Grundlegende Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Das unbestimmte Integral
Ist eine Funktion f(x) im Intervall (a,b) definiert und stetig und gilt F ′( x ) = f ( x ) in a < x < b, so gilt:
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
in a < x < b, mit der Integrationskonstanten C.
Grundlegende Eigenschaften des unbestimmten Integrals:
[
]
d ∫ f ( x)dx = f ( x)dx
∫ A f ( x)dx = A ∫ f ( x)dx
∫ dΦ( x) = Φ( x)
∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
( A = const., A ≠ 0)
Tabelle einfachster Grundintegrale
x n+1
+C
(n ≠ −1)
n +1
n n n+1
n
∫ x dx = n + 1 x + C
dx
( x ≠ 0)
∫ x = ln x + C
dx
∫ 1 + x 2 = arctan x + C
dx
1 1+ x
∫ 1 − x 2 = Ar tanh x = 2 ln 1 − x + C
dx
∫ 1 − x 2 = arcsin x + C
dx
2
∫ x 2 + 1 = Ar sinh x = ln x + x + 1 + C
dx
2
∫ x 2 − 1 = Ar cosh x = ln x ± x − 1 + C
ax
x
(a > 0; a ≠ 1)
∫ a dx = ln a + C
x
x
∫ e dx = e + C
n
∫ x dx =
∫ log
a
xdx = x(log a x − log a e) + C
dx
∫ sin
2
= − cot x + C
x
dx
∫ cos
2
x
= tan x + C
∫ sinh xdx = cosh x + C
∫ cosh xdx = sinh x + C
∫ tanh xdx = ln cosh x + C
∫ coth xdx = ln sinh x + C
dx
∫ sinh
2
x
dx
∫ cosh
2
x
= − coth x + C
= tanh x + C
∫ Ar sinh xdx = xAr sinh x −
x2 + 1 + C
∫ Ar cosh xdx = xAr cosh x − x − 1 + C
1
∫ Ar tanh xdx = xAr tanh x + 2 ln(1 − x ) + C
2
2
1
∫ ln xdx = x ln x − x + C
∫ Ar coth xdx = xAr coth x + 2 ln( x
∫ sin xdx = − cos x + C
∫ cos xdx = sin x + C
∫ tan xdx = − ln cos x + C
∫ Arc sin xdx = xArc sin x + 1 − x + C
∫ Arc cos xdx = xArc cos x − 1 − x + C
1
∫ Arc tan xdx = xArc tan x − 2 ln(1 + x ) + C
∫ cot xdx = ln sin x + C
∫ Arc cot xdx = xArc cot x + 2 ln(1 + x
2
− 1) + C
2
2
2
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1
2
)+C
Einfache Integrationsregeln
•
Integration durch Zerlegung
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx
•
Integration durch Partialbruchzerlegung
Wird angewandt bei der Integration gebrochener rationaler Funktionen der Form:
h( x )
∫ R( x)dx = ∫ g ( x) dx , worin R(x) als echt gebrochen angenommen werden kann, d.h. h(x)
sollte von geringerem Grad sein als g(x).
Im gegenteiligen Fall kann in der Regel durch Ausführen der Division ein ganzer Teil additiv abgespalten werden.
Im Beispiel bedeutet das, die Partialbruchzerlegung wird auf Funktionen
b0 + b1 x + b2 x 2 + .... + bm x m
∫ a0 + a1 x + a2 x 2 + .... + an x n dx
angewandt, wenn n > m ist.
Die Methode besteht darin, eine Zerlegung der Funktion R(x) in eine Reihe einfacherer Brüche,
sogenannter „Partialbrüche“ vorzunehmen, deren Integration keine Schwierigkeiten mehr bereitet.
Dazu zerlegt man zunächst den Nenner in Linearfaktoren:
g ( x) = an ( x − a)( x − b)( x − c)....( x − n)
dabei sind a,b,c,....n die Nullstellen des Nenners
In Abhängigkeit von der Beschaffenheit dieser Nullstellen werden verschiedene Lösungsansätze
genutzt:
• Nullstellen des Nenners seien reell und voneinander verschieden
A
B
C
N
h( x )
+
+
+K+
=
x−a x−b x−c
x − n g ( x)
Lösungsansatz:
Beispiel:
⇒
mittels Koeffizientenvergleich erfolgt die Bestimmung der
Koeffizienten A, B, C .... N
⇒
das ursprüngliche Integral zerfällt dadurch in eine Summe
einfacherer Integrale, deren Lösung möglich sein sollte.
∫x
2
x+2
dx
− 5x + 6
- die Zerlegung des Nenners in Linearfaktoren ergibt:
x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2)( x − 3)
- der Lösungsansatz lautet entsprechend:
A
B
x+2
+
= 2
( x − 2) ( x − 3) x − 5 x + 6
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- nach dem Ausmultiplizieren und kürzen ergibt sich:
A( x − 3) + B( x − 2) = x + 2
Ax − 3 A + Bx − 2 B = x + 2
x( A + B ) − 3 A − 2 B = x + 2
- ein Vergleich der Koeffizienten bei den verschiedenen Potenzen von x ergibt:
bei x1: A+B = 1
bei x0: -3A-2B = 2
- das Lösen dieses Gleichungssystems ergibt:
A = -4;
B=5
- damit ergibt sich für das anfängliche Integral eine Summe von Partialbrüchen:
∫x
2
−4
x+2
5
dx = ∫
dx + ∫
dx
− 5x + 6
x−2
x−3
- die Integration sollte nun keine Schwierigkeit mehr bereiten:
∫x
2
x+2
dx = −4 ⋅ ln x − 2 + 5 ⋅ ln x − 3 + C
− 5x + 6
• Nullstellen des Nenners seien reell, aber nicht alle verschieden.
Tritt beispielsweise die Nullstelle x = b doppelt auf, verwendet man folgenden
Lösungsansatz:
A
B
C
D
N
h( x )
+
+
+
+K+
=
2
x − a x − b ( x − b)
x−c
x − n g ( x)
Beispiel:
x2 + x + 2
∫ ( x − 1) 2 (2 x + 3) dx
• Nullstellen des Nenners seien nicht alle reell, sondern z.T. imaginär.
Imaginär Nullstellen treten stets paarweise, konjugiert komplex auf, wenn die Koeffizienten
des Nenners alle reell sind. Der Nenner ist dann nicht immer in reelle Linearfaktoren, jedoch
immer in reelle und quadratische Linearfaktoren zerlegbar.
Diese Zerlegung erfolgt dann beispielsweise entsprechend folgendem
A
Bx + C h( x)
=
+ 2
x − a ( x + b) g ( x )
1
∫ x(1 + x 2 )dx
Lösungsansatz:
Beispiel:
• Ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen des Nenners tritt mehrfach auf.
Tritt z.B. ( x + x + 1)
2
m Glieder der Form
m
auf, hat man hierfür in den Ansatz
Ax + B
mit n = 1,2,3,.....,m aufzunehmen.
( x + x + 1) n
2
Deren Behandlung erfolgt analog dem oben Gesagten. Man gelangt auf Integrale der Form:
dx
dx
(1 + x 2 ) − x 2
x
∫ ( x 2 + 1) n = ∫ ( x 2 + 1) dx = ∫ ( x 2 + 1) n−1 − ∫ x ⋅ ( x 2 + 1) n dx
dx
x
1 1
dx
=∫ 2
+
−
n −1
2
n −1
2
∫
( x + 1)
2(n − 1)( x + 1)
2 n − 1 ( x − 1) n−1
x
2n − 3
dx
=
+
2
n −1
2
∫
2(n − 1)( x + 1)
2(n − 1) ( x + 1) n−1
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Die Operation führt zur Verringerung des Nennerexponenten um 1.
Mittels Rekursion läßt sich der Nennerexponent so weiter verringern, bis man schließlich auf
eine Lösung mittels arctan x gelangt.
•
Partielle Integration
Die Methode ist eigentlich bekannt: das Differenzieren eines Produkts. Hier wird diese Methodik
umgekehrt und auf das Integrieren angewandt:
Kann man den Ausdruck unter einem Integral als Produkt der Ableitung einer Funktion u’(x) mit
einer Funktion v(x) auffassen, so lässt sich folgende Formel anwenden:
∫ u′( x) ⋅ v( x)dx = u ( x) ⋅ v( x) − ∫ u ( x) ⋅ v′( x)dx
Der sich ergebende Ausdruck enthält wiederum ein Integral, ist aber vielleicht einfacher zu lösen,
als der ursprüngliche Ausdruck.
Beispiel 1:
∫ x ⋅ e dx = ∫ xd (e
Beispiel 2:
∫ ln xdx = x ⋅ ln x − ∫ xd (ln x) =
x
•
x
) = x ⋅ e x − ∫ e x dx =
= x ⋅ ex − ex + C
= x ⋅ ln x − x + C
Integration durch Substitution (Einführen einer neuen Veränderlichen)
Setzt man u = g(x) , wobei g(x) differenzierbar sein soll, so wird du = g’(x) dx .
Damit wird f(u) du = f(g(x)) g’(x) dx.
Diese Beziehung lässt sich nutzen, um Integrale zu vereinfachen und zu lösen:
∫ f [g ( x)]⋅ g ′( x)dx = ∫ f (u)du
mit u = g ( x), du = g ′( x)dx
Sonderfall:
∫
f ′( x)
dx = ln f ( x) + C
f ( x)
Beispiel:
falls f ( x) ≠ 0 im Definitionsbereich
∫ cos(mx)dx
Mit einer Substitution mx = t ;
ergibt sich:
x=
m≠0
t
;
m
dx =
dt
m
dt
1
1
∫ cos(mx)dx = ∫ cos t m = m sin t + C = m sin(mx) + C
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