List of frequencies.xls.xlsx - Multi Carrier Mauritius Ltd

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´
NOTAS DE AULA DE ANALISE
EM Rn
OLIVAINE S. DE QUEIROZ
Departamento de Matem´
atica
Instituto de Matem´
atica, Estat´ıstica e Computa¸
c˜
ao Cient´ıfica
UNICAMP
Campinas
2010
Cap´ıtulo 1
Revis˜
ao de Topologia em Rn
Neste cap´ıtulo inicial vamos apresentar conceitos b´
asicos essenciais que necessitaremos no decorrer do curso.
1.1
Coment´
arios preliminares sobre o espa¸co Rn
O espa¸co Euclidiano Rn é definido como o conjunto de todas as n-uplas x = (x1 , . . . , xn ) de
n´
umeros reais xi , i = 1, . . . , n. Um ponto x ∈ Rn é também chamado de vetor, já que com
as opera¸cões x + y := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) e ax := (ax1 , . . . , axn ) (a ∈ R), Rn se torna um
espa¸co vetorial. O vetor (0, . . . , 0) ∈ Rn ser´
a denotado somente por 0. Quando n = 1, também
1
chamamos os pontos de R = R de escalares.
A no¸cão se soma de vetores e multiplica¸cão por escalares, apesar de determinar uma estrutura de espa¸co vetorial em Rn , n˜
ao é suficiente para definir a no¸cão de distˆ
ancia. Para tanto
necessitamos do conceito de produto interno, que é uma fun¸cão que associa a cada par de vetores
x, y ∈ Rn um escalar e que ainda satisfaz certas propriedades que listaremos a seguir para um
exemplo particular. O produto interno euclidiano em Rn é definido por
hx, yi :=
n
X
xi y i ,
x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ).
i=1
Outros produtos internos em Rn também podem ser considerados. S˜
ao 4 as principais propriedades do produto interno.
Proposi¸
c˜
ao 1.1 Sejam x, y ∈ Rn e a ∈ R quaisquer. Temos as seguintes propriedades:
(i) simetria: hx, yi = hy, xi;
(ii) bilinearidade: hax, yi = hx, ayi = ahx, yi, hx + z, yi = hx, yi + hz, yi e hx, y + zi = hx, yi +
hx, zi;
(iii) positividade: hx, xi ≥ 0 e hx, xi = 0 se, e somente se, x = 0;
(iv) identidade de polariza¸ca
õ: 4hx, yi = hx + y, x + yi − hx − y, x − yi
A norma euclidiana (ou comprimento) de um vetor x ∈ Rn é definida por
kxk := hx, xi1/2 .
3
˜ DE TOPOLOGIA EM RN
CAPÍTULO 1. REVISAO
4
Proposi¸
c˜
ao 1.2 Sejam x, y, z ∈ Rn e a ∈ R quaisquer. Temos as seguintes propriedades:
(i) kxk ≥ 0 e kxk = 0 se, e somente se, x = 0;
(ii) Desigualdade de Cauchy: |hx, yi| ≤ kxkkyk;
(iii) Desigualdade triangular: kx + yk ≤ kxk + kyk;
(iv) kaxk = |a|kxk.
Send Rn um espa¸co vetorial de dimensão n, qualquer subconjunto linearmente independente
{v1 , . . . , vn } com n vetores forma uma base deste espa¸co.
Uma base {v1 , . . . , vn } para Rn é chamada ortonormal se hvi , vj i = δij , onde δij = 0 se i 6= j e
δii = 1 (s´ımbolo de Kronecker). A base canˆ
onica de Rn é {e1 , . . . , en }, onde ei = (0, . . . , 1, . . . , 0),
com 1 na i-ésima coordenada.
Concluiremos esta se¸c˜
ao com alguns comentários sobre transforma¸cões lineares e matrizes.
Se T : Rn → Rm é um a transforma¸cão linear, a matriz de T com rela¸cão às bases canˆ
onicas
n
m
de R e R é a matriz A = (aij ), onde
T (ei ) =
m
X
aji fj .
j=1
Observe que as coordenadas aji do vetor T (ei ) (com rela¸cão à base (f1 , . . . , fm )) aparecem na
i-ésima coluna de A. Por linearidade obtemos então que o vetor y = T (x) = T x pode ser
encontrado pela express˜
ao


 

x1
a11 . . . a1n
y1
 ..   ..
..   ..  .
 . = .
.  . 
ym
am1 . . . amn
xn
Reciprocamente, se A é uma matriz m × n então T (x) := Ax, x ∈ Rn , define uma transforma¸c˜
ao
n
m
n
m
linear de R em R . Assim, existe uma rela¸cão biun´ıvoca entre o conjunto L(R , R ) das
transforma¸cões lineares de Rn em Rm com o conjunto das matrizes m × n.
Primeira aula ↓
1.2
Espa¸
cos m´
etricos
Nesta se¸cão vamos formalizar o conceito de métrica ou distˆ
ancia em um conjunto, definindo
assim os espa¸cos métricos.
Defini¸
c˜
ao 1.3 Um conjunto X é chamado de espa¸
co m´
etrico se existe uma fun¸ca
õ d : X ×
X → R satisfazendo as seguintes propriedades para quaisquer x, y, z ∈ X:
(1) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 se, e somente se, x = y;
(2) d(x, y) = d(y, x);
(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
´
1.2. ESPAC
¸ OS METRICOS
5
Qualquer fun¸ca
õ d que satisfaz as três propriedades acima é chamada de m´
etrica (ou distˆ
ancia).
As vezes utilizamos a nota¸c˜
ao (X, d) significando que X é um espa¸co métrico com métrica d.
p
Exemplo 1.4 Seja X = Rn e d1 (x, y) = kx − yk = (x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )2 , x, y ∈ Rn .
Das propriedades de produto interno segue que (Rn , d1 ) é um espa¸co métrico. Além disso,
podemos ainda definir d2 (x, y) = |x − y| = maxi {|xi − yi |}. Verifica-se sem muitas dificuldades
que (Rn , d2 ) é também um espa¸co métrico. As métricas d1 e d2 s˜
ao chamadas de métrica
euclidiana e métrica do sup, respectivamente. Elas est˜
ao relacionadas de várias maneiras. Em
particular,
√
|x − y| ≤ kx − yk ≤ n|x − y|, para quaisquer x, y ∈ Rn .
Exemplo 1.5 Seja X qualquer conjunto n˜
ao vazio. Dados x, y ∈ X defina d(x, y) = 1 se x 6= y
e d(x, x) = 0. Ent˜
ao, apesar de parecer meio artificial, d define uma métrica em X.
Suponha que d seja uma métrica em X e que Y ⊂ X. Então existe automaticamente uma
métrica dY em Y (e portanto (Y, dY ) é um espa¸co métrico) definida pela restri¸cão de d à Y × Y ,
isto é,
dY = d |Y ×Y .
˜ y) como sendo
Exemplo 1.6 Seja S 2 a esfera de raio 1 em R3 . Dados x, y ∈ S 2 , defina d(x,
2
˜
o comprimento do menor arco sobre S que une x a y. Então d é uma métrica em S 2 . Além
disso, note que d˜ 6= d1 |S 2 ×S 2 , onde d1 é a métrica euclidiana. De fato, a seguinte desiguladade
é satisfeita:
˜ y) ≤ π d1 (x, y), para quaisquer x, y ∈ S 2 .
d1 (x, y) ≤ d(x,
2
Recorrendo `
a no¸c˜
ao de distˆ
ancia podemos definir os conceitos fundamentais de conjuntos
abertos e fechados.
Defini¸
c˜
ao 1.7 Seja (X, d) um espa¸co métrico e x0 ∈ X. dado ε > 0, o conjunto
U (x0 , ε) := {x ∈ X | d(x, x0 ) < ε}
é chamado de ε-vizinhan¸
ca de x0 . Um subconjunto V ⊂ X é chamado de aberto se, para
qualquer x0 ∈ V , existe ε > 0 tal que U (x0 , ε) ⊂ V . Um subconjunto C ⊂ X é chamado de
fechado se seu complemento X − C = X \ C = C c é aberto.
Observa¸
c˜
ao 1.8 Seja (X, d) um espa¸co métrico e Y ⊂ X. Ent˜
ao uma ε-vizinhan¸ca de um
ponto x0 ∈ Y na métrica dY é dada por U (x0 , ε) ∩ Y , sendo essa u
´ltima entendida na métrica d.
õS de subconjuntos
Proposi¸
c˜
ao 1.9 Seja (X, d) um espa¸co métrico e {Uα | α ∈ A} uma cole¸ca
abertos de X, onde A é um conjunto de ´ındices qualquer. Ent˜
ao o conjunto α∈A Uα é aberto
T
de X. Se supormos que que A é finito, isto é, A = {1, . . . , k}, ent˜
ao kα=1 Uα é aberto.
Corol´
ario 1.10 Se Y ⊂ X e A é aberto em Y com rela¸ca
õ `
a dY , ent˜
ao existe um conjunto
aberto U em X tal que A = U ∩ Y .
6
Demonstra¸
c˜
ao. Sendo A aberto em Y , para qualquer x ∈ A existe εx > 0 tal que U (x, εx )∩Y ⊂
A. Definamos
[
U=
U (x, εx ).
x∈A
Temos então pela Proposi¸c˜
ao 1.9 e pela Observa¸cão 1.8 que U é aberto de X. Note que U ∩Y ⊂ A.
Além disso, como a uni˜
ao é tomada em todo x ∈ A, temos que A ⊂ U . Logo, A ⊂ U ∩ Y .
Conclui-se que A = U ∩ Y .
Em Rn as ε-vizinhan¸cas nas duas métricas d1 e d2 que vimos anteriormente recebem nomes
especiais. Se x0 ∈ Rn , a ε-vizinhan¸ca de x0 na métrica euclidiana d1 é chamada de bola aberta de
centro x0 e raio ε, e é denotada por Bε (x0 ). A ε-vizinhan¸ca de x0 na métrica do sup é chamada
de cubo aberto de centro x0 e raio ε, sendo denotado por Cε (x0 ). Pelo Exemplo 1.4 temos que
Bε (x0 ) ⊂ Cε (x0 ) ⊂ Bε√n (x0 ),
para qualquer x0 ∈ Rn e qualquer ε > 0. Podemos refrasear este fato na maneira apresentada
no pr´
oximo resultado.
Proposi¸
c˜
ao 1.11 Um subconjunto U ⊂ Rn é aberto com rela¸ca
õ `
a métrica d1 se, se e somente
se, é aberto com rela¸ca
õ `
a métrica d2 .
Defini¸
c˜
ao 1.12 Um ponto x0 de um espa¸co métrico X é chamado de ponto limite de um
subconjunto A ⊂ X se para toda ε-vizinhan¸ca de x0 U (x0 , ε), o conjunto U (x0 , ε) ∩ A possui
infinitos elementos. Se x0 ∈ A n˜
ao é ponto limite de A dizemos que x0 é ponto isolado de A.
Um subconjunto D ⊂ X é denso em X se todo ponto de X é ponto limite de D ou um
ponto de D.
O conjunto
A := A ∪ {x ∈ X | x é ponto limite de A}
é chamado de fecho de A.
Em particular, o fecho de qualquer subconjunto de X é um subconjunto fechado.
1.3
Limites e continuidade
Consideremos dois espa¸cos métricos (X, dX ) e (Y, dY ), uma fun¸cão f : X → Y e x0 ∈ X.
Defini¸
c˜
ao 1.13 Nas condi¸co
˜es acima, dizemos que f é cont´ınua em x0 se, dado ε > 0, existe
um δ > 0, δ = δ(ε), tal que
dY (f (x), f (x0 )) < ε sempre que dX (x, x0 ) < δ.
Dizemos que f é cont´ınua se f é cont´ınua em todo x0 ∈ X.
Uma formula¸c˜
ao alternativa para a defini¸cão de continuidade pode ser apresentada na forma
de teorema.
Teorema 1.14 A fun¸ca
õ f é cont´ınua se, e somente se, para qualquer subconjunto aberto U de
Y , tem-se que a pré-imagem f −1 (U ) é aberta em X.
7
1.4. INTERIOR E EXTERIOR
Defini¸
c˜
ao 1.15 A fun¸ca
õ é chamada de homeomorfismo se ela é invers´ıvel e ambas, f e f −1 ,
s˜
ao cont´ınuas. Os espa¸cos métricos (X, d) e (Y, d) s˜
ao homeomorfos se existe um homeomorfismo de X em Y . Duas métricas d e d′ definidas no mesmo conjunto X s˜
ao equivalentes se
existe um homeomorfismo de (X, d) em (X, d′ ).
Também definimos o limite de uma fun¸cão f em termos da métrica.
Defini¸
c˜
ao 1.16 Seja A ⊂ X e f : A → Y . Seja ainda x0 um ponto limite do dom´ınio A de f .
Dizemos que o limite de f em x0 ´
e y0 se, para cada ε > 0, existe um δ > 0 tal que
dY (f (x), y0 ) < ε sempre que x ∈ A e 0 < dX (x, x0 ) < δ.
Limites e continuidade de fun¸c˜
oes em espa¸cos métricos satisfazem as mesmas propriedades
que limites e continuidades de fun¸c˜
oes em R com rela¸cão à soma, produto e composi¸cão.
1.4
Interior e exterior
Defini¸
c˜
ao 1.17 Seja (X, d) um espa¸co métrico e A ⊂ X. o conjunto
Int A := (Ac )c
é chamado interior de A.
Note que x ∈ Int A se, e somente se, existe ε > 0 tal que U (x, ε) ⊂ A, e assim o interior de
A é aberto.
Defini¸
c˜
ao 1.18 O exterior de A é o conjunto Ext A := Int(Ac ). O bordo, (ou fronteira) de
A é o conjunto ∂A := X \ (Ext A ∪ Int A).
Notemos que sempre vale X = Int A ∪ Ext A ∪ ∂A.
1.5
Compacidade em Rn
Passamos a relembrar nesta se¸c˜
ao o importante conceito de subconjuntos compactos. Para isso
algumas defini¸c˜
oes e observa¸c˜
oes ser˜
ao necessárias e, como usual, denotaremos por (X, d) um
espa¸co métrico.
Seja A ⊂ X. Uma cobertura S
de A é uma cole¸cão de subconjuntos {Uα | α ∈ I}, sendo I um
conjunto de ´ındices, tal que A ⊂ α∈I Uα . Se cada Uα é aberto, então dizemos que a cobertura
é aberta.
Defini¸
c˜
ao 1.19 Um subconjunto A ⊂ X é chamado de compacto se toda cobertura aberta de
A possui uma subcole¸ca
õ finita que também forma uma cobertura aberta de A.
Um subconjunto B de um espa¸co métrico (X, d) é dito limitado se existe uma constante
M > 0 e x0 ∈ X tal que d(x, x0 ) ≤ M para qualquer x ∈ B.
Em Rn os compactos s˜
ao caracterizados como sendo os subconjuntos fechados e limitados.
Uma parte desse rsultado possui uma prova simples e daremos a seguir. Na verdade, enunciamos
somente para Rn mas ele vale para qualquer espa¸co métrico.
8
Teorema 1.20 Seja X um subespa¸co compacto de Rn . Ent˜
ao X é fechado e limitado.
Demonstra¸
c˜
ao. Por equivalência, basta demonstrarmos o resultado com rela¸cão à métrica d2 .
Mostremos incialmente que X é limitado. Para cada N ∈ Z+ definimos o cubo aberto
UN := CN (0). Ent˜
ao:
∞
[
UN .
U1 ⊂ U2 ⊂ . . . e Rn =
N =1
Em particular, o conjunto {UN | N ∈ Z+ } é uma cobertura aberta do compacto X, existindo
assim uma quantidade finita de inteiros positivos N1 , . . . , Nk tais que
X⊂
k
[
UNj .
j=1
Assim, sendo M = maxj {Nj }, segue que X ⊂ UM e X é limitado.
Agora demonstremos que Rn \X é aberto, isto é, que X é fechado. Para isso, seja x0 ∈ Rn \X
e, para cada N ∈ Z+ , definamos o cubo fechado CN := C1/N (x0 ). Então
. . . ⊂ C2 ⊂ C1
e
∞
\
N =1
CN = {x0 }.
Seja VN := Rn \ CN . Segue que VN é aberto e que
Rn \ {x0 } =
∞
[
VN .
N =1
Novamente, usando a compacidade de X obtemos que existe uma quantidade finita de subconjuntos VN1 , . . . VNl que cobrem X. Tomando M = maxi Ni obtemos que X ⊂ VM e em particular
CN ∩ X = ∅. Notando que x0 ∈ Int CM temos que Rn \ X é aberto.
Segunda aula ↓
Corol´
ario 1.21 Se X é um subconjunto compacto de R ent˜
ao X possui m´
aximo e m´ınimo.
ao f (X) ⊂
Teorema 1.22 Seja X um subconjunto compacto de Rn e f : X → Rm cont´ınua. Ent˜
Rm é compacto e, se m = 1, f assume m´
aximo e m´ınimo.
S
Defini¸
c˜
ao 1.23 Seja X ⊂ Rn . Dado ε > 0, o conjunto x∈X Bε (x) é chamado de ε-vizinhan¸
ca
de X na métrica euclidiana. Similarmente, substituindo Bε (x) por Cε (x) definimos a ε-vizinhan¸ca
de X na métrica do sup.
Teorema 1.24 Sejam X ⊂ Rn um subespa¸co compacto e U ⊂ Rn um aberto que contém X.
Ent˜
ao existe ε > 0 tal que a ε-vizinhan¸ca de X est´
a contida em U (em qualquer métrica d1 ou
d2 ).
1.5. COMPACIDADE EM RN
9
Demonstra¸
c˜
ao. Por equivalência das métricas, basta provarmos o resultado para a métrica do
sup.
Dado um subconjunto C ⊂ Rn , para cada x ∈ Rn definimos a distˆ
ancia entre x e C pela
express˜
ao
d(x, C) := inf {|x − c|}.
c∈C
Assumiremos por um momento que, fixado C, a fun¸cão x 7→ d(x, C) é cont´ınua de Rn em R.
Sejam U aberto tal que X ⊂ U e f : X → R dada por
f (x) := d(x, Rn \ U ).
Como f é cont´ınua e X é compacto, pelo Teorema 1.22 temos que f assume um m´ınimo. O valor
m´ınimo de f deve ser positivo, caso contr´
ario, f (x0 ) = 0 para algum x0 ∈ X, o que mostraria
que x0 ∈ Rn \ U , pois este u
´ltimo conjunto é fechado, obtendo assim uma contradi¸cão. Segue
que existe ε0 > 0 tal que f (x) ≥ ε0 para qualquer x ∈ X e assim a ε0 -vizinhan¸ca de X est´
a
contida em U .
Falta mostrarmos que x 7→ d(x, C) é cont´ınua de Rn em R. Sejam x, y ∈ Rn e c ∈ C.
Então, pela desigualdade triangular,
d(x, C) − |x − y| ≤ |x − c| − |x − y| ≤ |y − c|.
Tomando o ´ınfimo em c na desigualdade acima obtemos
d(x, C) − d(y, C) ≤ |x − y|.
Como a mesma desigualdade vale se trocarmos os papeis de x e y, obtemos
|d(x, C) − d(y, C)| ≤ |x − y|.
Segue a continuidade e a prova do teorema.
O Teorema 1.24 n˜
ao vale se retirarmos a hip´
otese de compacidade em X, como verificaremos
nos exerc´ıcios deste cap´ıtulo.
Provaremos a seguir um resultado familiar.
Teorema 1.25 Seja X ⊂ Rn um subespa¸co compacto e f : X → Rm cont´ınua. Ent˜
ao f é
uniformemente cont´ınua no seguinte sentido: dado ε > 0, existe δ > 0, dependendo somente
de ε, tal que, para quaisquer x, y ∈ X,
kf (x) − f (y)k < ε
sempre que
kx − yk < δ.
Este mesmo resultado vale se considerarmos a métrica do sup.
Demonstra¸
c˜
ao. Consideremos o produto cartesiano X × X ⊂ Rn × Rn e seu subconjunto
∆ := {(x, x) | x ∈ X},
o qual chamaremos de diagonal de X × X. Notemos que ∆ é um subconjunto compacto de R2n
já que é imagem de X pela aplica¸c˜
ao cont´ınua h(x) = (x, x).
10
Consideremos a fun¸c˜
ao g : X × X → R definida por
g(x, y) := kf (x) − f (y)k.
Notemos que g é cont´ınua já que pode ser escrita com soma e composi¸cão das fun¸cões cont´ınuas
f e d1 . Segue que, dado ε > 0, o conjunto V dos pontos (x, y) ∈ X × X para os quais g(x, y) < ε
é aberto em X × X e, como tal, deve ser escrito como a interseçcão de um aberto U ⊂ Rn × Rn
com X × X. Como ∆ ⊂ V , temos que ∆ ⊂ U .
A compacidade de ∆ e o Teorema 1.24 implicam na existência de um n´
umero δ > 0 tal que
a δ-vizinhan¸ca de ∆ ainda est´
a contida em U . Note que, se x, y ∈ X s˜
ao tais que kx − yk < δ,
então
k(x, y) − (y, y)k = k(x − y, 0)k = kx − yk < δ,
ou seja, (x, y) pertence `
a δ-vizinhan¸ca de ∆. Segue que (x, y) ∈ U e assim g(x, y) < ε, como
desejado.
A prova para o caso da métrica do sup segue por equivalência das métricas.
Para finalizarmos a carateriza¸c˜
ao dos subconjuntos compactos em Rn necessitaremos ainda
de um fato b´
asico.
Lema 1.26 O retˆ
angulo Q := [a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ] ⊂ Rn é um subconjunto compacto.
Teorema 1.27 Seja X ⊂ Rn um subconjunto limitado e fechado. Ent˜
ao X é compacto.
Demonstra¸
c˜
ao. Seja A uma cole¸c˜
ao de abertos que cobrem X. Adicionemos a esta cole¸cão o
aberto Rn \ X. Temos assim uma cobertura aberta de Rn . Como X é limitado, podemos tomar
um retˆ
angulo Q como no Lemma 1.26 tal que X ⊂ Q. Em particular a cobertura aberta de
Rn cobre o compacto Q. Extra´ımos então uma subcobertura finita que ainda cobre Q. Se esta
subcobertura de Q ainda conter Rn \ X, tiramos este conjunto obtendo ainda outra subcole¸c˜
ao
da cobertura inicial A. Tal subcole¸c˜
ao pode n˜
ao cobrir Q, mas certamente cobre X já que o
conjunto Rn \ X descartado n˜
ao contém pontos de X.
1.6
Conexidade em Rn
Nesta se¸cão daremos a defini¸c˜
ao de espa¸cos conexos e apresentaremos algumas propriedades que
necessitaremos.
Defini¸
c˜
ao 1.28 Um subconjunto Y de um espa¸co métrico X é conexo se ele n˜
ao é igual a
`
uni˜
ao de dois subconjuntos abertos, disjuntos e n˜
ao vazios.
Exemplo 1.29√O conjunto Q dos n´
umeros racionais é desconexo, sendo {x ∈ R | x >
õ.
e {x ∈ R | x < 2} ∩ Q uma decomposi¸ca
√
2} ∩ Q
Teorema 1.30 Os u
ńicos subconjuntos de R que possuem mais que um ponto e s˜
ao conexos s˜
ao
o pr´
oprio R e os intervalos (abertos, fechados ou semi-fechados).
Uma caracteriza¸c˜
ao de subconjuntos conexos é dada no pr´
oximo resultado.
1.7. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO
11
Teorema 1.31 Seja X um espa¸co métrico. S˜
ao equivalentes:
1. X é conexo;
2. os u
ńicos subconjuntos de X que s˜
ao abertos e fechados s˜
ao o pr´
oprio X e ∅;
3. nenhuma fun¸ca
õ cont´ınua f : X → {1, 2} é sobrejetiva.
Usaremos o seguinte fato b´
asico sobre espa¸cos conexos.
Teorema 1.32 (Teorema do valor intermedi´
ario) Sejam X e Y espa¸cos métricos. Se X é
conexo e f : X → R é cont´ınua ent˜
ao f (X) é conexo.
Demonstra¸
c˜
ao. Se f (X) n˜
ao fosse conexo, pelo Teorema 1.31 existiria uma fun¸cão g : f (X) →
{1, 2} cont´ınua e sobrejetora. Assim, a composi¸cão g ◦ f : X → {1, 2} seria também cont´ınua e
sobrejetora, contradizendo o fato de X ser conexo.
Em particular, uma fun¸c˜
ao cont´ınua de um espa¸co métrico conexo X com valores em R
assume todos os valores entre dois quaisquer pontos de sua imagem.
Uma importante classe de conjuntos conexos em Rn é dada pelos conjuntos convexos, que
passamos a definir.
Dados x1 , x2 ∈ Rn , o segmento de reta unindo x1 a x2 é dado por t 7→ x1 + t(x2 − x1 ),
0 ≤ t ≤ 1.
Um subconjunto A ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta unindo quaisquer de seus pontos
est´
a inteiramente contido em A. Notemos que qualquer subconjunto convexo de Rn é conexo.
1.7
Exerc´ıcios do cap´ıtulo
Exerc´ıcio 1 Se x, y ∈ Rn , prove que kx + yk ≤ kxk + kyk. Quando vale a igualdade? (A
resposta n˜
ao é “quando x e y forem linearmente dependentes”).
n
X
xi yi ≤ kxkkyk, com a
Exerc´ıcio 2 Sejam x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ). Prove que i=1
igualdade valendo se, e somente se, x e y forem linearmente dependentes.
Exerc´ıcio 3 Sejam f e g fun¸co
˜es integr´
aveis em [a, b].
(i) Prove que
1/2
1/2 Z b
Z b
Z b
2
2
.
g
dx
f
dx
≤
f
gdx
a
a
Sugest˜
ao: considere separadamente os casos 0 =
Z b
(f − λg)2 dx para todo λ ∈ R.
0<
Z
a
a
b
(f − λg)2 dx para algum λ ∈ R e
a
(ii) No caso em que temos igualdade, é verdade que f = λg para algum λ ∈ R? E se f e g
forem cont´ınuas?
12
(iii) Existe alguma rela¸ca
õ entre a desigualdade do item (i) com a desigualdade do Exerc´ıcio
2?
Exerc´ıcio 4 Uma transforma¸ca
õ linear T : Rn → Rn preserva norma se kT xk = kxk para
n
qualquer x ∈ R e preserva produto interno se hT x, T yi = hx, yi para quaisquer x, y ∈ Rn .
Prove que estas duas propriedades s˜
ao equivalentes. Prove ainda que, neste caso, T é bijetora e
T −1 também satisfaz as mesmas propriedades.
Exerc´ıcio 5 Definimos o ˆ
angulo entre dois vetores n˜
ao nulos x, y ∈ Rn por
hx, yi
.
∠(x, y) := arccos
kxkkyk
A transforma¸ca
õ linear T : Rn → Rn preserva ˆ
angulo se T é bijetora e ∠(T x, T y) = ∠(x, y)
para vetores n˜
ao nulos x e y.
(i) Prove que se T preserva norma, ent˜
ao T preserva ˆ
angulo.
(ii) Suponha que exista uma base {x1 , . . . , xn } ortonormal de Rn e n´
umeros λ1 , . . . , λn tais que
T xi = λi xi , i = 1, . . . , n. Prove que T preserva ˆ
angulo se, e somente se, |λi | s˜
ao todos
iguais.
Exerc´ıcio 6 Sejam 0 ≤ θ < π e T : R2 → R2 dada na forma matricial por
cos θ sen θ
.
− sen θ cos θ
Mostre que T preserva ˆ
angulo e que, se x 6= 0, ∠(x, T x) = θ.
Exerc´ıcio 7 Se T : Rm → Rn é uma transforma¸ca
õ linear, mostre que existe uma constante
M > 0 tal que kT xk ≤ M kxk, para qualquer x ∈ Rm .
Sugest˜
ao: estime kT xk em termos de kxk e das entradas da matriz de T .
˜es cont´ınuas
Exerc´ıcio 8 Seja X um espa¸co métrico e suponha que a11 , . . . , amn sejam mn fun¸co
de X em R. Para cada p ∈ X, seja Ap a transforma¸ca
õ linear de Rn em Rm cuja matriz é
(aij (p))m×n . Mostre que p 7−→ Ap é cont´ınua de X em L(Rn , Rm ).
Exerc´ıcio 9 Dois vetores x, y ∈ Rn s˜
ao ortogonais se hx, yi = 0. Prove ou dê um contra
exemplo:
(i) se x é ortogonal `
a y, ent˜
ao kx + λyk ≥ kxk para qualquer λ ∈ R;
(ii) se kx + λyk ≥ kxk para qualquer λ ∈ R, ent˜
ao x é ortogonal `
a y.
Exerc´ıcio 10 Seja f uma fun¸ca
õ cont´ınua em Rn . Suponha que f (x) > 0 para qualquer x 6= 0 e
que f (cx) = cf (x) para qualquer x ∈ Rn e qualquer c ∈ R, c > 0. Mostre que existem constantes
a > 0 e b > 0 tais que akxk ≤ f (x) ≤ bkxk.
Sugest˜
ao: Considere primeiramente o conjunto {x ∈ Rn : kxk = 1}.
13
Exerc´ıcio 11 Seja (X, d) um espa¸co métrico. Mostre que, para cada M > 0, existe uma métrica
dM tal que dM (x, y) ≤ M , para quaisquer x, y ∈ X e ainda (X, d) e (X, dM ) s˜
ao homeomorfos.
Equivalentemente, todo espa¸co métrico é homeomorfo a um espa¸co métrico limitado.
Exerc´ıcio 12 (Conjunto de Cantor) Seja C = [0, 1] \ (A1 ∪ A2 ∪ . . .), onde A1 = ( 31 , 23 ),
1 2
25 26
, 27 ) ∪ . . . ∪ ( 27
, 27 ) e Aj é a uni˜
ao de 2j−1 intervalos abertos de
A2 = ( 19 , 92 ) ∪ ( 79 , 98 ), A3 = ( 27
comprimento 3−j escolhidos similarmente. Mostre que C é fechado e que n˜
ao existe conjunto
aberto no qual C seja denso.
Observa¸
c˜
ao: uma das propriedades interessantes do conjunto de Cantor é que ele nos
d´
a um exemplo de conjunto n˜
ao enumer´
avel de medida nula, conceito que trabalharemos mais
adiante no curso.
Exerc´ıcio 13 Seja α um n´
umero irracional fixado e Rα o conjunto de todas as retas da forma
y = αx + (n − αm),
onde n, m ∈ Z. Mostre que R é um subconjunto denso de R2 .
Sugest˜
oes:
1- basta provar que o conjunto {n − αm | n, m ∈ Z} é denso no eixo y;
2- assuma que, dado ε > 0, existem n´
umeros inteiros n′ e m′ suficientemente grandes tais
′
n
1
1
que 0 < ′ − α < ′2 e ′ < ε. Este fato pode ser utilizado sem a prova. Para uma prova
m
m
m
consulte [8].
Exerc´ıcio 14 Seja R+ o conjunto dos n´
umeros reais positivos.
a) Mostre que a fun¸ca
õ cont´ınua f : R+ → R dada por f (x) =
possui m´
aximo nem m´ınimo.
1
é limitada mas n˜
ao
1+x
1
ao
b) Mostre que a fun¸ca
õ cont´ınua g : R+ → R dada por g(x) = sen é limitada mas n˜
x
uniformemente cont´ınua em R+ .
Exerc´ıcio 15 Sejam X = (−1, 1) × {0} ⊂ R2 e U = B1 (0) ⊂ R2 . Note que X ⊂ B1 (0). Mostre
que n˜
ao existe ε > 0 tal que a ε–vizinhan¸ca de X em R2 esteja contida em U .
14
Cap´ıtulo 2
Diferenciabilidade
Neste cap´ıtulo vamos estudar o c´
alculo diferencial de fun¸cões f : Rn → Rm . As vezes, chamaremos uma fun¸c˜
ao de várias vari´
aveis com valores em Rm de uma aplica¸cão. A teoria se baseia
na aproxima¸c˜
ao linear local dessas aplica¸cões como no caso em que m = n = 1. Dentre os
resultados que obteremos est´
a o que trata da diferenciabilidade da composta de duas fun¸cões
(Regra da Cadeia). Além disso, sendo a derivada uma aproxima¸cão linear da uma fun¸cão em
um ponto onde ela é diferenci´
avel, estudaremos que tipo de informa¸cões qualitativas podemos
obter analisando somente a derivada. Os principais resultados nessa dire¸cão s˜
ao o Teorema da
Fun¸cão Inversa e o Teorema da Fun¸c˜
ao Impl´ıcita. O primeiro destes teorema ainda nos fornecer´
a
consequências importantes que s˜
ao as Formas Locais das Imers˜
oes e das Submers˜
oes e o Teorema
do Posto.
Segunda aula (continua¸cão)↓
2.1
Defini¸
c˜
oes b´
asicas
Uma primeira tentativa para definirmos a diferenciabilidade de uma fun¸cão f : Rn → Rm seria a
seguinte: fixamos n − 1 vari´
aveis e tratamos f como sendo uma fun¸cão de apenas uma vari´
avel.
Isto feito, supondo que f est´
a sendo considerada como fun¸cão de xi , definimos a derivada parcial
de f na dire¸c˜
ao xi como no caso de uma vari´
avel. Assim, as derivadas parciais d˜
ao informa¸cões
a respeito de f ao longo das dire¸c˜
oes dadas pelos eixos coordenados. Existe porém uma pequena
modifica¸cão deste conceito que estuda a varia¸cão de f localmente em dire¸cões dadas por um
vetor fixado u.
Defini¸
c˜
ao 2.1 Sejam A ⊂ Rn um aberto, x0 ∈ A, u 6= 0 um vetor em Rn e f : A → Rm . A
derivada direcional de f em x0 na dire¸ca
õ de u, denotada por f ′ (x0 ; u), é definida por
f (x0 + hu) − f (x0 )
,
h→0
h
f ′ (x0 ; u) := lim
sempre que este limite existir.
Outra nota¸c˜
ao para f ′ (x0 ; u) é
∂f
(x0 ).
∂u
15
CAPÍTULO 2. DIFERENCIABILIDADE
16
Observa¸
c˜
ao 2.2 No caso em que u = ei , onde ei é o i-ésimo vetor da base canˆ
onica de Rn ,
temos que a derivada direcional de f na dire¸ca
õ de u coincide com a derivada parcial de f
∂f
.
na dire¸ca
õ ei , e denotamos por
∂xi
Exemplo 2.3 Seja f : Rn → R dada por f (x) = kxk2 e u ∈ Rn qualquer vetor fixado. Então
f (x + hu) − f (x) = hx + hu, x + hui − kxk2
= kxk2 + 2hhx, ui + h2 kuk2 − kxk2
= 2hhx, ui + h2 kuk2 .
Segue que f ′ (x; u) = 2hx, ui.
Ao tentarmos obter informa¸c˜
oes sobre a continuidade de uma fun¸cão analisando suas
derivadas direcionais encontraremos alguns problemas.
Exemplo 2.4 Seja f : R2 → R dada por
x + y se xy = 0,
f (x, y) =
1
caso contr´
ario.
∂f
∂f
(0, 0) =
(0, 0) = 1. Entretanto, f n˜
ao é cont´ınua na origem. Note ainda que, para
∂x
∂y
qualquer dire¸c˜
ao u = (a, b), com a 6= 0 e b 6= 0, temos que
Então
f (ha, hb)
1
f (0 + ha, 0 + hb) − f (0, 0)
=
=
h
h
h
e assim, n˜
ao existe f ′ (0, 0; u).
No exemplo anterior a derivada direcional n˜
ao existia em dire¸cões diferentes daquelas dadas
pelos eixos. Existem ainda fun¸c˜
oes que possuem derivadas direcionais em todas as dire¸cões em
um dado ponto x0 mas que supreendetemente s˜
ao descont´ınuas em x0 .
Exemplo 2.5 Seja f : R2 → R dada por

 xy 2
f (x, y) =
x2 + y 4

0
se x 6= 0,
se x = 0.
Consideremos um vetor u = (a, b) qualquer. Temos então que, se a 6= 0,
f (0 + ha, 0 + hb) − f (0, 0)
h3 ab2
ab2
=
=
.
h
h(h2 a2 + h4 b4 )
a2 + h2 b4 )
Segue que
′
f (0, 0; u) =
b2 /a se a 6= 0,
0
se x = 0.
Assim, existem as derivadas direcionais de f em (0, 0) em todas as dire¸cões. Entretanto, f n˜
ao
é cont´ınua em (0, 0). De fato, f (0, 0) = 0 mas, se calcularmos o limite de f em (0, 0) sobre a
par´
abola x = y 2 obteremos 1/2.
˜
´
2.1. DEFINIC
¸ OES
BASICAS
17
Terceira aula ↓
Para obtermos continuidade necessitamos de um conceito mais forte que derivadas direcionais que é a diferenciabilidade. Recordemos o caso de fun¸cões de R em R.
Dada uma fun¸c˜
ao f : R → R, definimos a derivada de f por meio do limite (se ele existir)
f ′ (x) := lim
h→0
f (x + h) − f (x)
.
h
Definamos
f (x + h) − f (x)
− f ′ (x).
h
Então g n˜
ao est´
a definida em h = 0, mas
g(h) :=
lim g(h) = 0.
h→0
No caso em que h 6= 0 podemos escrever
f (x + h) − f (x) = f ′ (x)h + hg(h).
Definindo g(0) = 0 observamos que a rela¸cão acima continua sendo verdadeira em h = 0. Além
disso, podemos substituir h por −h se substituirmos g por −g. Acabamos de verificar que, se f
é diferenci´
avel, existe uma fun¸c˜
ao g tal que
f (x + h) − f (x) = f ′ (x)h + |h|g(h),
lim g(h) = 0.
(2.1)
h→0
Reciprocamente, suponha que existe λ ∈ R e uma fun¸cão g tal que
f (x + h) − f (x) = λh + |h|g(h),
lim g(h) = 0.
(2.2)
h→0
Se h 6= 0 temos que
|h|
f (x + h) − f (x)
=λ+
g(h).
h
h
Logo, tomando o limite h → 0 na express˜
ao acima e observando que
|h|
g(h) = 0,
h→0 h
lim
obtemos que f é diferenci´
avel e que sua derivada f ′ (x) vale justamente λ.
Segue dessa an´
alise que a existência de um n´
umero λ e de uma fun¸cão g satisfazendo (2.2)
poderia ser usada como defini¸c˜
ao de diferenciabilidade de fun¸cões de uma vari´
avel real. Notemos
ainda na express˜
ao (2.1) que a quantidade T (h) := f ′ (x)h é linear em h. A derivada total de
uma fun¸cão de várias vari´
aveis ser´
a definida preservando as propriedades acima.
Defini¸
c˜
ao 2.6 Seja A ⊂ Rn e f : A → Rm . Suponha que A contenha uma vizinhan¸ca de x0 .
Dizemos que f é diferenci´
avel em x0 se existe uma matriz B, do tipo m × n, tal que
f (x0 + H) − f (x0 ) − B · H
= 0.
H→0
|H|
lim
A matriz B é chamada de derivada ou diferencial de f em x0 , e é denotada por B = Df (x0 ).
18
Na Defini¸c˜
ao 2.6 utilizamos a norma do sup, mas poder´ıamos ter utilizado a norma euclidiana sem nenhuma perda. Para que esta defini¸cão fa¸ca sentido devemos observar que a matriz
Df (x0 ), quando existe, é u
ńica.
Lema 2.7 A derivada de f : A ⊂ Rn → Rm , quando existe, é u
ńica.
Demonstra¸
c˜
ao. Suponha que B e C sejam duas matrizes que satisfazem a condi¸cão na defini¸cão
de derivada. Segue que
(C − B) · H
= 0.
lim
H→0
|H|
Fixado u =
6 0, tomamos H = tu e fazemos t → 0. Segue que (C − B) · u = 0 e, como u é
qualquer, C = B.
Mostremos que a defini¸c˜
ao de diferenciabilidade que acabamos de dar, na qual a matriz
Df (x0 ) é conhecida como derivada de Fréchet, é mais forte que o conceito de derivada direcional,
conhecida como derivada de Gˆ
ateaux. De fato, diferenciabilidade implica em continuidade.
Teorema 2.8 Seja A ⊂ Rn e f : A → Rm . Se f é diferenci´
avel em x0 ∈ A ent˜
ao f é cont´ınua
em x0 .
Demonstra¸
c˜
ao. Para H pequeno de forma que x0 + H ∈ A temos que
f (x + H) − f (x ) − Df (x ) · H 0
0
0
+ Df (x0 ) · H.
f (x0 + H) − f (x0 ) = |H|
|H|
Como a express˜
ao dentro do parênteses tende a 0 quando H → 0 temos que
lim f (x0 + H) − f (x0 ) = 0.
H→0
Logo f é cont´ınua em x0 .
Podemos ainda recuperar o conceito de derivada direcional utilizando o conceito de diferenciabilidade.
Proposi¸
c˜
ao 2.9 Seja A ⊂ Rn e f : A → Rm . Se f é diferenci´
avel em x0 ∈ A ent˜
ao f ′ (x0 ; u)
n
existe para qualquer vetor u ∈ R e
f ′ (x0 ; u) = Df (x0 ) · u.
Em particular, se m = 1 ent˜
ao
Df (x0 ) =
∂f
∂f
(x0 ), . . . ,
(x0 ) .
∂x1
∂xn
Demonstra¸
c˜
ao. Seja B := Df (x0 ). Tomemos H = tu, t 6= 0, e substituimos na defini¸cão de
diferenciabilidade. Obtemos que
f (x0 + tu) − f (x0 ) − B · tu
= 0.
t→0
|tu|
lim
(2.3)
˜
´
2.1. DEFINIC
¸ OES
BASICAS
19
Multiplicamos (2.3) por |u| ou por −|u|, dependendo se t > 0 ou t < 0, respectivamente. Em
ambos os casos obtemos
f (x + tu) − f (x ) 0
0
− B · u = 0.
lim
t→0
t
Segue que f ′ (x0 ; u) = B · u.
Suponhamos agora que m = 1. Então, por defini¸cão, Df (x0 ) é uma matriz 1 × m que
escrevemos como
Df (x0 ) = (λ1 . . . λm ).
Pela primeira parte deste teorema temos que
∂f
(x0 ) = f ′ (x0 ; ej ) = Df (x0 ) · ej = λj ,
∂xj
j = 1, . . . , m.
O resultado segue.
Observa¸
c˜
ao 2.10 No caso em que f : A ⊂ Rn → R é diferenci´
avel em x0 , usamos a nota¸ca
õ
∂f
∂f
∇f (x0 ) :=
(x0 ), . . . ,
(x0 ) ,
∂x1
∂xn
chamado de gradiente de f em x0 .
Sejam {e1 , . . . , en } e {u1 , . . . , um } as bases canˆ
onicas de Rn e Rm respectivamente. Dada
n
m
f : A ⊂ R → R diferenci´
avel em x0 ∈ A, definamos a transforma¸cão linear T : Rn → Rm por
T (ei ) := Df (x0 ) · ei = f ′ (x0 ; ei ).
Suponhamos que f = (f1 , . . . , fm ), isto é,
f (x) =
m
X
fj (x)uj .
j=1
Com esta nota¸c˜
ao temos que
m
X fj (x0 + tei ) − fj (x0 )
f (x0 + tei ) − f (x0 )
= lim
uj .
f (x0 ; ei ) = lim
t→0
t→0
t
t
′
(2.4)
j=1
Fazendo o produto interno de ambos os lados da igualdade (2.4) com uj , j = 1, . . . , m, vemos
∂fj
que cada termo na soma possui limite, o qual é justamente
(x0 ), ou seja
∂xi
m
X
∂fj
j=1
∂xi
(x0 )uj = f ′ (x0 ; ei ) = T (ei ).
Segue que a matriz de T com rela¸c˜
ao a`s bases canˆ
onicas de Rn e

∂f1
∂f1
∂f1
(x0 )
(x0 ) . . .
(x0 )
 ∂x1
∂x2
∂xn

..
..
..
..

.
.
.
.

 ∂fm
∂fm
∂fm
(x0 )
(x0 ) . . .
(x0 )
∂x1
∂x2
∂xn
Rm é



.


Tal matriz é chamada de Jacobiana de f em x0 , sendo denotada por Df (x0 ). Ela est´
a
definida em qualquer ponto de Rn onde f é diferenci´
avel.
20
2.2
O Teorema do Valor M´
edio
Para uma fun¸c˜
ao diferenci´
avel g : R → R, o Teorema do Valor Médio afirma que
g(x) − g(y) = g ′ (z)(x − y),
para algum z ∈ (x, y). Entretanto esta rela¸cão n˜
ao é válida em geral para fun¸cões de Rn em
m
R . Vamos demonstrar que uma vers˜
ao corrigida do teorema é válida. Utilizaremos a seguinte
n
nota¸cão: para x, y ∈ R , definimos
L(x, y) := {tx + (1 − t)y | 0 ≤ t ≤ 1}.
Teorema 2.11 (Teorema do Valor M´
edio) Sejam A ⊂ Rn um aberto e f : A → Rm diferenci´
avel em todo ponto de A. Sejam x, y ∈ A tais que L(x, y) ⊂ A. Ent˜
ao, para todo a ∈ Rm ,
existe z ∈ L(x, y) tal que
a, (f (y) − f (x)) = a, Df (z) · (y − x) .
Demonstra¸
c˜
ao. Seja u = y − x. Como A é aberto e L(x, y) ⊂ A, temos que existe δ > 0 tal
que x + tu ∈ A, para qualquer −δ < t < 1 + δ (basta usar o Teorema 1.24). Agora fixemos
a ∈ Rm e definamos F : (−δ, 1 + δ) → Rm por
F (t) := a, f (x + tu) .
Notemos que
F (t + h) − F (t) = a, f ′ (x + tu; u) .
h→0
h
lim
Em particular, F é diferenci´
avel em (0, 1). Segue do Teorema do Valor Médio de uma vari´
avel
que existe 0 < θ < 1 tal que
F (1) − F (0) = F ′ (θ) = a, f ′ (x + θu; u) = a, f ′ (z; y − x) = a, Df (z) · (y − x) ,
onde z := x + θu ∈ L(x, y). O resultado segue notando que F (1) − F (0) = a, (f (y) − f (x)) . Observa¸
c˜
ao 2.12
1. No caso em que m = 1, tomando a = 1, o Teorema 2.11 implica que
para algum z ∈ L(x, y).
f (y) − f (x) = ∇f (z), (y − x) ,
2. Tomando a de norma 1 segue do Teorema 2.11 que
kf (y) − f (x)k ≤ M ky − xk,
onde M é a norma de Df (z), para algum z ∈ L(x, y). Em particular, se A é convexo e as
derivadas parciais de f s˜
ao limitadas em A, ent˜
ao f é Lipschitz.
˜ SUFICIENTE PARA DIFERENCIABILIDADE
2.3. UMA CONDIC
¸ AO
2.3
21
Uma condi¸c˜
ao suficiente para diferenciabilidade
Até agora obtemos resultados que s˜
ao consequências da hip´
otese de diferenciabilidade de uma
fun¸cão. Entretanto, vimos também que nem a existência das derivadas direcionais em todas
as dire¸cões de uma certa fun¸c˜
ao em um dado ponto n˜
ao implicam na diferenciabilidade desta
fun¸cão neste ponto (já que pode acontecer de n˜
ao termos nem mesmo continuidade). O pr´
oximo
resultado mostra que a continuidade das derivadas parciais é suficiente para garantirmos a
diferenciabilidade.
Teorema 2.13 Seja A ⊂ Rn um aberto e f : A → Rm , com f = (f1 , . . . , fm ). Suponha que as
∂fj
das fun¸co
˜es componentes existem em cada ponto de A e s˜
ao cont´ınuas
derivadas parciais
∂xi
em A. Ent˜
ao f é diferenci´
avel em A.
Demonstra¸
c˜
ao. Primeiramente notemos que é suficiente provarmos o teorema no caso de
uma fun¸cão com valores em R. De fato, é um exerc´ıcio mostrar que a diferenciabilidade de f =
(f1 , . . . , fm ) é equivalente `
a diferenciabilidade de cada componente (compare com os argumentos
no final da Se¸c˜
ao 2.1 quando falamos de matriz Jacobiana).
Rm
Dados x0 ∈ A e ε > 0, consideremos o pontos x ∈ A tais que |x − x0 | < ε.
Seja H = (h1 , . . . , hm ) ∈ Rm com 0 < |H| < ε. Consideremos então os seguintes pontos de
que s˜
ao vértices de um paralelep´ıpedo retˆ
angulo centrado em x0 :
p 0 = x0 ,
p1 = x0 + h1 e1 ,
..
.
pm = x0 + h1 e1 + . . . + hm em = x0 + H.
Podemos escrever
f (x0 + H) − f (x0 ) =
m
X
j=1
f (pj ) − f (pj−1 ) .
(2.5)
Suponhamos hj 6= 0 e definamos φ(t) := f (pj−1 + tej ), t ∈ [−δ, hj + δ], para algum δ > 0.
Notemos ainda que φ é difereci´
avel em t. Aplicando o Teorema do Valor Médio à φ concluimos
que
∂f
f (pj ) − f (pj−1 ) = φ(hj ) − φ(0) = φ′ (cj )hj =
(qj )hj ,
(2.6)
∂xj
para algum cj ∈ (0, hj ), onde qj = pj−1 + cj ej . Notemos que se hj = 0, então (2.6) vale
automaticamente. Substituindo (2.6) em (2.5) concluimos que
f (x0 + H) − f (x0 ) =
m
X
∂f
(qj )hj .
∂xj
j=1
Subtraindo h∇f (x0 ), Hi em ambos os lados da igualdade (2.7) e dividindo por |H| nos d´
a
m
h
∂f
f (x0 + H) − f (x0 ) − h∇f (x0 ), Hi X ∂f
j
=
.
(qj ) −
(x0 )
|H|
∂xj
∂xj
|H|
j=1
(2.7)
22
Fazendo H → 0, vemos que qj → x0 . Usando a continuidade das derivadas pariciais e a limita¸c˜
ao
do quociente hj /|H| obtemos o resultado.
Uma fun¸c˜
ao f : A ⊂ Rn → Rm cujas derivadas parciais existem e s˜
ao cont´ınuas em A é
chamada de continuamente diferenci´
avel ou de classe C 1 em A. No decorrer deste texto usaremos
ainda a nota¸c˜
ao
∂f
.
Dj f (x) :=
∂xj
Suponha que f : A ⊂ Rn → Rm e que as derivadas pariciais das componentes de f , dadas
por Dj fi , existam. Estas s˜
ao, portanto, fun¸cões de A em Rm . Podemos então considerar as suas
derivadas parciais Dk (Dj fi ) = Dk,j fi , que s˜
ao as chamadas derivadas parciais de segunda ordem
de f . Similarmente definimos as derivada de terceira ordem, e assim por diante. Se as derivadas
parciais de f até ordem r existem e s˜
ao cont´ınuas, dizemos que f é de classe C r . Dizemos ainda
∞
que f é de classe C se as derivadas parciais de todas as ordens de f existem.
2.4
O Teorema de Clairaut-Schwarz
Esta se¸cão n˜
ao foi trabalhada em sala de aula.
O Teorema de Clairaut-Schwarz nos d´
a condi¸cões sob as quais temos a igualdade das
derivadas parciais de segunda ordem mistas Dk,j f e Dj,k f .
Teorema 2.14 (Teorema de Clairaut-Schwarz) Seja A ⊂ Rn um aberto e f : A → R uma
fun¸ca
õ de classe C 2 . Ent˜
ao, para cada x0 ∈ A,
Dk Dj f (x0 ) = Dj Dk f (x0 ).
Demonstra¸
c˜
ao. Não faremos por enquanto a demosntra¸cão deste resultado. Os interessados
podem consultar a referência [9]. Mais adiante, ao estudarmos o Teorema de Fubini teremos
condi¸cões de dar uma prova elementar deste teorema.
Quarta aula ↓
2.5
A Regra da Cadeia
Para fun¸cões f e g tais que a composta h = f ◦ g pode ser calculada, a regra da cadeia nos diz
como calcular a derivada total de h em termos da derivada total de f e de g.
˜es f : A → Rm e g : B → Rp
Teorema 2.15 Sejam A ⊂ Rn e B ⊂ Rm . Consideremos as fun¸co
tais que f (A) ⊂ B e com f (x0 ) = y0 . Se f é diferenci´
avel em x0 e g é diferenci´
avel em y0 ,
ent˜
ao a composta g ◦ f é diferenci´
avel em x0 e, além disso,
D(g ◦ f )(x0 ) = Dg(y0 ) · Df (x0 ),
onde o ponto “·” indica o produto das matrizes jacobianas de g e f respectivamente.
23
2.5. A REGRA DA CADEIA
Demonstra¸
c˜
ao. Pela continuidade de g em y0 , podemos tomar ε > 0 tal que g est´
a definida no
conjunto Cε (y0 ). Similarmente, escolhemos δ > 0 tal que f esteja definida em Cδ (x0 ) e ainda,
f (x) ∈ Cε (y0 ), para qualquer x ∈ Cδ (x0 ). Segue que a composta g ◦ f est´
a definida em Cδ (x0 ).
ε
δ
y0
x0
c
g
f
Tomemos H ∈ Rn tal que 0 < |H| < δ. Assim,
g ◦ f (x0 + H) − g ◦ f (x0 ) = g(f (x0 + H)) − g(f (x0 )) = g(z + y0 ) − g(y0 ),
onde y0 = f (x0 ) e z = f (x0 + H) − f (x0 ). Pela diferenciabilidade de f em x0 podemos escrever
z = f (x0 + H) − f (x0 ) = Df (x0 ) · H + |H|Ef (H),
onde lim Ef (H) = 0.
(2.8)
H→0
Analogamente, a diferenciabilidade de g em y0 implica que
g(z + y0 ) − g(y0 ) = Dg(y0 ) · z + |z|Eg (z),
onde lim Eg (z) = 0.
(2.9)
z→0
Substituindo (2.8) em (2.9) obtemos
onde
g(z + y0 ) − g(y0 ) = Dg(y0 ) Df (x0 ) · H + |H|Dg(y0 )Ef (H) + |z|Eg (z)
= Dg(y0 ) Df (x0 ) · H + |H|E(H),
E(H) := Dg(y0 )Ef (H) +
|z|
Eg (z),
|H|
H 6= 0,
E(0) = 0.
A prova estar´
a completa se provarmos que
lim E(H) = 0.
H→0
Notemos que z → 0 quando H → 0. Logo, Ef (H) → 0 e Eg (z) → 0 quando H → 0. Vamos
|z|
est´
a limitado quando H → 0, o que finalizará a prova. Segue
então mostrar que o quociente
|H|
de (2.8) que
|Df (x0 ) · H + |H|Ef (H)|
|z|
=
≤ |Df (x0 )| + |Ef (H)| ≤ Df (x0 ) + M,
|H|
|H|
onde |Ef (H)| ≤ M .
Abaixo temos duas consequências da regra da cadeia.
(2.10)
24
Corol´
ario 2.16 Sejam A ⊂ Rn e B ⊂ Rm . Consideremos as fun¸co
˜es f : A → Rm e g : B → Rp
tais que f (A) ⊂ B. Se f e g s˜
ao de classe C r , ent˜
ao a composta g ◦ f também ser´
a de classe
r
C .
Corol´
ario 2.17 Sejam A ⊂ Rn aberto, f : A → Rm com f (x0 ) = y0 . Suponha que g é uma
fun¸ca
õ definida em uma vizinha¸ca de y0 com imagem em Rn que ainda satisfaz g(y0 ) = x0 e
g(f (x)) = x
para todo x e uma vizinhan¸ca de x0 . Se f for diferenci´
avel em x0 e g for diferenci´
avel em y0 ,
ent˜
ao
Dg(y0 ) = [Df (x0 )]−1 .
Demonstra¸
c˜
ao. Seja i : Rn → Rn a fun¸cão identidade. Sua derivada é a matriz In . Segue que
Dg(y0 ) · Df (x0 ) = In .
Como a inversa a direita de uma matriz é também inversa à esquerda (veja o Teorema 2.5 de
[9]), temos o resultado.
2.6
O Teorema da Fun¸
c˜
ao Inversa
Nesta se¸cão consideraremos um dos teoremas mais b´
asicos da teoria que desenvolveremos no
curso. Juntamente com o Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita, o Teorema da Fun¸cão Inversa ilustra a
idéia de que um sistema n˜
ao linear de equa¸cões se comporta essencialmente como sua lineariza¸c˜
ao
enquanto os termos lineares dominarem (em um certo sentido) os termos n˜
ao lineares. Resultados
dessa natureza s˜
ao muito importantes em Análise, em particular em equa¸cões diferenciais.
A demonstra¸c˜
ao que apresentaremos nestas notas é baseada Teorema do Ponto Fixo de
Banach (Teorema 2.24). Para uma demonstra¸cão baseada em estimativas elementares encorajamos a leitura de [12] ou [9]. Historicamente, o uso do Teorema 2.24 na prova do Teorema
da Fun¸cão Inversa possui suas ra´ızes no método iterativo de Goursat ([3]), que é inspirado no
método iterativo de Picard para existência de solu¸cões de equa¸cões diferenciais ordinárias. Foi
justamente o fato de o mesmo prin´ıpio utilizado na demonstra¸cão ser utilizado em outras áreas
da Análise que nos motivou a apresentar esta prova.
Defini¸
c˜
ao 2.18 Sejam U e V subconjuntos abertos de Rn . Dizemos que f : U → V é um
difeomorfismo de classe C r se:
1. f é um homeomorfismo;
2. tanto f quanto f −1 s˜
ao de classe C r .
Exemplo 2.19 Fixados a, b ∈ Rn , a aplica¸cão Ta,b : Rn → Rn dada por Ta,b (x) = x + (b − a) é
um difeomorfismo de classe C ∞ .
Exemplo 2.20 Dada uma matriz An×n n˜
ao singular (det A 6= 0), a fun¸cão TA : Rn → Rn dada
por TA (x) = Ax é um difeomorfismo de classe C ∞ .
˜ INVERSA
2.6. O TEOREMA DA FUNC
¸ AO
25
O seguinte resultado reflete o fato da existência de um difeomorfismo ser uma rela¸cão de
equivalência entre os subconjuntos abertos de Rn .
Lema 2.21 Sejam U, V, W subconjuntos abertos de Rn . Consideremos as fun¸co
˜es f : U → V
e g : V → W a composi¸ca
õ h = g ◦ f : U → W . Se quaisquer duas destas fun¸co
˜es forem um
difeomorfismo, ent˜
ao a terceira também ser´
a.
Enunciamos agora o principal resultado desta se¸cão.
Teorema 2.22 (Teorema da Fun¸
c˜
ao Inversa) Seja W um subconjunto aberto de Rn e considere f : W → Rn uma fun¸ca
õ de classe C r , r = 1, 2, . . . , ∞. Se x0 ∈ W e Df (x0 ) é n˜
ao
singular, ent˜
ao existe uma vizinhan¸ca aberta U de x0 , U ⊂ W , tal que V = F (U ) é aberto e
F : U → V é um difeomorfismo de classe C r . Além disso, se x ∈ U e y = f (x), ent˜
ao temos a
seguinte f´
ormula para a derivada de f −1 em y:
−1
Df −1 (y) = Df (x) .
Para demonstrarmos o Teorema 2.22 ainda necessitamos alguns fatos, já que faremos a
prova baseando-nos no Teorema do Ponto Fixo de Banach.
Defini¸
c˜
ao 2.23 Seja (X, d) um espa¸co métrico. Dizemos que {xn }n∈N ⊂ X é uma sequˆ
encia
de Cauchy em X se d(xi , xj ) → 0 quando i, j → ∞. O espa¸co X é chamado de completo se
toda sequência de Cauchy em X é convergente.
Teorema 2.24 (Teorema do Ponto Fixo de Banach) Seja (X, d) um espa¸co métrico completo e T : X → X uma fun¸ca
õ. Suponhamos que exista uma constante 0 ≤ λ < 1 tal que, para
quaisquer x, y ∈ X,
d(T (x), T (y)) ≤ λd(x, y).
Ent˜
ao T possui um u
ńico ponto fixo em X.
Demonstra¸
c˜
ao. Aplicando T repetidamente temos que d(T n (x), T n (y)) ≤ λn d(x, y).
Afirma¸
c˜
ao: se escolhemos x0 ∈ X arbitrário e definimos xn := T n (x0 ), então existe uma
constante K ≥ 0 independente de n, m tal que d(xn , xn+m ) ≤ λn K. De fato,
d(xn , xn+m ) = d(T n (x0 ), T n (T m (x0 ))) ≤ λn d(x0 , T m (x0 )).
Pela Desigualdade Triangular,
d(x0 , T m (x0 )) ≤ d(x0 , T (x0 )) + d(T (x0 ), T 2 (x0 )) + . . . + d(T m−1 (x0 ), T m (x0 ))
1
d(x0 , T (x0 )).
≤ (1 + λ + . . . + λm−1 )d(x0 , T (x0 )) ≤
1−λ
1
d(x0 , T (x0 )).
1−λ
Segue que {xn } possui um limite, o qual denotamos por a. Como {xn+1 } possui obviamente
o mesmo limite, temos que
A afirma¸cão segue se tomarmos K =
d(a, T (a)) = lim d(xn , T (xn )) = lim d(xn , xn+1 ) = 0.
n→∞
n→∞
26
Logo T (a) = a. Note que, se tivéssemos dois pontos fixos a e b, então
d(a, b) = d(T (a), T (b)) ≤ λd(a, b),
contradizendo o fato de 0 ≤ λ < 1.
Demonstra¸
c˜
ao do Teorema 2.22.
Vamos organizar a prova em vários passos.
Passo (i): podemos assumir que x0 = 0, f (0) = 0 e Df (0) = In , a matriz identidade.
De fato, o caso geral segue da seguinte forma: compondo com os difeomorfismos do Exemplo
2.19 podemos transladar a origem para x0 e depois y0 para a origem; ap´
os isso, compomos a
fun¸cão resultante com o difeomorfismo do Exemplo 2.20 com A = [Df (x0 )]−1 ; finalmente usamos
o Lema 2.21.
Definamos agora
g(x) = x − f (x).
Então g(0) = 0 e Dg(0) = 0n (a matriz nula de ordem n).
Passo (ii): existe um n´
umero real r > 0 tal que Df é n˜
ao singular na bola fechada B2r (0) ⊂ W
e, para quaisquer x1 , x2 ∈ Br (0), temos que
1
|g(x1 ) − g(x2 )| ≤ |x1 − x2 |
2
(2.11)
|x1 − x2 | ≤ 2|f (x1 ) − f (x2 )|.
(2.12)
e
Para verificarmos esta afirma¸c˜
ao tomamos inicialmente r1 > 0 tal que B2r1 (0) ⊂ W . Além
disso, como det(Df (x0 )) é uma fun¸c˜
ao cont´ınua de x ∈ W e n˜
ao se anula em uma vizinhan¸ca
de 0, selecionamos r2 > 0 tal que det(Df (0)) n˜
ao se anula em B2r2 (0). Finalmente, como
kDg(0)k = 0, podemos tomar r3 > 0 tal que kDg(x)k ≤ 1/2 para x ∈ B2r3 (0). Consideremos
r = min{r1 , r2 , r3 }. A desigualdade (2.11) segue do item 2 da Observa¸cão 2.12. A desigualdade
(2.12) por sua vez segue substituindo g(xi ) por xi − f (xi ), i = 1, 2. De fato:
1
|x1 − f (x1 ) − x2 + f (x2 )| ≤ |x1 − x2 |
2
por (2.11), e Pela continuidade da norma,
|x1 − x2 | − |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ |(x1 − x2 ) − (f (x1 ) − f (x2 ))|.
Combinando estas duas desigualdades teremos (2.12).
Passo (iii): se |x| ≤ r, ent˜
ao |g(x)| ≤ r/2, isto é, g(Br (0)) ⊂ Br/2 (0). Além disso, para cada
y ∈ Br/2 (0), existe x ∈ Br (0) tal que f (x) = y.
A primeira parte da afirma¸c˜
ao segue de (2.11) tomando-se x1 = x e x2 = 0. J´
a a segunda
parte necessitará do Teorema 2.24. Para cada y ∈ Br/2 (0) e cada x ∈ Br (0) temos que
|y + g(x)| ≤ |y| + |g(x)| ≤
r r
+ = r.
2 2
˜ INVERSA
¸ AO
27
a bem definida. Além
Segue que a aplica¸c˜
ao Ty : Br (0) → Br (0) dada por Ty (x) := y + g(x) est´
disso satisfaz
1
|Ty (x1 ) − Ty (x2 )| = |g(x1 ) − g(x2 )| ≤ |x1 − x2 |.
2
ńico ponto fixo x e Ty (x) = x
Assim, como Br (0) é um espa¸co métrico completo, Ty possui um u
se, e somente se, y = x − g(x) = x − (x − f (x)) = f (x). Como isto é válido para qualquer
y ∈ Br/2 (0), vemos que f −1 fica definida neste conjunto.
Segue da continuidade de f que U = f 1 (Br/2 (0)) é aberto em W . Seja V = Br/2 (0).
Passo (iv): f é um homeomorfismo do conjunto aberto U ⊂ W sobre o conjunto aberto V .
Como a existência de f −1 segue do passo (iii), falta mostrarmos sua continuidade. Sejam
x1 , x2 ∈ U e y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ). Segue de (2.12) que
|f −1 (y1 ) − f −1 (y2 )| ≤ 2|y1 − y2 |,
e f −1 : V → U é cont´ınua.
Passo (v): seja b = f (a) em V . Ent˜
ao f −1 é diferenci´
avel em b e Df −1 (b) = [Df (a)]−1 .
Pela diferenciabilidade de f em a podemos escrever:
f (a + H) − f (a) = Df (a) · H + |H|Ef (H),
onde limH→0 Ef (H) = 0. Tomando x := a + H, segue que
f (x) − f (a) = Df (a) · (x − a) + |x − a|R(x, a),
onde R(x, a) → 0 quando x → a. Pelo passo (ii), Df (a) é n˜
ao singular. Seja A = [Df (a)]−1 .
Multiplicando ambos os lados da express˜
ao anterior por A e usando y = f (x) n´
os obtemos
A · (y − b) = f −1 (y) − f −1 (b) + |f −1 (y) − f −1 (b)|A · R(f −1 (y), f −1 (b)).
Isto implica que
onde
˜ b),
f −1 (y) − f −1 (b) = A · (y − b) + |y − b|R(y,
˜ b) := − |f
R(y,
−1 (y) −
f −1 (b)|
A · R(f −1 (y), f −1 (b)).
|y − b|
˜ b) → 0 quando y → b. Para
Para finalizarmos a prova do passo (v) falta mostrarmos que R(y,
tanto notemos que a desigualdade (2.12) implica que
|f −1 (y) − f −1 (b)| −
≤ 2.
|y − b|
˜ b) → 0 quando y → b. Tomando
Como f −1 é cont´ınua e A é uma matriz consante segue que R(y,
−1
˜ segue que f é diferenci´
y =b+H
avel em b e que
Df −1 (b) = A = [Df (a)]−1 .
28
Quinta aula ↓
Para finalizarmos a demonstra¸c˜
ao do Teorema da Fun¸cão Inversa temos que demonstrar o
seguinte:
Passo (vi): se f é de classe C r em U , ent˜
ao f −1 é de classe C r em V .
Para y ∈ V , vimos que Df −1 (y) = [Df (f −1 (y))]−1 . Agora notemos que f −1 é cont´ınua em
V e sua imagem é U , Df é de classe C r−1 e n˜
ao singular em U e, finalmente, as entradas da
inversa de uma matriz n˜
ao singular s˜
ao fun¸cões C ∞ das entradas da matriz. Segue que Df −1 é
−1
pelo menos cont´ınua em V e f é C 1 . Com um racioc´ınio indutivo vemos que f −1 é de classe
C r.
Temos como consequência imediata do Teorema 2.22 o seguinte corol´
ario:
Corol´
ario 2.25 Se Df é n˜
ao singular em todo ponto de W , ent˜
ao f é uma aplica¸ca
õ aberta,
isto é, aplica W e subconjuntos abertos de Rn contidos em W em subconjuntos abertos de Rn .
Exemplo 2.26 Seja g : R2 → R2 dada por g(s, t) = (cosh s cos t, senh s sen t). Então
senh s cos t − cosh s sen t
Dg(s, t) =
.
cosh s sen t senh s cos t
Segue que det(Dg(s, t)) = senh2 s cos2 t + cosh2 s sen2 t = senh2 s + sen2 t, onde usamos que
cos2 t + sen2 t = 1 e cosh2 s = 1 + senh2 s.
Definamos ∆ := {(s, t) ∈ R2 | s > 0}. Segue que, em ∆, senh s > 0 e assim det(Dg(s, t)) >
0. Segue do Teorema da Fun¸c˜
ao Inversa que g é localmente invers´ıvel. Pela periodicidade de
cos e de sen, temos que g(s, t + 2π) = g(s, t). Assim g n˜
ao é injetora. Mas pelo Corol´
ario 2.25
2
temos que g(∆) é aberto em R .
˜ = {(s, t) ∈ R2 | s > 0, 0 < t < 2π} e g˜ := g ˜ . Vamos mostrar que g˜ possui uma
Seja ∆
∆
inversa. Não é fácil resolver explicitamente o sistema
x = cosh s cos t,
y = senh s sen t.
Entretanto, vamos verificar o que acontece ao fixarmos s = c. Para cada c > 0, g(c, t) representa
a elipse
y2
x2
+
= 1.
cosh2 c senh2 c
Note que cada uma dessas elipses possui −e1 e e1 como foco e, além disso, g(c, 0) = g(c, 2π) =
(cosh c)e1 .
Se s1 6= s2 , ent˜
ao os pontos de g˜(s1 , t) e g˜(s2 , t) est˜
ao em elipses diferentes. Além disso,
g˜(s, t1 ) = g˜(s, t2 ) implica que t1 = t2 . Consequentemente, g˜(s1 , t1 ) = g˜(s2 , t2 ) implica que
˜ por g˜ é R2 com a semi-reta no eixo x de −e1
s1 = s2 e t1 = t2 e g˜ é injetora. A imagem de ∆
˜ no eixo s é aplicada por g˜ na semi-reta de e1 a +∞ e
a +∞ deletada. A parte do bordo de ∆
˜
a parte vertical do bordo de ∆ é aplicada por g˜ no segmento que liga −e1 a e1 . Note , que, por
periodicidade g(∆) é R2 com o segmento ligando −e1 a e1 removido.
˜ INVERSA
¸ AO
29
t
y
g
2π
˜
∆
x
c
s
A seguir daremos um exemplo que mostra que a n˜
ao podemos retirar a hip´
otese de continidade das derivadas no Teorema da Fun¸cão Inversa.
Exemplo 2.27 Dado 0 < α < 1, consideremos a fun¸cão
(
1
se x 6= 0,
αx + x2 sen
f (x) =
x
0
se x = 0.
Calculando a derivada de f temos que
(
1
1
α + 2x sen − cos
′
f (x) =
x
x
α 6= 0
se x 6= 0,
se x = 0,
onde a derivada em x = 0 foi calculada diretamente examinando o limite da defini¸cão.
Notemos que f ′ n˜
ao é cont´ınua em x = 0, o que implica que a hip´
otese de continuidade
da derivada do Teorema da Fun¸c˜
ao Inversa n˜
ao é satisfeita. Vamos mostrar que f n˜
ao posui
inversa local em qualquer vizinhan¸ca da origem.
Utilizaremos o seguinte fato: se f ′ (x) = 0 e f ′′ (x) 6= 0, então f n˜
ao possui inversa local
em uma vizinhan¸ca de x. Afirmamos que existem infinitos pontos desta forma em qualquer
vizinhan¸ca de x = 0. Note que f ′ (x) = 0, x 6= 0 se
α + 2x sen
1
1
= cos .
x
x
Como 0 < α < 1, analisando o gr´
afico das express˜
oes em ambos os lados da igualdade acima
′
vemos que f possui infinitos zeros em qualquer vizinhan¸ca de x = 0. Resta mostrarmos que
tais zeros de f ′ n˜
ao s˜
ao zeros de f ′′ . Isto é feito por contradi¸cão. Calculamos:
1
1
1 2
cos , x 6= 0.
f ′′ (x) = 2 − 2 sen −
x
x
x
x
Se tivéssemos f ′ (x) = 0 e f ′′ (x) = 0 com x 6= 0, dever´ıamos ter que o sistema
2xS − C = −α
2
1
2− 2 S−
C = 0,
x
x
30
possui solu¸cão, onde S = sen
1
1
e C = cos . Por outro lado, pela Regra de Cramer,
x
x
−2x
,
1 + 2x2
1 − 2x2
C =α
.
1 + 2x2
S=α
Segue que
1 = S 2 + C 2 = α2
1 + 4x4
,
(1 + 2x2 )2
e tomando x pequeno o bastante vemos que o lado direito da igualdade acima é menor que 1,
obtendo uma contradi¸c˜
ao.
2.7
O Teorema da Fun¸
c˜
ao Impl´ıcita
Nas disciplinas de C´
alculo nos deparamos com um “princ´ıpio”, nem sempre cuidadosamente
enunciado, que nos diz que a equa¸c˜
ao f (x, y) = 0 determina implicitamente uma das vari´
aveis x
ou y como fun¸c˜
ao da outra. Esta afirma¸cão é correta em uma vizinhan¸ca U de qualquer ponto
∂f
(x0 , y0 )
(x0 , y0 ) tal que f (x0 , y0 ) = 0 e sempre que pelo menos uma das derivadas parciais
∂x
∂f
(x0 , y0 ) n˜
ao se anule. Este é uma caso especial do Teorema da Fun¸caõ Impl´ıcita que
ou
∂y
apresentamos nesta se¸c˜
ao.
Teorema 2.28 (Teorema da Fun¸
c˜
ao Impl´ıcita) Seja A ⊂ Rk+n := Rk ×Rn um subconjunto
aberto e f : A → Rn de classe C r . Denotaremos um ponto de Rk+n por (x, y), significando que
x ∈ Rk e y ∈ Rn . Além disso, denotaremos
∂f ∂f
Df (x, y) =
.
∂x ∂y
Suponha que (x0 , y0 ) ∈ A satisfazem f (x0 , y0 ) = 0 e
∂f
det
(x0 , y0 ) 6= 0.
∂y
Ent˜
ao existe uma vizinhan¸ca B de x0 em Rk e uma u
ńica fun¸ca
õ g : B → Rn tal que g(x0 ) = y0
e
f (x, g(x)) = 0, para qualquer x ∈ B.
Além disso, g é de classe C r em B.
Demonstra¸
c˜
ao. Vamos construir uma fun¸cão F que satisfaz as hip´
oteses do Teorema da Fun¸c˜
ao
k+n
Inversa. Definimos F : A → R
por
F (x, y) = (x, f (x, y)).
Note que F é de classe C r em A e

Ik

∂f
DF =
∂x

0
∂f  .
∂y
˜ IMPLÍCITA
¸ AO
31
Utilizando desenvolvimento por meio de cofatores para o cálculo de determinantes temos que
∂f . Segue da´ı que DF é n˜
ao singular em (x0 , y0 ).
det(DF ) = det
∂y
Observe que F (x0 , y0 ) = (x0 , 0). Pelo Teorema da Fun¸cão Inversa aplicado à F conclu´ımos
que existe um conjunto aberto U × V ⊂ Rk+n , vizinhan¸ca de (x0 , y0 ) tal que:
1. F aplica U × V difeomorficamente sobre um conjunto aberto W ⊂ Rk+n , com (x0 , 0) ∈ W ;
2. a fun¸cão G : W → U × V inversa de F é de classe C r .
Como F (x, y) = (x, f (x, y)), temos que
(x, y) = G(x, f (x, y)),
ou seja, G deixa fixo as k primeiras coordenadas. Logo, podemos escrever
G(x, z) = (x, h(x, z)),
para alguma h : W → Rn . Ademais, como G é de classe C r , h deve ser de classe C r .
Seja B uma vizinhan¸ca conexa de x0 ∈ Rk , escolhida de forma que B × {0} ⊂ W . Se x ∈ B
temos que
G(x, 0) = (x, h(x, 0)),
e aplicando F em ambos os lados vemos que
(x, 0) = F (x, h(x, 0)) = (x, f (x, h(x, 0))).
Comparando as coordenadas temos que f (x, h(x, 0)) = 0 sempre que x ∈ B. Definimos ent˜
ao
n
r
g : B → R por g(x) := h(x, 0). Segue que g é de classe C e satisfaz f (x, g(x)) = 0 para x ∈ B.
Além disso,
(x0 , y0 ) = G(x0 , 0) = (x0 , h(x0 , 0)) = (x0 , g(x0 )),
e g(x0 ) = y0 como desejado.
Resta mostrarmos que g é u
ńica e para isto usaremos que B é conexo.
Seja g0 uma outra fun¸c˜
ao que satisfas as conclusões do teorema. Em particular, g0 (x0 ) =
g(x0 ) = y0 . Como g(x0 ) ∈ V , por continuidade temos que g0 (x) ∈ V para todo x ∈ B0 , onde
B0 é uma vizinhan¸ca de x0 contida em B. O fato de f (x, g0 (x)) = 0 em B0 implica que
F (x, g0 (x)) = (x, 0)
e portanto
(x, g0 (x)) = G(x, 0) = (x, h(x, 0)) = (x, g(x)).
Assim, g0 e g coincidem em B0 . Com isso, o conjunto B1 := {x ∈ B | |g0 (x)−g(x)| = 0} é aberto
em B e, por continuidade, também é aberto o conjunto B2 := {x ∈ B | |g0 (x) − g(x)| > 0}. Mas
B = B1 ∪ B2 com B1 6= ∅ e B1 ∩ B2 = ∅. Pela conexidade de B segue que B2 = ∅.
O teorema est´
a provado.
Sexta aula ↓
32
2.8
A forma local das submers˜
oes
Vamos nos concentrar nesta se¸c˜
ao no caso de uma fun¸cão diferenci´
avel onde a dimensão do
´ razo´
dom´ınio é maior que a dimensão da imagem. E
avel esperarmos que, como a derivada nos
fornece o comportamento local da fun¸c˜
ao, a situa¸cão mais forte que poder´ıamos ter nesse caso é
que a derivada fosse sobrejetora. Este caso na verdade já foi tratado essencialmente no Teorema
da Fun¸cão Impl´ıcita, mas vamos somente ressaltar um car´
ater mais geral neste se¸cão.
Defini¸
c˜
ao 2.29 Seja A ⊂ Rk+n um aberto. Uma aplica¸ca
õ diferenci´
avel f : A → Rn é chamada
de submers˜
ao se, para qualquer x ∈ A, a derivada Df (x) : Rk+n → Rn é sobrejetora.
A submers˜
ao canˆ
onica é a proje¸c˜
ao π : Rk+n → Rn dada por π(x, y) = y. De fato, do ponto
de vista local, toda submers˜
ao se comporta localmente como a proje¸cão.
Teorema 2.30 (Forma Local das Submers˜
oes) Sejam A ⊂
uma fun¸ca
õ de classe C r , r ≥ 1. Suponha que, no ponto z0
sobrejetora. Consideremos uma decomposi¸ca
õ em soma direta
z0 = (x0 , y0 ) com x0 ∈ N e y0 ∈ E. Escolhemos N e E de
isomorfismo. Ent˜
ao, existem abertos V, W e Z tais que
x0 ∈ V,
z0 ∈ Z,
V ⊂ N,
Rk+n um aberto e f : A → Rn
∈ A, a derivada Df (z0 ) seja
N ⊕ E = Rk+n e escrevemos
forma que Df (z0 )E seja um
Z ⊂ A,
f (z0 ) ∈ W,
W ⊂ Rn ,
e um difeomorfismo de classe C r h : V × W → Z tal que f ◦ h(x, y) = y.
f
z0
f (z0 )
Z
W
h
A
y0
W
V
x0
Demonstra¸
c˜
ao. Como já observamos anteriormente, este resultado já est´
a essencialmente
contido no Teorema da Fun¸c˜
ao Impl´ıcita, e portanto devmos seguir as idéias da demonstra¸c˜
ao
daquele teorema.
Lembremos que, dada uma tranforma¸cão linear T : Rk+n → Rn sobrejetora, existe uma
decomposi¸cão Rk+n = N ⊕ E, dim N = k e dim E = n, e tal que T E é um isomorfismo. De
fato, {T e1 , . . . , T ek+n } geram Rn e assim podemos tomar neste conjunto n vetores linearmente
independentes.
˜
2.9. A FORMA LOCAL DAS IMERSOES
33
Podemos supor ainda que N = Rk e E = Rn . De fato, basta usarmos difeomorfismos que
permutam as coordenadas.
Agora procedemos como na demonstra¸cão do Teorema 2.28. Definamos F : A → Rk × Rn
por F (x, y) = (x, f (x, y)). Ent˜
ao DF (x0 , y0 ) é n˜
ao singular e, se f (x0 , y0 ) = c0 , podemos
aplicar o Teorema da Fun¸c˜
ao Inversa para escolhermos uma vizinhan¸ca de (x0 , y0 ) que é aplicada
difeomorficamente em uma vizinhan¸ca V × W de (x0 , c0 ). A´ı definimos
Z = F −1 (V × W ),
F −1 : V × W → Z.
Seja h := F −1 . Ent˜
ao, como F −1 (x, f (x, y)) = (x, y), devemos ter h(x, y) = (x, h1 (x, y)). Mas
assim, se (x, y) ∈ V × W ,
(x, y) = F ◦ h(x, y) = F (x, h1 (x, y))
= (x, f ◦ h(x, y)) =,
isto é, f ◦ h(x, y) = y, para qualquer (x, y) ∈ V × W .
2.9
A forma local das imers˜
oes
Nesta se¸cão consideraremos o caso de uma fun¸cão difereneci´
avel na qual a dimensão do dom´ınio
é menor que a dimensão da imagem. Do ponto de vista da diferenciabilidade, o melhor que
podemos esperar neste caso é que a derivada seja injetora.
Defini¸
c˜
ao 2.31 Seja A ⊂ Rk um aberto. Uma aplica¸ca
õ diferenci´
avel f : A → Rk+n é chamada
k
k+n
de imers˜
ao se, para qualquer x ∈ A, a derivada Df (x) : R → R
é injetora.
A imersão canˆ
onica é a inclusão i : Rk → Rk+n dada por i(x) = (x, 0). De fato, do ponto
de vista local, toda imersão se comporta localmente como a inclusão.
Teorema 2.32 (Forma Local das Imers˜
oes) Sejam A ⊂ Rk um aberto e f : A → Rk+n uma
r
fun¸ca
õ de classe C , r ≥ 1. Suponha que, no ponto x0 ∈ A, a derivada Df (x0 ) seja injetora.
Ent˜
ao, existem abertos V, W e Z tais que
f (x0 ) ∈ Z,
x0 ∈ V,
0 ∈ W,
Z ⊂ Rk+n ,
V ⊂ A ⊂ Rk ,
W ⊂ Rn ,
e um difeomorfismo h : Z → V × W , de classe C r , tal que h ◦ f (x) = (x, 0).
Demonstra¸
c˜
ao. Seja E = Df (x0 )(Rk ) e tomemos P qualquer subespa¸co complementar de E,
k+n
isto é, R
= E ⊕ P . Por injetividade e compondo com difeomorfismos que permutam a base,
vamos supor que E = Rk e P = Rn . Isto nos permite definir G : A × Rn → Rk+n por
G(x, y) = f (x) + (0, y),
de forma que G é de classe C r , G(x0 , 0) = f (x0 ) e
Df (x0 ) 0
,
Dg(x0 , 0) =
0
In
34
já que permutamos a base de maneira que Df (x0 )(Rk ) = Rk . Segue que DG(x0 , 0) é n˜
ao
r
singular. Pelo Teorema da Fun¸c˜
ao Inversa, G é um difeomorfismo de classe C de uma vizinhan¸ca
de (x0 , 0), a qual escolheremos da forma V × W ⊂ A × Rn , em uma vizinhan¸ca de f (x0 ).
Definamos Z := G(V × W ) e h := G−1 : Z → V × W . Uma vez que G(x, 0) = f (x), temos que
h ◦ f (x) = h(G(x, 0)) = G−1 (G(x, 0)) = (x, 0),
para qualquer x ∈ V , demonstrando o teorema.
2.10
O Teorema do posto
Defini¸
c˜
ao 2.33 Seja T : Rk → Rn uma aplica¸ca
õ linear. O posto de T é dimens˜
ao de sua
imagem T (Rk ).
´
De Algebra
Linear sabemos que oposto de T : Rk → Rn é igual a ρ se, e somente se, a matriz
que representa T possui um determinante menor de ordem ρ × ρ n˜
ao-nulo e todo determinante
menor de ordem (ρ + 1) × (ρ + 1) é nulo.
Defini¸
c˜
ao 2.34 Sejam A ⊂ Rk aberto e f : A → Rn uma fun¸ca
õ diferenci´
avel. O posto de f
em x ∈ A é o posto de sua derivada Df (x).
Seja f : A ⊂ Rk → Rn diferenci´
avel no aberto A. Se f é uma submers˜
ao, então o posto
de f é n em qualquer ponto x ∈ A. J´
a no caso em que f é uma imersão, o posto de f é k em
qualquer ponto x ∈ A. Por esta raz˜
ao, as imersões e submers˜
oes s˜
ao chamadas de fun¸co
˜es de
posto m´
aximo.
Lembrando que o determinante é uma fun¸cões cont´ınua das entradas de uma matriz, vemos
que, se f : A ⊂ Rk → Rn é de classe C 1 e se o posto de Df (x) é ρ, então em alguma vizinhan¸ca
de x o posto de Df (x) ser´
a maior ou igual a ρ. Em geral a desigualdade estrita é poss´ıvel. De
fato, definindo f : R2 → R2 por f (x, y) = (x2 + y 2 , 2xy) teremos
2x 2y
Df (x, y) =
,
2y 2x
cujo o posto é 2 em todo R2 , exceto nas retas y = ±x. O posto de Df (x, y) sobre estas retas,
exceto no ponto (0, 0), sendo igual a 0 neste ponto.
Sempre que compormos uma fun¸caõ diferenci´
avel f com difeomorfismos teremos que o posto
´
dessa composi¸c˜
ao ser´
a igual ao posto de f . Isto segue de fatos de Algebra
Linear e do fato de
difeomorfismos possuirem derivadas n˜
ao singulares.
O teorema que apresentaremos nesta se¸cão nos diz que fun¸cões de classe C 1 que possuem
posto constante em um aberto se comportam localmente como uma proje¸cão seguida de uma
inclusão. Em particular, ele generaliza as formas locais das imersões e das submser˜
oes.
Antes de enunciarmos o Teorema do Posto, deixe-nos fazer um comentário sobre nota¸cão que
utilizaremos no decorrer da sua demonstra¸cão. Dada uma fun¸cão f : A ⊂ Rn → Rm diferenci´
avel,
sejam f1 , . . . , fm suas fun¸c˜
oes componentes. A matriz Jacobiana Df é também denotada por
Df =
∂(f1 , . . . , fm )
.
∂(x1 , . . . , xn )
35
2.10. O TEOREMA DO POSTO
Teorema 2.35 (Teorema do Posto) Sejam A0 ⊂ Rn e B0 ⊂ Rm abertos, f : A0 → B0 uma
fun¸ca
õ de classe C r , e suponhamos que o posto de f seja constante e igual a k em todo A0 . Se
x0 ∈ A0 e y0 = f (x0 ), ent˜
ao existem conjuntos abertos A ⊂ A0 e B ⊂ B0 com x0 ∈ A e y0 ∈ B,
e difeomorfismos g : A → U ⊂ Rn e h : B → V ⊂ Rm , de classe C r , tais que
h ◦ f ◦ g −1 : U → V
e
h ◦ f ◦ g−1 (x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0).
Demonstra¸
c˜
ao. Vamos supor por simplicidade que x0 = 0 ∈ Rn e y0 = 0 ∈ Rm . O caso geral
segue ao considerarmos f˜(u) = f (u + x0 ) − y0 . Além disso, compondo com difeomorfismos que
permutam as bases n´
os podemos assumir que determinante menor de ordem k × k em Df (x0 )
que n˜
ao se anula é justamente o dado pelas primeiras k colunas e k linhas, isto é,

∂(f1 , . . . , fk )

=
∂(u1 , . . . , uk )
∂f1
∂u1
...
∂fk
∂u1
...
∂f1
∂uk
..
.
..
.
∂fk
∂uk


,
onde f = (f1 , . . . , fk , . . . , fm ), e omitimos o ponto x0 em que a matriz acima est´
a sendo avaliada.
n
Definamos g : A0 → R por
g(u) := (f1 (u), . . . , fk (u), uk+1 , . . . , un ),
u = (u1 , . . . , uk , uk+1 , . . . , un ).
Segue que g é de classe C r e que



Dg = 


∂f1
∂u1
...
..
.
∂fk
∂u1
∂f1
∂uk
..
.
...
0
∗
∂fk
∂uk
In−k



,


onde os termos na matriz indicada por ∗ n˜
ao nos interessa. Portanto, Dg(x0 ) é n˜
ao-singular e,
pelo Teorema da Fun¸c˜
ao Inversa, existe um conjunto aberto A1 ⊂ A0 contendo x0 , no qual g é
um difeomorfismo sobre um conjunto (aberto) U1 = g(A1 ). Notemos que, pela defini¸cão de g,
f ◦ g−1 (0) = 0 e f ◦ g −1 (U1 ) ⊂ B0 . Além disso,
f ◦ g−1 (x) = (x1 , . . . , xk , f k+1 (x), . . . , f m (x)),
com f k+i (x) := fk+i ◦ g−1 (x), i = 1, . . . , m − k. Utilizando esta express˜
ao calculamos D(f ◦ g−1 )
e encontraremos que, em U1 ,


0
Ik

∂f k+1
∂f k+1 


∂xk+1 . . .
∂xn 

−1
D(f ◦ g ) = 
.
..
..

 ∗
.
.


∂f m
∂xk+1
...
∂f m
∂xn
Por outro lado, como Dg−1 é n˜
ao-singular em U1 e g−1 (U1 ) = A1 ⊂ A0 , temos que o posto de
−1
−1
D(f ◦g ) = Df ·Dg em U1 é constante e igual ao posto de Df em A0 , isto é, igual a k. Segue
36
que o determinante menor da matriz D(f ◦ g−1 ) formado pelas k + 1 primeiras linhas e k + 1
∂f k+1
primeiras colunas deve ser nulo. Este fato implica que necessariamente devemos ter
=0
∂xk+1
em U1 . Raciocinando indutivamente vemos que f k+i , i = 1, . . . , m − k, dependem somente das
vari´
aveis x1 , . . . , xk .
Vamos agora definir o difeomorfismo h. Seja H uma fun¸cão definida em uma vizinha¸ca V1
de 0 ∈ Rm em B0 e dada pela express˜
ao
H(y) := y1 , . . . , yk , yk+1 + f k+1 (y1 , . . . , yk ), . . . , ym + f m (y1 , . . . , yk ) .
Note que o dom´ınio V1 deve ser escolhido pequeno o suficiente de maneira que, para y ∈ V1 , as
fun¸cões f k+i estejam definidas em y e tal que H(V1 ) ⊂ B0 .
Observemos que H(0) = 0 e que a matriz de DH é n˜
ao-singular em todo V1 , pois
Ik
0
DH =
.
∗ Im−k
Logo, H é um difeomorfismo de classe C r de uma vizinhan¸ca V de 0 ∈ V1 sobre uma vizinhan¸ca
B ⊂ B1 .
Escolhemos agora uma vizinhan¸ca U ⊂ U1 da origem em Rn tal que f ◦ g−1 (U ) ⊂ B e seja
A = g−1 (U ). Definamos ent˜
ao h := H −1 . Segue que g −1 : U → A, f : A → B e h : B → V s˜
ao
r
−1
todas de classe C , e g e h s˜
ao difeomorfismos. Finalmente,
h ◦ f ◦ g−1 (x) = h(f ◦ g −1 (x))
= h x1 , . . . , xk , f k+1 (x), . . . , f m (x)
= h x1 , . . . , xk , f k+1 (x1 , . . . , xk ), . . . , f m (x1 , . . . , xk )
= H −1 x1 , . . . , xk , 0 + f k+1 (x1 , . . . , xk ), . . . , 0 + f m (x1 , . . . , xk )
= (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0),
finalizando a demonstra¸c˜
ao.
2.11
Notas sobre as referˆ
encias
Com excessão das se¸c˜
oes 2.6, 2.8, 2.9 e 2.10, as demais se¸cões se baseiam na referência [9]. A
demonstra¸cão do Teorema da Fun¸c˜
ao Inversa que demos nestas notas s˜
ao baseadas em [1], e vale
n
para espa¸cos mais gerais que R , que s˜
ao os espa¸cos de Banach. As formas locais da forma que
apresentamos podem ser encontradas em [6] ou [7]. J´
a o Teorema do Posto pode ser encontrado
em [11] ou [6] e [7]. Para formas mais avan¸cadas do Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita, com aplica¸cões
e contexto hist´
orico, veja [5].
2.12
Exerc´ıcio 16 Seja A ⊂ Rn e f : A → Rm . Mostre que, se f ′ (x0 ; u) existe, ent˜
ao, para α ∈ R,
f ′ (x0 ; αu) também existe e f ′ (x0 ; αu) = αf ′ (x0 ; u).
Exerc´ıcio 17 Seja A ⊂ Rn um subconjunto aberto e conexo e f : A → Rm diferenci´
avel em
todo A. Mostre que, se Df (x) = 0 para todo x ∈ A, ent˜
ao f é constante em A.
37
Sugest˜
ao: dados x, y ∈ A, considere uma poligonal L(p1 , p2 ) ∪ . . . ∪ L(pk−1 , pk ), tal que
p1 = x e pk = y. Aplique o Teorema do Valor Médio em cada trecho dessa poligonal. Ap´
os isso,
tome naquele teorema a = f (y) − f (x).
Exerc´ıcio 18 (F´
ormula de Euler) Seja f : Rn → R e p um n´
umero real dado. Dizemos que
p
f é homogˆ
enea de grau p se f (tx) = t f (x), para todo x 6= 0 e qualquer t > 0.
Suponha que f seja diferenci´
avel em Rn \ {0}. Mostre que f é homogênea de grau p se, e
somente se,
h∇f (x), xi = Df (x) · x = pf (x)
Sugest˜
ao para a parte “⇐”: defina φ(t) := f (tx) e, fixado x, mostre que φ(t)t−p é constante.
Exerc´ıcio 19 Mostre que a fun¸ca
õ f : R2 → R dada por f (x, y) = |xy| é diferenci´
avel em (0, 0)
1
mas n˜
ao é de classe C em qualquer vizinhan¸ca de (0, 0).
Exerc´ıcio 20 Seja u = x3 f (y/x, z/x), onde f : R2 → R é uma fun¸ca
õ diferenci´
avel, (x, y, z) ∈
3
R . Mostre que
∂u
∂u
∂u
+y
+z
= 3u.
x
∂x
∂y
∂z
Exerc´ıcio 21 Sejam f, g : Ω ⊂ Rn → R fun¸co
˜es tais que f é cont´ınua em x0 ∈ Ω e g é
diferenci´
avel em x0 com g(x0 ) = 0. Mostre que o produto f g é diferenci´
avel em x0 .
Exerc´ıcio 22 Seja f : Ω ⊂ Rn → R cont´ınua em Ω aberto, com f de classe C 1 em Ω \ {x0 }.
Suponha que
Li = lim fxi (x),
x→x0
onde fxi =
∂f
. Prove que f é de classe C 1 em todo Ω com
∂xi
Li = fxi (x0 ).
Sugest˜
ao: aplique o Teorema do Valor Médio para f (x0 + tei ) − f (x0 ).
Exerc´ıcio 23 Seja f : R → R definida por
p
x se x ≥ 0,
f (x) =
0 se x ≤ 0,
onde p > 0 est´
a fixado. Mostre que f é de classe C q se q < p mas n˜
ao é de classe C q se q > p.
Assim, para todo q > 0 inteiro, existe uma fun¸ca
õ que é de classe C q mas n˜
ao é de classe
C q+1 .
Sugest˜
ao: Exerc´ıcio 22 com x0 = 0.
Exerc´ıcio 24 Seja f : R2 → R definida por

x3

f (x, y) =
x2 + y 2

0
se (x, y) 6= (0, 0),
se (x, y) = (0, 0).
Mostre que f n˜
ao é diferenci´
avel em (0, 0). Entretanto, mostre que para qualquer curva diferenci´
avel ϕ : (a, b) → R2 passando pela origem, f ◦ ϕ é diferenci´
avel.
38
Exerc´ıcio 25 Seja r um n´
umero inteiro positivo e f uma fun¸ca
õ definida em um aberto Ω ⊂ Rn
com valores em R, e possuindo derivadas parciais cont´ınuas de ordem s ≤ r. Seja x0 ∈ Ω e
h ∈ Rn um vetor. Defina g(t) := f (x0 + th), com t pequeno de forma que x0 + th ∈ Ω. Mostre
que
g′ (t) = (hh, ∇i)f (x0 + th).
Mais geralmente,
g(r) (t) = (hh, ∇i)r f (x0 + th).
Aqui, (hh, ∇i)r siginifica composi¸ca
õ dos operadores diferenciais.
Sugest˜
ao: use indu¸ca
õ em r.
Exerc´ıcio 26 (F´
ormula de Taylor) Seja f uma fun¸ca
õ definida em um aberto Ω ⊂ Rn possuindo derivadas parciais cont´ınuas até ordem r. Seja x0 ∈ Ω e h ∈ Rn um vetor de forma que
x0 + th ∈ Ω, para qualquer t ∈ [0, 1]. Mostre que existe τ ∈ [0, 1] tal que
(hh, ∇i)r−1 f (x0 )
(hh, ∇i)r f (x0 + τ h)
(hh, ∇i)f (x0 )
+ ... +
+
.
f (x0 + h) = f (x0 ) +
1!
(r − 1)!
r!
Sugest˜
ao: use a f´
ormula de Taylor em uma vari´
avel para g definida no Exerc´ıcio 25.
Exerc´ıcio 27 Seja f : (a, b) → R uma fun¸ca
õ de classe C r , para algum inteiro r ≥ 1. Suponha
que para algum ponto c ∈ (a, b) temos que
f ′ (c) = . . . = f (n−1) (c) = 0,
mas
f n (c) 6= 0.
Mostre que, se n for par, ent˜
ao f possui m´
aximo local em c se f n (c) < 0 e m´ınimo local em c
n
se f (c) > 0. Se n for ´ımpar, c n˜
ao é ponto de m´ınimo nem de m´
aximo local de f .
Exerc´ıcio 28 Seja f como no Exerc´ıcio 26 e defina o resto na f´
ormula de Taylor por
(hh, ∇i)r f (x0 + τ h)
Rr (x) :=
.
r!
Suponha ainda que todas as derivadas de f de ordem r sejam limitadas, isto é:
∂rf
(x) ≤ C, para qualquer x = x0 + h ∈ Ω.
∂xi1 · · · ∂xir
Mostre que
|Rr (x)| ≤
Cnr
khkr∞ ,
r!
h = x − x0 ,
sempre que x ∈ Ω.
Exerc´ıcio 29 Seja f : Rn → R de classe C 1 . Mostre que
Z 1
d
f (tx)dt.
f (x) = f (0) +
dt
0
Conclua que existem fun¸co
˜es cont´ınuas g1 , . . . , gn tais que
f (x) = f (0) + x1 g1 (x) + . . . + xn gn (x).
39
Exerc´ıcio 30 Seja f : R2 → R com derivadas parciais até ordem 2 cont´ınuas. Suponha ainda
que f (0, 0) = fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0. Mostre que existem fun¸co
˜es cont´ınuas h1 , h2 e h3 tais que
f (x, y) = h1 (x, y)x2 + h2 (x, y)xy + h3 (x, y)y 2 .
Sugest˜
ao: use o Exerc´ıcio 29.
Exerc´ıcio 31 Mostre que se f : R2 → R é de classe C ∞ , ent˜
ao existem fun¸co
˜es de classe C ∞
2
f11 , f12 , f22 : R → R tais que
f (x, y) = f (0, 0) + fx (0, 0)x + fy (0, 0)y + x2 f11 (x, y) + xyf12 (x, y) + y 2 f22 (x, y).
Exerc´ıcio 32 Seja f : R2 → R de classe C ∞ com f (0, 0) = 0. Seja U = {(t, u) ∈ R2 | t 6= 0} e
defina g : U → R por
f (t, tu)
.
g(t, u) =
t
Mostre que existe g˜ : R2 → R de classe C ∞ com g˜(t, u) = g(t, u), para qualquer (t, u) ∈ R2 , isto
é, g pode ser estendida de maneira C ∞ a todo R2 .
Sugest˜
ao: Exerc´ıcio 31.
Exerc´ıcio 33 Uma fun¸ca
õ f : Ω ⊂ Rn → R é chamada anal´ıtica real se f é de classe C ∞ e,
para x = x0 + h em uma vizinha¸ca de x0 ∈ Ω,
(hh, ∇i)r f (x0 )
(hh, ∇i)f (x0 )
+ ... +
+ ...,
f (x0 + h) = f (x0 ) +
1!
r!
que é chamada de S´
erie de Taylor de f .
Seja f ∈ C ∞ (Ω). Suponha que qualquer x0 ∈ Ω possua uma vizinhan¸ca U tal que a
estimativa
∂rf
(x) ≤ M r
∂xi1 · · · ∂xir
seja v´
alida em U para alguma constante M e qualquer inteiro positivo r. Mostre que f é anal´ıtica
real.
Exerc´ıcio 34 Defina f : R → R por
f (x) =
e−1/x se x > 0,
0
se x ≤ 0.
(i) Mostre por indu¸ca
õ que, para x > 0 e k ≥ 0 inteiro, a k-ésma derivada de f é da forma
−1/x
p2k (1/x)e
para algum polinˆ
omio p2k (y) de grau 2k em y.
(ii) Mostre que f é de classe C ∞ e que f (k) (0) = 0 para todo inteiro k ≥ 0.
(iii) Conclua que f n˜
ao pode ser anal´ıtica real em R.
Exerc´ıcio 35 Seja f : R2 → R2 definida por f (x, y) = (x2 − y 2 , 2xy).
(i) Mostre que f é injetora no conjunto A := {(x, y) ∈ R2 | x > 0}.
Sugest˜
ao: se f (x, y) = f (a, b), ent˜
ao kf (x, y)k = kf (a, b)k.
40
(ii) Encontre B = f (A).
(iii) Se g é a inversa de f , encontre Dg(0, 1).
Exerc´ıcio 36 Seja f : Rn → Rn dada por f (x) = kxk2 · x. Mostre que f é de classe C ∞ e
aplica B1 (0) em si mesma bijetivamente. Entretanto, mostre que a inversa de f em B1 (0) n˜
ao
é diferenci´
avel em 0.
Exerc´ıcio 37 Seja f : R2 → R2 dada por f (x, y) = (ex cos y, ex sen y). Mostre que f é localmente invers´ıvel em todo ponto de R2 mas n˜
ao possui uma inversa definida globalmente.
Exerc´ıcio 38 Seja f : R → R dada por
x + 2x2 sen(1/x) se x 6= 0,
f (x) =
0
se x = 0.
Mostre que f é diferenci´
avel mas n˜
ao é invers´ıvel em uma vizinhan¸ca de 0. Qual hip´
otese do
Teorema da Fun¸ca
õ Inversa n˜
ao se verifica?
Exerc´ıcio 39 Dê uma demonstra¸ca
õ alternativa do Teorema da Fun¸ca
õ Impl´ıcita no caso de
Φ : Ω ⊂ R2 → R seguindo os passos abaixo. Suponha que Φ seja de classe C 1 , Φ(x0 , y0 ) = 0 e
Φy (x0 , y0 ) > 0.
(i) Mostre que existe ε > 0 tal que Φ(x0 , y) < 0 se y0 − ε ≤ y < y0 e Φ(x0 , y) > 0 se
y0 < y ≤ y0 + ε.
(ii) Mostre que existe δ > 0 tal que Φ(x, y0 − ε) < 0 e Φ(x, y0 + ε) > 0 se |x − x0 | < δ.
(iii) Seja I := {(x, y) | |x − x0 | < δ, |y − y0 | < ε}. Escolha δ e ε de forma que Φy (x, y) > 0
para todo (x, y) ∈ I. Mostre que se |x1 − x0 | < δ, ent˜
ao a equa¸ca
õ Φ(x1 , y) = 0 possui
exatamente uma solu¸ca
õ y1 com (x1 , y1 ) ∈ I. Seja y1 = φ(x1 ), o que define uma fun¸ca
õ
de (x0 − δ, x0 + δ) em R.
(iv) Mostre que φ é diferenci´
avel e que
φ′ (x) = −
Φx (x, φ(x))
.
Φy (x, φ(x))
Exerc´ıcio 40 Lembremo-nos do resultado de existência de solu¸co
˜es na teoria de equa¸co
˜es difereneciais devido `
a Picard.
Teorema de existˆ
encia e unicidade de Picard. Seja F : R × RN → R uma fun¸ca
õ cont´ınua
em (t0 − a, t0 + a) × Br (x0 ) ⊂ R × RN , a > 0. Ent˜
ao existe uma solu¸ca
õ x(t) da equa¸ca
õ
dx
= F (t, x),
dt
x(t0 ) = x0 ,
definida no intervalo (t0 − h, t0 + h), para algum h > 0. Se F é Lipschitz em x, ent˜
ao a solu¸ca
õ
é u
ńica.
Utilizando este resultado, dê uma prova alternativa para a vers˜
ao abaixo do Teorema da
Fun¸ca
õ Impl´ıcita.
41
Teorema. Suponha que U ⊂ R2 é um aberto e seja f : U → R de classe C 1 . Se f (t0 , x0 ) = 0,
com (t0 , x0 ) ∈ U , e se
∂f
(t0 , x0 ) 6= 0,
∂x
ent˜
ao existe um intervalo aberto (t0 −h, t0 +h), h > 0, e uma fun¸ca
õ continuamente diferenci´
avel
φ : (t0 − h, t0 + h) → R tal que φ(t0 ) = x0 e
f (t, φ(t)) = 0.
. ∂f
∂f
(t, x)
(t, x) e aplique o Teorema de existência e unici∂t
∂x
df
dade obtendo uma solu¸ca
õ φ(t) = x(t). Note que f (t0 , φ(t0 )) = 0 e calcule
(t, φ(t)).
dt
Sugest˜
ao: Defina F (t, x) = −
Exerc´ıcio 41 Seja A ⊂ Rn aberto e x0 ∈ A. Suponha que f : A → Rm seja uma aplica¸ca
õ
cont´ınua em todo A e diferenci´
avel em x0 (n˜
ao necessariamente nos demais pontos de A).
Suponha que Df (x0 ) seja um isomorfismo sobre sua imagem. Mostre que existe uma vizinhan¸ca
U ⊂ A de x0 tal que f (x) 6= f (x0 ) para todo x ∈ U com x 6= x0 .
Sugest˜
ao: observe que neste caso kDf (x0 ) · vk ≥ ckvk, para todo v ∈ Rn .
42
Cap´ıtulo 3
No¸
co
˜es de variedades diferenci´
aveis
e subvariedades
A palavra variedade é usada para descrever um espa¸co topológico que localmente é como um
espa¸co Rn , para algum inteiro n, que é chamado dimensão da variedade. Por exemplo, o c´ırculo
é localmente como a reta R. Elipsóides e cilindros s˜
ao localmente como R2 . J´
a um cone n˜
ao
2
é como R pr´
oximo de seu vértice. Gostar´ıamos de tratar as variedades de um ponto de vista
mais concreto. Entretanto, iniciaremos com um tratamento mais geral, porém n˜
ao completo,
das variedades. Faremos desse forma acreditando que, com isso, estaremos preparando o terreno
para o estudo de objetos mais gerais que n˜
ao est˜
ao necessariamente contidos do espa¸co Rn .
Sétima aula ↓
3.1
Defini¸
c˜
ao e exemplos
Antes de darmos a defini¸c˜
ao de variedade diferenci´
avel, iniciamos com a defini¸cão de variedade
topológica.
Lembremos que um espa¸co topol´
ogico é de Hausdorff se, dados dois pontos distintos neste
espa¸co, existem duas vizinhan¸cas abertas disjuntas, cada uma contendo um desses pontos.
Defini¸
c˜
ao 3.1 Uma variedade topol´
ogica M de dimens˜
ao n é um espa¸co topol´
ogico de Hausdorff com base enumer´
avel de abertos e com a propriedade que cada ponto possui uma vizinhan¸ca
homeomorfa a um subconjunto aberto de Rn .
Dada uma variedade topol´
ogica M e q um ponto de M , consideremos o par (U, ϕ), onde U
é um aberto de M contendo q e ϕ é um homeomorfismo de U em um subconjunto aberto de Rn .
Tal par é chamado de vizinhan¸ca coordenada de q. Notemos que ϕ(q) = (x1 (q), . . . , xn (q)) ∈ Rn ,
´ poss´ıvel que q perten¸ca a uma outra
onde cada xi , i = 1, . . . , n, é uma fun¸ca
õ coordenada. E
vizinhan¸ca coordenada (V, ψ) e neste caso ψ(q) = (y1 (q), . . . , yn (q)). Em particular, isto ocorrerá
sempre que (U, ϕ) e (V, ψ) forem vizinhan¸cas coordenadas com U ∩ V 6= ∅. Como ϕ e ψ s˜
ao
homeomorfismos, este caso nos d´
a um homeomorfismo
ψ ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ V ) → ψ(U ∩ V ).
43
˜
´
CAPÍTULO 3. NOC
¸ OES
DE VARIEDADES DIFERENCIAVEIS
E SUBVARIEDADES
44
V
U
q
M
ψ
ϕ
ϕ(q)
ψ ◦ ϕ−1
ψ(q)
ψ(V )
ϕ(U )
Figure 3.1: vizinhan¸cas coordenadas e suas interseçcões.
Defini¸
c˜
ao 3.2 Dizemos que (U, ϕ) e (V, ψ) s˜
ao C ∞ -compat´ıveis se ψ ◦ ϕ−1 e ϕ ◦ ψ −1 s˜
ao difeomorfismos dos conjuntos abertos ϕ(U ∩ V ) e ψ(U ∩ V ), sempre que U ∩ V 6= ∅ (veja a Figura
3.1).
Defini¸
c˜
ao 3.3 Uma estrutura diferenci´
avel C ∞ em uma variedade topol´
ogica M é uma
fam´ılia U = {(Uα , ϕα )} de vizinhan¸cas coordenadas tais que
i)
S
Uα = M ;
ii) para quaisquer α, β, (Uα , ϕα ) e (Uβ , ϕβ ) s˜
ao C ∞ -compat´ıveis;
iii) qualquer vizinhan¸ca coordenada (V, ψ) que é C ∞ -compat´ıvel como todo (Uα , ϕα ) ∈ U pertence a U .
Uma variedadade topol´
ogica com uma estrutura diferenci´
avel C ∞ é chamada de variedade
diferenci´
avel.
Na pr´
atica, para verificarmos que uma variedade topológica é uma variedade diferenci´
avel
n˜
ao é necessário provar a maximalidade da fam´ılia de vizinhan¸cas coordenada como no item iii)
da Defini¸cão 3.3. De fato, o pr´
oximo resultado n˜
ao ser´
a demonstrado no curso mas usaremos
quando for necessário.
Proposi¸
c˜
ao 3.4 Seja M um espa¸co topol´
ogico de Hausdorff com base enumer´
avel de abertos.
∞
Se {(Uα , ϕα )} é uma cobertura de M por vizinhan¸cas coordenadas C -compat´ıveis, ent˜
ao existe
uma u
ńica estrutura diferenci´
avel C ∞ sobre M que contém esta fam´ılia.
Passamos a dar alguns exemplos.
Exemplo 3.5 O espa¸co Rn é uma variedade diferenci´
avel com uma u
ńica vizinhan¸ca coordenada
n
(R , In ), onde In é a identidade.
˜
´
3.2. FUNC
¸ OES
DIFERENCIAVEIS
E VARIEDADES
45
Exemplo 3.6 Qualquer subconjunto aberto V de uma variedade diferenci´
avel M é também
uma variedade diferenci´
avel (de mesma dimens˜
ao). De fato, se {(Uα , ϕα )} é uma∞estrutura
diferenci´
avel C ∞ para M , ent˜
ao {(Uα ∩ V, ϕα Uα ∩V )} é uma estrutura diferenci´
avel C para V .
Exemplo 3.7 Seja U ⊂ Rn um aberto e f : U → Rm uma fun¸cão de classe C ∞ . O gr´
afico de f
é o conjunto
G(f ) := {(x, f (x)) ∈ U × Rm }.
A fun¸cão ϕ : G(f ) → U dada por ϕ(x, f (x)) = x e f˜: U → G(f ) dada por f˜(x) = (x, f (x)) s˜
ao
cont´ınuas e inversas uma da outra. Logo s˜
ao homeomorfismos. Além disso, tais fun¸cões s˜
ao de
classe C ∞ . Segue que G(f ) é uma variedade diferenci´
avel com estrutura diferenciável dada por
uma u
ńica vizinhan¸ca coordenada (G(f ), ϕ). Isto nos diz que as curvas e superf´ıcies conhecidas
dos cursos de c´
alculo s˜
ao variedades diferenci´
aveis.
3.2
Fun¸
c˜
oes diferenci´
aveis e variedades
Defini¸
c˜
ao 3.8 Sejam W ⊂ M um subconjunto aberto em M e f : W ⊂ M → R uma fun¸ca
õ.
Dizemos que f é de classe C r em W se, para cada q ∈ W , existe um uma vizinhan¸ca coordenada
(U, ϕ) contendo q tal que f ◦ ϕ−1 é de classe C r em ϕ(U ) (veja a Figura 3.2). A fun¸ca
õ f é de
classe C ∞ se é de classe C r , para qualquer inteiro positivo r.
R
f
M
q
f ◦ ϕ−1
ϕ
Figure 3.2: f : M → R.
Note que a defini¸c˜
ao de diferenciabilidade independe da vizinhan¸ca coordenada que escolhemos. De fato, se (U, ϕ) e (V, ψ) s˜
ao vizinhan¸cas coordenadas de um ponto q ∈ M e
f : W ⊂ M → R, ent˜
ao
f ◦ ψ −1 = (f ◦ ϕ−1 ) ◦ (ϕ ◦ ψ −1 ).
Defini¸
c˜
ao 3.9 Suponha que M e N sejam variedades diferenci´
aveis e que W ⊂ M é aberto.
r
Seja F : W → N uma aplica¸ca
õ. Dizemos que F é de classe C em W se, para todo q ∈ W ,
existem vizinhan¸cas coordenadas (U, ϕ) de q em M e (V, ψ) de F (q) em N , com U ⊂ W e
F (U ) ⊂ V , tal que
ψ ◦ F ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V )
é de classe C r . F é de classe C ∞ se é de classe C r , para qualquer inteiro positivo r.
46
˜
´
CAPÍTULO 3. NOC
¸ OES
E SUBVARIEDADES
Como no caso de fun¸c˜
oes de M em R, a defini¸cão de diferenciabilidade para aplica¸cões entre
variedades n˜
ao depende de uma particular escolha de vizinhan¸ca coordenada.
Proposi¸
c˜
ao 3.10 Sejam M , N e P variedade diferenc´
aveis. Se F : M → N é de classe C ∞ ,
ent˜
ao F é cont´ınua. Se F : M → N e G : N → P s˜
ao de classe C ∞ , ent˜
ao a composta G ◦
∞
F : M → P ser´
a de classe C .
Defini¸
c˜
ao 3.11 Uma aplica¸ca
õ F : M → N , de classe C ∞ , entre variedades diferenci´
aveis é
chamada de difeomorfismo se ela é um homeomorfismo e F −1 é de classe C ∞ . Dizemos que
M e N s˜
ao difeomorfas se existe um difeomorfismo F : M → N .
Esta defini¸c˜
ao estende o conceito de difeomorfismo previamente definido para fun¸cões de
subconjunto de Rn .
3.3
Posto de uma aplica¸c˜
ao, imers˜
oes e mergulhos
Defini¸
c˜
ao 3.12 Sejam M e N variedades diferenci´
aveis, q ∈ M e F : M → N uma aplica¸ca
õ
diferenci´
avel. Suponha que (U, ϕ) e (V, ψ) s˜
ao vizinhan¸cas coordenadas de q e F (q) respectivamente. O posto de F em q é o posto da fun¸ca
õ
ψ ◦ F ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ),
no ponto ϕ(p) (Defini¸ca
õ 2.34).
Na Defini¸c˜
ao 3.12 precisamos mostrar que o posto é independente da escolha das vizinhan¸cas
coordenadas. Este fato n˜
ao ser´
a provado, ficando como um exerc´ıcio.
O Teorema 2.35 (Teorema do Posto) pode ser reformulado no caso de variedades da forma
abaixo.
Teorema 3.13 Sejam M e N variedades diferenci´
aveis com dim M = m e dim N = n. Suponha
que F : N → M seja de classe C ∞ e que o posto de F seja constante e igual a k em todo ponto
de N . Se q ∈ N , existem vizinhan¸cas coordenadas (U, ϕ) e (V, ψ) de q e de F (q) respectivamente
tal que ϕ(q) = 0 ∈ Rn e ψ(F (q)) = 0 ∈ Rm e
ψ ◦ F ◦ ϕ−1 (x) = (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0),
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .
Além disso, podemos assumir que ϕ(U ) = Cεn (0) ⊂ Rn e ψ(V ) = Cεm (0) ∈⊂ Rm , onde Cεk (0) é
o cubo de centro 0 e raio ε > 0 em Rk .
Note que, pelo Teorema 3.13, uma condi¸cão necessária para que F : N → M seja um
difeomorsfismo é que dim M = dim N = posto de F .
ao se posto de F =
Defini¸
c˜
ao 3.14 Uma aplica¸ca
õ F : N → M de classe C ∞ é chamada de imers˜
dim N em todo ponto de N . F é chamada submers˜
ao se posto de F = dim M em todo ponto
de M .
˜ := F (N ). Então, se (U, ϕ) é
Suponha que F : N → M seja uma imersão injetora e seja N
∞
˜
uma estrutura diferenci´
avel de classe C em N , teremos que (U , ϕ)
˜ ser´
a uma estrutura diferen˜ , onde U
˜ := F (U ) e ϕ˜ := ϕ ◦ F˜ −1 , sendo F˜ : N → N
˜ com F˜ (q) = F (q)
ciável de classe C ∞ em N
˜ ser´
(justifique!). Além disso, F˜ : N → N
a um difeomorfismo.
˜ IMERSOES
˜
3.3. POSTO DE UMA APLICAC
¸ AO,
E MERGULHOS
47
˜ é chamada de subvariedade imersa.
Defini¸
c˜
ao 3.15 A variedade diferenci´
avel N
˜
Observa¸
c˜
ao 3.16 Em geral, a topologia e a estrutura C ∞ de uma subvariedade imersa N
˜ n˜
dependem somente de F e de N , isto é, N
ao é necessariamente um subespa¸co topol´
ogico de
M . Isto ficar´
a mais claro no exemplos.
Oitava aula ↓
Exemplo 3.17 Seja F : R → R3 dada por F (t) = (cos 2πt, sen 2πt, t). Note que a imagem F (R)
é uma hélice que est´
a contida em um cilindro de raio 1 centrado no eixo z.
Exemplo 3.18 Seja F : R → R2 dada por F (t) = (cos 2πt, sen 2πt). Então F (R) é o c´ırculo
S 1 := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1}.
cos 2πt sen 2πt . Então kF (t)k2 =
,
t
t
1/t2 , para t > 1. A imagem de F ser´
a a curva espiral em torno de (0, 0).
Exemplo 3.19 Seja F : (1, ∞) → R2 dada por F (t) =
1
Figure 3.3: curva espiral em torno de (0, 0).
(1 + t) cos 2πt (1 + t) sen 2πt Exemplo 3.20 Seja F : (1, ∞) → R2 dada por F (t) =
. Ent˜
ao
,
2t
2t
a imagem de F ser´
a novamente uma curva espiral, porém agora em torno do c´ırculo de centro
(0, 0) e raio 1/2.
1
Figure 3.4: curva espiral.
48
˜
´
CAPÍTULO 3. NOC
¸ OES
E SUBVARIEDADES
Exemplo 3.21 Seja F : R → R2 dada por F (t) = 2 cos(t − π/2), sen 2(t − π/2) . Então,
quando t varia de 0 até 2π, a imagem de F faz um circuito completo iniciando na origem como
mostramas as setas na Figura 3.22.
Figure 3.5: figura oito.
Exemplo 3.22 Construiremos agora uma fun¸cão cuja imagem é novamente a figura oito, porém
com uma importante diferen¸ca: quando t varia no dom´ınio dessa fun¸cão, passaremos pela origem
apenas uma vez (quando t = 1/2). Seja g : R → R uma fun¸cão mon´
otona crescente e de classe
∞
C tal que g(0) = π e
lim g(t) = 0,
lim g(t) = 2π.
t→−∞
Definamos G : R →
t→+∞
R2
por G(t) := F (g(t)), seno F a fun¸cão do Exemplo 3.21, isto é,
G(t) = F (g(t)) = 2 cos(g(t) − π/2), sen 2(g(t) − π/2) .
Figure 3.6: figura oito.
Exemplo 3.23 Seja agora F : (−∞, −1] ∪ [1∞) → R2 dada por
( 1
,
sen
πt
se 1 < t < ∞,
t
F (t) =
(0, 2 + t)
se −∞ < t ≤ −1.
Então F nos fornece uma curva com um gap como mostrado na Figura 3.23 sem a linha pontilhada. Para t ∈ [−1, 1], conectamos os dois peda¸coes de curvas suavemente com a curva
pontilhada. Isto nos d´
a uma imersão de classe C ∞ de R em R2 .
Os exemplos que apresentamos nos ajudam a tirar algumas informa¸cões sobre imersões.
Notemos que uma imersão n˜
ao precisa ser injetora em todo seu dom´ınio, mesmo que ela
seja injetora localmente. De fato, isto ocorre no Exemplo 3.18 e no Exemplo 3.21 já que, se t =
0, ±2π, ±4π, . . . , temos no primeiro caso que F (t) = (0, 1) e no segundo caso que F (t) = (0, 0).
Uma imersão injetora n˜
ao é necessariamente um homeomorfismo sobre sua imagem, isto
é, se F : N → M é uma imersão injetora, n˜
ao é verdade que F é um homeomorfismo de N
49
3.4. SUBVARIEDADES
(0, 1)
1
(0, −1)
Figure 3.7: Exemplo 3.23.
˜ , considerada como um subespa¸co topológico de M . Isto é o que
sobre a subvariedade imersa N
˜ é a figura oito,
nos mostra o Exemplo 3.22 e o Exemplo 3.23. No primeiro caso temos que N
enquanto N é a reta R, e estes dois espa¸cos n˜
ao s˜
ao homeomorfos (dê uma justificativa r´
apida
˜ n˜
para este fato!). No Exemplo 3.23 temos que N = R novamente e N
ao é localmente conexo
quando considerado como subespa¸co de R2 . De fato, existem pontos sobre o eixo y (por exemplo
(0, 1/2)) para os quais vizinhan¸cas arbitrariamente pequenas n˜
ao s˜
ao conexas.
Estes fatos nos motiva a dar uma defini¸cão mais restritiva.
Defini¸
c˜
ao 3.24 Um mergulho é uma imers˜
ao F : N → M que é um homeomorfismo de N
˜ ⊂ M , quando consideramos N
˜ como subespa¸co topol´
sobre sua imagem F (N ) = N
ogico de M
˜
(isto é, com a topologia relativa). Neste caso dizemos que N é uma subvariedade mergulhada.
Os exemplos 3.17, 3.19 e 3.20 s˜
ao de subvariedades mergulhadas.
O pr´
oximo resultado nos diz que a diferen¸ca entre uma subvariedade imersa e uma subvarieadade mergulhada é essencialmente global isto é, a diferen¸ca n˜
ao depende da natureza local
da aplica¸cão F .
Teorema 3.25
Seja F : N → M uma imers˜
ao. Ent˜
ao cada ponto q ∈ N possui uma vizinhan¸ca
U tal que F U é um mergulho de U em M .
Demonstra¸
c˜
ao. De acordo com o Teorema 3.13, podemos escolher vizinhan¸cas coordenadas
(U, ϕ) de q ∈ N e (V, ψ) de F (q) ∈ M tais que ϕ(U ) = Cεn (0) ⊂ Rn , ψ(V ) = Cεm (0) ⊂ Rm ,
ϕ(q) = 0 e ψ(F (q)) = 0. Ademais,
ψ ◦ F ◦ ϕ−1 (x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn , 0, . . . , 0).
Note que ψ ◦ F ◦ ϕ−1 é um homeomorfismo de Cεn (0) ⊂ Rn sobre sua imagem contida em
Cεm (0) ⊂ Rm . Como F (U ) ⊂ V e V é um subconjunto aberto de M , a topologia de F (U ) é
dada pela topologia de V e, consequentemente de M . Segue que F é um homeomorfismo de U
em F (U ) com a topologia relativa.
3.4
Subvariedades
Nesta se¸cão vamos discutir com mais detalhes o conceito de subvariedade. Até agora vimos
a defini¸cão mais geral que é a de subvariedade imersa e então o de subvariedade mergulhada.
50
˜
´
CAPÍTULO 3. NOC
¸ OES
E SUBVARIEDADES
Desenvolveremos agora a no¸c˜
ao de subvariedade regular, que é um caso particular das demais
porém mais natural, já que nesse caso a topologia e a estrutura diferenci´
avel s˜
ao derivadas
diretamente da variedade da qual ela é um subconjunto.
Defini¸
c˜
ao 3.26 Seja M uma variedade diferenci´
avel de dimens˜
ao m e n um inteiro com 0 ≤
n ≤ M . Um subconjunto N ⊂ M possui a propriedade de n-subvariedade se cada q ∈ N
possui uma vizinhan¸ca coordenada (U, ϕ) sobre M com ϕ(p) = (x1 (p), . . . , xm (p)), p ∈ M , tais
que
i) ϕ(q) = (0, . . . , 0);
ii) ϕ(U ) = Cεm (0);
iii) ϕ(U ∩ N ) = {x ∈ Cεm (0) | xn+1 = . . . = xm = 0}.
A Figura 3.8 mostra um exemplo de um subconjunto N ⊂ R3 com a propriedade de nsubvariedade (n = 2, m = 3 e M = R3 ).
U
ϕ
ϕ(U )
N
ϕ(U ∩ N )
U ∩N
M = R3
Figure 3.8: Propriedade de n-subvariedade
Notemos que nem sempre uma subvariedade imersa possui a propriedade de n-subvariedade.
Tome, por exemplo, q = (0, 0) nos exemplos 3.22 e 3.23.
No lema abaixo, denotemos por π : Rm → Rn , n ≤ m, a proje¸cão soobre as primeiras n
coordenadas.
Lema 3.27 Seja M uma variedade diferenci´
avel de dimens˜
ao m e n um inteiro satisfazendo
0 ≤ n ≤ m. Suponha que N ⊂ M satisfaz a propriedade de n-subvariedade. Ent˜
ao N com a
topologia relativa de M é uma variedade topol´
ogica de dimens˜
ao n. Além disso, cada vizinhan¸ca coordenada (U, ϕ) de M , da forma apresentada na Defini¸ca
õ 3.26, define uma vizinhan¸ca
coordenada (V, ϕ)
˜ em N , com V = U ∩ N e ϕ˜ = π ◦ ϕ|V . Estas coordenadas locais determinam
avel C ∞ em N na qual a inclus˜
ao i : N → M é um mergulho.
Demonstra¸
c˜
ao. Suponhamos que N ⊂ M possua a topologia relativa de M . Segue que
V = U ∩N é um conjunto aberto em N e a uni˜
ao de vizinhan¸cas dessa forma cobre N . Além disso,
usando o ´ıtem iii) da Defini¸c˜
ao 3.26 temos que ϕ
˜ é um homeomorfismo sobre Cεn (0) = π(Cεn (0)).
Assim, N é uma variedade topol´
ogica de dimensão n.
Sejam (U, ϕ) e (U ′ , ψ) vizinhan¸cas coordenadas de M satisfazendo as condi¸cões da Defini¸c˜
ao
3.26. Definamos V = U ∩ N e V ′ = U ′ ∩ N e suponhamos que V ∩ V ′ 6= ∅. Sejam ϕ˜ = π ◦ ϕ|V
51
3.4. SUBVARIEDADES
˜ s˜
˜ e (V ′ , ψ)
ao vizinhan¸cas
e ψ˜ = π ◦ ψ|V ′ . Segue da primeira parte da demonstra¸cão que (V, ϕ)
−1
−1
˜
˜
coordenadas topol´
ogicas, isto é, ψ ◦ ϕ˜
e ϕ˜ ◦ ψ
s˜
ao homeomorfismos em seus dom´ınios.
Queremos mostrar que estas duas composi¸cões s˜
ao diferenci´
aveis.
n
m
Seja θ : R → R dada por θ(x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn , 0 . . . , 0), de forma que π ◦ θ é a
˜−1 = ϕ−1 ◦ θ é de
identidade em Rn . Notemos que θ é de classe C ∞ em Cεn (0). Segue que ϕ
classe C ∞ . Por outro lado, ψ˜ = π ◦ ψ e portanto ψ˜ é também de classe C ∞ . Portanto, ψ˜ ◦ ϕ˜−1 é
de classe C ∞ em seu dom´ınio ϕ(V
˜ ∩ V ′ ). Por um racioc´ınio an´lago podemos provar que ϕ˜ ◦ ψ˜−1
˜ ∩ V ′ ).
é também de classe C ∞ em ψ(V
Finalmente, como a topologia de N é a topologia relativa, a inclusão i : N → M é, por
defini¸cão, um homeomorfismo sobre sua imagem. Além disso, se (V, ϕ)
˜ é uma vizinhan¸ca coordenada como na Defini¸c˜
ao 3.26, ent˜
ao
ϕ˜ ◦ i ◦ ϕ˜−1 (x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn , 0, . . . , 0).
e portanto i é uma imersão.
Defini¸
c˜
ao 3.28 Uma subvariedade regular de uma variedade diferenci´
avel M é qualquer
subespa¸co N de M com a propriedade de n-subvariedade e com um a estrutura diferenci´
avel C ∞
dade pela Defini¸ca
õ 3.26.
Pelo Lema 3.27 uma subvariedade regular é uma subvariedade mergulhada.
O método mais utilizado para encontrarmos exemplos de subvariedades é dado pelo seguinte
teorema.
Teorema 3.29 Sejam N e M variedades diferenci´
aveis de dimens˜
ao n e m respectivamente e
F : N → M uma aplica¸ca
õ de classe C ∞ . Suponha que F tenha posto constante e igual a k em
todo ponto de N e que q ∈ F (N ). Ent˜
ao F −1 (q) é uma subvariedade regular fechada de N de
dimens˜
ao n − k.
Antes de demonstrarmos o Teorema 3.29 daremos alguns exemplos.
Exemplo 3.30 Seja F : Rn → R definida por
F (x) = kxk2 .
Então F possui posto 1 em Rn \ {0}. Logo, pelo Teorema 3.29,
F −1 (1) = {x ∈ Rn | kxk = 1} = S n−1
é uma subvariedade regular de Rn .
Exemplo 3.31 Seja U = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) 6= (0, 0)}. Definamos F : U → R por
p
2
F (x, y, z) = 2 − x2 + y 2 + z 2 .
Então ∇F (x, y, z) 6= (0, 0, 0) fora do c´ırculo
S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 4, z = 0}.
Assim, o posto de F é igual a 1 em U \ S. Note que F (S) = {0} ⊂ R. Assim, tomando c > 0,
teremos que F −1 (c) é uma subvariedade regular de dimensão 2. Em particular, se 0 < c < 4,
√
temos que F −1 (c) é o toro gerado pela rota¸cão do c´ırculo de raio c em torno do eixo z com
centro percorrendo S.
52
˜
´
CAPÍTULO 3. NOC
¸ OES
E SUBVARIEDADES
Exemplo 3.32 Seja f : R2 → R dada por F (x, y) = exy . Então ∇F (x, y) = (xexy , yexy ). Segue
que fora de (0, 0) a derivada de F possui posto constante e igual a 1. Além disso, F (0, 0) = 1.
Assim, para qualquer c > 0, c 6= 1, F −1 (c) é uma subvariedade regular de R2 de dimensão 1.
Note que
F −1 (c) = {(x, y) ∈ R2 | xy = log c},
que s˜
ao hipérboles em R2 .
Observe ainda que F −1 (1) = {(x, y) ∈ R2 | xy = 0}, ou seja, F −1 (1) é a uni˜
ao do eixo x
com o eixo y, que n˜
ao é localmente igual a nenhum Rn e portanto n˜
ao é uma subvariedade.
Nona aula ↓
Demonstra¸
c˜
ao do Teorema 3.29. Seja A := F −1 (q). Como F é cont´ınua e {q} é fechado em
M temos que A é fechado. Vamos mostrar que A possui a propriedade de (n − k)-subvariedade.
Seja p ∈ A. Ent˜
ao F possui posto constante e igual a k em uma vizinhan¸ca de p. Pelo
Teorema 3.13 podemos encontrar uma vizinhan¸ca coordenada (U, ϕ) e (V, ψ) de p e F (p) = q
respectivamente tais que:
ϕ(p) = 0 ∈ Rn ,
ψ(q) = 0 ∈ Rm ,
ϕ(U ) = Cεn (0),
ψ(V ) = Cεm (0).
Além disso, a fun¸c˜
ao F |U é dada por
ψ ◦ F ◦ ϕ−1 (x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0).
Assim, se F ◦ ϕ−1 (x) = q, devemos ter x1 = · · · = xk = 0, pois ψ(q) = 0. Em outras palavras, os
u
ńicos pontos de U que s˜
ao aplicados em q s˜
ao aqueles para os quais as k primeiras coordenadas
s˜
ao nulas. Ou ainda:
A ∩ U = ϕ−1 (ϕ ◦ F −1 ψ −1 (0))
= ϕ−1 {x ∈ Cεn (0) | x1 = · · · = xk = 0}.
Mas esta é justamente a propriedade de (n − k)-subvariedade. Segue que A é uma subvariedade
regular de dimensão n − k.
3.5
Espa¸
co tangente a uma subvariedade regular de Rn
Vamos dar a defini¸c˜
ao de espa¸co tangente de uma subvariedade regular de Rn da forma do
Teorema 3.29. No caso de variedades diferenci´
aveis mais gerais, o conceito também pode ser
definido, porém n˜
ao necessitaremos por enquanto.
õ de posto constante e igual a k em todo ponto
Defini¸
c˜
ao 3.33 Seja F : Rn → Rm uma aplica¸ca
n
de R . Seja q ∈ F (Rn ) e M := F −1 (q) uma subvariedade regular de dimens˜
ao n − k em Rn ,
n
n
como no Teorema 3.29. Em particular M ⊂ R . Um vetor v ∈ R é dito tangente a M
em p ∈ M se existe uma fun¸ca
õ diferenci´
avel γ : (−δ, δ) → Rn , δ > 0, tal que γ(−δ, δ) ⊂ M ,
′
γ(0) = p e γ (0) = v. O conjunto de todos os vetores tangentes a M no ponto p é chamado de
espa¸
co tangente a M em p e denotado por Tp M .
3.5. ESPAC
¸ O TANGENTE A UMA SUBVARIEDADE REGULAR DE RN
53
Teorema 3.34 Seja F : Rn → Rm uma aplica¸ca
n
n
−1
de R . Seja q ∈ F (R ) e M := F (q) uma subvariedade regular de dimens˜
ao n − k em Rn ,
como no Teorema 3.29. Dado p ∈ M , o espa¸co tangente a M em p é
Tp (M ) = ker(DF (p)),
isto é, Tp M é o n´
ucleo da trasforma¸ca
õ linear DF (p). A dimens˜
ao de Tp M é n − k.
Demonstra¸
c˜
ao. Seja T := DF (p). Precisamos mostrar que v ∈ Tp M se, e somente se, T v = 0.
Seja v ∈ Tp M e suponha que γ : (−δ, δ) → M é tal que γ(0) = p e γ ′ (0) = v. Em particular,
F (γ(t)) = q, para qualquer t ∈ (−δ, δ). Segue que
0 = D(F (γ(0))) = DF (γ(0)) · γ ′ (0) = DF (p) · v = T v.
Reciprocamente, suponhamos que T v = 0. Pelo Teorema 3.13, podemos assumir que as k
primeiras colunas de T s˜
ao linearmente independentes. Definamos f : U → Rn por
f (x) := (x1 , . . . , xn−k , F1 (x), . . . , Fk (x)).
Como na demonstra¸c˜
ao do Teorema 2.35, existe U ⊂ Rn tal que f é um difeomorfismo de U em
f (U ).
Como p ∈ M ⊂ Rn , podemos escrever p = (p1 , . . . , pn ). Por outro lado, dado qualquer x ∈
usaremos a nota¸c˜
ao (ˆ
x, 0) = (x1 , . . . , xn−k , 0, . . . , 0). Defina ainda R := {ˆ
x | (ˆ
x, 0) ∈ f (U )}.
Assim, existe δ > 0 tal que pˆ + tˆ
v ∈ R, para todo t ∈ (−δ, δ).
Rn ,
Seja g := (f |U )−1 e
γ(t) := g(ˆ
p + tˆ
v ).
Segue que γ(t) ∈ M para todo t ∈ (−δ, δ) e que γ é de classe C 1 . Vamos mostrar que γ ′ (0) = v.
Seja L := Df (p). Ent˜
ao L−1 = Dg(ˆ
p, 0) = Dg(f (p)). Portanto,
γ ′ (0) = Dg(ˆ
p) · (ˆ
v , 0) = L−1 (ˆ
v , 0).
Mas, pela defini¸c˜
ao de f e pelo fato de v estar no n´
ucleo de T = DF (p), devemos ter L(v) = (ˆ
v , 0),
isto é,
v = L−1 (ˆ
v , 0) = γ ′ (0).
O resultado segue.
Defini¸
c˜
n
n
−1
de R . Seja q ∈ F (R ) e M := F (q) uma subvariedade regular de dimens˜
ao n − k em Rn .
Um vetor w é chamado normal `
a M em p se hw, vi = 0, para qualquer v ∈ Tp M . Assim, o
espa¸co dos vetores normais `
a M é o complemento ortogonal de Tp M .
Notemos que, nas condi¸c˜
oes da defini¸cão 3.35, o espa¸co dos vetores normais à M em p
possui dimensão k. Além disso, pelo Teorema 3.34 devemos ter
h∇Fi (p), vi = 0,
para qualquer
v ∈ Tp M,
i = 1, . . . , k.
Como o posto de F é igual a k (constante), obtemos o seguinte resultado que é uma simples
consequência do Teorema 3.34 e dessas observa¸cões:
54
˜
´
CAPÍTULO 3. NOC
¸ OES
E SUBVARIEDADES
Proposi¸
c˜
õ de posto constante e igual a k em todo
n
n
−1
ponto de R . Seja q ∈ F (R ) e M := F (q) uma subvariedade regular de dimens˜
ao n − k em
Rn . Ent˜
ao o conjunto {∇F1 (p), . . . , ∇Fk (p)} é uma base do espa¸co normal a
` M em p.
Defini¸
c˜
n
de R e tomemos q ∈ F (Rn ). Seja M := F −1 (q) uma subvariedade regular de dimens˜
ao n − k
n
em R . O plano tangente a M em p é o conjunto
{x ∈ Rn | x = p + v; v ∈ Tp M }.
Notemos que, pela que fizemos até agora,
{x ∈ Rn | x = p + v; v ∈ Tp M } = {x ∈ Rn | h∇Fi (p), x − pi = 0; i = 1, . . . , k}.
3.6
Exerc´ıcio 42 Sejam M e N variedades diferenci´
aveis de dimens˜
os m e n respectivamente.
Ent˜
ao M × N é uma variedade diferenci´
avel de dimens˜
ao m + n, com estrutura C ∞ determinada
pelas vizinhan¸cas coordenadas da forma (U × V, (ϕ, ψ)), onde (U, ϕ) e (V, ψ) s˜
ao vizinhan¸cas
coordenadas de M e N respectivamente.
Exerc´ıcio 43 (Veja [10], p´
agina 350) Seja S n := {x ∈ Rn+1 | kxk = 1} e fixemos N =
(0, . . . , 0, 1) e S = (0, . . . , 0, −1) os polos norte e sul respectivamente. Definamos UN := S n \{S}
e US := S n \ {N }. Consideremos as fun¸co
˜es f : UN → Rn e g : US → Rn definidas por
1
(x1 , . . . , xn ),
1 − xn+1
1
g(x1 , . . . , xn+1 ) =
(x1 , . . . , xn ).
1 + xn+1
f (x1 , . . . , xn+1 ) =
Mostre que (UN , f ) e (US , g) determinam duas vizinhan¸cas coordenadas de S n e ainda que
{(UN , f ), (US , g)} formam uma estrutura diferenci´
avel C ∞ em S n . f e g s˜
ao as proje¸co
˜es
estereogr´
aficas do polo norte e sul respectivamente (veja a Figura 3.9: no caso de f , se considerarmos a reta que passa pelo polo norte N e por um ponto x ∈ UN , ent˜
ao f (x) é justamente o
n
ponto de interseçca
õ dessa reta com o plano R ).
Sugest˜
ao: a fun¸ca
õ f˜(y1 , . . . , yn ) = t(y)y1 , . . . , t(y)yn , 1 − t(y) , onde t(y) = 2/(1 + kyk2 ),
é a inversa de f . Qual a express˜
ao para a inversa de g?
Exerc´ıcio 44 Demonstre a Proposi¸ca
õ 3.10.
Exerc´ıcio 45 Mostre que se c 6= 0, ent˜
ao o hiperbol´
oide x2 + y 2 − 4z 2 = c é uma subvariedade
regular de dimens˜
ao 2. O mesmo acontece quando c = 0?
Exerc´ıcio 46 Seja M = {(x, y, z) ∈ R3 | xy = 0, x2 + y 2 + z 2 = 1, z 6= ±1}. Mostre que M é
uma subvariedade regular de dimens˜
ao 1.
Exerc´ıcio 47 Seja M = {(x, y) ∈ R2 | xy = y x , x > 0, y > 0, (x, y) 6= (e, e)}. Mostre que M é
uma subvariedade regular de dimens˜
ao 1.
55
R
N
Rn
x
g(x)
f (x)
S
Figure 3.9: Proje¸cão estereográfica.
Exerc´ıcio 48 Seja f : A → R uma fun¸ca
õ de classe C ∞ no aberto A ⊂ R2 . Mostre que M =
{(x, y, f (x, y)) ∈ R3 | (x, y) ∈ A} é uma subvariedade regular de dimens˜
ao 2.
Exerc´ıcio 49 Considere uma matriz (cij )n×n com posto n e simétrica. Mostre que
n
o
n
X
cij xi xj = 1
M = x ∈ Rn |
i,j=1
é uma subvariedade regular de dimens˜
ao n − 1.
Décima aula: primeira prova
56
˜
´
CAPÍTULO 3. NOC
¸ OES
E SUBVARIEDADES
Cap´ıtulo 4
Integra¸
c˜
ao
Como sabemos do curso de C´
alculo I, a integral de uma fun¸cão real sobre um conjunto é a
generaliza¸cão da no¸c˜
ao de soma. Vamos estudar neste cap´ıtulo a integral de Riemann de uma
fun¸cão de várias vari´
aveis, a qual nada mais é que a generaliza¸cão da integral vista para fun¸cões
de uma vari´
avel real.
Décima primeira aula ↓
4.1
Integral de Riemann sobre um retˆ
angulo de Rn
Um retˆ
angulo em Rn é um produto cartesiano de intervalos da forma
Q = [a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ].
Cada intervalo [ai , bi ], i = 1, . . . , n é chamado de intervalo componente de Q. A largura de Q é
dada pelo valor maxi {bi − ai | i = 1, . . . , n}. O volume de Q é dado pelo produto
v(Q) = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) . . . (bn − an ).
Defini¸
c˜
ao 4.1 Dado um intervalo fechado [a, b] ⊂ R, uma parti¸
c˜
ao de [a, b] é uma cole¸ca
õ
finita P de pontos de [a, b], que contém os pontos a e b. Usualmente, indexamos os elementos
de P em ordem crescente na forma
a = t0 < t1 < . . . < tk = b.
Cada intervalo [tj−1 , tj ], j = 1, . . . , k é chamado de subintervalo determinado por P.
Com o aux´ılio da Defini¸c˜
ao 4.1, definimos parti¸cão de um retˆ
angulo em Rn .
Defini¸
c˜
ao 4.2 Dado um retˆ
angulo Q = [a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ] ⊂ Rn , uma parti¸
c˜
ao de Q é
n-´
upla P = (P1 , . . . Pn ), onde cada Pi é uma parti¸ca
õ de [ai , bi ], i = 1, . . . , n. Se, para cada i,
Ii é um dos subintervalos determinado por Pi , ent˜
ao um retˆ
angulo da forma
R = I1 × . . . × In
é chamado de subretˆ
angulo (de Q) determinado por P. A largura m´
axima desses subretˆ
angulos é chamada de malha de P.
57
˜
CAPÍTULO 4. INTEGRAC
¸ AO
58
Definimos agora as somas superiores e inferiores associadas com uma parti¸cão.
Defini¸
c˜
ao 4.3 Sejam Q ⊂ Rn um retˆ
angulo e f : Q → R uma fun¸ca
õ limitada. Dada uma
parti¸ca
õ P de Q, para cada subretˆ
angulo R determinado por P definimos
mR (f ) = inf{f (x) | x ∈ Q},
MR (f ) = sup{f (x) | x ∈ Q}.
Com esta nota¸ca
õ, a soma inferior e a soma superior de f em Q s˜
ao definidas respectivamente por
X
L(f, P) =
mR (f )v(R),
R
U (f, P) =
X
MR (f )v(R),
R
onde a soma percorre todos os subretˆ
angulos R de Q determinados por P.
Notemos que a defini¸c˜
ao de mR (f ) e de MR (f ) é poss´ıvel pois f é limitada.
Seja P = (P1 , . . . , Pn ) uma parti¸caõ de um retˆ
angulo Q ⊂ Rn . Se P ′′ é uma outra parti¸c˜
ao
de Q obtida de P adicionando-se pontos a algumas das (ou todas as) parti¸cões P1 , . . . , Pn , ent˜
ao
dizemos que P ′′ é um refinamento de P. Dadas duas parti¸cões P e P ′ , de Q, a parti¸cão
P ′′ = (P1 ∪ P1′ , . . . , Pn ∪ Pn′ )
é um refinamento tanto de P quanto de P ′ , e ser´
a chamada de refinamento comum de P e P ′ .
O pr´
oximo resultado nos diz que ao refinarmos uma parti¸cão cada vez mais, obtemos uma
fam´ılia crescente de somas inferiores e uma fam´ılia decrescente de somas superiores.
Lema 4.4 Sejam Q ⊂ Rn um retˆ
angulo, f : Q → R uma fun¸ca
õ limitada e P uma parti¸ca
õ de
Q. Se P ′′ é um refinamento de P, ent˜
ao
L(f, P) ≤ L(f, P ′′ )
e
U (f, P ′′ ) ≤ U (f, P).
Demonstra¸
c˜
ao. Suponhamos que Q = [a1 , b1 ]×. . .×[an , bn ]. Notemos que é suficiente provar o
lema para o caso em que P ′′ é obtida adicionando-se um u
ńico ponto à parti¸cão P = (P1 , . . . , Pn ).
Além disso, podemos supor, sem perda de generalidade, que o ponto q ser´
a adicionado à parti¸c˜
ao
P1 . Suponha ainda que P1 consiste dos pontos
a 1 = t 0 < t 1 < . . . < t k = b1 ,
e que q ∈ (tj−1 , tj ) para um certo j fixado.
Comparemos L(f, P) e L(f, P ′′ ). Inicialmente, considere um subretângulo da forma
RS = [tj−1 , tj ] × S,
onde S é um subretângulo de [a2 , b2 ] × . . . × [an , bn ] determinado por (P2 , . . . , Pn ). A menos
dos subretângulos da forma RS , os demais subretângulos aparecem em ambas as parti¸cões P e
ˆ
4.1. INTEGRAL DE RIEMANN SOBRE UM RETANGULO
DE RN
59
′
RS
′′
RS
S
Q
q
Figure 4.1: Ilustra¸c˜
ao para a demonstra¸cão do Lema 4.4, n = 2.
P ′′ . Assim, ao considerarmos os termos da forma RS da soma inferior L(f, P) desaparecem em
L(f, P ′′ ), dando lugar a subretângulos da forma
′
RS = [tj−1 , q] × S
e
que s˜
ao determinados por P ′′ .
Notemos que
mRS (f ) ≤ mR′S (f ) e
e também que v(RS ) = v(RS′ ) + v(RS′′ ). Segue que
′′
RS = [q, tj ] × S,
mRS (f ) ≤ mR′′S (f )
mRS (f )v(RS ) ≤ mR′S (f )v(RS′ ) + mR′′S (f )v(RS′′ ).
Como a desigualdade acima vale para qualquer subretângulo da forma RS , obtemos que
L(f, P) ≤ L(f, P ′′ ).
Um racioc´ınio similar mostra que U (f, P) ≥ L(f, P ′′ ).
Agora verificaremos que ao refinarmos uma parti¸cão, a fam´ılia de somas inferiores obtida
ser´
a limitada superiormente, enquanto a fam´ılia de somas superiores ser´
a limitada inferiormente.
Lema 4.5 Sejam Q ⊂ Rn um retˆ
õ limitada. Se P e P ′ s˜
ao duas
quaisquer parti¸co
˜es de Q, ent˜
ao
L(f, P) ≤ U (f, P ′ ).
Demonstra¸
c˜
ao. Suponhamos que P = P ′ . Então facilemnte vemos que mR (f ) ≤ MR (f ) para
qualquer subretângulo de Q determinado por P. Multiplicando por v(R) e somando obtemos o
lema nesse caso particular.
Se P 6= P ′ , seja P ′′ o refinamento comum a P e P ′ . Pela primeira parte da demonstra¸c˜
ao
e pelo Lema 4.4 temos que
L(f, P) ≤ L(f, P ′′ ) ≤ U (f, P ′′ ) ≤ U (f, P ′ ),
˜
¸ AO
60
e o resultado segue.
Podemos finalmente definir o conceito de integral.
Defini¸
c˜
õ limitada. Definimos a
integral inferior e a integral superior de f sobre Q respectivamente por
Z
Z
f = sup{L(f, P)} e
f = inf {U (f, P)}.
Q
P
Q
P
No caso em que as integrais inferior e superior de f sobre Q coincidem, dizemos que f é
(Riemann) integr´
avel em Q e denotamos este valor comum por
Z
Z
f (x)),
f (ou
Q
Q
que é chamado de integral (de Riemann) de f sobre Q.
4.2
Crit´
erio de Riemann para integrabilidade
Essencialmente da defini¸c˜
ao de sup e inf obtemos um primeiro critério para integrabilidade de
fun¸cões limitadas definidas em um retˆ
angulo de Rn .
Teorema 4.7 (Crit´
erio de Riemann) Sejam Q um retˆ
õ limitada. Ent˜
ao
Z
Z
f ≤ f.
Q
Q
Além disso, a igualdade acontece se, e somente se, dado ε > 0, existe uma parti¸ca
õ correspondente Pε de Q tal que
U (f, Pε ) − L(f, Pε ) < ε.
(4.1)
Demonstra¸
c˜
ao. Fixemos uma parti¸caõ P ′ de Q. Temos que
L(f, P) ≤ U (f, P ′ ),
para toda parti¸c˜
ao P de Q. Tomando o sup em P obtemos
Z
f ≤ U (f, P ′ ).
Q
Como P ′ é arbitrária, podemos tomar o inf sob todas as parti¸cões P ′ obtendo a primeira parte
do teorema.
Agora asumimos que as integrais inferior e superior de f coincidem. Dado ε > 0, escolha
P tal que
Z
f − L(f, P) < ε/2
0≤
Q
e escolha
P′
tal que
′
0 ≤ U (f, P ) −
Z
f < ε/2.
Q
´
4.2. CRITERIO
DE RIEMANN PARA INTEGRABILIDADE
61
Seja P ′′ o refinamento comum de P e P ′ . Segue que
Z
′′
f ≤ U (f, P ′′ ) ≤ U (f, P ′ ).
L(f, P) ≤ L(f, P ) ≤
Q
Portanto,
U (f, P ′′ ) − L(f, P ′′ ) ≤ U (f, P ′ ) − L(f, P) < ε.
Reciprocamente, assuma que as integrais inferior e superior de f n˜
ao s˜
ao iguais. Pela
primeira parte do teorema podemos definir
Z
Z
ε := f − f > 0.
Q
Q
Além disso, dada qualquer parti¸c˜
ao P de Q, teremos que
Z
Z
L(f, P) ≤ f < f ≤ U (f, P).
Q
Q
Logo,
U (f, P) − L(f, P) > ε.
Assim, existe ε > 0 tal que, para qualquer parti¸cão P de Q, a condi¸cão (4.1) n˜
ao é satisfeita, o
que conclui a demonstra¸c˜
ao do teorema.
Passamos agora a apresentar algumas aplica¸cões do Teorema 4.7.
Corol´
ario 4.8 Sejam Q ⊂ Rn um retˆ
õ constante, isto é, f (x) = c
para qualquer x ∈ Q. Ent˜
ao f é integr´
avel e
Z
f = cv(Q).
Q
Demonstra¸
c˜
ao. Seja P uma parti¸c˜
ao de Q e R um subretângulo determinado por P. Como f
é constante segue que
mR (f ) = c = MR (f ).
Portanto,
L(f, P) = c
X
R
v(R) = U (f, P),
e a condi¸cão no critério de Riemann (Teorema 4.7) vale trivialmente. Além disso,
Z
f ≤ U (f, P),
L(f, P) ≤
Q
o que implica que
e o resultado segue.
Z
f =c
Q
X
v(R) = cv(Q),
R
Omitiremos a demonstra¸c˜
ao do pr´
oximo resultado, a qual pode ser encontrada em [9].
˜
¸ AO
62
Corol´
ario 4.9 Seja Q um retˆ
angulo em Rn e {Q1 , . . . , Qk } uma cole¸ca
õ finita de retˆ
angulos
que cobrem Q. Ent˜
ao
k
X
v(Qi ).
v(Q) ≤
i=1
` seguir daremos um exemplo de uma fun¸cão limitada que n˜
A
ao é integr´
avel em um intervalo
compacto.
Exemplo 4.10 Seja f : [0, 1] → R dada por
0 se x é racional,
f (x) =
1 se x é irracional.
Então, para qualquer parti¸c˜
ao P de [0, 1] e qualquer subretângulo R determinado por P, teremos
que mR (f ) = 0 e MR (f ) = 1. Segue da´ı que L(f, P) = 0 e U (f, P) = 1v([0, 1]) = 1. Logo, a
condi¸cão 4.1 no Teorema 4.7 n˜
ao ser´
a satisfeita para ε > 0 pequeno.
Concluiremos esta se¸c˜
ao provando que uma fun¸cão cont´ınua definida em um retˆ
angulo é
integr´
avel.
Proposi¸
c˜
ao 4.11 Se Q ⊂ Rn é um retˆ
angulo e f : Q → R é cont´ınua, ent˜
ao f é integr´
avel.
Demonstra¸
c˜
ao. Como f é cont´ınua e Q é compacto, temos que f é uniformemente cont´ınua.
Assim, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, se x, y ∈ Q satisfazem |x − y| < δ, então |f (x) − f (y)| <
ε/v(Q).
Escolha uma parti¸c˜
ao P de Q com malha menor que δ. Então, para qualuqer subretângulo
R determinado por P e todo x, y ∈ R, segue que |x − y| < δ, e pela condi¸cão de continuidade
uniforme,
MR (f ) − mR (f ) < ε/v(Q).
Logo,
U (f, P) − L(f, P) =
Segue do Teorema 4.7 que f é integr´
avel.
4.3
X
R
(MR (f ) − mR (f ))v(R) ≤ ε.
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 50 Sejam Q ⊂ Rn um retˆ
angulo e f, g : Q → R duas fun¸co
˜es limitadas tais que
f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ Q. Mostre que
Z
Q
f≤
Z
g
Q
e
Z
Q
f≤
Z
g.
Q
Exerc´ıcio 51 Se f, g : [0, 1] → R s˜
ao duas fun¸co
˜es crescentes (e portanto limitadas) e n˜
aonegativas, mostre que h : [0, 1] × [0, 1] → R definida por h(x, y) = f (x)g(y) é integr´
avel.
Exerc´ıcio 52 Sejam Q um retˆ
angulo e f, g : Q → R duas fun¸co
˜es integr´
aveis.
4.3. EXERCÍCIOS
63
a) Mostre que, para qualquer parti¸ca
õ P de Q e qualquer subretˆ
angulo R de Q determinado
por P, temos que
mR (f ) + mR (g) ≤ mR (f + g)
e
MR (f + g) ≤ MR (f ) + MR (g).
e
U (f + g, P) ≤ U (f, P) + U (f, P).
Conclua que
L(f, P) + L(g, P) ≤ L(f + g, P)
b) Mostre que f + g é integr´
avel e que
Z
(f + g) =
Q
Z
f+
Q
c) Para qualquer constante c ∈ R, mostre que
Z
cf = c
Q
Z
Z
g.
Q
f.
Q
Exerc´ıcio 53 Sejam Q um retˆ
angulo e f : Q → R integr´
avel. Mostre que |f | é integr´
avel e que
Z Z
|f |.
f ≤
Q
Q
õ limitada. Mostre que f é
integr´
avel em Q se, e somente se, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que U (f, P) − L(f, P) < ε sempre
que a parti¸ca
õ P possuir malha menos que δ.
Sugest˜
ao: veja as sugest˜
oes no Exerc´ıcio 6 da p´
agina 90 de [9].
Exerc´ıcio 55 Suponha que f : [a, b] → R seja limitada e que f seja descont´ınua somente em
uma quantidade finita de pontos de [a, b]. Mostre que f é integr´
avel em [a, b].
Sugest˜
ao: dado ε > 0 e sendo E o conjunto dos pontos de descontinuidade
de f , cubra tal
P
conjunto com uma quantidade finita de intervalos [cj , dj ] ⊂ [a, b] tais que j (dj − cj ) < ε. Seja
K o conjunto compacto obtido ao removermos de [a, b] a uni˜
ao de todos os intervalos (cj , dj ).
Segue que f é uniformemente cont´ınua em K e tome δ > 0 tal que |f (x) − f (y)| < ε sempre
que x, y ∈ K e |x − y| < δ. Construa uma parti¸ca
õ P que contém todos os pontos cj e dj ,
nenhum ponto do interior de [cj , dj ], e tal que, se um subintervalo da parti¸ca
õ n˜
ao é da forma
[cj , dj ], ent˜
ao o comprimento desse subintervalo n˜
ao excede δ. Mostre que esta parti¸ca
õ satisfasz
a condi¸ca
õ do critério de Riemann.
Exerc´ıcio 56 Seja C o conjunto de Cantor definido no Exerc´ıcio 12. Considere uma fun¸ca
õ
f : [0, 1] → R limitada e cont´ınua em todo ponto de [0, 1] \ C. Prove que f é integr´
avel em [0, 1].
Sugest˜
ao: cubra C com uma quantidade finita de segmentos cuja soma dos comprimentos
pode ser t˜
ao pequena quanto queiramos e proceda como no Exerc´ıcio 55
Décima segunda aula ↓
˜
¸ AO
64
4.4
Conjuntos de medida nula e crit´
erio de Lebesgue para integrabilidade
Nesta se¸cão vamos demonstrar um critério para a existência da integral de Riemann devido `
a
Lebesgue. Necessitamos do conceito de conjuntos de medida nula.
Defini¸
c˜
ao 4.12 Dizemos que um subconjunto A ⊂ Rn possui medida nula (em Rn ) se, dado
ε > 0, existe uma quantidade enumer´
avel de retˆ
angulos Q1 , Q2 , . . . de Rn tais que
A⊂
∞
[
Qi
e
∞
X
v(Qi ) < ε.
i=1
i=1
Em Análise é comum dizermos que uma certa propriedade ocorre quase sempre em um
subcojunto Ω ou em quase todo ponto de Ω (abreviadamente q.t.p. em Ω) se tal propriedade
ocorre exceto em conjunto de medida nula contido em Ω.
Se um subconjunto A ⊂ Rn possui medida nula e a dimensão do espa¸co est´
a clara no
contexto, utilizaremos ainda a nota¸c˜
ao |A| = 0.
O pr´
oximo resultado reune algumas propriedade b´
asicas de conjuntos de medida nula.
Proposi¸
c˜
ao 4.13
b) Se A ⊂
∞
[
i=1
a) Se B ⊂ A e |A| = 0 em Rn , ent˜
ao |B| = 0 em Rn .
Ai e |Ai | = 0 em Rn para cada i = 1, 2, . . ., ent˜
ao |A| = 0 em Rn .
c) Um subconjunto A ⊂ Rn possui medida nula se, e somente se, para todo ε > 0, existe uma
quantidade enumer´
avel de retˆ
angulos abertos Int Q1 , Int Q2 , . . . de Rn tais que
A⊂
∞
[
Int Qi
∞
X
e
v(Qi ) < ε.
i=1
i=1
d) Se Q ⊂ Rn é um retˆ
angulo, ent˜
ao |∂Q| = 0 em Rn mas Q n˜
ao possui medida nula em Rn .
Demonstra¸
c˜
ao. O item a) segue imediatamente da defini¸cão.
No caso de b), dado ε > 0, para cada ´ındice i = 1, 2, . . . , cubra Ai por um quantidade
enumerável de retˆ
angulos Qi1 , Qi2 , . . . tais que
∞
X
v(Qij ) <
j=1
ε
.
2i
Segue que a cole¸c˜
ao {Qij } cobre A e a soma dos volumes de cada retˆ
angulo Qij satisfaz
∞
X
ε
= ε.
2i
i=1
´ claro que os
Para provar c), suponhamos que os retˆ
angulos Int Q1 , Int Q2 , . . . cobrem A. E
retˆ
angulos fechados Q1 , Q2 , . . . também cobrirão A. Assim, a condi¸cão dada implicará que A
´
4.4. MEDIDA NULA E CRITERIO
DE LEBESGUE
65
possui medida nula. Reciprocamente, suponha que A possua medida nula e, dado ε > 0, cubra-o
′
′
com uma quantidade enumerável de retˆ
angulos Q1 , Q2 , . . . tais que
∞
X
′
v(Qi ) <
i=1
ε
.
2
Agora, para cada i = 1, 2, . . ., escolha um retˆ
angulo Qi tal que tal que
′
Qi ⊂ Int Qi
′
e v(Qi ) ≤ 2v(Qi ).
(Tente justificar a existência de tais retˆ
angulos). Segue que os retˆ
angulos abertos Int Q1 , Int Q2 , . . .
cobrem A e satisfazem
∞
X
v(Qi ) < ε.
i=1
Na prova de d) escrevemos
Q = [a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ].
A´ı notamos que ∂Q é a uni˜
ao das faces de Q, que s˜
ao da forma
[a1 , b1 ] × . . . × {ai } × . . . × [an , bn ] e
[a1 , b1 ] × . . . × {bi } × . . . × [an , bn ].
Cada subconjunto da forma acima pode ser coberto por um u
ńico retˆ
angulo em Rn da forma
[a1 , b1 ] × . . . × [ai , ai + δ] × . . . × [an , bn ]
ou
[a1 , b1 ] × . . . × [bi − δ, bi ] × . . . × [an , bn ],
que possui volume t˜
ao pequeno quanto desejarmos fazendo δ → 0. Logo, as faces possuem
medida nula em Rn e portanto |∂Q| = 0 em Rn pelo item b).
Agora vamos supor que |Q| = 0 em Rn e chegarmos a uma contradi¸cão. Seja ε > 0 tal que
ε < v(Q). Pelo item c), podemos cobrir Q por retˆ
angulos abertos Int Q1 , Int Q2 , . . . satisfazendo
∞
X
v(Qi ) < ε.
i=1
Pela compacidade de Q, existe uma quantidade finita destes retˆ
angulos Int Q1 , . . . , Int Qk que
ainda cobrem Q. Assim,
k
X
v(Qi ) < ε,
ε < v(Q) ≤
i=1
o que é uma contradi¸c˜
ao.
Proposi¸
c˜
õ integr´
avel em Q. Se
f se anula exceto em um conjunto de medida nula, ent˜
ao
Z
f = 0.
Q
˜
¸ AO
66
Demonstra¸
c˜
ao. Seja E := {x ∈ Q | f (x) 6= 0} e suponhamos que |E| = 0 em Rn . Fixemos P
uma parti¸cão de Q. Se R é um subretângulo determinado por P, então R n˜
ao pode estar contido
em E pela Proposi¸c˜
ao 4.13. Segue que f se anula em um ponto de R. Portanto, mR (f ) ≤ 0 e
MR (f ) ≥ 0. Segue que L(f, P) ≤ 0 e U (f, P) ≥ 0. Como isso vale para qualquer parti¸cão P
temos
Z
Z
Z
Z
f=
Q
Q
f ≤0≤
f,
f=
Q
Q
o que demonstra a resultado.
Como vimos na Proposi¸c˜
ao 4.11, uma fun¸cão cont´ınua definida em um retˆ
angulo fechado é
(Riemann) integr´
avel. Entretanto, podemos encontrar facilmente exemplos que nos mostram que
a continuidade n˜
ao é uma condi¸c˜
ao necessária para integrabilidade. O que o Critério de Lebesgue
nos diz é qual a quantidade de pontos de discontinuidade uma fun¸cão pode ser para ainda ser
integr´
avel. Tal resultado, como o sugere a nomenclatura, foi demonstrado por Lebesgue. A idéia
por tr´
as da prova é examinar a condi¸caõ de Riemann para integrabilidade para ver que tipo de
restri¸cão podemos colocar nos pontos de descontinuidade da fun¸cão. Notemos que a diferen¸ca
entre a soma superior e a soma inferior de uma fun¸cão f para uma dada parti¸cão é
X
(MR (f ) − mR (f ))v(R),
R
e f ser´
a integr´
avel se, e somente se, existem somas dessa forma arbitrariamente pequenas.
Dividindo os retˆ
angulos dessa soma como R1 ∪ R2 , onde R1 possui somente subretângulos onde
f é cont´ınua e R2 contém os subretângulos restantes. Em R1 os termos da soma podem ser
tomados pequenos pela continuidade de f . Em R2 , entretanto, a soma n˜
ao precisa ser pequena,
porém é limitada por
X
v(R),
C
R∈R2
e a soma ser´
a pequena se a soma dos volumes dos retˆ
angulos que contêm os pontos de descontinuidade de f é pequena. Consequentemente, a soma ser´
a arbitrariamente pequena se o
conjunto dos pontos de descontinuidade de f possui medida nula.
Para controlarmos as somas inferior e superior nos pontos de continuidade utilizaremos
ainda o conceito de oscila¸c˜
ao.
Defini¸
c˜
ao 4.15 Sejam Ω ⊂ Rn , f : Ω → R uma fun¸ca
õ e x0 ∈ Ω. Dado δ > 0, seja
Aδ := {f (x) | x ∈ Ω; |x − x0 | < δ}.
Defina ainda Mδ (f ) := sup Aδ e mδ (f ) := inf Aδ . A oscila¸
c˜
ao de f em x0 é definida por
ν(f ; x0 ) := inf (Mδ (f ) − mδ (f )).
δ>0
Lema 4.16 Sejam Ω ⊂ Rn e f : Ω → R uma fun¸ca
õ. Ent˜
ao f é cont´ınua em x0 ∈ Ω se, e
somente se, ν(f ; x0 ) = 0.
Demonstra¸
c˜
ao. Notemos que sempre temos ν(f ; x0 ) ≥ 0. Suponha que ν(f ; x0 ) = 0. Portanto,
dado ε > 0, existe δ > 0 tal que
Mδ (f ) − mδ (f ) < ε.
´
4.4. MEDIDA NULA E CRITERIO
DE LEBESGUE
67
Logo, se x ∈ Ω e |x − x0 | < δ, ent˜
ao
mδ (f ) ≤ f (x) ≤ Mδ (f ).
Obviamente que o pr´
oprio x0 satisfaz tal propriedade, isto é,
mδ (f ) ≤ f (x0 ) ≤ Mδ (f ).
Segue que
|f (x) − f (x0 )| < ε.
Reciprocamente, suponhamos que f seja cont´ınua em x0 . Então, dado ε > 0 escolhemos
δ > 0 de maneira que |f (x) − f (x0 )| < ε sempre que x ∈ Ω satisfaz |x − x0 | < δ. Logo,
Mδ (f ) ≤ f (x0 ) + ε e mδ (f ) ≥ f (x0 ) − ε.
Consequentemente, ν(f ; x0 ) ≤ 2ε. Fazendo ε → 0 temos que ν(f ; x0 ) = 0.
Teorema 4.17 (Crit´
erio de Lebesgue) Sejam Q ⊂ Rn um retˆ
angulo e f : Q → R uma
fun¸ca
õ limitada. Ent˜
ao f é integr´
avel em Q se, e somente se, o conjunto dos pontos de descontinuidade de f possui medida nula em Rn , isto é, se f é cont´ınua q.t.p. em Q.
Demonstra¸
c˜
ao. Seja M > 0 tal que |f (x)| ≤ M em Q e definamos
D := {x ∈ Q | f é descont´ınua em x}.
Suponhamos que |D| = 0 em Rn e, dado ε > 0, vamos encontrar uma parti¸cão P tal que
U (f, P) − L(f, P) < ε.
Pimeiramente, cobrimos D com uma quantidade enumerável de retˆ
angulos abertos Int Q1 , Int Q2 , . . .
tais que
∞
X
v(Qi ) < ε′ ,
i=1
ε′
onde
> 0 ser´
a fixado mais tarde dependendo de ε. Para cada y ∈ Q \ D, escolhemos um
retˆ
angulo aberto Int Qy contendo y e tal que
|f (x) − f (y)| < ε′
para x ∈ Qy ∩ Q.
Então o conjunto {Int Qi }∞
i=1 ∪ {Int Qy }y∈Q\D formam uma cobertura berta de Q. Pela compacidade, escolhemos uma quantidade finita destes retˆ
angulos
Int Q1 , . . . , Int Qk , Int Qy1 , . . . , Int Qyl ,
que ainda cobrem Q. Notemos que os retˆ
angulos Int Q1 , . . . , Int Qk podem n˜
ao cobrir D, mas isso
′
n˜
ao fará diferen¸ca. Para facilitar, utilizaremos a nota¸cão Qyj = Qj . Além disso, sem mudan¸ca
′
na nota¸cão, vamos trocar os retˆ
agulos Qi , i = 1, . . . , k, e Qj , j = 1, . . . , l, pela suas interseçcões
com Q. Estes retˆ
angulos ainda cobrem Q e satisfazem
k
X
i=1
v(Qi ) < ε′ ,
(4.2)
˜
¸ AO
68
e
|f (x) − f (z)| ≤ 2ε′ ,
′
para x, z ∈ Qj , j = 1, . . . , l.
(4.3)
Agora definimos uma parti¸c˜
ao P de Q usando os pontos extremos de cada intervalo componente
′
′
′
de cada retˆ
angulo Q1 , . . . , Qk , Q1 , . . . , Ql . Note que, dessa forma, cada retˆ
angulo Qi e Qj é
uni˜
ao de subretângulos determinados por P. Para encontrarmos as somas inferior e superior de
f relativas à P, dividiremos a cole¸c˜
ao de todos os subretângulos determinados por P na uni˜
ao
disjunta R1 ∪ R2 , onde cada ret˜
angulo R ∈ R1 est´
a contido em algum retˆ
angulo Qi e cada
′
ret˜
angulo R ∈ R2 est´
a contido em algum retˆ
angulo Qi . Observemos que
X
R∈R1
(MR (f ) − mR (f ))v(R) ≤ 2M
= 2M
X
R∈R1
k
X
v(R) ≤ 2M
k X
X
v(R)
i=1 R⊂Qi
v(Qi ) < 2M ε′ .
i=1
e que
X
R∈R2
(MR (f ) − mR (f ))v(R) ≤ 2ε′
X
R∈R2
v(R) ≤ 2ε′ v(Q).
Assim,
U (f, P) − L(f, P) < 2M ε′ + 2v(Q)ε′ ,
e a integrabilidade segue ao escolhermos ε′ = ε/(2M + 2v(Q)).
Décima terceira aula ↓
Continuemos com a demonstra¸c˜
ao do Critério de Lebesgue (Teorema 4.17). Assumiremos
agora que f : Q → R é integr´
avel em Q e vamos mostrar que o conjunto dos pontos de descontinuidade de f (denotado por D) possui medida nula em Rn .
Para cada m ∈ Z+ (inteiro positivo), seja
Dm := {y ∈ Q | ν(f ; y) ≥
1
}.
m
Pelo Lema 4.16, sabemos que D = ∪∞
m=1 Dm . Mostraremos que cada Dm possui medida nula, e
o resultado seguirá da Proposi¸c˜
ao 4.13.
Fixemos m ∈ Z+ . Dado ε > 0, seja P uma parti¸cão de Q tal que U (f, P) − L(f, P) <
′
ε/m. Seja Dm o conjunto dos pontos de Dm que pertencem à ∂R, para algum subretângulo
′′
R determinado por P e seja Dm o conjunto que contém os demais pontos de Dm . Segue da
′
Proposi¸cão 4.13 que Dm possui medida nula, pois |∂R| = 0. Resta-nos então mostrar que
′′
|Dm | = 0.
′′
Sejam R1 , . . . , Rk os retˆ
angulos determinados por P que contêm pontos de Dm . Dado
′′
i = 1, . . . , k, o retˆ
angulo Ri possui um ponto y ∈ Dm . Como y 6∈ ∂Ri , existe δ > 0 tal que Ri
possui uma vizinhan¸ca c´
ubica de raio δ e centrada em y. Com isso,
1
≤ ν(f ; y) ≤ Mδ (f ) − mδ (f ) ≤ MRi (f ) − mRi (f ).
m
Multiplicando por v(Ri ) e somando obtemos
m
ε
1 X
v(Ri ) ≤ U (f, P) − L(f, P) < ,
m
m
i=1
4.5. EXERCÍCIOS
69
′′
ou seja, Dm pode ser coberto por retˆ
angulos cuja a soma dos volumes é menor que ε. Como ε
é arbitrário, finalizamos a demonstra¸c˜
ao do teorema.
Como uma aplica¸c˜
ao do Teorema 4.17 demonstraremos a rec´ıproca da Proposi¸cão
Corol´
ario 4.18 Sejam Q ⊂ Rn um retˆ
õ integr´
avel em Q. Se
f (x) ≥ 0 para qualquer x ∈ Q e se
Z
f = 0,
Q
ent˜
ao f se anula exceto em um conjunto de medida nula em Rn .
Demonstra¸
c˜
ao. Vamos mostrar que se f é cont´ınua em y e satisfaz as hip´
oteses do corol´
ario,
então f (y) = 0. Assim, se f (x) 6= 0 ent˜
ao f n˜
ao pode ser cont´ınua em x. Segue então do Critério
de Lebesgue (Teorema 4.17) que este conjunto possui medida nula.
Suponhamos que f seja cont´ınua em y e que f (y) > 0. Dado ε > 0, seja δ > 0 tal que
f (x) > ε, sempre que x ∈ Q e |x − y| < δ.
Consideremos uma parti¸c˜
ao P de Q com malha menor que δ. Se Ry é um retˆ
angulo
determinado por P que contém y, ent˜
ao mRy (f ) ≥ ε. Por outro lado, como f é n˜
ao-negativa,
mR (f ) ≥ 0 para qualquer outro retˆ
angulo determinado por P. Segue que
0=
Z
Q
f ≥ L(f, P) =
X
R
mR (f ) ≥ εv(Ry ) > 0,
e temos uma contradi¸c˜
ao.
4.5
Exerc´ıcios
ao necessaExerc´ıcio 57 Mostre que se A possui medida nula em Rn , os conjuntos A e ∂A n˜
riamente possuem medida nula.
Exerc´ıcio 58 Mostre que qualquer subconjunto de Rn−1 × {0} possui medida nula em Rn .
Exerc´ıcio 59 Seja f : [a, b] → R uma fun¸ca
õ cont´ınua. Mostre que o gr´
afico de f , definido por
Gf := {(x, f (x)) ∈ R2 | x ∈ [a, b]},
possui medida nula em R2 .
Sugest˜
ao: f é uniformemente cont´ınua.
õ limitada. Mostre que se f
se anula exceto em um conjunto fechado B de medida nula, ent˜
ao f é integr´
avel e
Z
f = 0.
Q
˜
¸ AO
70
4.6
C´
alculo de integrais m´
ultiplas por integrais iteradas: o Teorema de Fubini
Nas disciplinas de C´
alculo elementar aprendemos a calcular integrais m´
ultiplas (duplas ou
triplas) integrando-se sucessivamente com respeito a cada vari´
avel separadamente. Por exemplo,
se f : Q → R é uma fun¸c˜
ao cont´ınua definida no retˆ
angulo Q = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 , então, para
cada y ∈ [c, d], a fun¸c˜
ao F (x) = f (x, y) ser´
a cont´ınua, e portanto integr´
avel, em [a, b]. O valor
da integral depende de y e, portanto, define uma nova fun¸cão
Z b
f (x, y)dx.
G(y) =
a
Verifica-se facilmente que G é cont´ınua em [c, d], e consequentemente integr´
avel neste intervalo.
O fato é que
Z dZ b
Z d
Z
f (x, y)dxdy,
G(y)dy =
f=
Q
c
c
a
fórmula que ser´
a obtida como consequência do Teorema de Fubini. A questão que surge é quando
uma fórmula similar é válida no caso em que f é meramente integr´
avel em Q. Por exemplo,
suponha que, para algum y0 ∈ [c, d] fixado, f (x, y0 ) n˜
ao seja cont´ınua em ponto algum de [a, b],
isto é, f é descont´ınua em todo ponto do segmento y = y0 , c ≤ y ≤ d. Como este segmento
possui medida nula em R2 , a descontinuidade de f neste conjunto n˜
ao afeta sua integrabilidade
em Q. Em casos dessa forma, precisamos utlizar integrais inferiores e superiores para uma
generaliza¸cão da fórmula de integrais iteradas. Este é o conte´
udo do Teorema de Fubini.
Teorema 4.19 (Teorema de Fubini) Seja Q = A×B, onde A ⊂ Rk e B ⊂ Rn s˜
ao retˆ
angulos.
Suponha que f : Q → R seja uma fun¸ca
õ limitada e escreva f (x, y) para representar o valor de
f em x ∈ A e y ∈ B. Para cada x ∈ A, definamos
Z
Z
f (x, y).
f (x, y) e I(x) :=
I(x) :=
y∈B
y∈B
Se f é integr´
avel em Q, ent˜
ao I e I s˜
ao integr´
aveis em A e
Z Z
Z
Z Z
f=
f (x, y).
f (x, y) =
Q
A
y∈B
A
y∈B
Demonstra¸
c˜
ao. Verifiquemos inicialmente como podemos comparar as somas inferiores e superiores de f , I e I para uma dada parti¸cão de Q.
Seja P uma parti¸c˜
ao de Q. Ent˜
ao temos que P = (PA , PB ), onde PA é uma parti¸cão de A
e PB é uma parti¸c˜
ao de B. Similarmente, um subretângulo R de P é da forma RA × RB , onde
RA é um subretângulo de PA e RB é um subretângulo de PB .
Passo 1: Como I(x) ≤ I(x) para qualquer x ∈ A, temos que
L(I, PA ) ≤ L(I, PA )
e U (I, PA ) ≤ U (I, PA ).
Passo 2: Mostraremos agora que
L(f, P) ≤ L(I, PA ).
71
4.6. O TEOREMA DE FUBINI
Dado um subretângulo geral RA × RB determinado por P temos que
mRA ×RB (f ) ≤ f (x, y),
para qualquer
(x, y) ∈ RA × RB .
Portanto, fixado x0 ∈ RA e tomando o ´ınfimo sob os valores de f (x0 , y) obtemos
mRA ×RB (f ) ≤ mRB (f (x0 , ·)).
Multiplicando por v(RB ) e somando sob todos os subretângulos de PB teremos
Z
X
f (x0 , y) = I(x0 ).
mRA ×RB (f )v(RB ) ≤ L(f (x0 , ·), PB ) ≤
y∈B
RB
Como x0 ∈ A é qualquer, temos que
X
mRA ×RB (f )v(RB ) ≤ mRA (I).
RB
Multiplicando por v(RA ), somando e usando o fato que v(RA )v(RB ) = v(RA × RB ), segue que
L(f, P) ≤ L(I, PA ).
Passo 3: De maneira similar é poss´ıvel mostrar que
U (f, P) ≥ U (I, PA ).
Passo 4: Reunindo todas as compara¸c˜
oes das somas inferiores e superiores para f , I e I obtemos
L(f, P) ≤ L(I, PA ) ≤ U (I, PA ) ≤ U (I, PA ) ≤ U (f, P)
(4.4)
L(f, P) ≤ L(I, PA ) ≤ L(I, PA ) ≤ U (I, PA ) ≤ U (f, P),
(4.5)
e
e estas desigualdades independem da escolha da parti¸cão P = (PA , PB ).
Passo 5: Como f é integr´
avel em Q, dado ε > 0, existe uma parti¸cão P = (PA , PB ) tal que
U (f, P) − L(f, P) < ε.
Segue de (4.4) e (4.5) que
U (I, PA ) − L(I, PA ) < ε e U (I, PA ) − L(I, PA ) < ε,
de onde segue a integrabilidade de I e I em A. Além disso, os valores
Z
Z
Z
f
I e
I,
A
A
Q
est˜
ao todos entre os extremos U (f, P) e L(f, P). Comos estes dois u
´ltimos est˜
ao a uma distˆ
ancia
ε um do outro e ε é arbitrário, devemos ter
Z
Z
Z
f,
I=
I=
A
o que finaliza a demonstra¸c˜
ao.
A
Q
˜
¸ AO
72
Corol´
ario 4.20 Seja Q = A × B, onde A ⊂ Rk e B ⊂ Rn s˜
ao retˆ
angulos. Suponha que
f : Q → R seja uma fun¸ca
õ limitada. Se f é integr´
avel em Q e se
Z
f (x, y)
y∈B
existe para qualquer x ∈ A, ent˜
ao
Z
f=
Q
4.7
Z Z
A
f (x, y).
B
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 61 Seja A ⊂ R2 um aberto e f : A → R de classe C 2 . Use o Teorema de Fubini para
mostrar que D2 D1 f (x) = D1 D2 f (x), para todo x ∈ A.
Sugest˜
ao: se D2 D1 f (x0 ) − D1 D2 f (x0 ) > 0 para algum x0 ∈ A, ent˜
ao existe um retˆ
angulo
contendo x tal que D2 D1 f (x) − D1 D2 f (x) > 0 em todo este retˆ
angulo.
Exerc´ıcio 62 Defina Q = [0, 1] × [0, 1] e f : Q → R por
1 se x é racional,
f (x, y) =
2y se x é irracional.
a) Mostre que
Z
t
f (x, y)dy existe para qualquer t ∈ [0, 1] e que
0
Z 1 Z
0
Conclua que
Z
0
b) Mostre que
Z
0
1Z 1
1 Z
0
1
0
c) Prove que a integral
t
f (x, y)dy dx = t
0
2
e
Z 1 Z
0
t
0
f (x, y)dy dx = t.
f (x, y)dy dx existe que é igual a 1.
f (x, y)dx dy existe e encontre seu valor.
Z
f n˜
ao existe.
Q
Exerc´ıcio 63 Sendo pk o k-ésimo n´
umero primo, defina
o
n n m | n = 1, . . . , pk − 1, m = 1, . . . , pk − 1 ,
,
S(pk ) :=
pk pk
e S := ∪∞
k=1 S(pk ) e seja Q = [0, 1] × [0, 1].
a) Mostre que S é denso em Q mas que qualquer reta paralela aos eixos coordenados contém,
no m´
aximo, um subconjunto finito de S.
b) Defina f : Q → R por
f (x, y) =
0 se (x, y) ∈ S,
1 se (x, y) ∈ Q \ S.
4.8. A INTEGRAL DE RIEMANN SOBRE UM CONJUNTO LIMITADO
Mostre que
Z
mas que a integral
0
1 Z 1
0
Z
f (x, y)dy dx =
0
Z
1Z 1
0
73
f (x, y)dx dy = 1
f
Q
n˜
ao existe.
Décima quarta aula ↓
4.8
A integral de Riemann sobre um conjunto limitado
Até o momento a integral de Riemann est´
a definida somente para retˆ
angulos em Rn , o que é
muito restritivo para as aplica¸c˜
oes. Vamos nesta se¸cão generalizar o conceito para subconjuntos
limitados.
õ limitada.
Defini¸
c˜
ao 4.21 Seja S ⊂ Rn um subconjunto limitado e f : S → R uma fun¸ca
n
Definamos fS : R → R por
f (x) se x ∈ S,
fS (x) :=
0
caso contr´
ario .
Seja Q ⊂ Rn um retˆ
angulo que contém S. A integral de f em S é ent˜
ao definida por
Z
Z
fS ,
f :=
Q
S
quando esta u
´ltima existe.
Precisamos verificar que esta defini¸cão n˜
ao depende da escolha de um particular retˆ
angulo
Q que contém S.
Proposi¸
c˜
ao 4.22 Sejam Q e Q′ dois retˆ
angulos em Rn e f : Rn → R uma fun¸ca
õ limitada que
n
′
se anula em R \ Q ∩ Q . Ent˜
ao a restri¸ca
õ de f `
a Q é integr´
avel se, e somente se, a restri¸ca
õ
de f `
a Q′ é integr´
avel e, neste caso,
Z
Z
f.
f=
Q
Q′
Demonstra¸
c˜
ao. Suponhamos inicialmente que Q ⊂ Q′ . Seja E o conjunto dos pontos de Q
nos quais f é descont´ınua. Como f se anula em Rn \ Q′ , temos que f é cont´ınua neste conjunto.
Assim, usando um abuso de nota¸c˜
ao, f : Q → R e f : Q′Z→ R s˜
ao cont´
Zınuas exceto nos pontos de
f existem se, e somente
f quanto
E e possivelmente nos pontos de ∂Q. Com isso, tanto
Q
Q′
se, E possui medida nula. Assim, a existência de uma implica na existência da segunda.
Agora suponhamos que ambas as integrais existem e vamos mostrar que s˜
ao iguais. Seja
P uma parti¸c˜
ao de Q′ e seja P ′′ o refinamento de P construido adicionando-se os pontos dos
˜
¸ AO
74
extremos dos intervalos componentes de Q. Se R é um subretângulo determinado por P ′′ que
n˜
ao est´
a em Q, ent˜
ao f se anula em algum ponto de R e portanto mR (f ) ≤ 0. Segue que
Z
X
X
′′
f.
L(f, P) ≤ L(f, P ) =
mR (f )v(R) ≤
mR (f )v(R) ≤
R
Q
R⊂Q
Um argumento similar mostra que
U (f, P) ≥
Z
f.
Q
Como P é uma parti¸c˜
ao arbitrária de Q′ , segue que
Z
Z
f.
f=
Q′
Q
No caso em que Q ou Q′ n˜
ao est˜
ao necessariamente contidos um em outro, consideramos
um terceiro retˆ
angulo Q′′ que contém ambos e pelo que já provamos, como Q ⊂ Q′′ e Q′ ⊂ Q′′
Z
Z
Z
f,
f=
f=
Q′
Q′′
Q
ao da proposi¸cão.
O pr´
oximo resultado lista as principais propriedades da integral de Riemann. A demonstra¸cão pode ser encontrada em [9], Lema 13.2 e Teorema 13.3.
Teorema 4.23 Seja S ⊂ Rn um subconjunto limitado e f, g : S → R fun¸co
˜es limitadas.
a) Se f e g s˜
ao integr´
aveis em S, ent˜
ao αf + βg também ser´
a integr´
avel em S, para quaisquer
α, β ∈ R e
Z
Z
Z
g.
(αf + βg) = α f + β
S
S
S
b) Se f e g s˜
ao integr´
aveis em S e f (x) ≤ g(x) para qualquer x ∈ S, ent˜
ao
Z
Z
g.
f≤
S
S
c) Se f é integr´
avel em S ent˜
ao |f | também ser´
a integr´
avel em S e
Z Z
|f |.
f ≤
S
S
d) Se T ⊂ S, f é n˜
ao-negativa e integr´
avel em T e em S ent˜
ao
Z
Z
f.
f≤
S
T
e) Se S = S1 ∪ S2 e f é integr´
avel em S1 e em S2 ent˜
ao f ser´
a integr´
avel em S e
Z
Z
Z
Z
f.
f−
f+
f=
S
S1
S2
S1 ∩S2
4.8. A INTEGRAL DE RIEMANN SOBRE UM CONJUNTO LIMITADO
75
Vejamos agora algumas condi¸c˜
oes que implicam na existência da integral de uma fun¸c˜
ao
em um subconjunto limitado S.
Teorema 4.24 Seja S ⊂ Rn um subconjunto limitado e f : S → R uma fun¸ca
õ cont´ınua e
limitada. Defina
E := {y ∈ ∂S | lim f (x) =
6 0}.
x→y
Se |E| = 0 ent˜
ao f ser´
a integr´
avel em S.
Demonstra¸
c˜
ao. Seja y ∈ Rn \ E. Vamos provar que fS é cont´ınua em y. Com isso, o conjunto
dos pontos de descontinuidade de fS estar´
a contido em E. Se supormos que |E| = 0, então o
resultado seguirá do Critério de Lebesgue.
Se y ∈ Int S, ent˜
ao f e fS coincidem em uma vizinhan¸ca de y e, sendo f cont´ınua nesse
conjunto, fS também ser´
a. Se y ∈ Ext S então fS se anula em uma vizinhan¸ca de y e portanto
ser´
a cont´ınua e y. Assim, nos resta analisar fS em y ∈ ∂S. Neste caso y pode pertencer ou n˜
ao
à S. Mas como y 6∈ E temos que
lim f (x) = 0.
x→y
Em particular, fS (x) → 0 quando x se aproxima de y por pontos de S. Mas fS (x) → 0 quando
x se aproxima de y por pontos de Rn \ S pela pr´
opria defini¸cão de fs . Como fS (x) = 0 ou
fS (x) = f (x), devemos ter
lim fS (x) = 0.
x→y
Assim, a continuidade de fS em y segue se fS (y) = 0. Mas se y 6∈ S isto segue da defini¸cão, e
se x ∈ S ent˜
ao fS (y) = f (y) que é igual a zero por continuidade de f .
Teorema 4.25 Seja S ⊂ Rn um conjunto limitado e f : S → R uma fun¸ca
õ cont´ınua e limitada.
Se A = Int S e f é integr´
avel em S, ent˜
ao f ser´
a integr´
avel em A e
Z
Z
f.
f=
S
A
Demonstra¸
c˜
ao. Notemos que se fS é cont´ınua em y então fA também ser´
a cont´ınua em y e
fS (y) = fA (y). De fato, usto é fácil de ver se y ∈ Int S ou se y ∈ Ext S. Suponha que y ∈ ∂S.
Então a continuidade de fS em y implica que fS (x) → fS (y) quando x → y. Como y ∈ ∂S,
devemos ter fS (y) = 0, pois fS (x) = 0 se x 6∈ S. Mas note que fA (x) = 0 ou fA (x) = fS (x) e a
afirma¸cão segue.
Agora suponhamos que f seja integr´
avel em S. Segue que, dado um retˆ
angulo Q que
contém S, o conjunto dos pontos de descontinuidade de fS possui medida nula. Mas da´ı os
pontos de descontinuidade de fA também ter´
a medida nula para afirma¸cão que acabamos de
provar e assim fA também ser´
a integr´
avel. Note ainda que fS − fA se anula somente em ponto
de descontinuidade de fS e fA , que possui medida nula. Portanto
Z
(fS − fA ) = 0,
Q
e o resultado segue pela linearidade da integral.
˜
¸ AO
76
4.9
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 64 Sejam f, g : S → R fun¸co
˜es integr´
aveis no subconjunto limitado S ⊂ Rn . Mostre
que se f e g s˜
ao iguais em quaso todo ponto de S, ent˜
ao
Z
Z
g.
f=
S
S
Reciprocamente, se as integrais de f e de g em S coincidem e f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ S,
ent˜
ao f e g s˜
ao iguais exceto em um conjunto de medida nula.
Exerc´ıcio 65 Sejam A ⊂ Rk e B ⊂ Rn retˆ
angulos e Q = A × B. Se f : Q → R é uma fun¸ca
õ
integr´
avel em Q, mostre que
Z
f (x, y)
y∈B
existe para x ∈ A \ D, onde |D| = 0 em
4.10
Rk .
Conjuntos retific´
aveis ou Jordan mensur´
aveis
Vamos agora estender o conceito de volume para subconjuntos de Rn mais gerais que os retˆ
angulos.
n
n
Dado S ⊂ R , a fun¸ca
õ caracter´ıstica de S é χS : R → R definida por
1 se x ∈ S,
χS (x) :=
0 se x ∈ Rn \ S.
Defini¸
c˜
ao 4.26 Seja S ⊂ Rn um subconjunto limitado. Dizemos que S é retific´
avel, ou ainda
Jordan mensur´
avel se a fun¸ca
õ caractr´ıstica χS for integr´
avel. Neste caso, o volume ou o
conte´
udo (de Jordan) de S é dado por
Z
Z
1.
χS =
v(S) :=
S
S
Observe que, se S for um retˆ
angulo, esta defini¸cão de volume coincide com a defini¸c˜
ao
prévia que demos.
Seja S ⊂ Rn tal que v(S) = 0. Então, dado um retˆ
angulo Q contendo S e ε > 0, existe uma
parti¸cão P de Q tal que U (χS , P) < ε. Note que esta parti¸cão nos d´
a uma cobertura finita de
S cuja soma total dos volumes é menor que ε, diferentemente do caso em que S possui medida
zero, onde procuramos uma cobertura enumer´
avel de S com a propriedade de que a soma total
dos volumes seja menor que ε > 0 dado.
Teorema 4.27 Um subconjunto S ⊂ Rn é retific´
avel se, e somente se, S é limitado e ∂S possui
n
medida nula em R .
Demonstra¸
c˜
ao. Note que a fun¸c˜
ao χS é descont´ınua em x se, e somente se, x ∈ ∂S. Assim,
pelo critério de Lebesgue, χS ser´
a integr´
avel em um retˆ
angulo contendo S se, e somente se,
n
|∂S| = 0 em R .
Utilizando as propriedades de integrais que já vimos n˜
ao é dif´ıcil demonstrar a proposi¸c˜
ao
abaixo.
´
´
4.10. CONJUNTOS RETIFICAVEIS
OU JORDAN MENSURAVEIS
Proposi¸
c˜
ao 4.28
77
a) Se S é retific´
avel, ent˜
ao v(S) ≥ 0.
b) Se S1 e S2 forem retific´
aveis e S1 ⊂ S2 , ent˜
ao v(S1 ) ≤ v(S2 ).
c) Se S1 e S2 forem retific´
aveis, ent˜
ao S1 ∪ S2 também ser´
a retific´
avel e
v(S1 ∪ S2 ) = v(S1 ) + v(S2 ) − v(S1 ∩ S2 ).
d) Se S é retific´
avel, ent˜
ao v(S) = 0 se, e somente se, S possui medida nula.
e) Se S é retific´
avel, ent˜
ao Int S tamém ser´
a retific´
avel e v(S) = v(Int S).
f ) Se S é retific´
avel e f : S → R é limitada e cont´ınua, ent˜
ao f ser´
a integr´
avel em S.
O Teorema 4.27 e a Proposi¸c˜
ao 4.28 nos ajudam a construir v´
arios exemplos de conjuntos
retific´
aveis. Daremos `
a seguir um exemplo de um conjunto que n˜
ao é retific´
avel.
Exemplo 4.29 Como o conjunto Q ∩ (0, 1) é enumerável, podemos escrever
Q ∩ (0, 1) = {q1 , q2 , . . .}.
Fixemos a ∈ (0, 1) e, para cada inteiro positivo i, escolhemos um intervalo (ai , bi ) ⊂ (0, 1) que
contém qi e possua comprimento menor que a/2i . Definimos
A := (a1 , b1 ) ∪ (a2 , b2 ) ∪ . . . .
Suponhamos que ∂A possui medida nula. Notemos que [0, 1] = A = A∪ ∂A. Tomando ε = 1− a,
cobrimos ∂A com uma quantidade enumerável de retˆ
angulos cuja soma dos volumes seja menor
que ε. Esta cobertura de ∂A juntamente com os subconjuntos (ai , bi ) nos fornece uma cobertura
de [0, 1]. Mas a soma total dos volumes dos subconjuntos dessa cobertura é ε mais a soma dos
volumes dos intervalos (ai , bi ). Pela compacidade de [0, 1] obtemos
1<ε+
∞
X
a
= ε + a.
2i
i=1
Assim, temos uma contradi¸c˜
ao e A n˜
ao é retific´
avel pelo Teorema 4.27.
Finalizamos esta se¸c˜
ao com um resultado que nos ser´
au
´til no estudo de integrais impróprias.
Teorema 4.30 (Exaust˜
ao) Dado um subconjunto aberto A ⊂ Rn , existe uma sequência C1 , C2 , . . .
de subconjuntos de A que s˜
ao compactos e retific´
aveis e satisfazem
A=
∞
[
N =1
CN
e
CN ⊂ Int CN +1
para cada
N.
Demonstra¸
c˜
ao. Denote por d(x, B) a distˆ
ancia de um ponto x ∈ Rn a um subconjunto B ⊂ Rn
como definido na demonstra¸c˜
ao do Teorema 1.24.
Tomando B := Rn \ A, para cada N inteiro estritamente positivo definimos o conjunto
DN := {x ∈ Rn | d(x, B) ≥
1
N
e d(x, 0) ≤ N }.
˜
¸ AO
78
A
DN
DN +1
Figure 4.2: constru¸cão da exaustão de um aberto.
Notemos que cada DN é um subconjunto fechado de Rn já que a fun¸cão distˆ
ancia é cont´ınua.
Como DN est´
a contido no cubo fechado de centro 0 e raio N , temos que DN é compacto. Além
disso, para cada N , DN ⊂ A. Também temos o seguinte: se x ∈ A então d(x, B) > 0, que nos
permite escolher N tal que d(x, B) ≥ N e d(x, 0) ≤ N , ou seja, x ∈ DN para algum N e a uni˜
ao
destes conjuntos cobrem A.
Considere agora, para cada N , o conjunto
˜ N +1 := {x ∈ Rn | d(x, B) >
D
1
N +1
e d(x, 0) < N + 1}.
˜ N +1 é aberto, est´
Então cada D
a contido em DN +1 e contém DN . Segue que DN ⊂ Int DN +1 .
A sequência {DN } ainda n˜
ao é a procurada já que n˜
ao sabemos que estes subconcjuntos
s˜
ao retific´
aveis. Porém utilizaremos estes subconjuntos para construir a sequência {CN } de
compactos retific´
aveis. Fixemos N e, para cada x ∈ DN , escolha um cubo fechado centrado em
x e contido em Int DN +1 . O interior destes cubos cobrem DN e escolhemos uma quantidade
finita deles que ainda cobrem DN e seja CN a uni˜
ao desta quantidade finita de cubos. Como
CN é uma uni˜
ao finita de retˆ
angulos, ele ser´
a compacto e retific´
avel (veja o Exerc´ıcio 66). Note
que, como cada CN contém DN , a uni˜
ao dos CN ’s cobrem A. Além disso,
CN ⊂ Int DN +1 ⊂ Int CN +1 ,
o que demonstra o resultado.
4.11
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 66 Mostre que a uni˜
ao finita de conjuntos retific´
aveis é retific´
avel. A uni˜
ao enumer´
avel de conjuntos retific´
aveis é retific´
avel?
Exerc´ıcio 67 Mostre que se S1 e S2 s˜
ao retific´
aveis ent˜
ao S1 \ S2 também ser´
ae
v(S1 \ S2 ) = v(S1 ) − v(S1 ∩ S2 ).
Exerc´ıcio 68 Suponha que um subconjunto limitado S de Rn possua no m´
aximo uma quantidade finita de pontos de acumula¸ca
õ. Mostre que S é retific´
avel e que v(S) = 0.
´
4.12. INTEGRAIS IMPROPRIAS
79
a e
Exerc´ıcio 69 Seja S ⊂ Rn limitado. Mostre que se S é retific´
avel ent˜
ao S também ser´
v(S) = v(S). Dê um exemplo de um conjunto n˜
ao retific´
avel S tal que S e Int S s˜
ao retific´
aveis.
Décima quinta aula ↓
4.12
Integrais impr´
oprias
Nesta se¸cão estenderemos a defini¸c˜
ao de integrais para o caso de fun¸cões f : S → R n˜
ao necessariamente limitadas definidas em um conjunto que pode também n˜
ao ser limitado. Tal integral
é conhecida como integral impr´
opria, a qual definiremos no caso em que o dom´ınio é um aberto
de Rn .
Defini¸
c˜
ao 4.31 Seja A ⊂ Rn um aberto e f : A → R uma fun¸ca
õ cont´ınua. Suponha que
f (x) ≥ 0 para todo x ∈ A. A integral (estendida) de f sobre A é definida por
Z
Z
avel},
f := sup{ f | D ⊂ A, D é compacto e retific´
A
D
desde que o sup exista. Neste caso diremos que f é integr´
avel em A (no sentido estendido).
Mais geralmente, se n˜
ao supormos que f é n˜
ao-negativa, definimos, para cada x ∈ A
f+ (x) := max{f (x), 0}
e
f− (x) := {−f (x), 0}.
Diremos neste caso que f é integr´
avel em A se as fun¸co
˜es n˜
ao negativas f+ e f− forem
integr´
aveis, e definimos
Z
Z
Z
f− .
f+ −
f :=
A
A
A
Observa¸
c˜
ao 4.32 Quando for necess´
ario distinguir a integral ordin´
aria com a integral estendida utilizaremos a nota¸ca
õ
Z ∗
f
A
para denotar a integral estendida de f : A → R.
Notemos que, no caso em que A ⊂ Rn é aberto e limitado, temos duas defini¸cões de integral
de uma fun¸c˜
ao cont´ınua neste conjunto. Verifiquemos que neste caso as defini¸cões coincidem.
Proposi¸
c˜
ao 4.33 Suponhamos que A ⊂ Rn é aberto e retific´
avel e seja f : A → R cont´ınua.
Se f for integr´
avel em A no sentido ordin´
ario (Defini¸ca
õ 4.21), ent˜
ao f é integr´
avel no sentido
estendido e
Z
Z
∗
A
f.
f=
A
Demonstra¸
c˜
ao. Suponhamos que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ A. Seja D ⊂ A um compacto
retific´
avel. Ent˜
ao
Z
Z
f.
f≤
D
A
˜
¸ AO
80
Tomando o sup sob todos os compactos retific´
aveis de A obtemos que a integral estendida existe
e que
Z
Z ∗
f.
f≤
A
A
Vamos demonstrar a desigualdade inversa, que é um pouco mais delicada. Para tanto, seja
Q ⊂ Rn um retˆ
angulo tal que A ⊂ Int Q e seja fA a extensão por zero de f para fora de A. Pela
defini¸cão de integral em subconjuntos limitados temos que
Z
Z
fA .
f=
Q
A
Seja P uma parti¸c˜
ao de Q. Sejam R1 , . . . , Rk os subretângulos da parti¸cão P que est˜
ao contidos
em A. Se R é um subretângulo de P que n˜
ao est´
a contido em A, então existe x ∈ R tal que
fA (x) = 0, o que implica que mR (fA ) = 0. Segue que
L(fA , P) =
k
X
mRi (fA )v(Ri ).
i=1
Seja
D :=
k
[
Ri .
i=1
Como fA é integr´
avel em cada Ri e D é um compacto retific´
avel devemos ter
L(fA , P) =
k
X
i=1
mRi (fA )v(Ri ) ≤
f≤
Z
Como isto vale para qualquer parti¸c˜
ao, devemos ter
Z
Z
Z
fA ≤
f=
∗
=
Z
k Z
X
fA =
D
Z
D
A
A
∗
i=1
fA
Ri
f.
A
f,
A
ao no caso em que f é n˜
ao-negativa.
No caso geral, escrevemos f = f+ − f− . Sendo f integr´
avel em A temos que
Z
Z
Z
f−
f+ −
f=
A
Z ∗
ZA ∗
ZA∗
f,
f− =
f+ −
=
A
A
A
onde usamos a linearidade da integral ordinária e a primeira parte da demonstra¸cão.
Utilizando a exaust˜
ao de um aberto A ⊂ Rn dada pelo Teorema 4.30 podemos dar uma
formula¸cão alternativa para a defini¸c˜
ao da integral estendida.
Teorema 4.34 Seja A ⊂ Rn um subconjunto aberto e f : A → R uma fun¸ca
õ cont´ınua. Escolha
uma sequência {CN } de subconjuntos de A que s˜
ao compactos e retific´
aveis que cobrem A e
´
4.12. INTEGRAIS IMPROPRIAS
81
satifazem CN ⊂ Int CN +1 para cada N . Ent˜
ao f é integr´
avel em A (no sentido estendido) se, e
somente se, a sequência de n´
umeros reais
o
nZ
|f |
CN
é limitada. Neste caso
Z
f = lim
Z
N →∞ CN
A
f.
Demonstra¸
c˜
ao. Suponhamos
inicialmente que f é n˜
ao-negativa, o que implica que f = |f |.
Z
f é crescente, temos que ela converge se, e somente se, é limitada.
Como a sequência
CN
Suponhamos que f seja integr´
avel em A. Como CN é um compacto retific´
avel e est´
a contido
em A temos que
Z
nZ
o Z
f.
f ≤ sup
f | D ⊂ A é compacto e retific´
avel =
CN
Segue que a sequência
Z
A
D
f é limitada e
CN
lim
Z
N →∞ CN
f≤
Reciprocamente, suponhamos que a sequência
Z
Z
f.
A
CN
f seja limitada. Seja D ⊂ A um com-
pacto retific´
avel. Ent˜
ao D pode ser coberto pelos conjuntos abertos
Int C1 ⊂ Int C2 ⊂ . . . .
Consequentemente, ser´
a coberto por uma quantidade finita destes aberto pela compacidade, ou
seja, por apenas um deles, digamos Int CM . Assim,
Z
Z
Z
f.
f ≤ lim
f≤
CM
D
N →∞ CN
Sendo D arbitrário, tomando o sup sob todos os compactos retific´
aveis de A segue que f é
integr´
avel e que
Z
Z
f.
f ≤ lim
A
N →∞ CN
O caso geral em que f n˜
ao precisa ser n˜
ao-negativa segue se nos lembrarmos que 0 ≤ f+ ≤
|f | e 0 ≤ f− ≤ |f | e que |f | = f+ + f− .
` seguir listamos algumas propriedades an´
A
alogas àquelas do caso ordinário. A demonstra¸c˜
ao
pode ser encontrada em [9], Teorema 15.3.
Teorema 4.35 Seja A ⊂ Rn um subconjunto aberto e f, g : A → R fun¸co
˜es cont´ınuas.
a) Se f e g s˜
ao integr´
aveis em A, ent˜
ao αf +βg também ser´
a integr´
avel em A, para quaisquer
α, β ∈ R e
Z
Z
Z
g.
f +β
(αf + βg) = α
A
A
A
˜
¸ AO
82
b) Se f e g s˜
ao integr´
aveis em A e f (x) ≤ g(x) para qualquer x ∈ A, ent˜
ao
Z
Z
g.
f≤
S
Em particular,
S
Z Z
|f |.
f ≤
A
A
c) Seja B ⊂ Rn aberto com B ⊂ A. Se f é n˜
ao-negativa e integr´
avel em A ent˜
ao f é
integr´
avel em B e
Z
Z
f.
f≤
B
A
d) Seja B ⊂ Rn aberto e f : A ∪ B → R cont´ınua. Se f é integr´
avel em A e em B ent˜
ao f
ser´
a integr´
avel em A ∪ B e em A ∩ B com
Z
Z
Z
Z
f.
f−
f+
f=
A∪B
4.13
A
B
A∩B
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 70 Seja f : R → R dada por f (x) = x. Mostre que, dado λ ∈ R, existe uma sequência
CN de compactos retific´
aveis que cobre R, satisfazem CN ⊂ Int CN +1 para cada N e
Z
f = λ.
lim
N →∞ CN
A integral estendida de f em R existe?
Cap´ıtulo 5
O Teorema de Mudan¸
ca de
Vari´
aveis para integrais de Riemann
Para integrais de fun¸c˜
oes de uma vari´
avel sabemos que vale o resultado conhecido como mudan¸ca
de vari´
aveis:
Z
Z
b
g(b)
f (x)dx =
f (g(t))g′ (t)dt,
a
g(a)
g′ (t)
sempre que
6= 0 para t ∈ [a, b] (na verdade veremos que esta condi¸cão pode ser relaxada).
Pretendemos neste cap´ıtulo apresentar uma demonstra¸cão deste resultado para o caso geral de
uma fun¸cão f definida em um subconjunto aberto de Rn .
A demonstra¸c˜
ao que daremos do Teorema de Mudan¸ca de Vari´
aveis utiliza a no¸cão de
parti¸co
˜es da unidade, a qual ser´
a utilizada para reformular a defini¸cão da integral de uma fun¸c˜
ao
sobre um subconjunto aberto. Além disso, necessitaremos de algumas informa¸cões fundamentais
sobre difeomorfismos em Rn .
5.1
Parti¸c˜
oes da unidade
A existência de uma parti¸c˜
ao da unidade é uma ferramenta importante especialemte em Análise
e Topologia Diferencial. A grosso modo, ela nos permite “colar” resultados que foram obtidos
localmente para se obter resultados globais. Nossa tarefa nesta se¸cão ser´
a definir as parti¸cões
da unidade, demonstrar um resultado de existência e aplicar parti¸cões da unidade em uma
reformula¸cão da defini¸c˜
ao de integral estendida.
Necessitaremos de dois lemas técnicos.
Lema 5.1 Seja Q ⊂ Rn um retˆ
angulo. Ent˜
ao existe uma fun¸ca
õ φ : Rn → R de classe C ∞ tal
que φ(x) > 0 para x ∈ Int Q e φ(x) = 0 caso contr´
ario.
Demonstra¸
c˜
ao. Definimos f : R → R por
−1/t
e
se t > 0,
f (t) :=
0
caso contr´
ario .
Então f é de classe C ∞ (veja o Exerc´ıcio 34). Defina então
g(t) := f (t)f (1 − t).
83
´
CAPÍTULO 5. O TEOREMA DE MUDANC
¸ A DE VARIAVEIS
84
Então g é de classe C ∞ , é positiva em (0, 1) e é identicamente nula caso contr´
ario. Finalmente,
se
Q = [a1 , b1 ] × [an , bn ],
definimos
φ(x) := g
x − a x − a n
n
1
1
...g
,
b1 − a1
bn − a n
a qual possui as propriedades desejadas.
Lema 5.2 Seja A uma cole¸ca
õ de subconjuntos abertos em Rn e seja A a uni˜
ao desses subconjuntos. Ent˜
ao existe uma sequência de retˆ
angulos Q1 , Q2 , . . ., todos eles contidos em A, tais
que:
a) os conjuntos Int Q1 , Int Q2 , . . . cobrem A;
b) cada Qi est´
a contido inteiramente em um elemento de A;
c) cada ponto de A possui uma vizinhan¸ca que intercepta somente uma quantidade finita de
retˆ
angulos Qi ’s.
Observa¸
c˜
ao 5.3 Se uma cobertura de um subconjunto A satisfaz a propriedade do item c),
dizemos que ela é localmente finita.
Demonstra¸
c˜
ao do Lema 5.2 Seja D1 , D2 , . . . uma sequência de subconjuntos compactos que
est˜
ao contidos em A cuja a uni˜
ao é A (n˜
ao é necessário que sejam retific´
aveis) e tais que Di ⊂
Int Di+1 para cada i. Para conveniência na nota¸cão, definimos Di = ∅ se i ≤ 0.
Cx
Di
x
Di−1
Di−2
Bi
Figure 5.1: constru¸c˜
ao dos retˆ
angulos da demonstra¸cão de Lema 5.2.
Para cada i, seja Bi := Di \ Int Di−1 . Então cada Bi é um subconjunto fechado, pois é
a interseçcão de Di com Rn \ Int Di−1 . Como obviamente eles s˜
ao limitados, temos que Bi é
compacto. Note ainda que Bi ∩ Di−2 = ∅, já que Di−2 ⊂ Int Di−1 .
Para cada x ∈ Bi , escolhemos um cubo fechado Cx , centrado em x, contido em A e disjunto
de Di−2 . Além disso, escolha Cx pequeno de forma que esteja contido em algum elemento de A.
˜
5.1. PARTIC
¸ OES
DA UNIDADE
85
Como os interiores dos cubos Cx cobrem Bi , podemos escolher uma quantidade finita destes
cubos cujos interiores ainda cobrem Bi . Defina Ci a cole¸cão finita destes cubos que cobrem Bi e
C := C1 ∪ C2 ∪ . . . .
Segue que C é uma cole¸c˜
ao enumerável de retˆ
angulos (cubos), os quais mostraremos que satisfazem as propriedades que necessitamos.
Por constru¸c˜
ao, cada elemento de C est´
a contido em um elemento de A e segue o item b).
Dado x ∈ A, seja i o menor inteiro tal que x ∈ Int Di . Então x ∈ Di mas x 6∈ Int Di−i , e
portanto x ∈ Bi . Como os interiores dos cubos cobrem Bi , temos que x pertence a alguns desses
interiores e segue o item a).
Seja x ∈ A. Ent˜
ao x ∈ Int Di , para algum i. Cada cubo de Ci+2 , C1+3 , . . . é disjunto de Di ,
por constru¸c˜
ao. Segue que o conjunto Int Di pode interceptar somente os cubos de C1 , . . . , Ci+1 ,
ou seja, uma quantidade finita de cubos.
Décima sexta aula ↓
Defini¸
c˜
ao 5.4 Dada φ : Rn → R, o suporte de φ é definido por
supp φ := {x ∈ Rn | φ(x) 6= 0},
isto é, o fech do conjunto onde φ é diferente de zero.
Notemos ainda que supp φ pode ser caracterizado pela propriedade que se x 6∈ supp φ, ent˜
ao
existe uma vizinhan¸ca de x na qual φ é identicamente nula.
Teorema 5.5 Seja A uma cole¸ca
õ de conjuntos abertos em Rn e seja A a uni˜
ao desses abertos.
n
Existe uma sequência φ1 , φ2 , . . . de fun¸co
˜es cont´ınuas φi : R → R tais que:
a) φi (x) ≥ 0 para todo x ∈ Rn e cada i;
b) para cada i, o conjunto Si := supp φi est´
a contido em A;
c) cada ponto de A possui uma vizinhan¸ca que intercepta somente uma quantidade finita de
conjuntos Si ;
d)
∞
X
i=1
φi (x) = 1 para todo x ∈ A;
e) cada φi é de classe C ∞ ;
f ) para cada i, o conjunto Si é compacto;
g) para cada i, o conjunto Si est´
a inteiramente contido em um elemento de A.
Defini¸
c˜
ao 5.6 Uma cole¸ca
õ de fun¸co
˜es {φi } satisfazendo as condi¸co
˜es a)–d) do Teorema 5.5
é chamada de parti¸
c˜
ao da unidade. Se satisfaz e), dizemos que a parti¸ca
õ da unidade é de
classe C ∞ . Satisfazendo f ), ela é dita com suporte compacto e no caso de satisfazer g), ela
é dita subordinada `
a cole¸ca
õ (ou dominada pela cole¸
c˜
ao) A.
´
¸ A DE VARIAVEIS
86
Demonstra¸
c˜
ao do Teorema 5.5 Dada a cole¸cão A, seja Q1 , Q2 , . . . a sequência de retˆ
angulos
n
∞
dada pelo Lema 5.2. Para cada i, seja ψi : R → R uma fun¸cão de classe C que é estritamente
positiva em Int Qi e zero caso contr´
ario. Assim, ψi (x) ≥ 0 para todo x ∈ Rn . Além disso,
observe que supp ψi = Qi , o qual é um subconjunto compacto de A que est´
a contido em um
elemento de A. Finalmente, cada x ∈ A possui uma vizinhan¸ca que intercepta somente uma
quantidade finita de conjuntos Qi . Segue que a sequência {ψi } satisfaz todas as propriedades
listadas no teorema exceto d).
Pela condi¸c˜
ao c), para cada x ∈ A, a série
λ(x) :=
∞
X
ψi (x)
i=1
converge, já que somente uma quantidade finita de parcelas é n˜
ao-nula. Por este mesmo motivo,
para cada x, λ é soma finita de fun¸c˜
oes de classe C ∞ , e portanto é de classe C ∞ . Finalmente,
λ(x) > 0 para todo x ∈ A já que cada x pertence ao interior de um retˆ
angulo Qi , onde ψi (x) > 0.
Definamos ent˜
ao
ψi (x)
.
φi (x) :=
λ(x)
A sequência {φi } satisfaz todas as propriedades listadas no teorema.
Queremos explorar a conexão entre parti¸cões da unidade e integrais estendidas. Necessitamos ainda de outro lema técnico.
Lema 5.7 Seja A ⊂ Rn um aberto e f : A → R uma fun¸ca
õ cont´ınua. Se f se anula fora de
um conjunto de subconjunto compacto C ⊂ A, ent˜
ao f é integr´
avel em A e em C e
Z
Z
f.
f=
C
A
Demonstra¸
c˜
ao. A fun¸c˜
ao cont´ınua f se anulando fora de C e sendo cont´ınua em A, temos que
fC ser´
a cont´ınua e limitada em Rn , e portanto ser´
a integr´
avel em qualqyer retˆ
angulo contendo
C, ou seja, f é integr´
avel em C.
Seja {Ci } uma sequência de compactos retific´
aveis cuja uni˜
ao é A e tais que Ci ⊂ Int Ci+1
para cada i. Segue que C pode ser coberto por uma quantidade finita de conjuntos Int Ci , e
portanto apenas por um destes conjuntos, digamos Int CM . Como f se anula fora de C, temos
que
Z
Z
Z
f,
f=
f=
C
CM
CN
para todo N ≥ M . Logo, aplicando este fato a |f | temos que a sequência
Z
|f |
CN
é limitada, o que implica que f é integr´
avel em A e que
Z
Z
Z
Z
f,
f=
f=
f = lim
A
o que demonstra o lema.
N →∞ CN
CM
C
˜
5.1. PARTIC
¸ OES
DA UNIDADE
87
Teorema 5.8 Seja A ⊂ Rn um aberto e f : A → R uma fun¸ca
õ cont´ınua. Seja {φi } uma
parti¸ca
õ da unidade em A possuindo suporte compacto. Ent˜
ao f é integr´
avel em A se, e somente
se, a série
∞ Z
X
φi |f |
converge, e neste caso,
Z
i=1
A
f=
∞ Z
X
A
i=1
φi f .
A
Demonstra¸
c˜
ao. Passo 1: suponhamos inicialmente que f é n˜
ao-negativa em A.
Z
∞
X
φi |f | convirja. Seja D um subconjunto compacto retific´
avel
Suponha que a série
A
i=1
de A. Cubra D por vizinhan¸cas de pontos de D que interceptam somente uma quantidade finita
de conjuntos supp φi . Por compacidade, existe uma quantidade finita destas vizinhan¸cas que
ainda cobrem D e portanto existe M > 0 tal que, para i ≥ M , a fun¸cão φi se anula identicamente
fora de D. Segue que
M
∞
X
X
φi (x)f (x),
φi (x)f (x) =
f (x) =
i=1
i=1
para todo x ∈ D. Sendo Si := supp φi , obtemos por linearidade e monotonicidade que
Z
f=
D
M Z
X
i=1
D
φi f ≤
M Z
X
i=1
φi f.
D∪Si
Como φi f se anula fora do compacto D ∪ Si ⊂ A, obtemos pelo Lema 5.7 que
Z
D
f≤
M Z
X
i=1
φi f =
D∪Si
M Z
X
i=1
A
φi f ≤
∞ Z
X
i=1
φi f.
A
Como D é qualquer subconjunto compacto retific´
avel de A, tomando o sup para termos a
defini¸cão de integral estendida obtemos que
Z
∞ Z
X
φi f.
f≤
A
i=1
A
P
Agora suponhamos que f seja integr´
avel em A. Notemos que f (x) ≥ ∞
i=1 φi (x)f (x) para
todo x ∈ A. Segue que, dado um inteiro n˜
ao-negativo N , por compara¸cão e linearidade da
integral,
N
N Z
Z
Z X
X
f.
φi f ≤
φi f =
i=1
A
i=1
∞ Z
X
φi f
A
Segue que a série
i=1
A
A
converge, pois suas somas parciais s˜
ao limitadas e
∞ Z
Z
X
f.
φi f ≤
i=1
A
A
´
¸ A DE VARIAVEIS
88
Isto finaliza a demonstra¸c˜
ao do teorema no caso em que f é n˜
ao-negativa.
Passo 2: No caso em que f n˜
ao é necessariamente n˜
ao-negativa, consideremos |f |. Pelo Passo
1, |f | é integr´
avel em A se, e somente se, a série
∞ Z
X
i=1
A
φi |f |
converge. Mas, pelo Teorema 4.34, f é integr´
avel em A se, e somente se, |f | é integr´
avel em A,
o que demonstra uma parte do resultado.
Por outro lado, se f é integr´
avel em A, pela pr´
opria defini¸cão e pelo Passo 1 temos que
Z
A
f=
Z
A
f+ −
Z
A
f− =
∞ Z
X
i=1
A
φi f+ −
∞ Z
X
i=1
A
φi f− =
∞ Z
X
i=1
A
φi f ,
onde na u
´ltima igualdade usamos que uma série convergente pode ser adicionada termo a termo.
ao do Teorema.
5.2
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 71 Seja f : R → R definida por
( 1 + cos x
f (x) :=
2
0
se − π ≤ x ≤ π,
caso contr´
ario .
Para cada inteiro m ≥ 0, defina φ2m+1 (x) = f (x − mπ) e, para cada inteiro m ≥ 1, defina
φ2m (x) = f (x + mπ). Mostre que {φi } é uma parti¸ca
õ da unidade em R.
ario e x0 ∈ S. Dizemos que f : S → R é
Exerc´ıcio 72 Seja S ⊂ Rn um subconjunto arbitr´
de classe C r em x0 se existe uma fun¸ca
õ g : U → R de classe C r , definida em uma vizinhan¸ca
U ⊂ Rn de x0 , tal que g coincide com f em U ∩ S. Mostre que se φ : Rn → R é uma fun¸ca
õ de
r
classe C cujo suporte est´
a contido em U , ent˜
ao a fun¸ca
õ
h(x) :=
φ(x)g(x) se x ∈ U,
0
se x 6∈ supp φ,
est´
a bem definida e é de classe C r em Rn . Utilize isto para provar o seguinte resultado: se
f : S → R é de classe C r em cada ponto x ∈ S, ent˜
ao f pode ser estendida a
` uma fun¸ca
õ de
r
n
classe h : A → R de classe C , definida em um subconjunto aberto A ⊂ R que contém S.
Sugest˜
ao: cubra S por vizinhan¸cas apropriadas e seja A a uni˜
ao dessas vizinhan¸cas. Tome
uma parti¸ca
õ da unidade subordinada a esta cobertura.
Exerc´ıcio 73 Sejam A, B ⊂ Rn abertos e g : A → B um difeomorfismo. Suponha que {Vα } é
uma cobertura de B e seja {φi } uma parti¸ca
õ da unidade em B com suporte compacto e dominada
por {Vα }. Mostre que {φi ◦ g} é uma parti¸ca
õ da unidade em A com suporte compacto.
5.3. PROPRIEDADES DE DIFEOMORFISMOS EM RN
89
Defini¸
c˜
ao 5.9 Seja E um espa¸co topol´
ogico. Dizemos que E é paracompacto se qualquer
cobertura de E por conjuntos abertos {Vα }α∈I possui uma subcobertura localmente finitae mais
fina {Ωα }α∈J . Localmente finita significa que qualquer ponto possui uma vizinhan¸ca W tal que
W ∩ Ωα 6= ∅ somente para uma quantidade finita de ´ındices α ∈ J. Mais fina significa que
Ωα ⊂ Vα (com esta nota¸ca
õ, algum Ωα pode ser o conjunto vazio). O espa¸co topol´
ogico E é
dito enumer´
avel no infinito se S
existe uma sequência de conjuntos compactos {Ki }i∈N tais que
Ki ⊂ Int Ki+1 para cada i e E = ∞
i=1 Ki .
Exerc´ıcio 74 Mostre que uma variedade topol´
ogica conexa e paracompacta é enumer´
avel no
infinito.
Exerc´ıcio 75 Mostre que toda variedade diferenci´
avel de classe C r paracompacta M possui uma
parti¸ca
õ da unidade dominada por uma dada cobertura de M .
Observa¸ca
õ: uma parti¸ca
õ da unidade de uma variedade M é definida como no caso de Rn ,
trocando-se o aberto A da Defini¸ca
õ 5.6 por M .
5.3
Propriedades de difeomorfismos em Rn
Vamos obter nesta se¸c˜
ao algumas propriedades fundamentais dos difeomorfismos.
Lema 5.10 Seja A ⊂ Rn um aberto e g : A → Rn uma fun¸ca
õ de classe C 1 . Se um subconjunto
E ⊂ A possui medida nula em Rn , ent˜
ao g(E) também possuir´
a medida nula em Rn .
Demonstra¸
c˜
ao. O lema ser´
a demonstrado ap´
os provarmos duas afirma¸cões.
Afirma¸
c˜
ao 1: sejam ε, δ > 0. Se S possui medida nula em Rn , então S pode ser coberto por
uma quantidade enumerável de cubos fechados, cada um dos quais possuindo largura menor que
δ e com soma total dos volumes menor que ε.
Para provarmos esta afirma¸c˜
ao é suficiente mostrar que se Q é o retˆ
angulo
Q = [a1 , b1 ] × . . . [an , bn ]
em Rn , então Q pode ser coberto por uma quantidade finita de cubos, cada um tendo largura
menor que δ, e com soma total dos volumes menor que 2v(Q). Isto ser´
a suficiente pois, se
n
S possui medida nula em R , ent˜
ao cobrimos S com retˆ
angulos que possuem soma total dos
volumes menor que ε/2.
Vamos supor ainda que, para cada i = 1, . . . , n, temos ai > 0. Caso contr´
ario, basta
n
transladarmos o retˆ
angulo Q por Q + p, onde p ∈ R é um ponto escolhido idealmente.
Seja λ > 0 tal que o retˆ
angulo
Qλ := [a1 − λ, b1 + λ] × . . . × [an − λ, bn + λ]
possua volume menor que 2v(Q).
Seja N um inteiro positivo tal que
0<
1
< min{δ, λ}.
N
´
¸ A DE VARIAVEIS
90
m
, onde m é um inteiro arbitrário. Fixado i, seja
COnsideremos todos os racionais da forma
N
m
m
ci o maior racional da forma
tal que ci ≤ ai e seja di o menor racional da forma
tal que
N
N
di ≥ bi . Ent˜
ao:
[ai , bi ] ⊂ [ci , di ] ⊂ [ai − λ, bi + λ].
Segue que, se definirmos Q′ por
Q′ = [c1 , d1 ] × . . . × [cn , dn ],
então Q ⊂ Q′ ⊂ Qλ e v(Q′ ) < 2v(Q). Agora notemos que cada intervalo componente [ci , di ] de
1
m
em subintervalos de comprimento . Segue
Q′ pode ser particionado por pontos da forma
N
N
1
′
que Q est´
a particionado em subretângulos que s˜
ao cubos de largura
< δ. Tais subretângulos
N
′
cobrem Q e a soma total de seus volumes é justamente v(Q ) < 2v(Q).
Afirma¸
c˜
ao 2: seja C ⊂ A um cubo fechado. Suponha que |Dg(x)| ≤ M , para todo x ∈ C. Se
a largura de C for ω, ent˜
ao g(C) estar´
a contido em um cubo de largura (nM )ω.
De fato, seja x0 o centro do cubo C, de forma que,
C = {x ∈ Rn | |x − x0 | ≤
ω
}.
2
Suponha que g(x) = (g1 (x), . . . , gn (x)), x ∈ A. Pelo Teorema do Valor Médio, fixado i =
1, . . . , n, existe ci tal que
gi (x) − gi (x0 ) = h∇gi (ci ), (x − x0 )i.
Segue que
|gi (x) − gi (x0 )| ≤ k∇g(ci )kkx − x0 k
≤ n|∇gi (ci )||x − x0 |
ω
≤ nM .
2
Usando a defini¸c˜
ao da norma do sup em Rn temos que, se x ∈ C, então
ω
|g(x) − g(x0 )| ≤ (nM ) ,
2
isto é, g(x) pertence ao cubo de centro g(x0 ) e largura (nM )ω.
Agora finalmente provaremos o lema. Suponha então que E ⊂ Rn possua medidaSnula em
Rn . Seja {Ck } uma sequência de compactos de A com Ck ⊂ Int Ck+1 para cada k e A = ∞
k=1 Ck .
Definamos Ek := Ck ∩ E. Lembremos que é suficiente demonstrar que cada g(Ek ) possui medida
nula em Rn , já que estes conjuntos cobrem g(E).
Como Ck ⊂ Int Ck+1 e Ck é compacto, escolhemos δ > 0 tal que a δ-vizinhan¸ca de Ck (na
métrica do sup), est´
a contida em Int Ck+1 . Sejam M tal que
|Dg(x)| ≤ M,
para todo x ∈ Ck+1 .
Podemos ainda cobrir Ek com uma quantidade enumerável de cubos fechados, cada uma deles
ε
.
com largura menor que δ e com soma total dos volumes menor que ε′ =
(nM )n
91
Seja {Di } a sequência de tais cubos. Como a largura da cada Di é menor que δ, temos que
Di ⊂ Ck+1 . Segue que |Dg(x)| ≤ M para todo x ∈ Di , de forma que g(Di ) est´
a contido em um
′
′
cubo Di com largura dada por (nm)L, onde L é a largura de Di . Note ainda que o cubo Di
possui volume dado por
′
v(Di ) = (nM )n (L)n = (nM )n v(Di ).
Assim,
∞
X
′
v(Di ) = (nM )n ε′ = ε.
i=1
′
Como a sequência {Di } cobre g(Ek ), o resultado segue.
Décima sétima aula ↓
Teorema 5.11 Sejam A, B ⊂ Rn subconjuntos abertos e g : A → B um difeomorfismo de classe
C r . Seja D ⊂ A um subconjunto compacto e E := g(D).
a) Temos g(Int D) = Int E e g(∂D) = ∂E.
b) Se D é retific´
avel, ent˜
ao E também ser´
a.
Demonstra¸
c˜
ao. Seja U ⊂ A um aberto. Como g é im difeomorfismo, temos que g(U ) é aberto
de B. Assim, g(Int D) é aberto de B e est´
a contido em g(D) = E, isto é,
g(Int D) ⊂ Int E,
(5.1)
g −1 (Int E) ⊂ Int D.
(5.2)
e por simetria
Combinando (5.1) e (5.2) obtemos que g(Int D) = Int E.
Por outro lado, g((Ext D) ∩ A) é um subconjunto aberto de B. Pela injetividade de g,
g((Ext D) ∩ A) ∩ g(D) = ∅. E como g(D) = E,
g((Ext D) ∩ A) ⊂ Ext E.
(5.3)
∂E ⊂ g(∂D).
(5.4)
Mostremos que (5.3) implica em
De fato, seja y ∈ ∂E. Sendo E compacto, temos E fechado. Logo y ∈ ∂E e, em particular,
y ∈ B. Seja x ∈ A tal que g(x) = y. Notemos que x 6∈ Int D por (5.1) e x 6∈ Ext D por (5.3).
Segue que x ∈ ∂D e assim y ∈ g(∂D).
Por simetria,
∂D ⊂ g−1 (∂E).
(5.5)
Por (5.4) e (5.5) temos g(∂D) = ∂E. Isto conclui a demonstra¸cão do item a).
Para verificarmos o item b) lembremos que, se D é retific´
avel, então a medida de ∂D é nula
em Rn . Mas da´ı o Lema 5.10 implica que g(∂D) = ∂E também possui medida nula em Rn , ou
seja, E é retific´
avel.
92
´
¸ A DE VARIAVEIS
Nosso pr´
oximo resultado nos diz que um difeomorfismo pode, localmente, ser decomposto
como produto de difeomorfismos de certos tipos especiais. Este resultado técino de certa forma
´
generaliza um resultado de Algebra
Linear que afirma que toda matriz n˜
ao-singular é produto
de matrizes elementares.
Defini¸
c˜
ao 5.12 Sejam A, B ⊂ Rn abertos, n ≥ 2, e h : A → B um difeomorfismo escrito como
h(x) = (h1 (x), . . . , hn (x)),
x ∈ A.
Fixado i, dizemos que h preserva a i-´
esima coordenada se hi (x) = xi para todo x ∈ A.
No caso em que h preserva a i-ésima coordenada para algum i, dizemos que h é um difeomorfismo primitivo.
Teorema 5.13 Sejam A, B ⊂ Rn subconjuntos abertos com n ≥ 2 e g : A → B um difeomorfismo. Dado x0 ∈ A, existe uma vizinhan¸ca U0 ⊂ A de x0 e uma sequência de difeomorfismos
de abertos de Rn
h
h
h
U0 →1 U1 →2 U2 → . . . →k Uk ,
onde cada hi é primitivo e hk ◦ . . . ◦ h2 ◦ h1 = gU0 .
Demonstra¸
c˜
ao. O teorema ser´
a demonstrado para casos particulares inicialmente e assim
dividiremos a prova em 4 passos.
Passo 1. Seja T : Rn → Rn uma transforma¸cão linear invers´ıvel, isto é, T (x) = Cx, onde C é
uma matriz n˜
ao-singular. Mostremos que T se fatora como produto de transforma¸cões lineares
invers´ıveis e primitivas.
Sabemos que cada matriz n˜
ao-singular é decomposta como produto de matrizes elementares.
Tais matrizes s˜
ao obtidas da matriz identidade através de 3 opera¸cões fundamentais:
1- trocar a i-ésima linha (coluna) pela j-ésima linha (coluna);
2- trocar a i-ésima linha (coluna) pela i-ésima linha (coluna) somada com j-ésima linha
(coluna) multiplicada por um escalar;
3- multiplicar a i-ésima linha (coluna) por um escalar n˜
ao-nulo.
Notemos que as matrizes elementares obtidas da matriz identidade pelas opera¸cões 2- e
3- d˜
ao origem a transforma¸c˜
oes lineares primitivas. Vamos verificar que a opera¸cão 1- pode
ser obtida como composi¸c˜
ao das opera¸cões 2- e 3-. Assim, matrizes elementares obtidas da
identidade pela opera¸c˜
ao 1- d˜
ao origem a tranforma¸cões lineares que s˜
ao escritas como produto
de transforma¸c˜
oes lineares primitivas. Este resultado segue observando a seguinte tabela:
estado inicial
troque linha i por linha i – linha j
troque linha j por linha j + linha i
troque linha i por linha i – linha j
multiplique linha i por −1
linha i
A
A−B
A−B
−B
B
linha j
B
B
A
A
A
93
Passo 2. Vamos supor agora que o difeomorfismo é uma transla¸cão. Assim, seja t : Rn → Rn
dada por t(x) = x + c, onde c ∈ Rn é um ponto fixado. Então t = t1 ◦ t2 , onde
t1 (x) = x + (0, c2 , . . . , cn ) e
t2 (x) = x + (c1 , 0, . . . , 0),
e obviamente t1 e t2 s˜
ao primitivos.
Passo 3. Suponhamos agora que g : A → B é um difeomorfismo com x0 = 0, g(0) = 0 e
Dg(0) = In . Escrevemos ainda
g(x) = (g1 (x), . . . , gn (x)) = (g1 (x1 , . . . , xn ), . . . , gn (x1 , . . . , xn )).
Definamos h : A → Rn por
Segue que h(0) = 0 e
h(x) = (g1 (x), . . . , gn−1 (x), xn ).




Dh(x) = 



∂g1
∂x1
..
.
∂gn−1
∂x1
0
...
..
.
...
...
∂g1
∂xn
..
.
∂gn−1
∂xn
1




.



Como as primeiras n − 1 linha de Dh(x) s˜
ao iguais às primeiras n − 1 linhas de Dg(x), temos que
Dh(0) = In . Segue do Teorema da Fun¸cão Inversa que h é um difeomorfismo de uma vizinhan¸ca
V0 de 0 com um aberto V1 ⊂ Rn .
Seja k : V1 → Rn dada por
k(y) = (y1 , . . . , yn−1 , gn (h−1 (y))).
Notemos que k(0) = (0, . . . , 0, gn (0)) = 0. Além disso,
In−1 0
Dh(y) =
.
D(gn ◦ h−1 )(y)
Notemos ainda que
D(gn ◦ h−1 )(0) = Dgn (h−1 (0)) · Dh−1 (0)
= Dgn (0) · (Dh(0))−1
= (0
...
0 1).
Segue que Dk(0) = In e k é um difeomorfismo de uma vizinha¸ca W1 de 0 em um aberto W2 de
Rn .
Seja W0 = h−1 (W1 ). Temos ent˜
ao a seguinte sequência de difeomorfismos:
h
k
W0 → W1 → W2 .
Obviamente h e k s˜
ao difeomorfismos primitivos. Resta-nos mostrar que k ◦ h = gW0 : Se
x ∈ W0 , então:
k ◦ h(x) = k(g1 (x), . . . , gn−1 (x), xn )
= g1 (x), . . . , gn−1 (x), gn h−1 (g1 (x), . . . , gn (x))
= (g1 (x), . . . , gn−1 (x), gn (x)) = g(x).
´
¸ A DE VARIAVEIS
94
Passo 4. Consideremos agora o caso geral enunciado no teorema. Dado g : A → B e fixado
x0 ∈ A, seja C = Dg(x0 ). Definamos as transla¸cões t1 , t2 , T : Rn → Rn por
t1 (x) = x + x0 ,
t2 (x) = x − g(x0 ) e T (x) = C −1 x.
n
Seja g˜ := T ◦ t2 ◦ g ◦ t1 . Ent˜
ao g˜ é um difeomorsfimo do conjunto aberto t−1
1 (A) ⊂ R no aberto
T (t2 (B)) ⊂ Rn . Além disso, pela regra da cadeia:
g˜(0) = 0 e
D˜
g(0) = In .
−1 ◦ g
O resultado segue escrevendo g = t−1
˜ ◦ t−1
2 ◦T
1 e aplicando os passos 1, 2 e 3 aos difeomorfismos do lado direito.
5.4
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 76 Mostre que se f : R2 → R é de classe C 1 , ent˜
ao f n˜
ao pode ser injetora.
Sugest˜
ao: se Df (x) = 0 para todo x, ent˜
ao f é constante; caso contr´
ario aplique o Teorema
da Fun¸ca
õ Impl´ıcita.
Exerc´ıcio 77 Mostre que se f : R → R2 é de classe C 1 , ent˜
ao f n˜
ao pode ser sobrejetora. De
2
fato, mostre que f (R) n˜
ao contém subconjunto aberto de R .
Exerc´ıcio 78 Prove uma generaliza¸ca
õ do Teorema 5.13 no qual a afirma¸ca
õ cada hi é primitivo
é trocada por cada hi preserva todas a menos de uma coordenada.
Sugest˜
ao: suponha x0 = 0, g(x0 ) = 0 e Dg(0) = In . Ent˜
ao g pode ser fatorada como
g = k ◦ h, onde
h(x) = (g1 (x), . . . , gi−1 (x), xi , gi+1 (x), . . . , gn (x)),
e k preserva todas a menos da i-ésima coordenada e, além disso, h(0) = k(0) = 0 e Dh(0) =
Dk(0) = In .
Exerc´ıcio 79 Seja A ⊂ Rn um aberto e g : A → Rn uma fun¸ca
õ localmente Lipschitz. Mostre
que se E ⊂ A possui medida nula em Rn , ent˜
ao g(E) também possui medida nula em Rn .
Exerc´ıcio 80 Sejam A, B ⊂ Rn abertos e g : A → B bijetora.
a) Mostre que o item a) do Teorema 5.11 vale somente sob a hip´
otese de que g e g −1 s˜
ao
cont´ınuas.
b) Mostre que o item b) do Teorema 5.11 vale somente sob a hip´
otese de que g é localmente
−1
Lipschitz e g é cont´ınua.
5.5
O Teorema de Mudan¸ca de Vari´
aveis
Décima oitava aula ↓
´
5.5. O TEOREMA DE MUDANC
¸ A DE VARIAVEIS
95
Finalmente nesta se¸c˜
ao demonstraremos o Teorema de Mudan¸ca de Vari´
aveis, que é um dos
resultados mais importantes na teoria de integra¸cão m´
ultipla. Iniciamos com uma vers˜
ao em
dimensão n = 1 normalmente utilizada nos cursos de C´
alculo com a nomenclatura regra da
substitui¸ca
õ.
Teorema 5.14 Sejam g : [c, d] → R uma fun¸ca
õ de classe C 1 e f : g([c, d]) → R cont´ınua.
Definamos
Z x
F (x) :=
f (t)dt, x ∈ g([c, d]).
g(c)
Ent˜
ao, para cada x ∈ [c, d] a fun¸ca
õ (f ◦ g)g ′ é integr´
avel em [c, x] e
Z x
f (g(t))g′ (t)dt = F (g(x)).
c
Em particular,
Z
g(d)
f (x)dx =
Z
d
f (g(t))g′ (t)dt.
c
g(c)
Demonstra¸
c˜
ao. Como g′ e f ◦ g s˜
ao cont´ınuas no compacto [c, d], temos que a integral em
questão existe. Definamos ent˜
ao
Z x
f (g(t))g′ (t)dt.
G(x) :=
c
Queremos concluir que G(x) = F (g(x)). Notemos pelo Teorema Fundamental do C´
alculo que
G′ (x) = f (g(x))g ′ (x),
e pela Regra da Cadeia que
(F (g(x)))′ = F ′ (g(x))g ′ (x) = f (g(x))g ′ (x).
Com isso G(x) − F (g(x)) é constante. Mas, para x = 0, temos G(c) = F (g(c)) = 0, ou seja,
F (g(x)) = G(x) para todo x ∈ [c, d]. Em particular, quando x = d, G(d) = F (g(d)), que é
precisamente a segunda identidade.
´ interessante observar que a maioria dos livros demonstram o Teorema 5.14 no caso em
E
que g′ (x) 6= 0 em [c, d], o que n˜
ao é necessário. Uma demonstra¸cão ainda mais geral pode ser
encontrada em [4], a qual n˜
ao requer nem mesmo a continuidade de f e de g′ .
Consideremos por um momento o caso especial do Teorema 5.14 em que g′ n˜
ao se anula
em J = [c, d]. Com isso, g é estritamente crescente ou estritamente decrescente em J. Suponha
que g′ (x) > 0 em J. Segue que g(c) < g(d) e assim g(J) = [g(c), g(d)] pelo Teorema do Valor
Intermediário. A fórmula de mudan¸ca de var´
aveis pode então ser escrita como
Z
Z
f (g(t))g′ (t)dt.
(5.6)
f (x)dx =
g(J)
J
Por outro lado, se g′ (x) < 0 em J, teremos g(c) > g(d) e assim g(J) = [g(d), g(c)]. Com isso
podemos escrever
Z
Z
(5.7)
f (x)dx = − f (g(t))g′ (t)dt.
g(J)
J
´
¸ A DE VARIAVEIS
96
Ambas as igualdades (5.6) e (5.7) est˜
ao incluidas na fórmula geral
Z
Z
f (g(t))|g′ (t)|dt.
f (x)dx =
J
g(J)
Esta u
´ltima fórmula é interessantes pois ela est´
a no estilo em que enunciaremos a foma geral do
Teorema de Mudan¸ca de Vari´
aveis, o qual apresentamos loga a seguir.
Teorema 5.15 (Teorema de Mudan¸
ca de vari´
aveis) Sejam A, B ⊂ Rn abertos e g : A →
B um difeomorfismo. Suponha que f : B → R seja uma fun¸ca
õ cont´ınua. Se f é integr´
avel em
B, ent˜
ao a fun¸ca
õ (f ◦ g)| det Dg| é integr´
avel em A, e neste caso
Z
Z
f = (f ◦ g)| det Dg|.
A
B
Notemos que o Teorema 5.15, mesmo quando n = 1, é mais geral que o Teorema 5.14, já
que agora estamos incluindo o caso de integrais impróprias.
Demonstra¸
c˜
ao do Teorema 5.15. Suponhamos inicialmente que a fun¸cão cont´ınua f : B → R
é integr´
avel. A demonstra¸c˜
ao de que (f ◦ g)| det Dg| é integr´
avel e da validade da fórmula
ser´
a feita em vários passos. A estratégia é demonstrar que o resultado vale localmente para
difeomorfismos primitivos, decompor um difeomorfismo qualquer localmente como no Teorema
5.13 e usar parti¸c˜
ao da unidade para provar o resultado globalmente. Entretanto, além desses
dois passos, algumas lacunas devem ser preenchidas.
Passo 1. Sejam U, V, W ⊂ Rn abertos e suponha que existem difeomorfismos g : U → V e
h : V → W . Suponha que o resultado vale para g e para h, isto é, suponha que se f1 : V → R e
f2 : W → R s˜
ao integr´
aveis, ent˜
ao (f1 ◦ g)| det Dg| e (f2 ◦ h)| det Dh| s˜
ao integr´
aveis em U e em
V respectivamentee ainda vale a fórmula sugerida. Com estas hip´
oteses, então o resultado vale
para h ◦ g.
Passamos `
a demonstra¸c˜
ao do Passo 1. Dada f : W → R cont´ınua e integr´
avel, segue por
hip´
otese que
Z
Z
Z
(5.8)
f = (f ◦ h)| det Dh| = (f ◦ h) ◦ g| det Dh| ◦ g| det Dg|,
W
U
V
onde usamos f2 = f e f1 = (f ◦ h)| det Dh|, que s˜
ao cont´ınuas e integr´
aveis. Por outro lado,
usando a Regra da Cadeia obtemos que
D(h ◦ g)(x) = Dh(g(x)) · Dg(x),
para qualquer x ∈ U,
e pelas propriedade da fun¸c˜
ao determinante segue que
det D(h ◦ g)(x) = det(Dh(g(x))) det(Dg(x)).
Substituindo (5.9) em (5.8) obtemos
Z
Z
f ◦ (h ◦ g)| det D(h ◦ g)|,
f=
W
ou seja, o resultado vale para h ◦ g.
U
(5.9)
´
¸ A DE VARIAVEIS
97
Passo 2. Suponhamos que cada x ∈ A possua uma vizinhan¸ca U ⊂ A tal que o resultado
vale para o difeomorfismo g : U → V , onde V = g(U ), e para toda fun¸cão cont´ınua f : V → R
que possui suporte compacto contido em V . Então mostraremos que o resultadoo vale para
g : A → B e toda fun¸c˜
ao cont´ınua
f : B → R (estamos usando um abuso de nota¸cão e denotando
por também por g a restri¸c˜
ao gU ).
Nesta parte da demonstra¸c˜
ao usaremos parti¸cão da unidade. Inicialmente, cubrimos A
com uma cole¸c˜
ao de abertos Uα ⊂ Rn tais que, se Vα = g(Uα ), então o resultado vale para o
difeomorfismo g : Uα → Vα e toda fun¸caõ cont´ınua f : Vα → R tal que supp f ⊂⊂ Vα .1 Notemos
que B é coberto pelos abertos Vα . Escolhemos uma parti¸cão da unidade {φi } em B com suporte
compacto dominada pela cole¸c˜
ao {Vα }. Pelo Exerc´ıcio 73 a cole¸cão {φi ◦ g} é uma parti¸cão da
unidade em A com suporte compacto dominada por {Uα }.
Seja f : B → R cont´ınua e integr´
avel em B. Pelo Teorema 5.8 temos que
Z
f=
B
∞ Z
X
i=1
B
φi f .
Dado i, escolhemos α tal que supp φi ⊂⊂ Vα . A fun¸cão φi f é cont´ınua em B e se anula fora do
compacto supp φi . Pelo Lema 5.7
Z
Z
Z
φi f.
φi f =
φi f =
supp φi
B
A hip´
otese neste passo implica que
Z
Z
φi f =
Uα
Vα
Vα
(φi ◦ g)(f ◦ g)| det Dg|.
Usando novamente o Lema 5.7 e o fato que φi ◦ g se anula fora do compacto supp φi ◦ g obtemos
Z
Z
φi f = (φi ◦ g)(f ◦ g)| det Dg|.
A
B
Somando em i segue que
Z
B
f=
∞ Z
X
i=1
A
(φi ◦ g)(f ◦ g)| det Dg| .
(5.10)
Como |f | é integr´
avel em B, a igualdade (5.10) vale com |f | no lugar de f . Como φi ◦ g é uma
parti¸cão da unidade em A, temos pelo Teorema 5.8 que (f ◦ g)| det Dg| é integr´
avel em A. Da´ı
aplicamos (5.10) `
a f para conluirmos que
Z
Z
f = (f ◦ g)| det Dg|.
B
A
Passo 3. Agora faremos a demonstra¸caõ no caso n = 1. Se g : A → B é um difeomorfismo, dado
x ∈ A, tomamos um intervalo compacto I que contém x e J = g(I). Então g(Int I) = Int J.
Pelo Passo 2, necessitamos provar o resultado para g : Int I → Int J e f : Int J → R cont´ınua,
1
A nota¸c˜
ao supp f ⊂⊂ Vα siginifica que supp f é um compacto contido no aberto Vα .
98
´
¸ A DE VARIAVEIS
integr´
avel e com suporte compacto. Mas para isso, basta estender f a J fazendo f (x) = 0 se
x ∈ ∂J e usar o Teorema 5.14.
Passo 4. Para n > 1, mostremos que se o resultado vale para um difeomorfismo primitivo
h : U → V , com U, V ⊂ Rn abertos, então ele vale para um difeomorfismo qualquer g : A → B.
De fato, se g : A → B é um difeomorfismo qualquer, então fixamos x ∈ A e uma vizinhan¸ca
U0 de x na qual gU0 se escreve como composi¸cão de difemorfismos primitivos como no Teorema
5.13. Supondo que o resultado vale para cada um desses difeomorfismos, então o Passo 1 implica
que ele vale para gU0 . Mas a´ı o Passo 2 implica que o resultado vale para g, já que x ∈ A é
arbitrário.
Passo 5. Agora mostramos que se o resultado vale em dimensão n − 1, então ele vale para
n. Mas pelo Passo 4, basta provarmos este fato para um difeomorfismo primitivo h : U → V ,
U, V ⊂ Rn abertos. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que h preserva a u
´ltima
coordenada.
Seja x0 ∈ U e y0 = h(x0 ). Tomemos um retˆ
angulo Q contido em V cujo interior contém y0
−1
e definamos S := h (Q). Segue que h : Int S → Int Q é também um difeomorfismo. Como x0 é
arbitrário, basta demonstrarmos pelo Passo 2 que o resultado vale para h : Int S → Int Q e para
qualquer fun¸c˜
ao cont´ınua f : Int Q → R cujo suporte é um subconjunto compacto de Int Q.
Como a fun¸c˜
ao (f ◦ h)| det Dh| se anula fora de um compacto de Int S, precisamos demonstrar que
Z
Z
f=
Int S
Int Q
(f ◦ h)| det Dh|.
Estendemos f em todo Rn definindo-a como sendo 0 fora de Int Q. Defina ainda F : Rn → R
como sendo a extens˜
ao de (f ◦h)| det Dh| como sendo 0 fora de Int S. Ambas, f e F s˜
ao cont´ınuas
e desejamos provar que
Z
Z
F.
f=
Q
S
Podemos escrever o retˆ
angulo Q na forma Q = D × I, onde D é um retˆ
angulo em Rn−1 e I
n−1
é um intervalo fechado em R. Como S é compacto, sua proje¸cão sobre R
× {0} é também um
compacto e est´
a contido em um subconjunto da forma E × {0}, como E ⊂ Rn−1 um retˆ
angulo.
Como h preserva a u
´ltima coordenada, o conjunto S est´
a contido no retˆ
angulo E × I.
Como F se anula fora de S, basta provarmos que
Z
Z
F.
f=
Q
E×I
Mas usando o Teorema de Fubini (Teorema 4.19), esta u
´ltima igualdade entre integrais é equivalente à seguinte:
Z Z
Z Z
F (y, t).
f (y, t) =
t∈I
y∈D
t∈I
x∈E
Mas além disso, basta mostrarmos que as integrais internas s˜
ao iguais.
Fixado t, a interseçc˜
ao de U e de V com Rn−1 × {t} s˜
ao conjuntos da forma Ut × {t} e
Vt × {t}. Como F se anula fora de S, segue que a igualdade que devemos provar é a seguinte:
Z
Z
F (y, t).
f (y, t) =
y∈Vt
x∈Ut
´
¸ A DE VARIAVEIS
99
V
U
S
h
Ut × {t}
Vt × {t}
Q
Figure 5.2: Constru¸c˜
ao dos abertos envolvidos na demonstra¸cão.
Esta é uma equa¸c˜
ao em Rn−1 , onde a hip´
otese de indu¸cão vale.
O difeomorfismo h : U → V possui a forma
h(x, t) = (k(x, t), t),
onde k : U → Rn−1 é alguma fun¸c˜
ao de classe C 1 . A derivada de h é da forma
#
"
∂k
∂k
Dh =
∂x
∂x ,
0...0 1
∂k
. Assim, para t fixado, k(x, t)
∂x
é n˜
ao-singular. Além disso, ela aplica Ut em Vt bijetivamente e é de classe C 1 . O Teorema da
Fun¸cão Inversa implica que k(·, t) é um difeomorfismo de abertos de Rn−1 .
e pelas propriedades de determinates temos que det Dh = det
Aplicando a hip´
otese de indu¸c˜
ao temos que, para t fixado:
Z
Z
∂k f (k(x, t), t) det
f (y, t) =
∂x
x∈V
y∈Vt
Z t
f (h(x, t))| det Dh|
=
x∈Vt
Z
F (x, t).
=
x∈Vt
Finalmente o resultado segue usando indu¸cão.
A rec´ıproca do Teorema 5.15 segue usando o difeomorfismo inverso g−1 : B → A.
Corol´
ario 5.16 Seja g : A → B um difeomorfismo entre os abertos A, B ⊂ Rn e f : B → R
uma fun¸ca
õ cont´ınua. Se (f ◦ g)| det Dg| for integr´
avel em A ent˜
ao f é integr´
avel em B.
Demonstra¸
c˜
ao. Basta aplicarmos o Teorema 5.15 ao difeomorfismo g−1 : B → A e à aplica¸c˜
ao
F = (f ◦ g)| det Dg|, a qual é cont´ınua em A. Os detalhes ser˜
ao omitidos e deixados como
exerc´ıcio.
´
¸ A DE VARIAVEIS
100
5.6
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 81 Refa¸ca com detalhes os exemplos 1, 2, 3, 4 e 5 da Se¸ca
õ 17 e o exemplo 1 da
Se¸ca
õ 19 da referência [9].
Exerc´ıcio 82 Mostre que a integral
Z
e−(x
2 +y 2 )
R2
existe e que
Z
e−(x
2 +y 2 )
dxdy =
R2
Z
2
e−x dx
R
2
Defini¸
c˜
ao 5.17 Seja πk : Rn → R a fun¸
c˜
ao proje¸
c˜
ao dada por πk (x) = xk . Seja S ⊂ Rn um
conjunto retific´
avel com volume n˜
ao-nulo. O centr´
oide de S é definido como sendo o ponto
n
c(S) ∈ R cuja k-ésima coordenada, para cada k, é dada por
Z
1
πk .
ck (S) :=
v(S) s
Exerc´ıcio 83 Dizemos que um conjuntos S ⊂ Rn , retific´
avel é sim´
etrico com rela¸ca
õ ao
subespa¸co xk = 0 de Rn se a transforma¸ca
õ
h(x) = (x1 , . . . , xk−1 , −xk , xk+1 , . . . , xn )
aplica S em si mesmo. Mostre neste caso que ck (S) = 0.
Exerc´ıcio 84 Seja A ⊂ Rn−1 um aberto retific´
avel. Dado um ponto P ∈ Rn com Pn > 0, seja
S ⊂ Rn o subconjunto definido por
S := {x | x = (1 − t)Q + tP
onde
Q ∈ A × {0}
e
0 < t < 1}.
O conjunto S é chamado de cone com base A × {0} e vértice P .
a) Descreva com um exmeplo em R3 um conjunto S.
b) Defina um difeomorfismo entre A × (0, 1) e S.
c) Encontre v(S) em termos de v(A).
d) Mostre que o centr´
oide c(S) do cone S pertence ao segmento que une c(A) e P . Expresse
c(S) em termos de c(A) e de P .
Exerc´ıcio 85 Seja Brn a bolsa fechada de centro 0 e raio r em Rn .
a) Mostre que
v(Brn ) = λn r n ,
onde λn = v(B1n ).
b) Encontre λ1 e λ2 .
5.6. EXERCÍCIOS
101
c) Supondo n ≥ 3, obtenha a f´
ormula:
λn = λn−2
Z
2π
0
Z
1
0
(1 − r 2 )n/2−1 rdrdθ = λn−2
d) Deduzir que
λn =
onde
Γ(y) =
π n/2
,
Γ(1 + n/2)
Z
∞
e−x xy−1 dx.
0
Observa¸ca
õ: talvez seja u
´til o fato Γ(y + 1) = yΓ(y).
2π
n
102
´
¸ A DE VARIAVEIS
Cap´ıtulo 6
Formas diferenciais
Neste cap´ıtulo introduziremos o conceito de formas diferenciais, as quais ser˜
ao utilizadas para
tratarmos de uma vers˜
ao generalizada do Teorema de Stokes em Rn . Este caso geral que tratare´
mos necessita de conceitos mais poderosos que aqueles provindos da Algebra
Linear e do C´
alculo
´
de Várias Vari´
aveis. Necessitaremos assim desenvolver ferramentas provindas da Algebra
Multilinear. Nas pr´
oximas primeiras se¸c˜
oes desenvolveremos então conceitos puramente algébricos,
os quais ser˜
ao usados para estudar as forma diferenciais.
6.1
Tensores e produtos tensoriais
Décima nona aula ↓
Dado um espa¸co vetorial (real) V , denotemos por V k = V × . . . × V o produto Cartesiano
de k-cópias de V . Denotemos um elemento de V k por uma k-´
upla (v1 , . . . , vk ), onde cada vi é
um elemento de V . Uma fun¸c˜
ao f : V k → R é dita linear na i-ésima vari´
avel se, fixados vetores
vj , j 6= i, a aplica¸c˜
ao T : V → R dada por
T (v) := f (v1 , . . . , vi−1 , v, vi+1 , . . . , vk )
é linear.
Dizemos que f : V k → R é multilinear (ou k-linear) se ela é linear na i-ésima coordenada
para cada i = 1, . . . , k.
Defini¸
c˜
ao 6.1 Um tensor de ordem k ou um k-tensor é uma fun¸ca
õ multilinear f : V k → R.
O conjunto de todos os tensores de ordem k em V ser´
a denotado por Lk (V ).
Podemos citar dois exemplos simples: para k = 1, L1 (V ) = V ∗ , o dual de V ; para k = 2,
temos que L2 (V ) é o conjunto de todas as aplica¸cões bilineares de V .
Sendo um k-tensor uma fun¸c˜
ao multilinear que associa a cada k-upla de vetores em V um
n´
umero real, dois k-tensors podem ser somados e multiplicados por escalares (elementos de R).
Com a defini¸c˜
ao natural de soma pontual e multiplica¸cão por escalares temos que Lk (V ) é um
espa¸co vetorial. Deixemos este fato documentado em forma de teorema.
Teorema 6.2 O conjunto de todos os k-tensores em V constitui um espa¸co vetorial sobre R se
definirmos a soma de k-tensores e produto por um escalar respectivamente por
(f + g)(v1 , . . . , vk ) = f (v1 , . . . , vk ) + g(v1 , . . . , vk )
103
e
(αf )(v1 , . . . , vk ) = αf (v1 , . . . , vk ).
CAPÍTULO 6. FORMAS DIFERENCIAIS
104
Como no caso de transforma¸c˜
oes lineares, um tensor fica completamente determinado pelo
seu valor nos elementos da base do espa¸co vetorial em quest˜
ao.
Dado um conjunto {1, 2, . . . , n}, uma k-lista de inteiros deste conjunto é uma k-upla I =
(i1 , . . . , ik ), onde i1 , . . . , ik s˜
ao elementos de {1, 2, . . . , n}.
Lema 6.3 Seja {e1 , . . . , en } uma base do espa¸co vetorial (de dimens˜
ao finita) V . Se f, g : V k →
R s˜
ao dois k-tensores em V que satisfazem
f (ei1 , . . . , eik ) = g(ei1 , . . . , eik )
para toda k-lista I = (i1 , . . . , ik ) de inteiros do conjunto {1, . . . , n}, ent˜
ao f = g.
Demonstra¸
c˜
ao. Seja (v1 , . . . , vk ) ∈ V k . Expressamos cada vi como soma dos elementos da
base de V da forma:
n
X
αij ej .
vi =
j=1
Usando que f e g s˜
ao multilineares e indu¸cão em k obtemos
f (v1 , . . . , vk ) =
=
n
X
j1 ,...,jk =1
n
X
α1j1 . . . αkjk f (ej1 , . . . , ejk )
α1j1 . . . αkjk g(ej1 , . . . , ejk )
j1 ,...,jk =1
= g(v1 , . . . , vk ).
Como (v1 , . . . , vk ) ∈ V k é qualquer, segue que f = g.
Usando o Lema 6.3 podemos encontrar uma base para Lk (V ).
Teorema 6.4 Sejam V um espa¸co vetorial com base {e1 , . . . , en } e fixemos uma k-lista I =
(i1 , . . . , ik ) de inteiros do conjunto {1, . . . , n}. Dada uma outra k-lista J = (j1 , . . . , jk ) de
inteiros de {1, . . . , n}, existe um u
ńico k-tensor φI em V que satisfaz:
φI (ej1 , . . . , ejk ) =
0 se I 6= J,
1 se I = J.
Os tensores da forma φI , quando I percorre todas as k-listas de inteiros de {1, . . . , n}, forma uma
base de Lk (V ) e s˜
ao chamados de k-tensores elementares. Em particular, dim Lk (V ) = nk .
´
Demonstra¸
c˜
ao. Consideremos inicialmente o caso k = 1. Como sabemos da Algebra
Linear,
podemos determinar um funcional linear φi : V → R apenas especificando seu valor nos elementos
de uma base de V . Definamos ent˜
ao
0 se i 6= j,
φi (ej ) =
1 se i = j.
Estes 1-tensores possuem todas as propriedades desejadas.
105
6.1. TENSORES E PRODUTOS TENSORIAIS
No caso k > 1, definimos φI por
φI (v1 , . . . , vk ) := φi1 (v1 )φ12 (v2 ) . . . φ1k (vk ).
´ imediato verificar que φI é multilinear e satisfaz as propriedades desejadas. Verifiquemos que
E
os k-tensores φI formam uma base de Lk (V ) quando I percorre todas as k-listas de inteiros
{1, . . . , n}. Seja f ∈ Lk (V ). Para cada I = (i1 , . . . , ik ) defina o escalar dI por
dI := f (ei1 , . . . , eik ).
Vamos mostrar que f se escreve como combina¸cão linear dos k-tensores φI e que os coeficientes
escalares dessa combina¸c˜
ao s˜
ao justamante dI . De fato, seja
X
g :=
dJ φJ ,
J
onde a soma se estende sob todas as k-listas de elementos de {1, . . . , n}. Então
g(ei1 , . . . , eik ) = dI = f (ei1 , . . . , eik )
para qualquer k-lista I = (i1 , . . . , ik ). Segue do Lema 6.3 que f = g.
A unicidade também segue do Lema 6.3.
Exemplo 6.5 Seja V = Rn e {e1 , . . . , en } sua base canˆ
onica. Então uma base de L1 (V ) é dada
por {φ1 , . . . , φn }, onde cada φi est´
a definida em v = x1 e1 + . . . + xn en por
φi (v) = xi .
Assim, dada uma k-lista de inteiros I = (i1 , . . . , ik ), definimos φI por
φI (v1 , . . . , vk ) = φi1 (v1 ) . . . φik (vk ) = xi1 1 . . . xik k ,
onde
vj = x1j e1 + . . . + xnj en .
Logo, uma base de Lk (V ) pode ser dada pelos monˆ
omios nas componentes do vetor v na
base {e1 , . . . , en }. Em particular, se f : V → R é um 1-tensor, então f é da forma
f (v) = d1 x1 + . . . + dn xn = h(d1 , . . . , dn ), vi,
para alguma n-upla (d1 , . . . , dn ). Um 2-tensor em Rn é da forma
g(v, u) =
n
X
dij xi yj ,
i,j=1
onde v = x1 e1 + . . . xn en e u = y1 e1 + . . . yn en e dij s˜
ao escalares.
Vamos agora introduzir uma opera¸cão que podemos efetuar entre tensores em V de ordens
diferentes.
106
Defini¸
c˜
ao 6.6 Seja V um espa¸co vetorial e tomemos f ∈ Lk (V ) e g ∈ Ll (V ). Definimos o
produto tensorial entre f e g como sendo o (k + l)-tensor f ⊗ g dado por
f ⊗ g(v1 , . . . , vk , vk+1 , . . . , vk+l ) := f (v1 , . . . , vk )g(vk+1 , . . . , vk+l ).
Não é dif´ıcil verificar que f ⊗g é realmente multilinear. Ser´
a deixado também como exerc´ıcio
a demonstra¸c˜
ao do pr´
oximo resultado, que lista algumas propriedades do produto tensorial.
Teorema 6.7 Sejam f, g, h tensores em V . Temos as seguintes propriedades:
1) f ⊗ (g ⊗ h) = (f ⊗ g) ⊗ h;
2) (αf ) ⊗ g = α(f ⊗ g) = f ⊗ (αg), para qualquer α ∈ R;
3) se f e g possuem a mesma ordem, ent˜
ao
(f + g) ⊗ h = f ⊗ h + g ⊗ h,
h ⊗ (f + g) = h ⊗ f + h ⊗ g;
(6.1)
4) dada uma base {e1 , . . . , en } de V , os vetors elementares correspondentes satisfazem
φI = φi1 ⊗ . . . ⊗ φik ,
onde I = (i1 , . . . , ik ).
Notemos que em geral n˜
ao vale a comutatividade no produto tensorial.
Verifiquemos agora como as transforma¸cões lineares sobre V agem em Lk (V ).
Defini¸
c˜
ao 6.8 Seja T : V → W uma transforma¸ca
õ linear entre os espa¸cos vetoriais V e W .
A transforma¸
c˜
ao dual de T é a aplica¸ca
õ
T ∗ : Lk (W ) → Lk (V )
definida como segue: se f ∈ Lk (W ) e se v1 , . . . , vk s˜
ao vetores de V , ent˜
ao
(T ∗ f )(v1 , . . . , vk ) = f (T (v1 ), . . . , T (vk )).
O elemento T ∗ f ∈ Lk (V ) é chamado de pullback de f (por T ).
´ imedito da defini¸c˜
E
ao que T ∗ f é realmente multilinear. Além disso, T ∗ : Lk (W ) → Lk (V )
é também uma transforma¸c˜
ao linear.
Teorema 6.9 Seja T : V → W uma transforma¸ca
õ linear e T ∗ : Lk (W ) → Lk (V ) sua transforma¸ca
õ dual. Ent˜
ao:
1) T ∗ é linear;
2) T ∗ (f ⊗ g) = T ∗ f ⊗ T ∗ g;
3) se S : W → X é uma transforma¸ca
õ linear, ent˜
ao (S ◦ T )∗ f = T ∗ (S ∗ f ).
6.2. EXERCÍCIOS
6.2
107
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 86 Demonstre o Teorema 6.2.
Exerc´ıcio 89 Sejam f e g tensores em R4 definidos por
f (v1 , v2 , v3 ) = 2x1 y2 z2 − x2 y3 z1 ,
g = φ2,1 − 5φ3,1 .
a) Expresse f ⊗ g como combina¸ca
õ linear de 5-tensores elementares.
b) Expresse uma f´
ormula para f ⊗ g(v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ).
Exerc´ıcio 90 Sejam V e W dois espa¸cos vetoriais com bases {e1 , . . . , en } e {f1 , . . . , fm } respectivamente e T : V → W uma transforma¸ca
õ linear. Dado f ∈ Lk (W ), encontre T ∗ f em
fun¸ca
õ dos coeficientes de f e de T ei na base de W .
Exerc´ıcio 91 Seja {e1 , e2 } a base canˆ
onica de R2 e {φ1 , φ2 } a base dual. Definamos f =
3
2
−2φ1 ⊗ φ2 e consideremos T : R → R a transforma¸ca
õ linear dada pela matriz
1 0 2
A=
.
0 −1 1
Compute T ∗ f em termos da nase canˆ
onica de R3 .
6.3
Tensores alternados
Nesta se¸cão introduziremos os principais tipos de tensores nos quais estamos interessados e
estudaremos algumas de suas proprieades. Antes porém necessitamos de alguns preliminares
sobre o grupo de permuta¸c˜
oes de um conjunto finito.
Dado um conjunto finito Ak = {1, 2, . . . , k}, uma permuta¸ca
õ deste conjunto é uma fun¸c˜
ao
bijetora σ : Ak → Ak . O conjunto de todas as permuta¸cões de Ak é denotado por Sk . Notemos
que Sk contém exatamente k! elementos. O produto de duas permuta¸cões σ e τ é na verdade a
composi¸cão dessas permuta¸c˜
oes, que é necessariamente uma permuta¸cão, a qual ser´
a denotada
por σ ◦ τ = στ .
Uma nota¸c˜
ao comumente usada para uma permuta¸cão σ ∈ Sk é a seguinte:
1
2
...
k
σ=
.
σ(1) σ(2) . . . σ(k)
Se denomina transposi¸ca
õ uma permuta¸cão σ ∈ Sk para a qual existem dois inteiros distintos
i e j tais que
σ(i) = j, σ(j) = i e σ(l) = l se l 6= i, l 6= j.
108
Assim, uma trasposi¸c˜
ao permuta dois inteiros distintos e deixa os demais fixados. Note que neste
2
caso σ é a identidade. Uma transposi¸ca
õ elementar é uma transposi¸cão que permuta somente
´ poss´ıvel provar o seguinte fato:
dois n´
umeros consecutivos e deixa os demais fixados. E
Fato 1: toda permuta¸ca
õ σ ∈ Sk se escreve como produto de transposi¸co
˜es elementares.
Uma outra informa¸c˜
ao importante é que, qualquer que seja a maneira que escrevemos uma
permuta¸cão σ como produto de transposi¸cões elementares, a quantidade destes fatores nunca
muda. Assim, podemos definir a fun¸cão sinal de uma permuta¸cão sgn : Sk → {1, −1} por
sgn(σ) = 1 se σ se escreve como produto de um n´
umero par de transposi¸cões elementares e
sgn(σ) = −1 se σ se escreve como produto de um n´
umero ´ımpar de transposi¸co˜es elementares.
Sendo assim, temos o seguinte:
Fato 2: a aplica¸ca
õ sgn : Sk → {1, −1} define um homomorfismo do grupo multiplicativo Sk no
grupo multiplicativo com dois elementos {1, −1}; além disso, se σ é uma transposi¸ca
õ, ent˜
ao
sgn(σ) = −1.
Vigésima aula ↓
Consideremos agora dois conjuntos quaisquer E e F e uma aplica¸cão f : E k → F . Para
σ ∈ Sk , definimos σf : E k → F pela equa¸cão
(σf )(v1 , . . . , vk ) := f (vσ(1) , . . . , vσ(k) ).
Assim, σf se deduz de f mediante uma permuta¸cão das vari´
aveis. Observemos que se σ é a
identidade, ent˜
ao σf = f . Ademais, se σ, τ ∈ Sk , então
(τ σ)f = τ (σf ).
De fato, seja σf = g. Temos por um lado que
τ g(v1 , . . . , vk ) = g(vτ (1) , . . . , vτ (k) ),
e por outro lado
g(w1 , . . . , wk ) = f (wσ(1) , . . . , wσ(k) ).
Tomando wi = vτ (i) , temos wσ(i) = vτ (σ(i)) . Assim,
τ (σf )(v1 , . . . , vk ) = g(vτ (1) , . . . , vτ (k) ) = f (vτ (σ(1)) , . . . , vτ (σ(k)) ) = (τ σ)f (v1 , . . . , vk ).
O que acabamos de verificar nos diz, em outras palavras, que o grupo Sk opera à esquerda
no conjunto das fun¸c˜
oes de E k em F .
Vamos introduzir agora o importante subespa¸co Ak (V ) de Lk (V ).
Defini¸
c˜
ao 6.10 Seja V um espa¸co vetorial (sobre R). Um k-tensor f ∈ Lk (V ) é chamado
alternado se f (v1 , . . . , vk ) = 0 sempre que vi = vi+1 para pelo menos um ´ındice i, 1 ≤ i < k.
Convencionaremos que, quando k = 1, todo 1-tensor f ∈ L1 (V ) é alternado. Denotaremos o
conjunto dos k-tensores alternados em V por Ak (V ).
Proposi¸
c˜
ao 6.11 Seja f ∈ Lk (V ). Ent˜
ao f é um k-tensor alternado se, e somente se, para
qualquer permuta¸ca
õ σ ∈ Sk , tem-se que
f (vσ(1) , . . . , vσ(k) ) = sgn(σ)f (v1 , . . . , vk ).
(6.2)
Se f é um k-tensor alternado e se existirem dois ´ındices distintos i e j tais que vi = vj ,
ent˜
ao f (v1 , . . . , vk ) = 0.
109
6.3. TENSORES ALTERNADOS
Demonstra¸
c˜
ao. Suponhamos que f ∈ Ak (V ). Vamos demonstrar a primeira parte da proposi¸cão inicialmente para uma trabsposi¸cão elementar. Assim, consideremos a transposi¸cão que
permuta dois ´ındices consecutivs i e i + 1, a qual possui sinal −1. Precisamos provar que
f (vi+1 , vi ) = −f (vi , vi+1 ),
onde escrevemos, para simplificar,
f (vi , vi+1 ) = f (v1 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vk ).
Como f é multilinear e alternada, temos
0 = f (vi + vi+1 , vi + vi+1 )
= f (vi , vi ) + f (vi+1 , vi+1 ) + f (vi , vi+1 ) + f (vi+1 , vi )
= f (vi , vi+1 ) + f (vi+1 , vi ).
Agora notemos que, se σ, τ ∈ Sk , então (στ )f = σ(τ f ) e que sgn(στ ) = sgn(σ) sgn(τ ).
Segue que se a igualadade (6.2) vale para σ e para τ , então vale para α = στ . Como qualquer
permuta¸cão é produto de um n´
umero finito de transposi¸cões elementares, para as quais vale a
rela¸cão (6.2), temos que esta igualdade vale para qualquer σ ∈ Sk .
Reciprocamente, suponhamos que f ∈ Lk (V ) satisfa¸ca (6.2) para qualquer permuta¸c˜
ao
σ ∈ Sk . Em particular, quando σ é uma transposi¸cão elementar que permuta dois ´ındices
consecutivos quaisquer i e i + 1, ent˜
ao
f (v1 , . . . , vk ) = −f (v1 , . . . , vk ),
de onde segue que
2f (v1 , . . . , vk ) = 0,
e assim f (v1 , . . . , vk ) = 0.
Para finalizar, suponhamos que f ∈ Ak (V ) e que vi = vj para dois ´ındices i 6= j. Considere
uma permuta¸c˜
ao σ ∈ Sk tal que σ(1) = i e σ(2) = j. Sendo f alternada, temos pela primeira
parte que
±f (v1 , . . . , vk ) = σf (v1 , . . . , vk ) = 0,
ou seja, f (v1 , . . . , vk ) = 0.
Evidentemente o conjunto Ak (V ) é um subespa¸co vetorial de Lk (V ). Vamos agora encontrar
uma base para este espa¸co vetorial. Observemos que, se k = 1, então nada temos a fazer já que
A1 (V ) = L1 (V ) = V ∗ . Além disso, no caso em que k > n = dim V , devemos ter Ak (V ) o espa¸co
trivial. De fato, qualquer k-tensor f fica unicamente determinado pelo seus valore nas k-uplas
de elementos da base de V ; mas quando k > n, necessariamente um elemento da base dever´
a
se repetir na k-upla; da´ı se f for alternado, ele deve se anular em toda k-upla de elementos da
base de V pela Proposi¸c˜
ao 6.11. Falta então analisar o caso em que 1 < k ≤ n.
Dado um conjunto {1, 2, . . . , n}, uma k-lista ascendente I = (i1 , . . . , ik ) deste conjunto é
uma k-lista que satisfaz
i1 < i2 < . . . < ik .
Lema 6.12 Seja {e1 , . . . , en } uma base de V . Se f, g ∈ Ak (V ) satisfazem
f (ei1 , . . . , eik ) = g(ei1 , . . . , eik )
para toda k-upla ascendente I = (i1 , . . . , ik ) do conjunto {1, 2, . . . , n}, ent˜
ao f = g.
110
Demonstra¸
c˜
ao. Pelo Lema 6.3 é suficiente mostrar que f e g possuem o mesmo
uma k-upla arbitrária (ej1 , . . . , ejk ) de elementos da base de V . Seja J = (j1 , . . . , jk ).
dos elementos jq e jp sejam iguais, então tanto f quanto g ser˜
ao zero nesta k-upla.
então que a k-lista J seja formada por elementos distintos. Seja σ ∈ Sk tal que
I = (jσ(1) , . . . , jσ(k) ) seja ascendente. Então
valor em
Caso um
Suponha
a k-lista
g(ejσ(1) , . . . , ejσ(k) ) = f (ejσ(1) , . . . , ejσ(k) ).
Mas
f (ejσ(1) , . . . , ejσ(k) ) = σf (ej1 , . . . , ejk ) = sgn(σ)f (ej1 , . . . , ejk ).
Uma similar igualdade vale para g.
Teorema 6.13 Sejam V um espa¸co vetorial com base {e1 , . . . , en } e fixemos uma k-lista ascendente I = (i1 , . . . , ik ) de inteiros do conjunto {1, . . . , n}. Dada uma outra k-lista ascendente
J = (j1 , . . . , jk ) de inteiros de {1, . . . , n}, existe um u
ńico k-tensor alternado ψI em V que
satisfaz:
0 se I 6= J,
ψI (ej1 , . . . , ejk ) =
1 se I = J.
Os tensores da forma ψI , quando I percorre todas as k-listas ascendentes de inteiros de {1, . . . , n},
forma uma base de Ak (V ) e s˜
ao chamados de k-tensores alternados elementares. Tais tensores satisfazem a f´
ormula
X
ψI =
sgn(σ)σφI .
σ∈Sk
Demonstra¸
c˜
ao. Mostremos que ψI dado pela fórmula do teorema é um k-tensor alternado. Se
τ ∈ Sk , temos
X
τ ψI =
sgn(σ)τ (σφI )
σ∈Sk
=
X
sgn(σ)(τ σ)φI
σ∈Sk
= (sgn(τ ))
X
sgn(τ σ)(τ σ)φI
σ∈Sk
= sgn(τ )ψI ,
já que a aplica¸c˜
ao σ 7→ τ σ é bijetora de Sk em Sk .
O restante da demonstra¸c˜
ao segue como no Teorema 6.4 usando-se o Lema 6.12.
Observemos que, se dim V = n, a dimensão do espa¸co Ak (V ) no caso em que 1 < k ≤ n é
n!
n
k
.
dim A (V ) =
=
k
k!(n − k)!
Finalizaremos esta se¸c˜
ao estabelecendo uma rela¸cão entre os tensores alternados em V = Rn
e o determinante de uma matriz.
6.4. EXERCÍCIOS
111
Teorema 6.14 Seja ψI um k-tensor alternado elementar em Rn correspondente a
` base canˆ
onica
n
de R , onde I = (i1 , . . . , ik ) é uma k-upla ascendente de inteiros de {1, 2, . . . , n}. Dada uma
k-upla de vetores v1 , . . . , vk em Rn , que podem ser escritos na forma
vi = (x1i , . . . , xni ),
consideramos a matriz n × k
Ent˜
ao
i = 1, . . . , k,

x11 . . . x1k

.. 
..
X =  ...
.
. 
xn1 . . . xnk

ψI (v1 , . . . , vk ) = det XI ,
onde XI é a matriz cujas linhas s˜
ao sucessivamente as linhas i1 , . . . , ik de X.
Demonstra¸
c˜
ao. Usando a defini¸c˜
ao e o Exemplo 6.5 calculamos:
ψI (v1 , . . . , vk ) =
X
(sgn σ)φI (vσ(1) , . . . , vσ(k) )
σ∈Sk
=
X
(sgn σ)xi1 ,σ(1) . . . xik ,σ(k) ,
σ∈Sk
que é justamente a express˜
ao que define o determinante da matriz XI .
Exemplo 6.15 Consideremos o espa¸co A3 (R4 ). Sejam
u = (x1 , x2 , x3 , x4 ),
v = (y1 , y2 , y3 , y4 ),
w = (z1 , z2 , z3 , z4 ).
Então


xi yi zi
ψijk (u, v, w) = det  xj yj zj  ,
xk yk zk
onde (i, j, k) = (1, 2, 3) ou (i, j, k) = (1, 2, 4) ou (i, j, k) = (1, 3, 4) ou (i, j, k) = (2, 3, 4).
6.4
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 92 Sejam V e W espa¸cos vetorias de dimens˜
ao finita sobre R e T : V → W uma
transforma¸ca
õ linear. Mostre que se f ∈ Ak (W ), ent˜
ao T ∗ f ∈ Ak (V ).
Vigésima primeira aula: segunda prova
112
6.5
Produto exterior
Vigésima segunda aula ↓
Dados dois tensores alternados f e g sobre um espa¸co vetorial real V , gostar´ıamos de
encontrar um produto entre f e g de forma que o tensor resultante também seja alternado.
Sejam f ∈ Ak (V ) e g ∈ Al (V ). Denotemos o produto tensorial f ⊗ g por h. Assim,
h : V k+l → R é um k + l-tensor, a saber
h(v1 , . . . , vk+l ) = f (v1 , . . . , vk )g(vk+1 , . . . , vk+l ).
(6.3)
Notemos que h n˜
ao necessariamente é alternada. Entretanto, ela pertence a um subespa¸co de
k+l
L (V ), formado pelos k + l-tensores que s˜
ao alternados na k primeiras vari´
aveis v1 , . . . , vk e
nas l u
´ltimas vari´
aveis vk+1 , . . . , vk+l . Denotemos espa¸co dos k + l-tensores definidos como em
(6.3) por Ak,l (V ).
Indicaremos um procedimento canˆ
onico para associar a cada elemento h ∈ Ak,l (V ) um
k+l
˜
elemento h ∈ A (V ). Mais precisamente, vamos definir uma aplica¸cão
ϕk,l : Ak,l (V ) → Ak+l (V ).
˜ onde
Dada h como em (6.3), definimos ϕ(h) = h,
X
˜=
h
sgn(σ)σh.
(6.4)
σ∈Sk,l
Aqui, Sk,l denota o subconjunto de Sk+l formado pelas permuta¸cões σ tais que
σ(1) < . . . < σ(k)
e σ(k + 1) < . . . < σ(k + l).
(6.5)
Intuitivamente uma permuta¸c˜
ao σ ∈ Sk,l é obtida da seguinte forma: considere dois ma¸cos de
cartas de um baralho, o primeiro com k cartas e o segundo com l cartas; enumere as cartas do
primeiro ma¸co de 1 até k e do segundo ma¸co de k + 1 até k + l; se embaralharmos estes dois
ma¸cos uma u
ńica vez deslizando o segundo ma¸co sobre o primeiro, as cartas se encontrar˜
ao em
uma ordem tal que a rela¸c˜
ao de ordem induzida sobre cada um dos ma¸cos iniciais continua a
mesma. Assim a a¸c˜
ao de embaralhar definiu uma permuta¸cão σ que satisfaz (6.5). Observe
ainda que o n´
umero das permuta¸c˜
oes σ ∈ Sk+l que satisfazem (6.5) é
(k + l)!
.
k!l!
˜ definida em (6.4) é um k + l-tensor alternado. SupoDevemos efetivamente mostrar que h
nhamos que v1 , . . . , vk+l seja uma k + l-upla de vetores em V tais que dois vetores consecutivos
sejam iguais, isto é, vi = vi+1 para algum 1 ≤ i < k + l. Queremos provar que
X
sgn(σ)h(vσ(1) , . . . , vσ(k+l) ) = 0.
σ∈Sk,l
Para tanto, vamos classificar as permuta¸cões σ ∈ Sk,l em duas categorias:
• considere as permuta¸c˜
oes σ ∈ Sk,l tais que σ −1 (i) e σ −1 (i+ 1) s˜
ao ambas menores ou iguais
a k ou ambas maiores ou iguais a k + 1. No primeiro caso, temos que vi e vi+1 figuram
ambos entre os primeiros k lugares na parcela sgn(σ)h(vσ(1) , . . . , vσ(k+l) ); logo, tal parcela
se anula sendo h alternada nas k-primeiras vari´
aveis. No segundo caso a parcela também
é nula por uma raz˜
ao an´
aloga.
113
6.5. PRODUTO EXTERIOR
• considere agora as permuta¸c˜
oes σ ∈ Sk,l tais que σ −1 (i) ≤ k e σ −1 (i + 1) ≥ k + 1 e as
σ ∈ Sk,l tais que σ −1 (i) ≥ k + 1 e σ −1 (i + 1) ≤ k. Seja τ a transposi¸cão elementar
que permuta i e i + 1. Se σ est´
a na primeira subcategoria, então τ σ est´
a na segunda e
reciprocamente. Assim, podmeos agrupar em dois a dois os termos restantes da defini¸c˜
ao
−1
−1
˜
de h. Por exemplo, para cada σ tal que σ (i) ≤ k e σ (i + 1) ≥ k + 1, tomaremos
sgn(σ)h(vσ(1) , . . . , vσ(k+l) ) − sgn(σ)h(vτ σ(1) , . . . , vτ σ(k+l) ),
e observamos que esta express˜
ao é nula, pois a sequência τ σ(1), . . . , τ σ(k + l) é obtida de
σ(1), . . . , σ(k + l) trocando-se i e i + 1. Como vi = vi+1 , nada se altera ao calcularmos h
nas respectivas k-uplas de vetores.
Segue que a aplica¸c˜
ao ϕk,l : Ak,l (V ) → Ak+l (V ) est´
a bem definida. Podemos então definir
o produto que nos interessa.
Defini¸
c˜
ao 6.16 Dadas f ∈ Ak (V ) e g ∈ Al (V ), o produto exterior de f com g é definido
como sendo o elemento ϕk,l (h) e denotado por f ∧ g. Em outras palavras,
X
f ∧ g(v1 , . . . , vk+l ) =
sgn(σ)f (vσ(1) , . . . , vσ(k) )g(vσ(k+1) , . . . , vσ(k+l) ).
σ∈Sk,l
Exemplo 6.17 Tomemos o caso em que k = l = 1 e sejam f, g ∈ L1 (V ). Então
f (v1 ) f (v2 )
f ∧ g(v1 , v2 ) = f (v1 )g(v2 ) − f (v2 )g(v1 ) = det
g(v1 ) g(v2 )
Observe que se v1 = v2 , ent˜
ao o lado direito da igualdade acima é nulo.
Com maior generalidade, suponhamos que k = 1 e l ≥ 1 e sejam f ∈ A1 (V ) e g ∈ Al (V ).
Então
l
X
(−1)i f (vi )g(v0 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vl ).
f ∧ g(v0 , v1 , . . . , vl ) =
i=0
Passamos agora a apresentar as principais propriedades do produto exterior.
Observemos que a aplica¸c˜
ao (f, g) 7→ f ∧ g é bilinear, o que é fácil de verificar pela pr´
opria
defini¸cão.
Proposi¸
c˜
ao 6.18 Sejam f ∈ Ak (V ) e g ∈ Al (V ). Ent˜
ao
g ∧ f = (−1)kl f ∧ g.
Demonstra¸
c˜
ao. Temos pela defini¸c˜
ao que
X
g ∧ f (v1 , . . . , vk+l ) =
sgn(τ )g(vτ (1) , . . . , vτ (l) )f (vτ (l+1) , . . . , vτ (l+k) ),
τ ∈Sl,k
Seja α ∈ Sk+l a seguinte permuta¸c˜
ao:
1
...
k
k + 1 ... k + l
α=
l + 1 ... l + k
1
...
l
114
Notemos que, para 1 ≤ i ≤ l, τ (i) = τ α(k + i), e para l + 1 ≤ j ≤ l + k, τ (j) = τ α(j − l).
Definindo τ α = σ, obtemos que, se τ ∈ Sl,k , então σ ∈ Sk,l . Reciprocamente, se σ ∈ Sk,l e
τ = σα−1 , ent˜
ao τ ∈ Sl,k . Ademais, sgn(τ ) = sgn(σ) sgn(α), e sgn(α) = (−1)kl . De fato, para
obtermos α é necessário permutar sucessivamente 1, . . . , l com l + 1, . . . , l + k, o que totaliza lk
transposi¸cões elementares. Segue que
X
g ∧ f (v1 , . . . , vk+l ) = (−1)kl
sgn(σ)g(vσ(k+1) , . . . , vσ(k+l) )f (vσ(1) , . . . , vσ(k) ).
σ∈Sk,l
Usando a comutatividade da multiplica¸cão obtemos
g ∧ f (v1 , . . . , vk+l ) = (−1)kl f ∧ g(v1 , . . . , vk+l ),
o que demonstra o resultado.
Corol´
ario 6.19 Se f ∈ Ak (V ) e k for ´ımpar, ent˜
ao f ∧ f = 0.
Nosso pr´
oximo passo ser´
a demonstrar que o produto exterior de tensores alternados é
associativo. Entretanto, necessitamos ainda de um lema preliminar.
Dados k, l, m três n´
umeros inteiros, denotaremos por Ak,l,m(V ) o subespa¸co de Lk+l+m (V )
formado pelas aplica¸c˜
oes que s˜
ao alternadas com rela¸cão às k primeiras var´
aveis, alternadas com
rela¸cão às l seguintes vari´
aveis e alternadas com rela¸cão às m u
´ltimas vari´
aveis.
Consideremos o seguinte diagrama:
Ak,l,m(V )
ϕk,l
/ Ak+l,m (V )
ϕl,m
Ak,l+m(V )
(6.6)
ϕk+l,m
ϕk,l+m
/ Ak+l+m (V ).
A aplica¸cão ϕk,l transforma um elemento u ∈ Ak,l,m(V ) em um elemento u
˜ alternado com rela¸c˜
ao
às k + l primeiras vari´
aveis (sem afetar as u
´ltimas), a saber:
X
u
˜(v1 , . . . , vk+l+m ) =
u(vσ(1) , . . . , vσ(k+l+m) ),
σ
onde o somat´
orio percorre todas as permuta¸cões σ ∈ Sk+l+m que (com um abuso de nota¸cão)
também pertencem `
a Sk,l e deixam fixos os ´ındices k + l + 1, . . . , k + l + m. Analogamante
definimos a aplica¸c˜
ao ϕl,m .
Lema 6.20 O diagrama (6.6) é comutativo, isto é,
ϕk+l,m ◦ ϕk,l = ϕk,l+m ◦ ϕl,m .
Demonstra¸
c˜
ao. Ser´
a deixada como exerc´ıcio (Exerc´ıcio 94).
Proposi¸
c˜
ao 6.21 Se f ∈ Ak (V ), g ∈ Al (V ) e h ∈ Am (V ), ent˜
ao
(f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h).
6.6. EXERCÍCIOS
115
Demonstra¸
c˜
ao. Como a multiplica¸c˜
ao por escalares é associativa, podemos definir
u(v1 , . . . , vk+l+m ) = f (v1 , . . . , vk )g(vk+1 , . . . , vk+l )h(vk+l+1 , . . . , vk+l+m ).
Segue que u ∈ Ak,l,m(V ) e
ϕk+l,m ◦ ϕk,l (u) = (f ∧ g) ∧ h,
ϕk,l+m ◦ ϕl,m (u) = f ∧ (g ∧ h).
A associatividade agora segue do Lema 6.20.
Sendo o produto exterior associativo, podemos considerar qualquer produto exterior finito
de tensores alternados f1 ∧ f2 ∧ . . . ∧ fp . No caso particular de funcionais lineares vemos que o
produto exterior est´
a intimanet ligado com o cálculo de determinantes.
Proposi¸
c˜
ao 6.22 Sejam f1 , . . . , fp ∈ A1 (V ) = L1 (V ). Ent˜
ao
f1 ∧ . . . ∧ fp (v1 , . . . , vp ) =
X
sgn(σ)f1 (vσ(1) ) . . . fp (vσ(p) ) = det(fi (vj )).
σ∈Sp
Demonstra¸
c˜
ao. Basta usar a defini¸c˜
ao de produto exterior e indu¸cão em p. Além disso, note
que a express˜
ao que surge no segundo termo da igualdade do enunciado é justamente a defini¸c˜
ao
do determinante da matriz de entradas fi (vj ).
Proposi¸
c˜
ao 6.23 Dada uma base {e1 , . . . , en } do espa¸co vetorial V , seja {φ1 , . . . , φn } sua base
dual. Se I = (i1 , . . . , ik ) for uma k-lista ascendente de inteiros de {1, . . . , n} e ψI for o tensor
alternado elementar correspondente, ent˜
ao
ψI = φi1 ∧ . . . ∧ φik .
6.6
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 93 Sejam f1 , . . . , fn ∈ L1 (V ), onde V é um espa¸co vetorial. Mostre que, para que
estes vetores sejam linearmente dependentes, é necess´
ario e suficiente que f1 ∧ . . . ∧ fn = 0.
Exerc´ıcio 94 Demonstre o Lema 6.20.
Exerc´ıcio 95 Seja V um espa¸co vetorial. Para a, b ∈ R, f ∈ Ak (V ) e g ∈ Al (V ), mostre que
(af ) ∧ (bg) = (ab)f ∧ g.
Exerc´ıcio 96 Se t : V → W for uma tranforma¸ca
õ linear e se f e g forem tensores alternados
em W , mostre que
T ∗ (f ∧ g) = T ∗ f ∧ T ∗ g.
116
Exerc´ıcio 97 Suponha que sejam dados dois subconjuntos {ω1 , . . . , ωk } e {α1 , . . . , αk } de L1 (V )
onde V é um espa¸co vetorial. Suponha ainda que os elementos deste conjunto estejam relacionados por
k
X
aij αj , i = 1, . . . , k.
ωi =
j=1
Mostre que se A = (aij )k×k , ent˜
ao
ω1 ∧ . . . ∧ ωk = (det A)α1 ∧ . . . ∧ αk .
Exerc´ıcio 98 Sejam α1 , . . . , αk , k ≤ n, elementos linearmente independentes de L1 (Rn ). Mostre
que um elemento α ∈ L1 (Rn ) satisfaz
α ∧ α1 ∧ . . . ∧ αk = 0
se, e somente se, α pertence ao subespa¸co gerado por α1 , . . . , αk . Neste caso mostre que, se
α 6= 0, ent˜
ao existe um k − 1-tensor alternado β tal que
α1 ∧ . . . ∧ αk = α ∧ β.
Vigésima terceira aula ↓
6.7
Formas diferenciais
Defini¸
c˜
ao 6.24 Se denomina uma forma diferencial de grau k ,ou uma k-forma diferencial, definida em um aberto U ⊂ Rn , uma aplica¸ca
õ
ω : U → Ak (Rn ).
Observemos que uma forma diferencial de grau 0 nada mais é que uma fun¸cão ω : U → R.
J´
a uma forma diferencial de grau 1 é uma aplica¸cão ω : U → L(Rn ).
Seja ω : U → Ak (Rn ) uma k-forma diferencial. Então podemos escrever
X
ω(x) =
aI (x)φi1 ∧ . . . ∧ φik ,
I
onde cada aI : U → R é uma fun¸c˜
ao. Diremos que ω é de classe C r se cada aI for de classe C r
em U . Como estamos mais interessados em k-formas diferenciais de classe C ∞ , para simplificar
chamaremos as k-formas diferenciais de classe C ∞ somente de k-forma diferenciais.
Utilizaremos a nota¸c˜
ao Ωk (U ) para denotar as k-formas diferenciais (de classe C ∞ ) definidas
n
no aberto U ⊂ R . Dado um elemento ω ∈ Ω(U ) e vetores ξ1 , . . . , ξk ∈ Rn , esceveremos
ω(x)(ξ1 , . . . , ξk ) =: ω(x; ξ1 , . . . , ξk ).
Notemos agora que, se α ∈ Ωk (U ) e β ∈ Ωl (U ) s˜
ao duas formas diferenciais, então para
cada x ∈ U podemos considerar o produto α(x) ∧ β(x), que é um elemento de Ωk+l (U ). Em
particular, o produto exterior de formas diferenciais possui todas as propriedades do produto
exterior de tensores alternados.
6.8. O OPERADOR DIFERENCIAL E SUAS PROPRIEDADES
117
Seja f : U → R uma fun¸c˜
ao suave e ω ∈ Ωk (U ) uma k-forma diferencial. Então o produto
f ∧ ω ser´
a denotado simplesmente por f ω, e é a forma diferencial:
(f ω)(x; ξ1 , . . . ξk ) = f (x)ω(x; ξ1 , . . . ξk ).
Consideremos o espa¸co vetorial
⊕k≥0 Ωk (U ),
que é a soma direta dos espa¸cos Ωk (U ) para todos os valores inteiros positivos de k. O produto
exterior
Ωk (U ) × Ωl (U ) → Ωk+l (U )
se estende por linearidade faz de
Ω(U ) := ⊕k≥0 Ωk (U ),
´
´
´
uma Algebra,
chamada de Algebra
graduada. Notemos que esta Algebra
é anticomutativa e
associativa.
6.8
O operador diferencial e suas propriedades
Nesta se¸cão estudaremos um operador que transforma uma k-forma diferencial em uma k + 1forma diferencial. Para construirmo este operador, iniciamos escrevendo uma k-forma diferencial
ω ∈ Ωk (U ) da seguinte maneira:
X
ω(x) =
aI (x)φi1 ∧ . . . ∧ φik .
I
Sendo ω suave, cada fun¸c˜
ao aI é suave e sua derivada DaI (x) : Rn → R é um elemento de
1
n
L (R ). Assim, a aplica¸c˜
ao derivada DaI : U → L1 (Rn ) é uma 1-forma diferencial. Definamos
ω ′ : U → L1 (Rn , Ak (Rn )), x 7→ ω ′ (x), dada por
X
ω ′ (x)(ξ0 ) =
[DaI (x) · ξ0 ]φi1 ∧ . . . ∧ φik .
I
Notemos que ω ′ (x) pode ser vista como uma fun¸cão de (Rn )k+1 em R. Além disso, ω ′ (x)
é uma fun¸cão multilinear de ξ0 , ξ1 , . . . , ξk e uma fun¸cão alternada de ξ1 , . . . , ξk . Em outras
palavras, ω ′ (x) ∈ A1,k (Rn ). Lembrando-se da defini¸cão da aplica¸cão ϕ1,k : A1,k (Rn ) → Ak+1 (Rn )
podemos definir o operador que associa ω a uma k + 1-forma.
Defini¸
c˜
ao 6.25 A diferencial exterior da k-forma ω ∈ Ωk (U ) é definida pela composta,
ϕ1,k
ω′
U → A1,k (Rn ) → Ak+1 (Rn ),
e denotada por dω. Explicitamente:
k
X
(−1)i (ω ′ (x)(ξi ))(ξ0 , . . . , ξî , . . . , ξk ),
dω(x; ξ0 , ξ1 , . . . , ξk ) :=
i=0
onde usamos a nota¸ca
õ (ξ0 , . . . , ξî , . . . , ξk ) significando que o vetor ξi foi suprimido da k-upla
(ξ0 , . . . , ξi , . . . , ξk ).
118
Exemplo 6.26 Seja f : U → R de classe C ∞ com U ⊂ Rn um aberto. Logo f ∈ Ω0 (U ) e
df (x; ξ) = Df (x) · ξ, para qualquer ξ ∈ Rn .
Exemplo 6.27 Seja ω ∈ Ω1 (U ) com U ⊂ Rn um aberto. Ent˜
ao temos
dω(x; ξ1 , ξ2 ) = (ω ′ (x)(ξ1 )) · ξ2 − (ω ′ (x)(ξ2 )) · ξ1 .
O pr´
oximo resultado segue do Exemplo 6.27.
Proposi¸
c˜
ao 6.28 Seja ω ∈ Ω1 (U ), com U ⊂ Rn um aberto. Ent˜
ao dω = 0 se, e somente se, a
aplica¸ca
õ bilinear
(ξ1 , ξ2 ) 7→ (ω ′ (x)(ξ1 )) · ξ2
é simétrica para todo x ∈ U .
Proposi¸
c˜
ao 6.29 Sejam U ⊂ Rn um aberto, f : U → R de classe C ∞ e ω ∈ Ωk (U ). Ent˜
ao
d(f ω) = (df ) ∧ ω + f dω.
Demonstra¸
c˜
ao. Usando a regra do produto para deriva¸cão temos que
(f ω)′ (x)(ξ) = (Df (x) · ξ)ω(x) + f (x)(ω ′ (x)(ξ)).
Por linearidade temos ent˜
ao que
d(f ω)(x; ξ0 , ξ1 , . . . , ξk ) =
k
X
(−1)i (Df (x) · ξi )ω(ξ0 , . . . , ξî , . . . , ξk )
i=1
k
X
(−1)i f (x)(ω ′ (x)(ξi ))(ξ0 , . . . , ξî , . . . , ξk )
+
i=1
= (df ) ∧ ω(ξ0 , . . . , ξk ) + f dω(ξ0 , . . . , ξk ).
Isto demonstra a primeira propriedade do operador diferencial.
Vigésima quarta aula ↓
Para continuarmos com as propriedades do operador diferencial, vamos estabelecer algumas
nota¸cões.
Seja φi ∈ L1 (Rn ) a i-ésima fun¸c˜
ao coordenada e denotemos por xi a restri¸cão de φi a um
aberto U ⊂ Rn . Segue que a diferencial de xi conincide com a diferencial de φi . O seguinte lema
segue então da linearidade de φi .
Lema 6.30 A diferencial dxi da fun¸ca
õ xi é a aplica¸ca
õ constante U → L1 (Rn ) cujo valor é o
1
n
elemento φi ∈ L (R ).
Com esta nota¸c˜
ao, podemos escrever uma k-forma diferencial de uma maneira canˆ
onica.
119
6.8. O OPERADOR DIFERENCIAL E SUAS PROPRIEDADES
Proposi¸
c˜
ao 6.31 Sejam U ⊂ Rn um aberto e ω ∈ Ωk (U ). Ent˜
ao ω se escreve de uma maneira
u
ńica
X
ω(x) =
aI (x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ,
I
onde o somat´
orio percorre todos as k-listas ascendentes I = (i1 , . . . , ik ) do conjunto {1, 2, . . . , n}
e as fun¸co
˜es coeficientes aI s˜
ao de classe C ∞ em U .
Um caso particular simples da nota¸cão canˆ
onica é apresentado no pr´
oximo resultado.
Proposi¸
c˜
ao 6.32 Sejam U ⊂ Rn um aberto e f : U → R uma fun¸ca
õ de classe C ∞ . Ent˜
ao
n
X
∂f
dxi .
df =
∂xi
i=1
Demonstra¸
c˜
ao. Lembremos que df : U → L1 (Rn ) é precisamente a derivada Df . Mas
n
X
∂f
Df (x) · ξ =
ξi ,
∂xi
onde ξ = (ξ1 , . . . , ξn ).
i=1
Assim,
n
n
X
X
∂f
∂f
ξi =
dxi (ξ),
df (x; ξ) =
∂xi
∂xi
i=1
gra¸cas ao Lema 6.30.
i=1
Exemplo 6.33 Em R3 a nota¸c˜
ao canˆ
onica para uma 1-forma diferencial é
ω = P dx + Qdy + Rdz,
onde P , Q e R s˜
ao fun¸c˜
oes suaves de três vari´
aveis. Assim, temos que
dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + dR ∧ dz,
fórmula esta que ainda pode ser escrita, utilizando a Proposi¸cão 6.32, como
dω =
∂R
∂y
−
∂P
∂Q ∂P ∂Q ∂R dy ∧ dz +
dz ∧ dx +
dx ∧ dy.
−
−
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Proposi¸
c˜
ao 6.34 Sejam α ∈ Ωk (U ) e β ∈ Ωl (U ). Ent˜
ao:
d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)k α ∧ dβ.
(6.7)
Demonstra¸
c˜
ao. Como ambos os lados de (6.7) s˜
ao lineares em α e β, é suficiente provar a
igualdade quando α = f dxi1 ∧ . . . ∧ dxik e β = gdxj1 ∧ . . . ∧ dxjl . Lembremo-nos do Exerc´ıcio
95 quem implica no seguinte:
α ∧ β = f gdxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjl
120
Dessa forma temos:
d(α ∧ β) = d(f gdxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjl )
n
X
∂(f g)
dxi ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjl
=
∂xi
i=1
n
X
∂f
=
gdxi ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjl
∂xi
(6.8)
i=1
n
X
∂g
f dxi ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjl .
+
∂xi
i=1
Sendo g uma 0-forma, utilizando a Proposi¸cão 6.18 obtemos que
n
X
∂f
gdxi ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjl
∂xi
i=1
n
X
∂f
dxi ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ (gdxj1 ∧ . . . ∧ dxjl )
=
∂xi
(6.9)
i=1
= dα ∧ β.
Por outro lado, na segunda soma de (6.8), movendo k posi¸cões à direita o termo
dxi1 ∧ . . . ∧ dxik resulta da Proposi¸c˜
ao 6.18 que
∂g
∂xi dxi
n
X
∂g
f dxi ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjl
∂xi
por
i=1
n
X
∂g
= (−1) f dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧
dxi ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjl
∂xi
k
(6.10)
i=1
k
= (−1) α ∧ dβ
O resultado segue ao substituirmos (6.9) e (6.10) em (6.8).
O pr´
oximo resultado é fundamental no estudo das formas diferenciais e nos diz que o
operador diferencial satisfaz d2 = 0.
Proposi¸
c˜
ao 6.35 Sejam U ⊂ Rn um aberto e ω ∈ Ωk (U ). Ent˜
ao
d(dω) = 0.
Demonstra¸
c˜
ao. Utilizando novamente a linearidade do operador d é suficiente provar o fato
para o caso em que ω = f dxi1 ∧ . . . ∧ dxik . Calculando temos
n
X
∂f
dxi ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
d d(f dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ) = d
∂xi
i=1
n
n X
X
∂2f
dxj ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
=
∂xj ∂xi
i=1 j=1
X ∂2f
∂2f
dxi ∧ dxj +
dxj ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
=
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
i<j
˜
´
6.9. CONEXOES
COM CALCULO
EM R3
121
Aqui usamos que dxi ∧ dxi = 0. Sendo f suave, podemos usar o Teorema de Clairaut-Schwarz
e o fato que dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi para concluir a demonstra¸cão.
Defini¸
c˜
ao 6.36 Seja U ⊂ Rn um aberto. Uma k-forma diferencial ω é chamada fechada se
dω = 0 e é chamada exata se existe uma (k − 1)-forma diferencial τ tal que ω = dτ .
Pela Proposi¸c˜
ao 6.35 toda forma diferencial exata é fechada.
Exemplo 6.37 Defina em R2 \ {0} uma 1-forma ω por
ω=
x2
1
(−ydx + xdy).
+ y2
Então ω é fechada.
Para qualquer subconjunto aberto U ⊂ Rn , o operador diferencial define uma sequência da
forma
d
d
d
Ω0 (U ) → Ω1 (U ) → Ω2 (U ) → . . . .,
na qual as formas fechadas s˜
ao precisamente os elementos do n´
ucleo de d e as formas exatas s˜
ao
os elementos da imagem de d. Esta sequência é chamada de complexo de de Rham de U .
6.9
Conex˜
oes com C´
alculo em R3
Nesta se¸cão daremos uma ideia de como a teoria de formas diferenciais pode ser utilizada para
unificar os teoremas em C´
alculo Vetorial em R3 .
Fixado um aberto U ⊂ R3 , denotemos por X(U ) o conjunto dos campos vetoriais em U , isto
é, das fun¸cões em U de classe C ∞ que assumem valores em R3 . Assim, um campo F : U → R3
pode ser escrito na forma
F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).
Definimos o rotacional de um campo F ∈ X(U ) por
∂R ∂Q ∂R ∂P ∂Q ∂P .
−
,−
+
,
−
rot F = rot(P, Q, R) =
∂y
∂z
∂x
∂z ∂x
∂y
O divergente de um campo F ∈ X(U ) é dado por
div F = div(P, Q, R) =
∂P
∂Q ∂R
+
+
.
∂x
∂y
∂z
Lembremos ainda que, dada f ∈ C ∞ (U ), definimos seu gradiente por
∂f ∂f ∂f ,
∇f =
,
,
∂x ∂y ∂z
que é um elemento de X(U ).
Com isso obtemos uma sequência
∇
rot
div
C ∞ (U ) −→ X(U ) −→ X(U ) −→ C ∞ (U ).
Recordemos ainda de três fatos importantes.
122
Proposi¸
c˜
ao 6.38 Se f ∈ C ∞ (U ) ent˜
ao rot(∇f ) = (0, 0, 0).
Proposi¸
c˜
ao 6.39 Se F = (P, Q, R) ∈ X(U ) ent˜
ao div(rot(P, Q, R)) = 0.
Proposi¸
c˜
ao 6.40 Se U = R3 , ent˜
ao um campo F ∈ X(U ) é o gradiente de alguma fun¸ca
õ
escalar f se, e somente se, rot F = 0.
Como toda 1-forma em U ⊂ R3 é uma combina¸cão linear como fun¸cões coeficientes de dx,
dy e dz, podemos identificar 1-formas com campos vetoriais em U via
P dx + Qdy + Rdz ←→ (P, Q, R).
Similarmente, as 2-formas diferenciais em U ⊂ R3 podem ser identificadas com campos de
vetores em U da forma
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy ←→ (P, Q, R).
Em termos destas identifica¸c˜
oes, temos que a diferencial de uma 0-forma f ∈ C ∞ (U ) é
∂f ∂f ∂f ∂f
∂f
∂f
= ∇f.
dx +
dy +
dz ←→
,
,
df =
∂x
∂y
∂z
∂x ∂y ∂z
J´
a a diferencial de uma 1-forma é
∂P
∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂R dy ∧ dz +
dz ∧ dx +
dx ∧ dy,
−
−
−
d(P dx + Qdy + Rdz) =
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
que corresponde a
rot(P, Q, R).
Um cálculo simples mostra ainda que a diferencial de uma 2-forma geral é
∂P
∂Q ∂R d(P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy) =
dx ∧ dy ∧ dz,
+
+
∂x
∂y
∂z
que corresponde a
∂Q ∂R
∂P
+
+
.
∂x
∂y
∂z
Assim, ap´
os todas estas apropriadas identifica¸cões, o operador diferencial d de 0-formas, 1-formas
e 2-formas s˜
ao simplesmente os três operadores gradiente, rotacional e divergente. Em resumo,
em um subconjunto aberto U ⊂ R3 temos as identifica¸cões
div(P, Q, R) =
Ω0 (U )
d
∼
=
C ∞ (U )
∇
/ Ω1 (U )
d
∼
=
/ X(U )
rot
/ Ω2 (U )
d
∼
=
/ X(U )
div
/ Ω3 (U )
∼
=
/ C ∞ (U ).
As Proposi¸c˜
oes 6.38 e 6.39 expressam o fato que d2 = 0.
Um campo vetorial em U = R3 é o gradiente de uma fun¸cão escalar f de classe C ∞ se, e
somente se, a 1-forma correspondente P dx + Qdy + Rdz é df . Assim, a Proposi¸cão 6.40 expressa
o fato que uma 1-forma em R3 é exata se, e somente se, é fechada.
A Proposi¸c˜
ao 6.40 n˜
ao é necessariamente verdade em outros abertos diferentes de R3 , como
mostra o pr´
oximo exemplo, que é conhecido de todos e encontrado nos livros de C´
alculo Vetorial.
˜ DE UMA APLICAC
˜ DIFERENCIAVEL
´
6.10. A AC
¸ AO
¸ AO
123
Exemplo 6.41 Sejam U = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 6= 0} e F ∈ X(U ) dada por
F (x, y, z) =
x
−y
,
,
0
.
x2 + y 2 x2 + y 2
Então rot F = (0, 0, 0) mas F n˜
ao é gradiente de nenhuma fun¸cão escalar em U . A raz˜
ao é que
se F fosse o gradiente de uma fun¸c˜
ao de classe C ∞ em U , então pelo Teorema Fundamental
para integrais de linha ter´ıamos que a integral
Z
−y
x
dx + 2
dy
2
2
x + y2
C x +y
sobre qualquer curva fechada C deveria ser zero. Entretanto, se C é o c´ırculo unit´
ario com
x = cos t e y = sen t, 0 ≤ t ≤ 2π, temos que
Z 2π
Z
x
−y
− sen t cos t + cos t sen tdt = 2π.
dx
+
dy
=
2
2
x2 + y 2
0
C x +y
O fato da Proposi¸c˜
ao 6.40 ser verdadeira ou n˜
ao em um aberto U depende essencialembte
de sua topologia. Assim, se torna importante estudar o quociente
H k (U ) :=
{k-formas fechadas em U }
,
{k-formas exatas em U }
que é chamado k-ésima cohomologia de de Rham de U .
A generaliza¸c˜
ao da Proposi¸c˜
ao 6.40 para qualquer forma diferencial em Rn é chamado de
Lema de Poincaré: para k ≥ 1, toda k-forma fechada em Rn é exata. Claramente este fato é
equivalente ao anulamento da k-ésima cohomologia de de Rham H k (Rn ) para k ≥ 1.
Vigésima quinta aula ↓
6.10
A a¸
c˜
ao de uma aplica¸c˜
ao diferenci´
avel
Sejam U ⊂ Rn um aberto e ω ∈ Ωk (U ). Suponhamos dada uma aplica¸cão f : V → U de classe
C ∞ , onde V ⊂ Rm é um aberto. Ent˜
ao f e ω induzem uma k-forma diferencial em V , denotada
por f ∗ ω, definida da seguinte maneira:
f ∗ ω(x; v1 , . . . , vk ) := ω(f (x); Df (x) · v1 , . . . , Df (x) · vk ),
v1 , . . . , vk ∈ Rm .
Convencionaremos que, se g for uma 0-forma, então
f ∗ g := g ◦ f.
Passamos a apresentar algumas propriedades de f ∗ .
Proposi¸
c˜
ao 6.42 Sejam U ⊂ Rn , V ⊂ Rm abertos, f : V → U de classe C ∞ , ω, η ∈ Ωk (U ) e
0
g ∈ Ω (U ). Ent˜
ao:
a) f ∗ (ω + η) = f ∗ ω + f ∗ η;
124
b) f ∗ (gω) = f ∗ gf ∗ ω;
c) se ω1 , . . . , ωk ∈ Ω1 (U ), ent˜
ao
f ∗ (ω1 ∧ . . . ∧ ωk ) = f ∗ ω1 ∧ . . . ∧ f ∗ ωk .
Demonstra¸
c˜
ao. Sejam x ∈ V e v1 , . . . , vk ∈ Rm . Então
f ∗ (ω + η)(x; v1 , . . . , vk ) = (ω + η)(f (x); Df (x) · v1 , . . . , Df (x) · vk )
= f ∗ ω(x; v1 , . . . , vk ) + f ∗ η(x; v1 , . . . , vk )
= (f ∗ ω + f ∗ η)(x; v1 , . . . , vk ),
o que prova o item a). No caso do item b) temos:
f ∗ (gω)(x; v1 , . . . , vk ) = (gω)(f (x); Df (x) · v1 , . . . , Df (x) · vk )
= (g ◦ f )(x)f ∗ ω(x; v1 , . . . , vk )
= f ∗ g(x)f ∗ (x; v1 , . . . , vk ).
Para o item c) calculamos:
f ∗ (ω1 ∧ . . . ∧ ωk )(x; v1 , . . . , vk ) = (ω1 ∧ . . . ∧ ωk )(f (x); Df (x) · v1 , . . . , Df (x) · vk )
= det(ωi (f (x); Df (x) · vj ))
= det(f ∗ ωi (x; vj ))
= f ∗ ω1 ∧ . . . ∧ f ∗ ωk (x; v1 , . . . , vk ),
finalizando a demonstra¸c˜
ao.
Denotemos por (x1 , . . . , xm ) um ponto de Rm e por (y1 , . . . , yn ) um ponto de Rn . Ent˜
ao
uma aplica¸cão f : V ⊂ Rm → Rn pode ser escrita com as coordenadas como
y1 = f1 (x1 , . . . , xm ), . . . , yn = fn (x1 , . . . , xm ).
P
Seja agora ω = I aI dyi1 ∧ . . . ∧ dyik uma k-forma em Rn . Com as propriedades de f ∗ que
demonstramos temos que
X
f ∗ω =
(aI ◦ f )f ∗ dyi1 ∧ . . . ∧ f ∗ dyik .
I
Se v ∈ Rm , temos que
f ∗ dyi (x; v) = dyi (Df (x) · v) = D(yi ◦ f )(x) · v = Dfi (x) · v.
Assim,
f ∗ω =
X
(aI ◦ f )dfi1 ∧ . . . ∧ dfik .
I
Exemplo 6.43 Seja ω a 1-forma em R2 \ {(0, 0)} dada por
ω=
x
−y
dx + 2
dy.
x2 + y 2
x + y2
6.11. EXERCÍCIOS
125
Definamos
e seja f : N → R2 dada por
V = {(r, θ) | r > 0, 0 < θ < 2π}
f (r, θ) = (r cos θ, r sen θ).
Como
dx = cos θdr − r sen θdθ
e dy = sen θdr + r cos θdθ,
temos que
f ∗ω =
−r sen θ
r cos θ
(cos θdr − r sen θdθ) +
(sen θdr + r cos θdθ) = dθ.
r2
r2
Proposi¸
c˜
ao 6.44 Sejam U ⊂ Rn , V ⊂ Rm abertos, f : V → U de classe C ∞ . Ent˜
ao:
a) f ∗ (ω ∧ η) = f ∗ ω ∧ f ∗ η para quaisquer duas forma em U ;
b) (f ◦ g)∗ ω = g ∗ (f ∗ ω), onde g : W ⊂ Rl → Rm é de classe C ∞ com g(W ) ⊂ V .
Demonstra¸
c˜
ao. Ficar´
a para os exerc´ıcios.
6.11
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 99 Seja f : U ⊂ Rm → Rn uma aplica¸ca
õ de classe C ∞ . Assuma que m < n e que
n
ω seja uma k-forma em R com k > m. Mostre que f ∗ ω = 0.
Exerc´ıcio 100 Seja ω a 2-forma em R2n dada por
ω = dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4 + . . . + dx2n−1 ∧ dx2n .
Calcule o produto exterior de n c´
opias de ω.
Exerc´ıcio 101 Sejam U = Rn \ {0} e m um inteiro positivo fixado. Considere a seguinte
n − 1-forma em U :
n
X
ci ∧ . . . dxn ,
(−1)i−1 fi dx1 ∧ . . . ∧ dx
η=
i=1
ci siginifica que o fator dxi est´
onde fi (x) = xi /kxk e o s´ımbolo dx
a omitido.
a) Calcule dη.
b) Para quais valores de m temos que dη = 0?
Exerc´ıcio 102 Sejam f : Rn → Rn uma aplica¸ca
õ de classe C ∞ dada por
f (x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn )
e ω = dy1 ∧ . . . ∧ dyn . Mostre que
f ∗ ω = det(Df )dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
126
Exerc´ıcio 103 Seja ν a n-forma em Rn dada por
ν(e1 , . . . , en ) = 1,
onde {e1 , . . . , en } é a base canˆ
onica de Rn .
P
a) Mostre que se vi = nj=1 aij ej ent˜
ao
ν(v1 , . . . , vn ) = det(aij ).
Observe que, no caso n = 3, ent˜
ao ν(v1 , v2 , v3 ) é justamente o produto misto destes três
vetores, ou seja, ν(v1 , v2 , v3 ) = vol(v1 , v2 , v3 ). Por este fato, ν é chamada de elemento
de volume em Rm .
b) Mostre que ν = dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
Exerc´ıcio 104 Considere a forma diferencial
ω = adx + bdy + cdz,
onde as fun¸co
˜es a, b, c : R3 → R s˜
ao homogêneas de grau k e de maneira que dω = 0. Mostre
que ω = df , onde
xa + yb + zc
.
f=
k+1
Sugest˜
ao: note que se dω = 0, ent˜
ao
∂b
∂a
=
,
∂x
∂y
∂c
∂a
=
,
∂x
∂z
∂b
∂c
=
,
∂z
∂y
e a´ı aplique a F´
ormula de Euler (Exerc´ıcio 18).
Exerc´ıcio 105 Considere a forma diferencial
α = ady ∧ dz + bdz ∧ dx + cdx ∧ dy,
onde as fun¸co
˜es a, b, c : R3 → R s˜
ao homogêneas de grau k e de maneira que dα = 0. Mostre
que α = dγ, onde
(zb − yc)dx + (xc − za)dy + (ya − xb)dz
.
γ=
k+2
Exerc´ıcio 106 Demonstre a Proposi¸ca
õ 6.44.
Exerc´ıcio 107 Seja α a 1-forma diferencial em R3 dada por
α = ydx − xdy + dz.
a) Que condi¸co
˜es devem satisfazer as fun¸co
˜es u, v : R3 → R, ambas de classe C ∞ , para que a
forma diferencial α − vdu seja fechada? Mostre que u e v s˜
ao independentes de z.
´ poss´ıvel tomar v = V (x, y) arbitr´
b) E
aria?
c) Demonstrar que se u e v satisfazem as condi¸co
˜es do item a), ent˜
ao as três formas diferenciais du, dv e α − vdu s˜
ao linearmente independentes em cada ponto.
6.11. EXERCÍCIOS
127
Exerc´ıcio 108 Seja
ω = ady ∧ dz + bdz ∧ dx + cdx ∧ dy
uma forma diferencial em R3 e P0 ∈ R3 um ponto no qual ω n˜
ao se anula. Seja f uma fun¸ca
õ
definida em uma vizinhan¸ca de P0 de classe C ∞ .
a) Mostre que ω se escreve em uma vizinhan¸ca de P0 na forma α ∧ df , sendo α uma 1-forma
em uma vizinhan¸ca de P0 , se , e somente se, df n˜
ao se anula em P0 e f satisfaz uma certa
equa¸ca
õ diferencial parcial que dever´
a ser determinada.
b) Seja α = λdx + µdy + νdz. Expresse λ, µ e ν em termos de a, b, c,
que α ∧ df = ω.
∂f ∂f
∂x , ∂y
e
∂f
∂z
de forma
Exerc´ıcio 109 Seja f uma fun¸ca
õ de classe C ∞ em uma vizinhan¸ca aberta de um ponto x0 ∈
∂f
(x) e seja ϕ(x) := (u1 (x), . . . , un (x)).
Rn com valores em R. Defina ui (x) := ∂x
i
Sob quais condi¸co
˜es existe uma vizinhan¸a aberta V de x0 tal que ϕ seja um difeomorfismo
de V sobre ϕ(V )?
Suponhemos que esta condi¸co
˜es seja satisfeita e escrevamos x = ϕ−1 (u), onde u ∈ ϕ(V ).
Demonstre que a forma diferencial
n
X
xi dui
ω=
i=1
é fechada. Deduza que existe, em uma vizinhan¸ca V de u0 = ϕ(x0 ), uma fun¸ca
õ g de classe C ∞
∂g
tal que xi = ∂ui .
Demonstre ainda que se f é uma fun¸ca
õ homogênea de grau p 6= 1, ent˜
ao tem-se que, em
ϕ−1 ,
g ◦ ϕ = (p − 1)f + k,
para alguma constante k, e demosntre que g pode ser tomada homogênea de grau p/(p − 1).
128
Cap´ıtulo 7
Voltando `
as variedades
Neste cap´ıtulo apresentaremos mais resultados sobre variedades diferenci´
aveis. Nosso objetivo é
generalizar para variedades os resultados sobre as formas diferenciais e também estudar integrais
de formas diferenciais em variedades. Iniciamos com uma defini¸cão mais refinada de espa¸co
tangente que ser´
a também u
´til em estudos mais avan¸cados. Após isso, daremos a defini¸cão de
variedades com bordo e de variedades orientáveis.
Espa¸
co tangente a um ponto em Rn
7.1
Continua¸caõ da vigésima quinta aula ↓
Iniciamos com a defini¸c˜
ao de espa¸co tangente a Rn em um ponto.
Defini¸
c˜
ao 7.1 Seja p ∈ Rn um ponto fixado. O espa¸co tangente a Rn em p é o conjunto dos
vetores v − p ∈ Rn , isto é, a transla¸ca
õ da origem de Rn para p. O espa¸co tangente a Rn em
n
´ comum também denotarmos um elemento v − p de Tp Rn por (p, v).
p é denotado por Tp R . E
Assim,
Tp Rn = {(p, v) | v ∈ Rn }.
Identificamos o espa¸co tangente Tp Rn com Rn via a aplica¸cão J : Tp Rn → Rn dada por
J(p, v) = v. Via este isomorfismo, Tp Rn é um espa¸co vetorial.
Seja U ⊂ Rn um aberto e f : U → Rm de classe C 1 . Fixemos p ∈ U e definamos q = f (p).
J´
a definimos a aplica¸c˜
ao derivada Df (p) : Rn → Rm . Definimos a aplica¸cão dfp : Tp Rn → Tq Rm
de acordo com o seguinte diagrama:
Tp Rn
dfp
∼
=
Rn
/ Tq Rm
O
∼
=
Df (p)
/ Rm .
Assim,
dfp (p, v) = J −1 ◦ Df (p) ◦ J(p, v) = J −1 (Df (p)(v)) = (q, Df (p) · v).
Seja {e1 , . . . , en } uma base de Rn . Definamos vi := (p, ei ) ∈ Tp ∈ Rn , i = 1, . . . , n. Ent˜
ao
{v1 , . . . , vn } é uma base de Tp Rn . Notemos que, se U ⊂ Rn é um aberto e f ∈ C 1 (U ), então
dfp (vi ) ∼
= Df (p) · ei =
129
∂f
(p).
∂xi
` VARIEDADES
CAPÍTULO 7. VOLTANDO AS
130
Em particular, sendo xi : U → R a i-ésima fun¸cão coordenada, temos
∂xi
0 se i 6= j,
(dxi )p (vj ) =
1 se i = j.
∂xj
Logo, {(dx1 )p , . . . , (dxn )p } é uma base de Tp∗ Rn := (Tp Rn )∗ . Observemos que, se f ∈ C 1 (U ),
então,
n
X
∂f
∂f
∂f
(p) =
(p)(dxj )p (vj ) =
(p)(dxi )p (vj ).
dfp (vj ) =
∂xj
∂xj
∂xi
i=1
Segue que
n
X
∂f
df =
dxi .
∂xi
i=1
Com isso, a aplica¸c˜
ao df nada mais é que a diferencial de f vista como uma 0-forma.
Observa¸
c˜
ao 7.2 Dada ω ∈ Ak (Rn ), temos que, via a identifica¸ca
õ de Rn com Tp Rn , ω define
um k-tensor alternado ω ∈ Ak (Tp Rn ), a qual é dada por
ω (p, v1 ), . . . , (p, vk ) := ω(v1 , . . . , vk ).
Doravante, identificaremos ω e ω.
7.2
Espa¸
co tangente a um ponto em uma variedade
Seja M uma subvariedade (regular) de dimensão n de Rn+k e p ∈ M . Lembremos que um vetor
v ∈ Rn+k é tangente a M em p se existe uma curva γ : [−δ, δ] → M tal que γ(0) = p e γ ′ (0) = v.
Note que o vetor γ ′ (0) est´
a bem definido desde que podemos olhar γ(t) como uma curva em
Rn+k . O espa¸co de vetores tangentes a M em p ∈ M é um subespa¸co vetorial de Rn+k de
dimensão n e é referido como o espa¸co tangente a M em p. Denotamos este espa¸co por Tp M .
Por analogia, vamos construir o espa¸co tangente a um ponto em uma variedade abstrata.
O problema aqui é, dada uma curva em M , a derivada desta curva n˜
ao necessariamente est´
a
n+k
contido em algum espa¸co R
.
Defini¸
c˜
avel de dimens˜
ao n e p ∈ M . Definimos o
conjunto T˜p M como sendo o conjunto das classes de equivalência de curvas γ : I → M , com
0 ∈ I e γ(0) = p, segundo a seguinte rela¸ca
õ de equivalência: γ ∼ α se, e somente se, em um
sistema de vizinhan¸ca coordenada (Ω, ϕ) de p, (ϕ ◦ γ)′ (0) = (ϕ ◦ α)′ (0).
´ poss´ıvel verificar que as classes de equivalência da Defini¸cão 7.3 n˜
E
ao depende da vizinhan¸ca
coordenada. O conjunto T˜p M possui uma estrutura natural de espa¸co vetorial de dimensão n
que vem da estrutura de espa¸co tangente a Rn em ϕ(p) através da vizinhan¸ca coordenada (Ω, ϕ).
Esta estrutura também n˜
ao depende da escolha da vizinha¸ca coordenada, já que as mudan¸cas
de coordenadas s˜
ao difeomorfismos.
Defini¸
c˜
avel de dimens˜
ao n e p ∈ M . Consideremos o
espa¸co vetorial Fp das fun¸co
˜es f : M → R que s˜
ao diferenci´
aveis em p e seja Np o subconjunto
de Fp consistindo das fun¸co
˜es f tais que
D(f ◦ ϕ−1 )(ϕ(p)) = 0
7.2. ESPAC
¸ O TANGENTE A UM PONTO EM UMA VARIEDADE
131
para toda vizinhan¸ca coordenada (Ω, ϕ) de p. Dizemos que X é um vetor tangente a M em
p se X é um funcional linear X : Fp → R que se anula em Np . O espa¸
co tangente Tp M é o
conjunto dos vetores tangentes a M em p.
Observa¸
c˜
ao 7.5 Sejam f, g : M → R com f, g ∈ Fp e X ∈ Tp M , com p ∈ M fixado. Então
X(f g) = f (p)X(g) + g(p)X(f ).
Provemos este fato. Temos
X(f g) = X (f − f (p) + f (p))(g − g(p) + g(p))
= X (f − f (p))(g − g(p)) + f (p)X(g) + g(p)X(f ),
pois uma fun¸c˜
ao constante pertence a Np . Por outro lado, se a e b se anulam em p, então
D((ab) ◦ ϕ−1 )(ϕ(p)) = D((a ◦ ϕ−1 )(b ◦ ϕ−1 ))(ϕ(p)).
Segue que X (f − f (p))(g − g(p)) = 0, pois f − f (p) e g − g(p) se anulam em p.
Vigésima sexta aula ↓
Com a soma e produto de funcionais lineares o espa¸co Tp M é naturalmente um espa¸co
vetorial. Vamos exibir uma base para este espa¸co. Dada uma vizinhan¸ca coordenada (Ω, ϕ),
∂
denotemos por (x1 , . . . , xn ) as coordenadas neste sistema. Definimos o vetor ∂x
(p) por
i
∂(f ◦ ϕ−1 )
∂
(p)(f ) :=
(ϕ(p)).
∂xi
∂xi
Notemos que
∂(xj ◦ ϕ−1 )
∂
(p)(xj ) =
(ϕ(p)) = δij
∂xi
∂xi
(δ de Kronecker).
∂
(p)}, i = 1, . . . , n, é um conjunto linearmente independente. Vamos
Segue que os vetores { ∂x
i
verificar que, para qualquer X ∈ Tp M , existem escalares X i , i = 1, . . . , n, tais que
X=
n
X
Xi
∂
(p).
∂xi
Xi
∂
(p)(f ).
∂xi
i=1
Seja f ∈ Fp . Vamos verificar que
X(f ) =
n
X
i=1
Consideremos a fun¸c˜
ao
f−
com αi =
∂
∂xi (p)(f )
∈
Rn .
Note que f −
X(f ) =
n
X
i=1
e escolhemos
Xi
Pn
n
X
αi xi ,
i=1
i=1 αi xi
αi X(xi ) =
∈ Np . Segue que
n
X
∂
(p)(f )X(xi ),
∂xi
i=1
= X(xi ).
Podemos agora demonstrar que T˜p M e Tp M s˜
ao essencialmente iguais.
` VARIEDADES
132
Proposi¸
c˜
avel e p ∈ M . Os espa¸cos T˜p M e Tp M s˜
ao
isomorfos.
Demonstra¸
c˜
ao. Definamos a aplica¸cão Ψ : T˜p M → Tp M da seguinte maneira: se γ é um
ao Ψ(γ) = X, onde
elemento na classe γ ∈ T˜p M , ent˜
X(f ) :=
∂(f ◦ γ)
(0).
∂t
Observemos que esta defini¸c˜
ao faz sentido, pois se γ ∼ α, então
∂(f ◦ α)
∂(f ◦ γ)
(0) =
(0),
∂t
∂t
pois, neste caso,
(f ◦ γ)′ = (f ◦ ϕ−1 ◦ ϕ ◦ γ)′ = (f ◦ ϕ−1 )′ ◦ (ϕ ◦ γ)′
e, por defini¸c˜
ao, (ϕ ◦ γ)′ (0) = (ϕ ◦ α)′ (0). Notemos que X ∈ Tp M . De fato, que Xé linear é um
fato óbvio; e também, se f ∈ Np , ent˜
ao ∂(f∂t◦γ) (0) = 0, já que D(f ◦ ϕ−1 )(ϕ(p)) = 0.
Verifiquemos que Ψ é bijetora.
Seja X ∈ Tp M com
X=
n
X
i=1
Xi
∂
(p).
∂xi
Seja γ : [−δ, δ] → M dada por γ(t) = pt ∈ M , onde ϕ(pt ) = (tX 1 , . . . , tX n ), onde estamos
supondo ϕ(p) = 0. Ent˜
ao:
n
X ∂(f ◦ ϕ−1 ) ∂(tX i )
∂(f ◦ γ)
(0) =
= X(f ).
∂t
∂xi
∂t
i=1
Segue que Ψ é sobrejetora. Além disso, se γ n˜
ao é equivalente a α, então (ϕ ◦ γ)′ (0) 6= (ϕ ◦ α)′ (0)
e é poss´ıvel exibir uma fun¸c˜
ao f tal que
(f ◦ γ)′ (0) 6= (f ◦ α)′ (0).
Segue que Ψ é também injetora. Logo Ψ é um isomorfismo.
Agora definimos o fibrado tangente de uma variedade.
Defini¸
c˜
ao 7.7 Seja M uma variedade de dimens˜
ao n. O fibrado tangente de M , denotado
por T M , é a uni˜
ao disjunta dos espa¸cos tangentes Tp M a M em p, para todo p ∈ M , isto é,
[
TM =
Tp M.
p∈M
Seja U uma estrutura diferenci´
avel em M (dim M = n) e (Ω, ϕ) um sistema de vizinhan¸cas
coordenadas de U . Definimos
[
Φ:
Tp M → ϕ(Ω) × Rn
p∈Ω
por
Φ(p, X) := (x1 , . . . , xn , X 1 , . . . , X n ),
133
7.3. FORMAS DIFERENCIAIS EM VARIEDADES
onde p ∈ Ω e X ∈ Tp M , sendo que ϕ(p) = (x1 , . . . , xn ) e X 1 , . . . , X n s˜
ao os coeficientes de
X na base natural de Tp M . Os pares da forma (∪p∈Ω Tp M, Φ), com (Ω, ϕ) em U formam uma
estrutura diferenci´
avel para T M , o qual se torna uma variedade diferenci´
avel de dimensão 2n.
A proje¸c˜
ao canˆ
onica de T M e M é a aplica¸cão π : T M → M que associa a cada X ∈ T M ,
temos que X ∈ Tp M para algum p ∈ M e π(X) := p. Temos que π é uma submers˜
ao.
7.3
Formas diferenciais em variedades
Seja Ak (Tp M ) o conjunto dos k-tensores alternados em Tp M . Definamos
Ak (M ) :=
O conjunto
Ak (M )
[
p∈M
Ak (Tp M ).
possui uma estrutura de variedade diferenci´
avel de dimensão n +
n
k
herdada de M .
Uma forma diferencial de grau k, ou uma k-forma diferencial em M é uma aplica¸c˜
ao
ω : M → Ak (M ) tal que π ◦ ω = Id, onde π é a proje¸cão de Ak (M ) em M . Como no caso de
Rn , denotaremos por Ωk (M ) o conjunto das k-formas diferenciais em M .
A defini¸c˜
ao do produto exterior e do operador diferencial de formas diferenciais é definido de
maneira an´
aloga ao caso de Rn , e mantém todas a propriedades. Além disso, podemos definir a
a¸cão de uma aplica¸c˜
ao diferenci´
avel f entre variedades em Ωk (M ), a qual também ser´
a denotada
∗
por f . Em particular, se (Ω, ϕ) é um sistema de vizinhan¸cas coordenadas com ϕ = (x1 , . . . , xn )
∂
(p)} (i = 1, . . . , n) uma base de Tp M e
sendo as coordenadas locais neste sistema. Seja { ∂x
i
k
{dxi } sua base dual. Ent˜
ao qualquer forma ω ∈ A (M ) se escreve como
ω(p) =
X
I
aI (p)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ,
onde a soma percorre todos as k-uplas ascendentes de {1, . . . , n}.
Vigésima sétima aula ↓
Veja o Cap´ıtulo 2 de [2].
Vigésima oitava aula ↓
7.4
Variedades orient´
aveis
Consideremos um espa¸co vetorial V de dimensão n sendo {e1 , . . . , en } e {f1 , . . . , fn } duas bases
´
de V . Em Algebra
Linear, diz-se que estas duas bases têm a mesma orienta¸ca
õ se o determinante
da matriz de mudan¸ca de base é positivo, isto é, se det(aij ) > 0, onde
fi =
n
X
j=1
aij ej ,
i = 1, . . . , n.
` VARIEDADES
134
Não é dif´ıcil verificar que ter a mesma orienta¸ca
õ define uma rela¸cão de equivalência no conjunto
das bases de V e que existem exatamente duas classes de equivalência. A escolha de uma dessas
classes é chamada de uma orienta¸ca
õ de V .
Este conceito est´
a relacionado com a escolha de uma base g ∈ An (V ) (lembre-se que
n
dim(A (V )) = 1, de forma que qualquer elemento n˜
ao nulo forma uma base deste espa¸co).
Lema 7.8 Seja g ∈ An (V ) e {e1 , . . . , en } uma base de V . Ent˜
ao, para qualquer conjunto de
vetores v1 , . . . , vn com
n
X
aij ej , i = 1, . . . , n,
vi =
j=1
temos que
g(v1 , . . . , vn ) = det(aij )g(e1 , . . . , en ).
Demonstra¸
c˜
ao. Ser´
a deixada como exerc´ıcio (veja o Exerc´ıcio 103).
Corol´
ario 7.9 Se g ∈ An (V ) com g 6= 0, ent˜
ao g possui o mesmo sinal em duas bases se estas
bases possuem mesma orienta¸ca
õ. Assim, uma escolha de g ∈ An (V ), g 6= 0, determina uma
orienta¸ca
õ de V .
A grosso modo, para estender o conceito de orienta¸cão para uma variedade M deve-se tentar
orientar cada um dos espa¸cos tangentes Tp M de forma que a orienta¸cão de espa¸cos tangentes
de pontos pr´
oximos coincidam.
Defini¸
c˜
ao 7.10 Uma variedade diferenci´
avel M de dimens˜
ao n é dita orient´
avel se ela possui
avel U = {Uα , ϕα } na qual todas as mudan¸cas de coordenadas ϕα ◦ ϕ−1
β
possuem determinante Jacobiano positivo. Neste caso dizemos que U orienta M .
Daremos uma caracteriza¸c˜
ao em termos de forma diferenciais para a orientabilidade de uma
variedade. Antes porém necessitamos de um resultado técnico.
Exerc´ıcio 110 Seja M uma variedade de dimens˜
ao n e consideremos uma vizinhan¸ca coordenada (U, ϕ) de um ponto p ∈ M . Sejam f1 , . . . , fn fun¸co
˜es suaves em U e ϕ = (x1 , . . . , xn )
fun¸co
˜es coordenadas em U . Prove que
df1 ∧ . . . ∧ dfn = det
∂f i
dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
∂xj
(Compare com o Exerc´ıcio 102).
Teorema 7.11 Uma variedade diferenci´
avel M de dimens˜
ao n é orient´
avel se, e somente se,
ela possui uma n-forma diferencial que nunca se anula.
Demonstra¸
c˜
ao. Suponhamos que M é orientável e seja {(Uα , ϕα )} uma estrutura diferenci´
avel
de M na qual todo determinante Jacobiano das mudna¸cas de coordendas é positivo. Consideremos {ρα } uma parti¸c˜
ao da unidade (C ∞ ) subordinada à {Uα }. Definamos
X
ω=
ρα dx1α ∧ . . . ∧ dxnα ,
´
7.4. VARIEDADES ORIENTAVEIS
135
onde x1α , . . . , xnα s˜
ao as fun¸c˜
oes coordenadas de ϕα . Para todo p ∈ M , existe uma vizinhan¸ca
aberta Up de p que intercepta somente um n´
umero de conjuntos supp ρα . Segue que ω é uma
soma finita em Up e portanto suave em todo ponto p ∈ M .
Fixemos agora uma vizinhan¸ca coordenada (U, ϕ) de um ponto p da estrutura diferenci´
avel
que orienta M , onde ϕ = (x1 , . . . , xn ), e consideremos U ∩ Uα . Pelo Exerc´ıcio 110 temos que
dx1α ∧ . . . ∧ dxnα = det
onde det
∂xiα
∂xj
∂xi α
dx1 ∧ . . . ∧ dxn ,
∂xj
> 0, pois M é orient´
avel. Segue que
ω=
X
ρα dx1α ∧ . . . ∧ dxnα =
Como ρα (p) > 0 para algum α, temos que
hX
ρα det
∂xi i
α
∂xj
dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
ω(p) = k(p)dx1 ∧ . . . ∧ dxn ,
para algum k > 0. Como p é arbitrário, obtemos que ω nunca se anula em M .
Suponhamos agora que ω é uma n-forma diferencial em M que nunca se anula. Dada
avel em M , vamos usar ω para modifica-la de forma que o determinante
Jacobiano de cada mudan¸ca coordenada seja positivo.
Seja (U, ϕ) uma vizinhan¸ca coordenada com ϕ = (x1 , . . . , xn ). Então
ω = f dx1 ∧ . . . ∧ dxn
para alguma fun¸c˜
ao f de classe C ∞ . Como ω nunca se anula e f é cont´ınua, temos que f > 0
ou f < 0 em U . Se f > 0, deixe o sistema de coordenadas como ele est´
a; se f < 0 trocamos
o sistema de vizinhan¸ca coordenada (U, ϕ) por (U, ϕ),
˜ onde ϕ˜ = (−x1 , x2 . . . , xn ). Após todas
estas mudan¸cas (quando necessárias), podemos assumir que, em qualquer vizinhan¸ca coordenada
(V, ψ), com ψ = (y 1 , . . . , y n ), temos
ω = hdy 1 ∧ . . . ∧ dy n ,
com h > 0. Esta é uma estrutura diferenci´
avel na qual toda mudan¸ca de coordenadas possui
determinante Jacobiano positivo. De fato, se (U, ϕ) e (V, ψ) s˜
ao tais que ϕ = (x1 , . . . , xn ) e
1
n
ψ = (y , . . . , y ), ent˜
ao
ω = f dx1 ∧ . . . ∧ dxn = hdy 1 ∧ . . . ∧ dy n ,
ou seja
f 1
dx ∧ . . . ∧ dxn = dy 1 ∧ . . . ∧ dy n .
h
Pelo Exerc´ıcio 110 temos que
det
ao.
∂y i ∂xj
=
f
> 0 em
h
U ∩ V.
` VARIEDADES
136
7.5
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 111 Seja f : R3 → R de classe C ∞ e assuma que M = f −1 (0) seja uma subvariedade
regular de R3 de dimens˜
ao 2. Mostre que as igualdades
dy ∧ dz
dz ∧ dx
dx ∧ dy
=
=
fz
fx
fy
valem em M sempre que fizerem sentido. Em particular, mostre que M possui uma 2-forma que
nunca se anula em M sendo assim orient´
avel.
Exerc´ıcio 112 Mostre que o fibrado tangente T M de qualquer variedade diferenci´
avel M com
a estrutura diferenci´
avel herdade de M é sempre orient´
avel (mesmo que M n˜
ao seja).
7.6
Variedades com bordo
A teoria de integra¸c˜
ao em variedades que desenvolveremos torna necessária a introdu¸cão da
no¸cão de bordo de uma variedade, que definiremos nesta se¸cão.
Além da teoria de integra¸c˜
ao, variedades com bordo s˜
ao importantes em outros estudos. Por
exemplo, para estudar deforma¸c˜
oes diferenci´
aveis de aplica¸cões diferenci´
aveis de uma variedade
M em uma variedade N , necessitamos definir aplica¸cões de M × I em N . Entretanto, M × I
é uma variedade com bordo. Assim, precisamos estender a no¸cão de aplica¸cões diferenci´
aveis,
espa¸co tangente, etc, para estes objetos um pouco mais gerais.
Seja Hn := {x = (x1 , . . . , xn ) | xn ≥ 0} com a topologia relativa de Rn e denotemos por
n
∂H o subespa¸co definido por ∂Hn := {x ∈ H | xn = 0}. Então ∂Hn é o mesmo espa¸co quando
considerado como um subespa¸co de Rn ou de Hn , e é chamado de bordo de Hn . Os pontos
de ∂Hn s˜
ao chamados de pontos de bordo. Os pontos x ∈ Hn tais que xn > 0 s˜
ao os pontos
interiores.
Lembremos que, se S ⊂ Rn é um subconjunto arbitrário, então uma aplica¸cão f : S → Rm é
diferenci´
avel em x ∈ S se existe uma vizinhan¸ca U de x e uma fun¸cão diferenci´
avel f : U → Rm
tal que f = f em U ∩ S.
Assim, faz sentido falarmos que um subconjunto arbitrário S ⊂ Rn é difeomorfo a um
subconjunto T ⊂ Rm : isto acontecer´
a se, e somente se, existirem aplica¸cões diferenci´
aveis f : S →
T e g : T → S inversas uma da outra.
Proposi¸
c˜
ao 7.12 Sejam U ⊂ Rn um aberto, S ⊂ Rn arbitr´
ario e f : U → S um difeomorfismo.
n
Ent˜
ao S é aberto em R .
Demonstra¸
c˜
ao. Seja x ∈ U . Como f : U → S é um difeomorfismo,
existe um conjunto aberto
n de classe C ∞ tal que g = f −1 . Assim, a composta
V ⊂ Rn , S ⊂ V , e uma fun¸c˜
ao g : V
→
R
S
g ◦ f → U → U satisfaz g ◦ f = IdU . Pela Regra da Cadeia e pelo Teorema da Fun¸cão Inversa,
f é localmente invers´ıvel em x ∈ U . Segue que existe uma vizinhan¸ca aberta Ux de x e Vf (x) de
f (x) em V tal que f : Ux → Vf (x) é um difeomorfismo entre abertos. Assim, Vf (x) ⊂ f (U ) = S
e S é aberto em Rn .
Proposi¸
c˜
ao 7.13 Sejam U, V ⊂ Hn abertos e f : U → V um difeomorfismo. Ent˜
ao f aplica
pontos interiores em pontos interiores e pontos de bordo em pontos de bordo.
137
7.6. VARIEDADES COM BORDO
Demonstra¸
c˜
ao. Seja p ∈ U com p ∈ Int(Hn ). Então existe um aberto B em Rn com p ∈ B ⊂
Hn . Segue que f (B) é aberto em Rn . Assim, f (p) ∈ f (B) ⊂ V ⊂ Hn e f (p) é um ponto interior.
Se p ∈ ∂Hn , ent˜
ao f −1 (f (p)) = p ∈ ∂Hn . Como f −1 : V → U ’e um difeomorfismo, f (p)
n˜
ao pode ser interior, ou seja, f (p) ∈ ∂Hn .
Defini¸
c˜
ao 7.14 Uma variedade diferenci´
avel com bordo de classe C ∞ é um espa¸co topol´
ogico
de Hausdorff M com base enumer´
avel de conjuntos abertos e uma estrutura diferenci´
avel U no
seguinte sentido generalizado: U = {(Uα , ϕα )} consiste de uma fam´ılia de subconjuntos abertos
Uα de M , cada um com um homeomorfismo ϕα sobre um subconjunto aberto de Hn (com a
topologia de subespa¸co de Rn ) tais que
1) os conjuntos Uα cobrem M ;
2) se (Uα , ϕα ) e (Uβ , ϕβ ) s˜
ao elementos de U , ent˜
ao as mudan¸cas de coordenadas ϕβ ◦ ϕ−1
α e
−1
ao difeomorfimos de ϕα (Uα ∩ Uβ ) e ϕβ (Uα ∩ Uβ ), subconjuntos abertos de Hn ;
ϕα ◦ ϕβ s˜
3) U é maximal com respeito `
as propriedades 1) e 2).
Seja p ∈ M e (U, ϕ) uma vizinhan¸ca coordenada de p. Pela Proposi¸cão 7.13, se ϕ(p) ∈ ∂Hn ,
então ψ(p) ∈ ∂Hn para qualquer vizinhan¸ca coordenada (V, ψ) de p. O conjunto dos pontos
p ∈ M para os quais ϕ(p) ∈ ∂Hn para algum (U, ϕ) é chamado de bordo de M . Tal conjunto é
denotado por ∂M . Temos que M \ ∂M é uma variedade no sentido usual. Se ∂M = ∅, dizemos
que M é uma variedade sem bordo.
Teorema 7.15 Se M é uma variedade diferenci´
avel de dimens˜
ao n com bordo, ent˜
ao a estrutura
diferenci´
avel de M determina em ∂M uma estrutura diferenci´
avel com a qual este subconjunto é
uma variedade diferenci´
avel sem bordo de dimens˜
ao n − 1. Além disso, a inclus˜
ao i : ∂M → M
é um mergulho.
˜
Os detalhes da demonstra¸c˜
ao ser˜
ao deixados para os exerc´ıcios. A estrutura diferenci´
avel U
˜
˜
em ∂M é determinada pelas vizinhan¸cas coordenadas (U , ϕ),
˜ onde U = U ∩ ∂M e ϕ˜ = ϕ U ∩∂M
para qualquer vizinhan¸ca coordenada (U, ϕ) do sistema U de M que contém pontos de ∂M .
Aplica¸c˜
oes diferenci´
aveis, posto, espa¸cos tangentes, etc, podem agora serem definidos exatamente como anteriormente.
Vigésima nona aula ↓
138
` VARIEDADES
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139

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