Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent

BREVET :
Nancy-Metz - Reims - BesanCon - Dijon - Lyon
- Strasbourg – 2001
CORRECTION
ACTIVITES NUMERIQUES
( 12 points )
Exercice 1 :
1. Calcul de A :
3
- 10
2
9 3
A =  - 10
1 2
9 3
27
27 10 27 20 7
A=
- 10 
- 10 


12
2
2
1
2
2 2
A=9
Calcul de B :
A=
7
2
3
1
5
) - ( )² ( - )
2
3
2
3 1²
5
3 1
5
B=  ( - ) = -  ( - ) ( priorité à l’élévation à une puissance – c'est-à-dire au carré )
2 3²
2
2 9
2
3
1 5 3 1 5 3
5
B=   = 
= 
( priorité à la multiplication )
2 9 2 2 9  2 2 18
3 9
5 27
5 32 16  2 16
B=

=




( priorité à l’addition )
2  9 18 18
18 18 9  2 9
B =(
B=
16
9
2. a) Développement de C :
C = ( 2x – 5 )² - ( 2x – 5 )( 3x – 7 )
C = ( 4x² - 20x + 25 ) - ( 6x² - 14x – 15x + 35 )
C = 4x² - 20x + 25 - 6x² + 14x + 15x - 35
C = - 2x²+ 9x – 10
C = - 2x²+ 9x - 10
b ) Factorisation de C :
C = ( 2x – 5 )² - ( 2x – 5 )( 3x – 7 )
C = ( 2x – 5 )( 2x – 5 ) - ( 2x – 5 )( 3x – 7 )
C = ( 2x – 5 ) [ ( 2x – 5 ) - ( 3x – 7 )]
C = ( 2x – 5 ) [ 2x – 5 - 3x + 7 ]
C = ( 2x – 5 ) ( - x + 2 )
c) Résolution de l'équation ( 2 x  5 ) ( 2  x ) = 0 :
C = ( 2x – 5 ) ( - x + 2 )
C’est une équation dite équation produit. Nous allons utiliser la propriété suivante :
« Si un produit de facteurs est nul, alors un des facteurs est nul »
Donc :
( 2x – 5 )( 2 – x ) = 0
2x – 5 = 0 ( le premier facteur est nul )
2x = 5
ou
2=x
5
x=
ou
x=2
2
Donc
Donc
Donc
ou 2 – x = 0 ( le deuxième facteur est nul )
Les solutions sont
Exercice 2 :
1. a) Aire
A ABCD du carré ABCD
5
et 2 .
2
en fonction
de x :
Le côté du carré mesure x.
Donc son aire est
A ABCD = x²
A ABCD = x²
b) Calcul de A ABCD pour x = 2  2 :
A ABCD = ( 2 
2 )²= 2²  2  2 2  ( 2 )² = 4  4 2  2  6  4 2
A ABCD =
2. a) Aire
A ECF du triangle ACF en fonction de
64 2
x:
Comme la longueur BE est égale à 0,5 cm alors
EC = BC – BE = x – 0,5
CF CE
Par suite, l’aire du triangle ACF est
, soit
2
A ECF = 4  ( x - 0,5 ) soit A ECF = 2  2  ( x - 0,5 )  2  ( x - 0,5 )  2x  1
2
2
A ECF = 2x - 1
b) Calcul de S :
S=
A ABCD
+
A ECF = x² + ( 2x – 1 ) = x² + 2x - 1
S=x2+2x1
3. Calcul de S pour x = 2  2 :
S = ( 2  2 )² + 2( 2  2 ) – 1
Le calcul de ( 2  2 )² a déjà été fait à la question 1b. Nous avons donc :
S = ( 6  4 2 ) + 2( 2  2 ) – 1
S = 6 4 2 + 42 2 – 1 = 9 + 6 2
S=9+6 2
Exercice 3 :
Un cirque propose deux tarifs d'entrée : un pour les adultes et un pour les enfants.
Un groupe de trois enfants avec un adulte paie 290 F.
On peut traduire ces données par l'équation à deux inconnues : 3x + y = 290
1) Equation traduisant : « Un autre groupe de 5 enfants avec quatre adultes paie 705 F » :
En appelant x le prix d’une entrée pour un enfant et y le prix d’une entrée pour un adulte, la phrase
« Un groupe de trois enfants avec un adulte paie 290 F » se traduit par : 3x + y = 290
Donc, la phrase « Un autre groupe de 5 enfants avec quatre adultes paie 705 F » se traduit par :
Résolution du système obtenu :
5x + 4y = 705
 3x + y = 290

 5x + 4y = 705
Multiplions par 4 les deux membres de la première équation. Nous obtenons :
Nous obtenons donc le système :
4
 3x + y = 290

 5x + 4y = 705
 12x + 4y = 1160

 5x + 4y = 705
En soustrayant membre à membre, nous obtenons :
12x – 5x + 4y – 4y = 1160 – 705
7x = 455
455
x=
= 65
7
En remplaçant x par 65 ans la première équation, nous obtenons :
3  65  y  290
-
195  y  290
y = 290 – 195 = 95
La solution du système obtenu est ( 65 ; 95 )
2) Prix d'une entrée pour un enfant et prix d'une entrée pour une adulte :
Comme x représente le prix d’une entrée pour un enfant et y le prix d'une entrée pour une adulte, nous
avons :
Prix d'une entrée pour un enfant : 65 F
Prix d'une entrée pour une adulte : 95 F
PROBLEME ( 12 points )
Partie A
 Tarif n° 1 : 5 € le coquetier.
 Tarif n° 2 : un forfait de 80 € et 3 € le coquetier.
1. Calcul du prix de 30 coquetiers et du prix de 50 coquetiers au tarif n° 1, puis au tarif n° 2 :
30 coquetiers
50 coquetiers
Prix au tarif 1 ( en euros )
5  30 = 150
5  50 = 250
Prix au tarif 2 ( en euros )
3  30 + 80 = 170
3  50 + 80 = 230
2. Fonctions P1 et P2 :
P1 (x) = 5 x
et
P2 (x) = 3 x + 80
 Construction de la droite (1) qui représente la fonction P1 :
Soit x le nombre de coquetiers commandés.
P1(x) représente le prix de x coquetiers au tarif 1.
P1 est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite (1) passant par l’origine.
Comme cette droite passe par l’origine O du repère, un seul (deuxième) point est nécessaire.
Nous allons donc donner à x une valeur quelconque afin de déterminer l’image de ce nombre par P 1. Nous pourrions
prendre, par exemple, la valeur x = 1. Mais, si
nous regardons le repère, nous constatons
La représentation graphique de la fonction P 1 ( ou P2 ), c’est
qu’un point d’abscisse 1 sera difficile à placer
l’ensemble de tous les points dont les coordonnées sont :
( sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 10
coquetiers commandés, c'est-à-dire que 1
coquetier correspondra à 1 mm ! ).
Il est donc préférable de prendre, pour x,
des valeurs simples à placer dans notre
repère ( x = 10 , x = 20 , x= … )
Nous pouvons même éviter de nouveaux calculs. Si nous regardons le tableau de la question précédente, nous
constatons que le prix de 30 coquetiers est 150 euros. Nous connaissons ainsi un point de la représentation
graphique (1 ) . Le point de coordonnées ( 30 ; 150 ) est un point de la droite cherchée.
Nous pouvons également choisir un autre point. Le tableau indique que le point de coordonnées ( 50 ; 250 ) est un
point de la droite (1 ).
La rédaction peut être la suivante :
P1 est une fonction linéaire. Sa représentation
graphique est une droite (1) passant par l’origine.
D’après le tableau de la question précédente, la
représentation graphique (1) passe également par
le point A de coordonnées ( 50 ; 250 )
 Construction de la droite (2) qui
représente la fonction P2 :
Soit x le nombre de coquetiers commandés.
P2(x) représente le prix de x coquetiers au tarif 2.
P2 est une fonction affine. Sa représentation
graphique est une droite (2).
Pour tracer cette droite, deux points suffisent. Comme
précédemment, nous pourrions faire des calculs. Mais le
tableau précédent nous donne deux points : les points de
coordonnées ( 30 ; 170 ) et ( 50 ; 230 ).
Cependant, un point ( facile à déterminer, … et à placer )
est intéressant.
Si x = 0 , alors P 2(0 ) = 3  0 + 80 = 80
La droite (2) passe donc par le point de coordonnées
( 0 ; 80 ).
La rédaction peut être la suivante :
P2 est une fonction affine. Sa représentation
graphique est une droite (2).
Si x = 0 , alors P2(0 ) = 3  0 + 80 = 80
La droite (2) passe donc par le point de
coordonnées B( 0 ; 80 )
De plus, d’après le tableau de la question
précédente, la représentation graphique (2)
passe également par le point C de coordonnées
( 50 ; 230 )
3. a. Nombre de coquetiers qu'un peintre
peut acheter avec 240 € (lecture graphique) :
Par lecture graphique, nous constatons qu’avec
le tarif 1 ( droite rouge ) , le nombre de
coquetiers que l’on peut acheter avec 240 euros
est inférieur à 50, tandis qu’avec le tarif 2, le
nombre de coquetiers est environ 53.
( L’utilisation de papier millimétré permettrait une
lecture plus aisée )
Avec 240 € , un peintre peut acheter 53
coquetiers ( tarif 2 ).
b) Prix P1 et P2 identiques :
Par lecture graphique, le point d’intersection des
deux droites est le point de coordonnées
( 40 ; 240 ).
Par conséquent, pour 40 coquetiers, le prix du
tarif 1 est 240 euros et le prix du tarif 2 est
également 240 euros.
Pour 40 coquetiers, les prix P1 et P2 sont
identiques.
c. Tarif 2 le plus avantageux :
A partir de 40 coquetiers, le tarif 2 est plus
avantageux ( la droite (2) – tarif 2 - est « endessous » de la droite (1) – tarif 1 )
A partir de 40 coquetiers, le tarif 2 est le
plus avantageux.
Partie B
1. Volume (en cm3) d'un coquetier :
Volume du cylindre :
V cylindre = π  3² 6 = π  9  6  54 π
Volume du cône :
π  3² 6 π  3  3  6
V cône =

 π  3  6  18 π
3
3
Volume du coquetier :
V coquetier = V cylindre - V cône = 54 π  18 π  36 π
2. a) Calcul de O’A’ :
Dans les triangles IOA et IO’A’,
Les points I, O’ et O sont alignés.
Les points I, A’ et A sont alignés.
Les droites (OA) et (O'A') sont parallèles
V coquetier = 36 π
V coquetier = 113 cm3
Donc, d’après le théorème de Thalès, nous avons :
IO' IA' O'A'


IO IA
OA
Soit ( sachant que IO’ = IO – OO’ = 6 – 4 = 2 )
2 IA' O'A'


6 IA
3
23
 O'A'
6
O’A’ = 1
O’A’ = 1
Remarque :
Il était possible d’arriver au même résultat en remarquant, puisque le plan (P) est parallèle à la base du
1
2
IO'
soit
cône , que le « petit » cône est une réduction du « grand » cône de rapport
soit
6
IO
3
b. Section du coquetier par le plan (P) :
Contrairement à la demande, la figure n’est malheureusement pas dessinée en vraie grandeur !!
c. Aire de cette section :
Asection =
π  3² π  1²  π  9  π  1  9π  π  8π
Asection = 8π