Les fractions, comment mieux comprendre les difficultés rencontrées

Les fractions, comment mieux comprendre les difficultés rencontrées par les élèves ?
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Les fractions, comment mieux comprendre les
difficultés rencontrées par les élèves ?
PAR DOMINIQUE ROSAR, UNIVERSITÉ CATHOLIQUE DE LOUVAIN, BELGIQUE ;
CATHERINE VAN NIEUWENHOVEN, UNIVERSITÉ CATHOLIQUE DE LOUVAIN,
BELGIQUE ; PHILIPPE JONNAERT, UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL
14 novembre 2007
Les difficultés rencontrées par les élèves lors des ap prentissages des fractions ont souvent
été soulignées par les chercheurs en éducation (par exemple, Haseman, 1986 ; Streefland,
1986). Parmi ceux-ci, certains observent qu’une majorité d’écoliers, lorsqu’il s’agit de
fractions, ne saisissent pas le pourquoi des choses et se bornent au comment : ils exécutent
les opérations selon des règles imposées sur des objets mathématiques qu’ils méconnaissent
(par exemple, Hart, 1980). Pourquoi nos ancêtres ont-ils inventé les fractions ? Comment
définiton aujourd’hui les fractions ? L’apprentissage du calcul fractionnaire est-il
indispensable ? Pourquoi s’intéresse- t-on aux représentations construites par l’élève autour
de la notion de fraction ? Voilà d’emblée quelques questions auxquelles nous allons tenter de
répondre dans notre partie théorique. Comment les élèves se représentent- ils les fractions ?
Quelles difficultés rencontrent-ils ? Les représentations construites autour des fractions
peuvent-elles expliquer certaines erreurs commises par l’élève ? Ces questions feront l’objet
de notre partie empirique. Pour cela, deux objectifs ont été définis : le premier était de
construire des outils nous permettant de mettre en évidence d’une part, les représentations
construites par les élèves et d’autre part, les difficultés rencontrées par ceux-ci lors des
apprentissages des fractions. Le deuxième était d’expérimenter ces outils dans une classe de
sixième primaire.
Pourquoi nos ancêtres ont-ils inventé les fractions ?
Pour exprimer et traiter les parties de l’entier, nos ancêtres se sont très vite trouvés dans
l’obligation d’inventer des parties du nombre entier. Selon Guitel (1975), les Égyptiens de
l’Ancien Empire (IVe et IIIe millénaires avant notre ère) seraient les premiers à avoir utilisé
les fractions. Parmi les vestiges laissés par cette civilisation, le papyrus de Rhind, traduit par
T. Peet (1923, cité par Guitel, 1975), conservé actuellement au British Museum, serait le plus
ancien texte nous initiant à la résolution de problèmes relatifs à l’art de calculer avec les
fractions. Ce texte nous apprend, entre autre, que toutes les fractions égyptiennes avaient
pour numérateur le nombre 1. Cette conception des fractions, comme le soulignent les
historiens Dahan-Dameldico et Peiffer (1986), a rendu, à l’époque, la pratique du calcul bien
difficile et accessible qu’à un petit nombre de scribes. Les auteurs donnent l’exemple du
quotient 2/5 qui, pour s’exprimer, devait être décomposé en somme de fractions unitaires,
soit 1/3 + 1/15. Une autre information traduite par T. Peet (1923, cité in Guitel, 1975) porte
sur le statut qu’avaient les fractions à l’époque : considérées comme opérateurs, comme
outils de partage, elles étaient utilisées par les administrateurs de l’état pour distribuer les
salaires et les grains, pour calculer l’aire et le volume, pour réglementer le commerce...
Au cours des siècles, succèderont aux fractions unitaires des Égyptiens, les fractions
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sexagésimales des Babyloniens et les fractions alphabétiques des Grecs... Les systèmes de
numération et de notation inventés par ces civilisations seront cependant très complexes, les
fractions resteront l’apanage des administrateurs et des savants.
Il faudra attendre l’édification de l’Empire Arabe, après la mort de Mahomet (630) et la
chute d’Alexandrie (641), pour que soit introduit le système de position décimal et la
symbolisation moderne des fractions. La vulgarisation des fractions devient alors possible
(Guitel, 1975). C’est aussi à cette époque, comme le souligne Ifrah (1994), que commence
l’extension du nombre. Celui-ci qui pendant très longtemps était réduit aux naturels, s’élargit
progressivement aux rationnels et irrationnels, aux nombres algébriques, décimaux, négatifs,
transcendants et infinis. La fraction qui autrefois était utilisée comme opérateur, va
désormais, acquérir le statut de nombre et celui de rapport au Xe siècle. Cette ascension va
cependant être réprimée avec l’apparition des nombres décimaux au XVIe siècle. Leur
diffusion va en effet amener la population à abandonner les lourds calculs qu’entraînent les
fractions. Cette découverte aura aussi pour conséquence le développement des systèmes
décimaux de mesure, la redéfinition des nombres rationnels et irrationnels...
Petit à petit, va apparaître aussi l’idée de structure à la base d ‘une théorie mathématique. Ce
qui importe alors dans une théorie, ce n’est plus la nature des objets mathématiques mais les
relations entre eux. Ce changement dans la conception des mathématiques aux XIX et XX e
siècles conduit à une réorganisation tenant compte des nouvelles acquisitions et de leurs
relations avec des connaissances anciennes comme les fractions. C’est ainsi, selon Ifrah
(1994), que les fractions, nombres de la forme p/q avec p entier relatif quelconque et q entier
relatif non nul, se définissent à partir des entiers, par l’intermédiaire d’une relation
d’équivalence.
Actuellement, la notion de fraction évolue encore. Une récente réforme de l’institution des
mathématiques (1980) en matière de langue de mathématiques propose de réduire la notion
de fraction à l’écriture des rationnels. Ainsi, actuellement, la fraction p/q n’est plus un
opérateur, un rapport, un nombre, mais une façon de noter un nombre qui s’appelle
rationnel. Comme le souligne Baruk (1992), ce décret semble toutefois ne pas arriver à
s’imposer, les programmes et manuels scolaires continuent à définir les fractions de façon
traditionnelle. Ces définitions font l’objet du point suivant.
Aujourd’hui, comment définit-on les fractions ?
Si l’on consulte les programmes de l’enseignement fondamental et les manuels scolaires
destinés aux élèves et aux enseignants (Jonnaert et al, 1989, 1995 ; Roegiers, 1989 ; Rouche,
1992, 1998), trois situations sont le plus souvent proposées pour aborder les fractions : les
fractionnements, les rapports et les calculs fractionnaires. À ces situations sont rattachées les
définitions des fractions opérateurs, des fractions rapports et des fractions
nombres.
Les premières situations utilisées dans l’enseignement primaire pour approcher les fractions,
sont les situations de fractionnement. Le fractionnement se définit comme la combinaison
des opérations de partage et de prélèvement. On représentera ces opérations par la fraction
p/n, p étant le nombre de parts prélevées parmi n parts (Roegiers, 1989). Cette fraction
est appelée opérateur. Pour s’expliquer sur tout cela, prenons les expressions suivantes :
1/2 kg et 1/2 pomme. Chacune de ces expressions désigne une moitié d’une grandeur, et cette
moitié est encore une grandeur. L’opération composée de couper en deux parts égales et de
prélever une part est associée à la fraction 1/2. Dans ces expressions, la fraction est appelée
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opérateur car elle opère (agit) sur la grandeur. Les situations de fractionnement à l’école
primaire sont le plus souvent limitées aux partages de tartes et sont très vite abandonnées
pour laisser la place à l’apprentissage des procédures de calculs. Dans notre quotidien, ces
situations sont fréquentes et peuvent présenter une variété d’aspects. Ainsi, il est aisé de
couper un disque en 2 parts ou en 4 parts équivalentes à partir de deux diamètres
perpendiculaires, et ensuite en 8 ou en 12 parts à partir de chaque quart. Couper un disque
en 7 parts équivalentes, par contre, n’est pas une opération élémentaire. Il est d’ailleurs
démontré que cette opération est impossible à la règle et au compas. Il est malheureux de
constater que ces différents niveaux de difficultés sont le plus souvent ignorés, abandonnés
par les enseignants sous prétexte qu’on accède aux calculs fractionnaires.
Les rapports existant entre deux grandeurs quelconques, ou à l’intérieur d’une même
grandeur, sont les seconds terrains d’apprentissage des fractions dans l’enseignement
primaire. Un rapport peut se définir comme un mode de comparaison entre deux grandeurs
de même nature (Baruk, 1992). Dans le paragraphe précédent, lorsque nous parlions du
fractionnement, nous envisagions les situations où l’on avait au départ une grandeur B et une
fraction opérateur, on pouvait ainsi déterminer une grandeur A. Dans les situations de
rapports, nous allons maintenant envisager les situations où l’on a au départ deux grandeurs
A et B pour lesquelles on recherche un opérateur de fractionnement que l’on peut appliquer à
A pour obtenir B. Autrement dit, on recherche la fraction qui exprime le rapport entre ces
deux grandeurs, nous l’appellerons fraction rapport. À l’école primaire et dans notre vie
quotidienne, ce concept est souvent utilisé pour exprimer les sous-unités de mesure (par
exemple, 1 dl = 1/10 de l ; 1 cl 1/100 de l...). On parle aussi des rapports lorsqu’on étudie
l’échelle numérique d’une carte géographique, d’un plan... Enfin, ce concept s’est aussi
beaucoup développé en physique notamment pour définir la vitesse (rapport entre un espace
parcouru et le temps), la pression (rapport entre une force exercée et la surface subissant
cette force), la densité (rapport entre un poids et une unité de volume) et le degré
hydrométrique (rapport entre une masse d’eau et le volume contenant cette masse).
Très privilégié dans l’enseignement primaire, le calcul fractionnaire est le troisième terrain
d’apprentissage des fractions. Ici, les fractions sont des nombres que l’on peut comparer,
additionner, soustraire, multiplier et diviser grâce à des règles spécifiques qui sont le plus
souvent la croix de nombreux élèves du primaire. Si le calcul fractionnaire est très présent
dans nos classes primaires, dans la vie quotidienne nous ne l’utilisons que très rarement,
l’emploi des nombres décimaux étant beaucoup plus commode. Dès lors, on peut s’interroger
sur les raisons qui font que le calcul fractionnaire n’est pas abandonné dans nos classes.
Pourquoi étudie-t-on encore aujourd’hui les règles du calcul fractionnaire ? Trois tentatives
de réponses ont été avancées par Rouche (1998). Les paragraphes suivants en présentent une
synthèse.
L’apprentissage des règles du calcul fractionnaire estil indispensable ?
Une première raison qui fait que le calcul fractionnaire n’est pas abandonné dans nos classes
est son usage lors de l’estimation des probabilités. Prenons l’exemple suivant cité par
Rouche (1998, p. 97) : « on a une urne qui contient 3 boules blanches et 2 noires. On tire une
première boule, puis une deuxième. Quelle est la probabilité d’obtenir au total 2 boules
blanches ? La probabilité d’obtenir une blanche au premier tirage est de 3/5. La probabilité
d’obtenir une blanche au deuxième tirage, si on a obtenu une blanche au premier, est de 2/4.
La probabilité d’obtenir 2 blanches au total sera de 6/20 ». À partir de cet exemple, deux
remarques peuvent être faites. On soulignera tout d’abord l’intérêt de l’écriture fractionnaire
qui rappelle clairement le nombre de cas possibles (3/5 étant plus évocateur que 0,6).
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Ensuite, on remarquera que sont utiles les règles de multiplication d’une fraction par une
autre pour résoudre les problèmes de probabilité (3/5 x 2/4 = 6/20).
L’algèbre est la seconde raison qui incite Rouche (1998) à justifier l’apprentissage du calcul
fractionnaire. Le système de notation et les règles du calcul fractionnaire deviennent, en
effet, indispensables lorsque les élèves abordent cette matière. Une fraction arithmétique est,
d’un certain point de vue, une division que l’on n’a pas faite (par exemple, la fraction 3/2 est
l’équivalent de 3 ÷ 2). Mais on peut toujours faire la division, quitte à ce que le quotient soit
« un nombre décimal infini périodique ». Une fraction algébrique est aussi une division non
exécutée, avec la différence que le diviseur et le dividende sont ici des expressions littérales et
non plus des nombres entiers.
Une autre différence fondamentale est que, dans le cas des fractions algébriques, on ne peut
le plus souvent pas, de manière simple, exécuter la division pour obtenir une expression plus
commode. Les règles utilisées pour le calcul fractionnaire arithmétique seront alors très
utiles.
Les avantages de l’écriture fractionnaire peuvent être aussi soulignés ici. On pourrait en fait
éviter la barre de fraction en la remplaçant par le signe ordinaire de division. Alors, au lieu
de :
on écrirait
On voit que pour noter la hiérarchie des opérations dans le deuxième cas, nous avons eu
besoin de crochets. Ce qui n’est pas le cas lorsque nous utilisons la notation fractionnaire.
Les avantages de l’écriture et du calcul fractionnaire lors du travail avec les racines et les
puissances sont aussi cités par Rouche (1998). L’écriture des expressions (√x)3 · (3√x)2 ,
souvent malaisée à déchiffrer, sera remplacée par l’expression x3/2 · x2/3. Les opérations sur
les fractions permettront de la simplifier, on obtiendra alors le produit : x13/6.
Loin du contexte où l’on apprend à calculer avec les fractions, ces trois motifs tentent
d’expliquer pourquoi le calcul fractionnaire, très rarement utilisé dans la vie quotidienne,
n’est pas abandonné dans l’enseignement. On peut toutefois s’interroger sur la précocité de
ces calculs et sur les difficultés que ceux-ci entraînent. Quelles difficultés les élèves du
primaire rencontrent-ils ? En dehors de toutes situations pertinentes, comment les élèves
peuventils donner sens aux fractions ? Quelles représentations vontils construire autour de
cette notion ?
Pour répondre à ces questions, deux outils ont été construits dans le cadre de cette
recherche : une mini-entrevue et un entretien critique. Ces outils nous ont permis de
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préciser, d’une part, certaines difficultés rencontrées par les élèves lors de tâches autour de la
notion de fraction, et d’autre part, les représentations construites par ces élèves autour de la
notion de fraction. L’entendement que nous réservons aux représentations mais aussi
l’intérêt que nous y portons lors du diagnostic vont être discutés dans les paragraphes
suivants.
Pourquoi s’intéresser aux représentations des élèves ?
Une des caractéristiques de la notion de représentation est la polysémie qui s’attache à ce
terme, conséquence du développement de cette notion dans de nombreux secteurs de la
psychologie. Cette pluralité de significations nous oblige à préciser le paradigme éducatif
dans lequel se place notre étude et l’entendement que nous réservons à ce terme.
Notre intérêt pour les activités de représentation s’inscrit dans une perspective théorique
socioconstructiviste. Sous-jacente à de nombreuses recherches en didactique (Astolfi, 1997 ;
Larochelle et Bednarz, 1994), elle renvoie à une conception de l’apprentissage dans laquelle
l’apprenant est activement impliqué dans la construction de ses connaissances, il apprend
avec ses pairs et l’enseignant mais aussi, grâce aux interactions qu’il a avec son milieu.
Les travaux conduits depuis plusieurs années dans cette perspective, mettent en évidence le
rôle joué par l’activité de représentation dans le processus d’élaboration des connaissances
(par exemple, Brousseau, 1998 ; Léonard et Sakur, 1990, Vergnaud, 1996...). Définies dans
de nombreux courants comme produit interne et conscient d’une activité individuelle, elles
sont à présent associées à l’idée d’interprétation ou de réorganisation d’une certaine réalité.
Le processus d’apprentissage est ici conçu comme une mise à l’essai de modèles,
provisoirement bons, qui seront constamment réajustés, voire même rejetés pour faire place
à de nouvelles connaissances (Brousseau, 1989). Dans le domaine des mathématiques,
plusieurs auteurs soulignent l’importance de ces modèles dans la construction des savoirs
(Di Sessa, 1987 ; Jonnaert, 1996). Il est ainsi admis que les représentations des élèves
constituent l’un des facteurs déterminants sur lequel va s’appuyer tout apprentissage
ultérieur, celles-ci pouvant soit servir de pont dans la construction de nouvelles
connaissances, soit s’instituer en obstacles à cet apprentissage... La connaissance de ces
modèles permettra ainsi d’expliquer certaines difficultés rencontrées par les élèves
(Léonard et sakur, 1990 ; Jonnaert, 1992). Notre objectif dans la partie empirique, sera
d’établir les relations existantes entre les représentations construites par les élèves autour de
la notion de fractions et les difficultés rencontrées par ceux-ci.
Recherche empirique
Questions-problèmes et hypothèses
Confrontés à des items où ils doivent définir, représenter, reconnaître la fraction, quelle(s)
difficulté(s) l’élève va-t-il rencontrer ? Quelles représentations a-t-il construites par rapport à
cette notion ? Existe-t-il un lien entre les difficultés rencontrées par l’élève et les
représentations qu’il a construites ? Voilà les questions auxquelles nous allons tenter de
répondre dans la présente recherche.
Les travaux de Brousseau (1998), Jonnaert (1992) et Richard (1990) faisant référence au rôle
joué par l’activité de représentation lors de la construction des savoirs, nous amènent à
postuler l’existence d’un lien entre les difficultés rencontrées par l’élève lors d’opérations sur
les fractions et les représentations construites autour de cette notion. Nous nous attendons
en effet à trouver, sous-jacentes aux difficultés rencontrées par les élèves, des
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représentations précaires autour de cette notion.
Échantillonnage
Vingt (20) élèves de sixième primaire ont participé à cette recherche. Tous ont 11 ans et sont
scolarisés dans la même classe d’une école accueillant une population relativement aisée.
Nous avons choisi de travailler avec ce public qui, à ce moment de leur scolarité, ont déjà
rencontré les fractions dans les différentes situations décrites dans le cadre théorique. Il est
par conséquent possible pour nous de repérer les représentations qu’ils ont construites
autour de cette notion. Les nombreuses difficultés rapportées par les parents, les enseignants
et les élèves en fin de scolarité primaire autour de cette notion, ont aussi influencé notre
choix.
Outils utilisés pour le recueil de données
Deux outils ont été construits par l’expérimentateur pour investiguer les difficultés et les
représentations construites autour de la notion de fraction : une mini-entrevue et un
entretien de type critique. Les caractéristiques de ces outils sont présentées dans les
paragraphes suivants. L’intégralité des questionnaires sont repris en annexe 1 et 2.
La mini-entrevue est un outil québécois. Réalisée le plus souvent dans le contexte d’une
tâche précise se rapportant à des notions déjà enseignées, il s’agit « d’un dialogue entre
l’interviewer et l’élève, visant l’évaluation de la compréhension de l’élève dans la construction
d’un schème conceptuel » (Nantais, 1992, p.60). Cet outil, construit pour répondre à un
besoin des enseignants québécois, a conservé quelques caractéristiques de l’entrevue clinique
telle que définie par Piaget (1926). Un dialogue individualisé, l’accent mis sur l’identification
des processus de pensée, la combinaison tâche-dialogue sont quelques-unes de ces
caractéristiques. Si l’entrevue clinique n’est pas standardisée, en raison du fait qu’elle vise à
découvrir des processus de pensée, Nantais (1992) définit la mini-entrevue comme semistandardisée. Une série de questions préparées à l’avance, essentiellement les mêmes pour
chaque élève, s’avère nécessaire puisque comme le dit l’auteur : « l’objectif est de déterminer
le plus efficacement possible si, pour une notion donnée, chaque élève a atteint tel niveau de
compréhension » (Nantais, 1992, p.61). De plus, l’entrevue semi-standardisée permet à
l’interviewer de poursuivre certaines pistes intéressantes et d’ajuster certaines formulations
de questions en fonction des réactions de l’élève. Lors de la préparation du questionnaire,
quelques règles déterminées par Nantais (1992) doivent être respectées :
(1) un nombre de questions limité
En effet, ce qui distingue principalement la minientrevue de l’entretien clinique est sa courte
durée ; d’où son appellation. Le temps maximum pour chaque entretien individuel sera
évalué entre 10 et 15 minutes.
(2) un emboîtement spécifique de questions
L’ordre des questions va de la plus difficile à la plus facile ; cet emboîtement veut éviter les
risques où l’élève, en commençant par un problème plus facile, soit porté à réutiliser cette
procédure dans des situations plus complexes, alors qu’il aurait peut-être pu employer des
stratégies plus évoluées. En procédant ainsi, on évite aussi que l’entrevue ne se transforme
davantage en séquence d’apprentissage que d’évaluation.
Concrètement, la présentation verbale d’un problème devra donc précéder sa présentation
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écrite, dessinée, matérielle... Les objets mathématiques sont ainsi premièrement manipulés
mentalement. Les questions où l’élève va devoir générer une définition ou une représentation
écrite des fractions seront aussi posées avant les questions de reconnaissance.
(3) une formulation adéquate amenant la description des processus de pensée.
La formulation des questions de la mini-entrevue doit amener l’élève à verbaliser sa
démarche, à décrire ses processus de pensée. C’est pourquoi, un énoncé tel que « Comment
fais-tu pour trouver la réponse ? » peut s’avérer propice. La formulation suivante est aussi
intéressante : « Peux-tu expliquer à un ami comment tu fais pour... ? ». Le fait de devoir
expliquer à un autre comment lui procède, peut inciter l’élève à parler sans qu’il se sente
évalué lui-même.
La méthode critique a été élaborée dans les années 40 par Piaget (1947). Celui-ci, à l’époque,
modifie la méthode clinique par des formulations qui sont en fait des contre-arguments.
Actuellement, plusieurs auteurs distinguent parmi les contre-arguments : la contresuggestion et le conflit cognitif. Nous retiendrons les définitions de A. Chalon-Blanc (1997,
citée par Perraudeau, 1998). Pour cet auteur, une contre-suggestion consiste à énoncer des
phrases du type : « Un de tes camarades m’a dit le contraire de ce que tu me dis. Qu’en
penses-tu ? » Le conflit cognitif consiste quant à lui, à mettre l’élève devant ses propres
contradictions. Nous avons utilisé ces deux outils pour réaliser notre entretien critique.
La méthode critique selon Perraudeau (1998) peut remplir trois fonctions : le diagnostic,
l’accompagnement et la remédiation. Cette méthode en effet, va faciliter la décentration chez
l’élève. Elle va permettre aussi à l’élève de développer de nouveaux arguments. L’observateur
quant à lui va pouvoir vérifier la véracité de ceux-ci, leur degré de formation et leur stabilité.
L’entretien critique que nous avons construit aura pour fonction le diagnostic.
Procédures de passation
Notre cueillette de données s’est faite en deux temps. En premier lieu, la mini-entrevue a été
réalisée avec l’ensemble de notre échantillon. Lors de la première rencontre avec l’élève, la
première chose que fait l’expérimentateur est de se présenter et de donner quelques
précisions sur l’objet de sa présence. Il précise à l’élève qu’il ne doit pas se sentir évalué. Ce
qui l’intéresse, n’est pas les réponses fournies, bonnes ou mauvaises mais, les explications
sur comment il arrive à résoudre les tâches proposées. Les questions sont ensuite posées
oralement à l’élève. Une fois la réponse fournie ou la tâche réalisée, l’interviewer peut
rappeler à l’élève d’expliquer comment et pourquoi il arrive à cette réponse. Tous les
entretiens sont filmés.
Parmi les élèves de notre échantillon, six d’entre eux en difficulté lors de la mini-entrevue,
ont été sélectionnés pour contribuer à l’ entretien critique. Les questions sont ici aussi posées
oralement par l’expérimentateur qui essaie d’amener l’élève à préciser le plus possible ses
réponses.
Présentation des résultats
L’analyse qualitative des données recueillies lors des deux entretiens nous a permis de
dégager les points suivants : 1. Concernant les représentations des élèves autour de la notion
de fraction
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Lors de la mini-entrevue, lorsque nous avons demandé aux élèves de définir les fractions,
une majorité d’entre eux a tout d’abord donné oralement un exemple de fractions. Parmi
ceux-ci, nombreux sont ceux qui ont différencié par leur appellation les numérateurs des
dénominateurs. Deux élèves ont décrit l’écriture fractionnaire. « Une fraction, c’est
deux chiffres un en dessous de l’autre ... Il y a une barre au milieu ». Ces 2 élèves n’ont pas
été plus loin dans leurs définitions des fractions.
Par la suite, nombreux sont les élèves qui ont fait référence aux fractions comme
opérateur de fractionnement. L’exemple de la tarte ou de la pizza est cité par une grande
majorité.
On soulignera aussi que seuls six élèves de notre échantillon ont défini la fraction comme
nombre, quatre élèves précisent que c’est un nombre que l’on divise. Lorsqu’on
interroge ces six élèves sur ce qu’est un nombre, tous donnent à titre d’exemples des
nombres naturels. Pour eux : « une fraction est un nombre puisque les numérateurs et
dénominateurs sont des nombres ». Aucun de ces élèves ne parle des propriétés ordinale et
cardinale du nombre. L’équivalence entre deux fractions nombres a été mentionnée par cinq
élèves. Tous ont justifié celle-ci à partir de l’algorithme de division des numérateurs et
dénominateurs par un même nombre.
Lors de la mini-entrevue, aucun élève n’a fait référence à la fraction rapport.
Parmi les représentations avancées par les élèves dans les autres items de la mini-entrevue, il
est intéressant de souligner les fonctions attribuées par les élèves aux fractions. À la
question : « Quelle est l’utilité des fractions ? », plus de la moitié des élèves interrogés font
référence aux situations de fractionnement. La tarte et la pizza sont encore ici les exemples
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les plus fréquemment cités. Le restant de l’échantillon reconnaît ignorer pourquoi ils
étudient les fractions à l’école.
Lors de l’entretien critique, nous avons tout d’abord demandé aux six élèves de nous rappeler
leur définition des fractions. Cinq d’entre eux ont fait référence à la fraction opérateur,
deux ont parlé de la fraction nombre. La fraction rapport n’a été citée par aucun
d’entre eux.
Confrontés ensuite aux réponses de leurs camarades (cf. tableau 2), tous acceptent les
propositions décrivant l’écriture fractionnaire et la fraction opérateur. Par contre, les
définitions de la fraction nombre et de la division du numérateur par le dénominateur sont
rejetées par au moins la moitié d’entre eux. Nous allons dans les paragraphes suivants
présenter les différentes justifications avancées par les élèves qui ont rejeté ces propositions.
Pour les quatre élèves refusant la définition de la fraction nombre : « la fraction n’est pas un
nombre, c’est deux nombres ». Lorsque nous les interrogeons ensuite sur ce qu’est un
nombre, tous nous donnent à titre d’exemple des nombres naturels. Certains mentionnent
quelques opérations que l’on peut réaliser avec ceux-ci. Aucun d’entre eux ne cite les
propriétés ordinale et cardinale du nombre. On soulignera par la suite que tous acceptent la
proposition où l’équivalence entre fractions nombres est définie ; ils justifient cet accord à
partir de l’algorithme de division du numérateur et du dénominateur par un même nombre.
Trois élèves ont aussi refusé la définition des fraction comme équivalente à la division des
numérateurs par les dénominateurs. Pour justifier leur rejet, ces élèves font référence à la
définition du fractionnement : « 6/4, ce n’est pas 6 divisé par 4 car, il faut tout d’abord
diviser par 4 et ensuite multiplier par 6 »
2. Concernant les difficultés (erreurs et blocages) rencontrées par les élèves
Précisons tout d’abord l’entendement que nous réservons aux termes difficultés, erreurs et
blocages. Sous l’appellation difficultés sont regroupés les blocages et les erreurs. Nous
qualifions d’erreurs toutes les réponses fausses, erronées. Lorsque l’élève ne répond pas à la
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question posée, nous appelons ces réponses : blocage.
Nous devons rappeler aussi les trois niveaux de difficultés définis lors de la construction de la
mini-entrevue à savoir, la génération de définitions, la génération de représentations
sémiotiques et la reconnaissance. Ces trois niveaux sont pris en compte lors de l’analyse des
résultats.
Difficultés rencontrées par les élèves lors de la mini-entrevue
Les définitions obtenues lors de la mini-entrevue ayant déjà fait l’objet du point précédent,
nous ne répèterons pas ici ce qui vient d’être dit.
Concernant les représentations écrites, nous remarquons que très peu d’erreurs sont
commises lorsque les élèves doivent lire, écrire des fractions et fractionner un rectangle. Un
élève commet systématiquement la même erreur lorsqu’il doit lire une fraction écrite : « seize
huitièmes » pour 8/16, « cinq demis » pour 2/5. Un autre n’a pas su écrire 25/100. Un
troisième a représenté 1/10 du rectangle pour 2/5... Parmi les tâches de génération, une seule
s’avère plus difficile. Il s’agit de celle où les élèves doivent positionner la fraction 2/5 sur la
droite numérique. Seulement quatre élèves y sont parvenus. Pour trouver cette réponse, ils
ont divisé l’unité en cinq et pris deux parts. Parmi les erreurs commises, un grand nombre
d’élèves, neuf, positionnent 2/5 à 2,5. Les autres positionnent 2/5 à 0,1...à 0,25...0,5...
0,7...2,4 ou 2,6. Deux des élèves ignorent
où se placent ces fractions sur la droite.
Contrairement à ce qui était attendu, les items où il était demandé de reconnaître l’écriture
symbolique d’une fraction, les 3/5 d’un rectangle et la position de 2/5 sur la droite
numérique ont posé autant et même parfois plus de difficultés aux élèves. En effet, alors que
seuls deux élèves ont commis des erreurs lorsque nous leur avons dicté une fraction, six se
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trompent lorsqu’ils doivent reconnaître 7/8. Ceux-ci entourent 7,8 et affirment : « c’est la
même chose ». Une erreur supplémentaire a aussi été commise lors de la reconnaissance du
fractionnement d’un rectangle.
Lors de l’entretien critique, lorsque nous avons demandé aux élèves de positionner 2/5 sur la
droite numérique, quatre d’entre eux placent 2/5 à 2,5 cm. Tous justifient leur réponse de la
façon suivante : « 2/5 = 2,5. On a simplement remplacé la barre de fraction par une
virgule ». Confrontés ensuite aux réponses de leurs camarades, 2 d’entre eux vont les
accepter, les autres vont les rejeter. Aucun d’entre eux n’est capable d’expliquer son choix.
Idem pour les 2 élèves qui ont placé correctement 2/5.
Trois élèves commettent aussi des erreurs lorsqu’ils doivent reconnaître 7/8, ils entourent
7,8. Ces trois élèves avaient déjà commis la même erreur lors de la mini-entrevue.
Discussions des résultats
Rappelons tout d’abord l’hypothèse que nous avions formulée :
Lorsque nous synthétisons les données récoltées dans le cadre de cette recherche, nous
constatons que la majorité des élèves définissent correctement la fraction opérateur.
L’exemple le plus souvent cité étant bien entendu la tarte. La fraction nombre, quant à elle,
est mentionnée par une minorité d’élèves. Les définitions proposées par ceuxci restent le
plus souvent très précaires : pour expliquer pourquoi la fraction est un nombre, aucun ne fait
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référence aux propriétés ordinale et cardinale du nombre, tous donnent des exemples de
nombres naturels. Pour eux, la fraction est un nombre puisque les numérateurs et
dénominateurs sont des nombres naturels. Confrontés dans l’entretien critique aux
définitions de la fraction opérateur, tous l’acceptent. La définition de la fraction nombre sera
quant à elle rejetée par quatre élèves interrogés. Ceux-ci nous disent : « la fraction ce n’est
pas un nombre, c’est deux nombres ».
Dans les tâches proposés, la définition de la fraction opérateur doit être utilisée par l’élève
lorsqu’il représente ou reconnaît la fraction d’un rectangle. Seuls deux élèves commettent des
erreurs à ces items. Ces deux élèves sont aussi les seuls à ne pas avoir défini la fraction
comme opérateur lors de la mini-entrevue. Dans les items où l’élève devait placer ou
reconnaître la fraction sur la droite numérique, l’aspect ordinal de la fraction nombre était
demandé. C’est à ces items que le plus grand nombre d’erreurs ont été commises.
Les résultats que nous avons observés confirment bien notre hypothèse. Toutefois, étant
donné la taille de notre échantillon, aucune généralisation ne pourra être faite à son groupe
d’appartenance.
Conclusion
Au terme de cet article, rappelons les deux objectifs de notre recherche empirique : la mise
au point d’outils diagnostics visant à mieux comprendre les difficultés rencontrées par les
élèves lors de l’apprentissage des fractions et l’expérimentation de ces outils dans une classe
de sixième primaire.
Concernant l’élaboration des outils diagnostics, la mini-entrevue et l’entretien critique
répondent aux principes que nous nous étions fixés. Ainsi, il nous importait d’obtenir des
informations sur les difficultés rencontrées par l’élève lorsqu’il travaille avec les fractions
mais aussi, sur les représentations construites par ceux-ci. Les caractéristiques de ces outils,
notamment le recours à la méthode clinique, nous ont en effet permis de dépasser la seule
évaluation de la justesse de la réponse et ainsi arriver à mieux comprendre les
représentations sous-jacentes aux difficultés des élèves. À partir de ces informations, le
professionnel pourra construire des pistes d’intervention précises, s’appuyant sur les
capacités et les lacunes de l’élève.
Concernant l’élaboration des outils diagnostics, la mini-entrevue et l’entretien critique
répondent aux principes que nous nous étions fixés. Ainsi, il nous importait d’obtenir des
informations sur les difficultés rencontrées par l’élève lorsqu’il travaille avec les fractions
mais aussi, sur les représentations construites par ceux-ci. Les caractéristiques de ces outils,
notamment le recours à la méthode clinique, nous ont en effet permis de dépasser la seule
évaluation de la justesse de la réponse et ainsi arriver à mieux comprendre les
représentations sous-jacentes aux difficultés des élèves. À partir de ces informations, le
professionnel pourra construire des pistes d’intervention précises, s’appuyant sur les
capacités et les lacunes de l’élève.
Cependant, aussi grande que puisse être la qualité de ces outils, on doit aussi souligner une
de leur limite, à savoir le nombre restreint de concepts pouvant être évalués. En effet, à cause
du temps de préparation et de passation de ces outils, on ne saurait y avoir recours pour
chacune des notions du programme de mathématiques. Le professionnel doit alors se limiter
à la compréhension d’un concept et aux étapes les plus importantes dans la construction de
ce concept. Ces outils restent toutefois très intéressants pour préciser certaines difficultés
décelées lors de test plus généraux.
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Quand à l’expérimentation de cet outil en sixième primaire, il a pu mettre en évidence la
précarité des représentations construites par les élèves autour de la notion de nombre et de
fraction-nombre. Comme attendu, ces représentations précaires sont le plus souvent
accompagnées d’un grand nombre d’erreurs. Seuls 20% de notre échantillon placent
correctement la fraction sur la droite numérique. Paradoxalement à ces représentations
précaires autour de la fraction-nombre, nous constatons que les opérations sur celles-ci sont
les situations les plus fréquemment étudiées lors de l’apprentissage de fractions... On peut
dès lors s’interroger sur l’efficacité et la pertinence de ces apprentissages. En effet, ne
vaudrait-il pas mieux passer plus de temps à explorer ce qu’est une fraction, un nombre,
avant de se lancer dans les situations de calcul ? Étudier le fractionnement dans sa diversité
sans le restreindre à l’exemple de la tarte, insister sur l’utilisation des fractions rapport
notamment lorsqu’on travaille sur un plan, une carte, travailler sur les propriétés ordinale et
cardinale de la fraction-nombre sont quelques-uns des objectifs sur lesquels devrait se
centrer l’apprentissage des fractions. De plus, on peut aussi s’interroger sur la nécessité
d’insister sur certaines opérations complexes (par exemple, la division d’une fraction par une
autre...). Rappelons que ces opérations ne seront utiles que lorsque l’élève travaille l’algèbre,
les probabilités et les puissances. Pourquoi alors ne pas insister principalement sur les
opérations utilisées dans le cadre de ces apprentissages ( addition, soustraction et
multiplication).
Bibliographie
Astolfi, J.-B. (1997). L’erreur, un outil pour enseigner. Paris : ESF.
Baruk, S. (1992). Dictionnaire des mathématiques élémentaires. Paris : Seuil.
Brousseau, G. (1989). Les obstacles épistémologiques et la didactique des mathématiques. Dans N. Bednarz et C.
Garnier (Eds.) Construction des savoirs. Agence d’Arc, 41-63.
Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée Sauvage.
Chalon-Blanc, A. (1997). Introduction à Jean Piaget. Paris : L’harmattan.
Dahan-Dameldico, A., et Peiffer, J. (1986). Une histoire des mathématiques : routes et dédales. Paris : Seuil.
Di Sessa, A. (1987). Phenomenology and the evolution of intuition. In C. anvier (Ed.), Problems of representation in
the teaching and learning of mathematics. Hillsdale, New Jersey : Lawrence Erlbaum Associates, 83- 96.
Guitel, G. (1975). Histoire comparée des numérations écrites. Paris : Flammarion.
Hart, K. (1980). Children’ understanding of mathematics. Chelsea College Education Research Monograhs : D.
Johnson.
Hasemann, K. (1986). Analyse of fraction errors by model of cognitive science, European Journal of Psychology of
Education, 1, 57-66.
Ifrah, G. (1994). Histoire universelle des chiffres. Poitiers : Robert Laffont. Jonnaert, Ph., Balaban, F., et Bonnet,
JP. (1989). Ateliers mathématiques 5a et 5b. Bruxelles : Plantyn.
Jonnaert, Ph. (1992). L’analyse des erreurs des élèves dans les opérations arithmétiques à l’école primaire ou ... le
nombre ce méconnu !, Bulletin de psychologie scolaire et d’orientation, 3, 150-176.
Jonnaert, Ph., Balaban, F., et Bonnet, JP. (1995). Ateliers mathématiques 4a et 4b. Bruxelles : Plantyn.
Jonnaert, Ph., (1996). Apprentissages mathématiques en situation : une perspective constructiviste, Revue des
sciences de l’éducation, 22, 233-252.
Léonard, F., et Sackur, C. (1990). Connaissances locales et triple approche, une méthodologie de recherche,
Recherches en didactique des mathématiques, 10, 205-240.
Nantais, N. (1992). La mini-entrevue : un nouvel outil d’évaluation la compréhension mathématique. Montréal :
Publication de la Faculté des Sciences de l’Éducation.
Perraudeau, M. (1998). Échanger pour apprendre. L’entretien critique. Paris : Armand Colin.
Piaget, J. (1947). Le jugement et le raisonnement chez l’élève ( 3 édition). Paris et Neuchâtel : Delachaux & Niestlé.
Richard, J. F. (1990). Les activités mentales. Comprendre, raisonner, trouver des solutions. Paris : Armand Colin.
http://spip.cslaval.qc.ca/mathvip/imprimersans.php3?id_article=61
Page 13 sur 15
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14-08-21 10:11
Roegiers, X. (1989). Guide mathématique de base pour l’école primaire. Tome 1 et 2. Bruxelles : De Boeck. Rouche,
N. (1992). Le sens de la mesure. Bruxelles : Didier Hatier.
Rouche, N. (1998). Pourquoi ont-ils inventé les fractions ? Paris : Ellipses.
Streefland, L. (1986). Rational analysis of realistic mathematics education as a theoretical source for psychology.
Fractions paradigm, European journal of Psychology of Education, 1, 67-82.
Vergnaud, G. (1996). La théorie des champs conceptuels, in J. (dir.). Didactique des mathématiques, p.196-242.
Neuchâtel : Delachaux et Niestlé.
http://spip.cslaval.qc.ca/mathvip/imprimersans.php3?id_article=61
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Sébastien Deschamps
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