Livret d`exercices - Terminale S

Livret d’exercices - Terminale S
Association Tremplin
Table des matières
I
Présentation du livret
2
Quelques conseils pour les tuteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dates importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Séances de Mathématiques
4
Énigmes de logique . . . . . . . . . . .
Énigmes plus difficiles . . . . . . . . .
Logique Booléenne . . . . . . . . . . .
Fonctions & Portes Logiques . . . . .
Quantificateurs . . . . . . . . . . . . .
Raisonnement par Récurrence . . . . .
Partie entière . . . . . . . . . . . . . .
La constante d’Euler . . . . . . . . . .
Équations différentielles . . . . . . . .
Équivalents & Développements limités
Groupes & Espaces Vectoriels . . . . .
Khôlles . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
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Séances de Physique
Homogénéité & Pertinence .
L’effet Doppler . . . . . . .
Amplificateur Opérationnel
Physique des bulles . . . . .
Le gladiateur et le lion . . .
3
3
5
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
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1
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22
23
Première partie
Présentation du livret
2
Quelques conseils pour les tuteurs
Bienvenue aux nouveaux tuteurs !
Ce livret a pour objectif de vous aider dans la préparation de vos séances en premières S en mathématiques et en physique. Il s’agit de séances réalisées les années précédentes mais, bien entendu, vous pouvez
développer vos propres séances. Durant ces séances, à la différence d’un cours prodigué par un professeur,
la transmission d’un savoir particulier n’est pas le point clé. Certes, il est toujours intéressant pour les
élèves d’avoir déjà vu certains chapitres ou d’acquérir certaines méthodes mais il ne faut pas s’étonner si la
discussion de certaines séances s’oriente spontanément sur les études post-bac. Ne voyez pas cette séance,
durant laquelle les élèves n’ont "rien" appris, comme un échec, au contraire les élèves vous seront reconnaissants d’avoir présenté l’enseignement supérieur qui reste pour eux très flou. Le tuteur est un interlocuteur
accessible, proche des élèves et doté d’une certaine expérience qu’il se doit de partager !
Dans tous les cas, privilégiez le dialogue avec les élèves car c’est le dynamisme d’un groupe qui conditionne
la réussite d’une séance. On peut rechercher des exercices ludiques afin de leur redonner confiance et leur
faire prendre conscience de tout ce qu’ils savent déjà. Pour toutes les séances de physique et de chimie, il
faut veiller à les introduire sous l’angle de l’application afin de captiver l’attention des élèves. D’une manière
générale, ils sont friands d’anecdotes et de défis ce qui permet de détendre l’atmosphère et d’échapper au
cadre trop formel d’un cours classique. N’hésitez pas non plus à apporter un certain historique sur le thème
enseigné.
Dates importantes
Quelques dates clefs sont rappelées ici afin de donner au tuteur une vue d’ensemble des événements
organisés par l’association au cours de l’année et actions requises auprès des élèves :
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Octobre/Novembre : Inscription des élèves dans une base de données
Novembre : Assemblée Générale de l’association
Décembre : Demande des copies des bulletins du premier trimestre
Décembre : Journée de l’orientation pour les élèves (De même en février)
Février : Attestation de participation des élèves au dispositif
Vacances de Février : Stage de préparation au concours des écoles d’ingénieur à prépa intégrées
Mars : Réalisation du nouveau livret d’exercices
Vacances de Pâques : Stage de préparation au bac et ateliers scientifique pour les terminales
3
Deuxième partie
Séances de Mathématiques
4
Énigmes de logique
Idée pour débuter ou terminer une séance
Énigmes
Ces énigmes de logiques ("brain teasers") sont fréquemment employées lors d’entretien d’embauche dans le
secteur de la banque ou du conseil.
Énigme à base de pesées
– On a 7 billes de même masse sauf une plus lourde et une balance à plateaux, le but est de la trouver
en 2 pesées maximum. Faire de même avec 9 billes.
→ L’idée est de penser à laisser des billes sur le coté.
– On a 9 perles de même masse sauf une (mais on ne sait pas si elle est plus lourde ou plus légère), le
but est de la trouver en 3 pesées maximum. Faire de même avec 13 perles.
→ Il faudra commencer par s’intéresser au cas d’égalité pour savoir combien de perles au maximum
on peut laisser sur le coté
– Dix sacs de 100 pièces d’or sont alignés devant vous mais il y a un sac de fausses pièces. Une vraie
pièce pèse 10 grammes et une fausse 11 grammes. On dispose d’une balance numérique, qui donne
donc un poids exact en grammes. Déterminer le sac de fausses pièces en une seule pesée.
→ Il suffit de prendre 1 pièce dans le sac n˚1, 2 pièces dans le sac n˚2, . . ., 10 pièces dans le sac n˚10
Chapeaux et rubans
– Trois personnes sont en file indienne et une dernière est mise à l’écart et ne voit personne. Chacune
de ces personnes a un chapeau tiré au sort parmi deux chapeaux noirs et deux blancs. Le but est de
trouver la couleur d’au moins un chapeau, que va-t-il se passer ?
→ Il faut s’intéresser uniquement à la 2ème et la 3ème personnes, les autres ne peuvent rien trouver
car ne voient aucun chapeau
– On montre 7 rubans (2 rouges, 2 jaunes et 3 verts) à trois personnes puis on leur bande les yeux. On
fixe à chaque personne un ruban sur son chapeau, cache les autres et les débarrasse de leurs bandeau.
A la question : "Pouvez vous être sûr d’une couleur qui ne soit pas celle de votre ruban ?", la 1ère
personne répond non puis la 2ème fait de même. Que peut-on en déduire ?
→ Le 3ème ruban est vert
– 100 prisonniers sont en file indienne et portent sur la tête un chapeau soit blanc, soit noir. Chaque
prisonnier trouvant sa couleur est libéré. Sachant qu’ils ont eu le droit de se concerter avant de mettre
leurs chapeaux, trouver une stratégie pour en sauver un maximum.
→ On en sauve 99, 5 si le premier annonce blanc/noir en fonction de la parité du nombre de rubans
blancs qu’il voit
5
Transports en tous genres
– Quatre musiciens veulent traverser un pont de nuit mais ils n’ont qu’une lampe et le pont ne peut
supporter que deux personnes à la fois. Sachant qu’ils mettent respectivement 1, 2, 5 et 10 minutes
pour le traverser, quel est le temps minimum nécessaire pour traverser ce pont ?
→ 17 minutes en faisant : 1&2 traversent / 1 revient / 5&10 traversent / 2 revient / 1&2 traversent
– Un chameau doit transporter 3000 pommes entre Le Caire et Damas, villes séparées de 1000 km. Il
ne peut transporter que 1000 pommes à la fois mais a la possibilité de s’arrêter en chemin pour en
déposer. Sachant qu’il mange 1 pomme/km, combien y en aura-t-il à l’arrivée ?
→ Tant qu’il a plus de 2000 pommes, il doit faire 3 allers et 2 retours, ce qui revient à consommer
5 pommes/km ; il apporte 2000 pommes à 200km de son départ. Ensuite sa consommation baisse à
3 pommes/km ; il apportera 1001 pommes à 533 km de son départ. Il laisse 1 pomme et finit avec le
reste, ce qui sauve 533 pommes
– Un berger possède un chou, une chèvre et un loup. Il souhaite traverser une rivière à l’aide d’une
barque ne pouvant contenir que deux êtres vivants. Sachant qu’il ne peut laisser le chou avec la chèvre
ou la chèvre avec le loup sans surveillance, trouver un moyen pour passer.
→ Voici un exemple de solution : Berger&Chèvre / Berger / Berger&Loup / Berger&Chèvre / Berger&Chou / Berger / Berger&Chèvre
Dans un monastère...
– Une malédiction frappe un monastère : des moines maudits ont sur le front une petite marque rouge.
Dans ce monastère, il n’y a pas le moindre miroir, et les moines n’ont pas le droit de communiquer
entre eux de quelque manière que ce soit, mais une prière commune a lieu tous les jours. Tout moine
qui est certain d’être maudit se suicide le soir du jour où il le découvre. Du Lundi au Samedi, rien ne
se passe. Le Dimanche soir, tous les moines qui étaient maudits se suicident.
→ 7 moines. Tester avec 1 jour, 2 jours, . . .
Calcul d’âge
– On surprend une discussion entre un professeur de maths et son facteur : « Trouvez l’âge de mes trois
filles si la somme des âges est égal au numéro de la maison d’en face et le produit vaut 36. », « Il me
manque une information pour pouvoir répondre. », « Mon aînée est blonde. ». Et le facteur lui donne
l’âge de ses filles. Pas bête le facteur ! Au fait, qu’elle est l’âge de ses filles ?
→ 9 ans, 2 ans et 2 ans
Partage
– Un homme croise deux bergers qui s’apprêtent à manger. Il leur demande s’il peut partager leur repas.
Les bergers acceptent. Le premier berger a 7 fromages, et le deuxième en a 5. Ils s’installent tous les
trois et mangent chacun 4 fromages. Pour les dédommager, le promeneur leur donne 12 francs. Le
premier prend 7 francs et le deuxième prend 5 francs. Le partage est-il équitable ?
→ Non
– Cinq pirates doivent se partager un trésor de 12 lingots d’or. Le plus vieux a l’initiative de proposer
le partage. L’ensemble des pirates effectue alors un vote : si la stricte majorité des pirates accepte le
partage, le partage s’effectue, sinon le plus vieux est tué et le processus recommence avec le deuxième
plus vieux. Quel partage doit proposer le plus vieux, sachant que tous les pirates sont intelligents et
avides. (Les pirates préfèrent se débarrasser des plus vieux s’ils ne leur servent à rien)
→ S’il n’y avait qu’un pirate, il aurait 12 lingots. S’il y a deux pirates, qu’importe le partage du plus
vieux, le deuxième sera contre et le partage ne se fera pas. Ainsi s’il y a trois pirates, le plus vieux a
juste besoin de proposer 1 lingot au second plus vieux pour qu’il soit d’accord : il peut donc garder 11
lingots. On continue de réfléchir de cette manière (basée sur la récurrence) pour trouver que le plus
vieux peut avoir 9 lingots lorsqu’il y a 5 pirates. (Partage 2/0/1/0/9)
6
Énigmes plus difficiles
Pour combler une demi-séance, relativement difficile
L’île aux questions
Quelque part au-delà des mers, se dresse une île étrange appelée l’Île aux Questions. Son nom vient de la
façon originale dont s’expriment les indigènes qui, pour toutes paroles, se contentent de poser des questions
auxquelles il faut répondre par oui ou par non. Les habitants se répartissent en deux types : les Positifs, qui
ne peuvent poser que des questions dont la réponse est oui, et les Négatifs, pour lesquels il s’agit de l’inverse.
Selon les questions, dites s’il s’agit d’un Positif ou d’un Négatif :
– Est-ce que deux et deux font quatre ? (P) Est-ce que 7 × 8 = 66 ? (N)
– Suis-je un Négatif ? (Personne) Suis-je un Positif ? (On ne peut pas savoir)
– Suis-je de ceux qui peuvent demander s’ils sont des Négatifs ? (N)
– Suis-je parmi ceux qui peuvent poser la question que je vous pose ? (P)
J’ai appris l’existence d’un sorcier. À partir de ces questions, peut-on déterminer lequel de ces cinq
personnages est le sorcier ?
– Albert Le blond : Suis-je le sorcier ?
– Bernard Le brun : Puis je demander si je suis une autre personne que le sorcier ?
– Charles Le bon : Puis je demander si le sorcier peut demander si c’est moi le sorcier ?
– Daniel Le fort : Est-ce que le sorcier est un Négatif ?
– Étienne Le doux : Le sorcier et moi sommes nous du même type ?
Solution :
– A : On ne peut rien savoir.
– B : On en déduit que B n’est pas le sorcier.
– C : On en déduit que le sorcier a le droit de demander si C est le sorcier.
– D : On en déduit que D n’est pas le sorcier.
– E : On en déduit que le sorcier est un Positif, donc c’est C.
L’énigme d’Einstein
Les faits :
– Il y a cinq maisons de 5 couleurs différentes.
– Dans chaque maison vit une personne de nationalité différente.
– Chacun des propriétaires boit un type de boisson, fume un type de cigares et possède un animal
domestique.
Question : À qui appartient le poisson ?
Quelques indices : (Il faudra faire un gros tableau)
– L’Anglais vit dans une maison rouge.
– Le Suédois a des chiens comme animaux domestiques.
– Le Danois boit du thé.
– La maison verte est à gauche de la maison blanche.
– Le propriétaire de la maison verte boit du café.
– La personne qui fume des Pall Mall a des oiseaux.
– Le propriétaire de la maison jaune fume des Dunhill.
– La personne qui vit dans la maison du centre boit du lait.
– Le Norvégien habite la première maison.
– L’homme qui fume les Blend vit à côté de celui qui a des chats.
– L’homme qui a un cheval est le voisin de celui qui fume des Dunhill.
– Le propriétaire qui fume des Blue Master boit de la bière.
– L’Allemand fume des Prince.
– Le Norvégien vit juste à côté de la maison bleue.
– L’homme qui fume des Blend a un voisin qui boit de l’eau.
7
Logique Booléenne
Aucun prérequis, assez simple
Historique
Le mot logique est d’origine grecque, il vient de "logos" qui signifie "discours". En effet, à l’époque la
logique est perçue comme l’art de parler, de construire des raisonnements. La logique est devenue une
science grâce à Aristote (384–322 av J.C.). Dans Les Analytiques, Aristote étudie une vingtaine de schémas
de raisonnements appelés syllogismes. Voici deux exemples :
– Socrate est un homme ; tous les hommes sont mortels ; Socrate est mortel (Vrai / Implication)
– Les chats ont 4 pattes ; les chiens ont 4 pattes ; les chiens sont des chats (Faux / cf Rhinocéros de
Ionesco)
À partir de ces syllogismes sont apparus certains schémas de raisonnement récurrents :
– Proposition / Assertion : phrase qui représente une affirmation, une hypothèse, ...
Une proposition peut être soit vraie, soit fausse, on peut donc définir son contraire.
– Axiome : proposition évidente par elle-même et qui n’est pas démontrable (BASE).
– Théorème : proposition vraie qui peut être démontrée (À PARTIR DE LA BASE).
– Méthode directe : P ⇒ Q est vraie si Q est vraie lorsque P est vraie.
Exemple : On montrera que n pair ⇒ n2 pair, car si n = 2k, n2 = 2 × (2k 2 ).
– Méthode par contraposée : P ⇒ Q se montre en démontrant (non Q) ⇒ (non P).
Exemple : On montrera que n2 pair ⇒ n pair, ce qui revient à n impair ⇒ n2 impair.
– Disjonction des cas : Analyse de tous les cas possibles pour une assertion donnée.
Il faut attendre le XIXe siècle pour apercevoir une logique mathématique indépendante de la philosophie.
Ses débuts furent marqués par la rencontre entre deux idées nouvelles : la volonté chez Frege, Russel, Peano
et Hilbert de donner une fondation axiomatique aux mathématiques et la découverte par Boole de structure
algébriques permettant de définir un "calcul de vérité". Au XXe siècle furent découvertes des propriétés
indécidables (hypothèse du continu) ainsi que la démonstration de la cohérence des nombreux axiomes mis
en place.
Algèbre de Boole
Il existe deux types de logique : la logique de proposition et la logique des prédicats. La logique Booléenne
est un exemple de logique des propositions travaillant dans {0, 1} (0 = faux / 1 = vrai).
– Loi ET : a ET b = 1 ⇔ a = 1 et b = 1. On la note plus couramment « . ».
– Loi OU : a OU b = 1 ⇔ a = 1 ou b = 1. On la note plus couramment « + ».
– Transformation contraire : NON a = 1 ⇔ a = 0. On la note plus couramment a.
Exercices
Réaliser un tableau de vérité pour les deux lois et la transformation.
A l’aide d’un tableau de vérité, démontrer le théorème de Morgan a + b = a.b.
On introduit une nouvelle loi, le OU EXCLUSIF. Déterminer son tableau de vérité puis son expression.
Pour aller plus loin
L’algèbre de Boole vérifie certaines propriétés :
– Associativité : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c et (a.b).c = a.(b.c) = a.b.c
– Distributivité : a.(b + c) = a.b + a.c et a + (b.c) = (a + b).(a + c)
– Commutativité : a + b = b + a et a.b = b.a
– Éléments neutre et nul : a + 0 = a = a.1 et 0.a = 0 et 1 + a = 1
– Idempotence : a + a = a = a.a
– Absorption : a + a.b = a et a.(a + b) = a
– Simplification : a + a.b = a + b et a.(a + b = a.b
– Complémentarité : a = a et a + a = 1 et a.a = 0
8
Fonctions & Portes Logiques
Nécessite la logique booléenne, assez simple
Présentation
Les fonctions logiques sont l’un des nombreux exemples des applications des mathématiques. En effet,
ces descendantes directes de l’algèbre de Boole révolutionnèrent l’électronique numérique. Elles sont mises
en œuvre sous forme de portes logiques, à l’origine des circuits électroniques. Ces portes logiques sont faites
de nos jours avec des transistors (ils furent inventés en 1947). La révolution électronique apportée par ces
outils est énorme, on pense par exemple au calculateur. En effet, grâce aux portes logiques, on fabriquer des
processeurs expert en calcul.
Représentation des portes logiques
Type
Symbole Américain
Symbole Européen
Et
Ou
Opération Booléenne
A.B
A/B
0
1
0
0
0
1
0
1
A+B
A/B
0
1
0
0
1
1
1
1
Non
A
Non Et
Non Ou
Table de vérité
Ou Exclusif
A
0
1
A
1
0
Non Ou Exclusif
Toutes ces fonctions possèdent une ou deux entrées, on peut en réaliser avec plus d’entrées, mais cela
n’est pas nécessaire. En effet, on peut réaliser avec ces fonctions toutes les fonctions logiques.
Réalisation de circuit
On rappelle les théorèmes de Morgan : A + B = A.B etA.B = A + B. Montrer que l’on peut réaliser une
porte "Non Ou" avec une porte "Et" et une porte "Non". Montrer que l’on peut tout réaliser avec des "Non et".
Souvent nous connaissons la table de vérité d’une fonction et nous devons chercher les circuits correspondants. Le problème est que les fonctions peuvent devenir très compliquées : une simplification s’impose.
Pour aller plus loin
– Détermination d’une équation à partir de la table de vérité.
– Simplification de l’équation à l’aide du tableau de Karnaugh.
9
Quantificateurs
Aucun prérequis mais assez difficile
Introduction
En cours, certains symboles sont déjà utilisés. L’ensemble des entiers naturels est noté N, les entiers
relatifs Z, les rationnels Q et les réels R. Il y a encore plein d’autres ensembles, que vous étudierez peut-être
ces prochaines années. Il existe d’autres symboles que vous connaissez déjà :
– e ∈ E signifie que e est l’élément de l’ensemble E (Exemple : 2011 ∈ N)
– e∈
/ E signifie que e n’est pas un élément de l’ensemble E (Exemple : −1 ∈
/ N)
– A ⊂ E signifie que tous les éléments de A sont dans l’ensemble E (Exemple : Z ⊂ Q)
– A 6⊂ E signifie qu’il existe un élément de A qui n’est pas dans l’ensemble E (Exemple : N 6⊂ R∗ )
Les quantificateurs
Il
–
–
–
existe des nouveaux symboles très utiles que vous utiliserez en classe préparatoire :
∃e ∈ E, . . . signifie qu’il existe un élément dans l’ensemble E, tel que ... (Exemple : ∃n ∈ N, n > 2010)
∃!e ∈ E, . . . signifie qu’en plus d’exister, cet élément est unique (Exemple : ∃!n ∈ N, n2 = 1)
∀e ∈ E, . . . signifie que pour tout élément dans l’ensemble E, on a ... (Exemple : ∀x ∈ R, x2 > 0)
Attention à la position des symboles : il faut lire les phrases mathématiques de gauche à droite. Par
exemple, ∀n ∈ N, ∃m ∈ N, m > n est vrai mais ∃m ∈ N, ∀n ∈ N, m > n est faux.
En mathématique, quand on dit "il existe un truc qui cloche", c’est qu’on est sûr qu’il y a au moins un
truc qui cloche. Mais attention, il peut y en avoir plusieurs. Pour démontrer qu’une telle phrase est vraie, il
suffit d’avoir trouvé un des trucs qui clochent et de pouvoir le montrer. Pour démontrer qu’une telle phrase
est fausse, il faut prouver qu’aucun truc ne cloche.
Une propriété peut également être de la forme "pour tous les éléments d’un certain ensemble, il se passe
tel phénomène". Pour démontrer qu’une telle phrase est vraie, il faut prendre les éléments de l’ensemble
un par un, s’il n’y en a pas trop, et pour chacun vérifier le phénomène. Si l’ensemble est infini, il faut des
arguments d’une autre nature. Pour démontrer qu’une telle phrase est fausse, il suffit de trouver un élément
de l’ensemble pour lequel le phénomène ne se produit pas.
Attention : le contraire de ∀ est ∃ et le contraire de ∃ est ∀.
Exercices
Montrer que les propositions ∃n ∈ N, n2 > 4n et ∀x ∈ R, x2 + 1 > 0 sont vraies.
Montrer également que les propositions ∃n ∈ N∗ , n2 < 1 et ∀x ∈ R, x2 > x sont fausses.
En utilisant les quantificateurs, réécrire les phrases suivantes :
– f est la fonction constante égale à 5 sur R.
– x2 − 5x − 10 admet des racines réelles.
– Les fonctions f et g sont égales sur R.
– Tout réel a un opposé dans R.
– L’équation f (x) = 2 admet une solution sur R.
– Pour tout réel x, il existe y plus grand que x.
Après les avoir traduites, dire si les phrases suivantes sont vraies ou fausses :
– ∀x ∈ R∗ , ∃y ∈ R, xy = 1.
– ∀x ∈ [1, 5], 0 < x < 6.
– x2 = 1 ⇒ x = 1 et x = −1.
– |x| 6 1 ⇒ x 6 1 ou x > −1.
– x 6 y et y > x ⇒ x = y.
– xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0.
Pour aller plus loin
Soient P : ”∀A ⊂ N, A 6= ∅, ∃m ∈ A, ∀a ∈ A, m 6 a” et Q : ”∃M ∈ N, ∀A ⊂ N, A 6= ∅, ∀a ∈ A,
M > a”. Traduire ces propositions. Sont-elles vraies ? Démontrez le.
Solution : P signifie que toute partie non vide de N admet un minimum, elle est vraie.
Q signifie que N est majoré, ce qui est faux. On fixera M puis on prendra A = {M + 1}.
10
Raisonnement par Récurrence
Aucun prérequis, difficulté moyenne
Introduction du principe
Gausse avait calculé à l’âge de dix ans et en moins d’une minute la somme 1 + 2 + . . . + 99 + 100.
S = 1 + 2 + . . . + 99 + 100
S = 100 + 99 + . . . + 2 + 1
2S = 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 100 × 101
Par cette méthode, il obtient S = 5050 et de manière générale S = 1 + . . . + n = n(n+1)
, mais il existe
2
une autre méthode. En effet, si on note Sn = 1 + . . . + n on a Sn+1 = Sn + n + 1, cette relation est qualifiée
de récurrente car elle définit chaque terme à partir du précédent. Elle permet de mettre en place ce que l’on
appelle un raisonnement par récurrence. Observons comment cela fonctionne...
Soit P(n) : ”Sn = n(n+1)
” pour tout n ∈ N∗ .
2
Montrons que P(1) est vraie : On a S1 = 1 = 1×(1+1)
donc P(1) est vraie.
2
Supposons P(n) vraie pour n fixé. Montrons que P(n + 1) est vraie : On a Sn =
n(n+1)
2
n(n+1)
2
par hypothèse.
(n+1)(n+2)
2
Ainsi Sn+1 = Sn + (n + 1) =
+ (n + 1) =
donc P(n + 1) est également vraie.
On conclut par le principe de récurrence que P(n) est vraie pour tout n ∈ N∗ .
Raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant
sur tous les entiers naturels. Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer les points suivants :
– Une propriété est satisfaite par l’entier 0 (parfois 1, ou encore n0 ).
– Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, alors elle doit être satisfaite
par son successeur, c’est-à-dire, le nombre entier n + 1.
Il faut insister sur le fait que P(0) ⇒ P(1) ⇒ P(2) ⇒ P(3) ⇒ . . . ⇒ P(n) ⇒ P(n + 1) ⇒ . . .
Exercices
– Montrer que 12 + 22 + . . . + n2 = n(n+1)(2n+1)
. (Même méthode)
6
3
3
3
– Montrer que 1 + 2 + . . . + n = (1 + 2 + . . . + n)2 . (On pourra utiliser Sn =
n(n+1)
)
2
– Montrer que la somme des angles d’un polygone à n cotés vaut 180(n − 2).
– Montrer qu’un polygone à n coté admet n(n−3)
diagonales.
2
Dans les deux derniers exercices, l’hérédité se montre en considérant un polygone à n coté auxquels on
ajoute le triangle A(1)A(n)A(n + 1). Pour le premier, la somme des angles est augmenté de 180. Pour le
second, le nombre de diagonale est égale au nombre de diagonale du polygone A(1)A(2) . . . A(n) plus le
nombre de diagonale partant du point A(n + 1), c’est-à-dire (n − 2).
On pourra finir avec des exemple de récurrence erronée (ne vérifiant pas l’initialisation ou présentant
une arnaque dans l’hérédité). Par exemple, le fait que n points quelconques sont toujours alignés.
11
Partie entière
Nécessite la continuité, la dérivabilité et les suites, difficulté moyenne
Définition
Quelque soit x ∈ R, il existe un unique entier n ∈ Z vérifiant n 6 x < n + 1. Cet entier est appelé la
partie entière de x et est noté E(x) ou bxc.
Insister sur le fait que E(x) est l’unique élément dans Z tel que E(x) 6 x < E(x) + 1.
Quelques propriétés
1. Montrer que pour tout x ∈ R, x − 1 < E(x) 6 x.
2. Montrer que pour tout p ∈ Z, E(x + p) = E(x) + p
3. A-t-on E(x + y) = E(x) + E(y) pour tout (x, y) ∈ R2 ?
4. Montrer que l’on peut réduire le domaine d’étude à [0, 1[.
5. Tracer E sur [0, 1[ puis sur R.
6. Montrer que E n’est pas continue sur l’ensemble des entiers.
1. Soit x ∈ R, on a E(x) 6 x < E(x) + 1. Par la première inégalité, on a E(x) 6 x. Par la seconde
inégalité, on a x < E(x) + 1, soit x − 1 < E(x). On en déduit alors que x − 1 < E(x) 6 x.
2. Soit x ∈ R, on a E(x) 6 x < E(x) + 1 donc E(x) + p 6 x + p < E(x) + p + 1. Comme E(x) + p est
un entier, par unicité de E(x + p), on a l’égalité E(x + p) = E(x) + p.
3. Non, par exemple x = y =
1
2
contredit cette égalité.
4. Soit x ∈ R, alors en écrivant x = y + p avec (y, p) ∈ [0, 1[×Z, on a par la question (2) la formule
E(x) = E(y) + p. Ainsi les variations de E sur R se déduit de celle de E sur [0, 1[.
5. E est nul sur [0, 1[. Puis ensuite, elle varie en escalier...
6. Soient p ∈ Z et 1 > ε > 0 alors on a E(p − ε) = p − 1. On en déduit par passage à la limite que
lim E(p − ε) = p − 1 6= p = E(p) = E(lim p − ε). Ainsi E n’est pas continue en p.
ε→0
ε→0
Application : Densité de Q dans R
On dit qu’un ensemble E est dense dans F si et seulement si pour tout élément x de F , il existe
une suite (xn )n∈N à élément dans E qui tend vers x. La densité est plus simple à montrer dans R. En effet,
un ensemble E est dense dans R si pour tout éléments distincts (x, y) ∈ R2 , il existe e ∈ E tel que x 6 e 6 y.
Montrons que ces définitions sont bien équivalentes.
"⇒" : Soient (x, y) ∈ R2 . Par la première définition de la densité, il existe une suite (xn )n∈N de limite x+y
2 .
Pour n assez grand, on a xn assez proche de x+y
ce
qui
donne
x
<
x
<
y.
n
2
"⇐" : Soit x ∈ R. Par la deuxième définition de la densité, pour tout n ∈ N, on a un élément xn ∈ E tel que
x < xn < x + n1 . On pourra vérifier que la suite (xn )n∈N tend vers x.
Étude de un =
n
2 X
E(kx) pour x ∈ R : montrer que un −→ x.
n→0
n2 k=1
On a kx 6 E(x) < (k + 1)x donc
n
X
kx 6
k=1
n2 + 3n
n
X
E(kx) <
k=1
n
X
(k + 1)x.
k=1
n
X
n+1
n+3
n(n + 1)
x6
E(kx) <
x donc
x 6 un <
x.
2
2
n
n
k=1
n+1
n+3
Comme lim
x = x = lim
x, on conclut par le théorème des gendarmes.
n→0
n→0
n
n
Ainsi
En déduire que Q est dense dans R...
12
La constante d’Euler
Nécessite le logarithme et les suites, difficulté moyenne
Biographie
Leonhard Paul Euler, né le 15 avril 1707 et mort le
18 septembre 1783 est un mathématicien et physicien
suisse qui passa la plus grande partie de sa vie en Russie et en Allemagne. Il fut d’importantes découvertes
dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes. Il introduisit également
une grande partie de la terminologie et de la notation
des mathématiques modernes.
Euler sur le billet de 10 francs suisse :
Série harmonique
Pn
On appelle série harmonique la suite (Hn )n∈N∗ définie pour n ∈ N∗ par Hn =
Calculer Hn pour n ∈ {1, . . . , 10}. Que pourrait-on croire quand à sa convergence ?
1
k=1 k .
n 1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
Hn 1 1, 5 1, 8... 2, 1... 2, 3... 2, 5... 2, 6... 2, 7... 2, 8... 2, 9...
Montrer que quelque soit n ∈ N∗ , H2n+1 − H2n > 21 . En déduire H2n > 1 +
n
2
et que Hn diverge.
Logarithme
1. Démontrer que pour tout x > −1, ln(1 + x) 6 x.
2. En déduire que pour tout x < 1, ln(1 − x) 6 −x.
3. Démontrer que pour tout n ∈ N, ln(n + 1) = ln(n) + ln(1 + n1 ).
4. En déduire que pour tout ln(n + 1) − ln(n) 6 n1 .
Comparaison série harmonique/logarithme
1. Tracer la fonction ln.
2. Placer les points (n, Hn ) pour n ∈ {1, . . . , 5}.
3. Que constate-t-on ?
On pose un = Hn − ln(n). Montrer que ln(n + 1) 6
Pn
1
k=1 k .
En déduire que un est positive.
Constante d’Euler
1. Montrer que pour tout n > 2, un − un−1 =
1
n
+ ln(1 − n1 ).
2. En déduire le sens de variation de (un )n∈N∗ .
3. Conclure quant à la convergence de (un )n∈N∗ .
La limite de cette suite est la constante d’Euler ϕ. On a ϕ ≈ 0, 57721566490153286060....
On pourra terminer la séance en parlant de la méthode d’Euler et la formule d’Euler (dont la célèbre
exp(iπ) = −1).
13
Équations différentielles
Nécessite les équations différentielles d’ordre 1
Rappel
Les solutions de y 0 = ay sont les fonctions : x 7→ k exp(ax).
Équations différentielles du 2ème degré
Soit (a, b, c) ∈ R3 , a 6= 0 et b2 − 4ac > 0. On pose (E) : ay 00 + by 0 + cy = 0.
1. Montrer que (E) est équivalente à (E0 ) : y 00 − (r1 + r2 )y 0 + r1 r2 = 0 avec r1 et r2 les solutions
(éventuellement égales) de l’équation ax2 + bx + c = 0.
2. Montrer que f solution de (E0 ) sur R ⇔ g = f 0 − r1 f est solution de (E1 ) : y 0 − r2 y = 0 sur R
3. En déduire les solutions selon b2 − 4ac (nul, ou strictement positif).
Soit h une fonction quelconque, on s’intéresse aux solutions de (E 0 ) : ay 00 + by 0 + cy = h. On connaît déjà
une solution g de l’équation différentielle (E 0 ). Montrer que f est solution de (E 0 ) ⇔ f − g est solution de
(E). En déduire la forme de toutes les solutions de (E 0 ).
Application : Calculer toutes les solutions de
– 5y 00 + 2y 0 − 4y = x2 .
On pourra chercher une solution particulière de la forme x 7→ ax2 + bx + c.
– 6y 00 + 9y 0 + y = exp(x).
On pourra chercher une solution particulière de la forme x 7→ k exp(x).
Équations différentielles non linéaires
(
On se propose de résoudre sur R+ l’équation différentielle :
∀x ∈ R+, f (x)f 0 (x) = 1
f (0) = 1
Partie A : Méthode d’Euler
(
x0 = 0
On construit une suite de points Mn (xn , yn ) définie par :
y0 = 1
(
et pour tout n ∈ N,
xn+1 = xn + 0, 1
yn+1 = yn + 0,1
yn
1. Calculer M1 , M2 , M3 , M4 et M5 .
2. Étudier (xn )n∈N et (yn )n∈N (monotonie, convergence).
Partie B : Calcul de la fonction
1. Montrer que f ne s’annule pas sur R+ .
2. Conclure quand à son signe.
3. En utilisant une primitive de uu0 montrer que pour tout x ∈ R, (f (x))2 = 2x + C.
4. On rappelle que f (0) = 1 déterminer f .
5. Calculer f (0, 1), f (0, 2), f (0, 3), f (0, 4) et f (0, 5) et les comparer à M1 , M2 , M3 , M4 et M5 .
n
xn
yn
n
f ( 10
)
0
1
2
3
4
5
0
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
1
1, 1
1, 19... 1, 27... 1, 35... 1, 42...
1 1, 09... 1, 18... 1, 26... 1, 34... 1, 42...
14
.
Équivalents & Développements limités
Nécessite la dérivation et les limites, assez difficile
Échauffement sur les limites
Soient f : I → R et x0 ∈ I tel que ∀x ∈ I, f (x) < M (ou f (x) > m) et lim f = l, alors l 6 M (ou l > m).
x0
Soient f : I → R et x0 ∈ I tel que lim f = l > m (ou l < M), alors ∀x près de x0 , f (x) > m (ou l < M ).
x0
Croissance comparée : Calculer ces limites
(ln(x))a
– lim
pour a > 0 et b > 0.
x→+∞
xb
(ex )a
pour a > 0 et b > 0.
– lim
x→+∞ xb
Définition et exemples sur les équivalents
Soient f : I → R, g : I → R et x0 ∈ I. f et g sont équivalentes en x0 ⇔ lim fg = 1. On note f ∼ g.
x0
x0
On s’intéresse souvent au cas x0 = 0. Comment s’y ramener si x0 → +∞ ?
Montrer que sin(x) ∼ x puis que tan(x) ∼ x.
0
0
Pour sin, on fera apparaître un taux de variation en 0. Pour tan, on peut refaire pareil ou écrire tan =
sin
cos .
Déterminer l’équivalent d’un polynôme en 0 et en +∞.
Propriétés
Si lim f = l 6= 0 alors f ∼ l. Si lim f = 0, si f est dérivable en 0 et si f 0 (0) 6= 0 alors f (x) ∼ f 0 (0)x.
x0
x0
0
0
√
n
Calculer les équivalents de ln(1 + x), ex − 1 et 1 + x − 1 en 0.
Montrer que les équivalents passent au produit et au quotient puis en déduire l’équivalent de 1 − cos en 0.
Exercices
Déterminer pour chacune de ces fonctions un équivalent simple en 0.
– a(x) = 1 + sin(x) − 3x4 + tan(3x2 ).
2
– b(x) = ln 1 − x5 + e3x − x2 .
– c(x) = 2−cos(x)−cos(2x)
.
tan2 (x)
– d(x) =
– e(x) =
2
1
− 1−cos(x)
.
sin2 (x)
6 (x)
1−cos
√
√
.
x2 +x3 − x2 −x3
Développements limités
Il est possible de généraliser : "Si lim f = 0, si f est dérivable en 0 et si f 0 (0) 6= 0 alors f (x) ∼ f 0 (0)x".
0
0
En effet, si lim f = f 0 = . . . = f (n−1) = 0, si f est dérivable n fois en 0 et si f (n) (0) 6= 0 alors f (x) ∼ f (n) (0)
0
0
Pour aller plus loin
Il s’agit d’une relation d’équivalence car elle vérifie ces trois propriétés :
– On a bien f ∼ f .
x0
– Si f ∼ g alors g ∼ f .
x0
x0
– Si f ∼ g et g ∼ h alors f ∼ h.
x0
x0
x0
15
xn
n! .
Groupes & Espaces Vectoriels
Aucun prérequis mais très difficile
Monoïdes & Groupes
Soit E un ensemble. Une application ∗ de E × E dans E est une loi de composition interne dans E.
L’image du couple (x, y) de E 2 par ∗ est notée x ∗ y et appelé le composé de x par y.
Soit ∗ une loi interne dans E :
– ∗ est associative ⇔ ∀(a, b, c) ∈ E 3 , (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
– ∗ possède un neutre dans E ⇔ ∃e ∈ E, ∀x ∈ E, x ∗ e = e ∗ x = x.
Si ces deux lois sont vérifiées, on dit que (E, ∗) est un monoïde.
Exemple : (N, +) est un monoïde.
Soit (E, ∗) un monoïde de neutre e. x ∈ E est symétrisable ⇔ ∃x0 ∈ E, x ∗ x0 = x0 ∗ x = e.
Si tous les éléments de E sont symétrisables, on dit que (E, ∗) est un groupe.
Exemple : (Z, +) est un groupe.
Exercices
1. Étudier sur R la loi ∗ définie par ∀(a, b) ∈ R2 , a ∗ b = a + b + a × b.
2. Étudier sur ] − 1, 1[ la loi x ∗ y =
x+y
1+xy .
3. Étudier sur Z la loi a ∗ b = a + (−1)a × b.
Exercice plus abstrait : Soit (G, ∗) un groupe d’élément neutre e tel que ∀g ∈ G, g ∗ g = e.
Montrer que (G, ∗) est un groupe commutatif puis citez plusieurs exemples de tels groupes.
Espaces Vectoriels
Un R-espace vectoriel est un ensemble E muni de deux lois + (qui va de E 2 dans E) et "." (qui va de
R × E dans E) tel que (E, +) soit un groupe abélien (c’est-à-dire commutatif) et :
−
−
−
– ∀→
x ∈ E, 1.→
x =→
x.
→
−
−
−
−
2
– ∀(a, b) ∈ R , ∀ x ∈ E, (a + b).→
x = a→
x + b→
x.
→
−
→
−
→
−
→
−
2
– ∀a ∈ R, ∀( x , y ) ∈ E , a.( x + y ).
−
−
−
– ∀(a, b) ∈ R2 , ∀→
x ∈ E, (a × b).→
x = a.(b.→
x ).
Exemples : R est un R-espace vectoriel. C est également un R-espace vectoriel.
On peut généraliser la notion d’espace vectoriel (K-espace vectoriel).
Exemples : Q est un Q-espace vectoriel. C est également un C-espace vectoriel.
Il existe des espaces vectoriels beaucoup plus simples, ou beaucoup plus compliqués.
Exemples : {0} est un K-espace vectoriel. S(R) ou F(R) sont des R-espaces vectoriels.
On commencera par vérifier, avec la classe, que ces ensembles vérifient toutes les propriétés données.
Puis on pourra éventuellement étudier une définition supplémentaire (celle de sous espace vectoriel).
Exercices
Soient A et B deux espaces vectoriels :
1. Montrer que A ∩ B est un espace vectoriel.
2. On suppose A 6⊂ B et B 6⊂ A. A ∪ B est il un espace vectoriel ?
16
Khôlles
Beaucoup de prérequis, exercice difficiles, choisir les exercices en fonction des élèves
Présentation
Une khôlle est une interrogation orale (pouvant aussi être orthographiée "colle") s’inscrivant dans le
cursus des classes préparatoires aux grandes écoles (CPGE). Dans toutes les filières à l’exception de certaines
littéraires et économiques, il y en a en principe deux par semaine. Durant une khôlle, les élèves, par groupe
de trois, doivent chacun présenter une question de cours sur le programme de colle de la semaine. Après la
question de cours viennent un ou plusieurs exercices.
Méthodes pour bien réussir
– Ne pas trop écrire pour ne pas perdre du temps mais écrire suffisamment pour que le colleur suive.
– Parler avec le colleur, afin de lui expliquer votre raisonnement. Une colle est interactive !
– Avoir confiance en soi et ne pas laisser le colleur semer le doute, il est là pour ça.
Exercice de colle
On pose C =
Pn−1
k=0
cos(kx) et S =
Pn−1
k=0
sin(kx).
1. Calculer E = C + iS.
3. En déduire C et S.
2. Simplifier E avec la formule de l’angle moitié.
4. Que dire si x ≡ 0 [2π]. Corriger.
On note β = exp
2iπ
7
, S = β + β 2 + β 4 et T = β 3 + β 5 + β 6
1. Justifier que S et T sont conjugués.
3. Calculer S + T et ST .
2. Montrer que l’on a Im(S) > 0.
4. En déduire S et T .
Soient x, y, z trois nombres complexes.
1. Démontrer que Re(z) 6 |z|.
3. En déduire ||x| − |y|| 6 |x + y|.
2. En déduire |x + y| 6 |x| + |y|.
4. Étudier le cas d’égalité du 2).
Soit p un nombre premier et a un entier quelconque.
3. Démontrer que ap ≡ a [p].
1. Montrer que p divise kp pour 0 < k < p.
2. En déduire que (a + b)p ≡ ap + bp [p].
4. En déduire que si PGCD(a, p) = 1, ap−1 ≡ 1 [p].
Soient E = {a2 + b2 , (a, b) ∈ N2 } et F = {a2 + b2 + c2 , (a, b, c) ∈ N3 }.
1. Montrer que si n ≡ 3 [4], n ∈
/ E.
3. Montrer que si n ≡ 7 [8], n ∈
/ F.
4. De même si n est de la forme 4a (8q − 1).
2. Montrer que si (n, m) ∈ E 2 alors nm ∈ E.
Soient f continue, définie sur [0, 1] et a > 0. On pose g(x) =
3. On suppose que |g(x) − g(y)| < |x − y|a si x 6= y.
Que peut-on dire sur g si a < 1, a = 1 et a > 1 ?
1. Expliquer pourquoi f est bornée.
2. Montrer que g admet un point fixe.
Soit un =
Pn
k=0
|f (x)|
Max(|f |)
(−1)k
k! .
1. Montrer que u2n et u2n+1 sont adjacentes.
3. Si 0 < vn < 1, 0 < wn < 1 et lim vn wn = 1.
+∞
Que dire de un et de vn ? Donner des exemples.
2. En déduire que un admet une limite finie.
Dans l’exercice, z, 1 − z, z1 , ... représentent des affixes de point.
1. Trouver z tel que
z
1−z
soit un réel.
3. Trouver z tel que z, z1 et z −1 soient sur le même
cercle de centre O. (Puis de centre quelconque)
2. Trouver z tel que 1, z et z 3 soient alignés.
17
Troisième partie
Séances de Physique
18
Homogénéité & Pertinence
Aucun prérequis, assez simple
Introduction
Lors d’une égalité A = B, en physique nous avons une information de plus qu’en mathématique. Pour
avoir un résultat pertinent en physique, il faut qu’il soit homogène, c’est à dire que A et B possèdent la
même dimension (autrement dit, on peut les ramener à la même unité). Il faut également que l’argument à
l’intérieur des fonctions sin, cos, exp, ln, ... soit sans unité. Cette analyse des dimensions est très importante
pour vérifier ses résultats (par exemple, si on trouve une vitesse en mètre, c’est forcément faux) mais peut
aussi permettre d’avoir une intuition du résultat. On peut faire de même avec les ordres de grandeur, à
condition de les connaître et d’avoir le sens physique qui va avec (par exemple, obtenir 3 mètres pour une
distance entre deux planètes est absurde). C’est pour cela que les professeurs de physique sanctionnent plus
lourdement les résultats manifestement faux.
Théorème des 7 dimensions
On peut exprimer toutes les grandeurs qui existent sur Terre avec seulement 7 grandeurs de base :
– la masse M (en kg)
– la longueur L (en m)
– le temps T (en s)
– la température Θ (en K)
– l’intensité électrique I (en A)
– l’intensité lumineuse J (en cd) – la quantité de matière N (en mol)
A partir de là, il faut exprimer toutes les autres grandeurs en fonction des grandeurs de base...
Méthode pour les autres grandeurs
Le but est d’utiliser des formules de physique pour obtenir des relations entre les grandeurs :
– Accélération = Dérivée de la Vitesse ⇒ A = TL2 .
L
– Sommes des forces = Masse × Accélération ⇒ F = M
.
T2
2
ML
2
– Énergie = Masse × Vitesse ⇒ E = T 2 .
2
– Puissance = Dérivée de l’Énergie ⇒ P = MTL3 .
M
– Pression = Force/Surface ⇒ P a = LT
2.
L2
– Puissance = Tension × Intensité soit Tension = Puissance/Intensité ⇒ U = M
.
IT 3
M L2
– Tension = Résistance × Intensité soit Résistance = Tension/Intensité ⇒ R = I 2 T 3 .
Typiquement, si vous vous retrouvez avec un exercice introduisant une masse m, deux rayons r1 et r2 ,
un courant i et un temps t0 et dont la question est "Exprimez la tension u en fonction de m, r1 , r2 , i et t0 "
alors comme la réponse se doit d’être homogène à une masse fois une longueur au carré sur une intensité
2 )r2
fois un temps au cube, des solutions valables sont mrit13r2 ou m(r1 t−r
(on poursuit avec de la symétrie).
3
0
0
Exercices
Trouver l’unité du champ de pesanteur g, de la constante gravitationnelle G et la constante des gaz
parfaits R. Connaissez vous une valeur approchée de ces constantes ?
– Un corps de masse m est soumis au poids mg qui est une force. Nous savons qu’une force s’exprime
en kg · m · s−2 donc g s’exprime en m · s−2 . Il s’agit d’une accélération.
– Soient deux corps de masses respectives m1 et m2 éloignés de la distance d. Alors le premier corps
2
. Nous savons qu’une force s’exprime en kg · m · s−2 donc G s’exprime en
est soumis à la force G md1 m
2
3
−1
−2
m · kg · s . Pour information, cette constante vaut 6, 67 · 10−11 SI.
– Pour un volume V contenant n moles de gaz parfait à la pression P et la température T , la loi des
gaz parfaits donne P V = nRT soit R = PnTV . P s’exprime en kg · m−1 · s−2 , V s’exprime en m3 , n en
mol et T en K. Ainsi R s’exprime en kg · m2 · s−2 · mol−1 · K −1 et cette constante vaut 8, 314 SI.
On pourra continuer en proposant des calculs numériques (par exemple avec le jeu "Le compte est bon")
sans calculette, ce qui gène extrêmement les élèves. On commencera par donner des méthodes de calcul.
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L’effet Doppler
Nécessite les ondes, assez difficile
Présentation
Découvert indépendamment par Christian Doppler en 1842, puis six ans plus tard par Hippolyte Fizeau,
l’effet Doppler, parfois également appelé effet Doppler-Fizeau, est la variation apparente de la fréquence d’une
onde émise par une source en mouvement par rapport à un observateur. Ce phénomène physique explique
simplement pourquoi par exemple la sirène d’une ambulance paraît plus aiguë quand elle s’approche et plus
grave quand elle s’éloigne. L’effet Doppler s’applique à tous types d’ondes : sonores, lumineuses, ...
Les principes de l’effet Doppler
Cas où la source est en mouvement
Imaginons une source qui envoie des balles à intervalles réguliers (elles
représentent ici les fronts d’ondes sonores) à un observateur fixe. Si
cette source est en mouvement, la position de départ des balles varie alors qu’elles se déplacent à une vitesse constante appelée vitesse
de propagation, cela modifie l’écart entre deux balles, c’est-à-dire la
longueur d’onde. Imaginons que vous êtes l’observateur. Si la source
d’ondes se rapproche de vous, l’écart entre deux balles, et donc la longueur d’onde, diminue de la distance parcourue par la source pendant
le temps qui sépare l’envoi de deux balles. Si la source s’éloigne de vous,
au contraire la longueur d’onde augmente de cette même distance.
Soient v la vitesse radiale (d’éloignement ou de rapprochement par rapport au récepteur) de la source
d’ondes, c la vitesse de propagation de l’onde, T la période des ondes, λ leur longueur d’onde et f leur
fréquence. λ0 et f 0 sont la longueur d’onde et la fréquence reçues par l’observateur.
Si la source se rapproche de l’observateur : à t = 0, la source émet la première balle ; celle-ci est reçue à
t1 par l’observateur ; à t = T , la source émet la deuxième balle ; celle-là est reçue à t2 par l’observateur.
– Exprimer T 0 en fonction de t1 et t2 puis montrer que T 0 = T (1 − vc ).
– En déduire que λ0 = λ(1 − vc ) et f 0 = 1−f v puis expliquer comment est perçue la source.
c
– Refaire de même lorsque la source s’éloigne de l’observateur et conclure quant au problème.
Cas où l’observateur est en mouvement
Prenons maintenant le cas où c’est l’observateur qui est en mouvement, la source étant fixe. Si il se rapproche
de la source, la distance entre deux fronts d’ondes qu’il recevra, c’est-à-dire la longueur d’onde reçue λ0 , sera
réduite de la distance qu’il parcourra entre la réception de ces deux fronts d’onde. Si il s’éloigne,λ0 sera au
contraire augmentée de cette distance. Cette variation de la longueur entraîne là encore une modification de
la fréquence des ondes reçues.
– Expliquer comment un changement de référentiel permet de se ramener dans le cas précédent. Conclure.
L’effet Doppler en astrophysique
L’univers est en expansion uniforme généralisée. Les galaxies ne bougent pas réellement, elles sont immobiles dans un espace en train de s’étirer. Par ailleurs, cette expansion n’a pas de centre, ou bien son centre
est partout. Tout observateur, sur n’importe quelle galaxie, verra ainsi toutes les autres galaxies s’éloigner
de lui à des vitesses proportionnelles à leurs distances. C’est la loi de Hubble : V = Hd où V est la vitesse relative de la galaxie en question, d sa distance par rapport à nous et H la constante de Hubble. Cette
relation est souvent utilisée pour trouver la valeur de la distance d’une galaxie lointaine, à partir de sa vitesse.
En appliquant l’effet Doppler aux ondes électromagnétiques de la lumières, on obtient un phénomène
appelé le Redshift : l’espace étant en expansion, la lumière doit lutter contre cette expansion pour nous
parvenir, ce qui résulte en un allongement de ses longueurs d’ondes. Ce phénomène permet de calculer la
vitesse de la galaxie étudiée et d’en déduire par le biais de la loi de Hubble sa distance par rapport à nous.
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Amplificateur Opérationnel
Nécessite l’électricité, difficulté moyenne
Caractéristiques
L’amplificateur opérationnel (AO) est un circuit intégré à part
entière. Il comporte une sortie et deux entrées, l’entrée + (entrée non inverseuse) et l’entrée - (entrée inverseuse). Il dispose
également d’une alimentation (VA), mais qui est rarement représentée. De par sa constitution, ce que l’on nomme amplificateur
opérationnel est un amplificateur différentiel, c’est à dire que sa
tension de sortie Us = Ue × Gv où Gv est le gain en tension de
l’amplificateur opérationnel. Le gain dépasse les 100000 !
Les caractéristiques des amplificateurs opérationnels réels étant si proches du modèle théorique parfait,
on a l’habitude de les assimiler à un composant parfait vérifiant :
– Le courant à l’entrée + est nul, tout comme à l’entrée -.
– En régime linéaire, les tensions à l’entrée + et - sont égales.
Les différents montages
Dans l’ordre : Amplificateur Inverseur / Amplificateur Non Inverseur / Amplificateur Suiveur.
Le gain de l’AO étant quasi-infini, la différence de potentiel entre
les entrées doit donc être quasi-nulle. L’entrée + étant reliée à la
masse, le potentiel U1 de l’entrée - doit également être nul.
En appliquant la loi d’Ohm à l’entrée, on a (Ue − U1 ) = R1 × I1
soit Ue = R1 × I1 puisque U1 = 0. En appliquant la loi d’Ohm à
la sortie, on a (Us − U1 ) = −R2 × I2 soit Us = −R2 × I2 puisque
Us
2
U1 = 0. Comme I = 0, on a I1 = I2 d’où G = U
= −R
R1 .
e
On a toujours une différence de potentiel entre les entrées nulle puisque
l’on considère l’AO parfait et son gain infini. Puisque la tension d’entrée est appliquée directement à l’entrée +, on se retrouve avec un
R1
R1 +R2
e
simple diviseur de tension, et on a U
Us = R1 +R2 soit G =
R1
Ce montage est une variante de l’amplificateur non
inverseur, qui est utilisé comme tampon grâce à son
impédance d’entrée très importante et sa faible impédance de sortie. Le gain vaut 1.
Pour aller plus loin
On pourra continuer avec la notion de filtre afin de présenter l’une des nombreuses applications de
l’amplificateur opérationnel. Sinon on pourra faire réfléchir sur les amplificateurs opérationnels réels et
comprendre leurs défauts (influence de la tension, impédance non parfaite, variation du gain).
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Physique des bulles
Difficulté moyenne
Résumé de la séance
L’objectif de la séance est d’aborder la notion de tension superficielle à l’origine de la structure des bulles
de savon et de faire un parallèle avec un problème concret d’optimisation d’un réseau routier.
Notion de tension superficielle, forme des gouttes
Considérons une bulle de savon. A l’interface entre le savon et l’air entourant la bulle, le savon est dans
un état particulier, de telle sorte qu’il possède une énergie légèrement supérieure à l’air qui l’entoure. Cet
effet est appelé "tension superficielle", et permet par exemple aux araignées de marcher sur l’eau. On peut
montrer, que pour former un film de savon de surface S, il faut fournir une énergie W donnée par W = γS
où γ ≥ 0 est appelée tension de surface.
On souhaite enfermer une volume V d’air dans un film de savon. On sait intuitivement que le film de
savon prendra la forme d’une sphère, pour former une "bulle de savon". L’objectif de cette première partie
est d’expliquer pourquoi le film de savon forme spontanément une bulle.
1. Cas de la sphère
(a) Calculer le rayon R d’une sphère de volume V .
(b) En déduire sa surface S1 puis la calculer S1 si V = 1m3 .
2. Cas du cube
(a) Calculer le côté a d’un cube de volume V .
(b) En déduire sa surface S2 puis la calculer S2 si V = 1m3 .
3. Cas du cylindre
(a) On considère un cylindre de hauteur 2h et dont la base a pour rayon h.
Exprimer h en fonction du volume V du cylindre.
(b) En déduire sa surface S3 puis la calculer S2 si V = 1m3 .
4. Pour un même volume V , quelle structure a la surface la plus petite ?
5. En déduire la structure dont le formation nécessite l’énergie la plus faible.
6. Expliquer enfin pourquoi les bulles prennent spontanément une structure de sphère.
Application à un problème d’optimisation
On considère quatre villes, situées aux quatre sommets d’un carré de côté 2a. On souhaite construire un
réseau d’autoroutes reliant les quatre villes entre elles. On appelle L la longueur totale du réseau autoroutier
et on veut la minimaliser. Proposer plusieurs réseaux possibles, et calculer leur longueur.
L’expérimentation physique peut nous aider à voir la solution. On a vu dans la partie précédente que les
films de savon ont la propriété de se disposer d’eux-mêmes sur un contour de façon à minimiser la surface
(voir figure 1). Cette propriété nous permet de construire le dispositif suivant qui donne un tracé de longueur
minimale. On a donc une première idée de la forme du roseau qu’il faut choisir. Il nous reste à déterminer
cette forme de façon plus précise en déterminant la longueur x rendant L minimale.
1. Exprimer l en fonction de a et x.
2. En déduire L en fonction de a et x.
3. En prenant a =1 km, tracer à la calculatrice la fonction L(x). Que constate-t-on ?
√
4. On peut montrer que la fonction atteint son minimum en x = (1 − 1/ 3)a. Quelle remarque peut-on
−−→ −→ −→ −−→
−−→ −−→
faire sur les angles (EF , EA), (EA, ED) et (ED, EF ) ?
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Le gladiateur et le lion
Difficulté moyenne, nécessite les coordonnées polaires
Prérequis
– Coordonnées cartésiennes et polaires.
– Dérivation.
Résumé de la séance
Voici un exercice de physique qui amusera sûrement les premières mais qui est d’une certaine difficulté.
On imagine un gladiateur abandonné dans une arène face à un lion. Le gladiateur court à la même vitesse
v que le lion et choisit de courir le long d’un cercle centré sur le cnetre de l’arène et de rayon a. Le lion se
place toujours sur le rayon qui relie le centre de l’arène au gladiateur. On cherche à déterminer la trajectoire
du lion et le temps qu’il met pour rattraper le gladiateur.
Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes
Pour représenter les positions du gladiateur G et du lion L, on peut utiliser les différentes coordonnés : les
coordonnées cartésiennes classiques ou les coordonnées polaires. Celles-ci sont plus pratiques pour décrire
un mouvement circulaire. Les deux systèmes de coordonnées sont liés car x(t) = r(t) cos(θ(t)) et y(t) =
r(t) sin(θ(t)).
1. Quelle est l’expression de la vitesse d’un objet en coordonnées cartésiennes ?
2. En utilisant la formule précédente, établir l’expression de la vitesse en coordonnées polaires.
Les équations relatives au gladiateur
On travaille avec les coordonnées polaires. Au début du combat, les coordonnées du gladiateur sont
(rG = a; θG = 0). Déterminer r(t) et θ(t). Combien de temps met le gladiateur pour effectuer un tour
d’arène ?
Les équations relatives au lion
Le lion part du centre de l’arène et se trouve en permanence sur le segment centre-gladiateur. On va
établir les équations dites différentielles définissant rL (t) et θL (t).
1. Que vaut θL (t) ?
2. Montrer que ( drdtL )2 = v 2 (1 − ( raL )2 )
3. Pour
p travailler avec des variables sans dimension, on pose u(t) =
v
2
a (1 − u ). Dans quel intervalle varie u(t) ?
rL (t)
a .
Montrer qu’on a
du
dt
=
4. On peut poser u(t) = cos(f (t)) avec f (t) ∈ [0; π2 ]. Trouver l’équation vérifiée par f . Déterminer f , puis
u, puis r. Conclure sur le point de rencontre du lion et du gladiateur.
La trajectoire géométrique du lion
On veut montrer que le lion décrit une courbe bien particulière lors de sa course. On introduit pour cela
le point M, milieu du segment qui relie le centre de l’arène au point de rencontre.
1. Quelles sont les coordonnées cartésiennes et polaires de M ?
2. Montrer que la distance du lion au point M est constante au cours de sa course et conclure.
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