 , n2 , n3
n1  x  x1   n2  y  y1   n3  z  z1   0
Forma general
Ecuación del Plano
Ax  By  Cz  D  0
Distancia del punto P0  x0 , y0 , z0  al plano Ax  By  Cz  D  0
d
Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
Ángulo entre dos rectas en el plano
m  m1
tan   2
1  m1m2
Coordenadas:
Cilíndricas  r , , z 

 x  r cos
 y  r sen 
z z

z
{

2
2
r  x  y
1 y
o    tan x

 z  z
P

z
O
x
y
r

y
x
(x,y,z)
(r,z)
4
Esféricas  r , ,  
z

r  x 2  y 2  z 2
 x  r sen  cos 


 y  r sen  sen  o   tan 1 xy con x  0
 z  r cos


  cos 1 2 z 2 2
x  y z



{
P
(x,y,z)
(r,
r


z
O
x
y

y
x
REGLAS GENERALES DE DERIVACIÓN
d
( c)  0
dx
d
 cx   c
dx
d
 cx n   ncx n1
dx
d
du dv
u  v   
dx
dx dx
d
du
 cu  c
dx
dx
d
dw
dv
du
 uvw  u v
uw vw
dx
dx
dx
dx
 du   du 
v   u  
d u
 dx   dx 
 
dx  v 
v2
d n
du
 u   nu n1
dx
dx
dF dF du

(Regla de la cadena)
dx du dx
d
dv
du
 uv   u  v
dx
dx
dx
Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
log a e du
d
log a u 
a  0, a  1
dx
u dx
d
d
1 du
ln u  loge u 
dx
dx
u dx
d u
du
a  a u ln a
dx
dx
d u
du
e  eu
dx
dx
d v d v ln u
d
du
dv
u  e  ev ln u
v ln u  vu v 1  uv ln u
dx
dx
dx
dx
dx
5
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
d
du
sen u  cosu
dx
dx
d
du
tan u  sec2 u
dx
dx
d
du
sec u  sec u tan u
dx
dx
d
1 du
sen 1 u 
dx
1  u 2 dx
 
 2
 sen u 
d
1 du
tan 1 u 
dx
1  u 2 dx
 
 2
 tan u 
1
1


2



2
d
du
cosu   sen u
dx
dx
d
du
cot u   csc2 u
dx
dx
d
du
csc u   csc u cot u
dx
dx
d
1 du
cos 1 u 
dx
1  u 2 dx
 0  cos
d
1 du
cot 1 u 
dx
1  u 2 dx
  si 0  sec u   

2 


  si   sec u   


2
0  cot
1
1
u
u


1
d
1
du
1 du
sec1 u 

dx
u u 2  1 dx u u 2  1 dx
1





d
1
du
1 du
csc1 u 

dx
u u 2  1 dx u u 2  1 dx
1
si

2 

u  0

0  csc u 
si


2
 csc
1

Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
d
du
sinh u  cosh u
dx
dx
d
du
tanh u  sech 2 u
dx
dx
d
du
sech u   sech u tanh u
dx
dx
d
1 du
sen h-1u  2
dx
u  1 dx
d
1 du
tanh 1 u 
dx
1  u 2 dx
d
1 du
sec h -1u 
dx
u u 2  1 dx
d
1
du
csc h -1u 
2
dx
u 1  u dx
d
du
cosh u  sinh u
dx
dx
d
du
coth u   csch 2 u
dx
dx
d
du
csch u   csch u coth u
dx
dx
d
1 du

cos h -1u 
 
dx
u 2  1 dx
d
1 du
 1  u  1
u  1
coth 1 u 
dx
1  u 2 dx
  si sech u  0, 0  u  1 
  si sec h u  0, 0  u  1
1 du
  si u  0 

  si u  0 
u 1  u 2 dx
1
1
si
cosh u  0, u  1
si
cosh u  0, u  1 
1
1
o u  1

6
TABLAS DE INTEGRALES
 u dv  uv   v du
1
 undu  n  1 un1  C
n  1
 u  ln u  C
 e du  e  C
du
u
 sec u du  ln sec u  tan u  C
 csc u du  ln csc u  cot u  C
u
au
 a du  ln a  C
u
 sen u du   cos u  C

u
C
a
a 2  u2
du
1
1 u
 a 2  u 2  a tan a  C
du
1
u
 2 2  a sec1 a  C
u u a
du
1 ua
 a 2  u2  2a ln u  a  C
du
1 ua
 u2  a 2  2a ln u  a  C
 cos u du  sen u  C
 sec
 csc
2
2
u du  tan u  C
u du   cot u  C
 sec u tan u du  sec u  C

du
 sen 1
u 2 2 a2
a  u du 
a  u  ln u  a 2  u2  C
2
2
2
1
a 2  u2  a


ln
C
 2 2 a
u
u a u
du
2
 u2 a 2  u2 du 
u 2
a2
 a  2u2  a 2  u2  ln u  a 2  u2  C
8
8

du

a 2  u2
C
a 2u

a 2  u2
a  a 2  u2
2
2
du  a  u  a ln
C
u
u
u2 a 2  u2
du
u
 2 2 3/ 2  2 2 2  C
a  u 
a a u

a u
a u
du  
 ln u  a 2  u2  C
2
u
u





 csc u cot u du   csc u  C
 tan u du  ln sec u  C
 cot u du  ln sen u  C
2
2
du
a 2  u2
2
2
 ln u  a  u  C
2
2
u 2 du
u
a2
2
2

a  u  ln u  a 2  u 2  C
2
2
2
2
a u
a 2  u2
1 2
u
du  
a  u2  sen 1  C
2
u
u
a
u
a 2  u2 du 
a 2  u2 du 
2
u 2 2 a2
u
a  u  sen1  C
2
2
a
u
a4
u
2
2
2
2
a  u du   2u  a  a  u  sen1  C
8
8
a
2
2

a 2  u2
a  a 2  u2
2
2
du  a  u  a ln
C
u
u

u2  a 2 du 
u 2
a2
u  a 2  ln u  u2  a 2  C
2
2
7
2

2
u du
a u
2
u
u 2
a
u
a  u 2  sen 1  C
2
2
a

2
1 a  a 2  u2
C
 2 2   a ln
u
u a u
du
1
 2 2 2   a 2u a 2  u2  C
u a u
du
a

2
 u2  2 du  
3
du
a
2
u


3
2 2
u
3a 4
u
 2u2  5a 2  a 2  u2  sen1  C
8
8
a
u
a2 a2  u 2
C
4
2
u2  a 2 du 
u 2 2 2 2 a
 2u  a  u  a  ln u  u2  a 2  C
8
8

u2  a 2
a
du  u2  a 2  a cos1  C
u
u

u2  a 2
u2  a 2
du  
 ln u  u2  a 2  C
u2
u
du
 ln u  u 2  a 2  C
2
2
u a
u 2 du
u
a2
2
2

u a 
ln u  u 2  a 2  C
2
2
2
2
u a


udu
1
 a  bu  b  a  bu  a ln a  bu   C
u2  a 2
2
 2 2 2  a 2u  C
u u a
du
u
u2 du
1
 a  bu  2b3  a  bu 2  4a a  bu  2a 2 ln a  bu   C  2 2 3   2 2 2  C
u  a 2 a u  a
du
u 2 du
2
2
2 2

3  8a  3b u  4abu a  bu
15
b
a  bu
 u a  bu  a ln a  bu  C

du
1 b a  bu
 u2  a  bu   au  a 2 ln u  C
u
du
1
a  bu  a

ln
 C, si a  0
a  bu
a
a  bu  a

2
a  bu
tan 1
 C , si a  0
a
a

a  bu
a  bu b
du
du  
 
2
u
u
2 u a  bu
du
1
  a  bu
udu
2
 u a  bu

du
u 2 du
 a  bu
u

2
2

u
a
1
 ln a  bu  C
b  a  bu b
2

1
1 a  bu
 2 ln
C
a a  bu a
u
1
b3
a  budu 


a2
 a  bu 
 2a ln a  bu   C
a  bu


3
2
3bu  2a a  bu2  C
2
15b
udu
2
 2  bu  2a  a  bu
a  bu 3b
 sen
u
n
a  bu du 
2u n a  bu
2na
u n 1 du


b 2n  1
b 2n  1
a  bu
a  bu
du
a  bu
b 2n  3
du
 un a  bu   a n  1 un1  2a n  1  un1 a  bu

u n du
 csc
u du   21 csc u cot u  21 ln csc u  cot u  C
3
 sen

n
u du   n1 sen n1 u cos u 
2
u du  21 u  14 sen 2u  C
 cos
2
u du  21 u  41 sen 2u  C
n
 tan udu 
 cos

n

2
3
un  a  bu 2  na  un 1 a  bu du
b 2n  3
u du  n1 cosn1 u sen u 
n 1
 senn2 u du
n
n 1
 cosn2 u du
n
1
tan n 1u   tan n  2 u du
n 1
8
 tan
2
u du  tan u  u  C
 cot u du   cot u  u  C
 sen u du    2  sen u cos u  C
 cos u du   2  cos u sen u  C
2
3
2
1
3
 tan u du  tan u  ln cos u  C
 cot u du   cot u  ln sen u  C
3
 sec
1
2
2
u du  21 sec u tanu  21 ln sec u  tanu  C
3
 sen au cosbu du  
cos a  b u cos a  b u

C
2 a  b
2 a  b
 u sen u du  sen u  u cos u  C
n
sen u du  u n cos u  n  u n1 cos u du
 sen
1
 cos
1
 tan
 u sen
 ue
u du  u sen1 u  1  u2  C
udu  u cos1 u  1  u2  C
1


u du  u tan 1u  12 ln 1  u 2  C
1
u du 
2u2  1 1
u 1  u2
sen u 
C
4
4
1
 au  1 e au  C
a2
1
n
 uneau du  a uneau  a  un1eaudu
eau
 eau sen bu du  a 2  b2  a sen bu  b cosbu  C
eau
au
 e cosbu du  a 2  b2  a cosbu  b sen bu  C
au
du 
 csc
n
u du 
1
n2
cot u csc n 2 u 
 cscn2 u du
n 1
n 1
sen a  b u sen a  b u

C
2 a  b
2 a  b
sen a  b u sen a  b u
 cos au cosbu du  2 a  b  2 a  b  C
 sen au sen bu du 
u
n
cos u du  u n sen u  n  u n1 sen u du
 sen
n
u cosm u du
senn1 u cosm1 u n  1

senn2 u cosm u du

nm
nm
senn1 u cosm1 u m  1


 senn u cosm2 u du
nm
nm
2u2  1 1
u 1  u2
1
 u cos u du  4 cos u  4  C
u 2 1
u
1
u
tan
u
du

tan 1u   C

2
2

 u cos u du  cos u  u sen u  C
u
u du 
2
1
2
3
n
2
1
3
3
1
cot n1 u   cot n 2 u du
n 1
1
n2
 secn u du  n  1 tanu secn2 u  n  1  secn2 u du
 cot
1 
 u sen u du  n  1 un1 sen1 u  
1 
 un cos1 u du  n  1 un1 cos1 u  
1
n
n
1
 u tan u du 
u n1du 
, n  1
1  u2 
u n1du 
, n  1
1  u2 
1  n 1 1
u n 1 du 
u
tan
u


 1  u 2 , n  1
n 1 
 ln u du  u ln u  u  C
u
n
ln u du 
un1
 n  1 ln u  1  C
 n  1 2
 u ln u du  ln ln u  C
1
9
 senh u du  cosh u  C
 cosh u du  senh u  C
 tanh u du  ln cosh u  C
 coth u du  ln senh u  C
 sech u du  tan senh u  C
1
 sech u du  ln tan u  C
 sech u du  tanh u  C
 csch u du   coth u  C
 sech u tanh u du  sech u  C
 csch u coth u du  csch u  C
1
2
2
2
ua
a2
a  u
 C
2au  u2  cos1
 a 
2
2

2u  au  3a 2
a3
a  u
 C
2au  u2  cos1
 a 
6
2


2au  u2 du 
u
2au  u2 du 

2a u  u 2
a  u
 C
du  2a u  u 2  a cos1
2
 a 
u

2a u  u 2
2 2a u  u 2
a  u
 C
du


 cos1
2
 a 
u
u

u 2 du
2au  u 2

u  3a 
2
2au  u 2 
3a 2
 a u
cos1 
C
2
 a 

a  u
 C
 cos1
 a 
2a u  u
u du
a  u
 C
  2a u  u2  a cos1
2
 a 
2au  u
du
2
du
u 2a u  u 2

2a u  u 2
C
au
10
VECTORES
A  B  A B cos
Producto punto
donde  es el ángulo formado por A y B
A  B  A1B1  A2 B2  A3 B3
donde A  A1 , A2 ,

i
A  B  A1
B1
Producto cruz
0  
An y B  B1 , B2 ,


j
A2
B2
k
A3
B3
Bn
  A2 B3  A3 B2  ˆi   A3 B1  A1B3  ˆj   A1B2  A2 B1  kˆ






donde A  A1 i  A2 j A3 k y B  B1 i  B2 j B3 k
Magnitud del producto cruz
A  B  A B sen 
Sean U  U  x, y, z  , una función escalar, y A  A  x, y, z  , una función vectorial,ambas
con derivadas parciales
Operador nabla
     

i
j
k
x y z
Gradiente de U
      
U  U  U 
grad U  U  
i
j k U 
i
j
k
x y
z
 x  y  z 
Laplaciano de U
 2U  2U  2U
 2U     U  


 x2  y 2  z 2


Divergencia de A
        

div A    A  
i
j k    A1 i  A2 j A3 k 

x

y

z


 
A A A
 1 2 3
x y z


Rotacional de A
        

rot A    A  
i
j k    A1 i  A2 j A3 k 

 x  y  z  




i
j
k

x

y

z
A1
A2
A3
  A  A    A  A    A  A  
  3  2  i   1  3  j  2  1  k
 y z  z x x  y
11
INTEGRALES MÚLTIPLES
Integrales dobles o integrales de área
b
 
f2 ( x )
xa
y  f1  x 
d
g2 ( y )
 
y  c x  g1  y 
F  x, y  dydx  
b
F  x, y  dxdy  
d
x a
y c


f2 ( x )
y  f1  x 
g2 ( y )
x  g1  y 

F  x, y  dx dy
F  x, y  dy dx
Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen
así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.
Vector tangente unitario
En parámetro arbitrario:
r(t )
tˆ(t ) 
r(t )
Vector normal principal
nˆ (t )  bˆ(t )  tˆ(t )
Vector binormal
r  r(t )
bˆ(t ) 
r  r(t )
En parámetro s:
tˆ(s)  r (s)
nˆ ( s) 
r ( s)
r ( s)
r ( s)  r ( s)
bˆ( s) 
r ( s)
Los vectores unitarios tˆ, nˆ, bˆ guardan la relación bˆ  tˆ  nˆ, nˆ  bˆ  tˆ, tˆ  nˆ  bˆ
Recta tangente en t 0
Plano osculador  tˆ, nˆ  en t 0
Ecuación vectorial



r    r  t0   r  t0 
Ecuación paramétrica
x  x0 y  y0 z  z0


x0
y0
x0
Ecuación vectorial
 r  r  t0    r   t0   r   t0    0
Ecuación paramétrica
x  x0 y  y0 z  z0
x 0
y 0
z 0  0
x 0
y 0
z 0
Ecuación vectorial
 

r  r  t0   r  t0   0
Ecuación paramétrica
x0  x  x0   y0  y  y0   z0  z  z0   0
Ecuación vectorial
 r  r  t0    nˆ  t0   0

Plano normal
 
Plano Rectificante tˆ, bˆ en t 0

Ecuación paramétrica
x - x0
y - y0
x 0
y 0
y 0 z 0  y 0z 0 z 0 x 0  z 0x 0
z - z0
z 0
0
x 0 y 0  x 0y 0
12
 t  
Curvatura y Torsión
r   t   r   t 
r t 

  s  r s
Componentes Tangencial de la
Aceleración
Componentes Normal de la
Aceleración
 t  
3

r   t   r   t 
f ' ' ( x)
[1  ( f ' ( x)) 2 ]
v a
aT  a  T 
v
aN  a  N 
v a
v
 
  F    F     F
  F  G   G    F   F   G 
 F  G   F   G
Propiedades de la Divergencia
r   t    r   t   r   t  
3
2
2
13
TRANSFORMADA DE LAPLACE

L{ f (t )}   e s t f (t ) dt
0
No
f(t)
F(s)
1
C (constante)
C
s
2
tn
3
tn
4
5
6
7
8
n!
, n = 0 y nN
s n1
(n  1)
, n> -1
s n 1
1
sa
a
2
s  a2
s
2
s  a2
k
2
s  k2
s
2
s  k2
F ( s  a)
9
10
f (t  a)U (t  a)
e  as F (s )
11
t n f (t )
(1) n F ( n ) ( s)
12
f (t )
t

 F ( p)dp
s
f ( n ) (t )
s n F ( s)  s n1 f (0)  s n 2 f ' (0)  . . . f ( n 1) (0)
 f ( )d
F (s)
s
13
t
14
0
t
15
f  g   f ( ) g (t   )d
F (s)G(s)
0
16
f (t ) función periódica
de periodo T
1
1  e  sT
T
 f (t )e
0
17
 (t )
1
18
 (t  t 0 )
e t0 s
 st
dt
14
FÓRMULAS MISCELÁNEAS
1  2
r dr
2 
Área en coordenadas polares
x  a  t  sen t 
y  a 1  cos t 
Ecuaciones paramétricas
de la cicloide para t  R
W   F  dr
Trabajo
a
b
M x    y   x, y  dA
R
M y    x   x, y  dA
R


b
Centro de gravedad de una región
plana
x
a
b
Momento de inercia de R respecto al
origen
Área de la superficie generada al
girar la gráfica f alrededor de x
Volumen del sólido de revolución
generado al girar la gráfica de f
alrededor del eje y
L
1 b
2
 f ( x) dx

a
y2 b
 f ( x)dx
f ( x)dx
2
a
2
 dx   dy 
     dt
 dt   dt 


I o     x 2  y 2    x, y  dA
R
S  2 F ( x) 1 f ( x) d x
b
2
a
b
V   2  t F (t )d t
a
b
Cálculo del volumen
R
xf ( x)dx
a
Longitud de arco en forma
paramétrica
b
m      x, y dA
Longitud de arco de y  f  x 
en a , b  a 1  ( y) 2 dx
a b
Comp  ab  
b
V   A( x) dx
a
b
V     f  x   dx
Ecuación satisfecha por la carga de
un circuito LRC
t 

r (t )   cos t ,sen t , 
2 

Duˆ f  x, y, z   f  x, y, z   uˆ
1
Lq   Rq   q  E  t 
C
Fuerza ejercida por un fluído
F    y  L( y) dy
Fuerza que actúa sobre un líquido
encerrado en un tubo
F   A2x0 g   A2 xg
2
a

Ecuación del resorte helicoidal
Derivada direccional
b
a
uˆ : Vector unitario