Beweis für die Additionstheoreme der Trigonometrie

Beweis für die Additionstheoreme der Trigonometrie
Skizze:
y
S
δ
s
α*
t
1
A
C
k
r
β
α
P
O
B
p
x
q
Beweis:
Die Strecke OS habe die Länge 1 (Einheitskreis), und die Dreiecke
OPS, OAS, OBA und CAS seien rechtwinklig.
Damit gilt für die Summe der Winkel:
α + β + δ = 90° = α* + β + δ
also: α* = α
Additionstheorem der sin-Funktion:
NR:
sin(α + β ) = r + s
= sinα ⋅ k + cosα ⋅ t
= sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ
sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ (1)
Aus den Dreiecken OBA und OAS
ergibt sich:
r = sinα ⋅ k
= sinα ⋅ cosβ
; mit k = cosβ ⋅ 1
Aus den Dreiecken CAS und OAS
ergibt sich:
s = cosα ⋅ t
= cosα ⋅ sinβ
; mit t = sinβ ⋅ 1
Additionstheorem der cos-Funktion:
NR:
cos(α + β ) = q − p
Aus den Dreiecken OBA und OAS
ergibt sich:
= cosα ⋅ k − sinα ⋅ t
q = cosα ⋅ k
= cosα ⋅ cosβ
= cosα ⋅ cosβ − sinα ⋅ sinβ
; mit k = cosβ ⋅ 1
Aus den Dreiecken CAS und OAS
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ – sinα ⋅ sinβ (2) ergibt sich:
p = sinα ⋅ t
= sinα ⋅ sinβ
Nach (1) gilt:
sin(α − β ) = sin(α + (− β ))
= sinα ⋅ cos(− β ) + cosα ⋅ sin(− β )
= sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ (− sinβ )
= sinα ⋅ cosβ − cosα ⋅ sinβ
sin(α – β) = sinα ⋅ cosβ – cosα ⋅ sinβ
(3)
Nach (2) gilt:
cos(α − β ) = cos(α + (− β))
= cosα ⋅ cos(− β ) + sinα ⋅ sin(− β )
= cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ (− sinβ )
= cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ
cos(α – β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ
(4)
; mit t = sinβ ⋅ 1
Additionstheorem der tan-Funktion:
mit tanα =
sinα
folgt aus (3) und (4):
cosα
tan(α − β ) =
sin(α − β )
cos(α − β )
1
tan(α − β ) =
sinα ⋅ cosβ − cosα ⋅ sinβ cosα ⋅cosβ
⋅
1
cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ
cosα ⋅cosβ
sinα
−
sinβ
tan(α − β ) =
cosα cosβ
sinα sinβ
⋅
1+
cosα cosβ
tan(α − β ) =
tanα − tanβ
1 + tanα ⋅ tanβ
; mit tanα ⋅ tanβ ≠ – 1