Masse, Impulserhaltung und die Mechanik

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Kapitel 3
Masse, Impulserhaltung
und die Mechanik
Wenn die Beschleunigung eines Teilchens bekannt ist, haben wir
gelernt, wie wir seine momentane Geschwindigkeit und seine Lage
als Funktion der Zeit mit Differentialrechnung oder mit numerischer
Rechnung bestimmen können. Bislang haben wir gefragt, wie wird
sich ein Teilchen bewegen.
Aber in vielen realistichen Fällen kennen wir die Beschleunigung des
Teilchens nicht.
Wir kennen die Kräfte, die auf das Teilchen wirken, oder die Energie
des Teilchens, und wir wollen diese Information benutzen, um die
Bewegung vorherzusagen. Wir wollen wissen, weshalb ein Teilchen
sich bewegt. In diesem Kapitel werden wir von Kräften sprechen.
107
Diese Methoden bilden das Gebiet der Dynamik. Eine zentrale Rolle
in der Dynamik spielt die Masse.
Physik
108
Wir werden dazu physikalische Grössen einführen, die für die
gesamte Physik von fundamentaler Bedeutung sind: der lineare
Impuls und die Kraft.
Auf den Begriffen Masse, Impuls und Kraft basiert die gesamte klassische Mechanik.
3.1 Die Masse
3.1.1 Die Definition der Masse
In unserer Alltagssprache benutzen wir austauchbar die Wörter
“Masse” und “Gewicht”. Im Rahmen der Physik werden diese Wörter mit verschiedener Bedeutung benutzt.
Wir sagen:
a) Das Gewicht ist eine Kraft1, die ein Körper z.B. auf den
Boden ausübt. Das Gewicht ist eine Grösse, die mit einer
Waage gemessen wird.
b) Die Masse ist eine Eigenschaft eines Körpers. Die Masse
ist ein Mass dafür, wieviel “Stoff” im Körper enthalten ist.
Das Gewicht eines Körpers kann in verschiedenen Situationen verschieden sein. Das Gewicht eines Astronauts sei z.B. auf der Erdoberfläche “90 kg”.
Wenn er in seiner Umlaufbahn um die Erde ist, ist sein Gewicht
gleich null.
1. Wir werden eine genaue Definition der Kraft im Kap. 3.5.1 einführen.
Physik I&II, WS 02/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)
Die Masse
Im Gegensatz dazu ist die Masse des Astronauts auf der Erde und in
der Umlaufbahn immer dieselbe. Der Astonaut ist nicht masselos
geworden, sondern nur gewichtslos.
Rückstossversuch. Um die Masse genau zu definieren, werden wir
einen Rückstossversuch verwenden.
Demonstrationsexperiment: Wagen über eine Luftkissenbahn.
Wir betrachten zwei Wagen, A und B, die sich reibungsfrei über eine
Luftkissenbahn bewegen können. Siehe Abb. 1 und 2.
Figur 1.
109
Am Anfang werden die beiden Wagen mit einem Faden zusammengebunden. Eine Feder ist zwischen den beiden Wagen eingeklemmt.
Physik
110
In diesem Versuch wird der Faden zerschnitten und die
Geschwindigkeiten der Wagen vA und vB gemessen.
A
A
Faden
Feder
(a)
B
B
reibungsfreie Luftkissenbahn
(b)
VB
Ein Rückstossversuch. a) Anfangszustand b) Faden zerschnitten.
VA
Wenn der Faden zerschnitten ist, entfernen sich beide Wagen mit
engegengesetzen Geschwindigkeiten voneinander. Wir bemerken,
dass die Geschwindigkeiten der Wagen nicht immer denselben Betrag
besitzen.
Figur 2.
Aus Experimenten mit verschiedenen Wagen schliessen wir, dass das
Verhältnis der Geschwindigkeiten der beiden Wagen gegeben ist
durch
m A vB
=
mB v A
wobei mA und mB die “Massen” der Wagen sind.
Zwei wichtige Bemerkungen:
1.
Das Rückstossexperiment hat nichts mit den Gewichten der Wagen
zu tun. Man könnte ebenso das Experiment im Weltraum (wo die
Wagen gewichtslos wären) durchführen. Das Ergebnis wäre dasselbe !
Die Masse
2.
Auf der Erde haben wir eine Luftkissenbahn verwendet, so dass
die Wagen sich frei bewegen. Die nach unten gerichtete Erdbeschleunigung wird von der Luftkissenbahn kompensiert (die
Wagen fallen nicht nach unten). Obwohl die Wagen auf die Luftkissenbahn drücken, ist der Effekt dank dem Luftfluss vernachlässigbar.
Das Ergebnis ist auch unabhängig von der Feder.
Wäre die Feder stärker, würden beide Wagen sich schneller voneinander entfernen. Das Verhältnis der Geschwindigkeiten würde
sich aber nicht ändern. D.h., dass die Masse eines Wagens nur von
den Eigenschaften der Wagen abhängt.
Bis jetzt haben wir nur von einem Verhältnis gesprochen.
Wie sollen wir die Masse definieren?
Wir wählen eine der Massen, z.B. mB, so, dass sie eine genormte
Masse besitzt. Von einer solchen genormten Masse haben wir schon
im Kap. 1.2 gesprochen, als die Definition der Einheit der Masse (das
Kilogramm) betrachtet wurde. Wir haben dort gesagt:
Das Kilogramm ist die Masse eines Prototyps des Kilogramms. Es ist ein Platin-Iridium-Zylinder, der im Bureau
International des Poids et Mesures in Sèvres bei Paris aufbewahrt wird.
mA =
vB
mB
vA
111
Dann werden alle Massen relativ zur gewählten Masse mB gemessen,
als
Physik
112
Alle anderen Massen werden dann durch einen Rückstossversuch als
Ê v BIPM - Prototyp ˆ
mA = (1 Kilogramm) ¥ Á
˜
vA
Ë
¯
definiert, wobei vBIPM-Prototyp die gemessene Geschwindigkeit des
Prototyps ist.
3.1.2 Träge und schwere Masse
Die vorher gegebene Definition der Masse entspricht einer genauen,
aber komplizierten Art von Messung der Masse!
Stab
Drehpunkt
genormte
Masse
Eine Messung mit einer Waage ist eine einfachere Methode, um die
Masse zu messen.
Siehe Abb. 3.
Gegenstand
Waage. Wenn die zwei Massen gleich sind, wird der Stab
stillstehen. Der Stab ist im Gleichtgewicht.
Figur 3.
Die Masse
Die Waage vergleicht die Gewichte der Massen, d.h. die nach
unten gerichteten Gravitationskräfte, die die zwei Massen auf
den Teller ausüben. Wenn die Gravitationskräfte einander
gleich sind, bleibt der Stab im Gleichgewicht.
Mit einer solchen Waage können wir die Gravitationskräfte von Massen mit der Gravitationskraft, die die genormte Masse auf den Teller
ausübt, vergleichen.
Wenn wir die Messungen mit einer Waage mit denjenigen des
Rückstossversuches vergleichen, bemerken wir, dass gleiche
Massen die gleichen Gravitationskräfte ausüben.
Wir nehmen zwei Wagen, die sich mit derselben Geschwindigkeit im
Rückstossversuch bewegen. D.h., dass sie die gleiche Masse besitzen.
Wenn wir diese Wagen auf den Teller der Waage stellen, wird der
Stab im Gleichgewicht stehen.
Dieses experimentelle Ergebnis ist keine offensichtliche Sache!
Der Physiker Etvös hat 1922 mit sehr genauen Versuchen bewiesen,
dass Körper mit gleicher Masse gleiche Gravitationskräfte ausüben.
Er hat dieses Ergebnis mit einer Genauigkeit von 1 Teil in 109
geprüft.
Wir sagen gewöhnlich
a) die träge Masse ist die Grösse, die wir mit einem Rückstossexperiment messen, und
b) die schwere Masse ist die Grösse, die wir mit einer Waage
messen.
113
Dank R.H. Dicke, der das Etvösche Experiment noch verbessert hat,
wissen wir heutzutage, dass beide Definitionen mit einer Genauigkeit
von 1 Teil in 1011 gleich sind.
Physik
114
Im Bereich der Mechanik wird nicht gesagt, warum diese zwei Massen gleich sind. Nur in der Allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein kann man mit Hilfe des Äquivalenzprinzips (Siehe
Kap. 11.11.2) verstehen, warum beide gleich sein müssen.
3.2 Der Impuls
Nun werden wir das Gesetz der Impulserhaltung einführen.
Ein “Erhaltungs”-Gesetz im Gebiet der Physik drückt aus,
dass eine Grösse sich nicht ändert. Sie wird erhalten, d.h. sie
wird vor und nach verschiedenen Vorgängen dieselbe sein.
3.2.1 Die Definition des Impulses
m A vB
=
mB v A
In der Definition der Masse haben wir gesehen, dass in Rückstossversuchen das Verhältnis der Geschwindigkeiten der Wagen eine konstante Zahl war, unabhängig von der Feder.
Wir haben dieses Ergebnis als
ausgedrückt.
Jetzt wollen wir diese Gleichungen verwenden, um eine Grösse zu
definieren, die sich nicht ändern wird, wenn der Faden zwischen den
Wagen zerschnitten wird.
Wir schreiben die Gleichung als
m A v A = mB vB
Der Impuls
Jetzt bemerken wir, dass vA und vB die Beträge der Geschwindigkeitsvektoren der Wagen sind. Da die Wagen sich in entgegengesetzen
Richtungen voneinander entfernen, gilt
r
r
m A v A = - mB vB
wobei wir die Geschwindigkeitsvektoren statt der Beträge der
Geschwindigkeiten benutzt haben.
Diese Gleichung wird geschrieben als
r
r
(nachdem der Faden zerschnitten ist)
mA v A + mB v B = 0
Mit einem solchen Ausdruck haben wir die folgende Grösse den
Wagen A und B zugeordnet: mAvA ist nur eine Eigenschaft des
Wagens A, und mBvB nur eine Eigenschaft des Wagens B.
Eine neue Grösse wird deshalb definiert:
Der lineare Impuls eines Teilchens ist gleich dem Produkt aus
seiner Masse und seiner Geschwindigkeit:
r
r
p = mv
Der Impuls ist eine vektorielle Grösse, weil er das Produkt einer skalaren Grösse (die Masse) und einer vektoriellen Grösse (die
Geschwindigkeit) ist.
Die Gleichung drückt aus, dass die Summe der Impulse nach
dem Rückstoss gleich null ist.
r
vA = 0
r
vB = 0
115
Bevor der Faden zerschnitten wurde, sind beide Wagen in Ruhe. Vor
dem Rückstoss, gilt
Physik
116
Die Summe der linearen Impulse bevor der Faden zerschnitten
wurde, ist dann
r
r
(bevor der Faden zerschnitten ist)
mA v A + mB v B = 0
Wir schliessen daraus, dass die Summe der linearen Impulse
der Wagen sich wegen des Rückstosses nicht geändert hat.
r
r
r
r
r
Ptot = pA + pB = mA v A + mBvB
Die Summe der linearen Impulse der Wagen nennen wir den Gesamtimpuls P tot
Die Gleichung
r
r
Ptot (vorher ) = Ptot (nachher )
drückt die Erhaltung des Gesamtimpulses aus.
3.3 Die Impulserhaltung
3.3.1 Das allgemeine Gesetz
Auf den vorherigen Seiten haben wir einen Rückstossversuch
betrachtet. Wir haben gefunden, dass in einem solchen Versuch eine
vektorielle Grösse — der Gesamtimpuls — erhalten ist.
Bisher haben wir nur das Ergebnis des Rückstossversuches auf eine
andere Art neu dargelegt.
Das Gesetz der Impulserhaltung ist aber ganz allgemein gültig.
Die Impulserhaltung
Es kann so formuliert werden:
Ein “isoliertes” System ist ein System, das keine Wechselwirkungen mit anderen Körpern spürt. Das System kann sehr
weit von anderen Körpern entfernt sein, oder die Wechselwirkungen mit anderen Körpern kompensieren einander, so dass
der Effekt verschwindet.
In einem solchen isolierten System ist der Gesamtimpuls
erhalten.
Das Gesetz der Erhaltung des Impulses ist eines der grundlegenden
und allgemein gültigen Gesetze der Physik. Wir kennen keine Ausnahmen von diesem Prinzip.
Wir haben noch nicht viel von Kräften gesprochen. Von Kräften wird
ein bisschen später gesprochen.
Wir müssen nur verstehen, dass es im Rückstossversuch keine äussere Kraft gab, und deshalb die Wagen als isoliertes System betrachtet werden können.
Wir haben im Versuch eine Luftkissenbahn verwendet, so dass keine
äussere resultierende Kraft auf den Wagen wirkt. Die nach unten
gerichtete Gewichtskraft eines Wagens wurde von der Luft der Luftkissenbahn ausgeglichen. Die resultierende vertikale Kraft war deshalb gleich null.
117
Wenn der Faden zerschnitten wurde, hat die Feder eine nicht verschwindende Kraft ausgeübt. Diese Kraft ist aber keine äussere
Kraft, sondern eine innere Kraft, die auf die Wagen wirkt. Sie kann
deshalb den Gesamtimpuls des Systems nicht ändern.
Physik
118
3.4 Das erste Newtonsche Gesetz:
Trägheit
Eine erste Folgerung aus dem Impulserhaltungsgesetz ist das Trägheitsprinzip.
fi
Wir sehen, dass für ein isoliertes System gelten muss:
r
dptot
=0
dt
r
ptot = Konst
Wenn ein System nur einen Körper enthält, ist der Gesamtimpuls
gleich dem Impuls des Körpers, und wir erhalten
r
r
r
dp
d ( mv )
dv
=0=
=m
dt
dt
dt
dv
= 0 fi
dt
r
v = Konst.
r
fi a( t) ∫ 0
wobei wir angenommen haben, dass sich die Masse des Körpers mit
der Zeit nicht ändert.
Es folgt,
Wir sagen,
Trägheitsprinzip: Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt
sich mit konstanter Geschwindigkeit, wenn er isoliert (oder
frei) ist.
In den Zeiten vor Galileo Galilei (1564-1642) nahm man an, dass die
Kraft in Verbindung mit der Geschwindigkeit eines Körpers war. Man
dachte, dass eine Kraft wirken muss, um einen Körper in Bewegung
zu halten. Je grösser die Kraft, desto schneller bewegt sich das Teil-
Das zweite Newtonsche Gesetz: Aktionsprinzip
chen. In unserer täglichen Erfahrungen ist dieses Denken nicht ganz
so falsch.
Galileo und Newton erkannten, dass in den meisten Situationen auf der Erdoberfläsche Körper sich nicht reibungsfrei
bewegen.
Wenn ein Körper geworfen wird und sich in der Luft bewegt, wirkt
auf ihn die Gravitationskraft ein und er fühlt auch die Reibung der
Luft (d.h. Luftwiderstand).
Wenn ein Körper sich auf dem Boden bewegt, fühlt er die Reibung
zwischen seiner Fläche und der Bodenfläche.
D.h., in den meisten Fällen sind die Körper nicht isoliert, weil die
resultierende Wechselwirkung mit anderen Körpern nicht gleich null
ist.
1.
2.
Aus diesen Beobachtungen haben Galilei und Newton sich vorzustellen versucht, wie ein Körper sich bewegen würde, wenn es frei wäre.
Sie sind zum Schluss bekommen, dass die Wechselwirkung mit anderen Körpern mit der Beschleunigung zusammenhängt, so dass das
Trägheitsprinzip gelten muss.
3.5 Das zweite Newtonsche Gesetz:
Aktionsprinzip
3.5.1 Die Definition der Kraft
119
Wir betrachten eine gleichförmige Kreisbewegung, die wir im
Kap. 2.6 studiert haben.
Wir haben gesehen, dass
Physik
120
]
eine nach dem Zentrum des Kreises gerichtete Beschleunigung auf das Teilchen wirken muss, damit das Teilchen sich
auf einer Kreisbahn bewegt.
Wir können den Impuls des Balles berechnen. Es gilt:
r
r
r
r ( t) = r(coswt)ex + r(sin wt)ey
r
r
r
r
dr
= rw (- sin wt)ex + rw (coswt)ey
v ( t) =
dt
[
und damit ist der Impuls gleich:
r
r
r
r
p( t) = mv ( t) = mrw (- sin wt)ex + (coswt)ey
wobei m die Masse des Körpers ist.
Der Impulsvektor zeigt in die Richtung des Geschwindigkeitsvektors
und ist deshalb tangential. Er ändert sich mit der Zeit, so dass der Ball
sich auf dem Kreis bewegt.
[
[
]
]
Wir können die zeitliche Ableitung des Impulses betrachten:
r
r
r
dp
= mrw w (- coswt)ex + w (- sin wt)ey
dt
r
r
= - mw 2 r(coswt)ex + r(sin wt)ey
r
= - mw 2 r
Der resultierende Vektor zeigt zum Zentrum des Kreises. Dies ist die
Richtung des Fadens.
en
d
Fa
Siehe Abb. 4.
r
a
Ball
Figur 4. Die Beschleunigung des Balles ist zum Zentrum des Kreises
gerichtet.
Was ist für die zeitliche Änderung des Impulses verantwortlich?
Wir sagen, dass der Faden eine Kraft auf den Körper ausübt. Diese
Kraft ist für die zeitliche Änderung des Impulses verantwortlich.
Zusammenfassend:
Die resultierende Kraft, die auf einen Körper wirkt, wird als
die zeitliche Änderung des Impulses des Körpers definiert:
r
r
dp
F∫
dt
Wir sagen, dass wenn sich der Impuls eines Körper mit der
Zeit ändert, wirkt auf den Körper eine nicht verschwindende
Kraft.
Weil der Impuls eine vektorielle Grösse ist, der eine Richtung
und einen Betrag besitzt, ist die Kraft auch ein Vektor.
121
Im folgenden Kapitel werden wir verschiedene Arten von
Kräften definieren. Wenn wir die Wirkung mehrerer Kräfte auf
Physik
122
i
einen Körper betrachten, wird die resultierende Kraft als die
Vektorsumme der einzelnen Kräfte geschrieben:
r
r
F = Â Fi
Es folgt daraus, dass sich der Impuls eines Körpers nur dann
mit der Zeit ändern wird, wenn sich die Wirkungen aller
Kräfte nicht gegenseitig kompensieren.
3.5.2 Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung
Welche Rolle spielt dann die Masse?
Wir können die Definition des Impulses als Funktion der Masse und
der Geschwindigkeit des Körpers verwenden, um eine Beziehung
zwischen der resultierenden Kraft und der Beschleunigung herzuleiten, die nur gilt, wenn die Masse des Körpers konstant ist:
r
r dpr ( t) d
r
r
dv ( t)
= ( mv ( t)) = m
= ma( t)
F∫
dt
dt
dt
Es folgt damit,
Aktionsprinzip: Die Beschleunigung eines Körpers, dessen
Masse sich mit der Zeit nicht ändert, ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn wirkt:
r
1 r
a ( t) = F ( t)
m
Weil die Masse eine skalare Grösse ist, zeigen die Beschleunigung und die resultierende Kraft immer in dieselbe Richtung.
Einheit: Die Einheit der Kraft ist 1 Newton (N) und entspricht jener
Kraft, die benötigt wird, um einen Körper der Masse 1 kg mit 1 m/s2
zu beschleunigen.
3.5.3 Der Kraftstoss
Wir haben im letzten Abschnitt die Definition der Kraft mit Hilfe der
Ableitung des Impulses nach der Zeit gegeben. Im Allgemeinen können die physikalischen Gesetze in differentieller Form oder in Integral-Form ausgedrückt werden. Im Fall der Kraft kann der Kraftstoss
definiert werden.
t0
r t r
I ∫ Ú F ( t) dt
Der Kraftstoss ist ein Vektor, der so definiert wird:
Es gilt,
r
t
r t r
r
r
( t)
dp
dt = p( t) - p( t0 )
I = Ú F ( t) dt = Ú
dt
t0
t0
Man kann diese Gleichung so interpretieren:
Um den Impuls eines Körpers zu ändern, muss eine Kraft
während eines endlichen Zeitintervalls wirken. Die Änderung
des Impulses ist danach gleich dem Integral der Kraft über
die Zeit .
123
Der Kraftstoss kann auch als Impulsübertrag definiert werden.
Physik
124
3.6 Das dritte Newtonsche Gesetz:
Aktion = Reaktion
Wir betrachten die Wechselwirkung zwischen zwei Körpern. Jeder
Körper übt eine Kraft auf den anderen aus.
Jede Einzelkraft ist nur ein Aspekt einer gegenseitigen Wechselwirkung zwischen den zwei Körpern.
Übt ein Körper auf einen zweiten eine Kraft aus, so wirkt dieser auch
auf den ersten mit einer Kraft. Es gibt keine einzelne isolierte Kraft.
Wenn die erste Kraft als Aktionskraft bezeichnet wird, wird die
zweite Reaktionskraft genannt (jede der beiden Kräfte kann natürlich als Aktion betrachtet werden, dann ist die andere die Reaktion).
Newton hat in seinem dritten Gesetz die Situation zusammengefasst
und hat die Richtungen und die Beträge der Kräfte postuliert:
Aktions-Reaktions-Prinzip: Zu jeder Aktion gehört eine
gleich grosse Reaktion, die denselben Betrag besitzt aber in
die entgegengesetzte Richtung zeigt.
Dieses Gesetz ist eine direkte Folgerung der Impulserhaltung. Wir
betrachten ein isoliertes System mit zwei Körpern A und B. Wenn das
System isoliert ist, wird der gesamte Impuls erhalten:
r
r
r
ptot = pA + pB = Konst.
Wir berechnen die zeitliche Ableitung des gesamten Impulses:
r
r
r
dptot dpA dpB
=
+
=0
dt
dt
dt
Anwendungen: Impuls und Impulserhaltung
Aus der Definition der Kraft folgt:
r
r
FA + FB = 0
wobei FA die Kraft ist, die auf den Körper A wirkt, und FB ist die
Kraft, die auf den Körper B wirkt. Weil das System isoliert ist, ist FA
die Kraft, die der Körper B auf A ausübt und FB ist die Kraft, die der
Körper A auf B ausübt. Damit:
r
r
FA = - FB : Aktion = Reaktion
3.7 Anwendungen: Impuls und
Impulserhaltung
3.7.1 Ein freier Körper im Weltraum
Was ist ein freier Körper? Das ist sicher eine Idealisierung!
Wir können trotzdem annehmen, dass für einen Körper im Weltraum,
der sehr weit entfernt von anderen Sternen und Planeten ist, die
Wechselwirkung mit dem Rest des Universums als vernachlässigbar
betrachtet werden kann und der Körper deshalb “frei” ist.
125
Ein Körper ist auch frei, wenn sich die Wechselwirkungen mit anderen Körpern gegenseitig kompensieren, was zu einer verschwindenden Gesamtwechselwirkung führt.
In diesem Fall ist der Impuls des Körpers erhalten:
r
r
p = mv = Konst.
Physik
126
Der Körper bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.
Als Beispiel dazu können wir die Bahnkurve der künstlichen Satelliten Voyager 1 und 2 erwähnen. Diese Satelliten wurden 1977 in den
Weltraum geschossen. Seitdem bewegen sie sich “frei” durch unser
Sonnensystem. Nach der ursprünglichen Beschleunigung wurden
ihre Triebwerke ausgeschaltet (die Triebwerke wurden nur gebraucht,
um die Bahnkurve zu korrigieren, so dass sie die gewünschten Planeten treffen).
Bahnkurve der künstlichen Satelliten Voyager 1 und 2.
Ihre Bahnkurven sind in Abb. 5 gezeigt. Die Bahnkurven sind wegen
der Wechselwirkungen mit der Sonne und den Platenen gekrümmt
(diese Gravitationskraft wird im Kap. 3.13 diskutiert). Wir bemerken,
dass je mehr der Abstand zwischen den Satelliten und den Planeten
zunimmt, desto geradliniger wird die Kurve.
Figur 5.
Ihre Geschwindigkeit relativ zur Sonne ist ungefähr 18 km/s. Heute
haben die Satelliten unser Sonnensystem verlassen und fliegen durch
den Weltraum weiter. Es wird erwartet, dass sie das a-Centauri
System (der uns am nächsten stehende Stern (ausser der Sonne)) in
ungefähr 80’000 Jahren erreichen werden.
3.7.2 Senkrechter Wurf nach oben
Ein Mensch wirft einen Ball senkrecht in die Luft und fängt ihn wieder auf. Wir nehmen an, dass der Mensch ein Teil der Erde sei und
fest mit ihr verbunden ist.
Das System wird deshalb als Erde+Mensch und Ball betrachtet. Die
Gravitationskraft (das Gewicht des Balls) zwischen Erde und Ball
stellt eine innere Kraft des Systems dar. Das System kann als isoliert
betrachtet werden.
B B
E E
Für den Mensch befinden sich die Erde und der Ball vor dem Wurf in
Ruhe. D.h., der Gesamtimpuls des Systems ist am Anfang gleich null.
Er muss nach dem Wurf noch null sein. Es gilt:
r
r
r
p =m v +m v =0
tot
wobei die Indizes E und B die Erde und den Ball bezeichnen.
r
m r
vE = - B vB
mE
127
Wenn der Ball in die Luft geworfen wird, wird die Erde zurückgestossen. Da die Erde eine sehr viel grössere Masse als der Ball besitzt,
wird die Rückstossgeschwindigkeit der Erde sehr klein (verschwindend klein!):
wobei mE ª 6¥1024 kg ist.
Physik
128
Während der Bewegung des Balles zieht die Gravitationskraft den
Ball und die Erde an, bis der Ball nicht mehr steigt und schliesslich
wieder nach unten fällt. Dabei fällt die Erde auch mit einem gleich
grossen entgegengesetzten Impuls auf den Ball zu.
Beim Auftreffen des Balls auf die Erde verlieren beide Körper ihre
Bewegung und der Gesamtimpuls bleibt unverändert gleich null.
3.7.3 Der Rückstoss von Eiskunstläufern
Ein Mann mit einer Masse von 70 kg und ein Junge mit einer Masse
von 35 kg stehen zusammen auf einer glatten Eisfläche, für die die
Reibung vernachlässigbar sei.
vA
Wie weit sind die beiden nach 5 Sekunden voneinander entfernt,
wenn sie sich voneinander abstossen und der Mann sich mit 0,3m/s
relativ zum Eis bewegt?
Siehe Abb. 6.
vB
Figur 6. Rückstoss der Eiskunstläufer. Das Gesamtimpuls wird erhalten. Da
die Masse des Mannes doppelt so gross ist wie die des Jungen, beträgt seine
Geschwindigkeit nur die Hälfte derjenigen des Jungen.
Der Mann und der Junge werden als ein System betrachtet. Kann ein
solches System als isoliert betrachtet werden?
Die Gravitationskraft, die beide erfahren, wird durch die
Kraft ausgeglichen, die vom Eis ausgeübt wird. Die Reibung
mit dem Eis ist als vernachlässigbar angenommen. Das
System kann deshalb als isoliert betrachtet werden, und der
Gesamtimpuls wird erhalten.
Da sich der Mann und der Junge ursprünglich in Ruhe befinden, ist
der Gesamtimpuls gleich null.
r
r
r
r
fi
pA + pB = 0
mA v A + mB v B = 0
r
70 kg
m r
(0, 3m / s) = 0, 6m / s
vB = A vA =
35 kg
mB
Der Mann hat die doppelte Masse des Jungen und der Junge bewegt
sich mit der doppelten Geschwindigkeit des Mannes. Nach 5 Sekunden hat sich der Mann 1,5 Meter, der Junge 3 Meter weit vom Ausgangspunkt weg bewegt, so dass sie nun 4,5 Meter voneinander
entfernt sind.
3.7.4 Laufen auf dem Eisenbahnwagen
129
Ein Eisenbahnwagen der Masse M rollt reibungsfrei mit der
Geschwindigkeit v0 über ein geradliniges Gleis. Auf der Ladefläche
Physik
130
x
steht ein Mensch der Masse m, der beginnt, nach links zu laufen. Welche Geschwindigkeitsänderung erfährt der Wagen?
vrel
v0
Das System Mensch-Wagen ist isoliert. Der gesamte Impuls wird
erhalten. Bevor der Mensch zu laufen begann:
ptot = mv 0 + Mv 0
ptot = m(v1 - v rel ) + Mv1
Nachdem der Mensch gestartet ist, haben sich seine Geschwindigkeit
und die des Wagens geändert, der Wagen habe dann die Geschwindigkeit v1. Nachher ist der gesamte Impuls gleich:
Es gilt,
mv 0 + Mv 0 = m(v1 - v rel ) + Mv1
fi ( m + M )v 0 = ( m + M )v1 - mv rel
fi ( m + M )(v 0 - v1 ) = - mv rel
(m + M )
mv rel
Die Änderung der Geschwindigkeit des Wagens ist gleich:
Dv = v1 - v 0 =
)
mKugel (v 0 cosq - v R ) - mKanone v R = 0
(
fi mKugel (v 0 cosq - v R ) = mKanone v R
(m
m
Kanone
+ mKugel
Kugel
)
v 0 cosq
fi mKugel v 0 cosq = mKanone + mKugel v R
fi v R =
oder
Die horizontale Komponente des Impulses wird erhalten. Es folgt,
Px ( nachher) = mKugel (v 0 cosq - v R ) - mKanone v R
Der gesamte Impuls ist damit gleich
mKugel (v 0 cosq - v R )
Nachdem die Kugel abgeschossen wurde, ist der Impuls der Kugel
bezüglich des Bodens gleich
Px (vorher) = 0
Bevor die Kugel abgeschossen wird, verschwindet die x-Komponente
des gesamten Impulses:
y
132
3.7.5 Horizontaler Rückstoss einer Kanone
Wir betrachten eine Kanone, die sich ursprünglich in Ruhe auf einem
reibungsfreien horizontalen Boden befindet. Eine Kugel wird von der
Kanone unter einem Winkel q mit einer Geschwindigkeit v0 bezüglich der Kanone abgeschossen. Was ist die Rückstossgeschwindigkeit
der Kanone, nachdem die Kugel abgeschossen wurde?
Das System wird als Kanone-Kugel betrachtet und der gesamte
Impuls des Systems ist dann gleich:
r
r
r
Ptot = pKugel + pKanone
r
v0
Weil wir eine rebungsfreie Bewegung auf dem Boden angenommen haben, kann das System als isoliert betrachtet werden. Der gesamte Impuls wird deshalb erhalten.
q
x
131
Wir können die Bewegung zerlegen und nur die x-Komponente
betrachten, weil wir annehmen, dass die Kanone sich nur horizontal
bewegt.
Physik
Anwendungen: Kontaktkräfte
vR
q
v0cosq–vR
3.8 Anwendungen: Kontaktkräfte
y
x
In der Natur beobachten wir verschiedene Arten von Kräften. Wir
werden uns nun mit den Kräften, die auf makroskopische Gegenstände wirken, beschäftigen.
Diese Kräfte, sogenannte Kontaktkräfte, werden z.B. von Federn,
Fäden oder Oberflächen ausgeübt, wenn diese in direktem Kontakt
mit den Gegenständen sind.
Das Konzept der Kraft und die Newtonschen Gesetze spielen ihre
wichtigste Rolle in Anwendungen. Wenn wir sie nicht anzuwenden
wissen, dann sind sie nicht nützlich.
Wir diskutieren im Folgenden einige Anordnungen.
3.8.1 Körper, die sich aufeinander befinden
133
Wir betrachten ein System mit zwei Blöcken: der erste Block sitzt auf
dem zweiten, der sich auf dem Boden befindet.
Physik
134
Block A
Block B
Man muss komplizierte Systeme in kleine Teile unterteilen, so
dass jeder Teil als ein Massenpunkt (Siehe Kap. 2.1.1) betrachtet
werden kann.
Jeder Körper wird durch einen Punkt dargestellt.
Man zeichnet die Kräfte für jeden Massenpunkt. Nur die Kräfte,
die auf den Massenpunkt wirken, werden dargestellt.
Jede Kraft muss eine Richtung und einen Betrag besitzen.
Im Allgemeinen können wir einige “Regeln” formulieren, um die
Anwendung von Kräften zu vereinfachen:
1.
2.
3.
4.
Verschiedene Körper können z.B. durch Feder- oder Fadensysteme
miteinander verbunden werden oder können aneinander stossen oder
ziehen.
Alle Wechselwirkungen zwischen Körpern werden durch
Kräfte dargestellt.
In unserem Beispiel sind wir an den zwei Blöcken A und B interessiert. Die Massen werden als MA und MB bezeichnet. Der Boden wird
nicht betrachtet, und deshalb werden wir die Kräfte, die auf den
Boden wirken, nicht zeichnen.
FAB
NB
MA
MA
MB
FB=MBg
MB
FA=MAg
NA
Das entsprechende Kräftediagramm wird das folgende sein:
y
Block B:
135
Block A:
a) FA ist die Gravitationskraft (d.h. das Gewicht) des Blocks A der
Masse MA. Diese Kraft beschreibt die Wechselwirkung zwischen
der Erde und dem Block A.
b) NA ist die Normalkraft, die der Block B auf den Block A ausübt.
Wir finden 5 Kräfte:
1.
2.
Physik
136
a) FB ist die Gravitationskraft (d.h. das Gewicht) des Blocks B der
Masse MB. Diese Kraft beschreibt die Wechselwirkung zwischen
der Erde und dem Block B.
b) NB ist die Normalkraft, die der Boden auf den Block B ausübt.
c) FAB ist die Kraft, die der Block A auf den Block B ausübt.
Diese Kräfte sind vektorielle Grössen, die eine Richtung und einen
Betrag besitzen.
Block B:
Wir diskutieren die Gleichgewichtssituation, d.h. wenn die Körper in
Ruhe bleiben. In diesem Fall müssen die wirkenden Kräfte einander
kompensieren. Wir finden eine Bedingung für jeden Körper:
r
r
Block A: FA + N A = 0
r
r
r
FB + N B + FAB = 0
oder
r
r
r
r
ÔÏFA + N A = M A g + N A = 0
r
r
r
Ìr
r r
ÓÔFB + N B + FAB = M B g + N B + FAB = 0
Wir verwenden nun das Aktions-Reaktions-Prinzip. Wir bemerken,
dass weil (1) FAB die Kraft ist, die der Block A auf den Block B ausübt und weil (2) NA die Kraft ist, die der Block B auf den Block A
ausübt, müssen sie einander kompensieren. Die Kraft NA kann als die
Reaktion der Kraft FAB betrachtet werden oder umgekehrt. Die Kräfte
entsprechen der gegenseitigen Wechselwirkung zwischen den zwei
Blöcken. Damit:
r
r
FAB = - N A
und es folgt
Schliesslich
r
r
ÔÏN A = - M A g
r
Ì r r
ÓÔ M B g + N B - N A = 0
r r
r
MB g + N B + MA g = 0
r r
fi ( M A + M B ) g + N B = 0
r
r
N B = -( M A + M B )g
fi
Wie erwartet, sagt diese Gleichung voraus, dass die Kraft NB, die der
Boden auf den Block B ausübt, das gesamte Gewicht der Blöcke
kompensieren muss.
137
In ähnlicher Weise muss die Kraft NA, die der Block B auf den Block
A ausübt, das Gewicht des Blocks A kompensieren:
r
r
N A = - MA g
Physik
138
3.8.2 Ein hängendes Gewicht
Knoten
45°
Ein Gewicht hängt an drei Fäden von einer Zimmerdecke, wie in der
Abb. gezeigt ist:
Decke
30°
M
Es wird beobachtet, dass das Gewicht der Masse M in Ruhe bleibt.
Was sind die Beträge der Kräfte in den Fäden ?
FA
30°
FC
45°
FB
Der Knoten verbindet die drei Fäden: er wird als “Körper” betrachtet
und die Kräfte, die auf ihn wirken, sind die folgenden:
y
x
Wenn das Gewicht in Ruhe bleibt, so gilt
r
r
r
r
r
r
FA + FB + FC = FA + FB + Mg = 0
Wir wählen das Koordinatensystem, wie gezeigt, und erhalten zwei
Gleichungen:
ÏFA ,x + FB ,x = 0
Ì
ÓFA ,y + FB ,y - Mg = 0
und
FB =
Ï 3
2
F +
F =0
ÔÔ 2 A
2 B
Ì
Ô 1 F + 2 F - Mg = 0
2 B
ÓÔ 2 A
2 Mg
(1 + 3)
3
F
2 A
Ï- FA cos 30∞ + FB cos 45∞ = 0
Ì
ÓFA sin 30∞ + FB sin 45∞ - Mg = 0
Mit Hilfe der Winkel:
oder
Damit
FA =
139
Wie erwartet, ist wegen des grösseren Winkels die Kraft FB grösser
als FA.
Physik
140
3.8.3 Die schiefe Ebene: statischer Fall
q
F
Wir betrachten einen Block mit der Masse M, der auf einer schiefen
Ebene mit dem Neigungswinkel q ruht, weil er durch einen Faden
mit einer vertikalen Wand verbunden ist.
M
N
q
Das Kräftediagramm sieht so aus:
y
x
Mg
Die vektorielle Gleichung, die dem Gleichgewicht entspricht, ist:
r r
r
F + N + Mg = 0
die Normalkraft zeigt in die y-Richtung;
die Kraft entlang des Fadens zeigt in die x-Richtung;
In diesem Fall können wir das Koordinatensystem so wählen, dass
die y-Achse senkrecht zur schiefen Ebene zeigt, und die x-Achse parallel zur Ebene ist. In diesem Fall gilt:
1.
2.
die Gravitationskraft muss zerlegt werden.
3.
(Man könnte natürlich auch die y-Achse entlang der vertikalen Richtung wählen, und dann die beiden anderen Kräfte zerlegen.)
F = Mg sin q
und
N = Mg cosq
ÏF - Mg sin q = 0
Ì
ÓN - Mg cosq = 0
Mit Hilfe der Zerlegung in die Komponenten sieht die Gleichung des
Gleichgewichts so aus:
d.h.
Wie erwartet, entsprechen den beiden extremen Fällen die Werte:
q = 0∞: F = 0 und N = Mg
q = 90∞: F = Mg und N = 0
3.8.4 Eine Rückstellkraft: Die Federkraft
Die Federkraft entspricht der Kraft, die eine Feder ausübt. Um diese
von einer Feder ausgeübte Kraft einfach zu studieren, können wir
Massen an einer Feder aufhängen.
Demonstrationsexperiment: An einer Feder aufgehängte Massen
141
Mit Hilfe von verschiedenen aufgehängten Massen überprüfen wir,
dass die Verlängerung im ausgezogenen Zustand der Feder zur aufgehängten Masse proportional ist.
Physik
142
An einer Feder aufgehängte Masse.
Figur 7.
Wenn die aufgehängten Massen in Ruhe sind, ist die Vektorsumme der Kräfte, die auf die Massen wirken, gleich null.
die nach unten gerichtete Gravitationskraft und
die nach oben gerichtete Federkraft.
Wir müssen zwei Kräfte betrachten:
1.
2.
Wenn sich die Massen in Ruhe befinden, müssen die Gravitationskraft und die Federkraft einander kompensieren. Die vektorielle Gleichung ist:
r
r
F + Mg = 0
wobei M die gesamte aufgehängte Masse ist.
Es folgt damit, dass der Betrag der Gravitationskraft, den wir durch
die Menge von aufgehängten Massen kontrollieren können, die
Federkraft bestimmt.
Mg
M=gesamte
aufgehängte
Masse
F
Kräftediagramm:
An einer Feder aufgehängte Massen.
143
Die Erzeugung der Federkraft ist das Ergebnis der Verlängerung der Feder. Die Feder will ihren ursprünglichen Zustand
wieder finden.
Figur 8.
Physik
144
Jetzt bemerken wir, dass sich die Feder verlängert, wenn wir mehr
Masse anhängen.
Hookesches Gesetz: Experimentell beobachtet man, dass bei
kleiner Längenänderung die Längenänderung der Feder zur
wirkenden Kraft proportional ist.
Diese Beobachtung gilt für beide, positive und negative Längenänderungen (d.h. bei ausgezogenem und zusammengedrücktem Zustand der Feder).
Das Hooksche Gesetz kann geschrieben werden als
F = - k ( x - x0 ) = - kDx
wobei k die Federkonstante, x0 die Länge der Feder, wenn keine
Kraft auf sie wirkt, und Dx die Verschiebung aus der Ruhelage ist.
Die MKS-Einheit der Federkonstante ist N/m.
Rückstellkraft: Die Federkraft versucht, die Feder in ihren
ursprünglichen Zustand zurückzuführen.
Für Dx positiv (d.h. im ausgezogenen Zustand) zeigt die Federkraft
in die negative Richtung.
Für Dx negativ (d.h. bei zusammengedrückter Feder) zeigt die
Federkraft in die positive Richtung.
Die Gleichung enthält deshalb ein negatives Vorzeichen:
1.
2.
Siehe Abb. 9.
x0
x x0
x
x
x
x>x und F<0
0
x<x0 und F>0
Figur 9. Federkraft-Diagramm.Weil die Federkraft versucht, die Feder in
ihren ursprünglichen Zustand zurückzuführen, spricht man von
Rückstellkraft.
3.8.5 Die Spannung: Fadenkräfte
Man beobachtet experimentell:
Wenn wir an einem Faden ziehen, dann spannt sich der Faden
und zieht mit einer gleich grossen, aber entgegengesetzten
Kraft zurück.
Wir können uns einen Faden als eine Feder vorstellen, die eine solch
grosse Federkonstante besitzt, dass ihre Verlängerung während der
Kraftwirkung vernachlässigbar ist.
Wir werden oft idealisierte masselose Fäden betrachten. D.h., die
Masse der Fäden ist viel kleiner als die Massen der Gegenstände, die
an die Fäden gebunden werden. Der Effekt der Massen der Fäden
kann in diesem Fall vernachlässigt werden.
145
Ein Faden ist eine sehr bequeme Vorrichtung, um eine Kraft
zu übertragen.
Physik
146
F1
F1
(1)
(1)
S1
S1 =
S2
(2)
(2)
Fadenkraft. Zwei Menschen ziehen am Faden.
S2 = S
F2
F2
Wir betrachten die Situation der Abb 10. Zwei Menschen ziehen an
einem Faden.
Figur 10.
Wir analysieren die Anordnung der Kräfte.
1.
Der Mensch (2) zieht nach rechts mit einer Kraft F 2 .
Der Mensch (1) zieht nach links mit einer Kraft F 1 ;
Die Kräfte müssen entlang des Fadens wirken, weil der Faden nicht
seitlich ziehen kann.
2.
Die Kräfte sind entgegengesetzt, deshalb ist der Faden gespannt.
Die Beschleunigung des Fadens ist (Gravitationskraft wird vernachlässigt)
r r
r
mFaden aFaden = ( F1 + F2 )
Wenn wir den Faden als wirklich masselos betrachten, gilt
r r
r
r
fi F1 = - F2
( F1 + F2 ) = 0
(Wenn die auf den Faden wirkende resultierende Kraft nicht gleich
null ist, wäre die Beschleunigung des Fadens wegen der verschwindenden Masse unendlich!)
Jetzt führen wir die Spannung des Fadens ein.
Wir können uns vorstellen, dass die Spannung sich im Faden
befindet. Sie ist für eine Übertragung der Kräfte durch den
Faden verantwortlich. Sie wirkt entlang des Fadens, so dass
ein Faden, der zwei Punkte verbindet, überall dieselbe Spannung besitzt.
Im Punkt wo der Mensch (1) den Faden zieht, wird die Kraft F 1
kompensiert. Dieselbe Situation findet im Punkt (2) statt. D.h.,
r r
r r
F1 + S1 = 0
und
F2 + S2 = 0
Da die Beträge von F 1 und F 2 gleich sind, gilt
r
r
S1 = S2
147
d.h., die Spannung entlang des ganzen Fadens besitzt überall denselben Betrag.
Physik
148
3.9 Anwendung des Kraftstosses
3.9.1 Zurückspringen eines Balls vom Boden
Ein elastischer Ball der Masse 0,2 kg fällt auf den Boden. Der Ball
trifft den Boden mit einer Geschwindigkeit von ungefähr 8 m/s und
springt mit ungefähr derselben Geschwindigkeit zurück. Photographische Bilder zeigen, dass der Ball während 10–3 Sekunden in
Berührung mit dem Boden war. Wie gross ist die auf den Boden ausgeübte Kraft ?
(y-Achse entspricht der vertikalen Richtung)
r
r
vor dem Stoss:
p1 = -(0, 2 kg)(8 m / s)ey
r
r
p2 = +(0, 2 kg)(8 m / s)ey
nach dem Stoss:
Kraftstoss:
r r r
r
r
I = p2 - p1 = 2 ¥ (1, 6 kg m / s)ey = ( 3, 2 kg m / s)ey
Die genaue Kraft als Funktion der Zeit können wir nicht berechnen.
Wir können trotzdem die mittlere ausgeübte Kraft bestimmen:
r r
r
I = Fmittlere ¥ ( t - t0 ) fi Fmittlere
r
1 r
1
=
I ª
(3, 2 kg m / s)ey
(t - t0 ) (10-3 s)
r
ª ( 3200)ey N
Diese mittlere Kraft ist wie erwartet nach oben gerichtet. Der Betrag
der mittleren Kraft ist ziemlich gross, ungefähr 3200 Newton. Die
maximale momentane Kraft wird grösser sein.
Anwendung: Berechnung der Bewegungen
3.10 Anwendung: Berechnung der
Bewegungen
Die Newtonschen Gesetze sorgen für eine Verbindung zwischen (1)
den dynamischen Grössen Masse und Kraft einerseits, und (2) den
kinematischen Grössen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Verschiebung andererseits.
i
r
Wir können die Bewegungsgleichung eines Körpers, dessen Masse
sich mit der Zeit nicht ändert, direkt mit diesem Gesetz finden. Es gilt
r
2r
r
dv
d
r
=m 2
dt
i
Â F = ma = m dt
D.h., wenn alle Kräfte (oder die resultierende Kraft) bekannt
sind, die auf ein Teilchen wirken, können wir die Beschleunigung des Teilchens berechnen.
Oder umgekehrt, wenn wir die Beschleunigung eines Teilchens, oder die zeitliche Ableitung seiner Geschwindigkeit,
oder die zweite zeitliche Ableitung seiner Ortsvektorfunktion
kennen, können wir die resultierende Kraft, die auf das Teilchen wirkt, bestimmen.
r
r
r
dv
i
r
r
d ( mv ) dp
=
dt
dt
Diese Gleichung kann auch mit Hilfe des Impulses ausgedrückt werden:
i
Â F = ma = m dt =
149
wobei p der Impuls des Teilchens ist. Wenn keine Kraft auf das Teilchen wirkt, ist sein Impuls erhalten, d.h., er ändert sich nicht mit der
Zeit.
Physik
150
3.10.1 Die schiefe Ebene: dynamischer Fall
Wir haben in Kap. 3.8.3 eine Anordnung betrachtet, bei der ein Block
mit der Masse M auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel
q ruhte, weil er durch einen Faden mit einer vertikalen Wand verbunden war.
Wird nun der Faden zerschnitten, so verschwindet die Kraft F. Die
resultierende Kraft ist nun nicht mehr gleich null, und der Block wird
sich beschleunigt bewegen. Wie gross ist seine Beschleunigung ?
Die vektorielle Gleichung ist:
r
r r
r
N + Mg = Fresultierende = Ma
N
q
wobei der Vektor a die Beschleunigung der Masse M ist.
y
x
Mg
Die Gleichungen mit den Komponenten sehen so aus:
Ï0 - Mg sin q = Max
Ì
ÓN - Mg cosq = May
1
Ï
a = (- Mg sin q )
ÔÔ x M
Ì
Ôa = 1 ( N - Mg cosq ) = 0
ÓÔ y M
Die Normalkraft wirkt so, dass die Beschleunigung in die y-Richtung
verschwindet. Der Block erfährt nur eine Beschleunigung in die xRichtung:
Schliesslich,
ax = - g sin q
Wie erwartet, entsprechen den beiden extremen Fällen die Werte:
q = 0∞: ax = 0
q = 90∞: ax = - g
3.10.2 Bewegung mit Rollen
Auf einer horizontalen Fläche befinde sich ein Wagen mit der Masse
M. Durch einen über eine Rolle geführten Faden ist er mit einer aufgehängten Masse verbunden. Die aufgehängte Masse m kann sich in
die vertikale Richtung bewegen. Wir betrachten den Faden als masselos und die Rolle als reibungsfrei. Die Funktion der Rolle ist die
Spannung im Faden umzulenken.
151
Demonstrationsexperiment: Messung der Beschleunigung mit
Wagen
Siehe Abb. 11.
Physik
152
Messung der Beschleunigung mit Wagen.
Figur 11.
S1
mg
S2
Das Kräftediagramm kann so dargestellt werden:
positive Richtung
Wagen
M
Reibungsfreie Rolle:
r
r
S1 = S2 ∫ S
Rolle
m
positive Richtung
Wir bemerken, dass die Spannung die einzige nicht verschwindende
Kraft ist, die auf den Wagen wirkt, weil die Gewichtskraft des Wagens
von der nach oben gerichteten (Normal-) Kraft, die der Tisch ausübt,
kompensiert wird.
fi
fi
aµm
a=
aµ
m
g
M+m
und
1
M
Die Bewegungsgleichung kann so ausgedrückt werden
m
g
M
ÏS = Ma
Ì
Ómg - S = ma
Wenn M>>m, gilt
a@
wegen der schweren Masse m das System beschleunigt wird;
wegen der trägen Masse M das System “gebremst” wird. Die träge
Masse M des Wagens wirkt seiner Beschleunigung entgegen.
Die Beschleunigung ist zum Verhältnis der Massen proportional. Wir
können sagen, dass
1.
2.
3.10.3 Die Atwoodsche Maschine
Wir betrachten die Anordnung in Abb. 12. Zwei Massen m1 und m2
hängen an einem Faden. Wir nehmen an, dass der Faden masselos ist
und reibungsfrei über die Rolle gleiten kann.
Eine solche Anordnung wird eine Atwoodsche Maschine genannt.
153
Wenn der Faden immer gespannt ist, müssen die Beträge der
Beschleunigungen der Massen gleich sein und entgegengesetztes
Vorzeichen besitzen. Man kann dieses Ergebnis so beweisen: weil wir
Physik
154
annehmen, dass der Faden nicht dehnbar ist, bleibt seine Länge
unverändert. Es gilt (Siehe Abb. 12)
l = h1 + h2
fi a1 = - a2
dl d
d
= h1 + h2 = v1 + v2
dt dt
dt
d
d
v1 + v2 = a1 + a2
dt
dt
0=
wobei l die Länge des Fadens ist. Mit der zeitlichen Ableitung dieser
Gleichung, finden wir
und
0=
Weil der Faden masselos ist, ist die Spannung entlang des Fadens
immer dieselbe. Wir betrachten deshalb nur einen Spannungsvektor,
der nach oben zeigt.
r
r
r
S + m1g = m1a1
r
r
r
S + m2 g = m2 a2
Wir betrachten nun die Kräfte, die auf die Masse A und die Masse B
wirken:
Masse A:
Masse B:
wobei S die Spannung des Fadens ist. Wir verwenden nun die Komponenten: wir brauchen nur die vertikale Richtung. Die positive Richtung wird nach oben gewählt.
Damit schreiben wir das System der Bewegungsgleichungen:
ÏS - m1g = m1a1
Ì
ÓS - m2 g = m2 a2
h1
m1
S
m g
1
Physik
m2
S
m 2g
h2
Ïm1a1 + m2 a1 = - m1g + m2 g
Ì
Óm1a1 - m2 a1 = 2 S - m1g - m2 g
155
Die Lösung ist (wir berechnen die Differenz und die Summe der
Gleichungen):
ÏS - m1g = m1a1
Ì
ÓS - m2 g = - m2 a1
Mit der Bedingung für die Beschleunigung lautet die Bewegungsgleichung für a1=–a2 so:
Figur 12. Eine Atwoodsche Maschine mit einem masselosen Faden und einer
reibungsfreien Rolle.
positive Richtung
156
und
S=
2 m1m2
g
m1 + m2
1
((m1 - m2 )a1 + (m2 + m1 )g)
2
m2 - m1
g
m2 + m1
d.h.
Ïa =
1
ÔÔ
Ì
ÔS=
ÓÔ
m2 - m1
g
m2 + m1
Mit Algebra findet man schliesslich
a1 = - a2 =
m2 - m1
g£g
m2 + m1
Die Beträge der Beschleunigungen sind einander gleich. Sie sind
gleich
a1 = a2 =
Die Beschleunigung der Masse ist kleiner oder gleich der
Erdbeschleunigung g. Die Spannung wirkt immer entgegen
der Gravitationskraft und bremst die Massen.
m2 = 0
fi
fi
a1 = g und a2 = - g
a1 = - g und a2 = g
Wir verstehen dieses Ergebnis auch in den Grenzfällen:
m1 = 0
In diesen letzten Fällen ist die Spannung gleich null, und die Massen
fallen frei mit einer Beschleunigung gleich g.
Anwendung: Reibungskräfte
3.11 Anwendung: Reibungskräfte
Reibung ist ein kompliziertes und nicht vollständig verstandenes Phänomen.
Wenn zwei Körper in Kontakt sind und man versucht einen
relativ zum anderen zu bewegen, wird eine Reibungskraft
erzeugt.
Diese Kraft entsteht durch die Wechselwirkungen der Moleküle eines
Körpers mit denen des anderen. Sie wirkt überall dort, wo die Oberflächen der Körper in engem Kontakt sind.
Man unterscheidet immer die statische und die dynamische Situation:
1.
2.
statischer Fall: die Körper sind in Berührung, sie bewegen sich
nicht relativ zu einander. In diesem Fall wirkt die Reibungskraft
gegen die Bewegung. Sie verhindert die relative Bewegung. Man
spricht von Haftreibung. Siehe Abb. 13
dynamischer Fall: die Körper bewegen sich relativ zu einander. In
diesem Fall wird eine Reibungskraft zwischen den Oberflächen
der Körper wirken. Man spricht von Gleitreibung. Siehe Abb. 14.
157
In beiden Fällen wirken die Reibungskräfte der Bewegung
entgegen.
Physik
158
Figur 13. Haftreibung: der Block bewegt sich nicht wegen der
Reibungskraft zwischen ihm und der Ebene.
159
Figur 14. Gleitreibung: wenn zwei Körper sich relativ zu einander bewegen,
wirkt eine Reibungskraft, die der Bewegung entgegen wirkt.
Physik
160
die Gravitationskraft mg;
die Normalkraft N, die von der schiefen Ebene ausgeübt wird;
die Reibungskraft FR
Wie können diese Effekte mit Hilfe von Kräften dargestellt werden?
Wir betrachten das Beispiel der Abb. 15. Ein Körper befindet sich auf
einer schiefen Ebene. In der Abb. sehen wir die Kräfte, die auf den
Körper wirken:
1.
2.
3.
y
y
N
m
mg
mg
FR
cos
mg sin a
a
Wir wählen die x-Achse parallel zur Ebene und die y-Achse senkrecht dazu. Wir zerlegen die Kräfte entlang der x- und y-Komponenten. Wir wählen das Koordinatensystem so, dass die positive xRichung abwärts (d.h. “nach unten”) zeigt. In diesem Fall wird die
Beschleunigung eines fallenden Körpers als positiv definiert.
FR
x
a
Die x- und y-Komponenten der Gewichtskraft sind gleich:
r
mg = ( mg sin a , - mg cosa )
N
m
mg
Kräftediagramme der schiefen Ebene mit Reibungskraft.
x
wobei a der Neigungswinkel ist.
a
Figur 15.
Um die Reibungskraft zu bestimmen, müssen wir nun eine der zwei
Situationen annehmen: Haftreibung oder Gleitreibung.
Wir diskutieren beide in den nächsten Abschnitten.
3.11.1 Haftreibung
Experimentell beobachtet man:
Der Neigungswinkel wird langsam erhöht.
Für die Winkel a, die kleiner sind als der kritische Winkel aK,
kompensiert die Reibungskraft die x-Komponente der Gravitationskraft, die entlang der Ebene abwärts wirkt.
Der Körper bewegt sich nicht. Er bleibt in Ruhe.
Wir erhalten (Gleichgewichtsbedingung):
r
r r
N + mg + FR = 0
Nach der Zerlegung in Komponenten (das Koordinatensystem ist wie
in Abb. 15 gezeigt), finden wir zwei Gleichungen:
Ïmg sin a - FR = 0
Ì
Ó- mg cosa + N = 0
FR
N
fi
FR (a ) = N tan a
Wir eliminieren mg aus diesen Gleichungen und finden
tan a =
161
Die Kraft FR entspricht der benötigten Reibungskraft, um die
Bewegung des Körpers für einen gegeben Winkel a zu verhindern.
Physik
162
Beachte, dass der Betrag der Reibungskraft natürlich von der Masse
des Körpers abhängt. Tatsächlich gilt, wie erwartet:
FR (a ) = N tan a = ( mg cosa ) tan a = mg sin a
Wir haben trotzdem die Reibungskraft als Funktion der Normalkraft
ausgedrückt. In dieser Form ist die Beziehung zwischen den Effekten
klarer: die Berührung zwischen der Ebene und dem Block erzeugt die
Normalkraft und die Reibungskraft.
Haftreibung gilt, wenn der Winkel a kleiner als der kritische Winkel
aK ist.
Der Neigungswinkel wird langsam noch weiter erhöht, bis der
Körper anfängt zu gleiten.
Wenn der Winkel a grösser als aK ist, kann die Reibungskraft
die Bewegung des Körpers nicht mehr verhindern. Dann wird
der Körper die Ebene hinuntergleiten.
Gewöhnlich drücken wir die maximale Haftreibungskraft aus als
Funktion der Normalkraft
FRmax = m H N
wobei µH die Haftreibungszahl ist. Die Haftreibungszahl ist eine
dimensionslose Grösse, die der Proportionalität zwischen zwei Kräften entspricht.
Die maximale Reibungskraft ist proportional zur Normalkraft,
die zwischen den beiden Oberflächen wirkt.
fi
m H = tan a K
Für den kritischen Winkel wird die Haftreibungskraft maximal, und
es gilt
FRmax = N tan a K = m H N
wobei K eine Konstante ist, die vom Körper abhängt und h der Viskositätskoeffizient der Flüssigkeit.
Bei kleiner Geschwindigkeit (sogenannte laminare Strömung) ist
die Kraft zur Geschwindigkeit proportional:
r
r
F = -Khv
Man beobachtet experimentell, dass der Betrag der Kraft mit
der Geschwindigkeit des Körpers zunimmt.
Wenn sich ein Körper durch eine Flüssigkeit (Wasser, ...) oder ein
Gas (Luft, ...) bewegt, wirkt auf ihn eine Kraft entgegengesetzt zu seiner Bewegungsrichtung. Diese Kraft wird verursacht durch die Wechselwirkung zwischen dem Körper und den Molekülen der Flüssigkeit.
Man spricht von der Viskosität der Flüssigkeit.
3.11.3 Der Luftwiderstand
Durch eine Messung der Beschleunigung, kann der Koeffizient µG
bestimmt werden. Diese Gleichung gilt nur, wenn der Körper sich
bewegt, d.h. der Winkel a grösser ist als der kritische Winkel aK.
ax = g(sin a - mG cos a )
und wir ersetzen N durch mgcosa. Damit ist die Beschleunigung entlang der x-Achse gleich
mg sin a - mG N = max
Nun ist die Reibungskraft gleich µGN, und wir finden für die x-Komponente:
164
3.11.2 Gleitreibung
Experimentell beobachtet man:
Wenn der Körper sich bewegt, wirkt noch eine Reibungskraft
zwischen den Oberflächen des Körpers und der Ebene. Die
Gleitreibungskraft wirkt der Bewegung entgegen.
Wie im Fall der Haftreibung wird die Gleitreibungskraft geschrieben
als
FR = mG N
wobei µG die Gleitreibungszahl ist. Die Gleitreibungszahl ist auch
eine dimensionslose Grösse, die der Proportionalität zwischen zwei
Kräften entspricht.
Wir können unter dieser Annahme die Beschleunigung des Körpers
berechnen: für Winkel grösser als der kritische Winkel gleitet der
Körper mit einer Beschleunigung a:
r
r r
r
N + mg + FR = ma
Wir zerlegen diese Gleichung in x- und y-Komponenten:
Ïmg sin a - FR = max
Ì
Ó- mg cosa + N = may = 0
163
wobei wir angenommen haben, dass der Körper keine Beschleunigung entlang der y-Achse besitzt (d.h. der Körper gleitet über die
Ebene ohne den Kontakt zu verlieren). Die Bewegung breitet sich nur
entlang der x-Achse aus.
Physik
Flüssigkeit
1,792¥10–2
h
Luft (20°C)
Luft (0°C)
Gase
1,46¥10–4
1,90¥10–4
1,81¥10–4
1,71¥10–4
h
Poise
fi
ve =
mg
Kh
Für einen Mensch, der mit Luftwiderstand nach unten fällt, ist die
Endgeschwindigkeit ungefähr 200 km pro Stunde (ª 60 m/s). Wenn
der Mensch einen Fallschirm öffnet, wird sich der Luftwiderstand
erhöhen und der Mensch wird gebremst bis eine neue Endgeschwindigkeit erreicht ist. Diese Geschwindigkeit ist normalerweise ungefähr 20 km pro Sunde.
mg = Khv e
Um die Endgeschwindigkeit zu bestimmen, setzen wir a=0 und
betrachten nur die vertikale Komponente:
Die auf den Körper wirkende resultierende Kraft ist gleich:
r
r
r
mg - Khv = ma
Sobald die Geschwindigkeit des Körper zunimmt, erhöht sich
der Luftwiderstand. Schliesslich wird die Kraft gross genug,
um die Gravitationskraft zu kompensieren. Wenn diese Bedingung erreicht ist, wird die Beschleunigung verschwinden. Der
Körper fällt nachher mit konstanter Geschwindigkeit, die als
Endgeschwindigkeit bezeichnet wird.
und die Erdbeschleunigung zeigt nach unten mit dem Betrag g.
r
r
F = -Khv
Als Beispiel betrachten wir einen Körper, der wegen seiner Gravitationskraft nach unten fällt. Wir nehmen an, dass die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers gleich null ist. Der Luftwiderstand bewirkt eine
nach oben gerichtete Kraft:
K = 6pR
Wasser (0°C)
1,005¥10–2
Luft (40°C)
166
Die Konstante K hängt von der Form und Grösse des Körpers ab. Bei
kleiner Geschwindigkeit sagt das Stokessche Gesetz voraus, dass die
Konstante einer Kugel mit Radius R gleich
ist.
m
Die Einheit der Konstante ist immer die einer Länge. Es folgt damit,
dass die Einheit des Viskositätskoeffizienten gleich
F = Khv fi
F
Ns kg 2 s kg
[h] = K[ n] = m 2 = ms2 = ms ∫ 10
[ ][ ]
ist, wobei wir die Einheit des “Poise” eingeführt haben. Verschiedene
Koeffizienten sind in Tabelle 1 aufgelistet.
Wasser (20°C)
0,656¥10–2
Kohlenstoffdioxid
einiger Medien (in Poise).
Wasser (40°C)
0,367¥10–2
TABLE 1. Viskositätskoeffizienten
Alkohol
165
Bei hoher Geschwindigkeit werden Turbulenzen erzeugt, und die
Kraft kann mit einer Potenz der Geschwindigkeit zunehmen:
r
r
Êvˆ
FTurbulenz = -(K ¢v n )Á ˜
Ë v¯
wobei n>1 und K’ eine andere Konstante ist.
Physik
Numerische Integration der Bewegung
3.12 Numerische Integration der
Bewegung
Wir wollen nun kurz die numerische Integration der Bewegung diskutieren. Eine analytische Lösung entspricht im Prinzip dem besten
Ergebnis, weil sie die allgemeinen Eigenschaften des Problems darstellt. Durch eine numerische Lösung wird immer nur ein bestimmter
Spezialfall behandelt. Numerische Lösungen sind aber sehr nützlich
in Fällen, wo die wirkenden Kräfte eine komplizierte Form annehmen.
Wir beginnen mit der Definition der mittleren Geschwindigkeit im
Zeitintervall Dt (Siehe Kap. 2.4.2):
r
r
r
r S (r - r )
v i ∫ i = i +1 i
(i = 1, 2, 3,...)
ti +1 - ti
Dt
Damit erhalten wir eine rekursive Beziehung für den Ortsvektor:
r
r r
r
r
r
ri +1 - ri = v i Dt fi ri +1 = v i Dt + ri
Diese Gleichung erlaubt die Berechnung der neuen Position als Funktion der alten Position und der mittleren Geschwindigkeit im i-ten
Zeitintervall. Durch Iteration können mit dieser Gleichung immer
weitere Positionen berechnet werden, z.B.
r
r
r r
r
r
ri +1 = v i Dt + ri , ri + 2 = v i +1Dt + ri +1, ...
167
Dazu muss man aber zuerst die Geschwindigkeit im (i+1)-ten Zeitintervall bestimmen. Wir verwenden dazu eine ähnliche rekursive
Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung:
r
r
r
v i +1 = ai Dt + v i
Physik
168
Um die Beschleunigung zu berechnen, werden wir das Newtonsche
Gesetz anwenden:
r r r
r F r ,v )
(
ai = i i i
m
wobei im Allgemeinen die Kraft, die auf den Körper im i-ten Zeitintervall wirkt, vom Ortsvektor und von der Geschwindigkeit (z.B. Reibung) abhängen kann.
Um die Lösung eines Bewegungsproblems zu finden, werden wir die
Zeit zwischen t0 und t in eine grosse Zahl kleinerer Zeitintervalle Dt
unterteilen. Die Zahl N von Zeitintervallen wird gegeben durch:
t = t0 + NDt
Die Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit werden zur Zeit t0
gegeben. Die Endposition und Endgeschwindigkeit zur Zeit t werden
durch sehr viele Berechnungen bestimmt, die man am besten mit
einem Computer durchführt.
Die Genauigkeit der Berechnung wird sich verbessern, wenn das
Zeitintervall verkleinert wird. In der Praxis müssen aber sogenannte
Rundungsfehler betrachtet werden: ein Computer kann normalerweise eine Zahl nur mit einer endlichen Genauigkeit darstellen. Als
Folge trägt jede Berechnung einen Fehler (d.h. der Rundungsfehler)
bei. Je grösser die Zahl der Berechnungen ist, desto bemerkbarer
machen sich die Rundungsfehler. Meistens werden nicht mehr als 106
Zeitintervalle verwendet.
Eine fundamentale Kraft: Das Newtonsche Gravitationsgesetz
3.13 Eine fundamentale Kraft: Das
Newtonsche Gravitationsgesetz
Die Beziehung zwischen Erdbeschleunigung und Gravitationskraft
hat die Existenz einer allgemeinen, zwischen allen Körpern wirkenden, Kraft bewiesen.
Kepler (1571-1630) analysierte die astronomischen Beobachtungen
von Brahe (1546-1601). Dabei fand er empirisch drei Gesetze über
die Bewegung der Planeten. Das erste Keplersche Gesetz sagt, dass
alle Planeten sich auf elliptischen Bahnen bewegen, in deren einem
Brennpunkt die Sonne ist.
Newton behauptete 1665 (als er 23 Jahre alt war), dass dieselbe Kraft für den Fall von Körpern (z.B. ein Apfel) auf der
Erde und für die Bewegung der Planeten verantwortlich ist.
Erstmals hat Newton 1686 mit einer mathematischen Berechnung
bewiesen, dass eine solche Gravitationskraft die elliptischen Bahnen
der Planeten um die Sonne erklären kann.
Er behauptete, dass diese Kraft zwischen allen Objekten im Universum wirkt.
169
Nach dem allgemeinen Newtonschen Gravitationsgesetz ist
diese Kraft immer anziehend, proportional zu den Massen der
beiden Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat des
Abstandes zwischen ihnen. Sie liegt in der Verbindungslinie
zwischen ihnen.
Physik
170
r12
x
m1
r1
ex
Die Definition des Vektors r12.
y
ey
Figur 16.
F12
r2
m2
In der mathematische Sprache wird die Gravitationskraft geschrieben
als (siehe Abb. 16):
r
r
Gm1m2 r12
F12 = r12 2 r12
G = 6,67 ¥ 10–11 Nm2/kg2
wobei m1 und m2 zwei Punktmassen sind, und r 12 § r 12 ein Einheitsvektor, der von m1 nach m2 zeigt, und G ist die universelle Gravitationskonstante, die den Wert
hat.
Aus der Definition der Gravitationskraft kann man sehen, dass beide
Körper dieselbe Anziehungskraft, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen (siehe Abb. 17) spüren:
r
r
r
r
F12 = - F21
F12 = F21
m1
F21
F
12
m2
Figur 17. Die Gravitationskraft ist immer anziehend, und beide Körper
spüren dieselbe Anziehungskraft, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen.
Die Gravitationskraft wird von der Gegenwart anderer Massen nicht
gestört:
Im Fall, dass es viele Massen in der Nähe eines Körpers gibt,
ist die Gesamtgravitationskraft auf den Körper gleich der
Vektorsumme aller Gravitationskräfte, die die anderen Körper
auf ihn ausüben.
3.13.1 Gravitationskraft eines homogenen Rings
171
Abb. 18 zeigt einen Ring mit einem Radius a und der Masse m, und
eine zweite Masse m0, die sich auf der Achse des Rings befindet und,
die im Abstand x vom Kreismittelpunkt auf der Achse sitzt.
Physik
172
Was ist die Kraft, die der Ring auf die Masse m0 ausübt ?
Auf dem Ring wählen wir ein differentielles Massenelement
dm, das als Punktmasse betrachtet wird, und wir berechnen
die Gravitationskraft, die es auf die Masse m0 ausübt.
a
s
dF
m0
positive Richtung
a
dFx = |dF|cosa
Homogener Ring und Definition des Massenelements.
x
X
Die Masse dm befindet sich im Abstand s von der Masse m0 auf der
Achse. Die Verbindungslinie zwischen den Massen bildet den Winkel
a mit der Ringachse.
dm
Figur 18.
( dm)( m0 )
s2
Die Kraft dF , die vom Massenelement dm auf die Masse m0 wirkt,
zeigt in Richtung der Masse dm, und hat den Betrag dF:
dF = G
dF
m0
X
s2 = x 2 + a2
und deshalb gilt
Fx ( x ) = -
und
x
x 2 + a2
cos a =
= - Gmm0
2
x
x
3/ 2
x 2 + a2
+ a2 )
x
=
s
(x
Gmm0
x 2 + a2
wobei m die Gesamtmasse des Ringes ist. Wir schreiben dieses
Ergebnis als Funktion des Abstandes x:
=-
( dm)( m0 )
= -G Ú
cosa
s2
Gm
= - 2 0 cosa Ú dm
s
Gmm0
cosa
s2
Fx = Ú dFx = Ú dF cosa
Der Betrag des Vektors wird durch Integration über alle Elemente des
Ringes erhalten (Siehe Abb. 18). Wir summieren die Projektionen der
Kräfte auf die x-Achse:
wobei wir Fy=0, und Fz=0 benutzt haben.
Die resultierende Kraft liegt in der Symmetrieachse und zeigt in die
negative x-Richtung. Wir schreiben diesen Vektor als
r
r
r
r
r
F = Fx ex + Fy ey + Fzez = Fx ex
s
a
174
Um die gesamte Gravitationskraft, die der Ring auf die Masse ausübt,
zu berechnen, müssen wir über alle Massenelemente dm des Rings
integrieren.
x
dF’
173
Aus der Symmetrie der Anordnung schliessen wir, dass die
resultierende Kraft entlang der Achse des Ringes verläuft.
Alle Komponenten der Kräfte, die senkrecht zur Achse zeigen,
kompensieren sich gegenseitig.
Siehe Abb. 19.
a
dm
Integration über die Massenelemente.
dm
Figur 19.
Physik
X
(x
2
x
+ a2 )
3/2
R
r(1 - cosq )
Mm0
r
sin qdq
2 ( r 2 - 2 Rr cosq + R 2 ) 3 / 2
dz
= - sin q fi dz = - sin qdq
dq
z ∫ cosq
Wir führen die folgende Variablentransformation durch:
= -G
R
r(1 - cosq )
ÊM
ˆ
r
dFx = -GÁ sin qdq˜ ( m0 ) 2
3/2
¯
Ë 2
(r - 2Rr cosq + R 2 )
Die vom differentiellen Ring ausgeübte Kraft ist
= r 2 - 2 Rr cosq + R 2
R
x = ( r - R cosq ) = r(1 - cosq )
r
x 2 + a 2 = ( r - R cosq ) 2 + ( R sin q ) 2
Die Geometrie der Anordnung ist so, dass gilt
dFx = -G( dM )( m0 )
Mit dem Ergebnis für einen homogenen Ring erhalten wir
wobei wir für die Kugeloberfläche A=4pR2 verwendet haben.
2pR 2 sin qdq M
dA
=M
= sin qdq
4pR 2
2
A
m0
dM = M
Mit der Gesamtmasse der Kugel gleich M, ist die Masse des Streifens
gleich
s
dFx
176
3.13.2 Gravitationskraft einer homogenen Hohlkugel
Mit dem Ergebnis des Ringes können wir nun die Gravitationskraft
auf eine Punktmasse m0 im Abstand r vom Mittelpunkt einer Hohlkugel mit Radius R und Masse M berechnen.
Wir betrachten den Fall, dass der Punkt ausserhalb der Hohlkugel
liegt, r>R.
Ein Streifen der Kugel kann als Ring der Breite Rdq mit dem
Umfang 2pa=2pRsinq betrachtet werden (siehe Abb. 20).
dq
a
x
r
a=Rsinq
175
Die Gravitationskraft der Hohlkugel werden wir durch Integration über alle Streifen auf der Hohlkugel erhalten.
R
Homogene Hohlkugel.
q
dA = (2pa)( Rdq ) = 2pR sin qRdq = 2pR 2 sin qdq
Die Fläche dA des Streifens ist gleich
Figur 20.
Physik
R
r(1 - z)
Mm0
r
dz
2 ( r 2 - 2 Rrz + R 2 ) 3 / 2
womit wir die Gleichung für die Kraft so schreiben können
dFx = G
180
0
Ú dq
fi
1
Ú dz
-1
Um die Gesamtgravitationskraft zu bestimmen, müssen wir über alle
Streifen integrieren. D.h.,
-1
1
Ú (r
2
Mm0 Ê -2 ˆ
Mm
rÁ ˜ = -G 2 0
r
2 Ë r3 ¯
R
1- z
2
r
3 / 2 dz = - 3
r
- 2 Rrz + R 2 )
Durch direkte Integration kann man beweisen, dass
Wir erhalten damit
Fx = G
( r > R)
Die Kraft muss wegen der Symmetrie radial sein, deshalb können wir
eine vektorielle Gleichung der Gravitationskraft einer Hohlkugel
schreiben als
r
r
GMm 0 r
F=r2 r
177
D.h., die Kraft ist dieselbe wir für eine Masse M im Zentrum der
Kugel!
Physik
178
Die Gravitationskraft der Hohlkugel ist die gleiche, wie wenn
ihre Masse im Zentrum der Kugel konzentiert wäre.
3.13.3 Gravitationskraft einer homogenen Vollkugel
Wir verwenden nun dieses Ergebnis, um die Gravitationskraft einer
Vollkugel zu bestimmen.
Wir stellen uns vor, dass die Kugel aus einer kontinuierlichen
Menge von Hohlkugeln zusammengesetzt ist.
( r > R)
Da die Gravitationskraft jeder Hohlkugel die gleiche ist, wie wenn
ihre Masse im Zentrum konzentriert wäre, entspricht die Gravitationskraft der gesamten Kugel der in ihrem Mittelpunkt konzentrierten
Gesamtmasse M:
r
r
GMm r
F=- 2
r
r
3.13.4 Die Erdbeschleunigung
Wir sagen, dass die Gravitationskraft eine schwache Kraft ist.
–11
(1 m) 2
Nm2 / kg 2 )(80 kg)(80 kg)
Zum Beispiel ist die Kraft zwischen zwei Studenten, die sich in
einem Abstand von 1 Meter befinden und je eine Masse von 80kg
haben, ungefähr
(6,67 ¥ 10
r2
r Gm1m 2
F =
=
ª 4 ¥ 10 -7 N
Dabei haben wir die Studenten als Punktmassen betrachtet. Ein solcher Betrag ist praktisch unmessbar.
Die Gravitationskraftwirkung ist messbar, wenn wir grosse
Massen betrachten.
179
Sie bindet z.B. Sterne in Galaxien (siehe Abb. 21), Galaxien in sogenannten “Superclusters”, und sie ist auch verantwortlich für die
Bewegung der Planeten um die Sonne, der Satelliten um die Planeten
und für den Fall der Körper auf der Erde.
Figur 21. Eine Galaxie. Die Sterne werden durch die Gravitationskraft
zusammengehalten.
Physik
180
Wir spüren die Erdbeschleunigung deshalb, weil die Masse der Erde
sehr gross ist:
mE ª 6.0 ¥ 10 24 kg
Nun verstehen wir den Betrag der Erdbeschleunigung und warum er
unabhängig von der Masse eines Körpers ist.
Fg
Erde
Die Gravitationskraft der Erde.
=
mE
Fg
Die Erde übt auf den Körper eine Kraft aus, die dieselbe ist,
wie wenn ihre ganze Masse im Zentrum der Erde konzentriert
wäre (siehe Abb. 22).
Figur 22.
rErde
rE
Wir berechnen die Gravitationskraft, die die Erde auf eine auf der
Erdöberfläche liegende Masse m ausübt, als
r
GmE m
FG =
2
wobei mE die Masse der Erde ist und rE der Radius der Erde.
fi
GmE m
= mg
rE2
fi
g=
GmE
rE2
Um die Erdbeschleunigung zu bestimmen, benutzen wir das zweite
Newtonsche Gesetz:
r
r
FG = mg
d.h., g ist unabhängig von m.
Demonstrationsexperiment: Fall in Luft oder im Vakuum
Die Fallzeit von verschiedenen Körpern mit unterschiedlichen Massen (z.B. Vogelfedern, Papierblätter, Stein, ...) wird beobachtet.
Siehe Abb. 23.
Die Körper befinden sich in einem Glasrohr, das evakuiert werden
kann.
Experimentell wird beobachtet, dass im Vakuum die Fallzeit
unabhängig vom Körper ist.
181
Der Luftwiderstand ist für die beobachteten Zeitunterschiede verantwortlich.
Physik
182
Figur 23. Fallversuch: Die Fallzeit verschiedener Körper werden in Luft
oder im Vakuum beobachtet.
Wir bemerken, dass die berechnete Zahl g nicht genau gleich der
gemessenen Erdbeschleunigung ist, weil (a) die Erde nicht genau
homogen und spärisch ist; (b) die Erde rotiert (wird im Kap. 11.3.4
behandelt).
grE2 (9.8m / s 2 ) ¥ (6370 ¥ 10 3 m)2
=
G
6.67 ¥ 10 -11 Nm 2 / kg 2
Aus der Gleichung der Erdbeschleunigung folgt die Messung der
Masse der Erde:
mE =
= 6.0 ¥ 10 24 kg
wobei wir die Beziehung 1 Newton = 1 kg m/s2 benutzt haben.
Wie gross ist die Erdbeschleunigung, die auf einen Körper wirkt, der
sich in einer Höhe h = 2500 km über der Erdoberfläche befindet?
Die Beschleunigung ist gleich
GmE
(rE + h)2
F
GmE m
a= G =
=
m m(rE + h)2
=
ª
(6.67 ¥ 10 -11 Nm 2 / kg 2 )(6.0 ¥ 10 24 kg)
=
((6370 + 2500) ¥ 10 3 m)2
g
2
ª 5, 087 m / s 2
Andere Werte sind in Tabelle 2 aufgelistet.
wo
für verschiedene Höhen.
Beschleunigung (m/s2)
TABLE 2. Erdbeschleunigung
Höhe (km)
Mt. Everest
Höchster Ballon mit Mensch
mittlere Erdbeschleunigung
Space Shuttle
9,80
9,71
Halbe Erdbeschleunigung
9,81
8,70
0
36,6
5,087
8,8
400
183
2500
Physik
184
0,225
Beschleunigung (m/s2)
wo
für verschiedene Höhen.
Höhe (km)
Mond
Geostationäre künstliche
Satelliten
TABLE 2. Erdbeschleunigung
35700
0,0027
380000
Natürlich wirkt die allgemeine Gravitationskraft zwischen allen Körpern. D.h., dass die Erde und die Masse einander anziehen.
Wir können z.B. die Situation betrachten, wo ein Mensch frei fällt
(Siehe Abb. 24). Der Mensch zieht die Erde mit demselben Betrag an,
mit dem die Erde ihn anzieht. Natürlich sind die Beschleunigungen
ganz verschieden voneinander. Für einen Mensch der Masse 60 kg
gilt
r
r
r
- mg
F
m r
g
=aErde = G =
M Erde M Erde
M Erde
60 kg
(9, 81m / s2 )
6 ¥ 10 24 kg
Der Betrag der Beschleunigung der Erde ist ungefähr
r
aErde =
ª 10 -22 m / s2
Fg
Fg
Erdoberflaeche
Figur 24. Wenn wir frei fallen, ziehen wir die Erde mit demselben Betrag
an, mit dem die Erde uns anzieht.
3.13.5 Bewegung des Mondes
Zuerst hat Newton sein universelles Gravitationsgesetz formuliert,
um die Bewegung des Mondes um die Erde zu erklären. Er beobachtete, dass der Mond sich auf einer Kreisbahn um die Erde bewegt.
Der Mond muss in Richtung der Erde beschleunigt werden,
um sich auf einer solchen Kreisbahn zu bewegen. Siehe
Abb. 25.
Weil der Radius der Kreisbewegung des Mondes ungefähr gleich
3,82¥108 m ist, muss die Erdbeschleunigung viel kleiner sein als auf
der Erdoberfläche.
Um die Beschleunigung des Mondes zu bestimmen, benutzen wir die
Gleichung für eine gleichförmige Kreisbewegung (Siehe Kap. 2.6),
d.h.
r
v2
aMond = Mond
rMond
wobei vMond die Geschwindigkeit des Mondes um die Erde ist, und
rMond der Radius der Kreisbahn.
r
vMond
2prMond
=
T
2p ¥ (3, 82 ¥ 108 m)
2, 36 ¥ 10 6 s
=
@ 1, 02 ¥ 10 3 m / s
185
Wir bemerken, dass die Umlaufszeit (die Periode) des Mondes T
gleich 27,32 Tagen oder 2,36x106 Sekunden ist. Die Geschwindigkeit
des Mondes ist damit gleich
Physik
186
Mond
V
Der Mond wird zum Zentrum der Erde beschleunigt.
Erde
F
oder ungefähr 1 Kilometer pro Sekunde.
Figur 25.
Die Beschleunigung ist dann
(1, 02 ¥ 10 3 m / s)2
3, 82 ¥ 108 m
r
v2
aMond = Mond
rMond
=
@ 2, 70 ¥ 10 -3 m / s 2
Wenn wir diese Zahl mit der Beschleunigung auf der Erdoberfläche
vergleichen, finden wir
aMond 2, 70 ¥ 10 -3 m / s 2
=
g
9, 81 m / s 2
@ 3 ¥ 10 -4
2
2
d.h., die Beschleunigung des Mondes ist ungefähr 3300 Mal kleiner
als die Erdbeschleunigung g. Diese Zahl kann mit dem Verhältnis der
Radien im Quadrat verglichen werden:
Ê rErde ˆ
Ê 6370 ¥ 10 3 m ˆ
˜
Á
˜ ªÁ
Ë 3, 82 ¥ 108 m ¯
Ë rMond ¯
ª 3 ¥ 10 -4
Dieses Ergebnis beweist, dass die Gravitationskraft umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes ist.
Berechnung der Masse der Erde. Mit Hilfe der Periode und des
Radiuses der Mondbahn kann die Masse der Erde bestimmt werden.
Wir verwenden noch einmal die Beziehung für eine gleichförmige
Kreisbewegung:
2
Ê 2pr ˆ
Á Mond ˜
Ë T ¯
r
v2
4p 2 rMond
=
aMond = Mond =
rMond
rMond
T2
mMond aMond =
m
m
4p 2 m
r
Mond
Mond
= G Mond2 Erde
rMond
T2
m
4p 2 rMond
= G 2Erde
rMond
T2
187
Das Produkt dieser Beschleunigung und der Masse des Mondes muss
gleich der Gravitationskraft sein:
oder
Physik
188
Damit
mErde =
(6,67 ¥ 10
-11
3
4p 2 rMond
GT 2
3
Nm 2 / kg 2 )(2, 36 ¥ 10 6 s)
4p 2 ( 3, 84 ¥ 10 8 m)
Das numerische Resultat ergibt:
mErde =
ª 6 ¥ 10 24 kg
grE2 (9.8m / s 2 ) ¥ (6370 ¥ 10 3 m)2
=
6.67 ¥ 10 -11 Nm 2 / kg 2
G
2
Dieser Wert ist, wie erwartet, in Übereinstimmung mit der Berechnung aus der Erdbeschleunigung auf der Erdoberfläche (Siehe
Kap. 3.13.4):
mE =
= 6.0 ¥ 10 24 kg

Masse, Impulserhaltung und die Mechanik

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