Estimation des primes de risque

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Estimation des primes de risque
Anisa CAJA
ISFA / EULER HERMES
15 avril 2010
Anisa CAJA (ISFA/EULER HERMES)
Estimation des primes de risques
15 avril 2010
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Introduction
Introduction
Solvabilité 2 oblige à
1
estimer la distribution de la marge actif-passif à un horizon donné
2
calculer des provisions dans une logique market consistent =⇒ le
niveau best estimate des provisions doit être homogène au prix de la
couverture financière
.
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Introduction
Introduction
1
Probabilité historique
2
.
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Introduction
Introduction
1
2
Probabilité risque-neutre
.
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Introduction
Introduction
1
2
Probabilité risque-neutre
.
Le prix de marché du risque est un moyen cohérent qui permet de
passer d’un univers à l’autre.
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Introduction
Introduction
Le prix de marché du risque est lié à la nature du risque modélisé :
risque action, risque de taux, etc...
En pratique il est déterminé en analysant l’excès de rendement par
rapport au taux sans risque offert par un support (action, obligation)
qui est soumis à ce risque.
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Prix de marché du risque
Sommaire
1
Pourquoi des prix de marché du risque
Autre point de vue sur les prix de marché du risque
Autre point de vue sur les prix de marché du risque
2
Typologie des primes de risque
3
Mesure empirique des primes de risque
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Exemple avec le modèle de Vasicek :
Dynamique des taux en univers historique :
drt = a (b − rt ) dt + σ dWt
3 paramètres : a,b, σ.
En univers risque neutre :
drt = a (bλ − rt ) dt + σ dWtQ
avec
bλ = b −
λσ
a
3 paramètres : a, bλ , σ.
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Exemple avec le modèle de Vasicek :
Dynamique des taux en univers historique :
drt = a (b − rt ) dt + σ dWt
3 paramètres : a,b, σ.
En univers risque neutre :
drt = a (bλ − rt ) dt + σ dWtQ
avec
bλ = b −
λσ
a
3 paramètres : a, bλ , σ.
Donc la dynamique en univers risque-neutre peut se réécrire :
λσ
drt = a b −
− rt
a
dt + σ dWt
4 paramètres : a,b, σ ET λ
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Primes de risque dans le théorème de Girsanov
Selon le théorème de Girsanov, on peut spécifier un changement de
probabilité qui permet de passer de l’univers historique sous probabilité P
au risque-neutre sous probabilité Q.
T
Z
dQ
= exp 
dP
0
1
Xt dWt −
2
ZT

Xt2 dt 
0
Le passage se fait donc à l’aide d’un processus (Xt )t>0 .
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Primes de risque dans le théorème de Girsanov
Selon le théorème de Girsanov, on peut spécifier un changement de
probabilité qui permet de passer de l’univers historique sous probabilité P
au risque-neutre sous probabilité Q.
T
Z
dQ
= exp 
dP
0
1
Xt dWt −
2
ZT

Xt2 dt 
0
Le passage se fait donc à l’aide d’un processus (Xt )t>0 .
En fait Xt = −λt !
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Sous le modèle de Vasicek le prix d’un Zéro Coupon est :
P (t, T ) =
(
exp
2
σ2 1 − e −a(T −t)
(R∞ − rt ) − (T − t) R∞ − 3 1 − e −a(T −t)
a
4a
)
avec
σ2
λσ
− 2
a
2a
Donc le prix est donné en fonction de 4 paramètres, les 3 paramètres de
l’univers historique et la prix du risque λ.
R∞ = b −
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Dynamique affine en univers historique
=⇒
Dynamique affine en univers risque-neutre =⇒ Prix du risque fixe !
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Dynamique affine en univers historique
=⇒
Dynamique affine en univers risque-neutre =⇒ Prix du risque fixe !
Duffee et Stanton [2000] :
Passage de l’univers risque-neutre à l’univers historique
Dynamique affine en univers risque-neutre :
√ g
drt = (ab − art ) dt + σ rt d W
t
Pour passer en univers historique, le prix de marché du risque choisi est :
√
λt = λ1 rt + λ2 rt
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La dynamique en univers historique n’est plus affine :
√
√
drt = (ab − art + λ1 rt + λ2 rt ) dt + σ rt dWt
La prime de risque d’une obligation est alors :
√
et,τ ≈ (λ1 rt + λ2 rt )
Zτ
exp (−as) ds
0
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Sommaire
1
2
3
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Risque obligation
Dans le cas des obligations, il y a au moins trois facteurs de risque et les
primes respectives :
le risque de crédit et la prime de crédit 60%,
le risque de liquidité et la prime de liquidité 35%,
le risque de corrélation 5%.
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Risque action
prime de risque sur l’augmentation des dividendes,
prime de risque sur le taux de change,
le ratio dividendes/prix.
Les méthodes d’estimation des primes de risque varient selon les
actifs et les risques sous-jacents.
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Sommaire
1
2
3
CAPM
APT-Arbitrage Pricing Theory
C-CAPM
AHMAD et WILMOTT
Utilisation des déflateurs
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CAPM
CAPM
E (Rj ) = Rf + βj (E (RM ) − Rf )
où Rj est le rendement espéré de l’actif,Rf est le taux sans risque, βj est le
coefficient beta de l’actif j et RM est le rendement espéré du marché.
Hypothèse du CAPM :
βj =
cov (Rj , RM )
var (RM )
En fonction des primes de risque :
E (Rj ) − Rf = βj (E (RM ) − Rf )
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E (Rj ) = α0 +
m
X
βĳ Fi
i=1
où α0 est un terme constant sans une signification particulière, Fi est un
facteur non-spécifié et βĳ la sensibilité du rendement de l’actif j par
rapport au facteur i.
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C-CAPM
Théorie utilitariste - MEHRA[2003]
Les primes de risque observées sont plus élevées que celles que la
théorie économique prédit.
Sur le marché américain les primes de risque sont autour de 7% − 8%
alors que la théorie prédit 1% !
Comment les agents choississent les actions qu’ils achètent ?
Une action qui rapporte plus en temps de croissance qu’en temps de
crise doit avoir une prime de risque positive.
Les actions qui permettent de lisser la consommation sont plus
appréciées
Selon MEHRA, titres relativement sans risque et actions risqués doivent
avoir à peu près le même rendement
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C-CAPM
Modèle
L’utilité est de type CRRA :
ct1−α
,0 < α < ∞
1−α
Le choix optimal de l’investisseur est tel que :
U (ct , α) =
pt U 0 (ct ) = βEt (pt+1 + yt+1 ) U 0 (ct+1 )
t+1
On note pt+1p+y
= re,t+1 le rendement de l’action.
t
Prime de risque :
Et (Re,t+1 ) − Re,t+1 = − cov
0
U (ct+1 ) , Re,t+1
Et (U 0 (ct+1 ))
= λt+1
Résultats : rf = 12, 7% , E (re ) = 14, 1% et λ = 1, 4
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AHMAD et WILMOTT
Modèle
Le taux suit un modèle mono-factoriel :
drt = u (rt ) dt + w (rt ) dWt
Alors le prix du Zéro Coupon est solution de l’équation différentielle :
∂P
1 ∂2P
∂P
+ w 2 2 + (u − λw )
− rP = 0
∂t
2
∂r
∂r
où λ est le prix de marché du risque. Après estimation du drift et de la
volatilité, estimation de λ.
Comment le marché évalue ce risque ?
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AHMAD et WILMOTT
Modèle
Le taux suit un modèle mono-factoriel :
drt = u (rt ) dt + w (rt ) dWt
Alors le prix du Zéro Coupon est solution de l’équation différentielle :
∂P
1 ∂2P
∂P
+ w 2 2 + (u − λw )
− rP = 0
∂t
2
∂r
∂r
où λ est le prix de marché du risque. Après estimation du drift et de la
volatilité, estimation de λ.
Comment le marché évalue ce risque ? Informations dans la courbe des
rendements
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AHMAD et WILMOTT
1
P (r , t) ≈ 1 − r (T − t) + (T − t)2 r 2 − u + λw + ... si t → T
2
et ...
−
1
ln P
= r + (T − t) (u − λw ) + ... si
T −t
2
Pente de la courbe des rendements :
1
2
t→T
(u − λw )
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AHMAD et WILMOTT
Estimation du prix de marché du risque λ
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AHMAD et WILMOTT
Prix de marché du risque comme un processus stochastique
Le prix de marché est très volatile et il ressemble à un processus
stochastique.
Modèle :
dλt = p (λt ) dt + q (λt ) dWt
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Prime de risque des variables non négociables
Donner un prix à des produits dérivés qui suivent l’évolution de variables
économiques.
Déflateur normalisé d’éspérance 1 et qui satisfait l’équation :
Et (rt+1 qt+1 ) = 1N rf
Prime de risque : Et (rt+1 ) − 1N rft = − cov (rt+1 , qt+1 )
On choisit des variables ry ,t+1 qui imitent l’évolution des variables
économiques yt+1 .
Prime de risque des variables économiques :
π = Et (ry ,t+1 ) − 1N rft = − cov (yt+1 , qt+1 )
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En pratique
1
Choix du déflateur tel que Et (rt+1 qt+1 ) = 1N rf et
T α
qt+1 = α0t + rt+1
t
2
Estimation des coefficients α où Σ est la matrice de covariance des
actifs risqués.
Primes de risque :
πkt = − cov (yk,t+1 , qt+1 ) = πk1 + πk2 z2t + πk3 z3t + ... + πkJ zJt
(z1t , ..., zJt ) est le vecteur des variables instrumentales= valeur des
variables économiques à la période précédente.
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Résultats de Balduzzi et Robotti
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Conclusion
Si on veut travailler conjointement en univers historique et univers
risque-neutre, l’utilisation des prix de marché du risque est une
solution cohérente.
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Conclusion
Si on veut travailler conjointement en univers historique et univers
risque-neutre, l’utilisation des prix de marché du risque est une
solution cohérente.
Merci de votre attention !
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Bibliographie
[1] AHMAD R. ; WILMOTT P. [2006] « The Market Price of Interest-rate Risk : Measuring and Modelling Fear and Greed in
the Fixed-income Markets », Wilmott magazine
[2] BALDUZZI P. ; ROBOTTI C. [2001] « Minimum-Variance Kernels, Economic Risk Premia and Tests of Multi-beta Models
», Federal Reserve Bank of Atlanta, Working Paper, n˚2001-24
[3] CARR P., GEMAN H., MADAN D.B., YOR M. [2002] « The fine structure of asset returns : an empirical investigation »,
Journal of business, vol. 75, n˚2.
[4] COCHRANE J.H. ; PIAZZESI M. [2005] « Bond Risk Premia », The American Economic Review
[5] DUFFEE G.R. ; STANTON R.H. [2000] « EMM Estimation of Affine and Nonaffine Term Structure Models », Working
Paper, Haas School of Business
[6] MEHRA R. [2003] « The Equity Premium : Why Is It a Puzzle ? », Financial Analysts Journal
[7] PLANCHET F. [2009] « Provisionnement et couverture des garanties financières : deux notions indissociables. », la Tribune
de lAssurance (rubrique « le mot de lactuaire »), n˚138 du 01/07/2009.
[8] PLANCHET F., THÉROND P.E., KAMEGA A. [2009] Scénarios économiques en assurance - Modélisation et simulation,
Paris : Economica.
[9] ROSS S. [1976] « The arbitrage theory of capital asset pricing », Journal of Economic Theory 13, 341-360.
[10] SĲLAMASSI M., OUAKNINE Y. [2004] « Valorisation par les déflateurs stochastiques », Mémoire dactuariat, ENSAE.
[11] TOROSANTUSSI L. ; UBOLDI A. ; BERNASCHI M. [2002] « Empirical evaluation of the market price of risk using the CIR
model », International Journal of Theoretical and Applied Finance
[12] ZEMMOUR J. [2002] « Un modèle déquilibre partiel darbitrage multifactoriel : lécueil des primes de risque des facteurs »,
CNRS,
Working
Paper
Anisa
CAJA
(ISFA/EULER
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