Exercices : Développements limités

Analyse : Chapitre 2 Exercices
Exercices : Développements limités
Exercice 1:
Comparer les fonctions suivantes :
2
1. e−1/x et x3 au voisinage de 0
3. x3 et 3x au voisinage de +∞
2. ln(x) ln(1+x) et ln(x2 ) ln(x+e1/x ) au voisinage
de 0+
4. xln x et (ln x)x au voisinage de +∞
x
5. (xx )x et xx au voisinage de +∞
Exercice 2:
Calculer, à l’aide des équivalents, les limites suivantes :
(ex − 1)2
x→0 x ln(1 + x)
1
2
2. lim x ln 1 +
x→+∞
x
3. lim (1 + x)1/x
1. lim
x→0
4. lim
x→1
1+x
2
x
x−1
Exercice 3:
Déterminer le développement limité à l’ordre donné au voisinage de 0 des fonctions suivantes :
√
1
5. k : x → (1 + 1 + x) 2 à l’ordre 2 ;
1. f : x → ln(1 + x) + ex à l’ordre 3 ;
1
2. g : x → ex ln(1 + x) à l’ordre 3 ;
6. l : x → (1 + 2x) 1+x à l’ordre 3 ;
√
7. m : x → ln(1 + x + 1 + x) à l’ordre 2 ;
x+1
à l’ordre 2 ;
8. n : x → 2
x +x+2
3. h : x → ln(1 + x + x2 ) à l’ordre 3 ;
x
à l’ordre 3 ;
4. j : x →
ln(1 + x)
Exercice 4:
A l’aide des développements limités et des équivalents, calculer les limites suivantes :
ex − 1 − x
ln(x + 1)
1. lim
4. lim ln x × ln
x→0
x2
x→+∞
ln x
2. lim x ln(x + 1) − x ln x
x→+∞
2
ex +x − e2x
3
1/3
3
1/3
5. lim
3. lim (x + x) − (x − x)
x→1
x→+∞
x−1
Exercice 5:
ln(1 + x) − x
x2
1. Déterminer le développement limité de f au voisinage de 0 à l’ordre 2.
Soit f :] − 1; 0[∪]0; +∞[→ R définie par f (x) =
2. Montrer que f peut être prolongée par continuité en 0 et que ce prolongement est alors dérivable en
0.
3. Déterminer alors l’équation de la tangente en 0 et étudier la position de la courbe représentative de
f par rapport à sa tangente en 0.
Analyse : Chapitre 2 Exercices
Page 1
Développements limités
Exercice 6:
Déterminer, si elles existent, les asymptotes au courbes représentatives des fonctions suivantes en +∞
et étudier la position de la courbe par rapport à son asymptote :
1. f : x → (x + 1)e1/x
2. g : x → x(ln(2x + 1) − ln(x))
3. h : x → ((x2 + 1)(x − 3))1/3
Exercice 7:
 x
ln e − 1
si x 6= 0
x
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) =

0
si x = 0
1. Montrer que f est continue sur R.
2. Justifier que f est de classe C 1 sur R∗ et calculer f ′ (x) pour tout x 6= 0.
3. Calculer lim f ′ (x)
x→0
4. En déduire que f est de classe C 1 sur R.
Analyse : Chapitre 2 Exercices
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Développements limités
Correction
Exercice 1:
2
1. On doit calculer la limite lorsque x tend vers 0 de
(astuce x3 = (x2 )3/2 )
1
e−1/x
.
Posons
pour
cela
X
=
. On a alors :
x3
x2
2
e−X
X 3/2
e−1/x
3/2 −X
lim
=
lim
=
lim
X
e
=
lim
=0
x→0
X→+∞ (1/X)3/2
X→+∞
X→+∞ eX
x3
Car on sait que X 3/2
Donc e−1/x
2.
2
o(eX ).
=
X→+∞
2
= o(e−1/x ).
x→0
ln(x + 1)
ln(x) ln(x + 1)
=
, car ln(x2 ) = 2 ln(x).
ln(x2 ) ln(x + e1/x )
2 ln(x + e1/x )
Or lim+ ln(1 + x) = 0 et lim+ 2 ln(x + e1/x ) = +∞ donc lim+
Ainsi ln(x) ln(x + 1)
3.
x→0
x→0
x→0
=
x→+∞
ln(x) ln(x + 1)
= 0.
ln(x2 ) ln(x + e1/x )
o(ln(x2 ) ln(x + e1/x ))
e3 ln x
x3
=
= e3 ln x−x ln 3 = ex(3 ln x/x−ln 3)
3x
ex ln 3
x3
ln x
Or ln x = o(x), donc lim x 3
− ln 3 = −∞ et donc lim
= 0 ce qui signifie que
x→+∞
x→+∞
x→+∞ 3x
x
x3 = o(3x ).
x→+∞
2
e(ln x)
xln x
2
=
= e(ln x) −x ln(ln x)
4.
x
x
ln(ln
x)
(ln x)
e
Or on sait que (ln x)2 = o(x) donc comme lim
x→+∞
Ainsi (ln x)2 − x ln(ln x)
x→+∞
∼
x→+∞
2
x
=
x→+∞
o(x ln(ln x)).
−x ln(ln x) et donc lim (ln x)2 − x ln(ln x) = −∞.
x→+∞
xln x
Donc lim
= 0 et par conséquent xln x
x→+∞ (ln x)x
x
ln(ln x) = +∞ on a (ln x)2
=
x→+∞
o((ln x)x )
x
5. (xx )x = ex ln(x ) = ex ln x et xx = ex ln x
(xx )x
Donc xx = exp (x2 ln x − xx ln x) = exp (ln x × (x2 − xx ))
x
x2
x2
2
x
2 ln x−x ln x
ln x×(2−x)
On doit donc maintenant comparer x et x . Or x = e
=e
, donc lim x = 0 ce
x→+∞ x
x
2
x
2
x
x
qui signifie que x = o(x ), donc x − x
∼ −x .
x→+∞
x→+∞
Ainsi lim (x2 − xx ) = −∞, donc lim ln x × (x2 − xx ) = −∞ et par conséquent lim
x→+∞
x x
Donc (x )
x→+∞
=
x→+∞
x→+∞
(xx )x
= 0.
xxx
xx
o(x )
Analyse : Chapitre 2 Exercices
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Développements limités
Exercice 2:
1. ex − 1 ∼ x ⇒ (ex − 1)2 ∼ x2 et ln(1 + x) ∼ x ⇒ x ln(1 + x) ∼ x2 . Donc
x→0
x→0
x
On a donc lim
x→0
x→0
x→0
x2
(ex − 1)2
∼ 2 = 1.
x ln(1 + x) x→0 x
2
(e − 1)
= 1.
x ln(1 + x)
1
1
= 0 on peut écrire ln 1 +
x
x
2. On sait que ln(1 + X) ∼ X et comme lim
x→+∞
X→0
1
1
∼ x2 × = x
x2 ln 1 +
x x→+∞
x
1
2
On a donc lim x ln 1 +
= lim x = +∞.
x→+∞
x→+∞
x
∼
x→+∞
1
. Donc
x
3. (1 + x)1/x = e1/x×ln(1+x) . Or ln(1 + x) ∼ x donc 1/x × ln(1 + x) ∼ 1/x × x = 1.
x→0
x→0
Donc lim 1/x × ln(1 + x) = 1 et ainsi lim (1 + x)1/x = e1 = e
x→0
4.
x+1
2
x→0
x/(x−1)
x
= e x−1 ln((x+1)/2) . Effectuons le changement de variable t = x − 1 (lorsque x → 1,
x/(x−1)
x+1
t+1
t → 0). On a alors
= e t ln(1+t/2) .
2
t
Or ln(1 + X) ∼ X et comme t/2 → 0 on peut écrire ln(1 + t/2) ∼
. On en déduit que
t→0 2
X→0
t+1
1
t+1
t+1
ln(1 + t/2) ∼
et donc lim
ln(1 + t/2) = .
t→0
t→0
t
2
t
2
x/(x−1)
√
x+1
= e1/2 = e.
Par conséquent lim
x→1
2
Exercice 3:
1.
x2 x3
x2 x3
+
+ o(x3 ) + 1 + x +
+
+ o(x3 )
2
3
2
6
x3
= 1 + 2x +
+ o(x3 )
2
f (x) = x −
2.
3.
x2 x3
x2 x3
3
3
+
+ o(x )
x−
+
+ o(x )
g(x) = 1 + x +
2
6
2
3
x3 x3
x2 x3
+
+ x2 −
+
+ o(x3 )
= x−
2
3
2
2
x2 x3
= x+
+
+ o(x3 )
2
3
(x + x2 )2 (x + x2 )3
+
+ o(x3 ) DL de ln(1 + X) avec X = x + x2
2
3
x2 + 2x3 x3
+
+ o(x3 )
= x + x2 −
2
3
x2 2x3
−
+ o(x3 )
=x+
2
3
h(x) = (x + x2 ) −
Analyse : Chapitre 2 Exercices
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Développements limités
4.
j(x) =
x
x−
x2 /2
+
x3 /3
− x4 /4 + o(x4 )
1
1 − x/2 +
− x3 /4 + o(x3 )
x x2 x3
1
avec X = − +
−
+ o(x3 )
=
1+X
2
3
4
=
x2 /3
1
Comme lim X = 0, on peut utiliser le développement limité de
au voisinage de 0. On sait
x→0
1+X
que :
1
= 1 − X + X 2 − X 3 + o(X 3 )
1+X
Or :
x x2 x3
X=− +
−
+ o(x3 )
2
3
4
x x2 x3
x2 x3
x x2 x3
3
3
2
−
+ o(x ) × − +
−
+ o(x ) =
−
+ o(x3 )
X = − +
2
3
4
2
3
4
4
3
2
x x2 x3
x3
x3
x
3
3
3
X = − +
−
+ o(x ) ×
−
+ o(x ) = − + o(x3 )
2
3
4
4
3
8
3
3
o(X ) = o(x )
Par conséquent :
2
3
x3
x
x
x x2 x3
3
3
3
−
+ o(x ) +
−
+ o(x ) − − + o(x ) + o(x3 )
j(x) = 1 − − +
2
3
4
4
3
8
2
3
2
3
3
x x
x
x
x
x
=1+ −
+
+
−
+
+ o(x3 )
2
3
4
4
3
8
x x2 x3
+
+ o(x3 )
=1+ −
2 12 24
5.
1/2
x x2
2
+ o(x )
k(x) = 1 + 1 + −
2
8
1/2
x x2
2
+ o(x )
= 2+ −
2
8
1/2
√
x x2
2
= 2 1+ −
+ o(x )
4 16
√
x x2
+ o(x2 )
= 2(1 + X)1/2 avec X = −
4 16
Comme lim X = 0, on peut utiliser le développement limité de (1 + X)1/2 au voisinage de 0. On sait
x→0
que :
1
1
(1 + X)1/2 = 1 + X − X 2 + o(X 2 )
2
8
Or :
x x2
X= −
+ o(x2 )
4
16
x x2
x2
x x2
2
2
2
−
+ o(x ) ×
−
+ o(x ) =
+ o(x2 )
X =
4 16
4 16
16
o(X 2 ) = o(x2 )
Analyse : Chapitre 2 Exercices
Page 5
Développements limités
Par conséquent :
√
1 x2
1 x x2
2
2
2
−
+ o(x ) −
+ o(x ) + o(x )
k(x) = 2 1 +
2 4 16
8 16
√
x x2
x2
2
= 2 1+ −
−
+ o(x )
8 32 128
√
x 5x2
2
+ o(x )
= 2 1+ −
8 128
√
√
√
2
5 2 2
= 2+
x−
x + o(x2 )
8
128
6.
l(x) = exp
1
ln(1 + 2x)
1+x
8 3
3
2
3
3
2
= exp (1 − x + x − x + o(x )) (2x − 2x + x + o(x )
3
20
= exp 2x − 4x2 + x3 + o(x3 )
3
20
= eX avec X = 2x − 4x2 + x3 + o(x3 )
3
Comme lim X = 0, on peut utiliser le développement limité de eX au voisinage de 0. On sait que :
x→0
eX = 1 + X +
X2 X3
+
+ o(X 3 )
2
6
Or :
20
X = 2x − 4x2 + x3 + o(x3 )
3
20 3
20 3
2
2
3
2
3
X = 2x − 4x + x + o(x ) × 2x − 4x + x + o(x ) = 4x2 − 16x3 + o(x3 )
3
3
20
X 3 = 2x − 4x2 + x3 + o(x3 ) × 4x2 − 16x3 + o(x3 ) = 8x3 + o(x3 )
3
3
3
o(X ) = o(x )
Par conséquent :
1
20 3
1
2
3
4x2 − 16x3 + o(x3 ) +
8x3 + o(x3 ) + o(x3 )
l(x) = 1 + 2x − 4x + x + o(x ) +
3
2
6
20
4
= 1 + 2x − 4x2 + x3 + 2x2 − 8x3 + x3 + o(x3 )
3
3
2
3
3
= 1 + 2x − 2x + 0x + o(x )
7.
x x2
3
x2
2
2
m(x) = ln 1 + x + 1 + −
+ o(x ) = ln 2 + x −
+ o(x )
2
8
2
8
x2
3
x2
3
2
2
+ o(x )
= ln 2 + ln 1 + x −
+ o(x )
= ln 2 × 1 + x −
4
16
4
16
x2
3
+ o(x2 )
= ln 2 + ln(1 + X) avec X = x −
4
16
Analyse : Chapitre 2 Exercices
Page 6
Développements limités
Comme lim X = 0, on peut utiliser le développement limité de ln(1 + X) au voisinage de 0. On sait
x→0
que :
1
ln(1 + X) = X − X 2 + o(X 2 )
2
Or :
3
x2
X = x−
+ o(x2 )
4
16
x2
x2
9
3
3
2
2
2
x−
+ o(x ) ×
x−
+ o(x ) = x2 + o(x2 )
X =
4
16
4
16
16
2
2
o(X ) = o(x )
Par conséquent :
3
x2
1 9 2
2
2
m(x) = ln 2 +
x−
+ o(x ) −
x + o(x ) + o(x2 )
4
16
2 16
x2
9
3
− x2 + o(x2 )
= ln 2 + x −
4
16 32
3
11 2
= ln 2 + x − x + o(x2 )
4
32
8.
n(x) =
x2
x+1
+x+2
1
2(1 + x/2 + x2 /2)
1
x x2
1
avec X = +
= (x + 1) × ×
2 1+X
2
2
= (x + 1) ×
1
Comme lim X = 0, on peut utiliser le développement limité de
au voisinage de 0. On sait
x→0
1+X
que :
1
= 1 − X + X 2 + o(X 2 )
1+X
Or :
x x2
X= +
2
2 x x2
x2
x2
x
2
×
=
+
+
+ o(x2 )
X =
2
2
2
2
4
o(X 2 ) = o(x2 )
Par conséquent :
!
2
2
1
x
x x2
n(x) = (x + 1) × 1 −
+
+
+ o(x2 ) + o(x2 )
2
2
2
4
1
1 2
1
2
= (x + 1) 1 − x − x + o(x )
2
2
4
3
1 1
= + x − x2 + o(x2 )
2 4
8
Analyse : Chapitre 2 Exercices
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Développements limités