Sciences Industrielles pour l`Ingénieur en MPSI

Transcription

CHAPITRE 1
ÉTUDE TEMPORELLE DES SYSTÈMES LINÉAIRES
1.1 Systèmes du 1er ordre
1.1.1 Définition
Un système du premier ordre est décrit par une équation différentielle linéaire
à coefficients constants du premier ordre :
τ·
d s(t )
+ s(t ) = K.e(t ) avec
dt
τ : constante de temps
K : gain statique
1.1.2 Fonction de transfert
L
L
On pose : e(t ) →
− E(p) et s(t ) →
− S(p). On se place dans les conditions de Heaviside.
En appliquant la transformation de Laplace à l’équation précédente, on obtient :
τ · p · S(p) + S(p) = K · E(p)
on en déduit la fonction de transfert sous sa forme canonique et le schéma bloc
d’un système du premier ordre :
E(p)
S(p)
K
S(p)
K
H(p) =
=
1+τ·p
E(p) 1 + τ · p
1.1.3 Étude temporelle - réponse à un échelon
On se propose d’étudier la réponse temporelle de la sortie s(t ) pour une entrée
de type échelon e(t ) = E0 · u(t ) .
1
2
1 Étude temporelle des systèmes linéaires
Pour déterminer la réponse temporelle de la sortie s(t ), il est nécessaire de résoudre l’équation différentielle. On peut pour cela, soit utiliser les outils mathématiques classiques, soit utiliser les propriétés de la transformées de Laplace.
Pour résoudre, il est nécessaire de préciser les conditions initiales, nous les
supposerons nulles (conditions de Heaviside).
La résolution avec les outils classique ne pose de problème, on connaît la forme
de l’équation différentielle à résoudre,
τ·
d s(t )
+ s(t ) = K.e(t )
dt
et la solution est, pour un système partant du repos, de la forme :

−t 
s(t ) = K · E0 · 1 − e τ 
Nous allons retrouver ce résultats à partir de la transformation de Laplace.
On détermine dans un premier temps la sortie dans le domaine symbolique :
S(p) = H(p) · E(p)
S(p) =
K
E0
·
1+τ·p p
E0
p
Pour déterminer la réponse temporelle, il faut décomposer S(p) en fractions
−1
simples. S(p) comporte deux racines, p 1 = 0 et p 2 =
τ
E0 A
B
K
·
= +
S(p) =
1+τ·p p
p 1+τ·p
avec L e(t ) =
Par identification, on trouve :
S(p) =
K · E0 K · E0 · τ
+
p
1+τ·p
À partir du tableau des transformées en annexe page ??
K · E0 L −1
−−−→ K · E0 · u(t )
p
−t
K · E0 · τ L −1
−−−→ K · E0 · e τ · u(t )
1+τ·p
On retrouve bien la réponse temporelle.
3
1.1.4 Étude et caractéristiques de la réponse s(t)
L’étude de cette fonction ne pose aucun problème particulier mais nous allons
utiliser les outils de la transformation de Laplace pour les retrouver.
Asymptote finale : À partir du théorème de la valeur finale 1 , nous allons vérifier
que la réponse possède une asymptote horizontale. Le théorème de la valeur
finale s’écrit :
lim s(t ) = lim p · S(p)
p→0
µ
¶
K
E0
lim s(t ) = lim p ·
·
t →∞
p→0
1+τ·p p
t →∞
lim s(t ) = K · E0
t →∞
La sortie tend asymptotiquement vers une valeur finie K · E0 lorsque t → ∞.
Valeur initiale : Le théorème de la valeur initiale appliqué à s(t ) permet d’obtenir
la valeur à l’instant t = 0 de la sortie.
p→∞
t →0
µ
¶
K
E0
lim s(t ) = lim p ·
·
p→∞
t →0
1+τ·p p
lim s(t ) = 0
t →0
Tangente à l’origine : Pour déterminer la tangente à l’origine, il faut déterminer
la dérivée de s(t ) pour t = 0. On peut utiliser le théorème de la valeur initiale
appliqué à la dérivée pour obtenir cette valeur :
Nous savons que pour une fonction temporelle f (t ) dont la transformée de
Laplace est F(p), on peut écrire :
µ
¶
d f (t )
L
= p · F(p) − f (0+ )
dt
µ
¶
d f (t )
L
= p · F(p) si les conditions initiales sont nulles
dt
En appliquant le théorème de la valeur initiale à ˙(s)(t ) =
d s(t )
dt
d s(t )
= lim p 2 · S(p)
p→∞
t →0
t →0 dt
µ
¶
K
E0
2
lim ṡ(t ) = lim p ·
·
p→∞
t →0
1+τ·p p
K
lim ṡ(t ) = · E0
t →0
τ
lim ṡ(t ) = lim
1. Le théorème de la valeur finale n’est utilisable que si la fonction est convergente
4
K · E0 s ∞
=
.
τ
τ
On constate que la tangente à l’origine coupe l’asymptote horizontale (K·E0 )
au bout du temps τ (voir figure ??).
La pente à l’origine est non nulle et égale à
Temps de réponse : On appelle temps de réponse à 5% (T5% ), le temps mis pour
que la sortie atteigne la valeur finale à ±5% près soit :
s(∞) − s(T5% )
= 0,05
s(∞)
³
´
−T5%
K · E0 − K · E0 · 1 − e τ
= 0,05
K · E0
e
−T5%
τ
= 0,05
On en déduit
T5% ≈ 3 · τ
On note que le temps de réponse ne dépend pas de la consigne d’entrée ni
du gain mais uniquement de la constante de temps τ, plus la constante de
temps est importante, plus le temps de réponse est important (figures ??).
s(t)
K=2
s(t)
K=1.6
K=1
K=0.8
τ
t
T5% = 3τ
τ3 τ1
τ2
3τ3
t
3τ1
3τ2
(a) Réponse à un échelon unitaire d’un 1er ordre pour (b) Réponse à un échelon d’un 1er ordre pour différentes
différentes valeurs du gain K
valeurs de la constante de temps τ
F IGURE 1.1 – Réponse d’un système du 1er ordre
Équations temporelles Réponse temporelle de H1 (p) =
K
(voir les figures ??) :
1+τ·p
5
– à un échelon e(t ) = E0 · u(t )) : S(p) = H1 (p) ·
E0
p
t
s(t ) = K · E0 1 − e τ 

−
– à une impulsion de Dirac e(t ) = δ(t ) alors S(p) = H1 (p) =
gure ??) :
K
(fi1+τ·p
t
K −
s(t ) = · e τ
τ
Remarque : Compte tenu de la discontinuité de l’impulsion de Dirac, le
théorème de la valeur initiale n’est pas applicable.
K
a
– à une rampe e(t ) = a · t · u(t ) alors S(p) = H1 (p) · E(p) =
· 2 (voir
1+τ·p p
figure ??) :


t 
−
s(t ) = K · a · 1 − τ · 1 − e τ 
K s(t)
τ
Tangente en 0 :
K
τ2
t
τ
(a) à une impulsion de Dirac
s(t)
τ
Asymptote de
pente K · at
(b) à une rampe de pente a
F IGURE 1.2 – Réponse temporelle d’un premier ordre
6
1.2 Systèmes du 2nd ordre
1.2.1 Définition
Un système du second ordre est décrit par une équation différentielle linéaire
à coefficients constants du second ordre :
a2 ·
d2 s(t )
2
dt
+ a1 ·
d s(t )
+ a 0 · s(t ) = b 0 · e(t )
dt
Lorsque tous les coefficients sont de même signe, on préfère l’écrire sous sa
forme canonique :
1
ω2n
·
d2 s(t )
dt2
2 · ξ d s(t )
·
+ s(t ) = K · e(t ) avec
+
ωn
dt
ωn > 0 : pulsation propre
ξ > 0 : : coefficient d’amortissement
K : gain statique
L
L
On pose : e(t ) →
− E(p) et s(t ) →
− S(p). On se place dans les conditions de Heaviside.
En appliquant la transformation de Laplace à l’équation précédente, on obtient :
p2
ω2n
2·ξ
· p · S(p) + S(p) = K · E(p)
ωn
¶
µ 2
p
2·ξ
+
· p + 1 · S(p) = K · E(p)
ω2n ωn
· S(p) +
on en déduit la fonction de transfert sous sa forme canonique et le schéma bloc
d’un système du second ordre :
S(p)
H(p) =
=
E(p)
K
E(p)
2
K
2·ξ
p2
1+
·p + 2
ωn
ωn
S(p)
2·ξ
p
·p + 2
ωn
ωn
Le dénominateur de la fonction de transfert admet soit des racines réelles, soit
une racine réelle double, soit deux racines complexes conjuguées.
1+
∆=
4 · ξ2
ω2n
−
4
ω2n
=
4
ω2n
· (ξ2 − 1)
On constate que le signe de ∆ ne dépend que de ξ :
7
cas ξ > 1 alors ∆ > 0 : le dénominateur admet alors deux racines réelles,
µ
¶
q
2
r 1 = ωn · −ξ − ξ − 1
µ
¶
q
2
r 1 = ωn · −ξ + ξ − 1
On pose
τ1 = −
1
1
³
´
=−
p
r1
ωn · −ξ − ξ2 − 1
τ2 = −
1
1
³
´
=−
p
r2
ωn · −ξ + ξ2 − 1
soit
τ1 + τ2
p
2 · τ1 · τ2
1
ωn = p
τ1 · τ2
ξ=
La fonction de transfert peut alors se mettre sous la forme d’un produit de
deux fonctions du premier ordre :
H(p) =
K
(1 + τ1 · p) · (1 + τ2 · p)
cas ξ = 1 alors ∆ = 0 : le dénominateur admet alors une racine réelle double,
r = ωn
La fonction de transfert peut alors se mettre sous la forme :
K
H(p) = µ
1+
p
ωn
¶2 =
K
(1 + τ · p)2
cas 0 < ξ < 1 alors ∆ < 0 : le dénominateur admet alors deux racines complexes conjuguées.
µ
¶
q
2
r 1 = ωn · −ξ − j · 1 − ξ
µ
¶
q
2
r 1 = ωn · −ξ + j · 1 − ξ
La fonction de transfert n’est pas simplifiable
H(p) =
K
2·ξ
p2
1+
·p + 2
ωn
ωn
8
1.2.3 Réponse temporelle à une entrée en échelon
Soit e(t ) = E0 · u(t ) avec u(t ) la fonction de Heaviside alors :
S(t ) =
K
p2
2·ξ
·p + 2
1+
ωn
ωn
·
E0
p
On considère que ξ > 0 et ωn > 0.
Valeur finale




lim s(t ) = lim p · S(p) = lim p ·
t →∞
p→0
p→0 
K
1+
p2
2·ξ
·p + 2
ωn
ωn
·
E0 


p
lim s(t ) = K · E0
t →∞
Valeur initiale



lim s(t ) = lim p · S(p) = lim p ·
p→∞
p→∞ 
t →0

K
1+
2·ξ
p2
·p + 2
ωn
ωn
·
E0 


p
lim s(t ) = 0
t →0
Tangente à l’origine



lim ṡ(t ) = lim p · p · S(p) = lim p 2 ·
p→∞
p→∞ 
t →0

K
1+
2·ξ
p2
·p + 2
ωn
ωn
·
E0 


p
lim ṡ(t ) = 0
t →0
L’allure de la réponse temporelle dépend de la nature des racines du dénominateur de la fonction de transfert.
a ) cas ξ > 1 : deux racines réelles
S(t ) =
K
E0
·
(1 + τ1 · p) · (1 + τ2 · p) p
9
La décomposition en fraction simple s’écrit :
Ã
!
τ21
τ22
1
1
1
S(p) = K · E0 ·
·
·
−
−
p τ1 − τ2 1 + τ1 · p τ2 − τ1 1 + τ2 · p
Du tableau des transformées inverses, on déduit :


t
t
−
−
τ2
τ1


s(t ) = K · E0 1 −
· e τ1 −
· e τ2 · u(t )
τ1 − τ2
τ2 − τ1
On constate sur la figure ?? l’influence de ξ > 1, plus ξ est grand, plus le temps
de réponse est important pour ωn constant.
La tangente à l’origine est horizontale et la réponse ne présente pas d’oscillation
K · E0
0,95 · K · E0
s(t)
ξ > 1 croissant
t
F IGURE 1.3 – Réponse temporelle d’un second ordre pour ξ > 1 à une entrée en échelon (tracés continus) et ξ = 1
(tracé en pointillé)
b ) cas z = 1 : une racine double
S(t ) =
K
E0
·
2
(1 + τ · p) p
La décomposition en fraction simple s’écrit :
µ
¶
1
τ
τ
S(p) = K · E0 ·
−
−
p (1 + τ · p)2 (1 + τ · p)
10
à partir du tableau des transformées inverses, on détermine la réponse temporelle :
t
−
t
+
τ
s(t ) = K · E0 · 1 −
· e τ  · u(t )
τ

c ) cas 0 < ξ < 1 : deux racines complexes conjuguées
K
S(t ) =
2
1+
s(t ) =
K · E0
ω2n
Ã
1− p
1
1 − ξ2
2·ξ
p
·p + 2
ωn
ωn
µ
e −zωn t · sin ωn
·
E0
p
q
1 − ξ2 · t + ϕ
¶!
· u(t )
ϕ = arccos ξ
s(t)
1,05 · K · E0
K · E0
0,95 · K · E0
0 < ξ < 1 décroissant
t
F IGURE 1.4 – Réponse temporelle d’un second ordre pour 0 < ξ < 1 à une entrée en échelon (tracés continus) et
ξ = 1 (tracé en pointillé)
11
Dépassements La réponse présente la forme d’une sinusoïde amortie dont la
pseudo– période est
2·π
p
ω n · 1 − ξ2
Tp =
et la pseudo– pulsation
ω p = ωn ·
q
1 − ξ2
Le premier maximum est atteint pour
Tpm =
Tp
2
=
π
p
ωn · 1 − ξ2
et son amplitude
D1%
−π · ξ
p
2
= e 1−ξ
L’amplitude des dépassements augmente d’autant plus fortement que le coefficient d’amortissement ξ diminue. Le nombre d’oscillation augmente lui aussi
avec la diminution de ξ. L’abaque page suivante (Figure ??) permet de déterminer
l’amplitude relative de chaque dépassement en fonction du coefficient d’amortissement.
Temps de réponse Le temps de réponse à 5% évolue lui aussi de manière notable
en fonction de ξ.
L’abaque page suivante (Figure ??) donne le
temps de réponse à 5% (en fait T5% · ωn ) pour
un système du second ordre.
On constate sur cette abaque deux parties :
s
ξ ≈ 0, 7
+5%
−5%
– pour ξ > 0,7, le temps de réponse augmente lorsque z augmente ;
– pour ξ > 0,7, le temps de réponse augmente lorsque z diminue.
ξ=1
Le temps de réponse est minimal pour ξ ≈
0,7. Le temps de réponse sans dépassement lui
est minimal pour ξ = 1.
t
Tr 0,7 Tr 1
F IGURE 1.6 – Temps de réponse minimal
12
D
1
D1
0.7
D2
0.5
D3
D4
0.3
D5
D6
D7
D8
0.1
0.05
D1
D3
1
D2
D4
z
5
7
0.
0.
1
3
0.
1
0.
0.
05
0.
01
0.01
F IGURE 1.5 – Abaque des dépassements
Tr · ωn
80
50
H(p) =
30
K
p2
1 + 2 · ωzn + ω2
n
10
5
3
F IGURE 1.7 – Abaque des temps de réponse d’un second ordre
10
4
5
3
2
1.5
1
0.7
0.4
0.5
0.3
0.2
0.1
0.05
z
1.3 Intégrateur
13
1.3 Intégrateur
1.3.1 Définition
On appelle système intégrateur, un système décrit par l’équation différentielle du premier ordre :
d s(t )
= K · e(t )
dt
soit
ˆ
s(t ) =
+∞
K · e(u)du
0
La sortie est l’intégrale de l’entrée.
Dans les conditions de Heaviside
S(p) K
=
H(p) =
E(p) p
E(p)
K
p
S(p)
1.3.3 Étude temporelle
s
s(t ) = K · E0 · t · u(t )
e(t ) = E0 · u(t )
t
F IGURE 1.8 – Réponse temporelle d’un intégrateur
1.4 Dérivateur
1.4.1 Définition
On appelle système intégrateur, un système décrit par l’équation différentielle
du premier ordre :
s(t ) = K ·
d e(t )
dt
14
S(p)
H(p) =
=K·p
E(p)
E(p)
K·p
S(p)
1.5 Retard
1.5.1 Définition
On appelle système retard, un système décrit par l’équation différentielle :
s(t ) = e(t − τ)
S(p)
H(p) =
= e −τ·p
E(p)
E(p)
e −τ·p
S(p)
1.6 Influence du bouclage
On se propose dans cette partie d’évaluer l’influence du bouclage sur les caractéristiques temporelles des systèmes du premier et du second ordre
Soit un système bouclé à retour
unitaire défini par le schéma-bloc cicontre :
E(p)
ε(p)
T(p)
+−
S(p)
La formule de Black, nous permet de déterminer rapidement la fonction de
transfert en boucle fermée :
BF(p) =
S(p)
T(p)
=
E(p) 1 + T(p)
1.6.1 1er ordre
Soit
T(p) =
Ko
1 + τo · p
avec K o le gain en boucle ouverte et τo la constante de temps en boucle ouverte.
1.6 Influence du bouclage
15
Alors
Ko
Ko
1 + τo · p
=
=
Ko
1 + K o + τo · p
1+
1 + τo · p
S(p)
BF(p) =
E(p)
soit sous forme canonique
Ko
1 + Ko
BF(p) =
τo
1+
·p
1 + Ko
On constate qu’un système du premier ordre bouclé est aussi un système du
premier ordre avec les caractéristiques suivantes :
Ko
– gain en boucle fermée :
Kf =
1 + Ko
τo
– constante de temps en boucle fermée :
τf =
1 + Ko
Le système bouclé est toujours plus rapide que le système en boucle ouverte,
et d’autant plus rapide que le gain en boucle ouverte est important et le gain tend
vers 1 si K o → ∞
Pour une entrée en échelon e(t ) = E0 · u(t ), la sortie tend vers
µ
¶
Kf
E0
lim s(t ) = lim p · S(p) = lim p ·
·
= K f · E0
t →∞
p→0
p→0
1 + τf · p p
Ko
lim s(t ) =
· E0
t →∞
1 + Ko
et l’erreur indicielle εi
¡ ¡
¢¢
εi = lim ε(t ) = lim p · ε(p) = lim p · E(p) − S(p)
t →∞
p→0
p→0
µ
¶
Ko
1
· E0 =
· E0
εi = ( 1 −
1 + Ko
1 + Ko
La précision du système s’améliore donc lorsque K o → ∞.
1.6.2 2nd ordre
Soit
Ko
T(p) =
1+
2 · ξo
p2
·p + 2
ωn0
ωn0
16
avec K o le gain en boucle ouverte, ξo le coefficient d’amortissement en boucle ouverte et ωno la pulsation propre.
La fonction de transfert en boucle fermée s’écrit sous sa forme canonique :
Ko
1 + Ko
BF(p) =
1+
2ξ0
p2
·p +
(1 + K o ) · ωno
(1 + K o ) · ω2no
Le bouclage ne change pas l’ordre du système.
Par identification, on obtient les caractéristiques du second ordre en boucle
fermée :
K0
– gain statique en boucle fermée :
Kf =
1
+
p Ko
– pulsation propre en boucle fermée :
ωn f = ωno · 1 + K o
ξ
– coefficient d’amortissement en boucle fermée :
ξf = p
1 + Ko
Comme pour le système du premier ordre, le gain statique tend vers 1 lorsque
K o augmente.
On constate aussi que le facteur d’amortissement diminue et que la pulsation
propre augmente. Cela implique qu’un système qui n’était pas oscillant en boucle
ouverte peut le devenir en boucle fermée et qu s’il était oscillant, l’amplitude des
oscillations et leur fréquence augmentent.
En conclusion, le bouclage d’un système modifie ses caractéristiques, il permet d’améliorer la rapidité et la précision mais peut rendre le système instable.
1.7 Systèmes complexes
1.7.1 Systèmes d’ordre supérieur à 2
Soit
H(p) =
K
1 + a1 · p + a2 · p 2 + · · · + an · p n
(1.1)
Un système d’ordre élevé comporte un grand nombre de paramètres et étudier
ses réponses temporelles peut se révéler fastidieux.
L’objectif est de pouvoir déterminer le comportement d’un système en fonction de ses réponses temporelles tout en considérant un nombre restreint de paramètres en le ramenant à un système relativement simple.
Un système d’ordre élevé comporte un grand nombre de pôles (réels ou complexes conjugués) et tous ne possèdent pas la même influence sur les réponses
temporelles.
17
Soit une fonction de transfert d’ordre supérieur à 2.
H(p) =
1
S(p)
=
´ ³
´
³
E(p) (1 + p) · (1 + p · 1 + p
6
20
la réponse temporelle s’écrit
s(t ) = 1 −
25 −t
1 −20·t 1 −5·t
·e −
·e
+ ·e
19
57
3
(1.2)
Dans cette réponse temporelle, tous les éléments non pas le même poids, le terme
e 20·t tend beaucoup plus rapidement vers zéro que e −t et e −5·t , il peut donc être
négligé par rapport aux deux autres.
Sur la figure ?? on a tracé les réponses temporelle pour un échelon unitaire des
fonctions de transfert
H1 (p) =
1
1
³
p ´ et H2 (p) = (1 + p)
(1 + p) · (1 +
6
(1.3)
on remarque qu’il n’y a peu de différence en régime permanent. Par contre l’erreur
peut être notable au début.
s
s
t
(a) de H(p) et H1 (p)
t
(b) de H(p) et H2 (p)
F IGURE 1.9 – Comparaison des réponses temporelles
Le résultat mis en évidence par cet exemple possède plusieurs conséquences :
– un système d’ordre élevé possède, la plupart du temps, 1 ou 2 pôles dominants et se « comporte » donc comme un système du premier ou du deuxième
ordre.
– on peut simplifier la fonction de transfert d’un système d’ordre élevé en ne
conservant que le (ou les) pôle(s) dominant(s) (approximation par un système du premier ou du deuxième ordre).
– en pratique, un pôle peut être négligé dès qu’il est 3 à 4 fois supérieur au
précédent
18
1.7.2 Influence d’un zéro
Soit la fonction de transfert possédant un zéro 2 réel :
H(p) = K ·
1+a ·p
1 + b1 · p + b2 · p 2
Cette fonction peut s’écrire :
µ
¶
1
p
H(p) = K ·
+a·
1 + b1 · p + b2 · p 2
1 + b1 · p + b2 · p 2
elle se construit donc comme la somme de deux fonctions de transfert : la fonction
sans le numérateur à laquelle on ajoute la dérivée de cette fonction affectée du
coefficient a.
La réponse temporelle à un échelon unitaire est donc :
µ
¶
1
1
p
1
S(p) = K ·
· +a·
·
1 + b1 · p + b2 · p 2 p
1 + b1 · p + b2 · p 2 p
µ
¶
1
1
−1
On pose s 1 (t ) = L
·
, alors
1 + b1 · p + b2 · p 2 p
µ
¶
d s 1 (t )
s(t ) = K · s 1 (t ) + a ·
dt
À partir du théorème de la valeur finale, on constate que le terme dérivé ne
modifie pas la valeur finale.
p→0
µ
µ
= lim p · K ·
t →∞
p→0
1
1
p
1
· +a·
·
2
2
1 + b1 · p + b2 · p p
1 + b1 · p + b2 · p p
¶¶
=K
Le zéro a surtout un effet que pendant le régime transitoire.
a ) cas d’un zéro négatif
Sur la figure ?? on a tracé la réponse temporelle à un échelon de la fonction de
transfert :
H(p) =
1 + 0.5 · p
1
0.5 · p
=
+
2
2
1+p +p
1+p +p
1 + p + p2
(1.4)
On retrouve la réponse temporelle s(t ) = s 1 (t ) + 0.5 · s˙1 (t ).
On constate sur ce graphe que l’effet du numérateur avec un zéro négatif est
d’accélérer la réponse temporelle mais aussi d’amplifier les dépassements.
2. un zéro est une racine du numérateur
19
s
s(t )
s 1 (t )
0.5 · s˙1 (t )
t
F IGURE 1.10 – Influence d’un zéro négatif
b ) cas d’un zéro positif
Sur la figure ?? on a tracé la fonction de transfert :
H(p) =
1 − 0.5 · p
1
0.5 · p
=
+
2
2
1+p +p
1+p +p
1 + p + p2
(1.5)
présentant un pôle positif.
On constate que la réponse temporelle s(t ) présente un « undershot » c’est à
dire un dépassement vers le bas au démarrage.
s
s 1 (t )
s(t )
t
0.5 · s˙1 (t )
F IGURE 1.11 – Influence d’un zéro positif
1.7.3 Pôles négatifs
Jusqu’ici, nous n’avons traité que le cas de pôles réels négatifs ou de pôles complexes à partie réelles négatives. Quel est l’effet d’un pôle réel positif sur le comportement du système ?
Soit
H(p) =
K
(1 + τ · p) · (1 − τ · p)
20
avec τ > 0
Étudions la réponse temporelle à une échelon e(t ) = E0 · u(t ).
S(p) =
K
E0
·
(1 + τ · p) · (1 − τ · p) p
d’où la décomposition en fractions simples :
µ
¶
τ
τ
1
S(p) = K · E0 ·
−
+
p 2 · (1 + τ · p) 2 · (1 − τ · p)
et la réponse temporelle
 t
t 
−
1
s(t ) = K · E0 · 1 − e τ + e τ 
2

Cette fonction temporelle diverge (figure ??, elle tend −∞
s
t
F IGURE 1.12 – Influence d’un pôle positif
De la même manière, un système possédant deux pôles complexes conjugués
à partie réelle positive divergera aussi mais en oscillant. Le graphe ?? présente l’allure de la réponse temporelle à un échelon unitaire de
H(p) =
1
1 − p + 10·2
1.7.4 Réponse temporelle et position des pôles
On peut regrouper les différents résultats sur la figure ?? sur laquelle est représentée la réponse impulsionnelle en fonction de la nature des pôles de la fonction
de transfert.
21
s
t
F IGURE 1.13 – Influence de deux pôles complexes conjugués à partie réelle positive
C ONVERGENCE
Racine nulle
simple
D IVERGENCE
ℑ
Racine nulle
multiple
Racines complexes à partie
réelle négative
Racine réelle
positive
ℜ
Racine réelle
négative
Racines imaginaires simples
Racines imaginaires doubles
Racines complexes à partie
réelle positive
F IGURE 1.14 – Réponse temporelle en fonction de la position des pôles
22
1.8 Exercices
Exercice 1- Réponse temporelle 1er ordre
Corrigé page ??
Soit un système décrit par les équations différentielles :
d s(t )
+ 10 · s(t ) = 3 · u(t )
dt
u(t ) = K · (e(t ) − s(t ))
Q1. Compléter le schéma bloc
E(p)
ε(p)
U(p)
+−
S(p)
Q2. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée.
Q2a. mettre sous forme canonique
Q2b. identifier les paramètres caractéristiques
Q3. Déterminer K pour que l’erreur indicielle relative εi % soit inférieure à 5%.
Q4. Tracer la réponse temporelle pour e(t ) = 2 · u(t ), déterminer le temps de réponse à 5%.
Exercice 2- temps de réponse d’un second ordre
Corrigé page ??
d s(t )
+ 5 · s(t ) = 2 · v(t )
dt
d v(t )
+ 2 · v(t ) = u(t )
dt
u(t ) = K · (e(t ) − s(t ))
Q1. Tracer le schéma bloc correspondant à ces équations.
Q2. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée puis la mettre sous sa
forme canonique.
Q3. Déterminer K pour que le temps de réponse soit minimal
Q3a. sans dépassement,
Q3b. avec dépassement.
Q4. Déterminer la valeur finale pour une entrée en échelon unitaire.
Q5. Tracer l’allure de la réponse temporelle à partir des abaques.
Exercice 3- Ordres dominants
Corrigé page ??
5
(1 + 0.3 · p) · (1 + 3 · p)
Q1. Déterminer la réponse temporelle pour un échelon unitaire.
Soit H(p) =
1.8 Exercices
23
Q2. Tracer sur ce même graphe la réponse temporelle pour les deux fonctions de
5
5
transfert : H1 (p) =
et H2 (p) =
.
1+3·p
1+3·p
Q3. Par quelle fonction peut-on remplacer H(p).
Exercice 4- Identification temporelle
Corrigé page ??
On a sollicité différents systèmes avec un échelon unitaire, les différentes réponses temporelles sont présentées dans la figure ??.
Q1. Déterminer pour chacun des graphes la fonction de transfert du système.
s
s
1
1
t
0
t
0
0
1
0
1
(a)
(b)
s
s
1
1
t
0
t
0
0
1
0
(c)
1
(d)
F IGURE 1.15 – Réponses temporelles
Exercice 5- 1er ordre et intégration
Soit un système décrit par le schéma bloc
Corrigé page ??
24
E(p)
+−
ε(p)
K
U(p)
1
¡
¢
p · 1 + 10 · p
S(p)
Q1. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée. Mettre sous forme canonique.
Q2. Déterminer l’erreur indicielle. Conclure sur l’effet d’une intégration sur la précision.
Q3. Déterminer K pour que le temps de réponse soit minimal.
1.9 Corrigés
1.9 Corrigés
25

Sciences Industrielles pour l`Ingénieur en MPSI

Transcription

Documents pareils

TD6 Exercice 1. Calculer la transformée de Fourier • fonction “porte