Les équations de Lagrange

1
LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE
I ÉTABLISSEMENT DES ÉQUATIONS DE LAGRANGE
1. Établissement à partir du principe de moindre action considéré
comme admis. - On considère un système mécanique dont la position est
définie par les variables : qi (t) i = 1, ..., r. On peut avoir qi = x, y, z ou des
i
variables angulaires, ou d’autres variables. On a : q̇i = dq
dt . On suppose qu’il
existe une fonction L [qi (t), q̇i(t), t] appelée Lagrangien telle que :
S=
Z t
2
t1
L [qi (t), q̇i(t), t] dt
S est l’action du système. On suppose que la trajectoire réelle dans l’espace
des qi : Espace de configuration, est, parmi toutes les trajectoires possibles
allant de A à l’instant t1 à B à l’instant t2 , celle qui rend la variation δS pour
une petite variation du parcours (en trajectoire spatiale ou en vitesse, ou les
deux) nulle : δS = 0. C’est l’analogue du principe de Fermat où δt = 0, le
temps de parcours est minimal pour la trajectoire réelle de la lumière.
Z t "
∂L
2
#
∂L
δS =
δqi (t) +
δ q˙i (t) dt
t1 ∂qi
∂ q˙i
#
"
d
dqi
= [δqi ]
δ q˙i (t) = δ
dt
dt
Z t
2
t1
∂L d
[δqi ] dt =
∂ q˙i dt
 t2
=0
}|
{
z


 ∂L




δq
i
 ∂ q̇



i

−
Z t
2
t1
δqi
d ∂L
dt
dt ∂ q˙i
t1
δS =
Z t
2
t1
!
d ∂L
∂L
−
δqi dt = 0 ∀ δqi (t)
∂qi dt ∂ q˙i
(Il y a sommation sur i).
⇒ ∀i
d ∂L ∂L
−
= 0 Équations de Lagrange
dt ∂ q̇i ∂qi
1
L = T − V = Σ mq˙i 2 − V (q1...qr , t)
2
1 action
1
"
mq¨i = Fi .
#
∂V
∂V
mq¨i − −
= 0 mq¨i = −
= Fi
∂qi
∂qi
On retrouve bien les équations de Newton.
2. Établissement à partir de la loi de Newton : F~ = m~a - Soit un
système constitué d’un ensemble de solides soumis à des liaisons entre eux,
et avec des objets extérieurs qui peuvent bouger. Les liaisons ne sont pas
dissipatives et sont donc du type roulement sans glissement, ou glissement
pur sans frottement. Ce système contient N points matériels ayant chacun
trois coordonnées, dont les mouvements peuvent être complètement décrit par
r paramètres : q1, ..., qi, ..., qr et le temps t :
xk = xk (q1, ..., qi, ..., qr , t)
∂xk
δqi à t constant
i ∂qi
(principe des travaux virtuels); mk ẍk = fk . Pour un ensemble de δqi absolument quelconques :
X
X
∂xk
(−fk + mk ẍk ) δxk = (−fk + mk x¨k )
δqi = 0
∂qi
k
ik
δxk =
X
Cela exige que le coefficient de chacun des δqi soit nul, soit :
Pi − Qi = 0 (r relations)
avec :
X ∂xk
∂xk
ẍk et Qi =
fk
∂qi
k ∂qi
k
Introduisons l’énergie cinétique du système :
1X
T =
mk ẋ2k = T (qi, q̇i, t) (qi représente l’ensemble des q1 ...qr )
2 k
Pi =
X
mk
X
∂xk
δqi = Qiδqi
∂qi
i
k
ik
∂V
On a donc : Qi = −
∂qi
Par ailleurs, nous pouvons écrire :
X
fk δxk = −δV =
X

fk

d X
d ∂xk
∂xk  X
P i =  mk
ẋk − mk ẋk
dt k
∂qi
dt ∂qi
k
!
Remarquons alors que :
a)
b)
∂xk
∂ ẋk
car
∂ q̇i = ∂qi
d ∂xk
∂ 2 xk
=
dt ∂qi
∂qi ∂t
P ∂xk
dxk
∂xk
dt = ∂t + i ∂qi q̇i
P ∂ 2 xk
∂
dxk
∂ ẋk
j ∂qi ∂qj q̇j = ∂qi dt = ∂qi
ẋk =
+
2
On peut alors écrire :


∂ ẋk  X
∂ ẋk
d X
Pi =  mk ẋk
− mk ẋk
dt k
∂ q̇i
∂qi
k
!
∂T
d ∂T
−
c’est à dire : Pi =
dt ∂ q̇i
∂qi
Nous voyons ainsi apparaı̂tre la quantité ∂∂Tq̇i = pi; pi sera désigné sous le nom
de moment conjugué de la coordonnée qi. Les équations Pi − Qi = 0 prennent
donc la forme :
∂V
dpi ∂T
=−
−
dt
∂qi
∂qi
soit, en introduisant la “fonction de Lagrange”(ou “Lagrangien”) du système
L = T − V , et en remarquant que V ne dépend pas des q̇i :
pi =
∂L
;
∂ q̇i
dpi
∂L
= ṗi =
dt
∂qi
On obtient ainsi les r équations de Lagrange :
!
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q̇i
∂qi
dont l’intégration fournira la loi d’évolution du système, c’est à dire l’ensemble
des lois de variation qi(t).
II DÉVELOPPEMENTS THÉORIQUES
1. Le Hamiltonien - pi = ∂∂L
q˙i ; on pose : H = pi q˙i −L. H est le hamiltonien;
si L ne dépend pas de t, H = Cte = Énergie du système :
∂L
dL ∂L
=
q̇i +
q̈i
dt
∂qi
∂ q̇i
!
∂L
d
∂L
d ∂L dL
q̇i
− L = q̈i
+ q̇i
−
dt
∂ q̇i
∂ q̇i
dt ∂ q̇i
dt
∂L
∂L dL
= q̈i
+ q̇i
−
=0
∂ q̇i
∂qi
dt
L = pi q˙i − H
et S =
Z t
2
t1
Ldt =
Z t
2
t1
pidqi − Hdt
δS = 0 avec cette expression mène aux équations canoniques de Hamilton :









q˙j =
∂H
∂pj
p˙j = − ∂H
∂qj
3
qui fournissent une nouvelle méthode de résolution d’un problème de mécanique,
c’est à dire de détermination du mouvement.
En effet, montrons le pour une seule coordonnée q :
∂H
∂H
δqdt −
δpdt
∂q
∂p
Z
Z
Z
pdδq = pδq − δqdp = − δqdp
!
!
Z
∂H
∂H
dq −
dp +
dt δp −
dt δq = 0
∂p
∂q
∀ δp ∀ δq
∂H
∂H
⇒ dq =
dt dp = −
dt
∂p
∂q
dq
∂H dp
∂H
=
=−
dt
∂p dt
∂q
δS =
δS =
Z
Z
δpdq + pdδq −
2. L’Action en fonction des coordonnées et du temps. - On ne
compte que les trajectoires physiques effectivement suivies par le système. On
choisi un point origine (qi0 , t0). Au point (qi, t) on a :
S(qi, t) =
Z t
t0
L(qi, q̇i, t)dt
le long de la trajectoire supposée unique effectivement suivie pour arriver à
{qi} à l’instant t. Montrons que :
dS = pidqi − Hdt
À t fixé :
!
"
d ∂L
∂L
∂L
−
δqi dt +
δqi
δS =
t0 ∂qi
dt ∂ q̇i
∂ q̇i
∂L
∂S
∂L
=
δqi ⇒
=
= pi
∂ q̇i
∂qi
∂ q̇i
Z t
D’autre part :
dS
=L
dt
dS
∂S ∂S
∂S
=
+
q̇i =
+ pi q̇i
dt
∂t
∂qi
∂t
∂S
= L − piq̇i = −H
∂t
∂S
= −H
∂t
4
# t
t0
D’autre part, on obtient l’équation de Hamilton-Jacobi :
∂S
+H =0
∂t
qui est l’analogue de l’équation de Schrödinger :
ih̄
∂ψ
− Hψ = 0
∂t
∂S
+ H(qi, pi, t) = 0
∂t
soit :
!
∂S
∂S
∂S
+ H q1 , ...qr ;
, ...,
;t = 0
∂t
∂q1
∂qr
qui donne encore une autre méthode de résolution d’un problème de mécanique.
III QUELQUES APPLICATIONS
1. Principe de Maupertuis. - On considère maintenant un sytème
pour lequel le Hamiltonien est une constante du mouvement et est identique
à l’énergie totale E.
Considérons un chemin réel menant de q0 = (q10...qr0) à t0 à q1 à t1 . L’action
correspondante est S0 .
Sf
•
Trajectoire non réelle voisine, arrivant à t+dt et de même énergie
S0
e
ell
ir
to
a
Tr
jec
é
er
Sv
Trajectoire réelle voisine, arrivant à t + dt et d’énergie
différente
•
Considérons un chemin voisin qui est aussi une trajectoire réelle, d’énergie
légèrement différente partant de q0 à t0 et arrivant en q1 à t1 + dt. L’action
est Sv .
Sv − S0 = dS = pi dqi − Hdt = −Hdt = −Edt
5
Considérons un autre chemin voisin non réel mais de même énergie que la
trajectoire réelle correspondant à S0 et qui partant de q0 à t0 arrive en q1 en
t1 + dt. Son action est Sf .
Sf − Sv = δS = 0 car on a deux trajectoires voisines et tous les qi et t sont
les mêmes au départ et à l’arrivée. Donc Sf − S0 = −Edt or :
Sf − S 0 = δ
=δ
=δ
Z
pi dqi − δ
Z
Z
=δ
R
Z
pidqi − Hdt
pi dqi − δ
Edt = δ
Z
Z
Z
Hdt
pi dqi − Eδ
Z
dt
pidqi − Edt
R
En posant SM = pidqi on arrive à δ pi dqi = 0.
L’action réduite de Maupertuis SM a un minimum pour la trajectoire
réelle, pour un ensemble de trajectoires de mêmes énergies, partant toutes du
même point et arrivant toutes au même point, mais en des temps différents.
2. Premier exemple. - On peut ainsi comprendre le mouvement parabolique
dans le champ de pesanteur. Pour aller de A à B dans le champ de pesanteur
avec une certaine énergie E choisie,
•B
2
p
= E ⇒
mgz + 2m
p(z) = k~
pk(z) connu. Il
R
~
faut minimiser p~dl.
•A
On a intérêt à monter beaucoup pour diminuer k~
pk, quitte à allonger un peu
le chemin. On a un principe tout à fait analogue au principe de Fermat pour
l’optique. Dans le cas où il n’y a pas de forces, et donc où k~
pk = Cte, on
retrouve que la trajectoire est le chemin de longueur minimale, donc la droite!
6
3. Deuxième exemple. - Considérons deux plans parfaitement glissants
horizontaux mais d’altitude différente. Ils se rejoignent par une marche rectiligne, en forme de petit plan incliné, pour qu’un point matériel puisse glisser
d’un plan à l’autre sans choc. Il va y avoir réfraction du point matériel au
passage de la frontière. Calculons cela :
D •
M
(1)
h1 > h 2
(2)
h2
• A
mgh1 +
mgh2 +
D


DM =
MA =
q
−b
a

; M

v
u
u
u
t

−x + b
−a
v
u
u
u
t
0+x
−a

p1 2
2m
p2 2
2m
−x
0
2

2

= E
= E

; A



0
−a


=
√
x2 − 2bx + b2 + a2
=
√
x 2 + a2
q
√
√
2mE − 2m2 gh1 x2 − 2bx + b2 + a2 + 2mE − 2m2 gh2 x2 + a2 minimum
√
√
2mE − 2m2gh1
2mE − 2m2 gh2
(2x − 2b) +
2x = 0
2√
2√
q
q
sin r 2mE − 2m2 gh2 = sin i 2mE − 2m2 gh1
vk1
vk2
soit :
mv1
= mv2
v1
v2
Soit : vk1 = vk2 , conservation de la composante parallèle à la frontière de la
vitesse, ce qui est bien ce qu’il faut trouver!
7
IV LIEN AVEC LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
1. La Mécanique classique est “l’Optique géométrique”de la Mécanique
quantique (Mécanique ondulatoire). - Nous avons vu au II 2, S étant
fonction des coordonnées et du temps, que :
S=
Z
pidqi − Hdt
Nous considérons maintenant uniquement des systèmes pour lesquels le Hamiltonien est une constante du mouvement et est donc égal à l’énergie totale. On
obtient donc :
S(qi, t) = SM (qi) − Et
Les surfaces SM (qi) = Cte ont une position fixe dans l’espace. Une surface correspondant à une valeur constante de S coı̈ncide à un instant donné t avec une
surface particulière SM = Cte; mais à un autre instant : t + ∆t, la coı̈ncidence
se fait avec une autre surface SM = Cte avec une constante différente. Quand
∆t → 0, la deuxième surface tend vers la première. Ainsi lorsque t augmente,
S(qi, t) = Cte donne une surface qui avance dans l’espace. Le mouvement de
cette surface dans l’espace est analogue à la propagation d’un front d’onde,
comme par exemple celui d’une onde de choc. Ainsi, les surfaces S = Cte
peuvent être considérées comme des fronts d’onde se déplaçant dans l’espace
de configuration à r dimensions des qi .
Par commodité, nous allons maintenant considérer un système consistant en
une particule unique, et nous prenons les coordonnées cartésiennes : q i , i = 1, 2, 3;
correspond à x, y, z.
Z
~ − Edt
S(qi) = p~ dq
~ ⊥ p~. Les trajecÀ un instant t donné, S(qi, t) = Cte pour un déplacement dq
toires de la particule sont donc perpendiculaires aux surfaces S(q i, t) = Cte
comme en optique géométrique une surface d’onde est perpendiculaire au
rayon lumineux.
8
Deux
trajectoires
voisines
différentes partant du même
point q0 , correspondant à deux
valeurs de p~ différentes pour la
même énergie E
~
dq
•
q0
Cependant, la caractéristique la plus frappante d’un mouvement d’avancée
d’une onde est la périodicité (spatiale et temporelle).
Localement, la surface d’onde ressemble à un plan et la trajectoire est
−−→
presque rectiligne. On a donc S(qi, t) = Cte ⇔ p~~x −Et = Cte avec p~ = Cte.
Une onde plane équivalente aura une phase de la forme ~k~x − ωt.
On peut donc postuler :
p~~x − Et = h̄ ~k~x − ωt
h
h̄ étant une constante qui s’identifie à 2π
; h étant la constante de Planck
si l’on se rend compte que la mécanique quantique associe à une particule animée d’un mouvement rectiligne uniforme une onde plane de la forme
S
~
ψ = ei(k~x−ωt) = ei h̄ avec E = h̄ω et p~ = h̄~k.
Cette analogie entre la mécanique et l’optique géométrique fut comprise par
Hamilton en 1834; l’équation d’onde correspondante fut découverte par de
Broglie et Schrödinger en 1926. Si Hamilton était allé un peu plus loin,
il aurait découvert l’équation de Schrödinger.
Ainsi, la mécanique classique contient en elle-même le germe de la Mécanique
quantique, et la formulation de Hamilton et Jacobi est particulièrement bien
adaptée pour une généralisation menant à la construction de la mécanique
quantique.
Montrons un exemple simple concret de ce qui vient d’être dit avec la
réfraction d’une particule ponctuelle au passage d’une barrière de potentiel :
9
λ1
α1
a
λ2
α2
h
mv1
h
λ2 = a sin α2 ; λ2 =
mv2
sin α1
v2
λ1
=
=
⇒
λ2
sin α2
v1
λ1 = a sin α1
; λ1 =
v1 sin α1 = v2 sin α2 ; d’où la continuité de la composante parallèle à la paroi de
la vitesse, comme le donne la loi de la réfraction par une barrière de potentiel
de la mécanique classique.
2. Lien avec l’intégrale de chemins de Feynman. - Feynman a
découvert une nouvelle formulation de la mécanique quantique, l’intégrale
de chemins. Dans cette formulation, on considère qu’un particule emprunte
tous les chemins possibles pour aller d’un point A à un autre B. Mais
chaque chemin, le k em par exemple, est pondéré par un terme proportioni S (chemink )
h̄
.
nel à e
S étant l’action entre A et B pour le chemin choisi, la probabilité P qu’il
soit emprunté est :
P {chemink } ∝ e
i S (chemink )
h̄
L’amplitude de probabilité totale pour que le système aille de A à B est donnée
par la somme :
X
P {chemink }
K(A, B) =
cheminsk
ou par une intégrale de chemins si les différents chemins possibles forment un
continuum. L’équation précédente est la définition formelle du propagateur
de Feynman pour le système. Il contient toute l’information sur le comportement quantique du système.
10
Si maintenant, nous faisons h̄ → 0 nous devons arriver à la limite classique,
qui est donc une conséquence de la mécanique quantique.
Quand h̄ devient petit, P oscille rapidement, et, à moins que les oscillations
soient systématiquement en phase pour les différents termes, la somme donnera 0. La seule manière pour laquelle la cohérence de phase est obtenue pour
différents chemins, est en assurant que S est la même.
En d’autres termes, dans la limite classique h̄ → 0, seuls les chemins voisins
qui vérifient δS = 0 contribuent à l’amplitude finale! δS = 0 décrit ainsi le
comportement le plus probable, quasi certain du système en physique classique.
On voit donc que derrière le principe de moindre action, réside l’indétermination
quantique et la non localisation d’un système.
V L’ACTION EN RELATIVITÉ
1. L’action en relativité restreinte - Considérons une particule (R 0)
libre, animée d’un mouvement rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen
(R) (elle est elle-même un référentiel galiléen). Supposons qu’il y ait une
horloge liée à cette particule qui indique le temps t. Une horloge identique
qui mesure le temps τ est placée dans un objet (M ) qui quitte à l’instant (α),
point A de (R), la particule (R0 ) et y revient à l’instant (β), point B de (R).
La particule (M ) est accélérée à certains moments. Un résultat classique de
relativité restreinte dit que τB − τA < tB − tA . Il y a ralentissement apparent
du temps pour l’objet en mouvement (paradoxe des jumeaux de Langevin).
On voit que d(τB − τA ) = 0 pour la ligne droite joignant A et B à vitesse
constante (mouvement de (R0 )). Donc SAB ∝ −τAB = −(τB − τA ); L’horloge
de (M ) mesure directement l’action (au sens du I 1) entre deux évènements,
pour une certaine trajectoire. L’horloge de (R0 ) mesure elle, l’action comme
fonction des coordonnées et du temps du II 2; cela sera utilisé au § 2.
Autrement dit, pour mesurer l’action au sens du I 1 pour une trajectoire
(non réelle à priori) parcourue par une particule de masse m, il suffit de faire
suivre la trajectoire par une horloge étalon et de voir la durée indiquée et de
la multiplier par −mC 2 .
L’action est opposée au temps propre. En fait, la relativité restreinte
donne :
v
u
u
v2
2
2t
δS = −mC δτ = −mC 1 − 2 dt
C
11
S=
et
v
Z t u
u
2
t
−mC 2
1−
t1
v
u
u
2t
v2
dt
C2
1−
L = −mC

v2
C2

v2 
1 2
2
=
−mC
+
v C L ' −mC 2 1 −
mv
2C 2
2
On retrouve à une constante près qui ne joue pas de rôle le lagrangien d’une
particule libre en mécanique newtonienne : LN = 12 mv 2 .
p=
E=H=
mv
r
1−
∂L
=
∂ q̇
mv
r
2
v2
C2
+ mC
1−
v
u
u
2t
v2
C2
v2
1− 2 =
C
mC 2
r
1−
v2
C2
2. L’action pour une particule en relativité générale - D’après
le principe d’équivalence entre l’inertie et la gravitation d’Einstein, une
particule en chute libre dans un champ de gravitation peut être considérée
comme l’origine d’un référentiel galiléen local. À chaque instant, on a donc :
δS = −mC 2 dτ . Donc :
Z
2
S = −mC dτ
L’horloge d’une particule en chute libre affiche donc au facteur −mC 2 près,
l’action fonction des coordonnées et du temps (au sens du II 2) S(q i, t) de
cette particule. Comme application de cela, citons ici Feynman :
J’ai refait le même genre de blague un peu plus tard, à Princeton, mais
cette fois sur un savant confirmé, un assistant d’Einstein qui devait bien
passer huit heures par jour à travailler sur la théorie de la gravitation. Je lui
ai posé le problème suivant. On lance une fusée dans laquelle on a placé une
horloge. Une autre horloge reste au sol. On veut que la fusée revienne au
sol au moment où l’horloge restée sur Terre marque par exemple, une heure
de plus. De plus, on veut que l’horloge de la fusée soit alors aussi en avance
que possible par rapport à celle du sol. D’après la théorie d’Einstein, plus la
fusée va haut, plus son horloge avance (il y a contraction des temps lorsqu’on
s’élève dans le champ de gravitation). Mais, d’un autre côté, pour que la fusée
atteigne une certaine hauteur et compte tenu du fait que la durée du vol est
limitée, il est nécessaire que la fusée atteigne une certaine vitesse ; d’où une
dilatation du temps. Il y a donc une hauteur optimale. Question : calculer
12
la vitesse et la hauteur atteintes par la fusée pour que la différence entre les
indications des deux horloges au retour soit maximale.
Il a fallu pas mal de temps à cet assistant d’Einstein pour s’apercevoir
que la réponse était très simple : il suffit de lancer la fusée de manière qu’elle
revienne sur Terre une heure après, un point c’est tout. En effet, d’après le
principe fondamental de la théorie d’Einstein, ce que l’on appelle le “temps
propre”est maximal sur le trajet réel. Mais parce que je lui avais présenté en
termes de fusées et d’horloges, l’assistant d’Einstein n’avait pas reconnu ce
principe fondamental. Exactement comme mes camarades du dessin industriel. À ceci près que, en l’occurence, il ne s’agissait pas d’un novice. En fait,
la fragilité du savoir dont je parlais à l’instant est beaucoup plus répandue
qu’on ne le croit.
VI L’ACTION AU DELÀ DE LA MÉCANIQUE DU SOLIDE
1. Lagrangien d’interaction - Considérons le système constitué de deux
pendules tige reliés par un ressort :
•
•
θ1
θ2
T =
ml2 2 ml2 2
θ1 +
θ2
6
6
Pour θ1 et θ2 faibles :
1
V = mgθ1 + mgθ2 + k(θ2 − θ1)2
2
V ' mgθ1 + mgθ2 − kθ1θ2
ml2 2 ml2 2
L=
θ1 +
θ2 − mgθ1 − mgθ2 + kθ1θ2
6
6
Lint = kθ1θ2 est le Lagrangien d’interaction.
Considérons un état initial constitué du pendule (1) en mouvement et du
pendule (2) immobile. Par le phénomène de battement, le pendule (2) se met
en mouvement.
En théorie quantique des champs, les particules sont des oscillations quantifiées de champs. Le passage du pendule (1) en mouvement au pendule (2)
13
en mouvement correspond à la transformation d’une particule en une autre
grâce au lagrangien d’interaction.
2. Lagrangien pour un système continu - Considérons une chaı̂ne de
r points matériels équidistants attachés à un fil de masse négligeable tendu
avec la tension T . Quand r → ∞ et que la distance entre deux points tend
vers 0, on arrive à une corde ayant une certaine densité linéı̈que de masse λ.
À qi (t) correspond φ(x) amplitude de la corde au point d’abscisse x : i ↔ x.
R
R
On a S = Ldt avec L = Ldx, et les équations de Lagrange deviennent :

Pour la corde :



∂L
∂  ∂L  ∂  ∂L 
−
=0
−
∂φ ∂x ∂ ∂φ
∂t
∂
φ̇
∂x
1 ∂φ 2 1 2 ∂φ
Lλ = λ
− λC
2 ∂t
2
∂x
et on obtient l’équation de d’Alembert :
!
1 ∂ 2φ
∂ 2φ
−
=0
∂x2 C 2 ∂t2
Pour un champ continu à trois dimensions, L =
Lagrange deviennent :



!2
R R R
Ldτ et les équations de

∂L
∂L  ∂  ∂L 
−
=0
− ∇. 
∂φ
∂ (∇φ)
∂t ∂ φ̇
3. Lagrangien du champ électromagnétique - Pour le champ électromagnétique,
on obtient :
Z Z Z
(
Énergie
Énergie
cinétique
z }| {
ε0 E 2
potentielle
z }| {
2
2
−
|
{z
|
{z
B
2µ0
) dτ
}
Lagrangien du champ électromagnétique
Z Z Z
Z Z Z
~ ~j dτ
−
ρ ϕ dτ +
A
}
Lagrangien d’interaction du champ avec les charges
−−→
~
~ = −gradϕ
avec : E
− ∂∂tA .
4. Exemples. - On considère une roue de moment d’inertie I tournant sans
~ uniforme qui lui est perpendiculaire.
frottement dans un champ magnétique B
Le courant passe entre son axe, et un curseur qui glisse parfaitement sur sa
périphérie. On branche en série une résistance et un condensateur.
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+
C
i
+q
N
a
•
~
B
R
K
Lroue = 21 Iω 2; Lchamp =
1 q2
2C;
2
Lcharges−champ = − qC
Lcourant−champ = +
Z Z Z
~ ~j dxdydz = +φ i
A
~
déplacement ∧ courant opposé à B
⇒
2
Donc : φ = − a 2B θ.
signe −
1
1 q2
a2 B
θi + Iω 2 −
2
2
2C
L’action de la résistance ne peut être mise dans le Lagrangien, car l’énergie
ne dérive pas d’un potentiel. Prenons l’exemple d’un point matériel dans
le champ de pesanteur. Si on prend comme système le point et la Terre,
L = 21 mż 2 − mgz et on obtient mz̈ = −mg, en orientant l’axe des z vers le
haut. Si on prend le point matériel seul, L = 12 mż 2 et la force de pesanteur
devient une force extérieure. d(EC ) = F dz = −mgdz et on voit qu’il faut
mettre −mg dans le second membre.
Donc, ici, puisque d(E) = −Ridq quel que soit le signe de dq, il faut mettre
−R i dans le second membre; c’est une force généralisée.
L=−
En q :
d ∂L
dt ∂i
=
∂L
∂q
− Ri
2
soit : − a 2B ω = − Cq − Ri
En θ :
d ∂L
dt ∂ θ̇
=
∂L
∂θ
I ω̇
=
− a 2B i
2
Plus simple, un condensateur branché directement aux extrémités d’une
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inductance :
q2
Lcharges-champ = − + Li2
C
1 q2 1 2
Lchamp =
− Li
2C 2
1 q2
1
Ltotal = Li2 −
2
2C
Prenons i =
dq
dt
:
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂i
∂q
q
di
L + =0
dt C
BIBLIOGRAPHIE :
LANDAU Mécanique, Éditions de Moscou; LANDAU Théorie des champs,
Éditions de Moscou; GOLDSTEIN Classical Mechanics, Addison-Wesley; NARLIKAR
General Relativity and Cosmology, The Macmillan Press; CASTAING Thermodynamique statistique, Masson; AITCHISON Gauge theories in particle
physics Volume 1, Institute of Physics Publishing. FEYNMAN Vous voulez
rire Monsieur Feynman, InterEditions.
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