Linearisierung NTC - Fieberthermometer

u_linearisierung_NTC.doc
Linearisierung NTC - Fieberthermometer
Ergänzungsart: Rechenübung mit Lösung.
des Moduls:
Unsicherheit und Fehler
Stichwörter:
Linearisierung,
Linearitätsfehler,
Parallelwiderstand,
Empfindlichkeit, NTC, Zweipunkt-Linearisierung
Zweck:
Ausgehend vom starken nichtlinearen Verhalten der
Messcharakteristik die mit einer Änderung der Empfindlichkeit verbunden ist, werden die Linearitätsfehler des NTC
berechnet. Ist ein eingeschränkter Messbereich gefordert,
z.B. für die Anwendung als Fieberthermometer, wird auch
der Linearitätsfehler klein sein. Durch die Parallelschaltung
eines konstanten Widerstandes kann der Linearitätsfehler
noch deutlich reduziert werden.
Zielgruppe:
FH-Ing.
Autor:
Franz Baumgartner
Inhalt
1.
Aufgabenstellung: Messcharakteristik NTC
1.1. Widerstandswert im Messbereich
1.2. Linearitätsfehler des einfachen NTC
1.3. Empfindlichkeitsfehler des einfachen NTC
1.4. Linearisierung mit einem Parallelwiderstand
2.
Lösungsweg: Messcharakteristik NTC
2.1. Berechnung: Widerstandswert im Messbereich
2.2. Berechnung: Linearitätsfehler des einfachen NTC
2.3. Berechnung: Empfindlichkeitsfehler des einfachen NTC
2.4. Berechnung: Linearität mit einem Parallelwiderstand
<< Zur Liste aller Ergänzungen des Moduls
_________________________________________________
Franz Baumgartner / NTB / 20. Nov. 2002
u_linearisierung_NTC.doc
1. Aufgabenstellung: Messcharakteristik NTC
Ein NTC Widerstandssensor mit den Kenndaten B=3528 K und einem
Widerstand von R25=1kΩ soll in einem Fieberthermometer mit dem
Messbereich 35ºC bis 43ºC eingesetzt werden.
1.1. Widerstandswert im Messbereich
Skizzieren sie die Messcharakteristik und ergänzen sie die Zahlenwerte in der
nachfolgenden Tab. 1.
Tab. 1: Kenndaten NTC
Temperatur T
[ºC]
25
35
39
43
RNTC(T)
[kΩ]
Empfindlichkeit
[%/K] relativ zu RNTC(T)
1.2. Linearitätsfehler des einfachen NTC
Bestimmen Sie den maximalen Linearitätsfehler des NTC in ºC. (Wahlweise
Festpunkt oder Toleranzbandmethode)
1.3. Empfindlichkeitsfehler des einfachen NTC
Bestimmen Sie die relative Änderung der Empfindlichkeit an den beiden
Grenzen des Messbereichs des NTC.
1.4. Linearisierung mit einem Parallelwiderstand
Bestimmen Sie den maximalen Linearitätsfehler in ºC mit der Linearisierung
durch
einen
Parallelwiderstand.
(Wahlweise
Festpunkt
oder
Toleranzbandmethode)
Franz Baumgartner / NTB / 20. Nov. 2002
u_linearisierung_NTC.doc
2. Lösungsweg: Messcharakteristik NTC
Der Widerstandswert eines NTC Widerstandssensor errechnet sich aus den
Kenndaten B=3528 K und einem Widerstand von R25=1kΩ nach der
bekannten Formel. 1
RN (T ) = R 0 ⋅ e
1 1 
B − 
 T T0 
Gl. 1
und die Empfindlichkeit durch Ableitung von Gl. 1 nach der Temperatur mit
1
1
B − 
dR G (T )
−B −B
′
T T
= RN = R 0 ⋅ e  0  ⋅ 2 = 2 ⋅ RN (T )
dT
T
T
Gl. 2
2.1. Berechnung: Widerstandswert im Messbereich
Die errechneten Kenndaten sind in Tab. 1 aufgeführt, wobei die Toleranzen
der Kennwerte von B und R0 nicht berücksichtigt wurden. (vgl. Fig. 1) Dabei
kann die relative Empfindlichkeit entsprechend Gl. 2 durch –B/T2 bestimmt
werden.
Tab. 1: Die Kenndaten des NTC folgen aus Gl. 1 und 2 (T0=298.15K für 25ºC)
Empfindlichkeit
RNTC(T)
Empfindlichkeit
Temperatur
relativ zu RNTC(T)
absolut
T
[Ω/K]
[ºC]
[Ω]
[%/K]
25
1000.00
-3.97%
-39.7
35
681.13
-3.72%
-25.3
39
588.19
-3.62%
-21.3
43
509.81
-3.53%
-18.0
2.2. Berechnung: Linearitätsfehler des einfachen NTC
Bestimmen Sie den maximalen Linearitätsfehler nach der Festpunktmethode:
Die Sollgerade geht durch den Widerstandswert von RNTC am Beginn (25ºC)
und am Ende (43ºC) des Messbereichs. Der Linearitätsfehler ist dann die
Abweichung dieser Gerade zur Gl. 1. Diese Abweichung verschwindet am
Beginn T1 und Ende des Messbereichs T2. Die maximale Abweichung, wird
erfahrungsgemäss in der Mitte des Messbereichs Tm, hier bei 39ºC,
entsprechend Gl. 3 auftreten. (Mathematisch exakt ist das Maximum dieses
Linearitätsfehlers durch Nullsetzen der ersten Ableitung zu bestimmen)
R (T ) − R N (T1 ) 

∆R = R N (Tm ) − RN (T1 ) + N 2

2


Gl. 3
Die aus Gl. 3 erhaltene Differenz von 7.23 Ω lässt sich mit der absoluten
Empfindlichkeit nach Tab. 1 für die Temperatur Tm in den Linearitätsfehler
von 0.34ºC umrechnen. Dies stimmt gut mit der Spanne des Linearitätsfehlers
nach der Toleranzband-, Minimummethode nach Fig. 1 ein. Sie wurde durch
Franz Baumgartner / NTB / 20. Nov. 2002
u_linearisierung_NTC.doc
Berechnung der linearen Trendlinie in EXCEL und der Differenz zum Wert
nach Gl. 1 errechnet.
In Fig. 1 ist ersichtlich, dass die typischen Toleranzen der NTC Kennwerte
hier 0.5% für B und 2% für den Widerstand bei der Referenztemperatur, R25
eine mindestens so hohe Unsicherheit bei der absoluten Temperaturmessung
verursacht, wie der Linearitätsfehler.
NTC - Tem peraturunsicherheit
Einfluss der Toleranzen von B und R25, NTC-Typ 4102 von Philips, Jahr 1998
1
0.8
Rntc(B+0.5%,R25-2%)
0.6
0.4
Rntc(B+0.5%,R25+2%)
Lin Fehler
0.2
Rntc(B=3528) ,R25=1kOhm )
0
35
36
37
38
39
40
41
42
-0.2
-0.4
-0.6
Rntc(B-0.5%,R25-2%)
Rntc(B-0.5%,R25+2%)
-0.8
-1
Temperatur in C
Fig. 1 Linearitätsfehler nach der Toleranzbandmethode (mit den Kennlinien
für die Grenzen der NTC - Bauteilwerte von B und R25)
2.3. Berechnung: Empfindlichkeitsfehler des einfachen NTC
Die relative Änderung der Empfindlichkeit des NTC, an den beiden Grenzen
des Messbereichs lässt sich direkt durch Differenzbildung aus der Tab. 1 mit
0.19% erhalten. Die absolute Empfindlichkeit ändert von –25.3 Ω/K auf
-19.0 Ω/K.
2.4. Berechnung: Linearität mit einem Parallelwiderstand
Es lässt sich zeigen, dass der optimale Parallelwiderstand nach der Formel
 B − 2 ⋅ TM 
R p = RN (TM ) ⋅ 

 B + 2 ⋅ TM 
Gl. 4
bestimmt werden kann. Hier folgt für Tm bei 39ºC der Wert von Rp=411 Ω. In
Fig. 2 ist ersichtlich, dass der dann der erhaltene Linearitätsfehler gegenüber
den Toleranzschwankungen der NTC Kennwerte von B und R25
vernachlässigt werden kann. Den genauen Verlauf des Linearitätsfehlers nach
der Festpunktmethode (Zweipunkt Linearisierung - mittleren Empfindlichkeit
von 3.6 Ω/K) zeigt Fig. 3. Daraus kann ein maximaler Linearitätsfehler von
kleiner 0.003ºC Ω ablesen werden, der nicht in der Mitte des Messbereichs
Franz Baumgartner / NTB / 20. Nov. 2002
43
u_linearisierung_NTC.doc
liegt. Wird also hier die Abweichung der Messcharakteristik von der Geraden
in der Mitte des Messbereiches ermittelt, so liefert dies eine schwindend
kleinen Fehler der nicht dem maximalen Linearitätsfehler im gesamten
Messbereich entspricht.
Es ist aber erneut zu beachten, dass der maximale Linearitätsfehler von
wenigen mK kleiner als ein Prozent der Fehler durch die
Bauteilschwankungen, Hersteller-Toleranzen beträgt.
Linearität NTC mit Rp=411Ohm
0.8
Rntc(B+0.5%,R25-2%)
0.6
Linearitätsfehler in C
0.4
Maximaler Linearitätsfehler nur 0.003 °C
für Rntc(B=3528), R25=1kOhm ohne Toleranzen
0.2
0
35
36
37
38
39
40
41
42
43
-0.2
-0.4
-0.6
Rntc(B-0.5%,R25+2%)
-0.8
Temperatur in Celsius
Fig. 2 Linearitätsfehler mit Parallelwiderstand nach der Toleranzbandmethode
(mit den Kennlinien für die Grenzen der NTC - Bauteilwerte von B und R25)
Linearitätsfehler NTC mit Rp- Festpunktmethode
Linearitätsfehler [C]
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
35
36
37
38
39
40
41
42
43
-0.002
-0.003
Temperatur [C]
Fig. 3 Linearitätsfehler mit Parallelwiderstand nach der Festpunktmethode
(Nominalwerte der NTC - Kennwerte von B und R25)
Franz Baumgartner / NTB / 20. Nov. 2002
u_linearisierung_NTC.doc
_____________________
Franz Baumgartner / NTB / www.ntb.ch / Projekt WTM – ETH / 27.11.2002
_____________________
Literaturverzeichnis:
1
NTB-Sensordatenbank / www.ntb.ch / Temperatursensoren
Franz Baumgartner / NTB / 20. Nov. 2002
1
Linearisierung NTC mit Parallelwiderstand
Ergänzungsart: Vertiefung: Herleitung
des Moduls:
Unsicherheit und Fehler
Stichwörter:
Parallelwiderstand, Wendepunkt, Linearisierung, NTC
Zweck:
Berechung des optimalen Parallelwiderstandes für einen
NTC - Temperatursensor.
Zielgruppe:
FH-Ing.
Autor:
Franz Baumgartner
Inhalt
1.
Aufgabenstellung
2.
Herleitung
2.1. Erste Ableitung
2.2. Zweite Ableitung
<< Zur Liste aller Ergänzungen des Moduls
_________________________________________________
1. Aufgabenstellung
Zu bestimmen ist der optimale Wert eines Parallelwiderstandes für einen
NTC- Temperatursensor, um den Linearitätsfehler minimal zu halten. Der
NTC soll entsprechend dem bekannten Modell 1
RN (T ) = R 0 ⋅ e
1 1 
B − 
 T T0 
Gl. 1
durch die drei Parameter R0, B und T0 beschrieben werden. Der
Gesamtwiderstand RG(T) errechnet sich aus jenem von RN(T) und dem
gesuchten Rp, der für unterschiedliche Temperaturen T konstant sei, wie folgt:
R G (T ) =
R N (T ) ⋅ R p
R N (T ) + R p
Gl. 2
Hinweis:
Der Parallelwiderstand Rp ist so zu wählen, dass der Wendepunkt des
Gesamtwiderstandes RG in Funktion der Temperatur in der Mitte des
Messbereichs bei der Temperatur TM zu liegen kommt.
F. Baumgartner / www.ntb.ch / 25.11.2002
v_linearisierung_NTC_herleitung.doc
1
2. Herleitung
Die gesuchte Funktion für Rp lässt sich durch Nullsetzen der zweiten
Ableitung von RG(T) nach der Temperatur erhalten.
2.1. Erste Ableitung
Mit der inneren Ableitung von RN(T) nach Gl. 1
1
1
B − 
dR G (T )
−B −B
′
T T
= RN = R 0 ⋅ e  0  ⋅ 2 = 2 ⋅ RN (T )
dT
T
T
Gl. 3
folgt für die Ableitung des Gesamtwiderstandes Gl. 2 nach T
′
′
′
2
R p ⋅ RN
dR G (T ) (RN + R p ) ⋅ R p ⋅ RN − RN ⋅ R p ⋅ RN
=
=
2
2
dT
RN + Rp
RN + R p
[
]
[
]
Gl. 4
und weiter
2
dR G (T ) R p ⋅ RN ⋅ ( −B)
RN
2
B
R
=
=
−
⋅
⋅
p
2
2
dT
RN + Rp ⋅ T 2
T ⋅ (R N + R p )
[
]
[
]
Gl. 5
2.2. Zweite Ableitung
Die Forderung nach dem Nullsetzen der zweiten Ableitung erlaubt es den
konstanten temperaturunabhängigen Faktor in Gl. 5 zu eliminieren:

d2R G (T )
RN
d 
0
=
=


dT  T ⋅ (RN + R p ) 2 
dT 2
[
Gl. 6
]
Die Nullstelle von Gl. 6 wird durch das Nullsetzten des Zählerausdrucks der
Ableitung erhalten, woraus folgt:
[T ⋅ (R
N
′
′
2
+ R p )] ⋅ RN = RN ⋅ 2[T ⋅ (R N + R p )] ⋅ (RN + R p ) + T ⋅ R N  Gl. 7


Nach Kürzen von RN(T(RN+Rp)) und Einsetzen von RN`
[T ⋅ (R
N
+ R p )] ⋅
−B
− B

= 2 ⋅ (R N + R p ) + T ⋅ R N ⋅ 2 
2
T
T 

Gl. 8
und nach einer Zwischenumformung durch Kürzen von –B/T
RN + R p = 2 ⋅ (R N + R p )
T
+ 2 ⋅ RN
−B
Gl. 9
und nach Ausklammern von Rp wird das Ergebnis zu
 B − 2 ⋅ TM 
R p = RN (TM ) ⋅ 

 B + 2 ⋅ TM 
Gl. 10
wobei für T die Temperatur TM, Mitte des Linearisierungsbereichs, gelte.
F. Baumgartner / www.ntb.ch / 25.11.2002
v_linearisierung_NTC_herleitung.doc