Abstract

Bewertung von Barriere Optionen und
CPPI-Optimierung
Roman Horsky
In der vorliegenden Arbeit werden zwei Themengebiete behandelt, die Bewertung
von ein- und zweidimensionalen Barriere Optionen im Black-Scholes Modell und
die Untersuchung der so genannten CPPI Portfolioabsicherungsstrategie.
Im ersten Teil ist der Ausgangspunkt die Frage, ob Monte-Carlo Simulationen
zur Preisbestimmung von Barriere Optionen durch gute Kontrollvariate beschleunigt werden können. Zunächst werden im Black-Scholes Modell mit kontinuierlicher Zeitbetrachtung Formeln zur Preisermittlung bestimmt. Aus diesen können
die Kontrollvariate konstruiert werden, die bei der Preisbestimmung durch zeitdiskrete Simulationen Anwendung finden. Die unterschiedliche Handhabung der
Zeit führt zu Preisunterschieden, die durch Verschiebung der Barrieren kompensiert werden. Dies ermöglicht die Kombination von Simulationen und Formeln in
einem Modell mit Zeitgitter, das das tatsächliche nichtkontinuierliche Handelsverhalten eher wiedergibt. In diesem können Optionspreise mit Hilfe der Kontrollvariaten genauer und schneller bestimmt werden. Grundlegende Arbeiten zur
Verschiebung einer Barriere stammen von Broadie, Glasserman und Kou. Hier
wird gezeigt, wie die Methode verallgemeinert und für eine Vielzahl von Optionen
benutzt werden kann. Als Anwendungsbeispiel werden Kontrollvariate für einen
zweidimensionalen Vier-Barriere Call konstruiert und analysiert.
Im zweiten Teil der Arbeit wird die so genannte CPPI Portfolioabsicherungsstrategie untersucht, die vor allem für Fondgesellschaften interessant ist. Hier besteht
die Möglichkeit der Geldanlage in Aktien und Bonds und, je nach Modell, zusätzlich in Tagesgeldkonten. Abhängig vom Aktienmarkt garantiert die Strategie
dem Anleger eine Mindestsicherung durch die Bonds, eröffnet ihm aber auch die
Möglichkeit, an Aktienkursgewinnen teilzunehmen.
Zunächst werden Wahrscheinlichkeiten zur Portfolioentwicklung berechnet. Dann
wird ausführlich untersucht, welches Portfolio Problem durch die CPPI Strategie
optimal gelöst wird. Verglichen mit der Originalliteratur von Black und Perold, wird für das Black-Scholes Modell ein neuer Lösungsansatz präsentiert. Des
Weiteren wird dann das Modell abgeändert und der Zins durch das stochastische
Vašı́ček Modell beschrieben. Die Lösung des Portfolio Problems ist, anders als die
ursprüngliche, eine zeitabhängige Steuerungsgröße, so dass die Strategie CPPIähnlich ist. Abschließend wird das CPPI Problem im Heston Modell untersucht,
und es hat wieder eine deterministische, CPPI-ähnliche, optimale Lösung.
Barrier Option Pricing and CPPI-Optimization
Roman Horsky
In this thesis two different topics are treated, the pricing of one- and two-dimensional barrier options in the Black-Scholes model and the so-called CPPI
portfolio insurance strategy.
In the first part the motivating question is whether Monte-Carlo simulations for
barrier option pricing can be speeded up by appropriate control variates. At the
beginning closed formulas to price some barrier options in the Black-Scholes model
with a continuous time setting are derived. They can be used to construct control
variates for time-discrete simulations applied to price options. The different treatment of time leads to differences in the option prices which are accounted for by
shifting the barriers in the discrete setting. Therefore both, the simulation and the
closed formulas, can be combined in a model with a time-grid which describes the
trading behaviour more realistically. In this model option prices can be calculated
more precisely and in a faster way with the help of control variates. Fundamental
results for the one barrier shifting are published by Broadie, Glasserman and Kou.
In this thesis it is shown how to extend this method and how it is used for a variety
of options. As an example control variates for a two-dimensional four-barrier call
are constructed and analysed.
In the second part of the thesis the so-called CPPI portfolio insurance strategy is
examined which is interesting, particularly to investment trusts. The investor has
the possibility to invest in bonds and stocks and, depending on the model, in a
money market account as well. On the one hand the strategy protects him from
losses in the stock market by redeploying the capital to the bond market, on the
other hand he has the possibility to participate in the profits made at positive
developing stock markets.
In this work probabilities are calculated describing the portfolio performance. In
detail it is investigated which portfolio problem is solved optimally by the CPPI
strategy. For the Black-Scholes model a new solution is presented, compared to
the literature by Black and Perold. Moreover the model is changed by assuming
the interest rate to be stochastic, described by the Vašı́ček-Model. The solution
to the portfolio problem is a time dependent control. Compared to the constant
control of the original CPPI strategy it is still deterministic and can therefore
be called CPPI-like. Similarly, the CPPI strategy is additionally studied in the
Heston model, leading again to a deterministic, CPPI-like, optimal strategy.