les théorèmes de 6ème 5ème 4ème et 3ème

COLLEGE ROLAND DORGELES 75018 PARIS
GEOMETRIE EN 3ème
Démontrer qu'un point est le milieu d’un segment..........................................................................2
Démontrer qu'un point est le centre du cercle circonscrit d’un triangle .........................................3
Démontrer qu'un point est le centre du cercle inscrit d’un triangle ................................................3
Démontrer que deux droites sont parallèles.....................................................................................4
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires..........................................................................5
Démontrer qu'une droite est une médiane .......................................................................................6
Démontrer qu'une droite est une hauteur.........................................................................................6
Démontrer qu'une droite est une tangente d’un cercle.....................................................................6
Démontrer qu'une droite est une médiatrice....................................................................................7
Démontrer qu'une demi-droite est une bissectrice...........................................................................8
Démontrer qu'un triangle est isocèle................................................................................................9
Démontrer qu'un triangle est équilatéral..........................................................................................9
Démontrer qu'un triangle est rectangle .........................................................................................10
Démontre qu'un quadrilatère est un parallélogramme...................................................................11
Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle..............................................................................12
Démontrer qu'un quadrilatère est un losange.................................................................................13
Démontrer qu'un quadrilatère est un carré ....................................................................................14
Démontrer que deux segments ont la même longueur...................................................................15
Calculer la longueur d'un segment................................................................................................16
Démontrer que deux angles ont la même mesure..........................................................................17
Calculer la mesure d'un angle.......................................................................................................18
Utiliser la trigonométrie.................................................................................................................19
Utiliser la symétrie par rapport à une droite..................................................................................20
Utiliser la symétrie par rapport à un point.....................................................................................20
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Démontrer qu'un point est le milieu d’un segment
Définition (6°)
Le milieu d’un segment est le point
du segment qui est équidistant de
ses extrémités
I point de [AB]
Définition (5°)
Deux points A et B sont
symétriques par rapport à un point
O signifie que O est le milieux du
segment [AB]
I est un point de [AB] et IA = IB
Donc
I est le milieu de [AB]
A et B sont symétriques par rapport
au point O
Donc
O est le milieu de [AB]
Définition (6°)
La médiatrice d’un segment est la
droite perpendiculaire à ce
segment qui passe par son milieu
La droite (d) est la médiatrice du
segment [AB]
Donc
(d) passe par le milieu de [AB]
(d) est la médiatrice de [AB]
Définition (5°)
Une médiane d’un triangle est une
droite qui passe par un sommet et
le milieu du côté opposé.
La droite (d) est la médiane issue
de C du triangle ABC
Donc
(d) passe par le milieu de [AB]
(d) est la médiane issue de C
Propriété (5°)
Si un quadrilatère est un
parallélogramme alors ses
diagonales ont le même milieu.
ABCD est un parallélogramme
Théorème (4°)
Si une droite passe par le milieu
d'un côté d'un triangle
parallèlement à un autre côté alors
elle coupe le troisième côté en son
milieu
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Le quadrilatère ABCD est un
parallélogramme
Donc
Les diagonales [AC] et [BD] ont le
même milieu.
La droite (EF) passe par le milieu E
de [AB] parallèlement à (BC)
Donc
La droite (EF) passe par le milieu
de [AC]
(EF) // (BC)
Démontrer qu'un point est le centre du cercle circonscrit d’un triangle
Propriété (5°)
Le centre du cercle circonscrit
d’un triangle est le point de
concours des médiatrices du
triangle
Propriété (4°)
Si un triangle est rectangle
alors le centre de son cercle
circonscrit est milieu de
l’hypoténuse
Les médiatrices des segments
[AB] et [BC] sont sécantes en O
Donc
O est le centre du cercle
circonscrit du triangle ABC
Le triangle ABC est rectangle en
A
Donc
Le centre du cercle circonscrit du
triangle ABC est le milieu O de
[BC]
Démontrer qu'un point est le centre du cercle inscrit d’un triangle
Propriété (4°)
Le centre du cercle inscrit
dans un triangle est le point
de concours des trois
bissectrices du triangle
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Les bissectrices issues de A et B
sont sécantes en I
Donc
I est le centre du cercle inscrit
dans le triangle ABC
Démontrer que deux droites sont parallèles
Propriété (6°)
Si deux droites sont parallèles
à une même droite alors elles
sont parallèles
(d1) // (d3) et (d2) // (d3)
Donc
(d1) // (d2)
(d1) // (d3) et (d2) // (d3)
Propriété (6°)
Si deux droites sont
perpendiculaires à une même
droite alors elles sont
parallèles
(d1) ┴ (d3) et (d2) ┴ (d3)
Donc
(d1) // (d2)
Propriété (5°)
Si deux droites coupées par
une sécante déterminent deux
angles alternes-internes de
même mesure, alors ces deux
droites sont parallèles
a et b sont alternes-internes et
a = b
Donc
(d1) // (d2)
Propriété (5°)
Si deux droites coupées par
une sécante déterminent deux
angles correspondants de
même mesure, alors ces deux
droites sont parallèles
a et b sont correspondants et
a = b
Donc
(d1) // (d2)
Définition (5°)
Un parallélogramme est un
quadrilatère qui a ses côtés
opposés parallèles
ABCD est un parallélogramme
Donc
(AB) // (DC)
ABCD est un parallélogramme
Propriété (4°)
Si une droites passe par les
milieux de deux côtés d’un
triangle alors elle est parallèle
au troisième côté
Théorème (3°)
( Réciproque de Thalès )
Si les points A,M,B sont
alignés dans cet ordre
si les points A,N,C sont alignés
dans cet ordre
AM
AN
si
=
AB
AC
I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [AC]
Donc
(IJ) // (BC)
A, M, B sont alignés dans cet ordre
A, N, C sont alignés dans cet ordre
AM
=….
AB
AN
=……
AC
On constate que
AM
AN
=
AB
AC
alors (MN) est parallèle à (BC)
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AM
AN
=
AB
AC
Donc (D’après la réciproque du
théorème de Thalès)
(MN) // (BC)
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires
Propriété (6°)
Si deux droites sont parallèles et
qu’une troisième droite est
perpendiculaire à l’une alors elle est
perpendiculaire à l’autre.
(d1) // (d2)
(d3) ┴ (d1)
Donc
(d3) ┴ (d2)
(d1) // (d2)
Définition (6°)
La médiatrice d’un segment est la
droite perpendiculaire à ce segment en
son milieu
(d) est la médiatrice de [AB]
Donc
(d) ┴ (AB)
(d) est la médiatrice de [AB]
Définition (5°)
Une hauteur d’un triangle est une
droite qui passe par un sommet et qui
est perpendiculaire au côté opposé
(d) est la hauteur issue de C
Propriété (6°)
Si un quadrilatère est un losange alors
ses diagonales sont perpendiculaires.
(d) est la hauteur du triangle
ABC issue de C
Donc
(d) ┴ (AB)
ABCD est un losange
Donc
(AC) ┴ (BD)
Propriété (6°)
Si un quadrilatère est un cerf-volant
alors ses diagonales sont
perpendiculaires.
ABCD est un cerf-volant
Donc
(AC) ┴ (BD)
Définition (4°)
A est un point d’un cercle de centre O.
La tangente au cercle au point A est la
droite perpendiculaire au rayon [OA]
au point A
(d) est la tangente au cercle
de centre O au point A
Donc
(d) ┴ (OA)
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O est le centre de cercle
Démontrer qu'une droite est une médiane
Définition (5°)
Une médiane d’un triangle est
une droite qui passe par un
sommet et le milieu du côté
opposé
Propriété (4°)
Si un triangle est isocèle alors
la hauteur , la médiane, la
bissectrice issues du sommet
principal la médiatrice de la
base sont confondues
(AI) passe par le sommet A et
le milieu I de [BC]
Donc
(AI) est la médiane issue de A
du triangle ABC
(d) hauteur issue de A
Le triangle ABC est isocèle en
A
(d) est la hauteur issue de A
Donc
(d) est aussi la médiane issue de
A
Démontrer qu'une droite est une hauteur
Définition (5°)
Une hauteur d’un triangle est
une droite qui passe par un
sommet et qui est
perpendiculaire au côté opposé
Propriété (4°)
Si un triangle est isocèle alors
la hauteur , la médiane, la
bissectrice issues du sommet
principal la médiatrice de la
base sont confondues
La droite (AP) passe par A et
est perpendiculaire à (BC)
Donc
(AP) est la hauteur issue de A
(d) médiane issue de A
Le triangle ABC est isocèle en
A
(d) est la médiane issue de A
Donc
(d) est aussi la hauteur issue de
A
Démontrer qu'une droite est une tangente d’un cercle
Définition (4°)
A est un point d’un cercle de
centre O.
La tangente au cercle au point A
est la droite perpendiculaire au
rayon [OA] au point A
(d) est perpendiculaire au rayon
[OA] en A
Donc
(d) est la tangente au cercle de
centre O au point A
O est le centre de cercle
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Démontrer qu'une droite est une médiatrice
Définition (6°)
La médiatrice d’un segment
est la droite perpendiculaire
à ce segment qui passe par
son milieu
(d) est perpendiculaire à (AB)
(d) passe par le milieu I de [AB]
Donc
(d) est la médiatrice de [AB]
Propriété (6°)
Si un point est équidistant de
deux extrémités d’un segment
alors il appartient à la
médiatrice de ce segment
Propriété (4°)
Si un triangle est isocèle
alors la hauteur , la médiane,
la bissectrice issues du
sommet principal la
médiatrice de la base sont
confondues
MA = MB et NA = NB
Donc
M et N appartiennent à la
médiatrice de [AB]
Donc
(MN) est la médiatrice de [AB]
Le triangle ABC est isocèle en A,
(d) est la hauteur issue de A
Donc
(d) est aussi la médiatrice de [BC]
(d) médiane (par exemple)
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Démontrer qu'une demi-droite est une bissectrice
Définition (6°)
La bissectrice d’un angle est
la demi-droite qui partage
cet angle en deux angles
adjacents de même mesure
 z = zO
 y
xO
Donc
[Oz) est la bissectrice de l’angle
 y
xO
Propriété (4°)
Si un point situé entre les
côtés d’un angle est
équidistant des côtés de
l’angle alors il appartient à
la bissectrice de cet angle
Le point M est équidistant des
côtés [Ox) et [Oy)
Donc
M appartient à la bissectrice de
 y
l’angle x O
Donc
OM est la bissectrice de l’angle
 y
xO
Propriété
Les bissectrices d’un triangle
sont concourantes
Propriété (4°)
Si un triangle est isocèle
alors la hauteur , la médiane,
la bissectrice issues du
sommet principal la
médiatrice de la base sont
confondues
Les bissectrices [BI) et [CI ) sont
sécantes en I
Donc
[AI) est la troisième bissectrice
Le triangle ABC est isocèle en A,
(d) est la médiane issue de A
Donc
(d) est aussi la bissectrice issue
de A
(d) médiane par exemple
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Démontrer qu'un triangle est isocèle
Définition (6°)
Un triangle isocèle est un
triangle qui a deux côtés de
même longueur
AB = AC
Donc
Le triangle ABC est isocèle en A
Propriété (6°)
Si un triangle a deux angles
de même mesure alors c’est
un triangle isocèle
A B C = A C B
Donc
Le triangle ABC est isocèle en A
Démontrer qu'un triangle est équilatéral
Définition (6°)
Un triangle équilatéral est un
triangle qui a ses trois côtés
de même longueur
Propriété (5°)
Si les trois angles d’un
triangle mesurent 60° alors
c’est un triangle équilatéral
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AB = AC = BC
Donc
Le triangle ABC est
équilatéral.
 = 60°
A B C = A C B = B AC
Donc
Le triangle ABC est équilatéral
Démontrer qu'un triangle est rectangle
Définition (6°)
Un triangle rectangle est un
triangle qui a un angle droit
A C B = 90°
Donc
le triangle ABC est rectangle
en C
A C B = 90°
Propriété (5°)
Si un triangle a deux angles
complémentaires alors c’est un
triangle rectangle
 + A B C = 90 °
B AC
Donc
le triangle ABC est rectangle
en C
 + A B C = 90 °
B AC
Théorème (4°)
Si un triangle est inscrit dans un
cercle de diamètre un côté du
triangle alors le triangle est
rectangle
Le triangle ABC est inscrit
dans le cercle de diamètre
[AB]
Donc
le triangle ABC est rectangle
en C
Théorème (4°)
Si dans un triangle une médiane
issue d’un sommet a pour
longueur la moitié de la
longueur du côté opposé à ce
sommet alors le triangle est
rectangle
Théorème (4°)
(Réciproque de Pythagore)
Si dans un triangle le carré d’un
côté est égal à la somme des
carrés des deux autres côtés
alors le triangle est rectangle
La médiane CI a pour
longueur la moitié de AB
AB
IC =
2
Donc
le triangle ABC est rectangle
en C
AB² =…..
AC² + BC² =….
On constate que
AB² = AC² + BC²
AB² = AC² + BC²
Donc (D’après la réciproque
de Pythagore)
Le triangle ABC est rectangle
en C
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Démontre qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Définition (5°)
Un parallélogramme est un
quadrilatère qui a ses côtés
opposés parallèles
(AB) // (DC)
(AD) // (BC)
Donc
ABCD est un
parallélogramme
(AB) // (DC) et (AD) // (BC)
Propriété (5°)
Si un quadrilatère a ses
diagonales de même milieu
alors c’est un parallélogramme.
Les diagonales [AC] et [DB]
ont le même milieu O
Donc
ABCD est un
parallélogramme
Propriété (5°)
Si un quadrilatère (non croisé)
a ses côtés opposés de même
longueur, alors c’ est un
parallélogramme.
AB = DC
AD = BC
Donc
ABCD est un
parallélogramme
Propriété (5°)
Si un quadrilatère (non croisé)
a deux côtés parallèles et de
même longueur alors c’ est un
parallélogramme.
(AB) // (DC)
AB = DC
Donc
ABCD est un
parallélogramme
(AB) // (DC)
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Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle
Propriété (6°)
Si un quadrilatère a trois
angles droits alors ce
quadrilatère est un
rectangle
 D A B C et
Les angles B A
 C sont droits
AD
Donc
ABCD est un rectangle.
Propriété (5°)
Si un quadrilatère a ses
diagonales de même milieu
et de même longueur alors
c’est un rectangle
Les diagonales [AC] et [BD]
ont le même milieu O et sont
de même longueur.
Donc
ABCD est un rectangle
Propriété (5°)
Si un parallélogramme a ses
diagonales même longueur
alors c’est un rectangle
ABCD est un parallélogramme
et AC = BD
Donc
ABCD est un rectangle
ABCD est un parallélogramme
Propriété (5°)
Si un parallélogramme a un
angle droit alors c’est un
rectangle
ABCD est un parallélogramme
 D = 90°
et B A
Donc
ABCD est un rectangle
ABCD est un parallélogramme
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Démontrer qu'un quadrilatère est un losange
Définition(6°)
Un losange est un quadrilatère
qui a ses quatre côtés de même
longueur
AB = BC = CD = AD
Donc
ABCD est un losange
Propriété (5°)
Si un quadrilatère a ses
diagonales de même milieu et
perpendiculaires alors c’est un
losange
Les diagonales [AC] et [BD]
ont le même milieu et sont
perpendiculaires
Donc
ABCD est un rectangle
Propriété (5°)
Si un parallélogramme a ses
diagonales perpendiculaires
alors c’est un losange
ABCD est un parallélogramme
et ses diagonales (AC) et (BD)
sont perpendiculaires
Donc
ABCD est un losange
ABCD est un parallélogramme
Propriété (5°)
Si un parallélogramme a deux
côtés consécutifs de même
longueur alors c’est un losange
ABCD est un parallélogramme
et
AB = AD
Donc
ABCD est un losange
ABCD est un parallélogramme
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Démontrer qu'un quadrilatère est un carré
Propriété (5°)
Si un quadrilatère a ses
diagonales de même milieu
perpendiculaires et de même
longueur alors c’est un carré
Les diagonales [AC] et [BD]
ont le même milieu O
(AC) ┴ (BD)
AC = BD
Donc
ABCD est un carré
Propriété (5°)
Si un parallélogramme a ses
diagonales perpendiculaires et
de même longueur alors c’est un
carré
ABCD est un parallélogramme
et
(AC) ┴ (BD)
AC = BD
Donc
ABCD est un carré
ABCD est un parallélogramme
Propriété ( 5°)
Si un rectangle a deux côtés
consécutifs de même longueur
alors c’est un carré
ABCD est un rectangle et
AB = AD
Donc
ABCD est un carré
ABCD est un rectangle
Propriété (5°)
Si un losange a un angle droit
alors c’est un carré
ABCD est un losange
 D = 90°
BA
Donc
ABCD est un carré
ABCD est un losange
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Démontrer que deux segments ont la même longueur
Propriété (6°)
Si un point appartient à la
médiatrice d’un segment alors il
est équidistant des extrémités de
ce segment
Le point M appartient à la
médiatrice de [AB]
Donc
MA = MB
Propriété (4°)
Si un point appartient à la
bissectrice d’un angle alors il est
équidistant des côtés de et angle
Le point M appartient à la
bissectrice de l’angle
Donc
MT = MR
(d) bissectrice de l’angle
Définition (6°)
Un triangle isocèle est un
triangle qui a deux côtés de
même longueur
Le triangle ABC est isocèle en C
Donc
CA = CB
ABC isocèle en C
Propriété (5°)
Si un quadrilatère est un
parallélogramme alors ses côtés
opposés sont de même longueur
ABCD est parallélogramme
Donc
AB = DC
ABCD parallélogramme
Propriété (5°)
Si un quadrilatère est un
rectangle alors ses diagonales
sont de même longueur
ABCD est un rectangle
Donc
AC = BD
ABCD rectangle
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Calculer la longueur d'un segment
Théorème (4°)
(Théorème de Thalès)
Si A,M,B sont alignés
si A,N,C sont alignés
et si (MN) // (BC) alors
AM
AN
MN
=
=
AB
AC
BC
(MN) // (BC)
Théorème (3°)
(Théorème de Thalès)
Si A,M,B sont alignés
si A,N,C sont alignés
et si (MN) // (BC) alors
AM
AN
MN
=
=
AB
AC
BC
(MN) // (BC)
Théorème (4°)
(Théorème de Pythagore)
Si un triangle est rectangle
alors le carré de l’hypoténuse
est égale a la somme des
carrés des côtés de l’angle
droit
A, M, B sont alignés
A, N, C sont alignés
(MN) // (BC)
Donc (D’après le théorème de
Thalès)
AM
AN
MN
=
=
AB
AC
BC
M, A , B sont alignés
N, A, C sont alignés
(MN) // (BC)
Donc (D’après le théorème de
Thalès)
AM
AN
MN
=
=
AB
AC
BC
Le triangle ABC est rectangle
en A
Donc(D’après le théorème de
Pythagore)
BC² = AB² + AC²
Théorème(4°)
Si un segment joint les milieux de
deux côtés d’un triangle alors il
a pour longueur la moitié du
troisième côté
M est le milieu de [AB]
N est le milieu de [AC]
Donc
Théorème (4°)
Si un triangle est rectangle alors
la médiane issue de l’angle droit
a pour longueur la moitié de
l’hypoténuse
Le triangle ABC est rectangle en A
et M est le milieu de [BC]
Donc
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MN =
AM =
BC
2
BC
2
Démontrer que deux angles ont la même mesure
Définition (6°)
La bissectrice d’un angle est
la demi-droite qui partage cet
angle en deux angles
adjacents de même mesure
 y
[Ou) bissectrice de x O
Propriété (6°)
Si un triangle est isocèle alors
les deux angles à la base sont
de même mesure
ABC isocèle en A
Propriété (5°)
Si deux angles sont opposés
par le sommet alors ils ont la
même mesure
La triangle ABC est isocèle en
A
Donc
A B C = A C B
 z et t O y sont
Les angles x O
opposés par le sommet O
Donc
 z = t O y
xO
Propriété (5°)
Si deux droites parallèles sont
coupées par une sécante alors
les angles alternes-internes
qu’elles déterminent sont de
même mesure
(d1) // (d2)
Propriété (5°)
Si deux droites parallèles sont
coupées par une sécantes
alors les angles
correspondants qu’elles
déterminent sont de même
mesure
Propriété (5°)
Si un quadrilatère est un
parallélogramme alors les
angles opposés ont la même
mesure
[Ou) est la bissectrice de l’angle
 y
xO
Donc
 u = u O y
xO
(d1) // (d2)
les angles a et b sont
alternes-internes et
(d1) // (d2)
Donc:
a = b
Les angles a et b sont
correspondants et
(d1) // (d2)
Donc
a = b
ABCD est un parallélogramme
Donc
 D = B C D
BA
ABCD parallélogramme
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Calculer la mesure d'un angle
Propriété (5°)
La somme des angles d’un
triangle est égale à 180°
La somme des angles du triangle
ABC est égale à 180°
Donc
 =180°
A B C + A C B + B AC
Propriété(5°)
Si un triangle est rectangle
alors ses deux angles aigus
sont complémentaires
Le triangle ABC est rectangle est
rectangle en A
Donc
A B C + A C B = 90°
Propriété(5°)
Si un triangle est équilatéral
alors ses angles mesurent 60°
Le triangle ABC est équilatéral
Donc
 = 60°
A B C = A C B = B AC
Propriété(5°)
Si un triangle est rectangle et
isocèle alors ses angles aigus
mesurent 45°
Propriété (5°)
Si un quadrilatère est un
parallélogramme alors deux
angles consécutifs sont
supplémentaires
Le triangle ABC est rectangle et
isocèle en A
Donc
A B C = A C B = 45°
ABCD est un parallélogramme
Donc
D A B + A B C =180°
ABCD parallélogramme
Théorème (3°)
Si deux angles inscrits dans un
cercle interceptent un même
arc alors ils ont la même
mesure
 B et A N B sont
Les angles A M
inscrits au cercle et interceptent le
même arc AB
Donc
 B = A N B
AM
Théorème(3°)
Si un angle inscrit dans un
cercle et un angle au centre
interceptent un même arc
alors la mesure de l’angle
inscrit est égale à la moitié de
la mesure de l’angle au centre
 B inscrit au cercle
L’angle A M
 B
et l’angle au centre A O
interceptent le même arc AB
Donc
 B
 B = 1 AO
AM
2
O centre du cercle
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Utiliser la trigonométrie
Définition (4°)
Dans un triangle rectangle le
cosinus d’un angle aigu est le
quotient de la longueur du
côté adjacent à l’angle par la
longueur de l’hypoténuse
Le triangle ABC est rectangle en
A
Donc
BA
cos A B C =
BC
Définition (3°)
Dans un triangle rectangle le
sinus d’un angle aigu est le
quotient de la longueur du
côté opposé à l’angle par la
longueur de l’hypoténuse
Le triangle ABC est rectangle en
A
Donc
AC
sin A B C =
BC
Définition (3°)
Dans un triangle rectangle la
tangente d’un angle aigu est
le quotient de la longueur du
côté opposé à l’angle par la
longueur du côté adjacent
Le triangle ABC est rectangle en
A
Donc
AC
tan A B C =
AB
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Utiliser la symétrie par rapport à une droite
Définition (6°)
A et B sont symétriques par
rapport à une droite (d)
signifie que (d) est la est la
médiatrice du segment [AB]
A et B sont symétriques par
rapport à (d)
Donc
(d) est la médiatrice de [AB]
Donc:
(d) ┴ (AB) et
I est le milieu de [AB]
Propriété (6°)
Si deux segments sont
symétriques par rapport à une
droite alors ils sont de la même
longueur
Les segments [AB] et [A’B’] sont
symétriques par rapport à la droite (d)
Donc
AB = A’B’
Propriété (6°)
Si deux angles sont
symétriques par rapport à une
droite alors ils ont la même
mesure
Les angles sont symétriques par
rapport à la droite (d)
Donc
a = b
Les angles sont symétriques
Utiliser la symétrie par rapport à un point
Définition (5°)
Deux points A et B sont
symétriques par rapport à un
point O signifie que O est le
milieux du segment [AB]
Propriété (5°)
Si deux segments sont
symétriques par rapport à un
point alors ils sont de la même
longueur
Propriété (5°)
Si deux angles sont
symétriques par rapport à un
point alors ils ont la même
mesure
A et B sont symétriques par rapport au
point O
Donc
O est le milieu de [AB]
Les segments [AB] et [A’B’] sont
symétriques par rapport au point O
Donc
AB = A’B’
Les angles sont symétriques
Propriété (5°)
Si deux droites sont
symétriques par rapport un
point alors elles sont parallèles
Les angles sont symétriques par
rapport au point O
Donc
a = b
(d) et (d’) sont symétriques par
rapport au point O
Donc
(d) et (d’) sont parallèles
(d) et (d’) symétriques par
rapport à O
Collège Roland Dorgelès 75018 Paris